极限求法
各种求极限方法
=
lim e 1 x2
çæ è
1 x
sin
x
-1÷ö ø
=
sin x - x 2
2
x
ö
÷
x -1ø
=
é
lim
x® +¥
êêêëççèæ1
+
x -1
1
x -1 2
÷÷øö
2
çæ1 + è
2
1ù
x
2 -
1
÷ö ø
2
ú ú úû
=
e2
例
6：(1) lim çæ1 x ® +¥ è
1 x2
x
ö ÷
；(2)已知
lim
æ ç
ø
x ® +¥ è
x + 2a ö x ÷
x-a ø
= 8 ，求 a 。
,
x®0
x2
(a >0).
【解】 a x = e xln a = 1 + x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) , 2
a -x = 1 - x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) ; 2
a x + a -x - 2 = x 2 ln 2 a + o( x 2 ).
x ®1
x -1
x®1
2．分子分母同除求极限
例
2：求极限
lim
x®¥
x3 - x2 3x3 +1
【说明】 ¥ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ¥
【解】 lim
x3
- x2
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求函数极限的八种方法
求函数极限的八种方法
常见的求函数极限的方法有八种：
1.定义域内求函数极限：在函数的定义域内直接计算函数值，即可得到函数的极限值。
2.不存在极限：若函数在某一点的极限不存在，则在该点处函数没有极限。
3.左右极限存在且相等：若函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则在该点处函数的
极限等于左右极限的值。
4.不等式法求极限：通过不等式将函数的上下界确定，从而确定函数的极限值。
5.函数的单调性求极限：通过函数的单调性可以确定函数在某一点处的极限值。
6.函数连续性求极限：通过函数的连续性可以确定函数在某一点处的极限值。
7.函数导数存在求极限：通过函数的导数存在性可以确定函数在某一点处的极限值。
8.无穷小量法求极限：通过考虑无穷小量对函数值的影响，可以确定函数在某一点处的极
限值。
这八种方法都可以用来求解函数的极限，但是在实际应用中，不同的方法适用于不同的情况。
例如，当函数的定义域内有足够的数据时，定义域内求函数极限是最直接的方法；如果函数在某一点处的左右极限都存在且相等，则可以直接使用左右极限的值作为函数在该点处的极限值；如果函数有明显的单调性或连续性，则可以利用这些性质来求解函数的极限；如果函数的导数存在，则可以利用导数的性质来求解函数的极限。
总之，求函数极限有许多方法，选择哪种方法取决于函数的性质和特点。
在实际应用中，应该根据函数的具体情况选择适当的方法，以得到最准确的结果。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。
时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1求lim( x 2 − 3x + 5).x→ 2解：lim( x 2 − 3x + 5) = lim x 2 − lim 3x + lim 5= (lim x) 2 − 3 lim x + lim 5= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx)' = 1 / (cosx)^2(x)' = 1原式= lim 1/(cosx)^2当x --> 0 时,cosx ---> 1原式= 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：①分子、分母为无穷小，即极限为0 ；②分子上取正弦的角必须与分母一样。
极限的六种求法
极限的六种求法1、代入法作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ如果自变量所趋近的值，能使函数有意义，就可以直接代入函数表达式中。
注：能使函数有意义，就是这个自变量在函数的定义域内。
【例】limx→2 x2x3 + 1− 2x + 3=( )。
2解：x2 − 2x + 3 = （x − 1）+ 2 ≥ 2 ≠ 0可见该函数的定义域是x3 + 1 R，所以可以直接将8 + 1x = 2 代入x3 + 1 。
