江苏省2016届高三数学专题复习回扣三三角函数与平面向量文
江苏省江阴市长泾中学2016届高考数学一轮复习 三角函数与平面向量的综合应用课件
高考原题赏析
本题考查向量中的大部分知识， 以及两角和与差的余弦 公式、 特殊角的三角函数等， 偏向于对学生知识方面的考察， 还有带角度的理解的运算
一、学习目标： 1、灵活运用三角函数的图像和性质、三角 恒等变换的相关知识、正余弦定理以及平面向量 的相关知识进行相关的的化简、求值、恒等式证 明等； 2、综合应用三角函数与平面向量的知识解 决有关三角函数和平面向量的综合性问题及简单 的实际问题.
1005 且 A、B、C 三点共线(该直线不过点 O)，则 S2 010＝______.
（2）解析：∵A、B、C 三点共线， → ＝λAC →， ∴存在一个实数 λ，使AB → －OA → ＝λ(OC → －OA → )， 即OB → ＝(1－λ)OA → ＋λOC →. ∴ OB → ＝a1OA → ＋a2 010OC →， 又∵OB ∴ a1＋a2 010＝(1－λ)＋λ＝1， a1＋a2 010 ∴ S2 010＝ ×2010＝1005. 2
等边
三角形
BC 边与∠BAC 的平分线 AD 垂直，
因此 AD 也是三角形 ABC 的中线和高， 因此 AB=AC，即三角形 ABC 为等腰三角形.
AB AB AC AC AB AC AB AC 1 , 2
又
cos A cos A
所以A=π/3， 于是△ABC是正三角形
4．已知函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cosωx＋φ，若对任意 π π π 0 x∈R 都有 f6＋x＝f6－x，则 g6＝________.
(3) 当a与b同向时，a· b＝a2；当a与b反向时， a· b＝－a2；特殊的，a· a＝|a|2或|a|＝ a a .
【3份】2016版高考数学大二轮总复习(文科通用)配套课件：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 共134张PPT
考情考向分析
1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对 称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、
角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考
的必考点.
热点分类突破 热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
(1)三角函数： 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x， y)， y 则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符号：一 全正，二正弦，三正切，四余弦. sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α. kπ (3)诱导公式：在 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看
3π 3π 又 sin 4 >0，cos 4 <0，
7π 所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π)，所以 θ＝ 4 .
y＝sin 4x 的图象
π 向右平移12个单位.
答案 B
1 2 3 4
2.(2015· 课标全国 Ⅰ) 函数 f(x) ＝ cos(ωx ＋ φ) 的部分图象如图 所示，则f(x)的单调递减区间为( 1 3 A.kπ－4，kπ＋4 ，k∈Z 1 3 B.2kπ－4，2kπ＋4 ，k∈Z 1 3 C.k－4，k＋4，k∈Z 1 3 2 k － ， 2 k ＋ D. ，k∈Z 4 4 )
专题三
三角函数、解三角形与平面向量
第 1讲 三角函数的图象与性质
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高考真题体验
1.(2015· 山东)要得到函数 y＝sin 4x 的图象( π A.向左平移12个单位 π C.向左平移3个单位 ) π B.向右平移12个单位 π D.向右平移3个单位
2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量 第三讲 平面向量课件 文
[解析] |a· b|＝|a|· |b|· |cos θ|≤|a|· |b|，选项 A 正确；根据向量减 法的三角形法则可知边长 |a－b|大于等于其他两边差的绝对值 ||a| －|b||，因此 B 错误；由平面向量数量积的性质和运算法则知 C， D 正确．故选 B.
[答案] B
2．(2015· 大连模拟)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝ → → → → 2， 点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上， 若AB· AF＝ 2， 则AE· BF 的值是( A. 2 C．0 ) B．2 D．1
[答案] 2
考向三 平面向量的综合应用 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化为对应向量或 向量坐标的运算问题，三角形形状的判定可化归为相应向量的数 量积问题，向量的数量积公式 a2＝|a|2，沟通了向量与实数间的转 化关系．
要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向 量的有关性质解题．
[答案] D
2．(2015· 荆州二检)在△ABC 中，C＝90° ，且 CA＝CB＝3， → → → → 点 M 满足BM＝2MA，则CM· CB＝( A．2 B．3 C．4 D．6 )
→ → 2→ 1→ → 1→2 [解析] CM· CB＝3CA＋3CB· CB＝3CB ＝3，故选 B.
[答案] B
[答案] (1)D (2)C
2
[探究追问] 何求？
→ → 在例 2(1)中，条件不变，则BD在CD上的投影如
→ → → [解析] 在边长为 a 的菱形 ABCD 中，BD在CD上的投影|BD 3 → → |cosBD，CD＝ 3acos 30° ＝2a.
[答案]
3 2a
数量积、模和夹角的问题 (1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义； ②建立坐标系，通过坐标运算求解． (2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图 形中模和夹角已知的向量进行计算． 求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,文科)配套课件：专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第3讲
→ → (1)已知向量 i 与 j 不共线， 且AB＝i＋mj， AD＝
ni＋j，m≠1，若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 满足的 条件是( )
A.m＋n＝1
B.m＋n＝－1
C.mn＝1
D.mn＝－1
解析 因为A，B，D三点共线，
→ → 所以AB＝λAD⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，
1 → → → → → 因为CF＝CA＋AF＝－AC＋AF＝－b＋3a，
1 1 3 → 3 所以CE＝4(－b＋3a)＝4a－4b.
1 3 1 所以 x＝4，y＝－4，则 x＋y＝－2.
答案 1 －2
思维升华
(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同 时注意共线向量定理的灵活运用. (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的
专题三
三角函数、解三角形与平面向量
第 3讲 平面向量
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高考真题体验
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→ 1.(2015· 课标全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC＝ → 3CD，则( ) → 1→ 4→ B.AD＝3AB－3AC → 4→ 1→ D.AD＝3AB－3AC
3 A.－2 5 B.－3 5 C.3 3 D.2
解析 c＝a＋kb＝(1,2)＋k(1,1)＝(1＋k,2＋k)，
∵b⊥c，
∴b· c ＝ 0 ， b· c ＝ (1,1)· (1 ＋k,2＋ k) ＝1＋k ＋2 ＋k ＝3 ＋2k＝0， 3 ∴k＝－2，故选 A.
