亚微米超精密车床振动控制系统

现代控制理论基础
上机实验报告之一
亚微米超精密车床振动控制系统的状态空间法设计
院系自动控制原理课程设计
专业航天学院自动化专业
姓名
班级
学号
指导教师强盛
哈尔滨工业大学
2015年6月14日
一：工程背景介绍及物理描述
超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。

为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。

这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求。

为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术。

其中，主动隔振控制系统采用状态空间法设计。

图1
图1表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。

此为一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统。

主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。

主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。

经物理过程分析得出床身质量的运动方程为：
p a 0m s F F ++=
（1） p F ——空气弹簧所产生的被动控制力。

F ——作动器所产生的主动控制力。

假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：
p 0r r r e e
{1[/()]}n
F c y k y pV V A y A =++-+ （2） V ——标准压力下的空气弹簧体积；
0y s s =-——相对位移（被控制量）；
p
——空气弹簧的参考压力； A
——参考压力下单一弹簧的面积；
e r 4A A =——参考压力下空气弹簧的总面积；
n ——绝热系数。

电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。

由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：
a e a F k I = （3）
e
k
——力-电流转换系数；
I ——电枢电流。

其中，电枢电流I 满足微分方程：
a a a
(,)()L I R I E Iyu t ++= （4） L
——控制回路电枢电感系数； R ——控制回路电枢电阻； E
——控制回路反电动势； u
——控制电压。

二：实验目的
通过本次上机实验，使同学们熟练掌握： 1. 控制系统机理建模；
2. 时域性能指标与极点配置的关系；
3. 状态反馈控制律设计；
4. MATLAB 语言的应用。

三：闭环系统的性能指标要求
要求闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%
过渡过程时间不大于0.5秒（0.02∆=）。

四：实际给定参数
01200N /m k =
980N /A e k =
kg 120=m
2.0=c
Ω300=R
H 95.0=L
五：开环系统状态空间数学模型的推导过程
首先假定s 为常数，将式0y s s =-两边求关于时间的二阶导数可得：
()p a 1
y s F F m
==-+
()0r r r e e e a
1{1[/()]}n c y k y p V V A y A k I m
=-++-++ （5） 记为：
()0e a
1y c y k y k I m
ω=-+++ （6） 其中
r
r
r
e
e
{1[/()]}n
p V V A y A ω=-+。

对式（6）两边求导得：
()0e a
1
y c y k y k I m
ω=-+++ （7） 由式（6）可得：
0a
e
m y c y ky I k ω+++=- （8） 由式（7）可得：
0a e
m y c y ky I k ω+++=
- （9） 将式（8）和（9）代入式（4）可得：
00
a
e e
(,)()m y c y k y m y c y k y L R E I y u t k k ωω
++++++--+= 即：
()()00e a e
(,)()L m y L c R m y L k R c y R k y L R k E I y k u t ωω
+++++++-=-将非线性项e a (,)L R k E I y
ωω
+-视为干扰信号，略去不计，可得线性化模型为：
()()00e
()L m y L c R m y L k R c y R k y k u t +++++=- （10）
01200N /m k =，980N /A e k =
，kg 120=m ，2.0=c ，Ω300=R ，H 95.0=L 。

代入式（10）得开环系统的可得线性化模型为：
)(980360000120019.36000114
t u y y y y -=+++ (11)
求得系统开环传递函数为：
9
.31575.108.3156
.8)(23+++-=
s s s s G
(12)
由可控标准型的状态空间表达式：
u x x x a a a x x x ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10010001
032121
0.3.2.1 []⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3210
00x x x b y 带入9.31570
=a ，5.101=a ，8.3152=a ，6.80-=b 得：
u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1008.3155.109.3157100010
321.3.2.1
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=321006.8x x x y 五：状态反馈控制律的设计
根据性能指标2
1p 100%5%e ζ
πζσ-
-=
⨯≤，解得0.69ζ≥，所以046.36θ≤。

根据性能指标s 4
0.5n
t ζω≈
≤，解得8n ζω≥。

留出裕量，极点配置在（-100,0），（-9,8,），（-9，-8），于是得出系统期望
特征多项式为：145001945118
)(2
3+++='λλλλf (13)
145000='a ，19451='a ，1182='
a
设状态反馈为[]210k k k K =
1.11342145009.3157000-=-='
-=a a k 5.193419455.10111-=-='
-=a a k 8.1971188.315222=-='
-=a a k
可求得[]8.1975.19341.11342--=K
七：闭环系统的数字仿真
1. 闭环系统的单位阶跃响应仿真
由以上设计过程，借助matlab 画出系统的simulink 仿真图如图2：
图2
得出系统此时的阶跃响应曲线如图3、图4：
图3
图4
容易看出，满足超调量要求（%5≤p σ）及过渡过程时间要求（s t s 5.0≤，02.0=∆）
八：心得体会
通过该实验，更加熟悉了现代控制理论课程中极点配置方法，将理论应用于现实，同时熟悉了MATLAB 中simiulink 的仿真方法。