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湖南湘潭中考数学试题解析版

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2020年湘潭市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年湘潭市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年湘潭市中考数学试题、试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2020•湘潭）﹣6的绝对值是（ ）A ．﹣6B ．6C ．−16D ．16 2．（3分）（2020•湘潭）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．0.6×108B ．6×107C ．6×108D ．6×109 3．（3分）（2020•湘潭）已知2x n +1y 3与13x 4y 3是同类项，则n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．（3分）（2020•湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3分）（2020•湘潭）下列运算中正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．（12）﹣1＝﹣2C ．（2−√5）0＝1D ．a 3•a 3＝2a 66．（3分）（2020•湘潭）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD ＝110°，∠B ＝50°，则∠A ＝（ ）A ．40°B ．50°C ．55°D ．60°7．（3分）（2020•湘潭）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A 、“北斗卫星”：B 、“5G 时代”；C 、“智轨快运系统”；D 、“东风快递”；E 、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G 时代”的频率是（ ）A．0.25B．0.3C．25D．308．（3分）（2020•湘潭）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2020•湘潭）计算：sin45°＝．10．（3分）（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为．（任意写出一个即可）11．（3分）（2020•湘潭）计算：√8−√2=．12．（3分）（2020•湘潭）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是步．13．（3分）（2020•湘潭）若yx=37，则x−yx=．14．（3分）（2020•湘潭）如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB＝60°，则阴影部分面积为．15．（3分）（2020•湘潭）如图，点P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．16．（3分）（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式1 2 3 4 5 6 7 8 9 纵式| || ||| |||| ||||| 横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是 ．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．（6分）（2020•湘潭）解分式方程：3x−1+2=x x−1． 18．（6分）（2020•湘潭）化简求值：（1−2a−1）÷a−3a 2−2a+1，其中a ＝﹣2． 19．（6分）（2020•湘潭）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20．（6分）（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10 m，其坡度为i1＝1：√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122）21．（6分）（2020•湘潭）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理数据：时长x（小时）4＜x≤55＜x≤66＜x≤77＜x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b 应用数据：（1）填空：a＝，b＝；（2）补全频数直方图；（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．22．（6分）（2020•湘潭）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23．（8分）（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（3，4）．（1）求过点B的反比例函数y=kx的解析式；（2）连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24．（8分）（2020•湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．（1）求这两种书的单价；（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25．（10分）（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA 、S △OBC S △ABC 是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度；②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．26．（10分）（2020•湘潭）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +5与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．2020年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）（2020•湘潭）﹣6的绝对值是（ ）A ．﹣6B ．6C ．−16D ．16 【解答】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以﹣6的绝对值是6．故选：B ．2．（3分）（2020•湘潭）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．0.6×108B ．6×107C ．6×108D ．6×109【解答】解：600000000＝6×108，故选：C ．3．（3分）（2020•湘潭）已知2x n +1y 3与13x 4y 3是同类项，则n 的值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5 【解答】解：∵2x n +1y 3与13x 4y 3是同类项，∴n +1＝4，解得，n ＝3，故选：B ．4．（3分）（2020•湘潭）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．5．（3分）（2020•湘潭）下列运算中正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．（12）﹣1＝﹣2C ．（2−√5）0＝1D ．a 3•a 3＝2a 6【解答】解：A 、（a 2）3＝a 6，故A 错误；B 、(12)−1=2，故B 错误；C 、(2−√5)0=1，正确；D 、a 3•a 3＝a 6，故D 错误；故选：C ．6．（3分）（2020•湘潭）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，若∠ACD ＝110°，∠B ＝50°，则∠A ＝（ ）A ．40°B ．50°C ．55°D ．60°【解答】解：∵∠ACD 是△ABC 的外角，∴∠ACD ＝∠B +∠A ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠B ，∵∠ACD ＝110°，∠B ＝50°，∴∠A ＝60°，故选：D ．7．（3分）（2020•湘潭）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A 、“北斗卫星”：B 、“5G 时代”；C 、“智轨快运系统”；D 、“东风快递”；E 、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G 时代”的频率是（ ）A．0.25B．0.3C．25D．30【解答】解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15＝100（人），选择“5G时代”的人数为：30人，∴选择“5G时代”的频率是：30100=0.3；故选：B．8．（3分）（2020•湘潭）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx+b≥x时，则x的取值范围为（）A．x≤1B．x≥1C．x＜1D．x＞1【解答】解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0），可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b，整理kx+b≥x得，（k﹣1）x+b≥0，∴﹣bx+b≥0，由图象可知b＞0，∴x﹣1≤0，∴x≤1，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）（2020•湘潭）计算：sin45°＝√22． 【解答】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=√22．10．（3分）（2020•湘潭）在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为 3 ．（任意写出一个即可）【解答】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：﹣3，3，﹣2，2，﹣1，1，0从中任选一个即可故答案为：3（答案不唯一，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3任意一个均可） 11．（3分）（2020•湘潭）计算：√8−√2= √2 ． 【解答】解：√8−√2=2√2−√2=√2． 故答案为√2．12．（3分）（2020•湘潭）走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是 6400 步． 【解答】解：这3天步数的平均数是：6200+5800+72003=6400（步），故答案为：6400．13．（3分）（2020•湘潭）若yx=37，则x−y x=47．【解答】解：由y x=37可设y ＝3k ，x ＝7k ，k 是非零整数， 则x−y x=7k−3k 7k =4k 7k=47．故答案为：47．14．（3分）（2020•湘潭）如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角∠AOB ＝60°，则阴影部分面积为 6π ．【解答】解：阴影部分面积为60π×62360=6π，故答案为：6π．15．（3分）（2020•湘潭）如图，点P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 3 ．【解答】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD ⊥OA ，PD ＝3， ∴PM ＝PD ＝3， 故答案为：3．16．（3分）（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图： 数字 形式 123456789纵式 | || ||| |||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是 9167 ．【解答】解：根据算筹计数法，表示的数是：9167故答案为：9167．三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．（6分）（2020•湘潭）解分式方程：3x−1+2=x x−1．【解答】解：3x−1+2=xx−1去分母得，3+2（x﹣1）＝x，解得，x＝﹣1，经检验，x＝﹣1是原方程的解．所以，原方程的解为：x＝﹣1．18．（6分）（2020•湘潭）化简求值：（1−2a−1）÷a−3a2−2a+1，其中a＝﹣2．【解答】解：(1−2a−1)÷a−3a2−2a+1=a−1−2a−1⋅(a−1)2a−3＝a﹣1，将a＝﹣2代入得：原式＝﹣2﹣1＝﹣3．19．（6分）（2020•湘潭）生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．（温馨提示：用男1、女1；男2、女2分别表示甲、乙两班4个学生）（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．【解答】解：（1）可能出现的结果有：男1女1、男1男2、男1女2、男2女1、男2女2、女1女2；（2）列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况，所以恰好选中一男一女的概率为24=12．20．（6分）（2020•湘潭）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE ＝10 m ，其坡度为i 1＝1：√3，将步梯DE 改造为斜坡AF ，其坡度为i 2＝1：4，求斜坡AF 的长度．（结果精确到0.01 m ，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122）【解答】解：∵DE ＝10 m ，其坡度为i 1＝1：√3， ∴在Rt △DCE 中，DE =√DC 2+CE 2=2DC =10， ∴解得DC ＝5． ∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB ＝CD ＝5．∵斜坡AF 的坡度为i 2＝1：4， ∴AB BF=14，∴BF ＝4AB ＝20，∴在Rt △ABF 中，AF =√AB 2+BF 2=5√17≈20.61（m ）． 故斜坡AF 的长度约为20.61米．21．（6分）（2020•湘潭）“停课不停学”．突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”．在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长（单位：小时）进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5 整理数据： 时长x （小时）4＜x ≤55＜x ≤66＜x ≤7 7＜x ≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b应用数据：（1）填空：a＝6，b＝ 6.5；（2）补全频数直方图；（3）若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5＜x≤7小时的人数．【解答】解：（1）由总人数是20人可得在5＜x≤6的人数是20﹣2﹣8﹣4＝6（人），所以a＝6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b＝6.5；故答案为：6，6.5；（2）由（1）得a＝6．频数分布直方图补充如下：（3）由图可知，学习时长在5＜x≤7小时的人数所占的百分比=6+820×100%＝70%，∴1000×70%＝700（人）．∴学习时长在5＜x≤7小时的人数是700人．22．（6分）（2020•湘潭）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ． （1）求证：△ABD ≌△ACD ；（2）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =AD AB =AC ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD （HL ）； （2）直线DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接OD ，如图所示：由△ABD ≌△ACD 知：BD ＝DC ， 又∵OA ＝OB ，∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥AC ， ∵DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．23．（8分）（2020•湘潭）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，4）．（1）求过点B 的反比例函数y =kx 的解析式；（2）连接OB ，过点B 作BD ⊥OB 交x 轴于点D ，求直线BD 的解析式．【解答】解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，如图， ∵A （3，4）， ∴OE ＝3，AE ＝4， ∴AO =√OE 2+AE 2=5， ∵四边形OABC 是菱形， ∴AO ＝AB ＝OC ＝5，AB ∥x 轴， ∴EF ＝AB ＝5，∴OF ＝OE +EF ＝3+5＝8， ∴B （8，4）．设过B 点的反比例函数解析式为y =kx， 把B 点坐标代入得，k ＝32， ∴反比例函数解析式为y =32x ；（2）∵OB ⊥BD ， ∴∠OBD ＝90°， ∴∠OBF +∠DBF ＝90°， ∵∠DBF +∠BDF ＝90°， ∴∠OBF ＝∠BDF ， 又∠OFB ＝∠BFD ＝90°， ∴△OBF ～△BDF ， ∴OF BF =BF DF ，∴84=4DF，解得，DF ＝2，∴OD ＝OF +DF ＝8+2＝10， ∴D （10，0）．设BD 所在直线解析式为y ＝kx +b ， 把B （8，4），D （10，0）分别代入， 得：{8k +b =410k +b =0，解得，{k =−2b =20，∴直线BD 的解析式为y ＝﹣2x +20．24．（8分）（2020•湘潭）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同． （1）求这两种书的单价；（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？【解答】解：（1）设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元， 由题意得：{2x +y =1006x =7y ，解得{x =35y =30．答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；（2）设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n ）本， 根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600，解得：1623≤n ≤20， 则n 可以取17、18、19、20，当n ＝17时，50﹣n ＝33，共花费17×35+33×30＝1585元； 当n ＝18时，50﹣n ＝32，共花费18×35+32×30＝1590元； 当n ＝19时，50﹣n ＝31，共花费19×35+31×30＝1595元； 当n ＝20时，50﹣n ＝30，共花费20×35+30×30＝1600元；所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．25．（10分）（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积．（2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA、S △OBC S △ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ．①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积． 【解答】解：（1）连接DE ，如图， ∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线， ∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，DE =12AB ， ∴△ODE ∽△OAB ， ∴OD OA=DE AB=12，∵AB ＝2，BD ＝1，∠ADB ＝90°， ∴AD =√3，OD =√33， ∴S △OBC=BC⋅OD 2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3；（2）由（1）可知，OD OA=12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比， 故S △OBC S △ABC=13，是定值；（3）①∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ∥AB ，AB ＝BC ＝CD ＝4， ∴△CME ～△AMB ， ∴EM BM=CE AB，∵E 为CD 的中点， ∴CE =12CD =2，∴BE =√BC 2+CE 2=2√5， ∴EM BM =12，∴EM BE=13，即EM =23√5； ②∴S △CME ＝1，且ME BM=12，∴S △BMC ＝2， ∵ME BM =12， ∴S △CME S △AMB=(ME BM)2=14，∴S △AMB ＝4，∴S △ABC ＝S △BMC +S △ABM ＝2+4＝6，又S △ADC ＝S △ABC ，∴S △ADC ＝6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6＝12．26．（10分）（2020•湘潭）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +5与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b ≥4，0≤x ≤2时，函数值y 的最大值满足3≤y ≤15，求b 的取值范围．【解答】解：（1）①抛物线y ＝﹣x 2+bx +5的对称轴为直线x =−b 2×(−1)=b 2， ∴若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴，则b 2=2，解得：b ＝4， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；②存在，如图，若点P 在x 轴上方，点B 关于OP 对称的点B '在对称轴上，连接OB ′、PB ， 则OB '＝OB ，PB '＝PB ，对于y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则﹣x 2+4x +5＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝5，∴A （﹣1，0），B （5，0），∴OB '＝OB ＝5，∴CB ′=√OB′2−OC 2=√25−4=√21，∴B ′(2，√21)，设点P （2，m ），由PB '＝PB 可得：√21−m =√m 2+(5−2)2，解得：m =2√217， ∴P （2，2√217）；同理，当点P 在x 轴下方时，P （2，−2√217）．综上所述，点P （2，2√217）或P （2，−2√217）；（2）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +5的对称轴为直线x =−b 2×(−1)=b 2， ∴当b ≥4时，x =b 2≥2， ∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大， ∴当0≤x ≤2时，取x ＝2，y 有最大值，即y ＝﹣4+2b +5＝2b +1，∴3≤2b +1≤15，解得：1≤b ≤7，又∵b ≥4，∴4≤b ≤7．。

湖南湘潭中考数学试题解析版精修订

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湖南湘潭中考数学试题解析版集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#湖南省湘潭市2011年中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1、（2011?湘潭）下列等式成立是（）A、|﹣2|=2B、﹣（﹣1）=﹣1C、1÷（﹣3）=13D、﹣2×3=6考点：有理数的混合运算。

分析：A，﹣2的绝对值为2，正确；B，负负得正，得数应为1，故错误；C，正负乘除得正，错误；D，同选项C，故错误．解答：解：A、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；B、负负得正，得数应为1，故本选项错误；C、正负乘除得正，故本选项错误；D、同选项C，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了有理数的混合运算，选项A，负数的绝对值为正数，正确；B，负负得正，得数应为1，故错误；C，正负乘除得正，错误；D，同选项C，故错误．本题很容易选得A．2、（2011?湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（）A、3，3B、3，4C、2，3D、2，4考点：极差；算术平均数。

专题：计算题。

分析：根据极差和平均数的定义即可求得．解答：解：x=1+3+53=3，由题意可知，极差为5﹣1=4．故选B．点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．3、（2011?湘潭）不等式组{x＞1x≤2的解集在数轴上表示为（）A、B、C、D、考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：存在型。

分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可．解答：解：不等式组{x＞1x≤2在数轴上表示为：故选A．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4、（2011?湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（）A、球B、圆柱C、长方体D、圆锥考点：由三视图判断几何体。