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3.(2015· 湖南)已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 → → → AB⊥BC，若点 P 的坐标为(2,0)，则|PA＋PB＋PC|的最大值 为( )
(江苏专用)2016届高考数学理二轮复习考点整合专题二三角函数与平面向量
【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量考点整合 理第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题．真 题 感 悟1．(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 解析 利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T＝2π2＝π. 答案 π2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．解析 因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62.答案623．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析 根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z )．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6.答案π64．(2015·浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x－π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )考 点 整 合1．三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．3．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.热点一 三角函数的图象 [微题型1] 图象变换【例1－1】 (2015·南通调研)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________单位长度． 解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，因此，把y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．答案 左5π12探究提高 对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变成ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向． [微题型2] 由三角函数图象求其解析式【例1－2】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________．(2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．解析 (1)由图象知T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，A ＝4. ∴ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ， 把点(6，0)代入得：π8×6＋φ＝0， 得φ＝－3π4.∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4，又∵|φ|＜π2.∴y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 (1)y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 (2)1探究提高 已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】 (1)(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．(2)(2015·南师附中模拟)把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为________．解析 (1)由图可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6.故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.(2)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象．答案 (1)－1 (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R热点二 三角函数的性质[微题型1] 考查三角函数的单调性与对称性【例2－1】 (1)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)(2015·南通调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________． 解析 (1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z 且ω＞0，得1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4≤x ≤1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋54π，k ∈Z .取k ＝0，得π4ω≤x ≤5π4ω，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， ∴π4ω≤π2，且π≤5π4ω，解之得12≤ω≤54. (2)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝π3.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)π3探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解．或者，也可以取选项中的特殊值验证． [微题型2] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)【例2－2】 (2015·宿迁高三摸底考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，π))的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值．解 (1)由图可得A ＝3，f (x )的周期为8，则2πω＝8，即ω＝π4，f (－1)＝f (3)＝0，则f (1)＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又φ∈[0，π)，故φ＝π4，综上所述，f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2) ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（x ＋2）＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12.当x ∈[－1，3]时，π4x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故当π4x ＋7π12＝π2即x ＝－13时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最大值为1，则g (x )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6；当π4x ＋7π12＝4π3即x ＝3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最小值为－32，则g (x )的最小值为g (3)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3 3. 探究提高 求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解．【训练2】 (2015·河南名校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域． 解 (1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 则f (x )的最小正周期为π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )， 所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g (x )取得最小值－14，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值2， 所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.1．(1)y ＝－sin x 与y ＝sin x 的单调性正好相反，y ＝－cos x 与y ＝cos x 的单调性也同样相反．(2)y ＝|sin x |与y ＝|cos x |的周期是π，y ＝sin|x |不是周期函数，y ＝cos|x |是周期函数． (3)对于函数y ＝tan x ，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数． 2．运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；(2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． 3．奇偶性：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π2(k ∈Z )．4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.一、填空题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位．答案 右π122．(2015·陕西卷改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 83．(2014·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．解析 φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z ) ⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案 必要不充分4．(2015·扬州模拟)已知直线y ＝2与函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)图象的两个相邻交点A ，B ，线段AB 的长度为2π3，则ω的值为________．解析 依题意，函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)， 于是有2πω＝2π3，ω＝3.答案 35．(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为________．解析 因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 6．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→右平移φ g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k 2π－π8(k ∈Z )， 显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8.答案3π87．(2015·南京、盐城模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案328．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π. 答案 π 二、解答题9．(2015·泰州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f (x 0)的值．解 (1)T ＝2π2＝π，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin 2x 0＝－35，∴cos 2x 0＝±45，∴f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin 2x 0＋cos 2x 0)＝25或－725. 10．(2015·北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 11．(2015·咸阳模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2.所以ω＝1.又A ＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12.因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．真 题 感 悟1．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3. 答案 32．(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 答案172503．(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________． 解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A sin A sin B ＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2C sin A sin B ， 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c2ab ＝4.答案 44．(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即ab＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24考 点 整 合1．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2．正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.热点一 三角变换的应用 [微题型1] 求值【例1－1】 (1)(2015·苏北四市模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________．(2)(2015·邯郸模拟)已知cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝________．(3)(2015·金华模拟)已知tan αtan α－1＝－1，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________．解析 (1)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23.由cos α＝2cos2α2－1， α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66. (2)cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α22（sin α－cos α）＝－（cos 2α－sin 2α）22（sin α－cos α）＝2(cos α＋sin α)＝－22. 所以cos α＋sin α＝－12.(3)由tan αtan α－1＝－1得tan α＝12，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(sin 2α＋cos 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 答案 (1)－66 (2)－12 (3)135探究提高 在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用． [微题型2] 求角【例1－2】 (2015·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________．解析 因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3. 答案π3探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断．【训练1】 (2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.热点二 正、余弦定理的应用 [微题型1] 判断三角形的形状【例2－1】 (2015·南师附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是________．解析 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 所以(a 2＋b 2)(sin A cos B －cos A sin B ) ＝(a 2－b 2)(sin A cos B ＋cos A sin B )， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一 由正弦定理得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B ， 因为sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二 由正弦定理、余弦定理得a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形探究提高 判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断．如本题既可化为角的关系A ＝B 或A ＋B ＝π2来判断，也可化为边的关系a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2来判断．同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． [微题型2] 解三角形【例2－2】 (2014·苏、锡、常、镇模拟)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值． 解 (1)由cos A ＝1213，且0<A <π，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，所以bc ＝156，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc ＝156，又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，所以a ＝5. 探究提高 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．[微题型3] 求解三角形中的实际问题【例2－3】 (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．探究提高 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【训练2】 (2015·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .解 (1)由正弦定理得：sin C sin B ＝sin B cos C . 又sin B ≠0， 所以sin C ＝cos C ， ∴C ＝45°.又b cos C ＝3， 所以b ＝3 2.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25. 所以c ＝5.1．对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法．2．三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．3．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.一、填空题1．(2013·苏、锡、常、镇模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______．解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －792．(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于________． 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π.⎝⎭45⎝⎭45∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤φ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.答案 －2103．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5. 答案54．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________．解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案3325．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.⎝⎭6⎝⎭65答案 －456．(2015·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为________三角形．解析 依题意，A ＋C ＝2π3，b 2＝ac ；又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，故a ＝c ，故A ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．答案 等边7．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 答案 88．在△ABC 中，tanA ＋B2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________． 解析 因为tan A ＋B2＝2sin C ，所以sin A ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin C ⇒2sin A ＋B 2·cosA ＋B22⎝⎛⎭⎪⎫cos A ＋B 22＝2sin C ⇒sin （A ＋B ）1＋cos （A ＋B ）＝2sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， 所以sin C 1－cos C＝2sin C ，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.因为BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A ＝33·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0＜φ＜π2且tan φ＝35，所以当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值，为213. 答案213二、解答题9．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4 ＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 11．(2015·苏北四市模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ，(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值． 解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C . 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cos A . 即x 2＋(9－x )2－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )cos A . 解得cos A ＝2x，即f (x )＝2x，其中x ∈(2，5)．(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )·sin A ＝12[x (5－x )＋x (9－x )] 1－cos 2A .＝x (7－x )1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝（x 2－4）（7－x ）2＝（x 2－4）（x 2－14x ＋49）.记g (x )＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49)，x ∈(2，5)． 由g ′(x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)(2x －14)＝2(x －7)(2x 2－7x －4)＝0， 解得x ＝4(x ＝7和x ＝－12舍)．所以函数g (x )在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减． 因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108.