第五章数列-PPT精品.ppt
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等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.pptx
分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列全部ppt课件
课
前
5.数列的两种表示方法：通项公式；递推公式.
双
基 巩
（1）已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝
固
32，a4＝32，则 a8＝
.
（2）已知非零数列{an}的递推公式为 an＝n－n 1·an－1
（n＞1），且 a1＝1，则 a4＝
.
[答案]
9 (1)4
(2)4
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课 前
► 易错问题
双
基 巩 固
4.函数的概念的两个易混点：项 an；项数 n. （1）已知数列{an}的通项公式为 an＝nn－ ＋11，则数列{an}
的第 5 项是
.
（2）已知数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列
的第
项.
[答案]
2 (1)3
(2)7
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第27讲 数列的概念与简单表示法
故该数列的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
探
究
(2)由题意可知，数列可变形为89×(1－0.1)，89×(1－0.01)，
89×(1－0.001)，…，所以其通项公式可以为 an＝891－110n.
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第27讲 数列的概念与简单表示法
• ► 探究点二 由数列的递推关系式求通
[解析] (1)每一项都比项数的 3 倍少 1，故其通项公式
课 可以为 an＝3n－1.
堂
(2)各项的分母分别为 21，22，23，24，…，易看出从
考 点
第 2 项起，每一项的分子都比分母少 3，且第 1 项可变为
探 究
－2－2 3，
数列_课件PPT
④各项符号特征和绝对值特征等，并对此进行 归纳，猜想．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
第5章《数列》(第1节)ppt 省级一等奖课件
第五章 数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
a8＝________．
解析
由已知得24pp＋＋qq24＝＝3232，，解得pq＝＝142，.
则 an＝14n＋2n，故 a8＝94.
答案
9 4
第五章 数列
[关键要点点拨] 1．对数列概念的理解
(2014·安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若不等 式 a2n＋Sn2n2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立，
则实数 m 的最大值为
()
1
1
A.4
B.5
C．1
D．无法确定
第五章 数列
【思路导析】 将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为 函数的最值问题求解． 【解析】 因为 Sn＝12n(a1＋an)， 所以原不等式可化为 a2n＋41(a1＋an)2≥ma21. 若 a1＝0，则原不等式恒成立； 若 a1≠0，则有 m≤54aan12＋21aan1＋41，
第五章 数列
满足条件 项数 有限 项数 无限
an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an
其中 n∈N*
第五章 数列
3.数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
第五章 数列
二、数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项an 与它 的 前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式 来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
第五章 数列
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
第五章时间数列
a a1 2 0 1 1 0 1 3 0 1 2 0 万 元
n
3
第三季度月平均销售额：
a a 1 4 0 1 3 0 1 5 0 1 4 0 万 元
n
3
第四季度月平均销售额：
a a 1 6 0 1 5 0 1 7 0 1 6 0 万 元
n
3
全年月平均销售额：
a a 1 0 0 1 1 0 … 1 7 0 1 3 2 .5 万 元
发展速度 报告期水 1平 0％ 0 基期水平
当发展速度大于100%时;表示上升;小于100%时;表示下降
环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比;反映社会 经济现象逐期发展变化的相对程度
环比发展报 速告 度期水 10平 ％ 0 前一期水平
定基发展速度是报告期水平与某一固定基期水平之比;反 映社会经济现象在较长一段时间内总的发展变化程度;故 又称总发展速度
相对数或平均数时间数列的序时平均数的计算公式为：
c
a
b
式中;
c
为相对数或平均数时间数列的序时平均数；
a
为分子数列的序时平均数；
b
为分母数列的序时平均数
例5：某厂某年第一季度各月商品销售额计划完成情况如表 54所示;试求第一季度的平均完成率
表54 某厂某年第一季度各月商品销售额 计划完成情况统计表
时间数列的主要作用
①时间数列可以表明社会经济现象的发展变化趋势及规 律性 如把相邻几年各季空调的销售量编制成时间数列; 通过比较不仅会发现空调的销售量有不断增长的趋势; 而且还会发现销售量的季节变动规律
②可以根据时间数列;计算各种时间动态指标值;以便具体 深入地揭示现象发展变化的数量特征
③运用时间数列可以预测现象的发展方向和发展速度;为 经济决策或经营决策提供重要依据
第5章 第4讲数列求和-2022版高三数学(新高考)一轮复习课件_ppt(56张)
天气骤冷2，0红2旗0 冻结。这句诗形象的写出了色彩鲜明、红白映衬的景象，“掣”字用了拟人的修辞手法，生动形象的写出了塞外天气的恶劣，寒风的呼啸。但在这样的环境下，红
旗却被冻的不会翻动了，更加突出了雪之大、天气之寒冷。从“红”字能反衬出白雪皑皑的景象，而“不翻”则衬托出了天气的寒冷。 二是语言清新淡雅而又晶莹明丽，明白晓畅而又情韵悠长。
