2015年高考数学(理)押题精练【专题3】函数、基本初等函数的图象与性质
2015年高考数学(理)真题分项解析：专题03+导数
专题三 导数1.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111kf k k ->---，11()11f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k>，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．2.【2015高考陕西，理12】对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．1-是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值 D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A【解析】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+，因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以()()1013f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得：23b a c a =-⎧⎨=+⎩，因为点()2,8在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=，即()42238a a a +⨯-++=，解得：5a =，所以10b =-，8c =，所以()25108f x x x =-+，因为()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（ ）(A)[-32e ，1） (B)[-错误！未找到引用源。
精编2015年高考理科高中数学押题密卷(全国新课标ii卷)和答案
2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知集合A＝{x|x2－5x＋6≤0}，B＝{x||2x－1|＞3}，则集合A∩B＝（A）{x|2≤x≤3}（B）{x|2≤x＜3}（C）{x|2＜x≤3}（D）{x|－1＜x＜3}（2）1－i(1＋i)2＋1＋i(1－i)2＝（A）－1 （B）1 （C）－i （D）i（3）若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60︒，a ·(a ＋b )等于（A ）4（B ）6 （C ）2＋ 3（D ）4＋2 3（4）等比数列}{n a 的前321,2,4,a a a S n n 且项和为成等差数列，若a 1=1，则S 4为 （A ）7 （B ）8 （C ）16 （D ）15（5）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）8＋2 5 （B ）6＋2 5 （C ）8＋2 3（D ）6＋2 3（6）(x 2－ 1 x)6的展开式中的常数项为（A ）15 （B ）－15 （C ）20 （D ）－20（7）执行右边的程序框图，则输出的S 是 （A ）5040 （B ）4850 （C ）2450 （D ）2550（8）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋3，x ≤0，3－x ，x ＞0，则方程f (x )＋1＝0的实根个数为正视图侧视图俯视图（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0（9）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 1 4，则双曲线的离心率为 （A ）52（B ）233 （C ） 5 （D ）32（10）偶函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋2)为奇函数，且f (1)＝1，则f (89)＋f (90) 为（A ）－2 （B ）－1 （C ）0 （D ）1（11）某方便面厂为了促销，制作了3种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片， 集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面5袋，能获奖的概率为（A ）3181 （B ）3381 （C ）4881 （D ）5081（12）给出下列命题:○110.230.51log 32()3<<; ○2函数4()log 2sin f x x x =-有5个零点; ○3函数4()612-+-=ln x xf x x 的图像以5(5,)12为对称中心;○4已知a 、b 、m 、n 、x 、y 均为正数，且a ≠b ，若a 、m 、b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有m > n ，x <y ． 其中正确命题的个数是 （A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． （13）由直线x ＝1，y ＝1－x 及曲线y ＝e x 围成的封闭图形的面积为_________． （14）数列{a n }的通项公式a n ＝n sin n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 2 015＝__________.（15）已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a的值等于___________．（16）已知圆O : x 2＋y 2=8，点A (2，0) ，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为__________． 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知f (x )=sin (2x －56π)＋2cos 2x ． （Ⅰ）写出f (x )的对称中心的坐标和单增区间；（Ⅱ）△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，若f （A ）=0，b ＋c =2．求a 的最小值．（18）（本小题满分12分）某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X ，求X 的分布列和期望E (X )． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面＝4，点E BB 1C 1C ，BC ＝2 ，AB ＝BB 1＝2，∠BCC 1在棱BB 1上.（Ⅰ）求证：C 1B ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若BE ＝λBB 1，试确定λ的值，使得二面角A -C 1E -C 的余弦值为55.（20）（本小题满分12分）EACBC 1B 1A 1设抛物线y 2=4m x （m >0）的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1 、F 2为焦点，离心率e = 1 2的椭圆与抛物线的一个交点为2(3E ；自F 1引直线交抛物线于P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为M ，设11F P F Q λ=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若1[,1)2λ∈，求|PQ |的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知f (x )＝e x (x －a －1)－ x22＋ax ．（Ⅰ）讨论f (x )的单调性；（Ⅱ）若x ≥0时，f (x )＋4a ≥0，求正整数a 的值． 参考值：e 2≈7.389，e 3≈20.086请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，BC ＝8，AB ＝10，O 为BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边、AB 边分别交于点D 、E ，连结DE ．（Ⅰ）若BD ＝6，求线段DE 的长；（Ⅱ）过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ，证明：AF ＝EF ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C：x24＋y23＝1，直线l：⎩⎪⎨⎪⎧x＝－3＋3ty＝23＋t（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－1|．（Ⅰ）解不等式f(x)＋f(x＋4)≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f(b a)．理科数学参考答案 一、选择题：CABDA ACBBD DC 二、填空题：（13） e － 32；（14）1007；（15）－1；（16）4π． 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）化简得：f （x ）=cos （2x ＋π3）＋1 ……………………3分 对称中心为：ππ∈+()(,1)212k z k 单增区间为：ππππ∈--()2[,]36k z k k ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：ππ=++=+=-()cos(2)10cos(2)133f A A A70,2.333A A ππππ<<∴<+<23A ππ∴+=于是：3A π=………………………9分根据余弦定理：2222cos3a b c bc π=+-=24343()12b cbc +-≥-=当且仅当1b c ==时，a 取最小值1． ………………………12分（18）（Ⅰ）由题意可得列联表：因为k＝800(60×500－140×100)2160×640×200×600＝16.667＞10.828．……………………6分所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关．（Ⅱ）每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.375．将频率视为概率，即每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率为 38．由题意可知X~B(3，38)，从而X的分布列为E(X)＝np＝98．………………………12分（19）解：（Ⅰ）因为BC＝2，CC1＝BB1＝2，∠BCC1＝π4，在△BCC1中，由余弦定理，可求得C1B＝2，……………………2分所以C1B2＋BC2＝CC21，C1B⊥BC．又AB ⊥侧面BCC 1B 1，故AB ⊥BC 1， 又CB ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC ． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直， 以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系，则B (0，0，0)，A (0，2，0)，C (2 ，0，0)， C 1A →＝(0，2，－2 )，C 1E →＝C 1B →＋λBB 1→＝C 1B →＋λCC 1→＝(－2 λ，0，2 λ－2 )，设平面AC 1E 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·C 1A →＝0，m ·C 1E →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2 z ＝0，2 λx ＋(2 －2 λ)z ＝0，令z ＝2 ，取m ＝(2 (λ－1)λ，1，2 )，………9分又平面C 1EC 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝1___________√__________2(λ－1)2λ2＋3＝5 5，解得λ＝ 1 2．所以当λ＝ 1 2时，二面角A -C 1E -C 的余弦值为5.………………………12分（20）解： （Ⅰ）由题设，得：22424199a b += ①1a 2－b 2a ＝ 12②由①、②解得a 2＝4，b 2＝3， 椭圆的方程为22143x y +=易得抛物线的方程是：y 2＝4x ． …………………………4分 （Ⅱ）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2) 、M (x 1，－y 1) ， 由11F P F Q λ=得：y 1=λy 2 ○3 设直线PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，与抛物线的方程联立，得： 2440ky y k -+= ○* y 1 y 2＝4 ○4 y 1＋y 2＝4k○5 …………………………7分 由○3○4○5消去y 1，y 2得：224(1)k λλ=+ (8)分21||||PQ y y =-由方程○*得：||||PQ k =化简为：4241616||k PQ k -=，代入λ：4222222(1)(21)||16161(2)16PQ λλλλλλλ+++=-=-=++-∵ 1[,1)2λ∈，∴ 15(2，]2λλ+∈ …………………………11分 于是：2170||4PQ <≤那么：||(0,]2PQ ∈ …………………………12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝e x (x －a )－x ＋a ＝(x －a )(e x －1)， 由a ＞0，得：x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单增； x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单减； x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单增．所以，f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)；减区间为(0，a )． …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，x ≥0时，f min (x )＝f (a )＝－e a ＋a 22，所以f (x )＋4a ≥0，得e a －a 22－4a ≤0．…………7分令g (a )＝e a －a 22－4a ，则g '(a )＝e a －a －4；令h (a )＝e a －a －4，则h '(a )＝e a －1＞0，所以h (a )在(0，＋∞)上是增函数， 又h (1)＝e －5＜0，h (2)＝e 2－6＞0，所以∃a 0∈(1，2)使得h (a 0)＝0， 即a ∈(0，a 0)时，h (a )＜0，g '(a )＜0；a ∈(a 0，＋∞)时，h (a )＞0，g '(a )＞0， 所以g (a )在(0，a 0)上递减，在(a 0，＋∞)递增．又因为g (1)＝e － 1 2－4＜0，g (2)＝e 2－10＜0，g (3)＝e 3－ 9 2－12＞0，所以：a ＝1或2.…………12分（22）解：（Ⅰ）∵BD 是直径，∴∠DEB ＝90º，∴BE BD ＝BC AB ＝ 4 5，∵BD ＝6，∴BE ＝ 245， 在Rt△BDE 中，DE ＝BD 2－BE 2＝ 18 5．…………5分（Ⅱ）连结OE ，∵EF 为切线，∴∠OEF ＝90º， ∴∠AEF ＋∠OEB ＝90º，又∵∠C ＝90º，∴∠A ＋∠B ＝90º，又∵OE ＝OB ，∴∠OEB ＝∠B ， ∴∠AEF ＝∠A ，∴AE ＝EF ．…………10分（23）解：CAED O F（Ⅰ）C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ（θ为参数），l ：x －3y ＋9＝0．……………4分（Ⅱ）设P (2cos θ，3sin θ),则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92．由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝ 3 5，cos θ＝－ 45．故P (－ 8 5， 335)．……………10分（24）解：（Ⅰ）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－2x －2，x ≤－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ≥1．当x ＜－3时，由－2x －2≥8，解得x ≤－5； 当－3≤x ≤1时，f (x )≤8不成立； 当x ＞1时，由2x ＋2≥8，解得x ≥3．…………4分所以不等式f (x )≤4的解集为{x |x ≤－5，或x ≥3}．…………5分（Ⅱ）f (ab )＞|a |f ( ba)即|ab －1|＞|a －b |．…………6分因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |．故所证不等式成立．…………10分。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1.（2015安徽文、理）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+2.（2015安徽理）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <3、（2015北京文）下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln yx =D ．2xy -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.4.（2015北京理）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）AB Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.5. （2015北京理）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D. 考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解. 6．（2015福建文）下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x xy e e -=- 【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x xy e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性． 7．（2015福建理）下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D考点：函数的奇偶性．8.（2015广东文）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x=+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性． 9．（2015广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ． 【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．10. （2015湖北文）函数256()4||lg 3x x f x x x -+=-+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]UD ．(1,3)(3,6]-U 【答案】C .【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.11. （2015湖北文）设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D .【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.12. （2015湖北理）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.13．（2015湖北理）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.14、(2015湖南文、理)设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），函数的定义域为（-1，1），函数f （-x ）=ln （1-x ）-ln （1+x ）=-[ln （1+x ）-ln （1-x ）]=-f （x ），所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x=+=+-- ，已知在（0,1）上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.15、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14-16、(2015全国新课标Ⅰ卷文)设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）417．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．18．(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像19. (2015山东文)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C 【解析】试题分析：由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.20. (2015山东文)若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）（0,1） （D ）（1，+）【答案】C 【解析】试题分析：由题意()()f x f x =--，即2121,22x x xx a a--++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C.考点：1.函数的奇偶性；2.