所以S 的最大值为108＝6 3. 故所求四边形ABCD 面积的最大值为6 3 m 2.第3讲 平面向量高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求．主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．真 题 感 悟1．(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案 －32．(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________．解析 因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.答案 543．(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析 由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.答案 224．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.答案 12考 点 整 合1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)． (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面向量的有关运算 [微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________． 解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －16探究提高 解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理，将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式列方程组可得． [微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (2015·保定模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a ＋2c )∥b ，则k ＝________．解析 依题意得a ＋2c ＝(3，1)＋(2k ，14)＝(3＋2k ，15)，因为b ＝(1，3)，(a ＋2c )∥b . 所以3(3＋2k )＝15， 解得k ＝1. 答案 1探究提高 在应用两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断． [微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2015·湖北卷)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________． (2)(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 又BE →＝λBC →；DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.答案 (1)9 (2)2918探究提高 求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法．【训练1】 (1)(2015·福建卷改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________．(2)(2015·苏州期末)已知a ，b ，c 是单位向量，a ⊥b ，则(a ＋b ＋2c )·c 的最大值是________．解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4· (－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.(2)依题意，设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋b ＋2c )·c ＝(2cos θ＋1，2sin θ＋1)·(cos θ，sin θ)＝(2cos θ＋1)cos θ＋(2sin θ＋1)·sin θ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的最大值是2＋ 2. 答案 (1)13 (2)2＋ 2 热点二 平面向量与三角的交汇 [微题型1] 平面向量与三角形【例2－1】 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心)．解析 由已知，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故填重心．。
江苏省2016届高三数学专题复习专题二三角函数与平面向量文
专题二 三角函数与平面向量真题体验·引领卷一、填空题1．(2013·江苏高考)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 2．(2015·江苏高考)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．3．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．4．(2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．5．(2010·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b＝6cosC ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________． 6．(2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．7．(2011·江苏高考)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________．8．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．9．(2014·江苏高考)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．10．(2014·江苏高考)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 二、解答题11．(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．12．(2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．13．(2013·江苏高考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．专题二 三角函数与平面向量经典模拟·演练卷一、填空题1．(2015·吉林实验中学三模)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为________．2．(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．3．(2015·苏州调研)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．4．(2015·德州模拟)已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．5．(2015·南昌调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．6．(2015·潍坊三模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．7．(2015·郑州模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．8．(2015·邢台模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________． 9．(2014·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．10．(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为______． 二、解答题11．(2015·衡水中学调研)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos A ＝c cosB ＋b cosC .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，cos B ＋cos C ＝233，求边c .12．(2015·苏、锡、常、镇调研)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2，0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值；(2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．13．(2015·淄博模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx －cos 2ωx －12(ω>0)，其图象两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值及f (x )的单调增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝7，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(3，sin B )共线，求a ，b 的值．专题二 三角函数与平面向量专题过关·提升卷(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，则k ＝2是a ⊥b 的____条件．2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向________平移________个单位．3．(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．4．(2015·全国卷Ⅰ改编)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝______________．5．已知|a |＝4，|b |＝1，且〈a ，b 〉＝23π，当|a ＋x b |取得最小值时，则实数x 的值为________．6．已知sin α－cos α＝32，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________．7．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝________． 8．(2015·浙江高考)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是______，单调递减区间是________．9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝________． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________．11．(2015·潍坊二模)已知G 为△ABC 的重心，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝________．12．已知函数f (x )＝2cos(x ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，且f (0)＝1，f ′(0)>0，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π]上的最小值为________．13．(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝________．14．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)(2015·北京高考)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．16．(本小题满分14分)(2014·苏、锡、常、镇模拟)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．17．(本小题满分14分)(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n, 求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数g (x )＝f (x )f ′(x )－f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2xcos 2x －sin x cos x的值．19．(本小题满分16分)(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．20．(本小题满分16分)(2013·江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？专题二 三角函数与平面向量真题体验·引领卷1．π [利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π.]2．3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tanβ＝3.]3．－3 [∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.] 4.62 [因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， 所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝ 2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62.] 5．4 [b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos Asin A sin B＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2C sin A sin B ， 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c2ab＝4.]6.12 [如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →) ＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.]7.54 [因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以 e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.]8.π6 [根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z )．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6.] 9．22 [由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.]10.6－24[∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即ab＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24.]11．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 12．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.13．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0，即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π， 又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1，即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.经典模拟·演练卷1．1 [由a ⊥b ，知a ·b ＝0， ∴sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2.故sin 2θ＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋1tan 2θ＋1＝1.] 2．1 [根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6＝3π4，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.]3.17250 [∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝17250.]4．1 [由BC →＝AC →－AB →且AP →⊥BC →，AP →＝λAB →＋AC →， ∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0.因此AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，(*) 又〈AB →，AC →〉＝60°，|AB →|＝|AC →|＝2.故(*)式化为4－4λ＋(λ－1)×2×2cos 60°＝0，解之得λ＝1.] 5.332 [由c 2＝(a －b )2＋6得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，∴ab ＝6， ∴S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]6.6π5 [∵f (x )的图象关于直线x ＝π对称， ∴ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则ω＝k ＋23，k ∈Z .又1<ω<2，因此取k ＝1，则ω＝53，所以f (x )的最小正周期T ＝2πω＝6π5.] 7．2 [依题意g (x )＝2sin(ωx )，∵y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，∴0≤ωx ≤πω4≤π2，则ω≤2，故ω的最大值为2.]8.π3 [由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴a 2－b 2＝c 2－3bc .又ac ＝b 2－a 2， ∴3bc ＝ac ＋c 2，即a ＝3b －c .由正弦定理，得sin A ＝3sin B －sin C ， 又sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－B ＝12cos B ＋32sin B ，从而12＝3sin B －12cos B －32sin B ＝32sin B －12cos B .∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，在△ABC 中，B －π6＝π6，则B ＝π3.]9．必要不充分 [φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D ⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．]10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 [因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.] 11．解 (1)由正弦定理及3a cos A ＝c cos B ＋b cos C 得3sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C ) ∵B ＋C ＝π－A ，∴3sin A cos A ＝sin A . 又sin A >0，从而cos A ＝13.(2)∵A ∈(0，π)，cos A ＝13，∴sin A ＝223，又∵cos B ＋cos C ＝233，∴cos[π－(A ＋C )]＋cos C ＝233，整理得cos C ＋2sin C ＝3① 又sin 2C ＋cos 2C ＝1，② 由①，②联立，得sin C ＝63， 由asin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A＝23·63232＝3.12．解 (1)由已知，得A (1，0)，B (0，1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ →＝OA →＋OP →＝(1，0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以OA →·OQ →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|OA →|·|OP →|sin θ＝sin θ，所以OA →·OQ →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1. 又0<θ<π，所以当θ＝π4时，OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知CB →＝(2，1)，OP →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.13．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx －1＋cos 2ωx 2－12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1. 因为函数图象两相邻对称轴间的距离为π2.∴f (x )的最小正周期T ＝π，又T ＝2π2ω，∴ω＝1，从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， 因为0<C <π，所以－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，即C ＝π3，由已知m ∥n 可得sin B －3sin A ＝0， 在△ABC 中，由正弦定理得b －3a ＝0，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又已知c ＝7， 所以7＝a 2＋b 2－ab .② 由①②联立，解得a ＝1，b ＝3.专题过关·提升卷1．充分不必要 [由a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，得b ＝(－1，k 2－2)．又a ⊥b ⇔a ·b ＝－2＋k 2－2＝0，∴k ＝±2，故“k ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．] 2．右π12 [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．]3．－1 [由题图可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6.故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.]4．1 [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →，故x ＋y ＝1.]5．2 [∵|a |＝4，|b |＝1，〈a ，b 〉＝23π，∴a 2＝16，b 2＝1，a ·b ＝|a ||b |·cos 23π＝－2.则|a ＋x b |2＝a 2＋x 2b 2＋2x a ·b ＝16＋x 2－4x ＝(x －2)2＋12≥12，当且仅当x ＝2时，|a ＋x b |2有最小值．∴x ＝2时，|a ＋x b |取得最小值．]6.54 [由sin α－cos α＝32，得1－sin 2α＝34，∴sin 2α＝14， 因此2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋sin 2α＝54.]7.32a 2[如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]8．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]9.32－36 [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，得sin θcos π3＋cos θsin π3＋sin θcos π3－cos θsin π3＝33.∴2sin θcos π3＝33，则sin θ＝33.又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝63.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝cos θcos π6－sin θsin π6＝32－36.] 10．2 π3 [因为T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT＝2. 将⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入解析式可得：76π＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋π3(k ∈Z )， 又0＜φ＜π2，所以φ＝π3.]11．3 [由G 为重心，得AG →＝23×12(a ＋b )＝13(a ＋b )．