全国初中数学联赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】:代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长,且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \),求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】:几何问题2. 给定一个圆,圆心为 \( O \),半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \),连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】:数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \),公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式,并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】:函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \),求该函数的最小值。
【试题五】:概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球,求两个球颜色相同的概率。
【试题六】:组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球,需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中,每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】:逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中,有三个人分别说了以下的话:- 甲说:“乙是说谎者。
”- 乙说:“丙是说谎者。
”- 丙说:“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎,那么谁说的是真话?【试题八】:创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米,求这个正方体的表面积。
【试题九】:应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水,同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的,求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】:综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米,圆内接一个等边三角形。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b,那么a + b 等于_____.答案:-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1(m、n 都不为 0),若 m + n 等于 8,则 m - n 等于_____.答案:73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=3,Sn=15,则 n 的值是_____.答案:64. 在△ABC 中,已知 a=4,b=4,c=8,若 AB+AC=9,则∠B =_____.答案:45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为(3,1)、(5,-1),则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案:B6. 若正方形的边长为 x,周长为 5x,则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案:A7. 已知tanα=2,cotβ=-3,则 tan(α-β)等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案:B8. 把一个正整数分成 K 份,第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的()A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案:B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1,若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切,求该曲线上点 P 的坐标答:设点 P 的坐标为 (x,y),因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切,所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得,即 y=12-4/3x,由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1,故 x=7,代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中,a=3,b=3,∠A=120°,求 B 的坐标答:由△ABC 中 A 的坐标为(0,0),a=3,b=3 可知 C 的坐标为(3,0),∠A=120°,∠C=60°,因为∠B=60,则以 C 为外接圆圆心,半径为3 的圆○上可得点B,即B(√3,1),综上所述,点B 的坐标为(√3,1)。
全国初二数学竞赛试题及答案解析
全国初二数学竞赛试题及答案解析一、选择题(每题3分,共30分)1. 若a、b、c是三角形的三边长,且满足a^2 + b^2 = c^2,那么这个三角形是:A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不规则三角形答案:A解析:根据勾股定理的逆定理,如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
2. 已知x^2 - 5x + 6 = 0,求x的值。
A. 1B. 2C. 3D. 6答案:C解析:这是一个二次方程,可以通过因式分解法求解。
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0,解得x = 2 或 x = 3。
...30. 已知一个数列的前三项为2, 3, 5,且每一项都是前两项的和,求第10项的值。
答案:55解析:这是一个斐波那契数列,每一项都是前两项的和。
根据数列的规律,可以依次计算出第10项的值为55。
二、填空题(每题4分,共20分)31. 如果一个圆的半径是r,那么它的面积是______。
答案:πr^232. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c,它的体积是______。
答案:abc...三、解答题(每题10分,共50分)36. 已知一个等腰三角形的底边长为10厘米,两腰的长度相等,且底角为45度。
求这个等腰三角形的面积。
答案:25√2解析:首先,根据底角为45度,我们可以知道这是一个等腰直角三角形。
根据勾股定理,两腰的长度为底边的√2倍,即10√2厘米。
然后,根据三角形面积公式(底×高÷2),面积为10×(10√2)÷2=50√2平方厘米。
37. 一个数的平方减去这个数等于36,求这个数。
答案:9 或 -4解析:设这个数为x,根据题意,我们有x^2 - x - 36 = 0。
这是一个二次方程,可以通过因式分解法求解:(x - 9)(x + 4) = 0。
解得x = 9 或 x = -4。
...结束语:本次全国初二数学竞赛试题涵盖了代数、几何、数列等多个领域,旨在考察学生的数学基础知识和解题能力。