指数运算.21. (2015山东文) 设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b=( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D【解析】试题分析：由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D.考点：1.分段函数；2.函数与方程.22.(2015山东理)设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞【答案】C【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.23.(2015陕西文)设1,0()2,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值.24. (2015陕西文) 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B考点：函数的性质.25.(2015四川理)如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.26.(2015四川文)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k 和b 的准确值，而只需求出e b 和e 11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.27.(2015天津理)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-= 所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.28.(2015天津理)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.86422468151055101529. (2015天津文)已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.30. (2015天津文) 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A考点：函数与方程.31. (2015浙江理) 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+32、(2015浙江文)函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.33、(2015浙江文)设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 【答案】B 【解析】试题解析：因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念34. (2015重庆文) 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ） (A) [3,1]- (B) (3,1)-(C) (,3][1,)-∞-+∞U (D) (,3)(1,)-∞-+∞U 【答案】D【解析】试题分析：由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ； 故选D.考点：函数的定义域与二次不等式.二、填空1. (2015全国新课标Ⅰ卷理)若函数f (x )=x ln （x +2a x +）为偶函数，则a =【答案】1考点：函数的奇偶性2. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式3.（2015安徽文）=-+-1)21(2lg 225lg.【名师点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键.4.（2015安徽文）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .5、（2015北京文）32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】试题分析：31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>2log 5最大.考点：比较大小.6. （2015北京理）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥. 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）2015年5月1日 1235000 2015年5月15日48 35600 千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】B 【解析】 试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 考点：平均耗油量.8．（2015福建文）若函数()2() x afx a R-=∈满足(1)(1)f x f x+=-，且()f x在[,)m+∞单调递增，则实数m的最小值等于_______．【答案】1【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x+=-得函数()f x关于1x=对称，故1a=，则1()2xf x-=，由复合函数单调性得()f x在[1,)+∞递增，故1m≥，所以实数m的最小值等于1．考点：函数的图象与性质．9．（2015福建理）若函数()6,2,3log,2,ax xf xx x-+≤⎧=⎨+>⎩（0a>且1a≠）的值域是[)4,+∞，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．10.(2015湖北文)a为实数，函数2()||f x x ax=-在区间[0,1]上的最大值记为()g a. 当a=_________时，()g a的值最小.【答案】222-.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a的表达式和分段函数在区间上的最值求法.11、(2015湖南文)若函数f （x ）=| 2x -2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2考点：函数零点12.(2015湖南理)已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞Y .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.13. (2015江苏)不等式224x x-<的解集为________. 【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式14. (2015江苏)已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4考点：函数与方程15. (2015山东理)已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【答案】32-【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.16. (2015上海文)设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-17、(2015上海文、理)方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒= 【考点定位】解指对数不等式【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.18、(2015上海理)设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】419. (2015四川理)某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ο）满足函数关系b kx ey +=（Λ718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
2015届山东省高考压轴卷数学(理)Word版含解析
2015山东省高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.复数,则对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合b={2，3}，则()U C A B =（ ）A ．φB ． {1，2，3，4}C ． {2，3，4}D ． {0，11，2，3，4}3.已知全集集合2{|log (1)A x x =-},{|2}xB y y ==,则()U C A B = ( )A ．0-∞（，）B ．0,1]（C ．(,1)-∞D ．(1,2) 4.指数函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能的是5.曲线（为自然对数的底数）在点处的切线与轴、轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．6.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( ) A ． B ．C ．D ．7.取值范围是（）8.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的值而定9.已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A． B． C． D．10.已知函数f（x）=，则下列关于函数y=f[f（kx）+1]+1（k≠0）的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有4个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有3个零点C．无论k为何值，均有3个零点D．无论k为何值，均有4个零点二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．12.如图，在中，是边上一点，，则的长为13.已知实数x，y满足x>y>0，且x+y2，则的最小值为▲．14.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为____________.15.设函数的定义域分别为，且，若对于任意，都有，则称函数为在上的一个延拓函数．设，为在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数．给出以下命题：①当时，②函数g(x)有5个零点；③ 的解集为；④函数的极大值为1，极小值为-1;⑤ ，都有.其中正确的命题是________．（填上所有正确的命题序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．17.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥的底面为菱形，.（1）求证：;（II）求二面角的余弦值.18.(本题满分12分）甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)19.（本小题满分10分）已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）设，记是数列的前n项和，证明：。
高三数学(理科)押题精练：专题【3】《函数、基本初等函数的图象与性质》课件
g－2＝－x－2<0 2 即 ，∴－2<x< . 3 g2＝3x－2<0
热点二
函数的图象
10ln|x＋1| 例 2 (1)下列四个图象可能是函数 y＝ 图象的 x＋ 1 是( )
思维启迪 可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象 .
所以g(x)≥g(0)＝0； 当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－ 所以g(x)>g(0)＝0， 所以函数g(x)的最小值是0.
1 为单调增函数， x 2
1 为单调减函数， －x 2
本讲规律总结 1.判断函数单调性的常用方法 (1)能画出图象的一般用数形结合法去观察. (2) 由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的 函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题. (3)对于解析式较复杂的一般用导数法. (4)对于抽象函数一般用定义法.
难度较大．
3
图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；
主干知识梳理
1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函
数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定 义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符
解析
由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象
关于y轴对称， 故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，
1 5 所以 a＝f(－ )＝f( )， 2 2
当 x2>x1>1 时， [f(x2)－ f(x1)](x2－ x1)<0恒成立，等价于函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.选D. 答案 D
【名师伴你行】2015届高考数学二轮复习 函数、函数与方程及函数图象与性质提能专训
提能专训(二十一)函数、函数与方程及函数图象与性质A 组一、选择题1．(2014·某某七校联考)函数f (x )＝x ＋1ln(1－x )的定义域是( ) A ．(－1,1) B ．[－1,1) C ．[－1,1] D ．(－1,1] [答案] B[解析] 函数f (x )＝x ＋1ln(1－x )的定义域，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，1－x >0，解得－1≤x <1，故选B.2．(2014·某某综合测试一)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] [答案] D[解析]∵函数y ＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ，∴x 2＋ax ＋1≥0恒成立，∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.3．(2014·某某七校联考)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )[答案] C[解析] 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，当x <0时，3x－1<0，∴y ＝x 33x－1>0；当x >0时，y >0，又当x →＋∞时，y →0，∴故选C.4．(2014·某某中学三模)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，f (x )＝2x－12x＋a ，则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 由题意知，f (0)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝2x－12x －1.在同一坐标系中分别作出y ＝2x和y ＝12x ＋1的图象知，当x <0时，有一解，又f (x )为奇函数．∴x >0时，有一解，又f (0)＝0，∴f (x )的零点有3个．5．(2014·某某七校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么实数a 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 [答案] C[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1×1＋4a ≥log a 1，3a －1<0，0<a <1，则⎩⎪⎨⎪⎧7a ≥1，3a <1，0<a <1，∴17≤a <13，故选C. 6．(2014·乌鲁木齐二诊)已知函数y ＝f (2x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] B[解析]∵y ＝f (2x )＋x 是偶函数， ∴f (－2x )＋(－x )＝f (2x )＋x ，∴f (－2x )＝f (2x )＋2x ，令x ＝1，f (－2)＝f (2)＋2＝3，故选B.7．(2014·某某适应性考试)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2 014)等于( )A ．0B ．3C ．4D ．6 [答案] A[解析] 依题意，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，即2f (2)＝f (2)，f (2)＝0，f (x ＋4)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数；注意到2 014＝4×503＋2，因此f (2 014)＝f (2)＝0，故选A.8．(2014·某某一中等四校联考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )[答案] B[解析] 因为函数f (－x )＝－x ln|－x ||－x |＝－x ln|x ||x |＝－f (x )， 所以函数y ＝x ln|x ||x |是奇函数，排除选项A 和选项C. 当x >0时，y ＝x ln|x ||x |＝ln x 在区间(0，＋∞)上是增函数，故选B. 9．(2014·某某一模)在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a ，b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a ，b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0)．关于函数f (x )＝(e x)*1e x 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]．其中所有正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] 由题意可知，f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋e x ＋1e x ＝e x＋1e x ＋1.所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2，故f (x )≥2＋1＝3，当且仅当x ＝0时“＝”成立，知①正确；由f (－x )＝e －x ＋1e －x ＋1＝e x＋1ex ＋1＝f (x )，故f (x )是偶函数，知②正确；由f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋1′＝e x －1e x ＝e 2x －1e x ，令f ′(x )>0，即e 2x－1>0，故x >0，知③不正确．综上，知选C.二、填空题10．(2014·西城区期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，4x，x ≤0，则f (f (－1))＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值X 围是________．[答案] －2 (0,1][解析]f (f (－1))＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值X 围为(0,1]．11．(2014·某某考试院抽测)已知t >－1，当x ∈[－t ，t ＋2]时，函数y ＝(x －4)|x |的最小值为－4，则t 的取值X 围________．[答案] [0,22－2][解析] 函数y ＝(x －4)|x |可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ∈[0，＋∞，－x 2＋4x ，x ∈－∞，0，其图象如图所示，当y ＝－4时，x ＝2或x ＝2－22，要满足当x ∈[－t ，t ＋2]时，函数y ＝(x －4)|x |的最小值为－4，则2－22≤－t ≤2≤t ＋2，因此可得t 的取值X 围是[0,22－2]．12．(2014·某某、某某联考)函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间[1,2 013]内这样的企盼数共有________个．[答案] 9[解析]∵log n ＋1(n ＋2)＝ln n ＋2ln n ＋1，∴f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝ln 3ln 2·ln 4ln 3·ln 5ln 4·…·ln k ＋2ln k ＋1＝ln k ＋2ln 2＝log 2(k ＋2)．∵1 024＝210,2 048＝211，且log 24＝2，∴在区间[1,2 013]内使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数有10－1＝9个． 13．(2014·某某质检)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f x；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f (2)，f (3)从小到大的关系是________．[答案]f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2) [解析] 由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1fx ＋1＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2. 