∴PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋b 3，GQ →＝AQ→－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b －13a ，又P 、G 、Q 三点共线，∴13－m －13＝13n －13，即m ＋n ＝3mn .因此1m ＋1n ＝3.]12．－1 [由f (x )＝2cos(x ＋φ)，得f ′(x )＝－2sin(x ＋φ)． ∴f (0)＝2cos φ＝1，且f ′(0)＝－2sin φ>0 因此cos φ＝12，且sin φ<0，所以φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2，则φ＝－π3，f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3， 根据图象平移变换，知g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π. 又0≤x ≤π，知－2π3≤x －2π3≤π3.∴g (x )的最小值为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.]13．9 [AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →，∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.] 14. 5 [由S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12，得sin B ＝22，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝2＋1－22×1×22＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，则△ABC 为直角三角形，不合题设，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意．] 15．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.16．解 (1)由cos A ＝1213，且0<A <π，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，所以bc ＝156，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc ＝156， 又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25， 所以a ＝5.17．解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ， 所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4.因此x －π4＝π6，故x ＝5π12.18．解 (1)∵f (x )＝sin x －cos x ，且g (x )＝f (x )·f ′(x )－f 2(x )，∴f ′(x )＝cos x ＋sin x ，因此g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )－(sin x －cos x )2＝sin 2x －cos 2x －(1－sin 2x )＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1. 故函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为2－1. (2)由f (x )＝2f ′(x )，得sin x －cos x ＝2(cos x ＋sin x )，得tan x ＝－3， 1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2xcos 2x －sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－tan x ＝194. 19．解 (1)由A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，得B ＋C ＝34π.∴2B ＝32π－2C ，则cos 2B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C ＝－sin 2C .从而sin 2C ＝sin 2C ，即2sin C cos C ＝sin 2C . 又sin C ≠0，故tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理，c ＝b sin C sin B ＝223b .① 又S △ABC ＝12bc sin A ＝3，A ＝π4，所以bc ＝62，② 联立①，②可求b ＝3.20．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )21 ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得 AB ＝ACsin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)． 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．。
高考数学大一轮复习 高考专题突破二 高考中的三角函数
高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题1.(2016·江苏镇江中学质检)已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为2，则ω的值是________. 答案 1解析 由题意得T 4>π4，即T >π，从而2πω>π，即0<ω<2，故函数在x ＝π4时取得最大值，即2sin(π4ω)＝2，也即sin(π4ω)＝22，又π4ω∈(0，π2)，故π4ω＝π4， 解得ω＝1.2.在△ABC 中，AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，且cos C ＝55，则A ＝________. 答案 45°解析 由题意及正弦定理得sin B cos A ＝3sin A cos B ， ∴tan B ＝3tan A ，∴0°＜A <90°，0°<B ＜90°，又cos C ＝55， 故sin C ＝255，∴tan C ＝2，而A ＋B ＋C ＝180°，∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－2，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－2，将tan B ＝3tan A 代入，得4tan A1－3tan 2A ＝－2， ∴tan A ＝1或tan A ＝－13，而0°＜A ＜90°，则A ＝45°.3.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则PA 2＋PB 2PC 2＝________.答案 10解析 将△ABC 的各边均赋予向量，则PA 2＋PB 2PC 2＝PA →2＋PB →2PC→2＝PC →＋CA→2＋PC →＋CB →2PC→2＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·CA →＋CB →＋|AB →|2|PC →|2＝2|PC →|2－8|PC →|2＋|AB →|2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.4.(2016·天津改编)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________. 答案 18解析 如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝DE →＋EF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.5.(2017·江苏如东中学月考)若函数f (x )＝sin(ωπx －π4) (ω>0)在区间(－1,0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的最大值是________. 答案 54解析 令ωπx －π4＝k π＋π2，则得x ＝4k ＋34ω(k ∈Z )，∴当k ＝－1时，得y 轴左侧第1条对称轴为－14ω；当k ＝－2时，得y 轴左侧第2条对称轴为－54ω，因此－1<－14ω<0且－1≥－54ω，解得14<ω≤54，故ωmax ＝54.题型一 三角函数的图象和性质例1 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx 2，x ∈R (其中ω>0).(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离均为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2(32sin ωx －12cos ωx )－1＝2sin(ωx －π6)－1. 由－1≤sin(ωx －π6)≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1].(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin(2x －π6)－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ).所以函数y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z ).思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解.已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心.解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋52 3＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin(2x －π3)，所以函数的周期T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12 (k ∈Z )，所以函数f (x )的单调增区间为 [k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调减区间为 [k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).(3)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为(k π2＋π6，0)(k ∈Z ).题型二 解三角形例2 (2016·苏北四市期中)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3.(1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长.解 (1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π， 所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin B cos B ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255，同理可得，sin C ＝31010.由正弦定理得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在做有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，正确对结果进行取舍.(2016·无锡期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sinA ＝3a cosB .(1)求角B 的值； (2)若cos A sin C ＝3－14，求角A 的值. 解 (1)因为a sin A ＝bsin B ，所以b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝3a cos B ， 所以3a cos B ＝a sin B ， 即tan B ＝3，所以角B ＝π3.(2)因为cos A sin C ＝3－14， 所以cos A sin(2π3－A )＝3－14，cos A (32cos A ＋12sin A )＝32cos 2A ＋12sin A ·cos A＝32·1＋cos 2A 2＋14sin 2A ＝3－14， 所以sin(2A ＋π3)＝－12，因为0<A <2π3，所以2A ＋π3∈(π3，5π3)，所以2A ＋π3＝7π6，A ＝5π12.题型三 三角函数和平面向量的综合应用例3 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0). (1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈[π2，9π8]时，求函数f (x )＝2a·b ＋1的最大值，并求此时x 的值.解 (1)设a 与c 的夹角为θ， 当x ＝π6时，a ＝(32，12)，cos θ＝a·c|a||c |＝32×－1＋12×0322＋122×－12＋02＝－32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. (2)f (x )＝2a·b ＋1＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1 ＝2sin x cos x －(2cos 2x －1) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，∵x ∈[π2，9π8]，∴2x －π4∈[3π4，2π]，故sin(2x －π4)∈[－1，22]，∴当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )max ＝1.思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cosB ＝13，b ＝3，求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.解 (1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－132＝223， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.1.已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4)，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ).解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.2.(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值. 解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象.再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.3.(2016·江苏南京学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值.解 (1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010.因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55.cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝31010×(－55)＋1010×255＝－210. (2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1010×(－55)＋31010×255＝22. 因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(π2，3π2)，所以α＋β＝3π4.4.(2016·江苏仪征中学期初测试)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R )的部分图象如图所示.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π2，π2]时，求f (x )的取值范围.解 (1)由图象知，A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点(π3，2)代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin(x ＋π6).(2)当x ∈[－π2，π2]时，x ＋π6∈[－π3，2π3]，所以sin(x ＋π6)∈[－32，1]，即f (x )∈[－3，2].5.已知向量a ＝(k sin x3，cos 2x 3)，b ＝(cos x3，－k )，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC →的最小值.解 (1)由题意，知f (x )＝a·b ＝(k sin x3，cos 2x 3)·(cos x3，－k )＝k sin x 3cos x3－k cos 2x3 ＝12k sin 2x3－k ·1＋cos2x32＝k 2(sin 2x 3－cos 2x 3)－k 2＝2k 2(22sin 2x 3－22cos 2x 3)－k2 ＝2k 2sin(2x 3－π4)－k 2. 因为x ∈R ， 所以f (x )的最大值为2－1k2＝2－12，则k ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝22sin(2x 3－π4)－12， 所以f (A )＝22sin(2A 3－π4)－12＝0，11 化简得sin(2A 3－π4)＝22， 因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12，则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4.因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ， 所以bc ≤402＋2＝20(2－2).则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)，所以AB →·AC →的最小值为20(1－2).。
高三数学综合复习：第三篇 3三角函数、解三角形、平面向量
3.三角函数、解三角形、平面向量1． α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152． 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为________． 答案22－333． 三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )． 4． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655． 解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45° 6． 向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7． 向量的数量积|a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258． 当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9． 几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心； ②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2，∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32，∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21． 已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2等于( ) A ．－104B ．－64C.64D.104答案 B解析 根据题意得cos α＝x5＋x 2＝24x ， 解得x ＝3或x ＝－3或x ＝0. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3. 即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－64. 2． 已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23B ．－23C.13D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ. ∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 3． (2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b答案 B解析 因为|a ＋b |＝|a －b |， 所以(a ＋b )2＝(a －b )2， 即a ·b ＝0，故a ⊥b .4． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案 D解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)， 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解①②得x ＝－79，y ＝－73.5． (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22 C.12D ．－12答案 C解析 利用余弦定理求解． ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.6． 函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 7． 在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为________．答案 π6解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，则sin A ＝45，445＝52sin B ，sin B ＝12.又a >b ，B 必为锐角，所以B ＝π6.8． 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________． 答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 9． 关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题：①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称；④由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍．其中正确命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①中，由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，若k π2＋π12＝－π6，可得k ＝－12Z ，故①错；②中，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故正确；③中，由2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，可得对称中心是⎝⎛⎭⎫－π6，0，故③正确；④中，有2x 1＋π3＝k 1π，有2x 2＋π3＝k 2π(k 1，k 2∈Z )，所以x 1＝k 1π2－π6，x 2＝k 2π2－π6，所以x 1－x 2＝(k 1－k 2)π2，由于k 1－k 2不一定是偶数，故x 1－x 2不一定是π的整数倍．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值． 解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2. 由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C2，即sin C 2－cos C 2＝12.两边平方得sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0得π4<C 2<π2，即π2<C <π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74.由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得(a －2)2＋(b －2)2＝0， 则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27， 所以c ＝7＋1.。
2016版优化方案高考数学(江苏专用理科)二轮复习课件专题二第3讲 平面向量
－2 → → → → → 满足PA＋BP＋CP＝ 0，AP＝ λPD，则实数 λ 的值为 ________．
→ → 解析：(1) 因为AB＝ 2DC， OC 1 所以△ DOC∽△BOA，且 ＝ ， OA 2 2 1 2 1 → 2→ 2 → → 所以AO ＝ AC＝ (AD ＋DC)＝ a＋2b ＝ a＋ b.故 3u＋3v＝3. 3 3 3 3 3 → → → → → (2)如图所示，由AP＝λPD且PA＋BP＋CP＝ 0，则 P 为以 AB， → → AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP＝－2PD，则 λ＝－ 2.
