吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测(一模)试题 文

吉林省长春市2021届高三数学第一次质量监测（一模）试题 文一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|03,},{|20},A x x x B x x x =<<∈=-Z ≥则集合A B 的元素个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2.若平面向()(),2,,12x ==-a b 且//a b ,则x 的值为1 A.B. 1 C 4 . 4 D. 2--3.函数26sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象的一条对称轴是 A. 6x π=-B. 0x =C. 6x π=D. |3x π=4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为2,y x =±则其离心率为5.张老师居住的一条街上,行驶着甲、乙两路公交车,这两路公交车的数目相同,并且都是每隔十分钟就到达车站一辆(即停即走).张老师每天早晨都是在6:00到6:10之间到达车站乘车到学校,这两条公交线路对他是一样的,都可以到达学校,甲路公交车的到站时间是6:09,6:19，6:29,6:39，…,乙路公交车的到站时间是6:00,6:10,6:20,6:30,…，则张老师乘坐上甲路公交车的概率是A. 10%B. 50%C. 60%D. 90% 6.1的长方形ABCD 沿对角线BD 折起,得到四面体-A BCD , 则四面体-A BCD 的外接球体积为 A.43π B. 83π C. 4π D. 323π 7.曲线ln y x x =在e x =处的切线的斜率为A. 1B. 2C. 1-D. 2-8.中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型和水的 温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到 茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感. 为分析 泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔 1min 测量一次茶水的温度,根据所得数据做出如图 所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数 模型可以近似地刻画茶水温度y 随时间x 变化的规律 A. ()20y mx n m =+> B. ()0y mx n m =+>C. 0,01)(xy ma a n m a +=>>≠且 D. ()log 0,01a y m x n m a a =+>>≠且9.如图,长方体1111ABCD A B C D -中1,,BB BC P =为11C D 的中点,则异面直线PB 与1B C 所成角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在第一象限)，且4,AB FB =则直线l 的倾斜角为 A.6π B. 4π C. 3π D. 23π11.如图,在面积为1的正方形1111A B C D 内做四边形2222,A B C D 使12212,A A A B =1221122122112,2,2,B B B C C C C D D D D A ===以此类推,在四边形2222A B C D 内再做四边形3333A B C D ……，记四边形i i i i A B C D 的面积为1,2,3,,)(i a i n =，则123n a a a a ++++=]4. [1995nA ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]95. [149nB ⎛⎫- ⎪⎝⎭]1. [1233nC ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ]. 3[132nD ⎛⎫- ⎪⎝⎭12.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()5,f x f x =+当[)2,0x ∈-时()2,(2),f x x =-+当[)03x ∈，时(),,f x x =则(1)(2)(2021)f f f +++=A. 809B. 811C. 1011 C. 1013二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若tan 2,α=则sin 2α= . 14.241log 3log 9+= . 15.若复数z 满足3,z z ⋅=则||z = . 16.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足21322n S n n =+,则n a = ; 1C 1D 1A 1B 2A 2B 2C 2D 3A 3B 3C 3D数列11{}n n a a +的前n 项和n T = . 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分17.(12分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥底面ABCD ,4PA AB ==,E 为PB 的中点,F 为线段BC 上的动点. (I)求证:平面AEF ⊥平面PBC ; (Ⅱ)求点到平面的距离.18.(12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足1cos 2a b c B +=⋅. (1)求角C ;(Ⅱ)若2,3a b ==,求ABC △外接圆的半径.19.(12分)某小区超市采取有力措施保障居民 正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的 甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲 类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率 分布直方图(如图).(I)估计该小区居民对甲类物资购买量的中位数; (Ⅱ)现将小区居民按照购买量分为两组,即购买量在[)1,3单位:kg )的居民为A 组,购买量在[]3,6 (单位:kg ]的居民为B 组,采用分层抽样的方式从该小区中选出5户进行生活情况调查,再从这5户中随机选出3户,求选出的B 组户数为2的概率.20.(12分)已知椭圆2214y x +=,直线1l y kx =+：分别与x 轴y 轴交于,M N 两点,与椭圆交于,A B 两点.(I)若,AM NB =求直线l 的方程;(Ⅱ)若点P 的坐标为()0,2,-求PAB △面积的最大值.21.(12分)设函数()()ln xf x e a x a =-∈R .(I)当a e =时,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)当0a >时,求证:()()2ln .f x a a -(二)选考题:共10分,请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4坐标系与参数方程](10分)已知直线l 的参数方程为12x ty t =+⎧⎨=⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为2cos 4sin .ρθθ=+ (I)求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线l 与圆C 相交于,A B 两点,求||.AB 23.