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里)1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( )A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( )答案:C解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( )A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案:B解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴541N ,即1 N ,2,3,4,55、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且cb a ba b a,则它的内角A 、B 的关系是( )A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案:B解析:由c b a b a b a得c a bb a ,延长CB 至D ,使AB BD ,于是c a CD 在ABC 与DAC 中,C C ,且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ,D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,面积为S ,111C B A 的三边长分别为1a ,1b ,1c ,面积为1S ,且1a a ,1b b ,1c c ,则S 与1S 的大小关系一定是( )A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案:D解析:分别构造ABC 与111C B A 如下:①作ABC ∽111C B A ,显然1211a a S S ,即1S S ;②设101b a ,20c ,则1 c h ,10 S ,10111 c b a ,则10100431S ,即1S S ;③设101 b a ,20 c ,则1 c h ,10 S ,2911 b a ,101 c ,则2 c h ,101 S ,即1S S ;因此,S 与1S 的大小关系不确定。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一:代数问题题目:如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数,且\( a^2 + b^2= 45 \),求\( a \)和\( b \)的值。
解答:设\( a \)为较小的自然数,那么\( b = a + 1 \)。
根据题意,我们有:\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得:\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此,\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数,所以\( a = 2 \),\( b = 3 \)。
试题二:几何问题题目:在一个直角三角形中,直角边的长度分别为3厘米和4厘米,求斜边的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算:\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值:\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三:数列问题题目:一个等差数列的前三项分别是2,5,8,求这个数列的第10项。
解答:等差数列的通项公式是:\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项,\( a_1 \)是首项,\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \),公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项:\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=,则||||||a b b c c a -+-+-= ( ) A .1. B .2. C .3. D .4..2.若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=,49||6a b c -=,则c 可能取的最大值为 ( ) A .0. B .1. C .2. D .3.3.若b a ,是两个正数,且 ,0111=+-+-ab b a 则 ( )4.若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根,则2a b c +-的值为 ( ) A .-13. B .-9. C .6. D . 0.5.在△ABC 中,已知︒=∠60CAB ,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,且︒=∠60AED ,CE DB ED =+,CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A .15°.B .20°.C .25°.D .30°.6.对于自然数n ,将其各位数字之和记为n a ,如2009200911a =+++=,201020103a =+++=,则12320092010a a a a a +++++= ( )A .28062.B .28065.C .28067.D .28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2.二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ,B 两点,与y 轴正方向交于点C .已知AC AB 3=,︒=∠30CAO ,则c = .3.在等腰直角△ABC 中,AB =BC =5,P 是△ABC 内一点,且PA 5PC =5,则PB =______.4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放_______个球.第二试 (A )一.(本题满分20分)设整数,,a b c (a b c ≥≥)为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二.(本题满分25分)已知等腰三角形△ABC 中,AB =AC ,∠C 的平分线与AB 边交于点P ,M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点,作MD//AC ,交⊙I 于点D.证明:PD 是⊙I 的切线.三.(本题满分25分)已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ,Q (2,10)a . (1)如果,,a b c 都是整数,且8c b a <<,求,,a b c 的值.(2)设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ,与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数,求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 (B )一.(本题满分20分)设整数,,a b c 为三角形的三边长,满足22213a b c ab ac bc ++---=,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数(全等的三角形只计算1次).二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同. 三.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.