因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；根据③可知函数f (x )在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1,2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1,2]上，1<32<2，所以f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)，即f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f (2)． 14．(2014·某某一模)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值X 围是________．[答案]⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e[解析] 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e.15．(2014·某某质检)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2 013)＋f (－2 014)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数； ③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点； ④函数f (x )的值域为(－1,1)． 其中正确命题的序号有________． [答案]①③④[解析] 当x ∈[1,2)时，x －1∈[0,1)，f (x )＝－f (x －1)＝－log 2x ，且x ≥0时，f (x )＝f (x ＋2)，f (x )又是R 上的偶函数．作出函数f (x )的部分图象如图，由图可知，②错误，③④都正确，f (2 013)＝f (1)＝－f (0)＝0，f (2 014)＝f (0)＝0，所以f (2 013)＋f (－2 014)＝0，①正确，故正确的命题序号是①③④.B 组一、选择题1．(2014·某某一模)已知f (x )＝(x －a )(x －b )(a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] 由f (x )＝(x －a )(x －b )(a >b )的图象知，0<a <1，b <－1，则g (x )＝a x＋b 的图象是下降的，且x ＝0时，g (0)＝1＋b <0，因此应选A.2．(2014·某某七校一联)函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12 014＝2013，则f (lg 2 014)＝( )A ．2 018B ．－2 009C ．2 013D ．－2 013 [答案] C[解析] 因为函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23＋4(a ，b ∈R )为偶函数，2 013＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12 014＝f (－lg 2 014)＝f (lg 2 014)．3．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值X围是( )A ．(0，π) B．(－π，π) C ．(lg π，1) D ．(π，10) [答案] D[解析] 作出函数f (x )的图象，由图象可得若方程f (x )＝m 有五个不等的实数根，则lg π<m <1，不防设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5，则x 1＝－x 4，x 2＝－x 3，π<x 5<10，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 5∈(π，10)，故选D.4．(2014·某某第一中学第三次调研)已知函数f (x )的图象向右平移a (a >0)个单位后关于x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c [答案] D[解析] 由题意知，f (x )的图象关于x ＝1对称，又x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，表明函数在(1，＋∞)单调递减，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，而e>52>2>1，所以f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (2)，即c <a <b ，故选D.5．(2014·某某测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，ln x ，x >0.若函数y ＝|f (x )|－k (x ＋e 2)的零点恰有四个，则实数k 的值为( )A ．e B.1eC ．e 2D.1e 2[答案] D[解析] 在坐标平面内画出函数y ＝|f (x )|的大致图象与直线y ＝k (x ＋e 2)，结合图象可知，要使函数y ＝|f (x )|－k (x ＋e 2)的零点恰有四个，只要直线y ＝k (x ＋e 2)与曲线y ＝ln x (x >1)相切且k e 2≤2.设相应的切点坐标是(x 0，y 0)，于是有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1x 0，ln x 0＝k x 0＋e 2，即有x 0＝1k，－ln k ＝1＋k e 2，k e 2＋ln k ＝－1.记g (k )＝k e 2＋ln k ，注意到函数g (k )在(0，＋∞)上是增函数，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝－1，因此k ＝1e 2，满足条件，故选D. 6．(2014·东北三省联合模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ＋1，－1≤x ≤k ，x 3－3x ＋2，k <x ≤a ，若存在k 使得函数f (x )的值域是[0,2]，则实数a 的取值X 围是( )A ．[3，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3C ．(0， 3 ]D ．{2} [答案]B[解析] 作出函数y ＝log 2(1－x )＋1和y ＝x 3－3x ＋2的部分图象如图所示，要使函数值域是[0,2]，则存在－1<k <12时，1≤a ≤3；若存在k ＝12，则12<a ≤ 3.综上，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，3，故选B.7．(2014·某某十校联考)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长是1，点E 是对角线AC 1上一动点，记AE ＝x (0<x <3)，过点E 平行于平面A 1BD 的截面将正方体分成两部分，其中点A 所在的部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为( )[答案] D[解析] 由题意知，函数y ＝V (x )开始增长速度较慢，当底面为△A 1BD 时，增长的速度加快，到后来逐渐减慢，适应这一变化规律的图象D 适合．8．(2014·某某调研)已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值X 围是( )A ．[23，＋∞) B．(23，＋∞) C ．[4，＋∞) D．(4，＋∞) [答案] D[解析]∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.9．(2014·某某一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 014x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值X 围是( ) A ．(1,2 014) B ．(1,2 015) C ．(2,2 015) D ．[2,2 015] [答案] C[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 014x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知，a ＋b ＝1，而1<c <2 014.所以2<a ＋b ＋c <2 015，故选C. 10．(2014·某某揭阳学业考试)已知f (x )＝2x 2＋px ＋q ，g (x )＝x ＋4x是定义在集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1≤x ≤52上的两个函数．对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)．则函数f (x )在集合M 上的最大值为( )A.92B ．4 C ．6 D.892[答案] C[解析] 函数g (x )＝x ＋4x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52上的最小值为4，最大值为5，对任意的x ∈M ，存在常数x 0∈M ，使得g (x )≥g (x 0)，则g (x 0)＝g (x )min ＝4，此时x 0＝2，根据题意知，f (x )min ＝f (2)＝4，即二次函数f (x )＝2x 2＋px ＋q 的顶点坐标为(2,4)，因此－p4＝2，p ＝－8，f (2)＝2×22－2×8＋q ＝q －8＝4，q ＝12，∴f (x )＝2x 2－8x ＋12＝2(x －2)2＋4，因此函数f (x )在集合M 上的最大值为f (x )max ＝f (1)＝6，故选C.二、填空题11．(2014·某某十校联考)设f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值X 围是________．[答案]⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32[解析] 由题意知，f (x )＝2|x |，所以f (x ＋a )≥f 2(x )等价于2|x ＋a |≥2|2x |，等价于|x ＋a |≥|2x |，平方得3x 2－2ax －a 2≤0，即(x －a )(3x ＋a )≤0在x ∈[a ，a ＋2]上恒成立，等价于[a ，a ＋2]是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a3，a 或⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，－a 3的一个子区间．(1)当a >0时，[a ，a ＋2]不是[－a3，a ]的一个子区间，所以a >0不合题意．(2)当a <0时，[a ，a ＋2]是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，－a 3的一个子区间，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ＋2≤－a 3，解得a ≤－32.综上，a ≤－32.12．(2014·某某质量预测)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值X 围是________．[答案]⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12[解析]∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根．又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1＝－2b 3a，－1×1＝c3a.∴b ＝0，c ＝－3a .∴f (x )＝ax 3－3ax .∵3a (f (x ))2＋2b (f (x ))＋c ＝0，∴3a (f (x ))2－3a ＝0. ∴f 2(x )＝1.∴f (x )＝±1. ∵方程恰有6个不同的实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1>1，f －1<－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －3a >1，－a ＋3a <－1.∴a <－12.13．(2014·某某三市调研)已知g (x )＝－x 2－4，f (x )为二次函数，满足f (x )＋g (x )＋f (－x )＋g (－x )＝0，且f (x )在[－1,2]上的最大值为7，则f (x )＝________.[答案]x 2－2x ＋4或x 2－12x ＋4[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意可得f (x )＋g (x )＋f (－x )＋g (－x )＝2ax 2＋2c －2x 2－8＝0，得a ＝1，c ＝4.显然二次函数f (x )在区间[－1,2]上的最大值只能在x ＝－1或x ＝2时取得．当x ＝－1时函数取得最大值7，解得b ＝－2；当x ＝2时函数取得最大值7，解得b ＝－12，所以f (x )＝x 2－2x ＋4或f (x )＝x 2－12x ＋4.14．(2014·某某长宁区质检)已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2－15x 35的展开式中的常数项为T ，f (x )是以T 为周期的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值X 围是________．[答案]⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14[解析]T k ＋1＝C k5(x 2)5－k·⎝⎛⎭⎪⎫－15x 3k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15k C k 5x 10－5k， 常数项为10－5k ＝0，即k ＝2，所以T 3＝⎝⎛⎭⎪⎫－152C 25＝2.函数f (x )是周期为2的偶函数，其图象如图所示．函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，说明函数y ＝f (x )与直线y ＝kx ＋k 有四个交点，直线y ＝kx ＋k 是过定点(－1,0)的直线．如图可知当直线y ＝kx ＋k 为图中直线l 位置时符合题意，当直线y ＝kx ＋k 过点A (3,1)时，k ＝14，故满足条件k 的X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14. 15．(2014·某某诊断)f (x )是定义在D 上的函数，若存在区间[m ，n ]⊆D ，使函数f (x )在[m ，n ]上的值域恰为[km ，kn ]，则称函数f (x )是k 型函数．给出下列说法：①f (x )＝3－4x不可能是k 型函数；②若函数y ＝a 2＋a x －1a 2x (a ≠0)是1型函数，则n －m 的最大值为233； ③若函数y ＝－12x 2＋x 是3型函数，则m ＝－4，n ＝0；④设函数f (x )＝x 3＋2x 2＋x (x ≤0)是k 型函数，则k 的最小值为49.其中正确的说法为________．(填入所有正确说法的序号) [答案]②③[解析] 对于①，注意到函数f (x )＝3－4x 在[2,4]上的值域是[1,2]＝12×2，12×4，因此函数f (x )＝3－4x 可能是k 型函数，故①不正确；对于②，依题意得函数y ＝a 2＋ax －1a 2x＝a 2＋a a 2－1a 2x，存在区间[m ，n ]，使函数y ＝a 2＋a a 2－1a 2x 在[m ，n ]上的值域恰为[m ，n ]，注意到函数y ＝a 2＋a a 2－1a 2x在区间[m ，n ]上是增函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a a 2－1a 2m＝m ，a 2＋a a 2－1a 2n ＝n ，因此m ，n 是关于x 的方程a 2＋a x －1a 2x＝x ，即a 2x 2－(a 2＋a )x ＋1＝0的两个不等的实根，则m ＋n ＝a 2＋a a 2，mn ＝1a2，从而n －m ＝n ＋m2－4mn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2－4a 2＝－3a 2＋2a＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －132＋43的最大值是43＝233，因此②正确；对于③，依题意得存在区间[m ，n ]，使得函数y ＝－12x 2＋x 在区间[m ，n ]上的值域是[3m,3n ]，注意到y ＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，因此3n ≤12，n ≤16，函数y ＝－12x 2＋x 在区间[m ，n ]上是增函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝3m ，－12n 2＋n ＝3n ，即m ，n 是方程－12x 2＋x ＝3x 的两个实根－4，0，又m <n ，因此m ＝－4，n ＝0，故③正确；对于④，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝(3x ＋1)(x ＋1)，若－13<x <0，则f ′(x )>0；若－1<x <－13，则f ′(x )<0，函数f (x )＝x 3＋2x 2＋x (x ≤0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13上是减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－427，f (－1)＝f (0)＝0，因此当x ∈[－1,0]时，f (x )相应的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－427，0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤427×－1，427×0，注意到427<49，因此④不正确．综上，其中正确的说法为②③.。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练3-3《三角函数的图象与性质》
1. [2012·山东高考]函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. 2－ 3B. 0C. －1D. －1－ 3解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴y ∈[－3，2]，∴最大值与最小值之和为2－ 3. 答案：A2. [2014·唐山模拟]直线x ＝π3，x ＝π2都是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ≤π)的对称轴，且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则( ) A. ω＝6，φ＝π2B. ω＝6，φ＝－π2C. ω＝3，φ＝π2D. ω＝3，φ＝－π2解析：∵x ＝π3，x ＝π2均为函数的对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， ∴T 2＝π2－π3＝π6，∴T ＝π3. 由T ＝π3＝2πω，得ω＝6，∵函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1. 代入函数可得sin φ＝1，sin(π＋φ)＝－1， 又φ∈(－π，π]，∴φ＝π2.故选A. 答案：A3. [2012·大纲全国卷]若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π]) 是偶函数，则φ＝( )A. π2B. 2π3C. 3π2D. 5π3解析：∵f (x )为偶函数，关于y 轴对称，x ＝0为其对称轴． ∴x ＋φ3＝π2＋k π，令x ＝0，φ＝3k π＋32π，当k ＝0时，φ＝32π，选C 项． 答案：C4. [2014·海淀模拟]同时具有下列性质：“①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π3]上是增函数”的函数可以是( )A. f (x )＝sin(x 2＋π6)B. f (x )＝sin(2x －π6)C. f (x )＝cos(2x ＋π3)D. f (x )＝cos(2x －π6)解析：依题意，知满足条件的函数的最小正周期是π，以x ＝π3为对称轴，且在[－π6，π3]上是增函数．对于A ，其周期为4π，因此不正确；对于C ，f (π3)＝－1，但该函数在[－π6，π3]上不是增函数，因此C 不正确；对于D ，f (π3)≠±1，因此D 不正确． 答案：B5. [2014·郑州调研]若函数y ＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A. 2B. 12C. 3D. 13解析：由y ＝2cos ωx 在[0，23π]上是递减的，且有最小值为1，则有f (23π)＝1，即2×cos(ω×23π)＝1⇒cos(2π3ω)＝12.检验各数据，得出B 项符合．答案：B。
2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——函数(共29张PPT)
∴ab＝2b∈(20，
2
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]＝(1，
2]，故应选 A.
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5．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，
f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点
的个数为
得最小值 b，则函数 g(x)＝1a|x＋b|的图象为
()
解析
由基本不等式得
f(x)
＝
x
＋
1
＋
9 x＋1
－
5≥2 x＋1×x＋9 1－5＝1，当且仅当 x＋1＝x＋9 1，
即 x＝2 时取得最小值 1，故 a＝2，b＝1，
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B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
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(C )
解析
由已知得l2oxg＋11>20x，＋1≠0，
2
∴x>－12， 2x＋1≠1，
即 x>－12且 x≠0，∴选 C.