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第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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3．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝( B ) A．9
B．99
C．10
D．100
[解析]
因为 an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
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知识梳理 • 双基自测
第五章 数列
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知识点一 公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的 前 n 项和公式．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
第五章 数列
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(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
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第五章 数列
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旗却被冻的不会翻动了，更加突出了雪之大、天气之寒冷。从“红”字能反衬出白雪皑皑的景象，而“不翻”则衬托出了天气的寒冷。 二是语言清新淡雅而又晶莹明丽，明白晓畅而又情韵悠长。
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3．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝( B ) A．9
B．99
C．10
D．100
[解析]
因为 an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
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知识点一 公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的 前 n 项和公式．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
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(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
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第五章 数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
05第五章 数列【讲义】
第五章 数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。
其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。
若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式：S n =d n n na a a n n 2)1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有q a a nn =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。
定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =qq a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。
第五章数列-PPT精品
(5)0，1，0，1，….
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…； (3)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (4)32，1，170，197，…； (5)0，1，0，1，….
答案：32＋·b3，n－1，nn≥＝21
聚焦考向透析
考 向三 由递推公式求通项公式
例题精编
例3 (2019·高考大纲全国卷) 已知数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
聚焦考向透析 考 向 三 由递推公式求通项公式
第一章 从实验学化学 第五章 数列
第一课时 数列的概念与简单的表示方法
考纲点击 基础知识梳理 聚焦考向透析 学科能力提升 微课助学
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1 考纲点击 2 基础知识梳理 3 聚焦考向透析 4 学科能力提升 5 微课助学
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1
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)
基础知识系统化2
此题主要考查了数列的分类：
分类原则
类型
满足条件
项数
项与项间的 大小关系
有穷数列
项数有限
无穷数列 递增数列 递减数列
常数列
项数无限
an＋ 1＞an
an＋ 1＜an
an＋ 1＝an
其中 n∈N*
摆动数列
从第2项起有些项 大于它的前一项，有 些项小于它的前一项.
数列----35页PPT精选文档
解：① 设鱼的原重为a，第一年增长率 b=200%=2，每年的鱼的重量依次为a1，a2， a3，…an…
a1 a(1 b) 3a
a2
a1 (1
b) 2
3a(1
2) 2
6a
a3
a2 (1
b) 4
6a(1
2) 4
9a
a4
a3 (1
b) 8
9a(1
2) 8
想：下面一列数中，相邻两数的差是 1、1、2、2、3、3、4、4、…… 第20个拐弯处的数是 1+2×(1+2+……+10)=111
例4
:
求和 S n
1 1.3
1 3.5
(2n
1 1)( 2n
1)
通项 an
1 2
(1 2n 1
1) 2n 1
Sn
1 2
(1
1 3
解：我们先退到开始的简单情况来推算，从中归纳 出递推关系.