第二试 (C )一.(本题满分20分)题目和解答与(B )卷第一题相同. 二.(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第二题相同.三.(本题满分25分)设p 是大于2的质数,k 为正整数.若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k 的值.全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=,则||||||a b b c c a -+-+-= ( B ) A .1. B .2. C .3. D .4. 解: 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩,分别代入即得。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4,则斜边上的高为:A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定(答案)A2、若a、b、c为三角形的三边长,且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c,则此三角形为:A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定(答案)A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时,若先消去y,则得到的方程是:A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22(答案)B4、在平行四边形ABCD中,若∠A : ∠B = 2 : 3,则∠C的度数为:A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定(答案)C5、已知 |x| = 5,y = 3,则x - y等于:A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2(答案)D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根,则k的值为:A. -3B. 3C. -1D. 1(答案)D7、在圆O中,弦AB的长度等于半径OA,则∠AOB的度数为:A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°(答案)B8、若a > b > 0,c < d < 0,则一定有:A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c(答案)A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3),则它的图像不经过:A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(答案)C10、在△ABC中,若∠A = 60°,∠B = 45°,则∠C的度数为:A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°(答案)C。
全国初中数学联赛试题(含参考答案)
全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题(本题满分42分,每小题7分) 1、设17-=a ,则=--+12612323a a a ( A )A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中,最大角A ∠是最小角C ∠的两倍,且7=AB ,8=AC ,则=BC ( C ) A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数,则方程[]0322=--x x 的解的个数为( C ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ,在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为 ( B )A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图,在矩形ABCD 中,3=AB ,2=BC ,以BC 为直径在矩形内作半圆,自点A 作半圆的切线AE ,则=∠CBE sin ( D )A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数,使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 ( B )A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1、已知t 是实数,若a ,b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根,则()()1122--b a的最小值是____________.答案:3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点,作BC DE //交AC 于点E ,作AC DF //交BC 于点F ,已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ,则四边形DECF 的面积为______.答案:mn 23、如果实数a ,b 满足条件122=+b a ,2212|21|a b a b a -=+++-,则____=+b a . 答案:1-4、已知a ,b 是正整数,且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数,则这样的有序数对(a ,b )共有_对。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上,我们画了一个圆和一条直径,直径与圆相交于A、B 两点。
如果我们在这张纸上连续地画了8个点,使得这些点都在圆上,那么这8个点的最密集分布是()。
A. 像一个“十”字形,两边各4个点 B. 像一个“十”字形,两边各3个点 C. 像一个“米”字形,上面各4个点 D. 像一个“米”字形,上面各3个点答案:C 解析:根据圆的对称性,我们可以得知,直径两侧的点到圆心的距离相等,因此在一个“十”字形中,中间的交点是最密集的。
而在“米”字形中,上面的4个点距离交点的距离相等且最短,因此是最密集的。
2、在一个等边三角形ABC中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。
现在以D为圆心,DE为半径画圆弧,交AB于G。
则△DFE的面积是阴影部分面积的()。
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案:C 解析:由题意可知,DE是△ABC的中位线,因此DE=1/2AB。
而△DFE是直角三角形,斜边DE是直径,因此∠DFE=90°。
所以,△DFE的高是DE的一半,即1/4AB。
因此,△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。
而阴影部分的面积是△ABC面积的一半,即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。
所以,△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=1。
现在以这个三角形的顶点为圆心,1为半径画圆弧,则这三个圆弧的长度之和为()。
A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案:C 解析:根据题意,我们可以得到三个圆弧的半径都是1。
其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2,第二个圆弧的长度也为π/2,第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。