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2．已知函数 f(x)＝x－4＋x＋9 1，x∈(0,4)，当 x＝a 时，f(x)取
A组 专项基础训练
2015新课标1高考压轴卷 数学(理) Word版
2015新课标1高考压轴卷理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的.1．已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ，(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤= A ．0.954 B ．0.977 C ．0.488 D ．0.4772．对任意复数),(R y x yi x z ∈+=，i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） .A y z z 2=- .B 222y x z += .C x z z 2≥- .D y x z +≤ 3.已知映射B A f →:,其中R B A ==，对应法则21||:x y x f =→，若对实数B k ∈，在集合A 中不存在元素x 使得k x f →:，则k 的取值范围是（ ） A ．0≤k B ．0>k C ．0≥k D ． 0<k4.已知函数()()ϕ+=x sin x f 2错误！未找到引用源。
，其中错误！未找到引用源。
为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 错误！未找到引用源。
对错误！未找到引用源。
恒成立， 且 ()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的单调递增区间是 A．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππ错误！未找到引用源。
B ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππ D ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ2错误！未找到引用源。
5．如图，已知圆22:(3)(3)4M x y -+-=，四边形 ABCD 为圆M 的内接正方形，E F 、分别为边AB AD 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，ME OF ⋅的取值范围是 （ ）A．[-B ．[6,6]- C．[-D ．[4,4]-6.在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为,a b .则方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为B A .12B .1532C .1732D .31327、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以yOz 平面为投影面的正视图的面积为（ ）A ．3B ．25 C ．2 D ．278、阅读程序框图，若输入m =4，n =6，，则输出a ，i 分别是（ ） A ．12,3a i == B ．12,4a i == C ．8,3a i == D ．8,4a i ==9、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为654321,,,,,a a a a a a ， 若对任意的)6,5,4,3,2(=ia i 总有)5,4,3,2,1(=<k i k a k ，满足,1||=-k i a a 则这样的排列共有（ ）A ．36B ．32C ．28D ．2010. 过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长1FM 交曲线23:2(0)C y px p =>于点N ，其中13C C 、有一个共同的焦点，若1MF MN=，则曲线1C 的离心率为11D.1211、若实数a ，b ，c ，d 满足222(3ln )(2)0b a a c d +-+-+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（B ） AB ．９C ．８D ．212．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x xx x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是 （ ）A ．2-<b 且0>cB ．2->b 且0<cC ．2-<b 且0=cD ．2-≥b 且0=c 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13已知nxi x)(2-的展开式中第三项与第五项的系数之比为143-，其中12-=i ，则展开式中常数项是______________.14.当x ，y 满足时，则t=x ﹣2y 的最小值是15.已知12,l l 是曲线1:C y x=的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为_____. 16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为___.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.18.如图，在三棱柱错误！未找到引用源。
专题03 基本初等函数—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.
14.【2015 高考浙江，理 18】已知函数 f (x) x2 ax b(a,b R) ，记 M (a,b) 是| f (x) |
在区间 [1,1] 上的最大值.
（1）证明：当| a | 2 时， M (a,b) 2 ；
1.【2017 北京，理 5】已知函数 f (x) 3x (1)x ，则 f (x) 3
（A）是奇函数，且在 R 上是增函数（B）是偶函数，且在 R 上是增函数 （C）是奇函数，且在 R 上是减函数 （D）是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】
试题分析：
f
x
3 x
1 3
x
1 x 3
数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否
属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一
些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将
大大缩短我们的判断过程．
12.【2015
高考福建，理
14】若函数
5.【2015
高考新课标
2，理
5】设函数
f
(x)
1 log2 (2 2x1, x 1,
x), x
1,
,
f
(2)
f
(log2 12)
()
A．3 B．6
C．9 D．12
【答案】C
【 解 析 】 由 已 知 得 f (2) 1 log2 4 3 ， 又 log2 12 1 ， 所 以
f (log2 12) 2log2121 2log2 6 6 ，故 f (2) f (log2 12) 9 ，故选 C．
2015年新课标高考数学（理）押题卷及答案
2015年新课标高考模拟试卷（理科数学）---命题人:毋晓迪第I 卷一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={|2x x ³}，下图中阴影部分所表示的集合为阴影部分所表示的集合为 A ．{0，1，2} B ．{1，2} C ．{1} C ．{0，1} 2．复数321iz i i=-+，在复平面上对应的点位于，在复平面上对应的点位于A ．第一象限．第一象限B ．第二象限．第二象限C ．第二象限．第二象限D ．第四象限．第四象限3．若13sin cos ,(0,)2a a a p -+=Î，则tan a = （ ） A ．3 B ．3- C ．33 D ．33-4．已知命题:,p x R $Î使得12,x x+<命题2:,10q x R x x "Î++>，下列命题为真的是，下列命题为真的是A ．p Ù q B ．（)p q ØÙC ．()p q ÙØ D ．()()p q ØÙØ5．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．43B ．83C ．123D ．2436．已知△ABC 中，C=45°，则sin 2A=sin 2B 一2sinAsinB=（ ） A ．14 B ．12 C ．22D ．34 7．如图是计算函数ln(),2,0,23,2,3x x x y x x ì-£-ï=-<£íï>î的值的程序框图，在①、②、③ 处分别应填入的是处分别应填入的是A ．y=ln （一x ），y=0，y=2x B ．y=0，y=2x ，y=In （一x ）C ．y=ln （一x ），y=2z，y=0 D ．y=0，y=ln （一x ），y=2x 8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足满足 （a-c ）·（b 一c ）=0，则|c|的最大值是的最大值是A ．1 B ．22C ．2 D ．29．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的表面积为（表面积为（ ）A ．16p B ．24p C ．323p D ．48p10．在二项式（3)n x x+的展开式中，各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N ，且M+N=72，则展开式中常数项的值为( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6 11．已知函数()s i n c o s (0)f x x x w ww =+>，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2012)f x f x f x ££+成立，则w 的最小值为（的最小值为（ ）A ．12012B ．2012pC ．14024D ．4024p12．过双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的右顶点A 作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为A ．3B ．5C ．10D ．13第II 卷二、填空题（每道题5分，共20分）分）13．已知函数490,10,33x y x y x y z x y y +-³ìï--£=-íï£î满足则的最大值是的最大值是。
2015山东高考押题卷数学理
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学（押题卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1、答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上．3、第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅． 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数121iz i+=-（i 是虚数单位）的共轭复数z 表示的点在A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．2．已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=，则A ． ()24-，B ． [)24-，C ． ()02，D ． (]02，3．平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r a <不与任何一条平行线相碰的概率是A ．a ra - B ．2a ra- C ．22a ra- D ．2a r a +4．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是()31.21A f x x x =-- ()31.21B f x x x =+-()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =--- 5．下列说法不正确的是A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥”C ．“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．当0α<时，幂函数()0,y x α=+∞在上单调递减6．执行如图所示的程序框图，输出的T= A ．29B ．44C ．52D ．627．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是 A ． 12x π=-B ． 12x π=C ． 3x π=D ． 23x π=8．变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是 A ． 3k <-B ． 1k >C ． 31k -<<D ． 11k -<<9．函数y =为该等比数列公比的是 A ．34B ．C ．D ．10．已知函数()3111,0,36221,,112x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪+⎝⎦⎩，函数()()si n 220,6g x a x a a π⎛⎫=-+>⎪⎝⎭若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0y -=平行，则双曲线的离心率为 ．12．市内某公共汽车站6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是 ．13．已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y rr +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB r =+=，则uuu r uu r uu u r______．15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A B k k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．其中真命题的序号为________．（将所有真命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．17． （本小题满分12分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中 两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．18． （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1,CC BC 的中点，11AE A B D ⊥，为棱11A B 上的点．（I ）证明：DF AE ⊥；（II ）已知存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为，请说明点D 的位置．19． （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为()2,2,n n S S n n n N *=+∈且． （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N **==+∈==∈，等差数列{}nc 的任一项n c A B ∈⋂，其中1c 是A B ⋂中的最小数，10110115c <<，求数列{}n c 的通项公式．20．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C：22221(1)x y a b e a b +==＞≥的离心率,且椭圆C 上一点N 到点Q （0，3）的距离最大值为4，过点M （3,0）的直线交椭圆C 于点A 、B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB t 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数，e ＝2．71828…）． (Ⅰ)当e a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有222221212121en n ⨯⨯⨯>+++．2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学（押题卷１）参考答案一．选择题 CBAAC,ADCDB（1）【答案】C ，解：分母实数化乘以它的共扼复数1+i,()()()()12i 1i 12i 13i 13i 1i 1i 1i 222Z +++-+====-+--+,Z ∴的共扼复数为13i 22Z -=--，它表示的点为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限．（2）【答案】B ．解:(0,4),[2,2],[2,4)M N MN ==-∴=-．（3）【答案】A ．解:抓圆心的位置,圆心到两平行线距离小于r 即可,故选A ．（4）【答案】 A ，解:根据定义域排除C 根据1,,2x x y →+∞→（从左侧）的变化趋势分别排除B 、D 选A ．（5）【答案】 C 解：A ．若“p 且q ”为假，则p 、q 至少有一个是假命题，正确；B ．命题“x R ∃∈，210x x --<”的否定是“x R ∀∈，210x x --≥”，正确；C ．“2πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ．0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上单调递减，正确．故选：C （6）【答案】 A ，解：执行程序框图，有S=3，n=1，T=2， 不满足条件T ＞2S ，S=6，n=2，T=8， 不满足条件T ＞2S ，S=9，n=3，T=17， 不满足条件T ＞2S ，S=12，n=4，T=29，满足条件T ＞2S ，退出循环，输出T 的值为29．故选：A ．（7）【答案】 D ，解：将函数()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍得函数()1πs i n 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,其对称轴方程为1ππ2ππ,2π()2623x k x k k +=+∴=+∈Z ， 故选D ．（8）【答案】C ，解:作出不等式对应的平面区域，由z =k x -y 得y =k x -z ， 要使目标函数z =k x -y 仅在点A （0，2）处 取得最小值，则阴影部分区域在直线y =k x -z 的下方，∴目标函数的斜率k 满足-3＜k ＜1．（9）【答案】D ，解:函数等价为0,9)5(22≥=+-y y x ，表示为圆心在)0,5(半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比q 应有228q =，即2,42==q q ，最小的公比应满足282q =，所以21,412==q q ，所以公比的取值范围为221≤≤q ，所以选D ． （10）【答案】 B 解析：因为当1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()32246'01x x f x x +=>+，所以此时函数单调递增，其值域为1,16⎛⎤⎥⎝⎦，当x 10,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，值域为10,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数f （x ）在其定义域上的值域为，又函数g （x ）在区间上的值域为，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则3202221a a ⎧-+≥⎪⎨⎪-+≤⎩解得1423a ≤≤，所以选B ．二、填空题（11） 2.e =（12）72．（13）223．（1415）②③． （11）答案 2.e =解:由题意知ba= 2.c e a ==（12）答案72．根据题意，先把3名乘客进行全排列，有336A =种排法，排好后，有4个空位，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空位中，有2412A =种排法，则共有61272⨯=种候车方式．（13）答案21212()3()[(3)()]33333x y x yx y x y x y x y x y x y x y x y-++=+++-=++≥++-+-+- （14）答案．解:22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB ⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+c o s 16816r r r A O B r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的1x距离为OD ==222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =．（15）答案②③．解:①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =； ③对；(,)2A Bϕ==≤；④错；1212(,)x x x xA Bϕ==1211,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤． （16）解：（Ⅰ）πsin()cos 2A A +=Q ，11cos 14A ∴=，又0πA <<Q ，sin A ∴= 1cos(π)cos 2B B -=-=-Q ，且0πB <<，π3B ∴=．