1月：只有1对小兔。 2月：长成一对大兔，但尚不会生殖. 3月：这对大兔生了一对小兔，这时共2对兔子。 4月：大兔又生了一对小兔，而上月出生的小兔正在长大，这
时共3对兔子。 5月：这时已有两对大兔可以生殖（原来的大兔和第三个月出
有3个图形， 周期为3
□○△ □○△□○△□○△ □○△ □○
15÷3=5（组）
答:第15个是△
16÷3=5（组）……１（个） 答:第16个是□
17÷3=5（组）……2（个） 答:第17个是○
所给数÷周期所得结果没有余数则题中 所求为印章的最后一个；若余数为1，题 中所求是印章的第一个；若余数为2，题 中所求是印章的第二个；若余数为3，题 中所求是印章的第三个……
数列的课件
详细描述
等比数列的前n项和公式为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中S_n是前n项和，a_1是首项，q是公比，n是项 数。这个公式表示前n项的和是首项乘以(1减去公比的n次幂)再除以(1减去公比)。
04
数列的极限
数列极限的定义
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项满足|a_n - L| < ε， 则称数列收敛于L，L称为数列的极限。
无穷数列
数列中的数有无限多个。
递增数列
数列中的数按照从小到大的顺 序排列。
递减数列
数列中的数按照从大到小的顺 序排列。
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其 特点是每两个相邻的项之间的差 是一个常数。
详细描述
等差数列的定义是指从第二项起 ，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数的一种数列。这个常 数叫做等差数列的公差。
果。
06
数列的插值与拟合
线性插值
线性插值的概念
线性插值是一种简单的插值方法，通过构造一个经过给定点的直 线来近似地连接两个相邻的点。
线性插值的公式
给定两个点(x0, y0) 和(x1, y1)，线性插值的公式为 y = y0 + (x x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)。
线性插值的适用范围
拟合与逼近的差异
拟合和逼近都是通过选择一个函数或模型来近似地描述一 组数据之间的关系，但拟合强调的是通过已知数据点来逼 近未知数据点，而逼近则更侧重于通过已知函数或模型来 近似地表示另一个函数或模型。
THANK YOU
感谢观看
等比数列的前n项和公式为 S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中S_n是前n项和，a_1是首项，q是公比，n是项 数。这个公式表示前n项的和是首项乘以(1减去公比的n次幂)再除以(1减去公比)。
04
数列的极限
数列极限的定义
定义
如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的第n项满足|a_n - L| < ε， 则称数列收敛于L，L称为数列的极限。
无穷数列
数列中的数有无限多个。
递增数列
数列中的数按照从小到大的顺 序排列。
递减数列
数列中的数按照从大到小的顺 序排列。
02
等差数列
等差数列的定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其 特点是每两个相邻的项之间的差 是一个常数。
详细描述
等差数列的定义是指从第二项起 ，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数的一种数列。这个常 数叫做等差数列的公差。
果。
06
数列的插值与拟合
线性插值
线性插值的概念
线性插值是一种简单的插值方法，通过构造一个经过给定点的直 线来近似地连接两个相邻的点。
线性插值的公式
给定两个点(x0, y0) 和(x1, y1)，线性插值的公式为 y = y0 + (x x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)。
线性插值的适用范围
拟合与逼近的差异
拟合和逼近都是通过选择一个函数或模型来近似地描述一 组数据之间的关系，但拟合强调的是通过已知数据点来逼 近未知数据点，而逼近则更侧重于通过已知函数或模型来 近似地表示另一个函数或模型。
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五章数列
第 五 章 数 列
第一 节 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法
抓基础
明考向
教你一招 我来演练
提能力
[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、 通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
返回
怎 么 考 1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公
an 则 n 的最小值为 A．9.5 C．10.5
返回
[自主解答] 由题意可知 an＋1＝an＋2n，由迭代法可得 an＝a1＋ an 2[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]＝n －n＋33，从而当 n＝6 时， n
2
取得最小值 10.5.
[答案] C
返回
若本例条件变为：数列{an}满足下列条件：a1＝1，且
项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一．
返回
2．数列中最大项和最小项的求法 求数列中最大(小)项均须借助数列的通项公式，求最大项的方
an≥an－1； 法：设an为最大项，则有 an≥an＋1 an≤an－1， 为最小项，则有 an≤an＋1.
；求最小项的方法：设an
q 3 2 p ＋ 2＝2， 解析：由已知得 4p＋q＝3， 4 2 1 2 9 则an＝4n＋n，∴a8＝4.
1 p＝ ， 4 解得 q＝2.
9 答案：4
返回
1．求通项公式的技巧
根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观 察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各 项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序 号之间的关系，并用n表示出来．不是所有的数列都有通
返回
返回
2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列1，3，5，7，9…的一个通项公式是 A．an＝ n 2n＋1 B．an＝ n 2n－1
第一 节 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法
抓基础
明考向
教你一招 我来演练
提能力
[备考方向要明了]
考 什 么 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、 通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
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怎 么 考 1.本部分主要考查数列的基本概念及表示方法、通项公
an 则 n 的最小值为 A．9.5 C．10.5
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[自主解答] 由题意可知 an＋1＝an＋2n，由迭代法可得 an＝a1＋ an 2[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]＝n －n＋33，从而当 n＝6 时， n
2
取得最小值 10.5.
[答案] C
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若本例条件变为：数列{an}满足下列条件：a1＝1，且
项公式，一个数列的通项公式在形式上可以不唯一．
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2．数列中最大项和最小项的求法 求数列中最大(小)项均须借助数列的通项公式，求最大项的方
an≥an－1； 法：设an为最大项，则有 an≥an＋1 an≤an－1， 为最小项，则有 an≤an＋1.