3．平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b，则数量 |a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数 量积， 记作 a· b， 即 a· b＝ |a||b|cos θ， 其中 θ 是 a 与 b 的夹角． 向 量夹角 θ 的范围是 0° ≤ θ≤ 180° ，a 与 b 同向时，夹角 θ＝ 0° ； a 与 b 反向时，夹角 θ＝180° .
→ 1. (1)如图， 在四边形 ABCD 中， AC 和 BD 相交于点 O， 设AD ＝ → → → → → → a， AB＝ b，若AB ＝ 2DC，设AO ＝ uAD ＋ vAB ，则 3u＋ 3v＝ 3 ________.
பைடு நூலகம்
(2)(2015· 江门模拟 )已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P
专题二
三角函数与平面向量
第 3讲
平面向量
专题二
三角函数与平面向量
2016高考导航 考点扫描 三年考情 2015 2014 2013 考向预测
1．平面向量 第10题 的概念及线性 第6题 运算 2．平面向量 第12题 的数量积 3．平面向量 与三角函数的 第14题 综合运用
江苏高考数学复习平面向量与复数热点探究训练3三角函数与平面向量
第六章 平面向量与复数 热点探究训练3 三角函数与平面向量A 组 基础达标(建议用时：30分钟)1．(2017·南通二调)在斜三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1.(1)求C 的值；(2)若A ＝15°，AB ＝2，求△ABC 的周长．[解] (1)因为tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ， 因为在斜三角形ABC 中，1－tan A tan B ≠0，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝1， 即tan(180°－C )＝1，亦即tan C ＝－1，因为0°<C <180°，所以C ＝135°.6分(2)在△ABC 中，A ＝15°，C ＝135°，则B ＝180°－A －C ＝30°，由正弦定理BC sin A ＝CA sin B ＝AB sin C ，得BC sin 15°＝CA sin 30°＝2sin 135°＝2， 故BC ＝2sin 15°＝2sin ()45°－30°＝2()sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－22， CA ＝2sin 30°＝1.所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝2＋1＋6－22＝2＋6＋22.14分 2．(2017·扬州期末)已知函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx (ω>0)的周期为π.(1)求ω的值，并求函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域； (2)在已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 对应的边长，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，且a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积. 【导学号：62172178】[解] (1)f (x )＝32(1＋cos 2ωx )＋12sin 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32， ∵f (x )的周期为π，且ω>0，∴2π2ω＝π，解得ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32， 又0≤x ≤π2，得π3≤2x ＋π3≤43π，－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32≤32＋1，即函数y ＝f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32＋1.8分(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32， 由A ∈(0，π)，知π3<A ＋π3<43π， 解得A ＋π3＝23π，所以A ＝π3， 由余弦定理知：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc ，∴16＝(b ＋c )2－3bc ，因为b ＋c ＝5，所以bc ＝3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝343.14分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟) 1．(2017·苏州模拟)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长. 【导学号：62172179】 [解] (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ＝0，又A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.6分(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45·32＋35·12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin A sin B ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.14分 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．[解] (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ，3分 化简得sin A ＝32，故A ＝π3或A ＝2π3.6分 (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a sin A＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，8分 故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.10分 因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2， 所以2b －c ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23).14分。
专题1.3 三角函数(教学案)-2016年高考数学二轮复习精品资料(江苏版)(原卷版)
的影响；
④掌握和差角、二倍角公式，能运用公式进行简单的恒等变换；
⑤掌握正弦定理、余弦定理和面积公式，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2
2．命题规律： (1)高考对三角函数图象的考查主要包括三个方面：一是用五点法作图，二是图象变换，三是已知图象 求解析式或求解析式中的参数的值，常以选择题或填空题的形式考查．
．
y A2
O
x
-2
B
11．【2015 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】函数 y＝2sin(3x＋π6)的最小正周期为
．
12．【泰州市
2016
届高三第一次模拟考试】已知函数
f
(x)
Asin(x
)
cos
x 2
cos(
π 6
x 2
)
(其中
A
为常
数， (π, 0) )，若实数 x1, x2, x3 满足：① x1 x2 x3 ；② x3 x1 2π ；③ f (x1) f (x2 ) f (x3) ，
4．辨明常用三种函数的易误性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像
单调性
对称性
对称中心：(kπ，0)(k∈Z)； 对称中心：π2＋kπ，0
对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)
(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)
对称中心：k2π，0(k∈Z)
3
5．识破三角函数的两种常见变换 (1)y＝sin x――向―左―平(φ―移>0|―)φ或|个―向单右―位(―φ<―0)→y＝sin(x＋φ)―――横―坐―标纵―变为坐―原标―不来―的变―ω1 ―倍―→y＝sin(ωx＋φ)
江苏高三数学三角函数与平面向量专题检测
江苏高三数学三角函数与平面向量专题检测①函数y=sin x的对称中心为(k，0)(kZ)，对称轴为x=k+(kZ).②函数y=cos x的对称中心为(kZ)，对称轴为x=kZ).③函数y=tan x的对称中心为(kZ)，没有对称轴.(2)求y=Asin(x+)，y=Acos (x+)的最小正周期易忽视的符号.[回扣问题4]设函数f(x)=Asin(x+)的图象关于x=对称，且最小正周期为，则y=f(x)的对称中心为________.陷阱盘点5 忽视解三角形中的细节问题致误利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在△ABC中，Asin Asin B.[回扣问题5]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c 若B=，a=1，b=，则c=________.陷阱盘点6 忽视零向量与向量的运算律致误当ab=0时，不一定得到ab，当ab 时，aab=cb，不能得到a=c，消去律不成立;(ab)c与a(bc)不一定相等，(ab)c与c 平行，而a(bc)与a平行.[回扣问题6]下列各命题：①若ab=0，则a、b中至少有一个为0;②若a0，ab=ac，则b=c;③对任意向量a、b、c，有(ab)ca(b④对任一向量a，有a2=|a|2.其中正确命题是________(填序号).陷阱盘点7 向量夹角范围不清解题失误设两个非零向量a，b，其夹角为，则：ab0是为锐角的必要非充分条件;当为钝角时，ab0，且a，b 不反向;ab0是为钝角的必要非充分条件.[回扣问题7]已知a=(，2)，b=(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是________.陷阱盘点8 混淆三角形的四心的向量表示形式致误①++=0P为△ABC的重心;②==P为△ABC的垂心;③向量(0)所在直线过△ABC的内心;④||=||=||P为△ABC的外心.[回扣问题8]若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC的形状为________.三角函数与平面向量专题检测的内容就是这些，更多精彩内容请持续关注查字典数学网。
江苏专版高考数学复习三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理
y＝2sin (1)由 y＝2cos
ωx， 得 sin ωx＝cos ωx， ωx
π ∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋4 (k∈Z). kπ π ∵ω>0，∴x＝ ＋ (k∈Z). ω 4ω
π 设距离最短的两个交点分别为(x1， y1 ) ， ( x2 ， y2)，不妨取 x1＝ ， 4ω
热点二 三角函数的性质
[命题角度1] 三角函数的性质及其应用
【例 2－1】 (1)(2015· 湖南卷)已知 ω>0，在函数 y＝2sin ωx 与 y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距 离为 2 3，则 ω＝________. (2)设函数 f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A>0，ω>0). π π π 2π 若 f (x)在区间6，2上具有单调性，且 f 2＝f 3 ＝ π －f 6，则 f (x)的最小正周期为________.