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案解析考点)024111

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷(含答案解析考点)024111

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷考试总分：112 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 中国花卉博览会（简称“花博会”）是中国规模最大、档次最高、影响最广的国家级花事盛会，被称为中国花卉界的“奥林匹克”．下列花博会会徽图案中，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )A.B.C.D.3. 下列计算正确的是（ ）x −2−−−−−√x x ≠2x ≥2x ≤2x ≠−2⋅=2714A.B.C.D.4. 在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：金额/元人数这名同学捐款的平均金额为（ ）A.元B.元C.元D.元5. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的边长是（ ）A.B.C.D.6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )A.B.C.D.7. 一个圆锥的底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是 A.B.C.⋅=a 2a 7a 14⋅=0a −2a 0÷=a 14a 2a 7=(a )b 32a 2b 6856710232183.566.578cm 6cm cm34510A (−2,)y 1B (2,)y 2C (3,)y 3y =−2x y 1y 2y 3<<y 2y 3y 1<<y 3y 2y 1<<y 3y 1y 2<<y 1y 2y 3526()180∘150∘120∘90∘D.8. 中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点.从安阳东站到北京西站的距离是千米，乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省小时分钟，已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快千米小时，设复兴号动车组的平均速度为千米小时，根据题意可列方程( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）9. 如图，在中，弦所对的圆周角＝，＝，＝，则度数为（ ）A.B.C.D.10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，且过点，则下列结论正确的是( )A.B.方程的两个根是，C.90∘51626100/x /−=2.6516x −100516x −=2516x −100516x 110−=516x 516x +1002110−=2516x 516x −100110⊙O AB ∠C 45∘AB BC 1∠A 30∘36∘45∘60∘y =a +bx +c x 2x =1(3,0)abc <0a +bx +c =0x 2=−1x 1=3x 22a +b =04a +2b +c <0D.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）11. 对于任何实数，可用表示不超过的最大整数，如＝，＝．现对进行如下操作：＝＝＝，类地，只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是________．12. 如果有理数，满足，那么________．13. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．则的度数为________．14. 用边长为厘米的正方形，做了一套七巧板，拼成如下图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为________平方厘米．四、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 7 分 ，共计70分 ）15. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．16. 已知：.化简；若正方形的边长为，且它的面积为，求的值．17. 已知中为边上高，为上一点，，的延长线与延长线交于点，求证： .4a +2b +c <0a [a]a [4]4[]3–√17272[]→72−−√8[]→8–√2[]→2–√141ab |a −1|+=0(b +1)2−=a 2019b 2018△ABC ∠C =90∘∠CAB =50∘A AC AB AC E F E F EF 12G AG BC D ∠ADC 10 (x +1)≤1,①131−x <2.②T =(2−)÷6x +2−1x 2x +2(1)T (2)ABCD x 8T △ABC CE AB D AC DG ⊥BC GD BA H GF ⋅GH =GB ⋅GC18. 近年来，人们购物的支付方式发生着巨大变化，随着微信和支付宝这两种手机支付方式的加入，它们与刷银行卡和现金支付已经成为四种最常用的支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从这四种支付方式中选择一种方式进行支付．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：求出两人恰好选择同一种支付方式的概率；若此次购物，小明不选择现金支付，求出两人恰好都选择手机支付方式的概率．19. 为了解某校八年级学生运篮球过障碍物的成绩情况，随机抽查了部分同学的成绩（满分为分，成绩取整数），规定：等次（分~分）；等次（分~分）；等次（分~分）；等次（分以下），并根据调查结果制作了如下的频数分布图表（不完整）：请根据图表信息解答问题：表中的________，_______，_______；并补全频数分布直方图；这组数据的中位数落在________等次，众数落在________等次；若该校八年级有学生名，请估计运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数.20. 某商店需要采购甲、乙两种商品共件，且要求乙商品的件数不得少于甲种商品件数的倍．据了解：甲商品元件，乙商品元件．设购买甲种商品件，购买两种商品共花费元．写出与的函数关系式;求自变量的取值范围；当采购多少件甲种商品时，所需要的总费用最少，最少的总费用是多少？21. 如图，在平面直角坐标系中有，其中，，．把绕原点顺时针旋转，得到．(1)(2)15A 12.515B 10.512.5C 8.510.5D 8.5(1)m =n =p =(2)(3)20008.5152100/120/x y (1)y x (2)x (3)△ABC A(−3,4)B(−4,2)C(−2,1)△ABC 90∘△A 1B 1C 1画出；是的边上任意一点，经旋转平移后对应的点分别为，请直接写出点的坐标.22. 如图，旅游景区位于大山深处，原来到此旅游需要绕行地，沿折线可到达．当地政府为了发展旅游经济，修建了一条从地到景区的笔直公路．若，， 千米．求公路的长为多少千米？为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际每天修建的长度比原计划增加，结果提前天完成了施工任务，求施工队实际每天修建多少千米？ 23. 已知四边形是菱形，＝，＝，的两边分别与射线、相交于点、，且＝（1）如图，当点是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系；（2）如图，当点是线段上任意一点时（点不与、重合），求证：＝；（3）如图，当点在线段的延长线上，且＝，求的面积．24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，于轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．(1)△A 1B 1C 1(2)P(a,b)△ABC AC △ABC P P 1P 1C A B →A →C B C ∠B =45∘sin A =5–√5AC =2010−−√(1)BC (2)BC 25%20ABCD AB 4∠ABC 60∘∠EAF CB DC E F ∠EAF 60∘1E CB AE AF 2E CB E B C BE CF 3E CB ∠EAB 15∘△FBC O y =−x −3x A y C y =+bx +c x 2A C x B求抛物线的解析式；点是第二象限抛物线上的一个动点，连接、、和，当时，求点的坐标；在的条件，过点作，交的延长线于点，点是第三象限抛物线上的一个动点，点关于点的对称点为点，连接并延长与抛物线在、之间的部分交于点，当时，求的长．(1)(2)D AD BD CD BC =S △ACD 38S 四边形ACBD D (3)(2)D DE ⊥BC CB E P P B Q QE A D F ∠DEF +∠BPC =∠DBE EF参考答案与试题解析2023年湖南省湘潭市中考数学试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：． 不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；．不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；．不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义，不符合题意；．有条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故选．2.【答案】B【考点】二次根式有意义的条件【解析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．【解答】解：由题意，得，解得.故选．3.A B C D 5D x −2≥0x −2≥0x ≥2B【答案】D【考点】同底数幂的除法同底数幂的乘法幂的乘方与积的乘方【解析】此题暂无解析【解答】解：，选项错误；，选项错误；，选项错误；，选项正确，故选.4.【答案】C【考点】加权平均数【解析】根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以即可得出答案．【解答】根据题意得：＝（元）；5.【答案】C【考点】菱形的性质【解析】⋅=a 2a 7a 9A ⋅=a −2a 0a −2B ÷=a 14a 2a 12C (a =b 3)2a 2b 6D D 8(5×2+6×3+7×2+10×1)÷8 6.5根据菱形的性质，可得到直角三角形，再利用勾股定理可求出边长．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，∴两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，∴菱形的边长，故选．6.【答案】A【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．【解答】解：∵，函数图象在二，四象限，由题意可知，在第二象限，，在第四象限，∵第二象限内点的纵坐标总大于第四象限内点的纵坐标，∴最大，在第四象限内，随的增大而增大，∴．故选.7.【答案】B【考点】几何体的展开图弧长的计算【解析】利用底面周长展开图的弧长可得．【解答】解：，解得．故选．8.==5cm +3242−−−−−−√C k <0A B C y 1y x >>y 1y 3y 2A =2π×=526nπ180n =150∘BB【考点】由实际问题抽象出分式方程【解析】设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，则特快列车的平均速度为千米时，根据提速后乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省小时分钟，列出方程即可．【解答】解：设“复兴号”动车组的平均速度为千米时，则特快列车的平均速度为千米时，根据题意得：.故选.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 3 分 ，共计6分 ）9.【答案】∵∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴OB ＝OA ＝【考点】圆周角定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】A,B,C【考点】抛物线与x 轴的交点二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系x /(x −100)/26x /(x −100)/−=2516x −100516x 110B由抛物线对称轴的位置确定的符号，由抛物线与轴的交点在轴上方得，则可对进行判断，根据抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为 ，则可对进行判断，由对称轴可对进行判断，由当时，函数值大于，则有，于是可对进行判断．【解答】解：，抛物线与轴的交点在轴上方，.对称轴为直线，，，故正确；，抛物线过点，二次函数图象的对称轴是直线，抛物线与轴的另一个交点为，方程的两个根是，，故正确；，对称轴为直线，，，故正确；，当时，，，故错误.综上所述，正确结论的序号是.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）11.【答案】【考点】估算无理数的大小【解析】根据规律可知，最后的取整是，得出前面的一个数字最大是，再向前一步推取整是的最大数为，继续会得到取整是的最大数为；反之验证得出答案即可．根据规律可知，最后的取整是，得出前面的一个数字最大是，再向前一步推取整是的最大数为，继续会得到取整是的最大数为；继续会得到取整是的最大数为，反之验证得出答案即可．【解答】∵＝，＝，＝，＝，所以只需进行次操作后变为的所有正整数中，最大的是．12.【答案】ab y x c >0①x (−1,0)②③x =204a +2b +c <0④A ∵y x ∴c >0∵x =−=1b 2a ∴ab <0∴abc <0A B ∵(3,0)x =1∴x (−1,0)∴a +bx +c =0x 2=−1x 1=3x 2B C ∵x =1∴x =−=1b 2a ∴2a +b =0C D ∵x =2y >0∴4a +2b +c >0D ABC ABC 655361331515255133151525525565536[]3–√1[]15−−√3[]255−−−√15[]65536−−−−−√25541655360非负数的性质：偶次方非负数的性质：绝对值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以 ，解得 所以，故答案为：13.【答案】【考点】作图—基本作图角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据作图方法可得，是的角平分线，∵，∴，∵，∴.故答案为：.14.【答案】【考点】七巧板正方形的性质|a −1|+=0(b +1)2a −1=0,b +1=0a =1,b =−1−=−=1−1=0a 2019b 201812019(−1)20180.65∘AG ∠CAB ∠CAB =50∘∠CAD =∠CAB =1225∘∠C =90∘∠ADC =−=90∘25∘65∘65∘50根据图形分析可得阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，进而计算可得答案．【解答】读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半，则阴影部分的面积为＝平方厘米；四、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 7 分 ，共计70分 ）15.【答案】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集是．【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组【解析】【解答】解：解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集在数轴上表示如下：∴不等式组的解集是．16.【答案】解：原式.10×10÷250x ≤2x >−1−1<x ≤2x ≤2x >−1−1<x ≤2(1)=(÷2x +4−6)x +2−1x 2x +2=⋅2(x −1)x +2x +2(x +1)(x −1)=2x +1(2)=82依题意得： ，，∴，∴.【考点】分式的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：原式.依题意得： ，，∴，∴.17.【答案】证明：∵为高，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴，即 .【考点】相似三角形的判定与性质【解析】∵为高，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴，即 .(2)=8x 2x >0x =22–√T =22+12–√==2(2−1)2–√(2+1)(2−1)2–√2–√4−22–√7(1)=(÷2x +4−6)x +2−1x 2x +2=⋅2(x −1)x +2x +2(x +1)(x −1)=2x +1(2)=8x 2x >0x =22–√T =22+12–√==2(2−1)2–√(2+1)(2−1)2–√2–√4−22–√7CE ∠FCG =−∠ABC 90∘HG ⊥BC ∠H =−∠ABC 90∘∠FCG =∠H ∠BGH =∠FGC =90∘△BGH ∼△FGC GF ∶GB =GC ∶GH GF ⋅GH =GB ⋅GC CE ∠FCG =−∠ABC 90∘HG ⊥BC ∠H =−∠ABC 90∘∠FCG =∠H ∠BGH =∠FGC =90∘△BGH ∼△FGC CF ∶GB =GC ∶CH GF ⋅GH =GB ⋅GC【解答】证明：∵为高，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴，即 .18.