2003年高考数学试题(北京理)及答案
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（1）设集合，，则等于 （A） （B） （C） （D）或 （2）设，，，则 （A） （B） （C） （D） （3）“”是“”的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条 件 （D）既非充分又非必要条件 4．已知是平面，是直线，下列命题中不正确的是 （A）若∥，，则∥ （B）若∥，，则 （C）若，，则∥ （D）若，，则． 5．极坐标方程表示的曲线是 （A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线 6．若，且，则的最小值是 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 7．如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积 的比为 （A） （B） （C） （D） 8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同 土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有 （A）24种 （B）18种 （C）12种 （D）6种 9．若数列的通项公式是，，则等于 （A） （B） （C） （D） 10．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班名同学都有选举权 和被选举权，他们的编号分别为．规定：同意按“1”，不同意（含弃
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵ BB1⊥平面ABD ∴ B1E⊥AD ∴ ∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角 ∵ BD=BC=AB ∴ E是AD的中点，
∴ BE=AC= 在RtB1BE中，tan∠B1EB=
∴ ∠B1EB= 即二面角B1—AD—B的大小为
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，
或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
16．（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且， （1）求数列的通项公式； （2）设数列（），求数列的前项和公式.
17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱底面边长为3，，为延长 线上一点，且． （1）求证：直线∥面； （2）求二面角的大小； （3）求三棱锥的体积． 18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴 上，中心（
（Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P的坐标为（0，），则P至三镇距离 的平方和为 =
所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解：记 P至三镇的最远距离为
由解得记 于是
，即时，
因为在[上是增函数，而上是减函数.
所以时,函数取得最小值. 点P的坐标是
，即时，因为在[上当y=0函数取得最小值b，而上是减函数,且 ，所以
权）按“0”．令
其中，且，则同时同意第1、2号同学当选的人数为
（A） （B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中
横线上.
11．，，，其中 为偶函数． 12．已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛 物线方程为 ． 13．一底面半径为的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为，最小 值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 ． 14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正 方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率； （Ⅱ）设直线与椭圆交于，（），直线与椭圆次于，（）．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在，设交轴于 点，交轴于点，求证： （证明过程不考虑或垂直于轴的情形）
19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，， 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上 的点处（建立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ （Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？
2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
参考公式： 三角函数的积化和差公式： 公式
其中、分别表示 上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：Biblioteka Baidu，其中R
正棱台、圆台的侧面积
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的.
C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11． 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤. 15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质
等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为
综上可知，当x=1时， 当x≠1时，
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体 积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分. （Ⅰ）证明：∵CD∥C1B1 ，又BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四边形
∴BC1∥DB1
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D ∴直线BC1∥平面AB1D
所以的最小正周期 （Ⅱ）解：因为,所以
时，取最大值为, 时，取最小值为－1 的最大值为1,最小值为－
16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识 和方法解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列公差为，则 又 所以
（Ⅱ）解：由得 ① ② 当x≠1时，将①式减去②式，得 ∴ 当x=1时，
整理得
根据韦达定理，得
，，
所以
①
将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得
②
由 ①、②得 =
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P，点Q 由C、P、H共线，得 解得 由D、Q、G共线，同理可得
由 = 变形得 = 所以
即
19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析 问题和解决问题的能力.满分14分.
20．（本小题满分14分）设是定义在区间
上的函数，且满足条件，① ②对任意的、，都有 （Ⅰ）证明：对任意，都有 （Ⅱ）证明：对任意的都有 （Ⅲ）在区间
上是否存在满足题设条件的奇函数且使得 若存在请举一例，若不存在，请说明理由．
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. 1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．
∵ BB1⊥平面ABC， ∴ 平面ABC⊥平面BB1C1C， ∴ AF⊥平面BB1C1C 且AF= ∴ ==
= = 即三棱锥C1—ABB1的体积为
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解 决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为
焦点坐标为，
离心率
（Ⅱ）证明：证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得
时, 函数取得最小值.