[选修4-5不等式选讲](10分) 已知0,0, 4.a b a b >>+=(I)求证22;(Ⅱ)求证:1212223a b +++.长春市2021届高三质量监测()-数学(文科)试题参考答案及评分参考一,选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. A.【解题思路】{1,2},{|0,2},A B x x x ==<>或所以{2},AB =故选A.2.C 【解题思路】由//,a b 可知212x=-即4x =-,故选C. 3.C 【解想思路】令2,26x k πππ+=+则.26k x ππ=+,故选C.4.B 【解题思路】由渐近线方程可知2222222,1 5.b c c a b b e a a a a a +⎛⎫=====+= ⎪⎝⎭故选B.5.D 【解思路】张老师到达车站在6：00-6:10中是等可能的,故张老师在6:00-6:09到达车站 的概率为90%,故有90%的可能乘坐甲路公交车，故选D6. A 【解题思路】2,BD BD =中点到A,B,C,D 的距离均为1,故球的体积为43π,故选A. 7.B 【解题思路】1ln ,y x '=+当 x = e 时, k = 2 ,故选B. 8.C 由函数图象可知符合条件只有指数函数,故选C9.D 【解题思路】1B C ⊥平面11,ABC D PB ⊂平面11,ABC D 即1,PB B C ⊥故选D 10．C 【解题思路】如图,过A,B 作AA ’,BB ’垂直准线2px =-,垂足为A ’,B’，过B 作AA ’垂线,垂足为C,由抛物线定义知|||,||,3|||||||BF BB AA A F F BF A ''===2|||,|F B AC =所以1cos 2BAC ∠=,3BAC π∠=,所以直线l 倾斜角为3π,故选C.11.B 【解题思路】由图可知11232555,1,,,,,999n n a a a a -⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以其前n 项和为]95[149n⎛⎫- ⎪⎝⎭,故选B. 12.A 【解题思路】由()()5f x f x =+可知()f x 周期为5,由函数图象可知每个周期()()()()()12342,f x f x f x f x f x ++++++++=由 ()()()()12....20212404809,1f f f f +++=+⨯=故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)13.45【解题思路】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++ 14. 0【解题思路】2224222212log 3log log 3log 3log 3log 3092--+=+=+=【解题思路】设(),R ,z a bi a b =+∈有223,||z z a b z ⋅=+==16. 1n a n =+，1122n T n =-+【解题思路】112,1n n n a a S S n -=-==+,所以 11(1)(2)121n n n n =-++++,故1{}1n n a a +的前n 项和1122n T n =-+. 三，简答题17.【答案】(1)因为PA AB =,E 为PB 中点,所以,AE PB ⊥因为PA ⊥平面ABCD,所以,PA BC ⊥由,BC AB ⊥所以BC ⊥平面PAB,所以BC AE ⊥又,BC PB B =所以AE ⊥平面PAB,所以平面AEF ⊥平面PAB. (2)1324443231B PCD A PCD P ACD V V V ---===⨯⋅⋅⨯=142PCDS=⨯=则3V h S ===分) 18. 【答案】(1)由正弦定理知sin si c 1n sin os 2A B C B += 有sin cos cos s i 1in sin s n cos 2BC B C B C B ++=,所以cos 21C =-2,3C π=（6分）222(2)2cos 19,c a b abC c =+==-所以2sin c R R C ====(12分)19．【答案】（1）依据面积中位数两侧面积相等可知中位数为3.4; (Ⅱ)依据分层抽样,A 组有2人,设为x ，y ，B 组有3人,设为a ，b ，c从中任选2人,可能的情况为xya 、xyb 、xyc 、xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 、 abc 共10种情况,其中B 组户数有2户的有xab 、xbc 、xac 、yab 、ybc 、yac 共6 种,因此选出的B 组户数为2的概率为63105=. 20．【答案】(1)设()()1122,,,A x y B x y 联立直线方程与椭圆方程有22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩有()224230,k x kx ++-=有12224x x k k +=-+，122424y y k +=+ 所以AB 中点坐标为224,44k k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭,(0)k ≠ 由1,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭(),0,1,N MN 中点坐标为11,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为,AM NB =所以线段MN 的中点与AB 的中点重合,有221241424k k k k ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩解得2k =±(6分) (2)由(1)可知122163|6231|1 PABSx x k =⨯⨯-⨯=++=3,43所以6331PAB S ∆=当k=0时PAB ∆面积最大.(12分) 21.【答案】(1)a e =时，()ln (0),xf e e x x x =->(0)t >()x xef t e '=-易知()x f '为增函数,且()10f '=所以当()0,1x ∈时()(),0,x x f f '<单调递减,当()1,x ∈+∞时()(),0,x x f f '>单调递增.(4分)(2) ()xxaf e x '=-,当0a >时,易知()x f '为()0,+∞上增函数, 当a e >时(),01f e a '=-<；当 a e =时(),10f e a '=-=；当a e <时,0ae af e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭而()10,a f a e '=->所以存在()00,,x ∈+∞()0000xae xf x '=-=即00ln ln a x x =- 当()00,x x ∈时()(),0,x x f g '<单调递减, 当()0,x x ∈+∞时()(),0,x x f g '>单调递增: 所以()()00000ln ln 2ln x x x x a af f e a x ax a a a a =-=+--.(12分) 22.【答案】(1)直线l 的普通方程是210x y --=,圆的直角坐标方程是22240x y x y +--=（5分）(2)圆心(1,2)到直线l 的距离d =圆半径r =所以||AB ==（10分） 23.【答案】(1)证明:因为0,0a b >>,2222224a b a b ab+++()2a b +=当且仅当2a b ==时取等号)(5分) (2)因为4a b +=,所以26,a b ++=所以()221111*********a a b ba b a b a b ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1132623+=+,)2a b +=时取等号(10分)。