【答案】解：将微信、支付宝、银行卡、现金分别记为，，，，列树状图如图所示：共有种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种结果，∴.若小明不选择现金支付，列树状图如图所示：共有种等可能结果，其中两人恰好都选择手机支付方式的有种结果，∴.【考点】列表法与树状图法【解析】此题暂无解析【解答】解：将微信、支付宝、银行卡、现金分别记为，，，，列树状图如图所示：CE ∠FCG =−∠ABC 90∘HG ⊥BC ∠H =−∠ABC 90∘∠FCG =∠H ∠BGH =∠FGC =90∘△BGH ∼△FGC GF ∶GB =GC ∶GH GF ⋅GH =GB ⋅GC (1)A B C D 164P ==41614(2)124P ==41213(1)A B C D共有种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种结果，∴.若小明不选择现金支付，列树状图如图所示：共有种等可能结果，其中两人恰好都选择手机支付方式的有种结果，∴.19.【答案】,,,要求运篮球过障碍物成绩在分以上的学生，即求不是等次的学生，则根据成绩频数分布表可得名学生成绩在分以上的人数有：名.答：若该校八年级有学生名，则运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数为名.【考点】众数中位数频数（率）分布直方图频数（率）分布表用样本估计总体【解析】此题暂无解析【解答】解：，，，164P ==41614(2)124P ==4121310150.3B B (3)8.5D 20008.52000×(1−0.1)=180020008.51800(1)m =×20=100.20.4p =1−0.2−0.4−0.1=0.3n =×5=15p 0.1补全的频数分布直方图如下：故答案为：；；.由的频数分布直方图可知，本组数据的总数为，则中位数为第个和第个数据的平均数，即中位数为，落在等次；再从频率分布直方图可得，最高的为数据出现次数最多的，则众数为，也落在等次；故答案为：；.要求运篮球过障碍物成绩在分以上的学生，即求不是等次的学生，则根据成绩频数分布表可得名学生成绩在分以上的人数有：名.答：若该校八年级有学生名，则运篮球过障碍物成绩在分以上的学生人数为名.20.【答案】解：根据题意，得：．由乙商品的件数不得少于甲种商品件数的倍，得，解得．，．∴自变量的取值范围是．，随的增大而减小，当时，取最小值，．答：当采购件甲种商品时，所需要的总费用最少，最少总费用是元．【考点】一次函数的应用【解析】左侧图片未给解析左侧图片未给解析左侧图片未给解析【解答】解：根据题意，得：．由乙商品的件数不得少于甲种商品件数的倍，得，解得．，．∴自变量的取值范围是．10150.3(2)(1)502526=2020+202B 20B B B (3)8.5D 20008.52000×(1−0.1)=180020008.51800(1)y =100x +120(15−x)=−20x +1800(2)215−x ≥2x x ≤5∵0≤x ≤15∴0≤x ≤5x 0≤x ≤5(3)∵k =−20<0∴y x ∴x =5y =−20×5+1800=1700y 最小51700(1)y =100x +120(15−x)=−20x +1800(2)215−x ≥2x x ≤5∵0≤x ≤15∴0≤x ≤5x 0≤x ≤5(3)∵k =−20<0，随的增大而减小，当时，取最小值，．答：当采购件甲种商品时，所需要的总费用最少，最少总费用是元．21.【答案】解：如图所示，为所作．由题意知点坐标为.【考点】作图-旋转变换坐标与图形变化-旋转【解析】（）由旋转的性质可画出三角形 ，根据平移的点的坐标变化特征“左减右加、上加下减”可求得点【解答】解：如图所示，为所作．由题意知点坐标为.22.【答案】解：()作于点，如图，(3)∵k =−20<0∴y x ∴x =5y =−20×5+1800=1700y 最小51700(1)△A 1B 1C 1(2)P 1(b,−a)1A 1B 1C 1A 2B 2C 2(1)△A 1B 1C 1(2)P 1(b,−a)1CD ⊥AB D，，千米， ，(千米)，(千米).答：公路的长为千米.()设原计划每天修建千米，则实际每天修建(千米).，解得经检验，是原分式方程的解，.答：施工队实际每天修建千米．【考点】解直角三角形的应用锐角三角函数的定义分式方程的应用【解析】()作于点，首先根据锐角三角函数求出，然后求出；()根据()中的结果和实际每天修建的长度比原计划增加，结果提前天完成了施工任务，可以列出相应的分式方程，从而可以得到施工队实际每天修建多少千米．【解答】解：()作于点，如图，，，千米， ，(千米)，∵∠B =45∘sin A =5–√5AC =2010−−√∠CDB =∠CDA =90∘∴CD =AC ⋅sin A =20×=2010−−√5–√52–√∴BC ===40CD sin B 202–√2–√2BC 402x x (1+25%)=1.25x −20=40x 401.25x x =0.4x =0.41.25x =1.25×0.4=0.50.51CD ⊥AB D CD BC 2125%201CD ⊥AB D ∵∠B =45∘sin A =5–√5AC =2010−−√∠CDB =∠CDA =90∘∴CD =AC ⋅sin A =20×=2010−−√5–√52–√BC ===40CD 20–√(千米).答：公路的长为千米.()设原计划每天修建千米，则实际每天修建(千米).，解得经检验，是原分式方程的解，.答：施工队实际每天修建千米．23.【答案】结论＝＝．理由：如图中，连接，∵四边形是菱形，＝，∴＝＝＝，＝＝，∴，是等边三角形，∴＝＝∵＝，∴＝＝，，∵＝，∴＝＝，∴，∴＝（菱形的高相等），∴是等边三角形，∴＝＝．证明：连接，如图中，∵＝＝，∴＝，在和中，，∴，∴＝．过点作于点，过点作于点，连接．∴BC ===40CD sin B 202–√2–√2BC 402x x (1+25%)=1.25x −20=40x 401.25x x =0.4x =0.41.25x =1.25×0.4=0.50.5AE EF AF 1AC ABCD ∠B 60∘AB BC CD AD ∠B ∠D 60∘△ABC △ADC ∠BAC ∠DAC 60∘BE EC ∠BAE ∠CAE 30∘AE ⊥BC ∠EAF 60∘∠CAF ∠DAF 30∘AF ⊥CD AE AF △AEF AE EF AF AC 2∠BAC ∠EAF 60∘∠BAE ∠CAE △BAE △CAF ∠BAE =∠CAFBA =BC ∠B =∠ACF△BAE ≅△CAF(ASA)BE CF A AG ⊥BC G F FH ⊥EC H BF∵＝，＝，∴＝，在中，∵＝，＝，∴＝，＝，在中，∵＝＝，∴＝＝，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝在和中，，∴，∴＝，＝＝，在中，∵＝＝，＝，∴＝＝．∴的面积＝．【考点】四边形综合题【解析】（1）结论＝＝．只要证明＝即可证明是等边三角形．（2）欲证明＝，只要证明即可．（3）过点作于点，过点作于点，根据＝，因为＝，只要求出即可解决问题．【解答】结论＝＝．理由：如图中，连接，∵四边形是菱形，＝，∴＝＝＝，＝＝，∴，是等边三角形，∠EAB 15∘∠ABC 60∘∠AEB 45∘Rt △AGB ∠ABC 60∘AB 4BG =AB 122AG =BG 3–√23–√Rt △AEG ∠AEG ∠EAG 45∘AG GE 23–√EB EG −BG 2−23–√∠BAC ∠EAF 60∘∠BAE ∠CAF ∠ABC ∠ACD 60∘∠ABE ∠ACF 120∘△AEB △AFC ∠EAB =∠FACAB =AC ∠ABE =∠ACF =120△AEB ≅△AFC(ASA)AE AF EB CF 2−23–√Rt △CHF ∠HCF −∠BCD 180∘60∘CF 2−23–√FH CF ⋅sin 60∘(2−2)⋅=3−3–√3–√23–√△BCF =⋅BC ⋅FH =×4×(3−)12123–√6−23–√AE EF AF AE AF △AEF BE CF △BAE ≅△CAF A AG ⊥BC G F FH ⊥EC H FH CF ⋅cos 30∘CF BE BE AE EF AF 1AC ABCD ∠B 60∘AB BC CD AD ∠B ∠D 60∘△ABC △ADC ∠BAC ∠DAC 60∘∴＝＝∵＝，∴＝＝，，∵＝，∴＝＝，∴，∴＝（菱形的高相等），∴是等边三角形，∴＝＝．证明：连接，如图中，∵＝＝，∴＝，在和中，，∴，∴＝．过点作于点，过点作于点，连接．∵＝，＝，∴＝，在中，∵＝，＝，∴＝，＝，在中，∵＝＝，∴＝＝，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝在和中，，∴，∴＝，＝＝，在中，∵＝＝，＝，∴＝＝．∴的面积＝．∠BAC ∠DAC 60∘BE EC ∠BAE ∠CAE 30∘AE ⊥BC ∠EAF 60∘∠CAF ∠DAF 30∘AF ⊥CD AE AF △AEF AE EF AF AC 2∠BAC ∠EAF 60∘∠BAE ∠CAE △BAE △CAF ∠BAE =∠CAFBA =BC ∠B =∠ACF△BAE ≅△CAF(ASA)BE CF A AG ⊥BC G F FH ⊥EC H BF ∠EAB 15∘∠ABC 60∘∠AEB 45∘Rt △AGB ∠ABC 60∘AB 4BG =AB 122AG =BG 3–√23–√Rt △AEG ∠AEG ∠EAG 45∘AG GE 23–√EB EG −BG 2−23–√∠BAC ∠EAF 60∘∠BAE ∠CAF ∠ABC ∠ACD 60∘∠ABE ∠ACF 120∘△AEB △AFC ∠EAB =∠FACAB =AC ∠ABE =∠ACF =120△AEB ≅△AFC(ASA)AE AF EB CF 2−23–√Rt △CHF ∠HCF −∠BCD 180∘60∘CF 2−23–√FH CF ⋅sin 60∘(2−2)⋅=3−3–√3–√23–√△BCF =⋅BC ⋅FH =×4×(3−)12123–√6−23–√24.【答案】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴．∵经过，两点，∴解得∴抛物线的解析式为．过点作轴于点，交直线于点，于点，设．∵轴，∴∵，∴，∵，∴∵轴，∴.∴轴，∴，∴，∴，令，解得，∴．∵，∴∴∵，∴，解得（舍）∴.过点作轴于点，过点，轴于点，过点，轴于点，延长交(1)y =−x −3x A y C A (−3,0),C (0,−3)y =+bx +c x 2A C {9−3b +c =0,c =−3,{b =2,c =−3.y =+2x −3x 2(2)D DK ⊥x K AC C DH ⊥AC H D (t,+2t −3)t 2DK ⊥x G (t,−t −3),DG =(+2t −3)−(−t −3)=+3t.t 2t 2A (−3,0),C (0,−3)OA =OC =3∠AOC =90∘∠OAC =∠ACO =,AC ==3.45∘O +O A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√DK ⊥x ∠DKO =∠COK =90∘DK//y ∠DGH =∠OCA =45∘DH =DG ⋅sin =DG =(+3t)45∘2–√22–√2t 2=AC ⋅DH =×3×(+3t)=+S △ACD 12122–√2–√2t 232t 2t 92+2x −3=0x 2=−3,=1x 1x 2B (1,0),AB =4D (t,+2t −3)t 2DK =+2t −3.t 2=+=×4(+2t −3)+×S 四边形ACBD S △ABC S △ABD 12t 2124×3=2+4t.t 2=S △ACD 38S 四边形ACBD +t =(2+4t)32t 29238t 2=−4,=0t 1t 2D (−4,5)(3)D DM ⊥y M P PN ⊥x N E ER ⊥x R DE PQ (2)于，由知，∴∵，∴，，∴∵，∴，∴∴∴，即，∴∵，∴∵轴，∴．∵，∴∴．∴，∵、关于点对称，∴，∵，∴，∴∴.∵，∴ ∴ ∴∴，∴ ．∵ ，∴，∴ .∵，∴，∴.∵ ，∴.∵轴，∴ ，∴.设，∴解得．∴.∵，∴轴．∵，∴轴．∴，令，解得，PQ T (2)t =−4DH =(+3t)=2.2–√2t 22–√D (−4,5),C (0,−3)DM =4,CM =8CD ==4D +C M 2M 2−−−−−−−−−−−√5–√sin ∠ACD ===.DH CD 22–√45–√10−−√10B (1,0)OB =1BC ==，sin ∠OCB ==.O +O B 2C 2−−−−−−−−−−√10−−√OB BC 110−−√∠ACD =∠OCB.∠ACD +∠OCD =∠OCB +∠OCD ∠ACO =∠DCE =45∘CE =CD ⋅sin =2.45∘10−−√BC =10−−√BE =BC =.10−−√ER ⊥x ∠ERB =∠COB =90∘∠EBR =∠CBO,BC =BE △OBC ≅△RBE.OB =BR =1,OC =ER =3E (2,3)P Q B PB =BQ BC =BE,∠PBC =∠QBE △PBC ≅△QBE.∠BPC =∠Q.EQ//CP ∠DEF +∠BPC =∠DBE,∠DEF =∠QET,∠BPC =∠Q ∠QET +∠Q =∠DBE.∠BTE =∠DBE.DE ⊥BC.∠BED =90∘∠DBE +∠BDE =90∘∠BTE =∠DBE ∠BTE +∠BDE =90∘∠DBT =90∘D (−4,5),B (1,0)DK =BK =5∠KDB =∠DBK =45∘∠DBT =90∘∠PBK =45∘PN ⊥x ∠PBK =∠BPN =45∘BN =PN P (m,+2m −3)m 21−m =−−2m +3.m 2=−2,=1m 1m 2P (−2,−3)C (0,−3)PC//x EQ//CP EQ//x ==3y E y F +2x −3=3x 2=−1，=−−1x 17–√x 27–√F (−−1,3)–√∴．∵，∴【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，∴．∵经过，两点，∴解得∴抛物线的解析式为．过点作轴于点，交直线于点，于点，设．∵轴，∴∵，∴，∵，∴∵轴，∴.∴轴，∴，∴，∴，令，解得，∴．F (−−1,3)7–√E (2,3)EF =2−(−−1)=3+.7–√7–√(1)y =−x −3x A y C A (−3,0),C (0,−3)y =+bx +c x 2A C {9−3b +c =0,c =−3,{b =2,c =−3.y =+2x −3x 2(2)D DK ⊥x K AC C DH ⊥AC H D (t,+2t −3)t 2DK ⊥x G (t,−t −3),DG =(+2t −3)−(−t −3)=+3t.t 2t 2A (−3,0),C (0,−3)OA =OC =3∠AOC =90∘∠OAC =∠ACO =,AC ==3.45∘O +O A 2C 2−−−−−−−−−−√2–√DK ⊥x ∠DKO =∠COK =90∘DK//y ∠DGH =∠OCA =45∘DH =DG ⋅sin =DG =(+3t)45∘2–√22–√2t 2=AC ⋅DH =×3×(+3t)=+S △ACD 12122–√2–√2t 232t 2t 92+2x −3=0x 2=−3,=1x 1x 2B (1,0),AB =4D (t,+2t −3)2∵，∴∴∵，∴，解得（舍）∴.过点作轴于点，过点，轴于点，过点，轴于点，延长交于，由知，∴∵，∴，，∴∵，∴，∴∴∴，即，∴∵，∴∵轴，∴．∵，∴∴．∴，∵、关于点对称，∴，∵，∴，∴∴.∵，∴ ∴ D (t,+2t −3)t 2DK =+2t −3.t 2=+=×4(+2t −3)+×S 四边形ACBD S △ABC S △ABD 12t 2124×3=2+4t.t 2=S △ACD 38S 四边形ACBD+t =(2+4t)32t 29238t 2=−4,=0t 1t 2D (−4,5)(3)D DM ⊥y M P PN ⊥x N E ER ⊥x R DE PQ T (2)t =−4DH =(+3t)=2.2–√2t 22–√D (−4,5),C (0,−3)DM =4,CM =8CD ==4D +C M 2M 2−−−−−−−−−−−√5–√sin ∠ACD ===.DH CD 22–√45–√10−−√10B (1,0)OB =1BC ==，sin ∠OCB ==.O +O B 2C 2−−−−−−−−−−√10−−√OB BC 110−−√∠ACD =∠OCB.∠ACD +∠OCD =∠OCB +∠OCD ∠ACO =∠DCE =45∘CE =CD ⋅sin =2.45∘10−−√BC =10−−√BE =BC =.10−−√ER ⊥x ∠ERB =∠COB =90∘∠EBR =∠CBO,BC =BE △OBC ≅△RBE.OB =BR =1,OC =ER =3E (2,3)P Q B PB =BQ BC =BE,∠PBC =∠QBE △PBC ≅△QBE.∠BPC =∠Q.EQ//CP ∠DEF +∠BPC =∠DBE,∠DEF =∠QET,∠BPC =∠Q ∠QET +∠Q =∠DBE.∠BTE =∠DBE.DE ⊥BC.∴∴，∴ ．∵ ，∴，∴ .∵，∴，∴.∵ ，∴.∵轴，∴ ，∴.设，∴解得．∴.∵，∴轴．∵，∴轴．∴，令，解得，∴．∵，∴DE ⊥BC.∠BED =90∘∠DBE +∠BDE =90∘∠BTE =∠DBE ∠BTE +∠BDE =90∘∠DBT =90∘D (−4,5),B (1,0)DK =BK =5∠KDB =∠DBK =45∘∠DBT =90∘∠PBK =45∘PN ⊥x ∠PBK =∠BPN =45∘BN =PN P (m,+2m −3)m 21−m =−−2m +3.m 2=−2,=1m 1m 2P (−2,−3)C (0,−3)PC//x EQ//CP EQ//x ==3y E y F +2x −3=3x 2=−1，=−−1x 17–√x 27–√F (−−1,3)7–√E (2,3)EF =2−(−−1)=3+.7–√7–√。