………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，sin 7sin a B b A ⋅∴==， 另由2222cos b a c ac B =+-得249255c c =+-，解得8c =或3c =-（舍去），7b ∴=，8c =．…………………………………………………12分（17）解：（Ⅰ）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ． ………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ， 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ， ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ， 72541185)2(=⨯==X P ， ………10分 所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ． ………………… ……12分 (18)（Ⅰ）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB , AB AE ∴⊥, 又1AB AA ⊥, 1A E A AA⋂=, AB ∴⊥面11A ACC ， 又AC ⊂面11A ACC ,A B A C ∴⊥,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -, 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B ,设(),,D x y z ，111A D A B λ= ,且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=,(),0,1D λ∴ ,11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭, 10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,∴11022DF AE =-=, DF AE ∴⊥． 分（Ⅱ）设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 00n FE n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，B 1111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩， 令()21z λ=-, ()()3,12,21n λλ∴=+- ．由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = , ………9分平面DEF 与平面ABC所成锐二面的余弦值为14． ()14cos ,14m nm n m n ⋅∴==14=, 12λ∴=或74λ=． 又[0,1]λ∈,∴74λ=舍去．∴ 点D 为11A B 中点． ………12分（19）解 （Ⅰ）∵2*2,(N )n S n n n =+∈．当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，当1n =时，113a S ==满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+． …… ……5分 （Ⅱ）∵*{|22,N }A x x n n ==+∈，*{|42,N }B x x n n ==+∈，∴A B B =．又∵n c ∈AB ，其中1c 是A B 中的最小数，∴16c =，∵{}n c 的公差是4的倍数，∴*1046(N )c m m =+∈． 又∵10110115c <<，∴*11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩， 解得27m =，所以10114c =，设等差数列的公差为d ， 则1011146121019c cd --===-，∴6(1)12126n c n n =+-=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-． ………………… ……12分（20）解：（Ⅰ）∵2222223,4c a b e a a -=== ∴224,a b =…………………………（1分） 则椭圆方程为22221,4x y b b+=即22244.x y b +=设(,),N x y 则 2)3)N Q =……………………（2分） 12=+当1y =-时，NQ 有最大值为4,=…………………………（3分）解得21,b =∴24a =，椭圆方程是2214x y +=……………………（4分）（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-由22(3),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=．………………………………（5分） 由24222416(91)(14)0k k k ∆=--+＞，得215k ＜．2212122224364,.1414k k x x x x k k-+=⋅=++………………………………………（6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=则2122124()(14)k x x x t t k =+=+, []12122116()()6.(14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+………………………（7分） 由点P 在椭圆上，得222222222(24)1444,(14)(14)k k t k t k +=++ 化简得22236(14)k t k =+①………………………………………………（8分）又由12AB x =-即221212(1)()43,k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦＜将12x x +，12x x 代入得2422222244(364)(1)3,(14)14k k k k k ⎡⎤-+-⎢⎥++⎣⎦＜…………………………………（9分） 化简，得22(81)(1613)0,k k -+＞ 则221810,8k k -＞＞,………………………………………………………（11分） ∴21185k ＜＜②由①，得22223699,1414k t k k ==-++联立②，解得234,t ＜＜∴2t -＜＜或 2.t ＜………………（13分）(21)解：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ··············· 4分 (Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件．···································· 6分 若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件．·············································· 7分若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ····························· 9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤，令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<，············ 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()11222212n n n -<+++==-<-， ··································································································· 12分所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以211111e(1)(1)(1)222n >++⋅⋅+， 即222221212121e nn ⨯⨯⨯>+++．···························································· 14分。
2015年高考押题精粹-数学理科试题 Word版含答案
2015年高考押题 精粹数学理科一、选择题（36个小题）1．已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为（ ） A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 2．集合 {}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,|,A B C z z xy x A y B ====∈∈且，则集合C 中的元素个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．11 D ．12 3．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2 4．若(1)z i i +=（其中i 为虚数单位），则||z 等于（ ）A ．1B ．32 C ．22D ．125．若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．66．复数21ii -在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-8．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足PA PB PC =+，则||||PD AD 的值为（ ）DABCPA ．12B ．13C ．1D ．29．ABC ∆中，D AC AB BAC ,1,2,1200===∠是边BC 上的一点（包括端点），则BC AD ⋅的取值范围是（ ）A ．[]6,1-B ．[]4,3-C ．)5,2(-D ． []2,5--10．已知命题p ：x R ∃∈，20x ->，命题q ：x R ∀∈，x x <，则下列说法中正确的是（ ） A ．命题p q ∨是假命题 B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题 D ．命题()p q ∨⌝是假命题 11．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是（ ）A ．x R ∃∈，2210x x -+≥B ．x R ∃∈，2210x x -+>C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<12．命题p :关于x 的方程20()-+=∈x x x m m R 有三个实数根；命题q ：01≤<m ；则命题p 成立时命题q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件13．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30B ．12C ．24D ．414．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形边长均为2，则该几何体的体积为（ ）A ．38 B ．82π- C ．43π D ．283π- 15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．43 B ．52 C ．73D ．5343 233正视图侧视图俯视图16．已知0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．217．已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若ax y +的最小值是2，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．418．已知不等式组240,30,0-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩x y x y y 构成平面区域Ω(其中x ,y 是变量)。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练2-7《函数的图象》
1. [2014·佛山模拟]要得到函数y ＝8·2－x的图象，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象( )A. 向右平移3个单位B. 向左平移3个单位C. 向右平移8个单位D. 向左平移8个单位解析：y ＝8·2－x＝2－x ＋3＝2－(x －3)，y ＝(12)x ＝2－x ，把函数y ＝(12)x 的图象向右平移3个单位即得函数y ＝8·2－x的图象，故选A.答案：A2. [2014·河南三市调研]若实数x ，y 满足|x －1|－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )解析：原式可化为y ＝e －|x －1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x －1|，它的图象是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x x ，e x x的图象向右平移一个单位得到的，故选B.答案：B3. [2013·四川高考]函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝－113－1＝32>0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x－1远远大于x 3的值且都为正，故x 33x －1→0且大于0，故排除D ，选C.答案：C4. [2014·黑龙江重点中学质检]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：画出y ＝2x，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，观察图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2xx ，x ＋x ，10－x x，∴f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6. 答案：65. [2014·北京质检]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析：在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2及y ＝k 的图象(如图)．可知，当0<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点， 即方程f (x )＝k 有两个不同的实根． 答案：(0,1)。
2015届高考数学一轮复习 函数的图像与性质专题训练
函数的图像与性质一、基础知识要记牢(1)两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．(2)求函数的值域的常用方法有观察法、不等式法、图像法、换元法、单调性法等． 二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·某某高考)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若g (x )＝13x 3－52x 2＋4x ，则g (1＋sin x )的值域为________．[解析] (1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x >－3，∴－3<x ≤0.(2)设t ＝1＋sin x ，易知t ∈[0,2]，所求问题等价于求g (t )在区间[0,2]上的值域． 由g (t )＝13t 3－52t 2＋4t ，得g ′(t )＝t 2－5t ＋4＝(t －1)(t －4)．由g ′(t )＝0，可得t ＝1或t ＝4.又因为t ∈[0,2]，所以t ＝1是g (t )的极大值点．由g (0)＝0，g (1)＝13－52＋4＝116，g (2)＝13×23－52×22＋4×2＝23，得当t ∈[0,2]时，g (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，116，即g (1＋sin x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，116.[答案] (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，116(1求函数定义域的类型和相应方法： ①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值X 围，只需构建并解不等式组即可.②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义. 2求函数值时应注意： 形如f g x 的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图像关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x 2＋2函数的图像一、基础知识要记牢函数的图像包括作图、识图、用图，其中作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·高考)函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1 D. e －x －1(2)函数f (x )的图像是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D ．[0,4] [解析] (1)曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.(2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ； 而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94.[答案] (1)D (2)B1解决“由式作图”问题主要是将解析式进行化简，然后与一些熟知的函数图像相联系，通过各种图像变换得到要求的函数图像.另外，还要善于借助解析式，发现函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，以此帮助分析函数的图像特征.2根据函数的解析式判断函数的图像，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手结合给出的函数图像进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图像判断类试题的基本方法. 三、预测押题不能少 2．(1)函数y ＝x 33x－1的图像大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错．(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )解析：选B 因为f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )是偶函数．因为f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2 函数的性质一、基础知识要记牢(1)单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性． 判定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法．(2)函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径． 二、经典例题领悟好[例3] (1)(2013·某某模拟)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1(2)(2013·某某高考)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 2 10))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．4[解析] (1)函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8.③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5.又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8， ∴f (lg(lg 2))＝3. [答案] (1)C (2)C(1)判断函数单调性的一般规律：对于选择、填空题若能画出图像一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法． (2)函数的奇偶性①奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称．②确定函数的奇偶性，务必先判定函数的定义域是否关于原点对称． ③对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 三、预测押题不能少3．(1)定义在R 上的偶函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝2x，则满足f (1－2x )<f (3)的x 的取值X 围是( )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．