初中数学全国竞赛试题及答案
初中数学全国竞赛试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16,那么这个数是:A. 4B. ±4C. 16D. ±163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边的长度是:A. 5B. 6C. 7D. 84. 将一个圆分成四个相等的扇形,每个扇形的圆心角是多少度?A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5. 一个数的立方等于-8,这个数是:A. -2B. 2C. -8D. 8二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个数的平方根等于它本身,这个数是______。
7. 如果一个数的绝对值等于5,那么这个数可以是______。
8. 一个数的倒数是1/4,那么这个数是______。
9. 一个数的平方是25,这个数可以是______。
10. 一个数的立方根是2,那么这个数是______。
三、解答题(每题10分,共30分)11. 已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c,求长方体的体积。
12. 一个圆的半径是r,求圆的面积。
13. 已知一个等腰三角形的两个腰长为a,底边长为b,求三角形的面积。
四、证明题(每题15分,共30分)14. 证明:直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
15. 证明:如果一个角的余弦值等于1/2,那么这个角是60°。
五、应用题(每题20分,共20分)16. 某工厂生产一种零件,每个零件的成本是5元,售价是10元。
如果工厂想要获得10000元的利润,需要生产和销售多少个这种零件?初中数学全国竞赛试题答案一、选择题1. B2. B3. A4. C5. A二、填空题6. 0或17. ±58. 49. ±510. 8三、解答题11. 长方体的体积 = 长× 宽× 高= a × b × c。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised on November 28, 2020中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.)1(甲).如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为( ).(A )2c a - (B )22a b - (C )a - (D )a 1(乙).如果22a =-+11123a+++的值为( ).(A )2- (B 2(C )2 (D )22(甲).如果正比例函数y = ax (a ≠ 0)与反比例函数y =x b(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为( ).(A )(2,3) (B )(3,-2) (C )(-2,3) (D )(3,2)2(乙). 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2+y 2≤2x +2y 的整数点坐标(x ,y )的个数为( ).(A )10 (B )9 (C )7 (D )53(甲).如果a b ,为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++,, ,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ). (A )1 (B )214a - (C )12(D )143(乙).如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形.30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5,则CD 的长为( ). (A )23 (B )4 (C )52 (D )OAB CED4(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”;小玲对小倩说:“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是( ). (A )1 (B )2 (C )3 (D )44(乙).如果关于x 的方程 20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( ).(A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 85(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ). (A )0p (B )1p (C )2p (D )3p5(乙).黑板上写有111123100, , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).(A )2012 (B )101 (C )100 (D )99 二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分) 6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 . 6(乙).如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么a b cb c c a a b+++++的值为 .7(甲).如图,正方形ABCD 的边长为215,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7(乙).如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA为一条对角线作矩形OBAC ,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,xyO ECABD若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 。
全国初中数学联合竞赛试题 及详细 解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试(A)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)(本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.已知实数a,b,c 满足213390a b c ++=,3972a b c ++=,则32b c a b+=+ ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 2.已知△ABC 的三边长分别是a,b,c ,有以下三个结论:(1a b c(2)以222,,a b c 为边长的三角形一定存在;(3)以为1,1,1a b b c c a -+-+-+为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为 ( )A .0B .1C .2D .33.若正整数a,b,c 满足a b c ≤≤且=2()abc a b c ++,则称()a b c ,,为好数组.那么,好数组的个数为 ( )A. 1 B .2 C .3 D .44.设O 是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点,若0180BAD ACB ∠+∠=,且BC=3,AD=4,AC=5 ,AB=6 ,则DO OB= ( ) A. 10/9 B .8/7 C .6/5 D .4/3第4题图 第5题图5.设A 是以BC 为直径的圆上的一点,AD ⊥BC 于点D ,点E 在线段DC 上,点F 在CB 的延长线上, 满足BAF CAE ∠=∠.已知BC=15,BF=6,BD=3,则AE = ( ) A. 43 B. 213 C. 214 D. 2156.