湖南省湘潭市中考数学试卷及答案(Word解析版)

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湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．（3分）（•湘潭）﹣5的相反数是（）A．5B．C．﹣5 D．考点：相反数．专题：计算题．分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．解答：解：﹣5的相反数是5．故选A．点评：本题主要考查相反数的概念和意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．2．（3分）（•湘潭）一组数据1，2，2，3．下列说法正确的是（）A．众数是3 B．中位数是2 C．极差是3 D．平均数是3考点：极差；算术平均数；中位数；众数．分析：根据极差、众数、中位数及平均数的定义，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、众数为2，故本选项错误；B、中位数是2，故本选项正确；C、极差为2，故本选项错误；D、平均数为2，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了极差、中位数、平均数、众数的知识，掌握基本定义即可解答本题，难度一般．3．（3分）（•湘潭）如图是由三个小方体叠成的一个立体图形，那么它的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．析：解答：解：从上面看易得两个横向排列的正方形．故选B．点评：本题考查了三视图的知识，属于基础题，要求同学们掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（3分）（•湘潭）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．平行四边形B．正五边形C．等腰梯形D．直角三角形考点：中心对称图形分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．点评：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．5．（3分）（•湘潭）一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2，则x1•x2=（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据题意得x1•x2==﹣2．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．6．（3分）（•湘潭）下列命题正确的是（）A．三角形的中位线平行且等于第三边B．对角线相等的四边形是等腰梯形C．四条边都相等的四边形是菱形D．相等的角是对顶角考点：命题与定理分析：利用三角形中位线的性质，等腰梯形、菱形、对顶角的性质分别进行判断，即可得出答案．解答：解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；B、正方形，矩形对角线均相等，故本选项错误；C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；D、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；故选C．点评：此题考查了命题与定理，熟练掌握各特殊四边形的判定和性质是解答此类问题的关键．7．（3分）（•湘潭）如图，点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，则反比例函数的解析式（）A．B．C．D．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：把P点坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到答案．解答：解：∵点P（﹣3，2）是反比例函数（k≠0）的图象上一点，∴k=﹣3×2=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=，故选：D．点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点必能满足解析式．8．（3分）（•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．B D=CE B．A D=AE C．D A=DE D．B E=CD考点：等腰三角形的性质分析：根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）9．（3分）（•湘潭）|﹣3|=3．考点：绝对值分析：根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．解答：解：|﹣3|=3．故答案为：3．点评：此题主要考查了绝对值的性质，正确记忆绝对值的性质是解决问题的关键．10．（3分）（•湘潭）如右图，已知：AB∥CD，∠C=25°，∠E=30°，则∠A=55°．考点：平行线的性质专题：计算题．分析：由AB与CD平行，利用两直线平行得到一对同位角相等，求出∠EFD的度数，而∠EFD为三角形ECF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数，即为∠A的度数．解答：解：∵∠EFD为△ECF的外角，∴∠EFD=∠C+∠E=55°，∵CD∥AB，∴∠A=∠EFD=55°．故答案为：55°点评：此题考查了平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．11．（3分）（•湘潭）到底，湘潭地区总人口约为3020000人，用科学记数法表示这一数为 3.02×106．考点：科学记数法—表示较大的数分科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，析：要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将3020000用科学记数法表示为3.02×106．故答案为：3.02×106．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（•湘潭）湖园中学学生志愿服务小组在“三月学雷锋”活动中，购买了一批牛奶到敬老院慰问老人，如果送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完．设敬老院有x位老人，依题意可列方程为2x+16=3x．考点：由实际问题抽象出一元一次方程分析：根据“送给每位老人2盒牛奶，那么剩下16盒；如果送给每位老人3盒牛奶，则正好送完”表示出牛奶的总盒数，进而得出答案．解答：解：设敬老院有x位老人，依题意可列方程：2x+16=3x，故答案为：2x+16=3x．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据已知表示出牛奶的总盒数是解题关键．13．（3分）（•湘潭）“五一”假期，科科随父母在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，他从中任意抽取1张寄给外地工作的姑姑，则恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是．考点：概率公式分析：由在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵在韶山旅游时购买了10张韶山风景明信片（除图案外，形状大小、质地等都相同），其中4张印有主席故居图案，3张印有主席铜像图案，3张印有滴水洞风景图案，∴恰好抽中印有主席故居图案明信片的概率是：=．故答案为：．点评：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．14．（3分）（•湘潭）函数：中，自变量x的取值范围是x≠﹣1．考点：函数自变量的取值范围专计算题．题：分析：根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．解答：解：根据题意可得x+1≠0；解可得x≠﹣1；故答案为x≠﹣1．点评：求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．15．（3分）（•湘潭）计算：=2．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=×+1=1+1=2．故答案为2．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简等考点的运算．16．（3分）（•湘潭）如图，根据所示程序计算，若输入x=，则输出结果为2．考点：函数值；估算无理数的大小专题：图表型．分析：根据＞1选择左边的函数关系式进行计算即可得解．解答：解：∵x=＞1，∴y=2﹣1=3﹣1=2．故答案为：2．点评：本题考查了函数值的计算，比较简单，准确选择函数关系式是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17．（6分）（•湘潭）解不等式组．．考点：解一元一次不等式组分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”找出公共解集即可．解答：解：，由①得：x≥2，由②得：x≤4，不等式组的解集为：2≤x≤4．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．（6分）（•湘潭）先化简，再求值：，其中x=﹣2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=2代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=×=，当x=﹣2时，原式=﹣=﹣1．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（6分）（•湘潭）如图，C岛位于我南海A港口北偏东60方向，距A港口60海里处，我海监船从A港口出发，自西向东航行至B处时，接上级命令赶赴C岛执行任务，此时C岛在B处北偏西45°方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC行进，则从B处到达C岛需要多少小时？考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：分别在Rt△ACD与Rt△BCD中，利用三角函数的性质，即可求得BC的长，继而求得答案．解答：解：∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=×60=30海里，∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BC=30×=60海里，60÷60=1（小时）．答：从B处到达C岛需要1小时．点评：此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．20．（6分）（•湘潭）4月20日8时，四川省芦山县发生7.0级地震，某市派出抢险救灾工程队赶芦山支援，工程队承担了2400米道路抢修任务，为了让救灾人员和物资尽快运抵灾区，实际施工速度比原计划每小时多修40米，结果提前2小时完成，求原计划每小时抢修道路多少米？考点：分式方程的应用分析：首先设原计划每小时抢修道路x米，则实际施工速度为每小时抢修道路（x+40）米，根据题意可得等量关系：原计划修2400米道路所用时间﹣实际修2400米道路所用时间=2小时，根据等量关系，列出方程即可．解答：解：设原计划每小时抢修道路x米，由题意得：﹣=2，解得：x1=200，x2=﹣240，经检验：x1=200，x2=﹣240，都是原分式方程的解，x=﹣240不合题意，舍去，答：原计划每小时抢修道路200米．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意解出分式方程后要进行检验．21．（6分）（•湘潭）6月5日是世界环境日，今年“世界环境日”中国的主题为“同呼吸，共奋斗”，旨在释放和传递：建设美丽中国，人人共享、人人有责的信息，小文积极学习与宣传，并从四个方面A：空气污染，B：淡水资源危机，C：土地荒漠化，D：全球变暖，对全校同学进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的问题（每人限选一项）．以下是他收集数据后，绘制的不完整的统计图表：关注问题频数频率A 24 0.4B 12 0.2C n 0.1D 18 m合计 a1请你根据图表中提供的信息解答以下问题：（1）根据图表信息，可得a=60；（2）请你将条形图补充完整；（3）如果小文所在的学校有1200名学生，那么你根据小文提供的信息估计该校关注“全球变暖”的学生大约有多少人？考点：条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．分析：（1）根据空气污染的频数除以对应的频率即可求出a的值；（2）由a的值，减去其它频数求出n的值，补全条形统计图即可；（3）求出表格中m的值，乘以1200即可得到结果．解答：解：（1）根据题意得：24÷0.4=60，即a=60；故答案为：60；（2）根据题意得：n=60﹣（24+12+18）=6，补全条形统计图，如图所示；（3）由表格得：m=0.3，根据题意得：该校关注“全球变暖”的学生大约有1200×0.3=360（人）．点评：此题考查了条形统计图，频数（率）分布表，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．22．（6分）（•湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图所示．（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润．考点：一次函数的应用分析：（1）由图象可知y与x是一次函数关系，又由函数图象过点（11，10）和（15，2），则用待定系数法即可求得y与x的函数关系式；（2）根据（1）求出的函数关系式，再求出每件该商品的利润，即可求得求超市每天销售这种商品所获得的利润．解答：解：（1）设y=kx+b（k≠0），由图象可知，，解得，故销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=﹣2x+32；（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：W=（﹣2x+32）（13﹣10）=﹣6x+96．点评：此题考查了一次函数的应用问题，此题综合性较强，难度一般，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，注意待定系数法的应用，注意数形结合思想的应用．23．（8分）（•湘潭）5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨．（1）小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；（2）如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从（1）中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率．考点：一元一次不等式组的应用分析：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，根据条件建立不等式组，运用分类讨论思想求出其解即可．（2）当小明先购买一张2元的祝福卡，小明购花的钱就只有28元了，求出能够购花的方案，就可以求出实现愿望的概率．解答：解：（1）设购买康乃馨x支，购买兰花y支，由题意，得，∵x、y为正整数，当x=1时，y=6，7，8符合题意，当x=2时，y=5，6符合题意，当x=3时，y=4，5符合题意，当x=4时，y=3符合题意，当x=5时，y=1舍去，当x=6时，y=0舍去．共有8种购买方案，方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案3：购买康乃馨1支，购买兰花8支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；方案6：购买康乃馨3支，购买兰花4支；方案7：购买康乃馨3支，购买兰花5支；方案8：购买康乃馨4支，购买兰花3支；（2）由题意，得，，购花的方案有：方案1：购买康乃馨1支，购买兰花6支；方案2：购买康乃馨1支，购买兰花7支；方案4：购买康乃馨2支，购买兰花5支；方案5：购买康乃馨2支，购买兰花6支；∴小明实现购买方案的愿望有5种，而总共有8中购买方案，∴小明能实现购买愿望的概率为P=．点评：本题考查了列不等式组及运用分类讨论思想解答方案设计的运用，概率在实际问题中的运用，解答时根据不等式组及分类讨论思想求出购买方案是关键．24．（8分）（•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．解答：解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．25．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，已知D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D 点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PC∥DB；（2）当t为何值时，PC⊥BC；（3）以点P为圆心，PO的长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与△BCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．考相似形综合题点：分析：（1）过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y轴，垂足分别为A、C两点，求出DC=5，OC=4，OB=3，根据四边形DBPC是平行四边形求出DC=BP=5，求出OP=2即可；（2）证△PCO∽△CBO，得出=，求出OP=即可；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，求出PM、OP的长即可；②当⊙P与BC相切时，根据△COB∽△PBM得出=，求出R=12即可；③当⊙P与DB相切时，证△ADB∽△MPB得出=，求出R即可．解答：解：（1）∵D（﹣5，4），B（﹣3，0），过D点分别作DA、DC垂直于x轴，y 轴，垂足分别为A、C两点，∴DC=5，OC=4，OB=3，∵DC⊥y轴，x轴⊥y轴，∴DC∥BP，∵PC∥DC，∴四边形DBPC是平行四边形，∴DC=BP=5，∴OP=5﹣3=2，2÷1=2，即当t为2秒时，PC∥BD；（2）∵PC⊥BC，x轴⊥y轴，∴∠COP=∠COB=∠BCP=90∴，∴∠PCO+∠BCO=90°，∠CPO+∠PCO=90°，∴∠CPO=∠BCO，∴△PCO∽△CBO，∴=，∴=，∴OP=，÷1=，即当t为秒时，PC⊥BC；（3）设⊙P的半径是R，分为三种情况：①当⊙P与直线DC相切时，如图1，过P作PM⊥DC交DC延长线于M，则PM=OC=4=OP，4÷1=4，即t=4；②如图2，当⊙P与BC相切时，∵∠BOC=90°，BO=3，OC=4，由勾股定理得：BC=5，∵∠PMB=∠COB=90°，∠CBO=∠PBM，∴△COB∽△PBM，∴=，∴=，R=12，12÷1=12，即t=12秒；③根据勾股定理得：BD==2，如图3，当⊙P与DB相切时，∵∠PMB=∠DAB=90°，∠ABD=∠PBM，∴△ADB∽△MPB，∴=，∴=，R=6+12；（6+12）÷1=6+12，即t=（6+12）秒．点评：本题考查了勾股定理，切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算和推理能力．26．（10分）（•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直线AC的解析式为：y=x﹣．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（﹣x+2）﹣（x﹣）=﹣x．△CEF中，CE边上的高h=OD﹣x=3﹣x．由题意得：S△CEF=S△ABC，即：EF•h=S△ABC，∴（﹣x）•（3﹣x）=×，整理得：（3﹣x）2=3，解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去），∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．（3）存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣2，当x=﹣2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（﹣2，1）．点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．。

湖南湘潭中考数学试题解析版

湖南湘潭中考数学试题解析版

湖南省湘潭市2011年中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1、（2011?湘潭）下列等式成立是（ ）A 、|﹣2|=2B 、﹣（﹣1）=﹣1C 、1÷（﹣3）=13D 、﹣2×3=6考点：有理数的混合运算。

分析：A ，﹣2的绝对值为2，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．解答：解：A 、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；B 、负负得正，得数应为1，故本选项错误；C 、正负乘除得正，故本选项错误；D 、同选项C ，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了有理数的混合运算，选项A ，负数的绝对值为正数，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．本题很容易选得A ．2、（2011?湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（ ）A 、3，3B 、3，4C 、2，3D 、2，4考点：极差；算术平均数。

专题：计算题。

分析：根据极差和平均数的定义即可求得．解答：解：x =1+3+53=3， 由题意可知，极差为5﹣1=4．故选B ．点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．3、（2011?湘潭）不等式组{x ＞1x ≤2的解集在数轴上表示为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：存在型。

分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可． 解答：解：不等式组{x ＞1x ≤2在数轴上表示为：故选A ．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4、（2011?湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ）A 、球B 、圆柱C 、长方体D 、圆锥考点：由三视图判断几何体。

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷-解析版

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷-解析版

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−6的绝对值是()A. −6B. 6C. −16D. 162.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.6×108B. 6×107C. 6×108D. 6×1093.已知2x n+1y3与13x4y3是同类项，则n的值是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列图形中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.下列运算中正确的是()A. (a2)3=a5B. (12)−1=−2 C. (2−√5)0=1 D. a3⋅a3=2a6 6.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=()A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°7.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是()A. 0.25B. 0.3C. 25D. 308.如图，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1)，当kx+b≥x时，则x的取值范围为()A. x≤1B. x≥1C. x<1D. x>1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 计算：sin45°=______．10. 在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为______.(任意写出一个即可) 11. 计算：√8−√2=______．12. 走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是______步． 13. 若yx =37，则x−y x=______．14. 如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角∠AOB =60°，则阴影部分面积为______．15. 如图，点P 是∠AOC 的角平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，且PD =3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为______．16. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字 形式 1 2 3 4 5 6789纵式 |||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分） 17. 解分式方程：3x−1+2=xx−1．18. 化简求值：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1，其中a =−2．19. 生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2分别表示甲、乙两班4个学生)(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE=10m，其坡度为i1=1：√3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1：4，求斜坡AF的长度．(结果精确到0.01m，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)21.“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理数据：时长x(小时)4<x≤55<x≤66<x≤77<x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b应用数据：(1)填空：a=______，b=______；(2)补全频数直方图；(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x≤7小时的人数．22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4)．(1)求过点B的反比例函数y=k的解析式；x(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．(1)求这两种书的单价；(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC的面积．(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA 、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．26.如图，抛物线y=−x2+bx+5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数，所以−6的绝对值是6．故选：B．在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．本题主要考查绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.【答案】C【解析】解：600000000=6×108，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】Bx4y3是同类项，【解析】解：∵2x n+1y3与13∴n+1=4，解得，n=3，故选：B．根据同类项的概念可得关于n的一元一次方程，求解方程即可得到n的值．本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．4.【答案】D【解析】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．此题主要考查了中心对称图形，解题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5.【答案】C【解析】解：A、(a2)3=a6，故A错误；)−1=2，故B错误；B、(12C、(2−√5)0=1，正确；D、a3⋅a3=a6，故D错误；故选：C．根据幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法法则即可逐一判断．本题考查了幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂以及同底数幂的乘法，解题的关键是掌握基本的运算法则及公式．6.【答案】D【解析】解：∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD =∠B +∠A ，∴∠A =∠ACD −∠B ，∠B =50°， ∴∠A =60°， 故选：D ．根据三角形的外角的性质进行计算即可．本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键7.【答案】B【解析】解：由图知，八年级(3)班的全体人数为：25+30+10+20+15=100(人)， 选择“5G 时代”的人数为：30人， ∴选择“5G 时代”的频率是：30100=0.3；故选：B ．先计算出八年级(3)班的全体人数，然后用选择“5G 时代”的人数除以八年级(3)班的全体人数即可．本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：由题意，将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)， 可得k +b =1，即k −1=−b ，整理kx +b ≥x 得，(k −1)x +b ≥0， ∴−bx +b ≥0， 由图象可知b >0， ∴x −1≤0， ∴x ≤1， 故选：A ．将P(1,1)代入y =kx +b(k <0)，可得k −1=−b ，再将kx +b ≥x 变形整理，得−bx +b ≥0，求解即可．本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．9.【答案】√22【解析】解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=√22．根据特殊角的三角函数值解答．本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°=12，cos30°=√32，tan30°=√33，cot30°=√3；sin45°=√22，cos45°=√22，tan45°=1，cot45°=1；sin60°=√32，cos60°=12，tan60°=√3，cot60°=√33．10.【答案】3【解析】解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0从中任选一个即可故答案为：3(答案不唯一，3，2，1，0，−1，−2，−3任意一个均可)根据数轴表示数的意义，可得出答案为±3，±2，±1，0中任意写出一个即可． 本题考查了数轴、数轴特点、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．11.【答案】√2【解析】解：√8−√2=2√2−√2=√2． 故答案为√2．先把√8化简为2√2，再合并同类二次根式即可得解．本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．12.【答案】6400【解析】解：这3天步数的平均数是：6200+5800+72003=6400(步)，故答案为：6400．根据算术平均数的计算公式即可解答．本题考查了平均数的计算，解题的关键是掌握平均数的计算公式．13.【答案】47【解析】解：由yx =37可设y =3k ，x =7k ，k 是非零整数， 则x−y x=7k−3k 7k =4k 7k =47．故答案为：47．根据比例的基本性质变形，代入求值即可．本题主要考查了比的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．14.【答案】6π【解析】解：阴影部分面积为60π×62360=6π，故答案为：6π．直接根据扇形的面积计算公式计算即可．本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．15.【答案】3【解析】解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD ⊥OA ，PD =3， ∴PM =PD =3， 故答案为：3．根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．16.【答案】8167【解析】解：根据算筹计数法，表示的数是：8167故答案为：8167．根据算筹计数法来计数即可．本题考查了算筹计数法，理解题意是解题的关键．17.【答案】解：3x−1+2=xx−1去分母得，3+2(x −1)=x ， 解得，x =−1，经检验，x =−1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x =−1．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．18.【答案】解：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1=a −1−2a −1⋅(a −1)2a −3=a −1，将a =−2代入得：原式=−2−1=−3．【解析】根据分式的混合运算法则，先化简，再将a =−2代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．19.【答案】解：(1)可能出现的结果有：男 1女 1、男 1男 2、男 1女 2、男 2女 1、男 2女 2、女 1女 2；(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况， 所以恰好选中一男一女的概率为24=12．【解析】(1)直接列举出所有可能出现的结果即可；(2)画出树状图，找出符合题意的可能结果，再利用概率公式求出概率即可．本题考查列举法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.【答案】解：∵DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3， ∴在Rt △DCE 中，DE =√DC 2+CE 2=2DC =10，∴解得DC =5．∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB =CD =5．∵斜坡AF 的坡度为i 2=1：4， ∴ABBF =14，∴BF =4AB =20，∴在Rt △ABF 中，AF =√AB 2+BF 2=5√17≈20.61(m)． 故斜坡AF 的长度约为20.61米．【解析】先由DE 的坡度计算DC 的长度，根据矩形性质得AB 长度，再由AF 的坡度得出BF 的长度，根据勾股定理计算出AF 的长度．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．21.【答案】6 6.5【解析】解：(1)由总人数是20人可得在5<x ≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以a =6，根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b =6.5； 故答案为：6，6.5；(2)由(1)得a =6．频数分布直方图补充如下：(3)由图可知，学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比=6+820×100%=70%，∴1000×70%=700(人)．∴学习时长在5<x ≤7小时的人数是700人．(1)根据各组频数之和等于数据总数，可得5<x ≤6范围内的数据；找出数据中次数最多的数据即为所求；(2)根据(1)中的数据画图即可；(3)先算出样本中学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比，再用总数乘以这个百分比即可．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数，利用样本估计总体．22.【答案】(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =ADAB =AC ，∴Rt △ABD≌Rt △ACD(HL)；(2)直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：由△ABD≌△ACD知：BD=DC，又∵OA=OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD//AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．【解析】(1)AB为⊙O的直径得AD⊥BC，结合AB=AC，用HL证明全等三角形；(2)由△ABD≌△ACD得BD=BC，结合AO=BO得OD为△ABC的中位线，由DE⊥AC得OD⊥DE，可得直线DE为⊙O切线．本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形判定和性质，切线的判定，平行线的判定和性质，熟知以上知识的应用是解题的关键．23.【答案】解：(1)过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A(3,4)，∴OE=3，AE=4，∴AO=√OE2+AE2=5∵四边形OABC是菱形，∴AO=AB=OC=5，AB//x轴，∴EF=AB=5，∴OF=OE+EF=3+5=8，∴B(8,4)．设过B点的反比例函数解析式为y=kx，把B点坐标代入得，k=32，所以，反比例函数解析式为y=32x；(2)∵OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∴∠OBF+∠DBF=90°，∵∠DBF+∠BDF=90°，∴∠OBF=∠BDF，又∠OFB=∠BFD=90°，∴△OBF～△BDF，∴OFBF =BFDF，∴84=4DF，解得，DF =2，∴OD =OF +DF =8+2=10，∴D(10,0)．设BD 所在直线解析式为y =kx +b ，把B(8,4)，D(10,0)分别代入，得：{8k +b =410k +b =0，解得，{k =−2b =20， ∴直线BD 的解析式为y =−2x +20．【解析】(1)由A 的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B 的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；(2)证明△OBF ～△BDF ，利用相似三角形的性质得出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线BD 解析式即可．此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．24.【答案】解：(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，由题意得：{2x +y =1006x =7y， 解得{x =35y =30． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，则n 可以取17、18、19、20，当n =17时，50−n =33，共花费17×35+33×30=1585元；当n =18时，50−n =32，共花费17×35+33×30=1590元；当n =19时，50−n =31，共花费17×35+33×30=1595元；当n =20时，50−n =30，共花费17×35+33×30=1600元；．所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．【解析】(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元”和“购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”建立方程组求解即可；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据“购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半”和“购买两种书的总价不超过1600元”两个不等关系列不等式组解答并确定整数解即可．本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．25.【答案】解：(1)连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线，∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE//AB ，DE =12AB ，∴△ODE∽△OAB ，∴OD OA =DE AB =12， ∵AB =2，BD =1，∠ADB =90°，∴AD =√3，OD =√33， ∴S △OBC =BC⋅OD 2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3； (2)由(1)可知，OD OA =12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比， 故S △OBCS △ABC =13，是定值； (3)①∵四边形ABCD 是正方形，∴CD//AB ，AB =BC =CD =4，∴△CME ～△AMB ，∴EM BM =CE AB ，∵E 为CD 的中点，∴CE =12CD =2， ∴BE =√BC 2+CE 2=2√5，∴EM BM =12，∴EM BE =13， 即EM =23√5；②∴S △CME =1，且ME BM =12，∴S △BMC =2，∵ME BM =12，∴S △CME S △AMB =(ME BM )2=14， ∴S △AMB =4，∴S △ABC =S △BMC +S △ABM =2+4=6，又S △ADC =S △ABC ，∴S △ADC =6，∴正方形ABCD 的面积为：6+6=12．【解析】(1)连接DE，利用相似三角形证明ODAO =12，运用勾股定理求出AD的长，运用三角形面积公式求解即可；(2)根据(1)的证明可求解；(3)①证明△CME∽△ABM，得EMBM =12，再运用勾股定理求出BE的长即可解决问题；②分别求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面积．本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26.【答案】解：(1)①抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴，则b2=2，解得：b=4，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，则OB′=OB，PB′=PB，对于y=−x2+4x+5，令y=0，则−x2+4x+5=0，解得：x1=−1，x2=5，∴A(−1,0)，B(5,0)，∴OB′=OB=5，∴CB′=√OB′2−OC2=√25−4=√21，∴B′(2,√21)，设点P(2,m)，由PB′=PB可得：√21−m=√m2+(5−2)2，解得：m=2√217，∴P(2,2√217)；同理，当点P在x轴下方时，P(2,−2√217).综上所述，点P(2,2√217)或P(2,−2√217)；(2)∵抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴当b≥4时，x=b2≥2，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x=2，y有最大值，即y=−4+2b+5=2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．【解析】(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB′=OB，PB′=PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到B′(2,√21)，再根据PB′=PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；(2)当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x=2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第(1)②问要先画出图形再理解，第(2)问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．。