[－1,2]D ．(－2,1](2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32 ，且f (1)＝3，则f (2 014)＝________.(3)设函数f (x )的图像关于y 轴对称，又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f －x ＋f xx<0的解集为________．解析：(1)选A 依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x )＝f (|x |)，不等式f (1－2x )<f (3)⇔f (|1－2x |)<f (3)⇔|1－2x |<3⇔－3<1－2x <3⇔－1<x <2.(2)解析：∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x ＋3)＝－f (x )， ∴f (x )＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝3. 答案：3(3)解析：因为函数f (x )的图像关于y 轴对称，所以该函数是偶函数．又f (1)＝0，所以f (－1)＝0.又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )在(－∞，0)上为增函数.f －x ＋f xx<0可化为xf (x )<0，所以当x >0时，解集为{x |x >1}；当x <0时，解集为{x |－1<x <0}．综上可知，不等式的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)函数与不等式的交汇函数与不等式的交汇是高考的热点，函数与不等式交汇涉及函数性质与不等式解法、恒成立问题、求参数X 围等方面，题目一般有一定难度． 一、经典例题领悟好[例1] (2013·某某高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．学审题x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ――→偶函数 f (x )的解析式―→f (x )的图像――――→数形结合f (x )<5的解集―→f (x ＋2)<5的解集．用“思想”——尝试用“数形结合思想”解题 设x <0，则－x >0.∵当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )． ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2＋4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x <0.由f (x )＝5得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ＝5，x ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝5，x <0，∴x ＝5或x ＝－5.观察图像可知由f (x )<5，得－5<x <5.∴由f (x ＋2)<5，得－5<x ＋2<5，∴－7<x <3. ∴不等式f (x ＋2)<5的解集是{x |－7<x <3}． [答案] {x |－7<x <3}(1)本题中，作函数f (x )及y ＝5的图像，求出f (x )＝5的x 值，利用图像写出f (x )<5的解集．(2)函数性质中应用数形结合思想的常见题目类型：①已知函数的单调性和周期性，常画出函数的图像求解；②已知函数的奇偶性和相应函数的对称性，常画出函数的图像求解； ③求函数的最值或值域时，常结合相应函数在待求区间上图像的最高点、最低点的纵坐标求解．二、预测押题不能少1．已知a 是正实数，函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1，若f (m )<1，比较大小：f (m ＋2)________1.(用“<”，“＝”或“>”连接)解析：根据已知条件画出f (x )图像如图所示．因为对称轴为x ＝－1，所以(0,1)关于x ＝－1的对称点为(－2,1)． 因f (m )<1，所以应有－2<m <0，m ＋2>0. 因f (x )在(－1，＋∞)上递增， 所以f (m ＋2)>f (0)＝1. 答案：>新定义下的函数值域创新问题新定义下的函数巧妙与集合知识、函数值域相结合，题型创新、角度出新，其命题思路更加新颖．一、经典例题领悟好[例2] 已知函数f M (x )的定义域为实数集R ，满足f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈M ，0，x ∉M (M 是R 的非空真子集)．在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A ∩B ＝∅，则F (x )＝f A ∪B x ＋1f Ax ＋f B x ＋1的值域为________．学审题——审结论之结论转换求F (x )的值域―→确定f A (x )，f B (x )以及f A ∪B (x )的取值――――→函数定义探讨x 与A ，B ，A ∪B 的关系．[解析] 因为A ，B 是R 的两个非空真子集，且A ∩B ＝∅，画出韦恩图如图所示，则实数x 与集合A ，B 的关系可分为x ∈A ，x ∈B ，x ∉A 且x ∉B 三种． (1)当x ∈A 时，根据定义，得f A (x )＝1. 因为A ∩B ＝∅，所以x ∉B ，故f B (x )＝0. 又因为A ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ， 所以f A ∪B (x )＝1. 所以F (x )＝f A ∪B x ＋1f Ax ＋f B x ＋1＝1＋11＋0＋1＝1.(2)当x ∈B 时，根据定义，得f B (x )＝1. 因为A ∩B ＝∅，所以x ∉A ，故f A (x )＝0. 又因为B ⊆(A ∪B )，则必有x ∈A ∪B ， 所以f A ∪B (x )＝1. 所以F (x )＝f A ∪B x ＋1f Ax ＋f B x ＋1＝1＋10＋1＋1＝1.(3)当x ∉A 且x ∉B 时，根据定义，得f A (x )＝0，f B (x )＝0.由图可知，显然x ∉A ∪B ，故f A ∪B (x )＝0， 所以F (x )＝f A ∪B x ＋1f Ax ＋f B x ＋1＝0＋10＋0＋1＝1.综上，函数的值域中只有一个元素1，即函数的值域为{1}． [答案] {1}该题以集合之间的关系为背景考查新定义函数值的计算，所以准确利用已知条件梳理各个集合之间的关系是解决该题的关键.可借助韦恩图表示出各个集合，再根据图形的直观性进行分类，简单又直接. 二、预测押题不能少2．本例中把“A ∩B ＝∅”变为x ∈A ∩B ，其他条件不变，试求之． 解：当x ∈A ∩B 时，因为(A ∩B )⊆(A ∪B )，所以必有x ∈A ∪B . 由定义，可知f A (x )＝1，f B (x )＝1，f A ∪B (x )＝1， 所以F (x )＝fA ∪Bx ＋1f Ax ＋f B x ＋1＝1＋11＋1＋1＝23.故函数F (x )的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫23.1．(2013·某某高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2013·某某高考)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数解析：选D 当x ∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f (x )为周期函数．3．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f (2 014)＋f (2 015)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A 因为f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 014)＋f (2 015)＝f (671×3＋1)＋f (672×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图像可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 014)＋f (2 015)＝1＋2＝3.4．(2013·某某省某某市高三年级统一考试)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23C.43D ．－43解析：选C 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－(1＋h (a ))＝2－f (a )＝2－23＝43.5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图像在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足①P 、Q 都在函数y ＝f (x )的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q ]是函数y ＝f (x )的一对“友好点对”(注：点对[P ，Q ]与[Q ，P ]看作同一对“友好点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，－x 2－4x x ≤0，则此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：选C 不妨设函数y ＝log 2x 的图像上的点P (x ，log 2x )，x >0，则其关于坐标原点对称的点的坐标为(－x ，－log 2x )．如果该点在函数y ＝－x 2－4x 的图像上，则－log 2x ＝－x 2＋4x ，问题等价于求这个方程的实数解的个数，易知这个方程有两个实数解．7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，故1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，所以a ＝0. 答案：08．给出下列四个函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22恒成立的函数的序号是________．解析：由题意知满足条件的图像形状为：故符合图像形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x . 答案：②④9．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减．给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图像的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有正确命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图像关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图像关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.答案：①②④10．已知二次函数f (x )满足条件f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x . (1)求f (x )；(2)求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．解：(1)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)∵f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )． (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，某某数a的取值X围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x－ax2，要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x≥2时，f′(x)≥0恒成立，即2x－ax2≥0，则a≤2x3∈[16，＋∞)恒成立．故若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值X围为(－∞，16]．12．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)．(1)求f(2 012)的值；(2)求证：函数f(x)的图像关于直线x＝2对称；(3)若f(x)在区间[0,2]上是增函数，试比较f(－25)，f(11)，f(80)的大小．解：(1)因为f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}＝f(x－8)，知函数f(x)的周期为T＝8.所以f(2 012)＝f(251×8＋4)＝f(4)＝－f(0)．又f(x)为定义在R上的奇函数．所以f(0)＝0，故f(2 012)＝0.(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，知函数f(x)的图像关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2,2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．。
2015年高中数学学业水平考试专题训练3基本初等函数Ⅱ
2015 年高中数学学业水平考试专题训练 3 基本初等函数Ⅱ基础过关1. 以下各图象所表示的函数能用二分法求零点的是()2. 当 x 愈来愈大时，以下函数中，增加速度最快的应当是 ( )A. y ＝100xB. y ＝log 100x100xC. y ＝xD. y ＝1003. 函数 f(x)＝ e x－1的零点所在的区间是 ()xA.0，1B.1， 1C. 1，3D.3， 222 224. 以下函数 f(x)中，知足“对随意 x 1，x 2∈(0，＋∞ )，当 x 1<x 2 时，f(x 1)>f(x 2)”的是 ()12A. f(x)＝ xB. f(x)＝ xC. f(x)＝ lg(x ＋2)D. f(x)＝2x5. 函数 f(x)＝ x －1 0|x 2－ 1|)＋的定义域为 (2x ＋2A. － 2， 1B. (－2，＋∞ )2C. － 2， 1 ∪ 1，＋∞ D. 1，＋∞2 22 6. 设 f(x)＝3x ＋ 3x －8，用二分法求方程 3x ＋ 3x －8＝0 在 x ∈ (1，2)内近似解的过程中得 f(1)<0， f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间 ()A. (1，1.25) ， 1.5) ， 2) D. 不可以确定m7. 若函数 f(x)＝1＋e x－1是奇函数，则 m 的值是 ( )1A. 0B. 2C. 1D. 28. 已知定义在实数集上的函数y＝ f(x)知足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y), 且 f(x)不恒等于零，则 y＝ f(x)是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 不可以确立2 ＋ bx＋2<0 的解集是－∞，－ 1 ∪19. 已知对于 x 的不等式 ax2，＋∞ ，则3ab 等于 ()A. －24B. 24C. 14D. －1410.已知 A，B 两地相距 150 km，某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地抵达B 地，在 B 地逗留 1 h 后再以 50 km/h 的速度返回 A 地，把汽车走开 A 地的距离x(km)表示为时间 t(h)的函数关系式是 ()A.x＝60tB.x＝60t＋50t60t（0≤t≤），C.x＝150－50t（）60t（0≤t ≤），D.x＝ 150（ 2.5<t≤），150－ 50（t－）（ 3.5<t≤）11.建筑一个容积为 8 cm3，深为 2 m 的长方体无盖水池，假如池底和池壁的造价每平方米分别为120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为()A. 1700 元B. 1720 元C. 1740 元D. 1760 元212. 若函数 f(x)＝ x ＋bx＋ c 对随意实数都有f(2＋ x)＝f(2－ x) ，则 ()A. f(2)<f(1)<f(4)B. f(1)<f(2)<f(4)C. f(2)<f(4)<f(1)D. f(4)<f(2)<f(1)13. 若方程 2ax2－x－1＝0 在(0，1)内恰有一解，则实数 a 的取值范围是 ()1A. [ －8，＋∞ )B. (1，＋∞ )1C. (－∞， 1)D. [－8，1)14. 已知函数 f(x)＝a|x|(a＞ 1)，则以下不等式建立的是()A. f(－ 1)＜f(2) C. f(5)＜ f(－ 3)B. f(－2)＜f(1)D. f(－5)＜f(3)15.函数 y＝ |log1x|的定义域为 [a，b]，值域为 [0，2]，则区间 [a， b] 的长度2b－a 的最小值为 ( )3 1A. 3B. 4C. 4D. 416. 用二分法求 f(x)＝0 的近似解，已知f(1)＝－ 2 ，f(3)＝0.625 ，f(2)＝－0.984.若要求下一个 f(m)，则 m＝________．17.函数 f(x)＝(x＋ a)(x－4)为偶函数，则实数 a＝________.18.已知方程 lgx＝ 3－ x 的解所在的区间为 (k，k＋1)(k∈N* )，则 k＝ ________．19.某医药研究所开发一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克 )与时间 t(小时 )之间近似知足如下图的曲线．(OA 为线段， AB 为某二次函数图象的一部分， O 为原点 )．(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式y＝f(x)；4(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量许多于9微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．20.在经济学中，已知函数 f(x)的边沿函数 Mf(x)定义为 Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某企业每个月最多生产100 台报警系统装置，生产 x 台(x∈N* )的收入函数 R(x) ＝3000x－20x2(单位：元 )，其成本函数为 C(x)＝500x＋ 4000(单位：元 )，收益是收入与成本之差．(1)求收益函数 P(x)及边沿收益函数MP(x)；(2)收益函数 P(x)与边沿收益函数MP(x)能否拥有同样的最大值？冲刺A级21. 设 f(x)是区间 [a，b]上的单一函数，且f(a) ·f(b)＜ 0，则方程 f(x)＝0 在区间 (a，b)()A.C. 起码有一实根没有实根B. 至多有一实根D.必有独一实根22.已知函数 f(x)是R上的增函数， A(0，－ 1)，B(3，1)是其图像上的两点，则 |f（x）|<1的解集是( )A. (－3，0)B. (0，3)C. (－∞，－ 1]∪[3，＋∞)D. (－∞， 0]∪[1，＋∞)23.函数 f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞ )时，f(x)＝2x，那么，1f(log23)＝ ________．324. 已知定义在R上的函数 f(x)知足 f(x)＝－ f(x＋2)，且 f(－2)＝ f(－ 1)＝－ 1，f(0)＝2，则 f(1)＋f(2)＋ , ＋ f(2013)＋f(2014)＝________．25. 已知函数 f(x)＝x2＋ 2(a－2)x＋4.(1)假如对全部 x∈R，f(x)>0 恒建立，务实数 a 的取值范围；(2)假如对 x∈ [－3，1]， f(x)>0 恒建立，务实数 a 的取值范围．专题训练 3基本初等函数Ⅱ基础过关1. C2. D3. B8. A 9. B 10. D 11. D12. A [ 提示：由条件知对称轴为 x＝2，再由二次函数性质，知 f(4)>f(1)>f(2)．]21 113. B [ 提示：可分别变量来解， 2a ＝ x ＋2 －4，且 x >1，利用图象知，2a>2，即 a>1.]14. A [ 提示：可作出草图 (为分段函数 )，由图易知答案． ]11115. B [ 提示：利用数形联合，当 a ＝4，b ＝1 时，长度最小． ] 16. 17. 418. 2 [ 提示：结构函数 f(x) ＝lgx ＋ x － 3，该函数在 (0，＋∞ )上递加，且f(2)<0，f (3)>0，仅有一个零点在 (2，3)之间． ]4t ，0≤t ≤ 1， (2)当 0≤ t ≤1 时， 4t ≥4，19. 分析： (1)由已知得 y ＝ 1 24（ t －5） ，1<t ≤5.9得 1≤ t ≤1；当 1<t ≤ 5 时，1－ 5) 2≥ 4，得 1＜t ≤11∴ 1≤ t ≤11，即所求时间为 119 4(t9 3 . 93 3 1 32－ 9＝3 (小时 )．20. 分析：由题意知， x ∈ [1，100] ，且 x ∈N * .(1)P(x) ＝R(x)－ C(x)＝3000x －20x 2－(500x ＋ 4000)＝－ 20x 2＋2500x － 4000，2MP(x) ＝ P (x ＋1)－ P(x)＝－ 20(x ＋1) ＋ 2500(x ＋ 1)－ 4000－ ( － 20x 2 ＋ 2500x －2125 24000)＝ 2480－ 40x. (2) P(x)＝－ 20x ＋2500x －4000＝－ 20(x － 2 )＋74125，当 x ＝62 或 x ＝63 时， P(x)的最大值为 74120 (元)．由于 MP(x)＝ 2480－40x 是减函数，所以当 x ＝1 时， MP(x)的最大值为 2440 (元)．所以，收益函数 P(x)与边沿收益函数 MP(x)不拥有同样的最大值．冲剌A 级21. D [ 分析： f(x)在[ a ， b ]上单一且两头异号，则 f(x)在(a ，b )上有且只有一个零点． ]22. B [ 分析：可作出草图，直观判断． ]123. － 3 [ 分析： f log 23 ＝f (－ log23)＝－ f(log 23)＝－ 2log 23＝－ 3.]324. － 1 [ 分析：由 f(x)＝－ f x ＋ 2 ，得 f(x ＋ 3)＝f(x)，知函数 f(x)周期为 3，∴ f(1) ＝ f(－ 2)＝－ 1，∴ f(2)＝ f (－1)＝－ 1， f (3)＝ f(0)＝ 2，∴ f(1)＋ f(2)＋, ＋ f (2013)＋ f (2014)＝671×[f （1）＋ f （2）＋ f (3)]＋ f(1)＝f(1)＝－ 1.] 25.(2)分析： (1) ＝4(a －2)2－16<0? 0<a<4. －（ a －2）<－3， －3≤－（ a －2）≤ 1， 或 f （－ 3）>0 <0－（ a －2）>1， 或 f （1）>0，解得a ∈?或 1≤ a<4 1 或－ 2<a<1，∴ a 的取值范围为 1(－2，4)．。