5π 答案 (1) 12
(2)1
探究提高 (1)对于三角函数图象的平移变换问题， 其平移变 换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变 量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数提取后再确定平 移的单位和方向. (2)已知图象求函数 y＝Asinωx＋φ(A＞0， ω＞0)的解析式时， 常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、 最低点或特殊点 求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的 五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图 象的升降找准第一个零点的位置.
π 3 4.(2017· 全国Ⅱ卷)函数 f (x)＝sin x＋ 3cos x－4x∈0， 2 的最大值是________.
[试卷+试卷]高中三年级学习数学专题复习 回扣三 三角函数与平面向量 文
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江苏省2016届高三数学专题复习 回扣三 三角函数与平面向量 文1．－15 [由|OP |＝5，得sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋cos α＝－15.] 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .] 3.12 [∵0＜α＜π2且cos α＝17＜cos π3＝12， ∴π3＜α＜π2，又0＜β＜π2， ∴π3＜α＋β＜π，又sin(α＋β)＝5314＜32， ∴2π3＜α＋β＜π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1114， sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.] 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z ) [由T ＝2πω＝π，得ω＝2， 所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)．∵y ＝f (x )的图象关于x ＝2π3对称，∴4π3＋φ＝32π， 且－π2＜φ＜π2，则φ＝π6，f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 令2x ＋π6＝k π，∴x ＝k π2－π12，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0(k ∈Z )．] 5．2 [由正弦定理，asin A ＝b sin B ， ∴sin A ＝a sin B b ＝12. 又a ＜b ，且B ＝π3， ∴0＜A ＜π3，则A ＝π6，从而C ＝π2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4，c ＝2.] 6．④7.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [由a·b ＝(λ，2λ)·(3λ，2)＝3λ2＋4λ＞0，得λ＞0或λ＜－43. 又a ＝k b ，得λ3λ＝2λ2，则λ＝13，因此〈a ，b 〉为锐角，应有λ＜－43或λ＞0且λ≠13.] 8．直角三角形回扣三 三角函数与平面向量陷阱盘点1 三角函数的定义理解不清致误三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定．[回扣问题1]已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．陷阱盘点2 求y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos (ωx ＋φ)的单调区间，忽视ω符号致错 ω＜0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．[回扣问题2]函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 陷阱盘点3 求三角函数值问题，忽视隐含条件对角的范围的制约导致增解[回扣问题3]已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0＜α＜π2，0＜β＜π2，则cos β＝________．陷阱盘点4 关于三角函数性质认识不足致误(1)三角函数图象的对称轴、对称中心不唯一．①函数y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )．②函数y ＝cos x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0(k ∈Z )，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )． ③函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，没有对称轴． (2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)的最小正周期易忽视ω的符号．[回扣问题4]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图象关于x ＝2π3对称，且最小正周期为π，则y ＝f (x )的对称中心为________．陷阱盘点5 忽视解三角形中的细节问题致误利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A ＞B ⇔sin A ＞sin B .[回扣问题5]△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若B ＝π3，a ＝1，b ＝3，则c ＝________．陷阱盘点6 忽视零向量与向量的运算律致误当a·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a·b ＝c·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a·b )c 与a (b·c )不一定相等，(a·b )c 与c 平行，而a (b·c )与a 平行．[回扣问题6]下列各命题：①若a·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a·b )c ≠a (b·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a|2. 其中正确命题是________(填序号)．陷阱盘点7 向量夹角范围不清解题失误设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： a·b ＞0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b ＜0，且a ，b 不反向；a·b ＜0是θ为钝角的必要非充分条件．[回扣问题7]已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．陷阱盘点8 混淆三角形的“四心”的向量表示形式致误①PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的垂心；③向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心； ④|PA →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．[回扣问题8]若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．。
【配套K12】江苏省2016届高三数学专题复习 专题二 三角函数与平面向量模拟演练 文
专题二 三角函数与平面向量经典模拟·演练卷一、填空题1．(2015·吉林实验中学三模)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为________．2．(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．3．(2015·苏州调研)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 4．(2015·德州模拟)已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．5．(2015·南昌调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．6．(2015·潍坊三模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________．7．(2015·郑州模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．8．(2015·邢台模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________．9．(2014·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．10．(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为______．二、解答题11．(2015·衡水中学调研)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos A ＝c cosB ＋b cosC .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，cos B ＋cos C ＝233，求边c .12．(2015·苏、锡、常、镇调研)如图所示，A ，B 分别是单位圆与x 轴、y 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP ＝θ(0<θ<π)，C 点坐标为(－2，0)，平行四边形OAQP 的面积为S .(1)求OA →·OQ →＋S 的最大值；(2)若CB ∥OP ，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6的值．13．(2015·淄博模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx －cos 2ωx －12(ω>0)，其图象两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值及f (x )的单调增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝7，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(3，sin B )共线，求a ，b 的值．经典模拟·演练卷1．1 [由a ⊥b ，知a ·b ＝0， ∴sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2.故sin 2θ＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋1tan 2θ＋1＝1.] 2．1 [根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6＝3π4，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.]3.17250 [∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.]4．1 [由BC →＝AC →－AB →且AP →⊥BC →，AP →＝λAB →＋AC →， ∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0. 因此AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，(*) 又〈AB →，AC →〉＝60°，|AB →|＝|AC →|＝2.故(*)式化为4－4λ＋(λ－1)×2×2cos 60°＝0，解之得λ＝1.] 5.332 [由c 2＝(a －b )2＋6得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，∴ab ＝6， ∴S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]6.6π5 [∵f (x )的图象关于直线x ＝π对称， ∴ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，则ω＝k ＋23，k ∈Z .又1<ω<2，因此取k ＝1，则ω＝53，所以f (x )的最小正周期T ＝2πω＝6π5.] 7．2 [依题意g (x )＝2sin(ωx )，∵y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，∴0≤ωx ≤πω4≤π2，则ω≤2，故ω的最大值为2.]8.π3 [由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴a 2－b 2＝c 2－3bc .又ac ＝b 2－a 2， ∴3bc ＝ac ＋c 2，即a ＝3b －c .由正弦定理，得sin A ＝3sin B －sin C ， 又sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－B ＝12cos B ＋32sin B ，从而12＝3sin B －12cos B －32sin B ＝32sin B －12cos B .∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，在△ABC 中，B －π6＝π6，则B ＝π3.]9．必要不充分 [φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D ⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．]10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 [因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.]11．