对于正整数n ,设a n 是最接近n 的整数,则1232001111...a a a a ++++=( ) A. 191/7 B .192/7 C .193/7 D .194/7二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.使得等式31+1+a a =成立的实数a 的值为______ _.2.如图,平行四边形ABCD 中,072ABC ∠=,AF BC ⊥于点F ,AF 交BD 于点E ,若DE=2AB ,则AED ∠=______.3.设m,n 是正整数,且m>n. 若9m 与9n 的末两位数字相同,则m-n 的最小值为 .4.若实数x,y满足3331+的最小值为.x y++=,则22x y xy第一试(B)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.已知二次函数y ax2bx c(c 0)的图象与x轴有唯一交点,则二次函数y a3 x2b3x c3的图象与x 轴的交点个数为()A.0 B.1 C.2 D.不确定.2.题目与(A)卷第1 题相同.3. 题目与(A)卷第3 题相同.4.已知正整数a,b,c满足a26b 3c 9 0,6a b2 c 0,则a2 b2c2=()A. 424B. 430C. 441D. 460.5.设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点,若BAD ACB 180,且BC 3,AD 4,AC 5,AB 6,则DO/OB=()A. 4/3B. 6/5C. 8/7D. 10/96.题目与(A)卷第5 题相同.二、填空题:(本题满分28 分,每小题7 分)1.题目与(A)卷第1 题相同.2.设O是锐角三角形ABC的外心,D,E分别为线段BC,OA的中点,∠=∠,则OED∠=_________.ABC OED∠=∠,57ACB OED3. 题目与(A )卷第3 题相同.4. 题目与(A )卷第4 题相同第二试 (A )一、(本题满分20 分)已知实数x,y 满足x+y=3,221112x y x y +=++ ,求55x y +的值.二、(本题满分25分)如图,△ABC 中,AB AC ,BAC 45,E 是BAC 的外角平分线与△ABC 的外接圆的交点,点F 在AB 上且EF AB .已知AF 1,BF 5,求△ABC 的面积.三、(本题满分25分)求所有的正整数数对(a, b),使得34938b a =⨯+第二试 (B )一、(本题满分20分)已知实数a,b,c 满足a b c ≤≤,++=16a b c ,2221+++=1284a b c abc , 求c 的值.二、(本题满分25 分)求所有的正整数m ,使得212-2+1m m -是完全平方数.三、(本题满分25分)如图,O 为四边形ABCD 内一点,OAD OCB ,OA OD ,OB OC .求证: AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 .。
全国初中数学联合竞赛试题含答案
( ) 2.满足等式 2 − m m2 −m−2 = 1 的所有实数 m 的和为(A)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
3.已知 AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点, CAB = 15 , ABC 的平分线交圆 O 于点 D,若 CD = 3 ,则 AB=(A) (A)2 (B) 6 (C) 2 2 (D)3
等式 (at + m)(bt + m) = 17m 即 abt2 + m(a + b)t + m2 = 17m,
( ) ( ) 即 ab 3 − 2 2 + m(a + b) 2 −1 + m2 = 17m ,
整理得 m(a + b) − 2ab 2 + 3ab − m(a + b) + m2 −17m = 0
3.已知 AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点, CAB = 15 , ABC 的平分线交圆 O 于点 D,若 CD = 3 ,则 AB=( ) (A)2 (B) 6 (C) 2 2 (D)3
4.不定方程 3x2 + 7xy − 2x − 5y −17 = 0 的全部正整数角(x,y)的组数为( )
于是可得
a + b = 2(17 −
ab
=
17m
−
m2
m .
)
,
因此,a,b 是关于 x 的一元二次方程 x2 + 2(m −17)x +17m − m2 = 0 ……○1 的两个整数根,
( ) 方程○1 的判别式 = 4(m −17)2 − 4 17m − m2 = 4(17 − m)(17 − 2m) 0.
全国初中数学联赛试题及答案(修正版)
O1A B O2全国初中数学联赛试题一、选择题1、已知a=2-1,b=22-6,c=6-2,那么a,b,c的大小关系是【】(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a(D)c<a<b2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为【】(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-23、已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则【】(A)M>0 (B)M=0 (C)M<0 (D)不能确定M为正、为负或为04、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90º,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB 于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为【】(A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圆O₁与O₂圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O₁相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则圆O₁与圆O₂的半径之比为【】(A)2:5 (B)1:2 (C)1:3 (D)2:36、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k 完全平方数的和,那么k的最小值为【】(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题P ′QA B C RP 7、 已知a <0,ab <0,化简,1 │a -b -32│-│b -a +3│=____________8、 如图,7根圆柱形筷子的横截面圆的半径均为r ,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为___________9、 甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件10、 设N =23x +92y 为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对 (x ,y )共有 ____对三、解答题11、已知:a ,b ,c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ,试求方程bx 2+cx -a =0的根。
全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一:代数基础题目:若\( a \), \( b \), \( c \)为实数,且满足\( a + b + c = 3 \),\( ab + ac + bc = 1 \),求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答:根据已知条件,我们可以使用配方法来求解。