中考数学试题及解析 湖南湘潭-解析版

中考数学试题及解析 湖南湘潭-解析版

湖南省湘潭市中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1、（•湘潭）下列等式成立是（ ）A 、|﹣2|=2B 、﹣（﹣1）=﹣1C 、1÷（﹣3）=13D 、﹣2×3=6考点：有理数的混合运算。

分析：A ，﹣2的绝对值为2，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．解答：解：A 、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；B 、负负得正，得数应为1，故本选项错误；C 、正负乘除得正，故本选项错误；D 、同选项C ，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了有理数的混合运算，选项A ，负数的绝对值为正数，正确；B ，负负得正，得数应为1，故错误；C ，正负乘除得正，错误；D ，同选项C ，故错误．本题很容易选得A ．2、（•湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（ ）A 、3，3B 、3，4C 、2，3D 、2，4考点：极差；算术平均数。

专题：计算题。

分析：根据极差和平均数的定义即可求得．解答：解：x =1+3+53=3， 由题意可知，极差为5﹣1=4．故选B ．点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．3、（•湘潭）不等式组{x ＞1x ≤2的解集在数轴上表示为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：存在型。

分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可． 解答：解：不等式组{x ＞1x ≤2在数轴上表示为：故选A ．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 4、（•湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（ ）A 、球B 、圆柱C 、长方体D 、圆锥考点：由三视图判断几何体。

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷(有详细解析)

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷(有详细解析)

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−6的绝对值是()A. −6B. 6C. −16D. 162.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为()A. 0.6×108B. 6×107C. 6×108D. 6×1093.已知2x n+1y3与13x4y3是同类项，则n的值是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列图形中，不是中心对称图形的是()A. B. C. D.5.下列运算中正确的是()A. (a2)3=a5B. (12)−1=−2 C. (2−√5)0=1 D. a3⋅a3=2a66.如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=()A. 40°B. 50°C. 55°D.60°7.为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是()A. 0.25B. 0.3C. 25D. 308.如图，直线y=kx+b(k<0)经过点P(1,1)，当kx+b≥x时，则x的取值范围为()A. x≤1B. x≥1C. x<1D. x>1二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.计算：sin45°=______．10.在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为______.(任意写出一个即可)11.计算：√8−√2=______．12.走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是______步．13.若yx =37，则x−yx=______．14.如图，在半径为6的⊙O中，圆心角∠AOB=60°，则阴影部分面积为______．15.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为______．16.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是______．三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）17. 解分式方程：3x−1+2=xx−1．18. 化简求值：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1，其中a =−2．19. 生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2分别表示甲、乙两班4个学生)(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．20. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3，将步梯DE 改造为斜坡AF ，其坡度为i 2=1：4，求斜坡AF 的长度．(结果精确到0.01m ，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)21.“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5整理数据：时长x(小时)4<x≤55<x≤66<x≤77<x≤8人数2a84分析数据：项目平均数中位数众数数据 6.4 6.5b(1)填空：a=______，b=______；(2)补全频数直方图；(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<x≤7小时的人数．22.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．(1)求证：△ABD≌△ACD；(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4)．(1)求过点B的反比例函数y=k的解析式；x(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的解析式．24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．(1)求这两种书的单价；(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△ABC的重心为点O，求△OBC与△ABC 的面积．(2)性质探究：如图(二)，已知△ABC的重心为点O，请判断ODOA 、S△OBCS△ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度；②若S△CME=1，求正方形ABCD的面积．26.如图，抛物线y=−x2+bx+5与x轴交于A，B两点．(1)若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．答案和解析1.B解：负数的绝对值等于它的相反数，所以−6的绝对值是6．2.C解：600000000=6×108，3.Bx4y3是同类项，解：∵2x n+1y3与13∴n+1=4，解得，n=3，4.D解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；5.C解：A、(a2)3=a6，故A错误；)−1=2，故B错误；B、(12C、(2−√5)0=1，正确；D、a3⋅a3=a6，故D错误；6.D解：∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD−∠B，∠B=50°，∴∠A=60°，7.B解：由图知，八年级(3)班的全体人数为：25+30+10+20+15=100(人)，选择“5G时代”的人数为：30人，=0.3；∴选择“5G时代”的频率是：301008.A解：由题意，将P(1,1)代入y=kx+b(k<0)，可得k+b=1，即k−1=−b，整理kx+b≥x得，(k−1)x+b≥0，∴−bx+b≥0，由图象可知b>0，∴x−1≤0，∴x≤1，9.√22解：根据特殊角的三角函数值得：sin45°=√22．10.3解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0从中任选一个即可11.√2解：√8−√2=2√2−√2=√2．12.6400解：这3天步数的平均数是：6200+5800+72003=6400(步)，13.47解：由yx =37可设y=3k，x=7k，k是非零整数，则x−yx =7k−3k7k=4k7k=47．14.6π解：阴影部分面积为60π×62360=6π，15. 3解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小， 当PM ⊥OC 时，又∵OP 平分∠AOC ，PD ⊥OA ，PD =3， ∴PM =PD =3，16. 8167解：根据算筹计数法，表示的数是：816717. 解：3x−1+2=xx−1去分母得，3+2(x −1)=x ， 解得，x =−1，经检验，x =−1是原方程的解． 所以，原方程的解为：x =−1．18. 解：(1−2a−1)÷a−3a 2−2a+1=a−1−2a−1⋅(a−1)2a−3=a −1，将a =−2代入得：原式=−2−1=−3．19. 解：(1)可能出现的结果有：男 1女 1、男 1男 2、男 1女 2、男 2女 1、男 2女 2、女 1女 2；(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况， 所以恰好选中一男一女的概率为24=12．20. 解：∵DE =10m ，其坡度为i 1=1：√3，∴在Rt △DCE 中，DE =√DC 2+CE 2=2DC =10， ∴解得DC =5．∵四边形ABCD 为矩形， ∴AB =CD =5．∵斜坡AF 的坡度为i 2=1：4，∴AB BF=14， ∴BF =4AB =20，∴在Rt △ABF 中，AF =√AB 2+BF 2=5√17≈20.61(m)． 故斜坡AF 的长度约为20.61米．21. 6 6.5解：(1)由总人数是20人可得在5<x ≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以a =6， 根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数b =6.5； 故答案为：6，6.5；(2)由(1)得a =6．频数分布直方图补充如下：(3)由图可知，学习时长在5<x ≤7小时的人数所占的百分比=6+820×100%=70%，∴1000×70%=700(人)．∴学习时长在5<x ≤7小时的人数是700人．22. (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，在Rt △ADB 和Rt △ADC 中{AD =ADAB =AC ，∴Rt △ABD≌Rt △ACD(HL)；(2)直线DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接OD ，如图所示：由△ABD≌△ACD 知：BD =DC ， 又∵OA =OB ，∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD//AC ，∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 与⊙O 相切．23. 解：(1)过点A 作AE ⊥x 轴，过B 作BF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，如图， ∵A(3,4)，∴OE =3，AE =4， ∴AO =√OE 2+AE 2=5∵四边形OABC 是菱形，∴AO =AB =OC =5，AB//x 轴，∴EF =AB =5，∴OF =OE +EF =3+5=8，∴B(8,4)．设过B 点的反比例函数解析式为y =kx ，把B 点坐标代入得，k =32，所以，反比例函数解析式为y =32x ；(2)∵OB ⊥BD ，∴∠OBD =90°，∴∠OBF +∠DBF =90°，∵∠DBF +∠BDF =90°，∴∠OBF =∠BDF ，又∠OFB =∠BFD =90°，∴△OBF ～△BDF ，∴OFBF =BFDF ，∴84=4DF ，解得，DF =2，∴OD =OF +DF =8+2=10，∴D(10,0)．设BD 所在直线解析式为y =kx +b ，把B(8,4)，D(10,0)分别代入，得：{8k +b =410k +b =0，解得，{k =−2b =20，∴直线BD 的解析式为y =−2x +20．24. 解：(1)设购买《北上》的单价为x 元，《牵风记》的单价为y 元， 由题意得：{2x +y =1006x =7y ，解得{x =35y =30． 答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；(2)设购买《北上》的数量n 本，则购买《牵风记》的数量为(50−n)本，根据题意得{n ≥12(50−n)35n +30(50−n)≤1600， 解得：1623≤n ≤20，则n 可以取17、18、19、20，当n =17时，50−n =33，共花费17×35+33×30=1585元；当n =18时，50−n =32，共花费17×35+33×30=1590元；当n =19时，50−n =31，共花费17×35+33×30=1595元；当n =20时，50−n =30，共花费17×35+33×30=1600元；．所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．25. 解：(1)连接DE ，如图，∵点O 是△ABC 的重心，∴AD ，BE 是BC ，AC 边上的中线，∴D ，E 为BC ，AC 边上的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE//AB ，DE =12AB ，∴△ODE∽△OAB ，∴OD OA =DE AB =12，∵AB =2，BD =1，∠ADB =90°，∴AD =√3，OD =√33， ∴S △OBC =BC⋅OD2=2×√332=√33，S △ABC =BC⋅AD 2=2×√32=√3； (2)由(1)可知，OD OA =12，是定值；点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比为1：3，则△OBC 和△ABC 的面积之比等于点O 到BC 的距离和点A 到BC 的距离之比， 故S △OBCS △ABC =13，是定值； (3)①∵四边形ABCD 是正方形，∴CD//AB ，AB =BC =CD =4，∴△CME ～△AMB ，∴EM BM =CEAB ，∵E为CD的中点，∴CE=12CD=2，∴BE=√BC2+CE2=2√5，∴EMBM =12，∴EMBE =13，即EM=23√5；②∴S△CME=1，且MEBM =12，∴S△BMC=2，∵MEBM =12，∴S△CMES△AMB =(MEBM)2=14，∴S△AMB=4，∴S△ABC=S△BMC+S△ABM=2+4=6，又S△ADC=S△ABC，∴S△ADC=6，∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．26.解：(1)①抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴，则b2=2，解得：b=4，∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；②存在，如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B′在对称轴上，连接OB′、PB，则OB′=OB，PB′=PB，对于y=−x2+4x+5，令y=0，则−x2+4x+5=0，解得：x1=−1，x2=5，∴A(−1,0)，B(5,0)，∴OB′=OB=5，∴CB′=√OB′2−OC2=√25−4=√21，∴B′(2,√21)，设点P(2,m)，由PB′=PB可得：√21−m=√m2+(5−2)2，解得：m=2√217，∴P(2,2√217)；同理，当点P在x轴下方时，P(2,−2√217).综上所述，点P(2,2√217)或P(2,−2√217)；(2)∵抛物线y=−x2+bx+5的对称轴为直线x=−b2×(−1)=b2，∴当b≥4时，x=b2≥2，∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤2时，取x=2，y有最大值，即y=−4+2b+5=2b+1，∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，又∵b≥4，∴4≤b≤7．。

2021年中考真题精品解析数学(湘潭卷)精编word版(解析版)

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）1．在数轴上表示﹣2的点与表示3的点之间的距离是（ ） A ．5 B ．﹣5 C ．1 D ．﹣1 【答案】A ．考点：数轴．2．【3分】下面四个立体图形中，三视图完全相同的是（ ）【答案】B ．考点：简单几何体的三视图． 3．【3分】下列计算正确的是（ ）A 523=B ．133-=-C ．428()a a = D ．623a a a ÷=【答案】C ． 【解析】考点：1．幂的乘方与积的乘方；2．同底数幂的除法；3．负整数指数幂；4．二次根式的加减法．4．【3分】在△ABC中，D．E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（）A．8B．12C．16D．20【答案】C．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．5．【3分】下列四个命题中，真命题是（）A．“任意四边形内角和为360°”是不可能事件D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是1 2【答案】D．考点：命题与定理．6．【3分】如图，已知直线AB∥CD，且直线EF分别交AB、CD于M、N两点，NH是∠MND的角平分线．若∠AMN=56°，则∠MNH的度数是（）A．28° B．30° C．34° D．56°【答案】A．考点：平行线的性质．7．【3分】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是（）A．60° B．90° C．100° D．120°【答案】D．考点：圆内接四边形的性质．8．【3分】如图，观察二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①0a b c ++>，②20a b +>，③240b ac ->，④0ac >． 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 【答案】C ．考点：二次函数图象与系数的关系．二、填空题（本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分） 9．【3分】12的倒数是 ． 【答案】2．考点：倒数．10．【3分】计算：32(2)--= ． 【答案】10．考点：1．有理数的乘方；2．有理数的减法．11．【3分】在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评选活动中，截止到5月底，王老师获得网络点赞共计183000个，用科学记数法表示这个数为． 【答案】51.8310 ．考点：科学记数法—表示较大的数．12．【3分】高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩（单位：环）为：5、7、9、10、7，则这组数据的众数是 ． 【答案】7．考点：众数．【答案】50．考点：一元一次方程的应用．14．【3分】已知菱形ABCD 的面积为24cm 2，若对角线AC =6cm ，则这个菱形的边长为 cm ． 【答案】5．考点：菱形的性质．15．【3分】（2015湘潭）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED ，若线段AB =3，则BE = ．【答案】3．考点：旋转的性质．16．【3分】小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为8cm，母线长为25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为cm2．（结果保留π）【答案】200π．考点：圆锥的计算．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分）17．【6分】解不等式组：53643 xx x+>⎧⎨+>-⎩．【答案】﹣2＜x＜3．【解析】考点：解一元一次不等式组．【答案】11x，55．考点：分式的化简求值．19．【6分】“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨．搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？（结果精确到0.1，3≈1.73）【答案】17.3．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．20．【6分】2015年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校（有先后顺序），我市某区域的初三毕业生可填报的省级示范性高中有A、B、C、D四所．（1）请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果；（2）求填报方案中含有A学校的概率．【答案】（1）答案见试题解析；（2）12．考点：列表法与树状图法．21．【6分】水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”（1994年以前为7月1日至7日），从1991年起，我国还将每年5月的第二周作为城市节约用水宣传周．某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区5000户家庭中随机抽取100户，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图表：请根据上面的统计图表，解答下列问题：（1）在频数分布表中：m= ，n= ；（3）如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月12吨，不超过基本月用水量的部分享受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社区用户中约有多少户家庭能够全部享受基本价格？【答案】（1）20，0.25；（2）作图见试题解析；（3）330．考点：1．频数（率）分布直方图；2．频数（率）分布表．22．【6分】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．【答案】（1）证明见试题解析；（2）35．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．翻折变换（折叠问题）．23．【8分】如图，已知一次函数y x b与反比例函数kyx的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）请根据图象直接写出不等式kx bx的解集．【答案】（1）1y x =+，6y x=；（2）（﹣3，﹣2）；（3）﹣3＜x ＜0或x ＞2． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．24．【8分】阅读材料：用配方法求最值．已知x ，y 为非负实数，2222()()2()0x y xy x y xy x y +-=+-=-≥，2x y xy ∴+≥当且仅当“xy ”时，等号成立． 示例：当0x 时，求14y x x的最小值． 解：11()4246y x x x x =++≥+=，当1x x，即1x 时，y 的最小值为6． （1）尝试：当0x 时，求21x x y x的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n 年的保养、维护费用总和为210n n 万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=n所有费用之和年数）？最少年平均费用为多少万元？ 【答案】（1）3；（2）10，2.5．考点：1．配方法的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．综合题．25．【10分】如图，已知AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线MA ，P 为直线MA 上一动点，以点P 为圆心，P A 为半径作⊙P ，交⊙O 于点C ，连接PC 、OP 、BC ．（1）知识探究（如图1）：①判断直线PC 与⊙O 的位置关系，请证明你的结论；②判断直线OP 与BC 的位置关系，请证明你的结论．（2）知识运用（如图2）：当P A ＞OA 时，直线PC 交AB 的延长线于点D ，若BD =2AB ，求tan ∠ABC 的值．【答案】（1）①相切；②OP∥BC；（2）62．考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．动点型；4．压轴题．26．【10分】如图，二次函数2+y x bx c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从B向C 运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ 为直角三角形时，求t 的值；（3）如图2，当2t 时，延长QP 交y 轴于点M ，在抛物线上是否存在一点N ，使得PQ 的中点恰为MN 的中点？若存在，求出点N 的坐标与t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）t =43或2；（3）不存在．，，考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．压轴题；5．存在型．。