解 (1)由正弦定理及3a cos A ＝c cos B ＋b cos C 得3sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C ) ∵B ＋C ＝π－A ，∴3sin A cos A ＝sin A . 又sin A >0，从而cos A ＝13.(2)∵A ∈(0，π)，cos A ＝13，∴sin A ＝223，又∵cos B ＋cos C ＝233，∴cos[π－(A ＋C )]＋cos C ＝233，整理得cos C ＋2sin C ＝3① 又sin 2C ＋cos 2C ＝1，② 由①，②联立，得sin C ＝63， 由asin A ＝c sin C ，得c ＝a sin C sin A＝23·63232＝3.12．解 (1)由已知，得A (1，0)，B (0，1)，P (cos θ，sin θ)， 因为四边形OAQP 是平行四边形，所以OQ →＝OA →＋OP →＝(1，0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)． 所以OA →·OQ →＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP 的面积为S ＝|OA →|·|OP →|sin θ＝sin θ，所以OA →·OQ →＋S ＝1＋cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1. 又0<θ<π，所以当θ＝π4时，OA →·OQ →＋S 的最大值为2＋1.(2)由题意，知CB →＝(2，1)，OP →＝(cos θ，sin θ)， 因为CB ∥OP ，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得sin θ＝55，cos θ＝255， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π6＝sin 2θcos π6－cos 2θsin π6＝45×32－35×12＝43－310.13．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx －1＋cos 2ωx 2－12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1. 因为函数图象两相邻对称轴间的距离为π2.∴f (x )的最小正周期T ＝π，又T ＝2π2ω，∴ω＝1，从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1， 因为0<C <π，所以－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，即C ＝π3，由已知m ∥n 可得sin B －3sin A ＝0， 在△ABC 中，由正弦定理得b －3a ＝0，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又已知c ＝7， 所以7＝a 2＋b 2－ab .② 由①②联立，解得a ＝1，b ＝3.。
2016版高考数学大二轮总复习增分策略 专题三 三角函数 解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象
第1讲 三角函数的图象与性质1．(2015·某某)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位2．(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 3．(2015·某某)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)4．(2015·某某)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式(1)三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α. (3)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12)(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos π2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值为________．思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________. 热点二 三角函数的图象及应用 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A A>0倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)(2015·某某省实验中学期中)已知函数y ＝3sin ωx (ω>0)的周期是π，将函数y ＝3cos(ωx －π2)(ω>0)的图象沿x 轴向右平移π8个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )A ．3sin(2x －π8)B ．3sin(2x －π4)C ．－3sin(2x ＋π8)D ．－3sin(2x ＋π4)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪演练2 (1)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小正值为( )A.16B.14C.13D.12(2)(2015·某某)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )C ．8D ．10热点三 三角函数的性质 (1)三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2015·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<|φ|<π2)为奇函数，且函数y ＝f (x )的图象的两相邻对称轴之间的距离为π2.(1)求f (π6)的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的单调递增区间．思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．1．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值X 围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12] D ．(0,2]2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM＝25，则A 的值为( ) A.833B.1633C ．8D ．163．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间[－π6，π3]上的值域．提醒：完成作业 专题三 第1讲二轮专题强化练专题三第1讲 三角函数的图象与性质A 组 专题通关1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z ) 2．为了得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π6个单位B ．向右平移5π6个单位C ．向左平移5π12个单位D ．向右平移5π12个单位3．已知函数f (x )＝cos 2π2x ＋3sin π2x cos π2x －2，则函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为( )A ．[－23，13]B ．[－1，12]C ．[13，1]D ．[－34，23]4．(2015·某某)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π65．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3B.2π3C.4π3D.π3或4π36．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值X 围是________．8．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π2]上是单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．9．(2015·某某)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．B 组 能力提高 11．将函数h (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数h (x )的图象( )A ．关于直线x ＝0对称B ．关于直线x ＝1对称C ．关于(1,0)点对称D ．关于(0,1)点对称12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f (x 0)＝3，x 0∈(π3，5π6)，则sin x 0的值为( )A.43－310 B.33＋410 C.43＋110 D.33＋31013．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．学生用书答案精析专题三 三角函数、解三角形与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质高考真题体验1．B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．] 2．D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4， ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z . 故选D.]3．A [由于f (x )的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6， 故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝12A ，f (2)＝A sin(4＋π6)，f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4， 又∵－π2<5π6－4<π6<4－7π6<π2， 其中f (2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫4－7π6. 又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.]4．2解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．热点分类突破例1 (1)A (2)－34解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )，则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)． (2)原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α. 根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34， ∴原式＝－34. 跟踪演练1 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos π4sin π4＝－1， 又sin 3π4>0，cos 3π4<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4. (2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45， ∴原式＝2sin αcos α＋2cos2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. 例2 (1)B (2)1解析 (1)由题意可知T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以y ＝3cos(ωx －π2)(ω>0)的解析式为y ＝3cos(2x －π2)＝3sin 2x ，再把图象沿x 轴向右平移π8个单位后得到 y ＝3sin 2(x －π8)＝3sin(2x －π4)． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6， 所以周期T ＝π，由ω＝2πT＝2. 又函数过点(π6，2)， 所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π， 所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)， 因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1. 跟踪演练2 (1)D (2)C解析 (2)由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8.例3 解 (1)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2[12sin(ωx ＋φ)＋32cos(ωx ＋φ)]＝2sin(ωx ＋φ＋π3)． 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝2sin(φ＋π3)＝0， 又0<|φ|<π2， 可得φ＝－π3， 所以f (x )＝2sin ωx ，由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2. 故f (x )＝2sin 2x .因此f (π6)＝2sin π3＝ 3.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到f (x －π6)的图象， 所以g (x )＝f (x －π6)＝2sin[2(x －π6)]＝2sin(2x －π3)． 当2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 即k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )时， g (x )单调递增，因此g (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )． 