x2 − 2x + 3limx→2 x2− 2x + 3 = limx→24 − 4 + 3= 3。
2、约公因子法如果自变量所趋近的值，使得函数没有意义。
可以考虑约公因子，将其约去。
因此经常运用因式分解。
【例】limx→3x2−x− 6x−3=( ) 。
解：这里发现，该函数的定义域为{x|x ≠ 3}。
如果x → 3，会使得函数没有意义。
因此考虑约公因子。
lim x→3x2−x−6x− 3= limx→3(x− 3)（x + 2）x− 3= lim(x + 2) = 5。
x→30 ⎩ x x x3、最高次幂法当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以使用最高次幂法求极限。
它的原理，就是分子分母同时除以自变量的最高次幂。
这样自变量趋近于无穷大时， 那些比最高次幂低的项，直接就变为 0 了。
最高次幂法也俗称抓大头。
a⎧ ，n = m ， a x m + a x m−1 + ⋯ + a⎪b 0lim 0 1 m = x→∞ b 0x n + b 1x n−1 + ⋯ + b n ⎨0，n > m ， ⎪∞，n < m 。
【 例 】10x 4 + 6x 3 − x 2 + 3( ) 。
1 limx→∞2x 4 − x 2 − 9x=首先，观察到函数是个分式的形式。
其次，分子跟分母的最高次幂都是 4；最后，求极限直接用最高次幂法，原式 = 10= 5。
2那么，不妨拿这个例子，验证一下最高次幂法的原理。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
求极限的方法
求极限的方法在数学中，求极限是一种重要的技巧，用于分析函数在某个点的行为。
下面介绍几种常见的求极限的方法。
1. 代入法：当函数在某个点处存在有限的定义时，可以直接将该点的值代入函数中得到极限值。
例如，求函数f(x) = 2x在x=3处的极限，可以将x=3代入函数中，得到f(3) = 2 * 3 = 6。
2. 因式分解法：当函数可以进行因式分解时，可以利用因式分解的性质来求解极限。
例如，求函数g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x = 2处的极限，可以先进行因式分解得到g(x) = (x + 2)，然后将x = 2代入函数中，得到g(2) = 2 + 2 = 4。
3. 夹逼定理：当函数的极限难以直接求解时，可以利用夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是找到两个函数，它们的极限分别趋近于所求极限，然后利用夹逼定理来得到所求极限的值。
例如，求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限，可以通过夹逼定理，将h(x)夹在函数i(x) = 1和函数j(x) = x之间，显然，i(x)和j(x)的极限分别为1和0，因此根据夹逼定理，h(x)的极限为1。
4. 泰勒展开法：当函数的极限无法通过以上方法求解时，可以利用泰勒展开来近似计算极限。
泰勒展开是将函数在某一点处展开成无穷项幂级数的形式，利用一定数量的项来近似原函数。
例如，求函数k(x) = e^x在x = 0处的极限，可以利用泰勒展开公式e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...，将x = 0代入泰勒展开公式中，得到k(0) = e^0 = 1。
以上是几种常见的求极限的方法，根据具体问题的不同，可以选用不同的方法来求解极限。
极限的求法总结
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 + 3 − x2 +1) x→+
lim (
x→+
x2 + 3 −
x2 +1) = lim ( x2 + 3 − x2 +1)( x2 + 3 +
x→+
x2 + 3 + x2 +1
= lim
− −
1) 1)
= lim x + 1 = 1 . x→1 x + 3 2
(消去零因子法)
4.无穷小因子分出法求极限
例
求
lim
x→
2x3 7x3
+ +
3x2 4x2
+ −
5 1
.
解
x
→
时,
分子,分母的极限都是无穷大.(
型
)
先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.