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷(解析版)

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷(解析版)

2022年湖南省湘潭市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1．（3分）如图，点A 、B 表示的实数互为相反数，则点B 表示的实数是()A ．2B ．2-C ．12D ．12-【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．【解答】解：2-的相反数是2，故选：A ．2．（3分）下列整式与2ab 为同类项的是()A ．2a bB ．22ab -C ．ab D ．2ab c【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．【解答】解：在2a b ，22ab -，ab ，2ab c 四个整式中，与2ab 为同类项的是：22ab -，故选：B ．3．（3分）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日玩具数量（件)35475048426068则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是()A ．48，47B ．50，47C ．50，48D ．48，50【分析】根据中位数、平均数的意义分别求出中位数、平均数即可．【解答】解：这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数1(35475048426068)507x =⨯++++++=（件)；将这7天销售冰墩墩玩具数量从小到大排列，处在中间位置的一个数，即第4个数是48，因此中位数是48，故选：C ．4．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是()A．B．C．D．【分析】根据主视图的特点解答即可．【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不符合题意；C、球的主视图是圆，故此选项不符合题意；D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不符合题意；故选：A．5．（3分）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是()A．404312x yx y+=⎧⎨+=⎩B．124340x yx y+=⎧⎨+=⎩C．403412x yx y+=⎧⎨+=⎩D．123440x yx y+=⎧⎨+=⎩【分析】根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，且桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解： 组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，12x y∴+=；又 桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，4340x y∴+=．∴列出的方程组为12 4340 x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：B ．6．（3分）在ABCD 中（如图），连接AC ，已知40BAC ∠=︒，80ACB ∠=︒，则(BCD ∠=)A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒【分析】根据平行线的性质可求得ACD ∠，即可求出BCD ∠．【解答】解： 四边形ABCD 是平行四边形，40BAC ∠=︒，//AB CD ∴，40ACD BAC ∴∠=∠=︒，80ACB ∠=︒ ，120BCD ACB ACD ∴∠=∠+∠=︒，故选：C ．7．（3分）在ABC ∆中（如图），点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，则:(ADE ABC S S ∆∆=)A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:4【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可．【解答】解：在ABC ∆中，点D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =，ADE ABC ∴∆∆∽，211:(24ADE ABC S S ∆∆∴==．故选：D ．8．（3分）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan (α=)A ．2B ．32C ．12D ．55【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tan α的值．【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1415⨯+=，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则225a b +=，1a b -=，解得2a =，1b =或1a =，2b =-（不合题意，舍去），2tan 21a b α∴===，故选：A ．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）9．（3分）若a b >，则下列四个选项中一定成立的是()A ．22a b +>+B ．33a b->-C ．44a b>D ．11a b -<-【分析】根据不等式的性质分别判断各个选项即可．【解答】解：A ．22a b +>+，a b > ，22a b ∴+>+，故A 选项符合题意；B ．33a b ->-，a b > ，33a b ∴-<-，故B 选项不符合题意；C ．44a b >，a b > ，∴44a b >，故C 选项符合题意；D ．11a b -<-，a b > ，11a b ∴->-，故D 选项不符合题意；故选：AC ．10．（3分）依据“双减”政策要求，初中学生书面作业每天完成时间不超过90分钟．某中学为了解学生作业管理情况，抽查了七年级（一)班全体同学某天完成作业时长情况，绘制出如图所示的频数分布直方图：（数据分成3组：030x <，3060x <，6090)x <．则下列说法正确的是()A ．该班有40名学生B ．该班学生当天完成作业时长在3060x <分钟的人数最多C ．该班学生当天完成作业时长在030x <分钟的频数是5D ．该班学生当天完成作业时长在060x <分钟的人数占全班人数的80%【分析】把三个组的频数加起来判断A 选项；根据该班学生当天完成作业时长在3060x <分钟的人数为25人判断B 选项；根据该班学生当天完成作业时长在030x <分钟的频数是10判断C 选项；根据该班学生当天完成作业时长在060x <分钟的人数占全班人数1025100%87.5%40+⨯=判断D 选项．【解答】解：A 选项，1025540++=（名)，故该选项符合题意；B 选项，该班学生当天完成作业时长在3060x <分钟的人数最多，故该选项符合题意；C 选项，该班学生当天完成作业时长在030x <分钟的频数是10，故该选项不符合题意；D 选项，该班学生当天完成作业时长在060x <分钟的人数占全班人数1025100%87.5%40+⨯=，故该选项不符合题意；故选：AB ．11．（3分）下列计算正确的是()A ．422a a -=B ．325a a a ⋅=C ．224(3)6a a =D ．624a a a ÷=【分析】根据实数指数幂的运算方法分别判断各个选项即可．【解答】解：A ．422a a -=，422a a a -= ，故A 选项不符合题意；B ．325a a a ⋅=，计算正确，故B 选项符合题意；C ．224(3)6a a =，224(3)9a a = ，故C 选项不符合题意；D ．624a a a ÷=，计算正确，故D 选项符合题意；故选：BD ．12．（3分）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段2AB =，分别以点A 、B 为圆心，以AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ；②连接AC 、BC ，作直线CD ，且CD 与AB 相交于点H ．则下列说法正确的是()A ．ABC ∆是等边三角形B ．AB CD ⊥C ．AH BH=D ．45ACD ∠=︒【分析】利用基本作图得到CD 垂直平分AB ，AC BC AB ==，则可对A 选项、B 选项和C 选项进行判断；然后根据等边三角形的性质可对D 选项进行判断．【解答】解：由作法得CD 垂直平分AB ，AC BC AB ==，ABC ∴∆为等边三角形，AB CD ⊥，AH BH =，所以A 、B 、C 选项符合题意；1302ACD ACB ∴∠=∠=︒．所以D 选项不符合题意；故选：ABC ．三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）13．（3分）四个数1-，0，12【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是分数，属于有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．【解答】解：四个数1-，0，1214．（3分）请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式2y x =-（答案不唯一）．【分析】根据y 随着x 的增大而增大时，比例系数0k >即可确定一次函数的表达式．【解答】解：在y kx b =+中，若0k >，则y 随x 增大而增大，∴只需写出一个0k >的一次函数表达式即可，比如：2y x =-，故答案为：2y x =-（答案不唯一）．15．（3分）2022年6月5日，神舟十四号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功，飞船入轨后将按照预定程序与离地面约400000米的天宫空间站进行对接．请将400000米用科学记数法表示为5410⨯米．【分析】根据科学记数法的形式改写即可．【解答】解：400000米用科学记数法表示为5410⨯米，故答案为：5410⨯．16．（3分）如图，一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，已知120AOB ∠=︒，20CDB ∠=︒，则AEF ∠=40︒．【分析】根据平面镜反射的规律得到20EDO CDB ∠=∠=︒，AEF OED ∠=∠，在ODE ∆中，根据三角形内角和定理求出OED ∠的度数，即可得到AEF OED ∠=∠的度数．【解答】解： 一束光沿CD 方向，先后经过平面镜OB 、OA 反射后，沿EF 方向射出，20EDO CDB ∴∠=∠=︒，AEF OED ∠=∠，在ODE ∆中，1801801202040OED AOB EDO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，40AEF OED ∴∠=∠=︒．故答案为：40︒．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上）17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,1)A -，(4,0)B -，(2,2)C -．将ABC ∆绕原点O 顺时针旋转90︒后得到△111A B C ．（1）请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A (1,1)，1B ，1C ；（2）求点B 旋转到点1B 的弧长．【分析】（1）根据图直接得出各点的坐标即可；（2）根据弧长公式直接求值即可．【解答】解：（1）由图知，1(1,1)A ，1(0,4)B ，1(2,2)C ，故答案为：(1,1)，(0,4)，(2,2)；（2）由题意知，点B 旋转到点1B 的弧所在的圆的半径为4，弧所对的圆心角为90︒，∴弧长为：9042180ππ⨯=．18．（6分）先化简，再求值：22211391x x x x x x x +÷-⋅--+，其中2x =．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可．【解答】解：原式21(1)(3)(3)31x x x x x x x x +=⋅+--⋅-+31x =+-2x =+，当2x =时，原式224=+=．19．（6分）如图，在O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC 、BD ．（1）求证：AEC DEB ∆∆∽；（2）连接AD ，若3AD =，30C ∠=︒，求O 的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB 的长，从而可以得到O 的半径．【解答】（1）证明：C B ∠=∠ ，AEC DEB ∠=∠，AEC DEB ∴∆∆∽；（2）解：C B ∠=∠ ，30C ∠=︒，30B ∴∠=︒，AB 是O 的直径，3AD =，90ADB ∴∠=︒，6AB ∴=，O ∴ 的半径为3．20．（6分）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一)班由1A 、2A 、3A 三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；（2）若1A 、2A 两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为A 、B 、C 的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由1A 随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由2A 随机摸取1张卡片记下编号，根据模取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．【分析】（1）根据题意列出所有等可能的情况数即可；（2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）这三名同学讲故事的顺序是：1A 、2A 、3A ；1A 、3A 、2A ；2A 、1A 、3A ；2A 、3A 、1A ；3A 、1A 、2A ；3A 、2A 、1A ；共6种等可能的情况数；（2）根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的有3种，则1A 、2A 两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率是3193=．21．（6分）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中0.618)DH AH≈：伞柄AH 始终平分BAC ∠，20AB AC cm ==，当120BAC ∠=︒时，伞完全打开，此时90BDC ∠=︒．请问最少1.732)≈【分析】作BE AH ⊥于点E ，根据三角函数求出AE 和EB ，再利用等腰直角三角形的性质得出DE ，再根据比例关系求出AH 的长度即可．【解答】解：作BE AH ⊥于点E ，120BAC ∠=︒ ，AH 平分BAC ∠，60BAE ∴∠=︒，1cos 602010()2AE AB cm ∴=⋅︒=⨯=，sin 602017.32()BE AB cm =⋅︒==，BD CD = ，90BDC ∠=︒，45BDE ∴∠=︒，17.32DE BE cm ∴==，1017.3227.32()AD AE DE cm ∴=+=+=， 0.618DH AH=，即27.320.618AH AH -=，解得72AH ≈，∴最少需要准备72cm 长的伞柄．22．（6分）百年青春百年梦，初心献党向未来．为热烈庆祝中国共产主义青年团成立10周年，继承先烈遗志，传承“五四”精神．某中学在“做新时代好少年，强国有我”的系列活动中，开展了“好书伴我成长”的读书活动．为了解5月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级20名学生读书数量（单位：本），并进行了以下数据的整理与分析：数据收集25354615343675834734数据整理本数02x <24x <46x <68x <组别A B C D 频数2m 63数据分析绘制成不完整的扇形统计图：依据统计信息回答问题：（1）在统计表中，m =9；（2）在扇形统计图中，C 部分对应的圆心角的度数为；（3）若该校八年级学生人数为200人，请根据上述调查结果，估计该校八年级学生读书在4本以上的人数．【分析】（1）根据各组的频数之和等于总人数可得m 的值；（2）用360︒乘以样本中C 组人数所占比例即可；（3）用总人数乘以样本中C 、D 组人数和占被调查人数的比例即可．【解答】解：（1）由已知数据得B 组的频数20(263)9m =-++=，故答案为：9；（2）在扇形统计图中，C 部分对应的圆心角的度数为636010820︒⨯=︒，故答案为：108︒；（3）632009020+⨯=（人)，答：估计该校八年级学生读书在4本以上的有90人．23．（8分）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12)m 和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度1AE m =的水池，且需保证总种植面积为232m ，试分别确定CG 、DG 的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？【分析】（1）设水池的长为a m ，根据Ⅰ、Ⅱ两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论；（2）设BC 长为x m ，则CD 长度为213x -，得出面积关于x 的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）(2112)33()m -÷= ，∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为212336()m ⨯=，设水池的长为a m ，则水池的面积为21()a a m ⨯=，3632a ∴-=，解得4a =，4DG m ∴=，1248()CG CD DG m ∴=-=-=，即CG 的长为8m 、DG 的长为4m ；（2）设BC 长为x m ，则CD 长度为213x -，∴总种植面积为227147(213)3(7)3()24x x x x x -⋅=--=--+，30-< ，∴当72x =时，总种植面积有最大值为21474m ，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为21474m ．24．（8分）已知(3,0)A 、(0,4)B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON ∆沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．【分析】（1）作PC x ⊥轴于C ，PD y ⊥轴于D ，可知矩形OCPD 是正方形，设PD PC x ==，利用//PD OA ，得PDB AOB ∆∆∽，从而求出点P 的坐标，利用待定系数法解决问题；（2）利用翻折的性质得，ON NM =，MN AB ⊥，由勾股定理得，5AB =，再根据AOB AON ABN S S S ∆∆∆=+，求出点N 的坐标，利用待定系数法解决问题．【解答】解：（1）作PC x ⊥轴于C ，PD y ⊥轴于D ，则四边形OCPD 是矩形，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，PC PD ∴=，∴矩形OCPD 是正方形，设PD PC x ==，(3,0)A 、(0,4)B ，3OA ∴=，4OB =，4BD x ∴=-，//PD OA ，PDB AOB ∴∆∆∽，∴PD BD AO BO =，∴434x x -=，解得127x =，12(7P ∴，127，设过点P 的函数表达式为k y x =，12121447749k xy ∴==⨯=，14449y x∴=；（2）方法一： 将AON ∆沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，ON NM ∴=，MN AB ⊥，由勾股定理得，5AB =，AOB AON ABN S S S ∆∆∆∴=+，∴1113435222ON MN ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得，32ON =，3(0,)2N ∴，设直线AN 的函数解析式为32y mx =+，则3302m +=，12m ∴=-，∴直线AN 的函数解析式为1322y x =-+．方法二：利用BMN BOA ∆∆∽，求出BN 的长度，从而得出ON 的长度，与方法一同理得出答案．25．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．（1）特例体验：如图①，若直线//l BC ，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转(045)αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转(4590)αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S ∆．【分析】（1）易证ABD ∆和ACE ∆是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的三边关系可得出BD ，DE 和CE 的长即可．（2）（Ⅰ）易证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE ∆≅∆，进而解答即可；（Ⅱ）易证ABD CAE ∠=∠，由AAS 即可得出ABD CAE ∆≅∆，进而解答即可；（3）根据题意可证明ABD FBA ∆∆∽，由此可得出BF 的长，根据BFC ABC ABF S S S ∆∆∆=-，可得出结论．【解答】解：（1）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45ABC ACB ∴∠=∠=︒，//l BC ，90DAB ABC ∴∠=∠=︒，45CAE ACB ∠=∠=︒，45DAB ABD ∴∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，AD BD ∴=，AE CE =，AB AC ==1AD BD AE CE ∴====，2DE ∴=；（2）（Ⅰ）DE BD CE =+．理由如下：在Rt ADB ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=+=+．（Ⅱ）DE BD CE =-．理由如下：在Rt ADB ∆中，90ABD BAD ∠+∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，90ABD CAE BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，BD AE =，DE AE AD BD CE ∴=-=-．（3）由（2）可知，ABD CAE ∠=∠，DE AE AD BD CE =-=-90BAC ADB ∠=∠=︒ ，ABD FBA ∴∆∆∽，::AB FB BD AB ∴=，3CE = ，1DE =，4AE BD ∴==，5AB ∴=．254BF ∴=．2112525532248BFC ABC ABF S S S ∆∆∆∴=-=⨯-⨯⨯=．26．（10分）已知抛物线2y x bx c =++．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点(3,0)A ，与y 轴交点(0,3)B -，连接AB ．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点(3,0)D -，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．【分析】（1）（Ⅰ）将A ，B 两点坐标代入抛物线的解析式求得b ，c ．从而得出结果；（Ⅱ）求出AB 的解析式，设出点P 坐标，表示出M 点坐标，从而表示出PH 和HM 的长，分别列出3PH HM =和32PH HM =时的方程，从而求得m 的值，进而求得P 点坐标；（2）分为0b >和0b <两种情形．当0b >时，抛物线对称轴在y 轴左侧，此时求得抛物线与y 轴交点，只需交点在点C 的上方，就满足抛物线与线段CE 没有交点，进一步求得结果，当0b <时，类似的方法求得这种情形b 的范围．【解答】（1）解：（Ⅰ）由题意得，3930c b c =-⎧⎨++=⎩，∴32c b =-⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=--；（Ⅱ）存在点P ，使得点M 是线段PH 的三等分点，理由如下：(0,3)B - ，(3,0)A ，∴直线AB 的解析式为：3y x =-，设点2(,23)P m m m --，(,3)M m m -，223PH m m ∴=-++，3HM m =-，当3PH HM =时，2233(3)m m m -++=-，化简得，2560m m -+=，12m ∴=，23m =，当2m =时，222233y =-⨯-=-，(2,3)P ∴-，当3m =时，232330y =-⨯-=，此时(3,0)P （舍去），当32PH HM =时，2323(3)2m m m -++=-，化简得，22730m m -+=，33m ∴=（舍去），212m =，当12m =时，21115(23224y =-⨯-=-，1(2P ∴，15)4-，综上所述：(2,3)P -或1(2，15)4-；（2）如图1，抛物线2y x bx c =++过点(3,0)D -，2(3)30b c ∴--+=，39c b ∴=-，2(39)y x bx b ∴=++-，把3x =-，0y =代入43y x n =+得，40(3)3n =⨯-+，4n ∴=，4OC ∴=，90COD ∠=︒ ，3OD =，4OC =，5CD ∴=，四边形CDFE 是菱形，5CE CD ∴==，(5,4)E ∴，当02b -<时，即0b >时，当0x =时，39y b =-，(0,39)G b ∴-， 该抛物线与线段CE 没有交点，394b ∴->，133b ∴>，当0b <时，当5x =时，25539816y b b b =++-=+，(5,816)H b ∴+，抛物线与CE 没有交点，8164b ∴+<，32b ∴<-，综上所述：133b >或32b <-．第２１页，共２１页。