首先,我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入,得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后,我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二:几何问题题目:在直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,求斜边BC的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和,即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值,得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此,\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三:数列问题题目:一个等差数列的首项是2,公差是3,求第10项的值。
解答:等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算,其中\( a_1 \)是首项,d是公差,n是项数。
将已知条件代入公式,得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四:概率问题题目:一个袋子里有5个红球和3个蓝球,随机取出2个球,求取出的两个球颜色相同的概率。
解答:首先计算总的可能情况,即从8个球中取2个球的组合数,用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种,两个蓝球的情况有C(3,2)种。
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题(本题共6小题,每小题5分,满分30分.每小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个结论,其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里)1、设a ,b ,c 的平均数为M ,a ,b 的平均数为N ,N ,c 的平均数为P ,若c b a ,则M 与P 的大小关系是( )A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案:B 解析:∵3c b a M ,2b a N ,222c b a c N P ,122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ,即0 P M ,即P M 2、某人骑车沿直线旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又原路返回b 千米(a b ),再前进c 千米,则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是( )答案:C解析:因为图(A )中没有反映休息所消耗的时间;图(B )虽表明折返后S 的变化,但没有表示消耗的时间;图(D )中没有反映沿原始返回的一段路程,唯图(C )正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时,乙10岁;乙是甲现在的年龄时,甲25岁,那么( ) A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案:A解析:由题意知3×(甲-乙)151025 ∴甲-乙=5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行,与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ,并且过点(-1,-25),则在线段AB 上(包括端点A 、B ),横、纵坐标都是整数的点有( )A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案:B解析:在直线AB 上,横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ,N y 525 ,(N 是整数).在线段AB 上这样的点应满足041 N ,且0525 N ,∴541N ,即1 N ,2,3,4,55、设a ,b ,c 分别是ABC 的三边的长,且cb a ba b a,则它的内角A 、B 的关系是( )A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案:B解析:由c b a b a b a得c a bb a ,延长CB 至D ,使AB BD ,于是c a CD 在ABC 与DAC 中,C C ,且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ,D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,面积为S ,111C B A 的三边长分别为1a ,1b ,1c ,面积为1S ,且1a a ,1b b ,1c c ,则S 与1S 的大小关系一定是( )A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案:D解析:分别构造ABC 与111C B A 如下:①作ABC ∽111C B A ,显然1211a a S S ,即1S S ;②设101b a ,20c ,则1 c h ,10 S ,10111 c b a ,则10100431S ,即1S S ;③设101 b a ,20 c ,则1 c h ,10 S ,2911 b a ,101 c ,则2 c h ,101 S ,即1S S ;因此,S 与1S 的大小关系不确定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2006年全国初中数学联赛决赛试卷
2006年全国初中数学联赛决赛试卷答案
2007年全国初中数学联赛决赛试卷
2008年全国初中数学联合竞赛第一试答案
2008年全国初中数学联合竞赛第二试
2008年全国初中数学联合竞赛第二试答案
2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.
设1a =,则32312612a a a +--=( )
A .24
B . 25
C .
10 D .
12
2.在△ABC 中,最大角∠A 是最小角∠C 的两倍,且AB =7,AC =8,则BC =( )
A
. B . 10 C .
.
3.用[]x 表示不大于x 的最大整数,则方程22[]30x x --=的解的个数为( )
A .1
B . 2
C . 3
D . 4
4.设正方形ABCD 的中心为点O ,在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为( )
A .314
B . 37
C . 12
D . 47 5.如图,在矩形ABCD 中,AB =3,BC =2,以BC 为直径在矩形内作半圆,
自点A 作半圆的切线AE ,则sin ∠CBE =( )
A
. 23 C . 13 D .
6.设n 是大于1909的正整数,使得19092009n n
--为完全平方数的n 的个数是( ) A .3 B . 4 C . 5 D . 6
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.已知t 是实数,若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根,则22(1)(1)a b --的最小值是____________.
2. 设D 是△ABC 的边AB 上的一点,作DE//BC 交AC 于点E ,作DF//AC 交BC 于点F ,已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ,则四边形DECF 的面积为__ ____.