2015年高考理科数学押题密卷(全国新课标II卷)
(5)2(A ) 8+ 2 .5 (B ) 6+ 2 5 (C ) 8+ 2 3(D ) 6+ 2 32015年高考理科数学押题密卷（全国新课标II 卷）2015年高考绝密押题，仅限 VIP 会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播, 违者必究； 说明：一、 本试卷分为第 I 卷和第n 卷•第I 卷为选择题；第n 卷为非选择题，分为必考和选 考两部分.二、 答题前请仔细阅读答题卡上的 注意事项”，按照 注意事项”的规定答题. 做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑•如需改 用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案.考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回. 选择题：本大题共 12小题，每小题5分, 有且只有一项符合题目要求.动, 四、共60分，在每小题给出的四个选项中,(1) 已知集合 A = {x |x 2— 5x + 6W 0}, B= {x ||2 x — 1| > 3}，则集合 A n B =(3) (A ) {x |2 w x < 3} (C ) {x |2 v x w 3} 1 — i 1 + i (1 + i)汁 (1 —厂 (A )— 1(B ) 1-1^宀曰.—b 满足 | a | = | b | = 2,(A ) 4 (B ) 6等比数列 {a n }的前n 项和为S n , (A ) 7(B ) 8(B) (D ) {x |2 w x v 3}{x | — 1 v x v 3}(D ) i60 , a •( a + b )等于(D ) 4 + 2、.：3且4a 1,2a 2,a 3成等差数 列，若 a 1=1，则 S 4 为 (D) 15空间几何体的三视图如图所示，则该几何体 的表面积为 (C )— ia 与b 的夹角为 (C ) 2+ ;'3(C ) 161正视图侧视图一 2 ------- ' 俯视图(6) (x 2—二)的展开式中的常数项为x(11)某方便面厂为了促销， 制作了 3种不同的精美卡片，每袋方便面随机装入一张卡片,集齐3种卡片可获奖，现购买该方便面 5袋，能获奖的概率为(12) 给出下列命题：1_ 1 0 2 O)log 05 3 23 (一). ； ②函数 f (x) log q x 2si n x 有 5 个零点； 3x 4 x5㊂函数f (x) =ln的图像以(5,)为对称中心；x 6 1212曾已知a 、b 、m n 、x 、y 均为正数，且 a * b ,若a 、m b 、x 成等差数列，a 、n 、b 、y 成等比数列，则有 n > n , x <y .其中正确命题的个数是(A ) 15(B )— 15 (C 20 (D )— 20(7) 执行右边的程序框图，则输出的(A) 5040 ( B ) 4850(C 2450(8) 2x + 4x + 3, x w 0, 已知函数f (x )=3 x ,x > 0,则方程 的实根个数为 (A ) 3 (B ) 2(C ) 1(D ) 0(9)2 2x y若双曲线孑一孑=1 (a >0,1的距离等于焦距的—，则双曲线的离心率为b >0) 一个焦点到一条渐近线(10) (B )攀(C)(D )手偶函数f (x )的定义域为R若f (x + 2)为奇函数，且f (1)=1,则 f (89) + f (90)为(A )— 2(B )— 1(C ) 0(D ) 1(A )31 81(B ) 3381 81(D )50 81(D ) 2550f (x ) + 1= 0(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个第口卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上.(13) _______________________________________________________________ 由直线x = 1, y= 1 - x及曲线y= e x围成的封闭图形的面积为 ____________________________ .n n(14) __________________________________________________________________ 数列｛a n｝的通项公式a n= n sin — + 1,前n项和为S,则S? 015 = ____________________________________________ .x —y + 5> 0,(15) 已知x、y满足x + y >0, 若使得z = ax+ y取最大值的点(x, y)有无数个，则ax w 3,的值等于 ___________ .(16) _______________________________________________________________________ 已知圆O x2+ y2=8,点A(2 , 0),动点M在圆上，则/ OMA勺最大值为____________________ .三、解答题：本大题共70分，其中(17) — (21)题为必考题，(22), ( 23), (24)题为选考题•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)已知f(x)=sin (2x ——) + 2COS2X.6(I)写出f(x)的对称中心的坐标和单增区间；(□)△ ABC三个内角A B C所对的边为a、b、c,若f (A) =0, b+ C=2.求a的最小值.(18) (本小题满分12分)某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级800名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的有60人，数学成绩优秀但物理不优秀的有140人，物理成绩优秀但数学不优秀的有100人.(I)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？(n)将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为X,求X的分布列和期望E( X).附:P (心 k o ) 0.010 0.0050.001k o6.6357.879 10.828n ( ad — be )(a + b )( c + d )( a + e )( b +d )(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个 (D ) 4 个(19) (本小题满分12分)(22)(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲如图，在△ ABC 中，/ C = 90o , BC= 8, AB= 10, 0为 BC 上一点，以O 为圆心，OB 为半径作半圆与 BC 边、AB 边分别交于点 D E 连结DE(I)若BD= 6,求线段DE 的长；(n)过点E 作半圆O 的切线，切线与AC 相交于点F ,如图，在三棱柱 ABGABG 中，已知 A 吐侧面 BBCC, BO ^2 , AB= BB = 2,Z BCC厂点E 在棱BB 上.(I)求证：CB 丄平面ABC(n)若BE =入BB ,试确定 入的值，使得二面 角ACE -C 的余弦值为專 (20)(本小题满分12分) 设抛物线y 2=4m x ( m>0)的准线与x 轴交于F , 1 焦点为F 2；以F 1、F 2为焦点，离心率 e =2 2 2/6的椭圆与抛物线的一个交点为 日一， );3 〜uuu 自F 1引直线交抛物线于 P 、Q 两个不同的点，点P 关于x 轴的对称点记为 M 设F 1P 3 uuu F 1Q.(I)求抛物线的方程和椭圆的方程； 1(n)若 ［了"，求|PQ 的取值范围.(21)(本小题满分12分)2 exX已知 f (x ) = e (x -a — 1)+ ax .(I)讨论f (x )的单调性；(n)若x 》0时，f (x ) + 4a >0,求正整数 a 的值.参考值：e 2~ 7.389 , e 3~ 20.086请考生在第(22), (23), (24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题记分•作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. ACDO证明：AF= EF.(23)(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程2 2x y已知椭圆c： 4 + 3 = 1，直线I: x=—3 + 寸3ty=2 3+t(t为参数)(I)写出椭圆C的参数方程及直线I的普通方程;(H)设A(1 , 0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线求点P的坐标.l的距离相等,(24)(本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲已知函数f (x) = | x —1| .(I)解不等式f(x) + f (x+ 4) >8;b(n)若| a| v 1, | b| v 1,且a* 0,求证：f (ab) > | a| f ().a所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关.理科数学参考答案2015年高考绝密押题，仅限 VIP 会员学校使用，版权所有，严禁转载或商业传播, 违者必究； 、选择题： CABDA ACBBD DC 、填空题： (13) e —亍; (14) 1007; (15)— 1; (16)4三、解答题: (17)解：(I)化简得: f (x )=cos ( 2x + 3 单增区间为： [k 23 ,k 6] (k z)(□)由(I) 知：f (A ) cos(2A3)10 cos(2 A 3)Q 0 A2A73332A 一于是： A33根据余弦定理：2ab 22c 2bc cos =43当且仅当b c1时，a 取最小值1.k 对称中心为：^,D (kz ) (18) (I) (6)分1 (9)分, b c 23bc4 3()2 12.............................. 12分因为k =800( 60X 500— 140 X100)160X 640X 200X 6002-=16.667 > 10.828 .所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关.1 所以当入=亍时，二面角ACE-C 的余弦值为專(20) 解:(n)每次抽取1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率 频率视为概率，即每次抽取 为+ .由题意可知X B(3, 0.375 .将1名学生成绩，其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的概率X0 1 23 p 125 225 135 27 512 512 旋 5123 厂)，从而X 的分布列为E (X ) = np =专12分(19)解:(I)因为 BC= 2 , CC = BB = 2，/ BCC=〒,在厶BCC 中，由余弦定理，可求得 CB = 2 ,所以 GB 2+ B C = C C, CB 丄 BC 又 ABL 侧面 BCG 1，故 AB1 BC, 又CBH AB- B ,所以GB 丄平面ABC(n)由(I)知， BC BA BC 两两垂直， 以B 为空间坐标系的原点，建立如图所示的坐标系， 则 B (0 , 0, 0) , A (0 , 2, 0) , C ( 2 , 0, 0), 13A =(0, 2 , - 2),B E =(3B + 入目B = 13B + ^<5C = ( — 2 入，0 , 2 入一2),设平面ACE 的一个法向量为 m= (x , y , z),则有 m- S A = 0,即 2y — 2 z = 0 ,m i- S E = 0 , .2 入 x + (、2 ― 2 入)z = 0 ,令 z = .2 ,取 m -(宀日,1,2),分 又平面GEC 的一个法向量为 n = (0 , 1, 0), 12 =芈，解得3 5所以cos m n =吕i m i n |5分(I)由题设，得:4 9a 212②a 2由①、②解得a = 4, b = 3,2匕13y 2= 4x .Qg y 2)、M (X 1,— y 1), y 1=入y 2 ③设直线PQ 的方程为y = k (x +1)，与抛物线的方程联立，得:ky 2 4y4ky 1 y 2= 44y 1 + y 2=k(21) 解:xx由◎ ◎ ◎消去y i , 得:k 21)2I PQI J k 12 I y 2y 1由方程O 得: I PQ I 、(1 ；2)16 16k1616k 4k 7化简为: I PQ I 2，代入 入：I PQ I 2(1)4216 1)216疋：那么: 2)2161 [2,1)PQ |2I PQ I (0,174亿 寸12分x 2椭圆的方程为一4易得抛物线的方程是：(H)记 P (x 1, y"、UJU uuu②(I) f (x) = e (x—a) —x+ a= (x—a)(e —1),由a >0，得：x € ( —g, 0)时，f (x ) >0, f (x )单增；x € (0 , a )时，f (x ) v 0, f (x )单减； x €(a ,+g )时，f (x ) >0, f (x )单增.所以，f (x )的增区间为(—g, 0) , (a ,+m );减区间为(0 , a ). (5)分2a(n)由(I)可知，x >0 时，f min (x ) = f ( a ) =— e + —,2a a所以 f (x ) + 4a >0,得 e — 2 — 4a w 0. (7)分2 aa a令 g ( a ) = e — — 4a,贝U g (a ) = e — a —4;令 h ( a ) = e a — a — 4,贝U h (a ) = e a — 1 >0,所以 h ( a )在(0，+g )上是增函数， 又 h (1) = e — 5v 0, h (2) = e 2— 6>0,所以 a °€ (1 , 2)使得 h (a 。
2015年全国各地高考数学分类汇编-03 函数的性质及其应用
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1.（2015安徽文、理）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+2.（2015安徽理）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <3、（2015北京文）下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x = B ．2cos y x x = C ．ln y x = D ．2xy -=【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B. 考点：函数的奇偶性.4.（2015北京理）如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.5. （2015北京理）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D. 考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解. 6．（2015福建文）下列函数为奇函数的是( )A ．y =．x y e = C ．cos y x = D ．x xy e e -=- 【答案】D 【解析】试题分析：函数y =x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x xy e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性． 7．（2015福建理）下列函数为奇函数的是( )A ．y =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D考点：函数的奇偶性．8.（2015广东文）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x x f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性． 9．（2015广东理）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 【答案】A ．【解析】令()x f x x e =+，则()11f e =+，()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A ． 【考点定位】本题考查函数的奇偶性，属于容易题．10. （2015湖北文）函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 【答案】C.【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容.【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性.11. （2015湖北文）设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则（ ）A ．|||sgn |x x x =B ．||sgn ||x x x =C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =【答案】D.【考点定位】本题考查分段函数及其表示法，涉及新定义，属能力题.【名师点睛】以新定义为背景，重点考查分段函数及其表示，其解题的关键是准确理解题意所给的新定义，并结合分段函数的表示准确表达所给的函数.不仅新颖别致，而且能综合考察学生信息获取能力以及知识运用能力.12. （2015湖北理）已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.13．（2015湖北理）设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.14、(2015湖南文、理)设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数 【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可． 函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），函数的定义域为（-1，1），函数f （-x ）=ln （1-x ）-ln （1+x ）=-[ln （1+x ）-ln （1-x ）]=-f （x ），所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x=+=+-- ，已知在（0,1）上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.15、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14-16、(2015全国新课标Ⅰ卷文)设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）417．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．18．(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像19. (2015山东文)设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) （A ）a ＜b ＜c （B ）a ＜c ＜b （C ）b ＜a ＜c （D ）b ＜c ＜a 【答案】C 【解析】试题分析：由0.6xy =在区间(0,)+∞是单调减函数可知， 1.50.600.60.61<<<，又0.61.51>，故选C.考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.20. (2015山东文)若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使f （x ）>3成立的x 的取值范围为( )（A ）( ) (B)() （C ）（0,1） （D ）（1，+）【答案】C 【解析】试题分析：由题意()()f x f x =--，即2121,22x x xx a a--++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C.