35
lim
x→
2x3 7x3
+ +
练习4
lim
x→
(2x
+1)4 (x −1)78 (x +1)82
=
lim
x→
x4
(2
+
1 x
)4
x 78
(1 −
x82
(1 +
)1 82
x
1 x
)78
= 24
= 16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
例
求
1
lim(
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-27.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin lim sin x x xx→-． 解 由于()s i n t a ns i n 1c os c o s xx x x x-=-，而 ()sin ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()33sin ~0x x x →故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x →，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin limlim 0sin sin x x x x x xx x→→--==， 则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→． 8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例1 求极限21cos limtan x xxπ→+．解 由于()2l i m 1c o s l i m t a n 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos lim tan x xxπ→+2s i nl i m 2t a n s e cx x x x π→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=． 8.利用定义求极限1．()()()000'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例1 求极限2222x x p p x q q→+-+-()0,0p q >>．分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x =则x → ()()()()000lim00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =p q=．9. 利用归结原则求极限归结原则设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例1求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．分析 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解 令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在10.利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nn f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．例1 求极限2240cos limx x x e x -→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224x x x x ο=-++，()22452128x x x ex ο-=-++，()2452cos 12x x x ex ο--=-+．因而求得()24524400cos 112limlim 12x x x x x x ex x ο-→→-+-==-．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例１证明()()211lim 212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有 ()()23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----， 取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ----61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1m i n ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有 ()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim 212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．。
极限的求法
极限的求法1、 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：lim x→x 0f (x )=A 的ε−δ定义是指：∀ε>0,∃δ=δ(0x ,ε)>0,0<|x −0x |<δ |f (x )−A |<ε为了求δ可先对x 0的邻域半径适当限制，如然后适当放大|f (x )−A |≤φ(x )(必然保证φ(x )为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≤|x −0x |+|0x +a|<|0x +a|+δ1或|x +a |=|(x −0x )+(0x +a)|≥|0x +a|−|x −0x |>|0x +a|−δ1 从φ(x )<δ2，求出δ2后，取δ=min (δ1,δ2)，当0<|x −0x |<δ时，就有|f (x )−A |<ε。
例：设lim n→∞x n =a 则有limn→∞x 1+x 2+...x nn=a 。
证明：因为lim n→∞x n =a ，对∀ε>0,∃N 1=N 1(ε)，当n >N 1时，|x n −a |<ε2于是当n >N 1时，|x 1+x 2+...+x nn−a|=|x 1+x 2+...+x n −na |n0<ε<1其中A =|x 1−a |+|x 2−a |+|x N 1−α|是一个定数，再由An <ε2，解得n >2A ε，故取N =max {N 1,[2Aε]}当n >N 时，|x 1+x 2+...+x nn−α|<ε2+ε2=ε。
2、 直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。
函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。
一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。
例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。
当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。
当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。
对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。
四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。
对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。
如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。
例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。
求极限的几种常用方法
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限，本例中当 时， ，表明 与1无限接近，但 ,所以 这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
?三、 分子(母)有理化求极限例:求极限 ??分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例：求极限30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11limx x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限两个重要的极限在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑，最后凑指数部分。
五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
例：求因为,,所以六、用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有：当时,，，等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。
此方法在各种求极限的方法中应作为首选。
例：例：求极限?七、利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。
如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。
也就说，极限号与可以互换顺序。
例：求令因为在点处连续所以八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。
洛必达法则只说明当也存在等于时，那么存在且等于。
如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。
高等数学求极限的各种方法
求极限的各种方法1.约去零因子求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近,但1≠x ,所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分子分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方;(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分子(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限,就是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外,及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应用两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
极限的求法(最新整理)
义！！！！）
8 各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数
9 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存 在的情况下， xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！！！！！对第一个而言是 X 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值 。 地 2 个就如果 x 趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式 （地 2 个实际上是 用于 函数是 1 的无穷的形式 ）（当底数是 1 的时候要特别注意可能是 用地 2 个重要极限）
3 泰勒公式 (含有 e 的 x 次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注 意 ！！！！） E 的 x 展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x 展开 对题目简化有很好帮助
4 面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则 最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单 ！！！！！！！！！！
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注 2 因为 从 的右边趋于 ,则
,故
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我总结的 16 种求极限的方法（你还能找出 其他的？
首先说下我的感觉， 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他的 皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所以
第一章求极限的十六种方法
假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0落笔他法则分为3中情况（1）0比0 无穷比无穷时候直接用（2）0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了（3）0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sin 展开cos 展开ln（1+x）展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。