答：当时，点P的坐标是
当时，点P的坐标是，其中
20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析
问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当时，有即
（Ⅱ）对任意的，
当
当不妨设 则
从而有
总上可知，对任意的，都有
（Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：
假设存在函数满足条件，则由 得
又，所以
①
又因为为奇函数，所以，
由条件 得
所以
②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵ BB1⊥平面ABD ∴ B1E⊥AD ∴ ∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角 ∵ BD=BC=AB ∴ E是AD的中点，
∴ BE=AC= 在RtB1BE中，tan∠B1EB=
∴ ∠B1EB= 即二面角B1—AD—B的大小为
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，
或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数 （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
16．（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且， （1）求数列的通项公式； （2）设数列（），求数列的前项和公式.
17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱底面边长为3，，为延长 线上一点，且． （1）求证：直线∥面； （2）求二面角的大小； （3）求三棱锥的体积． 18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴 上，中心（
（Ⅰ）解：由题设条件a>b>0,设P的坐标为（0，），则P至三镇距离 的平方和为 =
所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解：记 P至三镇的最远距离为
由解得记 于是
，即时，
因为在[上是增函数，而上是减函数.
所以时,函数取得最小值. 点P的坐标是
，即时，因为在[上当y=0函数取得最小值b，而上是减函数,且 ，所以
权）按“0”．令
其中，且，则同时同意第1、2号同学当选的人数为
（A） （B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中
横线上.
11．，，，其中 为偶函数． 12．已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛 物线方程为 ． 13．一底面半径为的圆柱，被一平面所截剩下部分母线最大值为，最小 值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积为 ． 14．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正 方形和圆的面积之和最小时，正方形的周长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率； （Ⅱ）设直线与椭圆交于，（），直线与椭圆次于，（）．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在，设交轴于 点，交轴于点，求证： （证明过程不考虑或垂直于轴的情形）
19．（本小题满分14分）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，， 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上 的点处（建立坐标系如图）． （Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？ （Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？
2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数 学（理工农医类）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
参考公式： 三角函数的积化和差公式： 公式
其中、分别表示 上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：Biblioteka Baidu，其中R
正棱台、圆台的侧面积
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的.
C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
11． 12． 13． 14． 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤. 15．本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质
等基本知识，考查运算能力，满分13分. （Ⅰ）解：因为
综上可知，当x=1时， 当x≠1时，
17．本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体 积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分. （Ⅰ）证明：∵CD∥C1B1 ，又BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四边形
∴BC1∥DB1
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D ∴直线BC1∥平面AB1D
所以的最小正周期 （Ⅱ）解：因为,所以
时，取最大值为, 时，取最小值为－1 的最大值为1,最小值为－
16．本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识 和方法解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列公差为，则 又 所以
（Ⅱ）解：由得 ① ② 当x≠1时，将①式减去②式，得 ∴ 当x=1时，
整理得
根据韦达定理，得
，，
所以
①
将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得
②
由 ①、②得 =
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P，点Q 由C、P、H共线，得 解得 由D、Q、G共线，同理可得
由 = 变形得 = 所以
即
19．本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析 问题和解决问题的能力.满分14分.
20．（本小题满分14分）设是定义在区间
上的函数，且满足条件，① ②对任意的、，都有 （Ⅰ）证明：对任意，都有 （Ⅱ）证明：对任意的都有 （Ⅲ）在区间
上是否存在满足题设条件的奇函数且使得 若存在请举一例，若不存在，请说明理由．
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. 1．A 2．D 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．
∵ BB1⊥平面ABC， ∴ 平面ABC⊥平面BB1C1C， ∴ AF⊥平面BB1C1C 且AF= ∴ ==
= = 即三棱锥C1—ABB1的体积为
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解 决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为
焦点坐标为，
离心率
（Ⅱ）证明：证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得
时, 函数取得最小值.
答：当时，点P的坐标是
当时，点P的坐标是，其中
20．本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析
问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当时，有即
（Ⅱ）对任意的，
当
当不妨设 则
从而有
总上可知，对任意的，都有
（Ⅲ）答：这样满足所述条件的函数不存在.理由如下：
假设存在函数满足条件，则由 得
又，所以
①
又因为为奇函数，所以，
由条件 得
所以
②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在.