2023年湖南省湘潭市中考数学真题(解析版)

2023年湖南省湘潭市中考数学真题(解析版)

2023年湘潭市初中学业水平考试数学试题卷考试时量：120分钟满分：120分考生注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（）A. 爱B. 我C. 中D. 华【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，所以不符合题意；将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，所以符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．即将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形．2.在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A. x<1B. x≤1C. x>1D. x≥1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：由题意得，x－1≥0，解得x≥1．故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数．3. 下列计算正确的是（）A. 824a a a ÷=B. 23a a a +=C. ()325a a =D. 235a a a ⋅=【答案】D【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. 826a a a ÷=，故该选项不正确，不符合题意；B. 23a a a +≠，故该选项不正确，不符合题意；C. ()326a a =，故该选项不正确，不符合题意；D. 235a a a ⋅=，故该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．4. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占20%，现场展示占80%．某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为（ ）A. 95分B. 94分C. 92.5分D. 91分【答案】B【解析】【分析】根据加权平均数进行计算即可求解．【详解】解：依题意，她的最后得分为9020%9580%94×+×=分，故选：B ．【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．5. 如图，菱形ABCD 中，连接AC BD ，，若120∠=°，则2∠的度数为（ ）A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】 【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD ⊥∥，则1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=°，进而即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴,BD AC AB CD ⊥∥，∴1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=°，∵120∠=°，∴2902070∠=°−°=°,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键．6. 如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0k y k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（ ）A. 2B. 2−C. 1D. 1−【答案】A【解析】 【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答．【详解】解：AM x ⊥ 轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=°，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2，2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k 是解题的关键．7. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 AA ′的长为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π【答案】C【解析】 【分析】根据底面周长等于 AA ′的长，即可求解．【详解】解：依题意， AA ′的长2π48π×，故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于 AA ′的长是解题的关键． 8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x 千米/时，则可列方程为（ ） A. 505011.26x x =+ B. 505010 1.2x x += C. 5050101.2x x =+ D. 501506 1.2x x+= 【答案】A【解析】【分析】设大巴车的平均速度为x 千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．【详解】解：设大巴车的平均速度为x 千米/时，则老师自驾小车的平均速度为1.2x 千米/时，根据题意列方程：505011.26x x =+， 故答案为：A ． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）为9. 下列选项中正确的是（ ）A 081= B. 88−= C. ()88−−=D. =±【答案】ABC【解析】【分析】根据零次幂可判断A ，根据绝对值的意义可判断B ，化简多重符号可判断C ，根据二次根式的性质可判断D ，从而可得答案．【详解】解：081=，故A 符合题意， 88−=，故B 符合题意；()88−−=，故C 符合题意；=D 不符合题意；故选ABC【点睛】本题考查的是零次幂的含义，绝对值的含义，化简多重符号，二次根式的性质，熟记运算法则是解本题的关键．10. 2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图： 类别A B C D E 成绩67x ≤< 78x ≤< 89x ≤< 910x ≤< 1011x ≤< 频数 2 6 25 12 5则下列说法正确的是（ ）A. 样本容量为50B. 成绩在910x ≤<米的人数最多C. 扇形图中C 类对应圆心角为180°D. 成绩在78x ≤<米的频率为0.1【答案】AC【解析】【分析】结合扇形统计图和统计表格，对选项逐一判断，即可解答． .的【详解】解：样本容量为262512550++++=，故A 正确；根据统计表，可得成绩在89x ≤<米的人数最多，故B 错误；扇形图中C 类对应的圆心角为2536018050×°=°，故C 正确； 根据统计表，可得成绩在78x ≤<米的频率为6500.12÷=，故D 错误，故选：AC ．【点睛】本题考查了扇形统计图和统计表的结合，能通过统计表格准确地得到所需数据是解题的关键． 11. 如图，AC 是O 的直径，CD 为弦，过点A 的切线与CD 延长线相交于点B ，若AB AC =，则下列说法正确的是（ ）A. AD BC ⊥B. 90CAB ∠=°C. DB AB =D. 12AD BC =【答案】ABD【解析】【分析】根据AC 是O 的直径，可得AD BC ⊥，根据AB 是O 的切线，可得AC AB ⊥，根据AB AC =，可得ABC 是等腰直角三角形，进而可得12AD BC =，即可判断A ，B ，D 选项，根据ADB 是直角三角形，AB 是斜边，则AB DB >，即可判断C 选项．【详解】解：�AC 是O 的直径，∴AD BC ⊥，故A 选项正确，�AB 是O 的切线，�AC AB ⊥，∴90CAB ∠=°，故B 选项正确，�AB AC =∴ABC 是等腰直角三角形，∵AD BC ⊥，∴CD DB =， �12AD BC =，故D 选项正确∵ADB 是直角三角形，AB 是斜边，则AB DB >，故C 选项错误，故选：ABD ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．12. 如图，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（ ）A. 0a >B. 0c >C. 240b ac −<D. 930a b c ++=【答案】BD【解析】 【分析】根据图象的开口方向可判断选项A ；根据图象与y 轴的交点位置，可判断选项B ；根据抛物线和x 轴的交点个数可判断选项C ；3x =时函数值的情况，可判断选项D ．【详解】解：A 、由函数图象得，抛物线开口向下，故a<0，故A 错误；B 、图象与y 轴的交点在原点上方，故0c >，故B 正确；C 、因为抛物线和x 轴有两个交点，故240b ac −>，故C 错误．D 、当3x =时，930y a b c ++，故D 正确；故选：BD �【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点．三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上） 13.__________．（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【解析】，且为整数，再利用无理数的估算即可求解．【详解】解：设所求数为a ，则a <则a <<，<<，即23<<，∴a 可以是2±或1±或0．故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，掌握数轴上的点到原点距离的意义是解题的关键． 14. 已知实数a ，b 满足()2210a b −++=，则b a =_________． 【答案】12【解析】【分析】由非负数的性质可得20a −=且10b +=，求解a ，b 的值，再代入计算即可． 详解】解：∵()2210a b −++=，∴20a −=且10b +=，解得：2a =，1b =-； ∴1122b a −==； 故答案为：12．【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，偶次方的非负性的应用，负整数指数幂的含义，理解非负数的性质，熟记负整数指数幂的含义是解本题的关键．15. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以小于AC 长为半径作弧，分别交,AC AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，在BAC ∠内两弧交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D ．若点D 到AB 的距离为1，则CD 的长为__________．【答案】1【解析】【【分析】根据作图可得AD 为CAB ∠的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点D 作DE AB ⊥于点E ，依题意1DE =，根据作图可知AD 为CAB ∠的角平分线，�,DC AC DE AB ⊥⊥∴1CDDE ==， 故答案为：1．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为4dm 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________3dm ．【答案】2【解析】【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得OE 的长，即可求解．【详解】解：如图所示，依题意，OD AD =12OE OD ==∴图中阴影部分的面积为222OE=故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）17. 解不等式组：()7140234x x x −≤ +>+ ①②，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】不等式组的解集为：22x −<≤．画图见解析【解析】【分析】先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，从而可得答案．【详解】解：()7140234x x x −≤ +>+①②， 由①得：2x ≤，由②得：26>4x x ++，∴>2x −，在数轴上表示其解集如下：∴不等式组的解集为：22x −<≤．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，掌握不等式组的解法与步骤是解本题的关键．18. 先化简，再求值：222119x x x x + +⋅ +−，其中6x =． 【答案】3x x −；2 【解析】【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．【详解】解：222119x x x x + +⋅ +− 2212119x x x x x x ++ =+⋅ ++− ， ()()()33131x x x x x x ++=++−⋅， 3x x =−， 当6x =时，原式2=．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．19. 在Rt ABC △中，90BAC AD ∠=°，是斜边BC 上的高．（1）证明：C ABD BA ∽△△；（2）若610AB BC ==，，求BD 的长．【答案】（1）见解析 （2）185BD =【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义得出90ADB ∠=°，根据等角的余角相等，得出BAD C ∠=∠，结合公共角B B ∠=∠，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．【小问1详解】 证明：�90BAC AD ∠=°，是斜边BC 上的高． ∴90ADB ∠=°，90B C ∠+∠=°∴90B BAD ∠+∠=°，∴BAD C ∠=∠又∵B B ∠=∠∴C ABD BA ∽△△，【小问2详解】�C ABDBA ∽△△∴AB BD CB AB=， 又610AB BC ==， ∴23618105AB BD CB ===． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A （合唱社团）、B （硬笔书法社团）、C （街舞社团）、D （面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C （街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．【答案】（1）,,,,,AB AC AD BC BD CD（2）13【解析】【分析】（1）根据题意列举出所有可能结果；（2）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为,,,,,AB AC AD BC BD CD ；【小问2详解】解：列表如下，A B D AAA AB AD B BABB BD DDA DB DD 共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种，∴他俩选到相同社团的概率为3193=． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21. 教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）1 5 4 1 a 32 b3 4整理数据： 时间段03x ≤< 36x <≤ 69x ≤< 人数3 6 m分析数据：统计量 平均数 中位数 众数数据 3.4 3.5 4请结合以上信息回答下列问题：（1）m =__________，并补全频数直方图；（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若a b <，则=a __________，b =__________；（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．【答案】（1）1；频数直方图见解析（2）4；7 （3）1400人【解析】【分析】（1）用被调查的总人数减去其余两个时间段的人数，补全频数直方图即可；（2）通过（1）可得在家做家务时间段为69x ≤<有1人，故6b ≥，则36a ≤<，利用众数为4，可知4a =，再利用平均数求得b 即可；（3）用2000乘调查的学生中劳动时间不少于3小时的人数的占比，即可解答．【小问1详解】解：根据题意，可得10361m −−，故答案为：1，补全频数直方图，如图所示：【小问2详解】解： 在家做家务时间段为69x ≤<有1人，且a b <，6b ∴≥，观察数据，可得在家做家务时间段为36x <≤的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故36a ≤<，众数为4，在已知数据中在家做家务时间为4和3的各有2人，4a ∴=，根据平均数，可得方程()15414323410 3.4b +++++++++÷=， 解得7b =，故答案为：4；7；【小问3详解】 解：612000140010+×=（人）， 答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．【点睛】本题考查了频数直方图，平均数的概念，众数的概念，用样本估计总量，熟知上述概念是解题的关键．22. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．（1）设每件玩具售价为x 元，全部售完的利润为y 元．求利润y （元）关于售价x （元/件）的函数表达式；（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？【答案】（1）100050000y x −；（2）该商店继续购进了4000件航天模型玩具．【解析】【分析】（1）根据总利润=单件利润×销售量，可求得利润y （元）关于售价x （元/件）的函数表达式； （2）设商店继续购进了m 件航天模型玩具，根据“销售利润的20%恰好10000元”列一元一次方程，解之即可．【小问1详解】解：因每件玩具售价为x 元，依题意得()100050100050000yx x =−=−； 【小问2详解】解：设商店继续购进了m 件航天模型玩具，则总共有()1000m +件航天模型玩具，依题意得：()()1000605020%10000m +−×=， 解得4000m =，答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具．【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式是解题的关键．23. 如图，点A 的坐标是()3,0−，点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，将ABC 绕着点B 逆时针旋转90°得到A BC ′′△．（1）反比例函数k y x=的图像经过点C ′，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图像经过A 、A ′两点，求该一次函数的表达式．【答案】（1）8y x=（2）1377y x =+ 【解析】 【分析】（1）由点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，可得()0,2C ，2OC BC ==，由旋转可得：2BC BC ′==，90CBC ′∠=°，可得()2,4C ′，可得248k =×=，从而可得答案；（2）如图，过A ′作A H BC ′⊥于H ，则90AOB A HB ′∠=∠=°，而90ABA ′∠=°，AB A B ′=，证明ABO BA H ′ ≌，可得3AO BH ==，4OB A H ′==，()4,1A ′，设直线AA ′为y mx n =+，再建立方程组求解即可．【小问1详解】解：∵点B 的坐标是(0,4)，点C 为OB 中点，∴()0,2C ，2OC BC ==，由旋转可得：2BC BC ′==，90CBC ′∠=°，∴()2,4C ′，∴248k =×=， ∴反比例函数的表达式为8y x=； 小问2详解】如图，过A ′作A H BC ′⊥于H ，则90AOB A HB ′∠=∠=°，而90ABA ′∠=°，AB A B ′=，∴90ABO BAO ABO A BO ′∠+∠=°=∠+∠，∴BAO A BH ¢?，∴ABO BA H ′ ≌，∴3AO BH ==，4OB A H ′==， ∴431OH =−=，【∴()4,1A ′，设直线AA ′为y mx n =+， ∴3041m n m n −+= += ，解得：1737m n = =， ∴直线AA ′为1377y x =+． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解()4,1A ′是解本题的关键．24. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r 的O ．如图②，OM 始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0=t 时，某盛水筒恰好位于水面A 处，此时30AOM ∠=°，经过95秒后该盛水筒运动到点B 处．（参考1.414 1.732≈≈）问题解决：（1）求该盛水筒从A 处逆时针旋转到B 处时，BOM ∠的度数；（2）求该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【答案】（1）45BOM ∠=°；（2）该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．【解析】【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；（2）作BC OM ⊥于点C ，在Rt OAD △中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD 的长，在Rt OBC △中，利用勾股定理求得OC 的长，据此即可求解．【小问1详解】解：∵旋转一周用时120秒， ∴每秒旋转3603120=°°， 当经过95秒后该盛水筒运动到点B 处时，36039575AOB ∠=°−°×=°，∵30AOM ∠=°，∴753045BOM ∠=°−°=°；【小问2详解】解：作BC OM ⊥于点C ，设OM 与水平面交于点D ，则OD AD ⊥，在Rt OAD △中，30AOD ∠=°，2OA =，∴112AD OA ==，OD =在Rt OBC △中，45BOC ∠=°，2OB =，∴BC OC ===，∴0.3CD OD OC =−=≈(米)，答：该盛水筒旋转至B 处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD 的边BC 上任意取一点G ，以BG 为边长向外作正方形BEFG ，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转．特例感知：（1）当BG 在BC 上时，连接DF AC ，相交于点P ，小红发现点P 恰为DF 的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG ，并延长与DF 相交，发现交点恰好也是DF 中点P ，如图②，根据小红发现的结论，请判断APE V 的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG 绕点B 顺时针旋转α，连接DF ，点P 是DF 中点，连接AP ，EP ，AE ，APE V 的形状是否发生改变？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）APE V 是等腰直角三角形，理由见解析；（3）APE V 的形状不改变，见解析 【解析】【分析】（1）连接BD ，BF ，BP ，根据正方形的性质求出90DBF ∠=°，证明APD APB ≌△△，推出BP DP =，再利用余角的性质求出PBF PFB ∠=∠，推出PB PF =即可；（2）根据正方形的性质直接得到45CAE PEA ∠=∠=°，推出,90AP EP APE =∠=°，得到APE V 是等腰直角三角形；（3）延长EP 至点M ，使PM EP =，连接,MA MD ，证明()SAS E MPD PF ≌，得到,DM EF DMP PEF =∠=∠，推出BG DM ∥，设DF 交BC 于点H ，交BG 于点N ，得到MDN DNB ∠=∠，由AD BC ∥得到ADN BHN∠=∠，推出180ADM BHN BNH HBN ∠=∠+∠=°−∠，进而得到ADM ABE ∠=∠，再证明()SAS A ADM BE ≌，得到AM AE =，DAM BAE ∠=∠，证得90APE ∠=°，再由90MAE ∠=°，根据等腰三角形的三线合一的性质求出45MAP PAE ∠=∠=°，即可证得APE V 是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：连接BD ，BF ，BP ，如图，∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形， ∴45CBD FBG ∠=°=∠， ∴90DBF ∠=°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴45DAC BAC ∠=∠=°， 又�AP AP =， ∴()SAS APD APB ≌， ∴BP DP =，∴PDB PBD ∠=∠， ∵90PDB PFB PBD PBF ∠+∠=°=∠+∠， ∴PBF PFB ∠=∠， ∴PB PF =，∴PD PF =，即点P 恰为DF 的中点； （2）APE V 是等腰直角三角形，理由如下： ∵四边形ABCD ，BEFG 都是正方形， ∴45CAE PEA ∠=∠=° ∴,90AP EP APE =∠=°， ∴APE V 是等腰直角三角形； （3）APE V 的形状不改变， 延长EP 至点M ，使PM EP =，连接,MA MD ，�四边形ABCD 、四边形BEFG 都是正方形，�90AB AD BAD ABC EBG BE EF =∠=∠=∠=°=，，，BG EF ∥，∵点P 为DF 的中点，∴PD PF =，∵DPM EPF ∠=∠，∴()SAS E MPD PF ≌，∴,DM EF DMP PEF =∠=∠，∴BE DM =，DM EF ∥，∴BG DM ∥，设DF 交BC 于点H ，交BG 于点N ，∴MDN DNB ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADN BHN ∠=∠，∵180BHN BNH HBN ∠+∠+∠=°，∴180ADM ADN MDN BHN BNH HBN ∠=∠+∠=∠+∠=°−∠，∵360180ABE ABC EBG HBN HBN ∠=°−∠−∠−∠=°−∠，∴ADM ABE ∠=∠，又�AD AB =，∴()SAS A ADM BE ≌，∴AM AE =，DAM BAE ∠=∠，∵PM EP =，∴AP ME ⊥，即90APE ∠=°，∵90DAM MAB∠+∠=°， ∴90BAE MAB ∠+∠=°，即90MAE ∠=°，∴45MAP PAE ∠=∠=°，∴45PEA PAE ∠=°=∠，∴AP EP =，∴APE V 是等腰直角三角形．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．26. 如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．【答案】（1）243y x x =−+（2）()2,1P −或P或P （35a <<或1a <−<． 【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据PAC ABC S S =△△，可得P 到AC 的距离等于B 到AC 的距离，进而作出两条AC 的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解；（3）根据题意，求得当QAC △是直角三角形时的a 的值，进而观察图象，即可求解，分0a >和a<0两种情况讨论，分别计算即可求解．【小问1详解】解：将点()10B ,，()0,3C 代入2y x bx c =++，得103b c c ++= =解得：43b c =− =∴抛物线解析式为243y x x =−+；【小问2详解】∵243y x x =−+()221x =−−，顶点坐标为()2,1，当0y =时，2430x x −+=解得：121,3x x ==∴()3,0A ，则3OA =∵()0,3C ，则3OC =∴AOC 是等腰直角三角形，∵PAC ABC S S =△△∴P 到AC 的距离等于B 到AC 的距离，∵()3,0A ，()0,3C ，设直线AC 的解析式为3y kx =+∴330k +=解得：1k =−∴直线AC 的解析式为3y x =−+，如图所示，过点B 作AC 的平行线，交抛物线于点P ，设BP 的解析式为y x d =−+，将点()10B ,代入得， 10d −+=解得：1d =∴直线BP 的解析式为1y x =−+， 2143y x y x x =−+ =−+解得：10x y = = 或21x y = =− ∴()2,1P −，∵312PA PB AB =−= ∴222PA PB AB +=∴ABP 是等腰直角三角形，且90APB ∠=°，如图所示，延长PA 至D ，使得AD PA =，过点D 作AC 的平行线DE ，交x 轴于点E ，则DA PA =，则符合题意的点P 在直线DE 上，∵APB △是等腰直角三角形，,DE AC AC PD ⊥∥∴45DAE BAP ∠=∠=°PD DE ⊥∴ADE V 是等腰直角三角形，∴2AE =∴()5,0E设直线DE 的解析式为y x e =−+∴50e −+=解得：5e =∴直线DE 的解析式为5y x =−+联立2543y x y x x =−+ =−+解得：x y = =或x y ==∴P或P综上所述，()2,1P −或P或P ；【小问3详解】①当0a >时，如图所示，过点C 作CG AC ⊥交2x =于点G ，当点Q 与点G 重合时，ACQ 是直角三角形，当90AQC ∠=°时，ACQ 是直角三角形，设AC 交2x =于点H ，�直线AC 的解析式为3y x =−+，则()2,1H ，∴CH =,�45CHG OCH ∠=∠=°，�CHG △是等腰直角三角形，�HG =4=∴()2,5G ，设()2,Q q ，则()22222221,23613AQ q CQ q q q =+=+−=−+∵2223318AC =+=∴222186131q q q =−+++解得：q =（舍去）或q =∴Q∵QAC △是锐角三角形5a <<；当a<0时，如图所示，同理可得222AQ QC AC +=即∴222186131q q q =−+++解得：q =或q =由（2）可得AM AC ⊥时，()2,1M −∴1a <−<综上所述，当QAC △5a <<或1a <−<． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，角度问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷含答案解析