；求最小项的方法：设an
q 3 2 p ＋ 2＝2， 解析：由已知得 4p＋q＝3， 4 2 1 2 9 则an＝4n＋n，∴a8＝4.
1 p＝ ， 4 解得 q＝2.
9 答案：4
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1．求通项公式的技巧
根据数列的前几项写出数列的通项公式时，常用到“观 察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各 项相同的部分(不变量)，再找出不同的部分(可变量)与序 号之间的关系，并用n表示出来．不是所有的数列都有通
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2 3 4 5 1．(教材习题改编)数列1，3，5，7，9…的一个通项公式是 A．an＝ n 2n＋1 B．an＝ n 2n－1
数列ppt课件
（6）
定义：
按一定顺序排列的一列数叫数列。
数列中的每一个数叫做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列的第1项（首项）， 第2项，······，第n项， ······。
根据数列的定义知数列是按一定顺序排列 的一列数，因此若数列中被排列的数相同，但 次序不同，则不是同一数列。 如： 数列（4）4，5，6，7，8，9，10。改为
数列（4’）10，9，8，7，6，5，4。 它们不是同一数列。 又如：数列（5）－1，1，－1，1，···。改为
数列（5’）1，－1，1，－1，···。 则它们也不是同一数列。
数列中的每一个数都对应着 一个序号，反过来，每个序号也都 对应着一个数。如数列（4） 项 4 5 6 7 8 9 10
序号 1 2 3 4 5 6 7 这说明：数列的项是序号的函
答案： （1） （2） （3） （4）
an 1 n1 an 1 1 n1
an 10n 1 an 1 10n
思考题：
2、数列2，4，8，16···的通项
公式一定是 an 2n 吗？
小结：
本节课学习的主要内容有： 1、数列的定义； 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、数列通项公式的求法等。
数，序号从1开始依次增加时，对 应的函数值按次序排出就是数列， 这就是数列的实质。
数列的一般形式可以写成：
a1, a2, a3,an,,
a 其中an是数列的第n项，上面的数列又可简记为 n
如数列（1）
n 1，2，3，4，5，··· ···可简记为 n
如数列（2）
1,
1 2
,
1 3
,,
1 n
项数有限的数列叫做有穷数列
项数无限的数列叫做无穷数列
人教版高中数学课件-数列
高考总复习 数学
第五章 数列 (人教 A 版必修 5 第 39 页 B 组 3 题改编)已知数列{an}
满足：a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)，求数列{an}的通项 公式．
高考总复习 数学
第五章 数列 [解] 解法一：an－an－1＝nn1－1＝n－1 1－1n an－1－an－2＝n－11n－2＝n－1 2－n－1 1 …… a2－a1＝2×1 1＝1－12 ∴各式相加得 an－a1＝1－1n 又 a1＝1 ∴an＝2－1n＝2n－ n 1.
例如，形如an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b為常數)的遞 推數列都可以用待定係數法轉化為公比為k的等比數列後，再求 an.
高考总复习 数学
第五章 数列
高考总复习 数学
高考总复习 数学
第五章 数列
(人教 A 版必修 5 第 36 页例 3 前的引例改编)设数列{an}
满足aa1n＝＝12an－1＋1n＞1 求数列{an}的通项公式． [解] 解法一：由遞推公式得a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3
＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，…，猜想an＝2n－1.
高考总复习 数学
第五章 数列
∴
Tn
＝
1
＋
2×
1 2
＋
3×(
1 2
)2
＋
……
＋
(n－1)×(源自1 2)n－
2
＋
n×(12)n－1
1 2
Tn
＝
1 2
＋
2×(
1 2
)2
＋
3×(
1 2
)3
＋
……
＋
(n
－
1)×(
1 2
第五章 数列 (人教 A 版必修 5 第 39 页 B 组 3 题改编)已知数列{an}
满足：a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)，求数列{an}的通项 公式．
高考总复习 数学
第五章 数列 [解] 解法一：an－an－1＝nn1－1＝n－1 1－1n an－1－an－2＝n－11n－2＝n－1 2－n－1 1 …… a2－a1＝2×1 1＝1－12 ∴各式相加得 an－a1＝1－1n 又 a1＝1 ∴an＝2－1n＝2n－ n 1.
例如，形如an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b為常數)的遞 推數列都可以用待定係數法轉化為公比為k的等比數列後，再求 an.