考点：1.函数的奇偶性；2.指数运算.21. (2015山东文) 设函数3,1()2,1xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若5(())46f f =，则b=( ) （A ）1 （B ）78 （C ）34 (D)12【答案】D【解析】试题分析：由题意，555()3,662f b b =⨯-=-由5(())46f f =得，51253()42b b b ⎧-<⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或5251224bb -⎧-≥⎪⎨⎪=⎩，解得12b =，故选D.考点：1.分段函数；2.函数与方程.22.(2015山东理)设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞【答案】C【考点定位】1、分段函数；2、指数函数.【名师点睛】本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.23.(2015陕西文)设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值.24. (2015陕西文) 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B考点：函数的性质.25.(2015四川理)如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.26.(2015四川文)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k 和b 的准确值，而只需求出e b 和e 11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.27.(2015天津理)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-= 所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.28.(2015天津理)已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<.29. (2015天津文)已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算.30. (2015天津文) 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A考点：函数与方程.31. (2015浙江理) 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A.(sin 2)sin f x x =B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+32、(2015浙江文)函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A, B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.33、(2015浙江文)设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin 2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 【答案】B 【解析】试题解析：因为1sin a b t +==，所以222(1)sin a b t +==，所以2221a a t +=-，故当t 确定时，21t -确定，所以22a a +唯一确定.故选B.考点：函数概念34. (2015重庆文) 函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是（ ） (A) [3,1]- (B) (3,1)- (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】试题分析：由0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 解得3-<x 或1>x ； 故选D.考点：函数的定义域与二次不等式.二、填空1. (2015全国新课标Ⅰ卷理)若函数f (x )=x ln （x a =【答案】1考点：函数的奇偶性2. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2【解析】试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- .考点：函数解析式3.（2015安徽文）=-+-1)21(2lg 225lg.【名师点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键.4.（2015安徽文）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .5、（2015北京文）32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ． 【答案】2log 5 【解析】试题分析：31218-=<，12331=>，22log 5log 423>>2log 5最大.考点：比较大小.6. （2015北京理）设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥. 考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升 【答案】B 【解析】 试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 考点：平均耗油量.8．（2015福建文）若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．9．（2015福建理）若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1,2]考点：分段函数求值域． 10. (2015湖北文)a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.【答案】2.【考点定位】本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题.【名师点睛】将含绝对值的二次函数在区间上的最值问题和分段函数的最值问题融合在一起，运用分类讨论的思想将含绝对值问题转化为分段函数的问题，充分体现了分类讨论和化归转化的数学思想，能较好的考查知识综合能力.其解题的关键是运用分类讨论求出()g a 的表达式和分段函数在区间上的最值求法.11、(2015湖南文)若函数f （x ）=| 2x -2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2考点：函数零点12.(2015湖南理)已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.13. (2015江苏)不等式224x x-<的解集为________. 【答案】(1,2).- 【解析】试题分析：由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 考点：解指数不等式与一元二次不等式14. (2015江苏)已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为【答案】4考点：函数与方程15. (2015山东理)已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【答案】32-【考点定位】指数函数的性质.【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用.16. (2015上海文)设)(1x f -为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 【答案】32-17、(2015上海文、理)方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,333112x t t t t x x -⇒-+=>=⇒=⇒-=⇒= 【考点定位】解指对数不等式【名师点睛】利用24log 2=，)0,0(log log log >>=+n m mn n m a a a 将已知方程变形同底数2的两个对数式相等，再根据真数相等得到关于x 的指数方程，再利用换元法求解.与对数有关的问题，应注意对数的真数大于零.18、(2015上海理)设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】419. (2015四川理)某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C）满足函数关系b kx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，k 、b 为常数）。
2015届高考数学专项精析精炼考点13三角函数的图象与性质
考点13 三角函数的图象与性质（2014年）一、选择题1.（2014· 湖南高考理科·Ｔ9）已知函数230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且则函数()f x 的图象的一条对称轴是 ( ) A ．56x π=B ．712x π=C ．3x π=D ．6x π= 【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解。
【解析】选A.由于230()sin(),()0,f x x f x dx πϕ=-=⎰且得到()x f 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,3π，所以3πϕ=，Z k k x ∈+=-,23πππ，所以Z k k x ∈+=,65ππ，所以()f x 的图象的一条对称轴是56x π=。
2.（2014·福建高考文科·Ｔ7）7．将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）()()()() (32).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期是的图象关于直线对称的图象关于点，对称【解题指南】将函数y =sin x 的图象向左平移2π个单位, 得到函数sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．然后结合三角函数的图象性质进行判断． 【解析】D.将函数y =sin x 的图象向左平移2π个单位, 得到函数sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．该函数是偶函数，故A 错；周期为2π，故B 错；该函数图象的对称轴为x k π=，故C 错；对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，故D 正确． 3.（2014·辽宁高考文科·Ｔ11）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ9）相同将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所的图象对应的函数 ()A 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减()B 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增()C 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 ()D 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【解题提示】 结合图象平移的原则得到新函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求解新函数的单调区间【解析】选Ｂ.函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度,所的图象对应的函数为 23sin(2())3sin(2)233y x y x πππ=-+⇒=-．由()2222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈即23sin(2)3y x π=-的增区间为()7,,.1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 当0k =时，()7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈为7,1212x ππ≤≤ 可见23sin(2)3y x π=-在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 由()23222,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()713,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈而不论k 取何整数值，得到的减区间都不包含区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故只有选项（Ｂ）正确．4.(2014·陕西高考文科·T2)函数f (x )=cos 错误！未找到引用源。
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在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性.
(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质 .若函数 在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期 T＝|a|.
3.函数的图象 对于函数的图象要会作图、识图、用图. 作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图 象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、 对称变换.
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函数的性质及应用
函数的图象 基本初等函数的图象及性质源自热点一函数的性质及应用
例1 (1)(2014· 课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0， ＋ ∞)单调递减，f(2)＝ 0.若 f(x－ 1)>0，则 x的取值范 围是________.
思维启迪 利用数形结合，通过函数的性质解不等式；
答案 C
(2)已知函数 f(x)的图象向左平移 1个单位后关于 y轴
对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
设 a ＝ f( －
关系为(
A.c>a>b
C.a>c>b
1 2
)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小
解析 lg(log210)＝lg
1 ＝－lg(lg 2)， lg 2
由f(lg(log210))＝5，
得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1， 则f(lg(lg 2))＝a(lg(lg 2))3＋bsin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝ 3.
令g(m)＝mx＋x－2，由m∈[－2,2]知g(m)<0恒成立，
g－2＝－x－2<0 2 即 ，∴－2<x< . 3 g2＝3x－2<0
热点二
函数的图象
10ln|x＋1| 例 2 (1)下列四个图象可能是函数 y＝ 图象的 x＋ 1 是( )
思维启迪 可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象 .
解析
∵f(x)是偶函数，
∴图象关于y轴对称.
又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，
则f(x)的大致图象如图所示，
由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3. 答案 (－1,3)
(2)设奇函数 y＝f(x) (x∈R),满足对任意 t∈R 都有 f(t)＝f(1－t), 3 1 2 且 x∈0， 时，f(x)＝－x ，则 f(3)＋f－ 的值等于______. 2 2
(2)已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋
2 f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________. －2， 3
解析 易知f(x)为增函数. 又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知， f(mx－2)<f(－x).
∴mx－2<－x，即mx＋x－2<0，
解析 函数的定义域为{x|x≠－1}，其图象可由 y＝ 10ln|x| 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到， x
10ln|x| y＝ 为奇函数，图象关于原点对称， x 10ln|x＋1| 所以， y＝ 的图象关于点(－1,0)成中心对称. x＋ 1
可排除 A，D.
10ln|x＋1| 又 x>0 时，y＝ >0，所以，B 不正确，选 C. x＋ 1
思 性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的 维 条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系， 升 华 推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.
变式训练1 (1)(2013· 重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)， f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))等于( A.－5 B.－1 C.3 D.4 C )
考 对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期 情 解 性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以 读 选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，
难度较大．
3
图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；
主干知识梳理
1.函数的三要素 定义域、值域及对应关系
两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函
数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.利用定 义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符
号、下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.
(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质 .偶函数 的图象关于 y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间 上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，
4.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1) 指 数 函 数 y ＝ ax(a>0 ， a≠1) 与 对 数 函 数 y ＝ logax(a>0 ， a≠1) 的图象和性质，分 0<a<1 ， a>1 两 种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共 性质. (2)幂函数y＝xα的图象和性质，分幂指数 α>0，α<0 两种情况.
思维启迪
1]时的解析式探求f(3)和f(－ 3 )的值. 利用f(x)的性质和x∈[0， 2
解析 根据对任意t∈R都有f(t)＝f(1－t)可得f(－t) ＝f(1＋t)， 即f(t＋1)＝－f(t)，进而得到
2
f(t＋2)＝－f(t＋1)＝－[－f(t)]＝f(t)，
得函数y＝f(x)的一个周期为2，
3 1 1 f(3)＝f(1)＝f(0＋1)＝－f(0)＝0，f－ ＝f ＝－ . 4 2 2
3 1 1 f(3)＋f－ ＝0＋－ ＝－ . 4 2 4
故
所以
1 答案 － 4
函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期
专题三
函数、基本初等函数 的图象与性质
天津南开市2015届高三
函数、基本初等函数
的图象与性质
主干知识梳理
热点分类突破
真题与押题
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查 以基础知识为主，难度中等偏下. 2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内 容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用