2023年湖南省湘潭市中考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年湖南省湘潭市中考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻.观察下列汉字，其中是轴对称图形的是( )A. 爱B. 我C. 中D. 华2. 若式子√ x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A. x<1B. x>1C. x≤1D. x≥13. 下列计算正确的是( )A. a8÷a2=a4B. a+a2=a3C. (a2)3=a5D. a2⋅a3=a54. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面.其中教学设计占20%，现场展示占80%.某参赛教师的教学设计90分，现场展示95分，则她的最后得分为( )A. 95分B. 94分C. 92.5分D. 91分5.如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20°，则∠2的度数为( )A. 20°B. 60°C. 70°D. 80°6.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A分别作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于直N，若四边形AMON的面积为2.则k的值是( )A. 2B. −2C. 1D. −17. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′⏜的长为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为( )A. 50x =501.2x+16B. 50x+10=501.2xC. 50x=501.2x+10 D. 50x+16=501.2x二、多选题（本大题共4小题，共12.0分。

湖南省湘潭市2021年中考[数学]考试真题与答案解析

湖南省湘潭市2021年中考[数学]考试真题与答案解析

湖南省湘潭市2021年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题本大题共8个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分。

1．2021的相反数是（ ）A．2021B．﹣2021C．D．2．据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为（ ）A．0.32×109B．3.2×108C．3.2×109D．32×1073．下列计算正确的是（ ）A．m3÷m2＝m B．（a3）2＝a5C．x2•x3＝x6D．3a3﹣a2＝2a4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．5．下列几何体中，三视图不含圆的是（ ）A．B．C．D．6．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（ ）A．100（1﹣x）2＝64B．100（1+x）2＝64C．100（1﹣2x）＝64D．100（1+2x）＝647．某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．小明同学在某学期德智体美劳的评价得分如图所示，则小明同学五项评价的平均得分为（ ）A．7分B．8分C．9分D．10分8．如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD 交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（ ）A．2B．2C．2D．4二、填空题本题共8个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分。

9．单项式3x2y的系数为 ．10．在平面直角坐标系中，把点A（﹣2，1）向右平移5个单位得到点A′，则点A′的坐标为 ．11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．12．“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平为世界粮食安全作出了杰出贡献．全球共有40多个国家引种杂交水稻，中国境外种植面积达800万公顷．某村引进了甲、乙两种超级杂交水稻品种，在条件（肥力、日照、通风…）不同的6块试验田中同时播种并核定亩产，统计结果为：＝1042kg/亩，s 甲2＝6.5，＝1042kg/亩，s 乙2＝1.2，则 品种更适合在该村推广．（填“甲”或“乙”）13．如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1＝130°，则∠2为 度．14．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝ ．15．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件： ，使得△ADE与△ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）16．天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸4567890123地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥456789*********算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年．2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是 年．（用天干地支纪年法表示）三、解答题本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分。

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湖南省湘潭市2011年中考数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）1、（2011•湘潭）下列等式成立是（）A、|﹣2|=2B、﹣（﹣1）=﹣1C、1÷D、﹣2×3=6考点：有理数的混合运算。

分析：A，﹣2的绝对值为2，正确；B，负负得正，得数应为1，故错误；C，正负乘除得正，错误；D，同选项C，故错误．解答：解：A、﹣2的绝对值为2，故本选项正确；B、负负得正，得数应为1，故本选项错误；C、正负乘除得正，故本选项错误；D、同选项C，故本选项错误．故选A．点评：本题考查了有理数的混合运算，选项A，负数的绝对值为正数，正确；B，负负得正，得数应为1，故错误；C，正负乘除得正，错误；D，同选项C，故错误．本题很容易选得A．2、（2011•湘潭）数据：1，3，5的平均数与极差分别是（）A、3，3B、3，4C、2，3D、2，4考点：极差；算术平均数。

专题：计算题。

分析：根据极差和平均数的定义即可求得．解答：解：==3，由题意可知，极差为5﹣1=4．故选B．点评：极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．3、（2011•湘潭）不等式组的解集在数轴上表示为（）A、B、C、D、考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。

专题：存在型。

分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可．解答：解：不等式组在数轴上表示为：故选A．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4、（2011•湘潭）一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体是（）A、球B、圆柱C、长方体D、圆锥考点：由三视图判断几何体。

专题：几何图形问题。

分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱．故选B．点评：本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为圆形就是圆柱．5、（2011•湘潭）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）A、平行四边形B、正方形C、等腰梯形D、矩形考点：等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质。

专题：常规题型。

分析：利用对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形作出判断即可．解答：解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故选B．点评：本题考查了等腰梯形、平行四边形、正方形及矩形的对角线的性质，牢记特殊的四边形的判定定理是解决此类问题的关键．6、（2011•湘潭）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（）A、（3，2）B、（﹣2，﹣3）C、（﹣2，3）D、（2，﹣3）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标。

专题：应用题。

分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（2，3）关于x轴对称的点的坐标．解答：解：∵点（2，3）关于x轴对称；∴对称的点的坐标是（2，﹣3）．故选D．点评：本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．7、（2011•湘潭）一元二次方程（x﹣3）（x﹣5）=0的两根分别为（）A、3，﹣5B、﹣3，﹣5C、﹣3，5D、3，5考点：解一元二次方程-因式分解法。

专题：计算题。

分析：由（x﹣3）（x﹣5）=0得，两个一元一次方程，从而得出x的值．解答：解：∵（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得x1=3，x2=5．故选D．点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．8、（2011•湘潭）在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A、B、C、D、考点：二次函数的图象；一次函数的图象。

专题：应用题；数形结合。

分析：本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较看是否一致．解答：解：A、由抛物线可知，a＜0，，由直线可知，a＞0，错误；B、由抛物线可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；D、由直线可知，直线经过（0，1），错误，故选C．点评：本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案写在答题卡的相应位置上，每小题3分，满分24分）9、（2011•湘潭）因式分解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．考点：因式分解-运用公式法。

分析：利用平方差公式分解即可求得答案．解答：解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．点评：此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．10、（2011•湘潭）为改善湘潭河东地区路网结构，优化环境，增强城市功能，湘潭市河东风光带于2010年7月18日正式开工，总投资为880000000元，用科学记数法表示这一数字为8.8×108元．考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：常规题型。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将880000000用科学记数法表示为8.8×108．故答案为：8.8×108．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11、（2011•湘潭）如图，a∥b，若∠2=130°，则∠1=50度．考点：平行线的性质。

分析：由a∥b，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1的度数．解答：解：a∥b，∴∠1+∠2=180°，又∵∠2=130°，∴∠1=50°．故答案为：50．点评：此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．12、（2011•湘潭）函数中，自变量x的取值范围是x≠1的一切实数．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。

分析：分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1的一切实数．点评：主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13、（2011•湘潭）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为8x+38=50．考点：由实际问题抽象出一元一次方程。

专题：应用题。

分析：等量关系为：买8个莲蓬的钱数+38=50，依此列方程求解即可．解答：解：设每个莲蓬的价格为x元，根据题意得8x+38=50．故答案为：8x+38=50．点评：考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据单价，数量，总价之间的关系列出方程是解题的关键．14、（2011•湘潭）端午节吃粽子是中华民族的习惯．今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是．考点：概率公式。

专题：应用题。

分析：先求出所有粽子的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：∵共有10个粽子，其中肉馅粽子有3个，∴拿到肉馅粽子的概率为，故答案为．点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．15、（2011•湘潭）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=4．考点：平行线分线段成比例。

专题：计算题。

分析：△ABC中，DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答；解答：解：∵△ABC中，DE∥BC，∴，∵AD=3，DB=6，AE=2，∴，∴EC=4．故答案为：4．点评：本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案．16、（2011•湘潭）规定一种新的运算：，则1⊗2=1．考点：代数式求值。

专题：新定义。

分析：把a=1，b=2代入式子计算即可．解答：解：∵，∴1⊗2=1+=1．故答案为：1．点评：本题是一个新定义的题目，考查了代数式求值，是基础知识比较简单．三、解答题（本大题共10个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应的位置上，满分72分）17、（2011•湘潭）计算：．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂；负整数指数幂。

分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式=﹣1+×，=﹣1+1，=．点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算．18、（2011•湘潭）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值。

分析：先根据分式混合运算的法则把式子化简，再把x=﹣1代入求解即可．解答：解：原式=x•，=x•，=，当x=﹣1时，原式===．故答案为：．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19、（2011•湘潭）莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°（测角器的高度不计）．（1）AD=6米；（2）求旗杆AB的高度（）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。

分析：（1）根据BD=x，AB=x，得出tan30°=，即可得出x的值，进而得出AD的长度；（2）根据BD=3，AD=6，利用勾股定理得出AB==3≈5.20，即可得出答案．解答：解：（1）设BD=x，AB=x，∴tan30°=，=，解得：x=3，BD=3，∴AD=6，故答案为：6；（2）∵BD=3，AD=6，∴AB==3≈5.20米．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据tan30°=求出x的值是解决问题的关键．20、（2011•湘潭）2011年我市体卫站对某校九年级学生体育测试情况进行调研，从该校360名九年级学生中抽取了部分学生的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题：分组频数频率C 10 0.10B 0.50A 40合计 1.00（1）补全频数分布表与频数分布直方图；（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表。

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