高考总复习 数学
第五章 数列
高考总复习 数学
高考总复习 数学
第五章 数列
(人教 A 版必修 5 第 36 页例 3 前的引例改编)设数列{an}
满足aa1n＝＝12an－1＋1n＞1 求数列{an}的通项公式． [解] 解法一：由遞推公式得a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3
＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，…，猜想an＝2n－1.
高考总复习 数学
第五章 数列
∴
Tn
＝
1
＋
2×
1 2
＋
3×(
1 2
)2
＋
……
＋
(n－1)×(源自1 2)n－
2
＋
n×(12)n－1
1 2
Tn
＝
1 2
＋
2×(
1 2
)2
＋
3×(
1 2
)3
＋
……
＋
(n
－
1)×(
1 2
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2
了解数列是自变量为正整数的一类函数．
考纲点击
基础知识梳理 聚焦考向透析 学科能力提升 微 课 助 学
基础知识梳理
梳 理 一 数列的有关概念
梳理自测1
1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是( C)
A．an＝4n－7
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1) D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
聚焦考向透析 考 向一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分 析，抓住以下几方面的特征：
(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征． 2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系 、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇 偶数列等)转换而使问题得到解决．
梳 理 一 数列的有关概念
基础知识系统化4
数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
基础知识梳理
梳 理 二 Sn与an的关系
梳理自测
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8 的值为( A)
A．15 B．16 C．49 D．64
观察数列中每项的共同特 征及随项数变化规律，写 通项公式．
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1 表示，其各项的绝对值的排列规 律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an ＝(－1)n(6n－5)．
基础知识系统化
◆以上题目主要考查了以下内容： 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2.
2．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n
＝1，2，3，…)，则通项公式an＝ ____2_n_-1_1_．
基础知识梳理
指点迷津
1．一种特殊性 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集 上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数 列． 数列的图象是一群孤立的点． 2．与集合的两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两 个数列，这有别于集合中元素的无序性． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．
(2)将数列变形为 89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…
∴an＝891－110n.
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(3)各项的分母分别为 21，22，23，24，…， 易看出第 2，3，4 项的分子分别比分母少 3. 因此把第 1 项变为－2－2 3，原数列可化为
预习自测3
基础知识系统化3
3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1， 此题主要考查了数列的表示
则a5的值为( )B
法： ①列举法：a1，a2，
A．30 B．31
a3，…an，…；
C.32 D.33
②图象法：数列可用一群孤 立的点表示；
③解析法(公式法)：通项公式
或递推公式．
基础知识梳理
21－3 22－3 23－3 24－3 － 21 ， 22 ， 23 ， 24 ，…， ∴an＝(－1)n·2n2－n 3.
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
35 7 9 (4)将数列统一为2，5，10，17，…，对于分子 3，5，7，9，…，是序号的 2 倍加 1，可得
基础知识系统化1
此题主要考查了数列的定 按照一定顺序义排：列着的一列数
称为数列，数列中的每一个数 叫做这个数列的项．排在第一 位的数称为这个数列的第1项
(通常也叫做首项)．
基础知识梳理
梳 理 一 数列的有关概念
梳理自测2
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n /n+1，
则这个数列是( ) A
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
基础知识系统化2
此题主要考查了数列的分类：
分类原则
类型
满足条件
项数
项与项间的 大小关系
有穷数列
项数有限
无穷数列 递增数列 递减数列
常数列
项数无限
an＋ 1＞an
an＋ 1＜an
an＋ 1＝an
其中 n∈N*
摆动数列
从第2项起有些项 大于它的前一项，有 些项小于它的前一项.
基础知识梳理
梳 理 一 数列的有关概念
聚焦考向透析 考 向一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
根据数列的前几项，
写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1，7，－13，19，…；
(2)0.8，0.88，0.888，…；
11
5 13
29 61
(3)2，4，－8，16，－32，64，…；
(4)32，1，170，197，…；
分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2，5，10，17，…，联想到数列 1，4，9，16，…，
即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，
2n＋1 因此可得它的一个通项公式为 an＝n2＋1 .
(5)an＝10
（n为奇数） （n为偶数）
或 an＝1＋（2－1）n或 an＝1＋co2s nπ
第一章 从实验学化学 第五章 数列
第一课时 数列的概念与简单的表示方法
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1
了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)
(5)0，1，0，1，….
聚焦考向透析 考 向 一 由数列的前几项归纳数列的通项公式
例题精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…；
1 1 5 13 29 61 (3)2，4，－8，16，－32，64，…； (4)32，1，170，197，…； (5)0，1，0，1，….