跟踪演练3 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ， 则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时， f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π4)＝1. 所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8， k ∈Z .高考押题精练1．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π4)，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )． 由题意，函数f (x )在(π2，π)上单调递减，故(π2，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )． 由4k ＋12<2k ＋54，解得k <38. 由ω>0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值X 围为[12，54]．] 2．B [由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M (a 2，－a 2)，由两点间距离公式得， PM ＝2－a 22＋a 22＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6， 由P (2,0)得φ＝－π3， 代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)， 从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8， 得A ＝163 3.]3．解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin(2x ＋π6)．所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin[2(x －π3)＋π6]＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x .当x ∈[－π6，π3]时，2x ∈[－π3，2π3]，可得cos 2x ∈[－12，1]，所以－33cos 2x ∈[－33，36]，即函数g (x )在区间[－π6，π3]上的值域是[－33，36]．二轮专题强化练答案精析专题三 三角函数、解三角形与平面向量第1讲 三角函数的图象与性质1．A [根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π. 故选A.] 2．C [y ＝cos(2x ＋π3) ＝sin[π2＋(2x ＋π3)] ＝sin(2x ＋5π6)＝sin[2(x ＋5π12)]， 因此，把y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位得到 y ＝cos(2x ＋π3)的图象．] 3．A [f (x )＝cos 2π2x ＋3sin π2x cos π2x －2＝1＋cos πx 2＋32sin πx －2＝32sin πx ＋12cos πx －32＝sin(πx ＋π6)－32，令－π2≤πx ＋π6≤π2， 解得x ∈[－23，13]．] 4．D [因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k1－k2π＋π2－φ.因为0<φ<π2， 所以0<π2－φ<π2， 故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3， 则φ＝π6， 故选D.]5．D [要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y ＝f (x )与函数y＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3.] 6．2＋3 解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6， 因此当πx 6－π3＝π2时， 函数y ＝2sin(πx 6－π3)取最大值， 即y max ＝2×1＝2，当πx 6－π3＝－π3时， 函数y ＝2sin(πx 6－π3)取最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3，因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.7．[－32，3] 解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]． 8．①④解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π6＋x ) ＝sin(π3－x )，所以其最小值为－1； 对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1； 对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π2]上单调递减； 对于④，由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α<0cos α－sin α<0⇒cos α<0， sin α>0，所以α一定为第二象限角． 9．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时， f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时， f (x )单调递减．综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 10．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . 11．D [依题意，将h (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位后得y ＝2sin[2(x －π4)＋π4]＋2，即f (x )＝2sin(2x －π4)＋2的图象， 又∵h (－x )＋f (x )＝2，∴函数f (x )的图象与函数h (x )的图象关于点(0,1)对称．]12．B [由图象知A ＝5，T 2＝4π3－π3＝π， ∴T ＝2π，∴ω＝2π2π＝1， 且1×π3＋φ＝π2，∴φ＝π6， ∴f (x )＝5sin(x ＋π6)． 由f (x 0)＝3，得sin(x 0＋π6)＝35， 即32sin x 0＋12cos x 0＝35，①又x 0∈(π3，5π6)， ∴x 0＋π6∈(π2，π)， ∴cos(x 0＋π6)＝－45， 即32cos x 0－12sin x 0＝－45，② 由①②解得sin x 0＝33＋410.] 13.22 解析 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，所以12|AB |＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2， 即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4， 解得ω＝π2. 所以f (x )＝sin πx 2， 所以f (12)＝sin π4＝22. 14．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2， 所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)． 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )． 故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )． (2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)， 又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3， 即sin(2x ＋π6)＝－12. 因为x ∈[a ，π3)， 所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)， 所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.。
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江苏省2016届高三数学专题复习 回扣三 三角函数与平面向量 文
n n n 3W 2k n + ，得 k n — 12W x <
V 夕且 cos a = 7 V cos 3
2
7 3
n
又 0V 3 V —,
+ 3 V n ，又 sin( a + 3 ) = ^V#,
2 n
T = = n
3
所以 f (x ) = A sin(2 X + 0 ).
4 n
3
T + 0 = 2n
，
1.— 5 [由 I OP = 5,得 sin a
4 5, cos
3
a
= 5，•
sin
a + cos a
1 5.]
2. k
7t
[y = sin j — 2x + n
=— sin )2x — n| .由
/• y = sin —2x + —的单调减区间为
,k € 乙]
n 1 2,
1
3.
[ T 0V a
• •• cos( a + 3 ) = — 11 — sin ( a + 3 )
11
14,
sin a =-J 1 — COS? a =
…cos 3 = COS[( a + =cos( a + 3 )cos a
+ sin( a + 3 )sin
•/ y = f (x )的图象关于
x =晋对称,
0 =n 6, f (x ) = A sin
2x +才
人
n
令 2x
+6 =
k
n
，
k n n
• x = W —石，
k
€ Z
，
4.
n 0
(k € Z)[由
因此y = f (x )的对称中心为
n c
12, 0 (k € Z).]
b
sin A sin B'
n
又a v b ，且B =
3
n —「 n , t 、 — n 222
••• 0v A v —，贝U A =否，从而 C =~2，二 c = a + b = 4, c = 2.]
6.④
7. —3— 4 U 0, 1 U 3,+m [由 a •b =（入，2 入）• （3 入，2） = 3 入 2 + 4 入 >0,得
4
入〉0或入v — 3.
］ 2 A 1 4
1 又a = kb ,得亍 =丁，贝U 入=云，因此〈a , b 〉为锐角，应有 Av —-或入〉0且入工-.］
3 A 2 3 3
3
&直角三角形
回扣三 三角函数与平面向量
陷阱盘点1三角函数的定义理解不清致误
三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 Rx , y )在终边上的位置无关，只
由角a 的终边位置决定.
［回扣问题1］已知角a 的终边经过点 P (3 , — 4)，贝y Sin a + cos a 的值为 _____________ .
陷阱盘点2 求y = A sin( 3 x + $ )与y = A cos ( 3 x + )的单调区间，忽视 w 符号致错
3 v 0时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧 度和角度
混用，需加 2k n 时，不要忘掉k € Z ,所求区间一般为闭区间.
a si n B 1 • sin
A- b = 2.
［回扣问题2］函数y = sin —2x + 亍的递减区间是
5. 2 ［由正弦定
理,
陷阱盘点3求三角函数值问题，忽视隐含条件对角的范围的制约导致增解
4］设函数 f (x ) = A si n( 3 x +0 )(A > 0, 3> 0,
0 < ~的图象关于 x =彳十对称，且最小正周期为
n ,则y =f (x )的对称中心为
2
丿 3
陷阱盘点5忽视解三角形中的细节问题致误
利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解•在△
ABC 中，A
> B ? sin A > sin B
［回扣问题5］ △ ABC 的内角A, B , C 所对的边分别为a , b , c 若B =|, a = 1, b = 3，则c
陷阱盘点6忽视零向量与向量的运算律致误
［回扣问题3］已知COS a
1
7, sin(
5.3 14，
n n ..
O v aV_2, 0<3<~2，贝U cos
陷阱盘点4关于三角函数性质认识不足致误 ⑴三角函数图象的对称轴、对称中心不唯一. ①函数 y = sin
n
的对称中心为(k n , 0)( k € Z)，对称轴为 x = k n+_2(k € Z). ②函数 y = cos
的对称中心为j k n + 2, 0 ( k € Z)，对称轴为x = k n ( k € Z).
③函数 y = tan
的对称中心为 k
2n
，0 (k € Z)，没有对称轴.
(2)求 y = A sin( 3 x + 0 ) , y =A cos ( 3 x + 0 )的最小正周期易忽视 3的符旦 号.
［回扣问题
当a •b = 0时，不一定得到 a 丄b ,当a ±b 时，a - b = 0； a •b = c •b ,不能得到a = c ,消 去律不成立；(a •b )c 与a (b •c )不一定相等，(a •b )c 与c 平行，而a (b •c )与a 平行.
［回扣问题6］下列各命题：①若 a ・b = 0,贝U a 、b 中至少有一个为 0;②若a 工0, a • b =
a • c ,贝U
b =
c ；③对任意向量 a 、b 、c ,有(a •b ) c 工a ( b ・c)；④对任一向量 a ,有a 2 = |a|
其中正确命题是 ________ (填序号).
陷阱盘点7向量夹角范围不清解题失误 设两个非零向量 a , b ,其夹角为B ,则：
a •
b >0是B 为锐角的必要非充分条件；当 B 为钝角时，a •b < 0,且a , b 不反向；a •b v 0是B 为
钝角的必要非充分条件.
［回扣问题7］已知a =(入，2入)，b = (3入，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，贝U 入的取值范 围是 ____________ .
陷阱盘点8混淆三角形的“四心”的向量表示形式致误 ① P A + P B+ PC= 0? P
ABC 的重心;
②PA- PB= P B- P C = P C - P A? PABC 的垂心;
④|PA = |P B | = | 丙？ PABC 的外心.
［回扣问题8］若0是厶ABC 所在平面内一点，且满足 | OB- S C = |血 2OA ，则△ ABC 的
形状为 _________ .
入丰0)所在直线过△ ABC 的内心;
③向量入。