3.如果实数a 、b 满足条件221a b +=,22|12|21a b a b a -+++=-,则a + b = ____.
4.已知a 、b
是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对(a ,b )共有___ _ _对. D
C
N
C 第二试 (A )
一、(本题满分20分)已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ,与y 轴的交点为C .设△ABC 的外接圆的圆心为点P .
(1)证明:⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.
(2)如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △=,求b 和c 的值.
二、(本题满分25分)设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD BDC 的内心,AC =3,BC =4,求1I 2I . 三、(本题满分25分)已知,,a b c 32a b c ++= ① 14
b c a c
a b a b c
bc ca ab +-+
-+-++= ②
第二试 (B )
一、(本题满分20分)题目和解答与(A )卷第一题相同.
二、(本题满分25分)已知△ABC 中,∠ACB =90°,AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F .求证:EF ∥AB .
三、(本题满分25分)题目和解答与(A )卷第三题相同.
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试: ACCBDB ; -3,,-1,-7
C 第二试 (A )
一、解:(1)易求得点C 的坐标为(0,)c ,设1A(,0)x ,2B(,0)x ,则12x x b +=-,12x x c =.
设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ,由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦,它们的交点为点O ,所以OA ×OB =OC ×OD ,则121x x c OA OB OD OC c c
⨯====. 因为0c <,所以点C 在y 轴的负半轴上,从而点D 在y 轴的正半轴上,所以点D 为定点,它的坐标为(0,1).
(2)因为AB ⊥CD ,如果AB 恰好为⊙P 的直径,则C 、D 关于点
O 对称,所以点C 的坐标为(0,
1)-,即1c =
-. 又12AB x x
=-===
所以11
22ABC
S AB OC =⋅==△,解得b =±.
二、解:作1I E ⊥AB 于E ,2I F ⊥
AB 于F .
在直角三角形ABC 中,AC =3,BC =4,AB =5=.又CD ⊥AB ,由射影定理可得2AC 9A
D =AB 5=,故16BD =AB AD 5
-=, 12CD =5
=. 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径,所以1I E =13(AD CD AC)25
+-=. 连接D 1I 、D 2I ,则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线,所以∠1I DC =∠1I DA =∠2I DC =∠2I DB =45°,故∠1I D 2I
=90°,
所以1I D ⊥2I D ,1113
I E 5DI sin ADI sin 45
===∠︒. 同理,可求得24I F 5
=
,2D
I =. 所以1I 2I =. 三、证法1 将①②两式相乘,得()()8b c a c a b a b c a b c bc ca ab
+-+-+-++++=, 即222222
()()()8b c a c a b a b c bc ca ab
+-+-+-++=,
即222222
()()()440b c a c a b a b c bc ca ab
+-+-+--+-+=, 即222222
()()()0b c a c a b a b c bc ca ab
----+-++=, 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab
-+---+--+++-++=, 即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc
-+----++++=, 即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=,即22()[()]0b c a c a b abc
-+--=, 即()()()0b c a c a b c a b abc
-++--+=, 所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=,即b a c +=或c a b +=或c b a +=.
证法2 结合①式,由②式可得
32232232214
a b c bc ca ab ---++=, 变形,得222110242()4a b c abc -++= ③ 又由①式得2()1024a b c ++=,即22210242()a b c ab bc ca ++=-++, 代入③式,得110242[10242()]4
ab bc ca abc --++=,即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-
3409625632160=-+⨯-=,
所以16a =或16b =或16c =.
结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.
第二试 (B )
一、解答与(A )卷第一题相同.
二、解:因为BN 是∠ABC 的平分线,所以ABN CBN ∠=∠.
又因为CH ⊥AB ,
所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠,
因此CQ NC
=.
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以CFB90CHB
∠=︒=∠,因此C、F、H、B四点共圆.
又FBH=FBC
∠∠,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.同理可证,点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB.
三、解答与(A)卷第三题相同.。