SPFA算法
SPFA算法的应用场景
SPFA算法的应用场景SPFA算法，全称是Shortest Path Faster Algorithm，即最短路径快速算法，是一种用于解决单源最短路径问题的算法。
它是对Bellman-Ford算法的一种优化，有效地提高了算法的运行速度。
在实际的应用当中，SPFA算法广泛被应用于以下几个场景。
一、图论领域在图论领域，SPFA算法是最为常用的算法之一，该算法可以求解带有负权边的有向图和无向图的单源最短路径问题。
这在很多实际问题中都有应用，比如交通规划、网络通信、物流配送等。
例如，在交通规划中，我们可以根据道路网络的拓扑结构和交通流量，利用SPFA 算法求解最短路径，从而实现交通拥堵状况的预测和优化。
二、路由选择在计算机网络中，路由选择是一个非常重要的问题。
要实现数据的快速传输和路由的高效选择，就需要使用最短路径算法来确定数据包的传输路径。
SPFA算法可以用来解决这个问题。
通过将网络拓扑结构抽象为有向图，并利用SPFA算法求解最短路径，即可实现高效的路由选择。
三、电力网络规划在电力系统中，电力网络规划是一个复杂而重要的问题。
为了最大限度地满足用户的需求，以及保证电网的安全可靠运行，需要进行电力网络规划和优化。
SPFA算法可以用来解决传输线路的规划问题，通过建立电力网络的拓扑结构图，并利用SPFA算法求解最短路径，确定输电线路的布置方案，从而实现电力系统的高效运行。
四、无人驾驶车辆路径规划随着无人驾驶技术的快速发展，路径规划成为了无人驾驶车辆的重要问题之一。
无人驾驶车辆需要根据实时的道路情况来选择最佳的行驶路径，以保证安全性和效率性。
SPFA算法可以用来解决无人驾驶车辆的路径规划问题。
通过将道路网络抽象为有向图，并利用SPFA算法求解最短路径，就可以实现无人驾驶车辆的智能路径规划。
五、资源调度在一些资源调度场景中，比如作业调度、任务调度等，需要求解最短路径来实现资源的高效利用和分配。
SPFA算法可以用来解决这类问题。
最短路径问题教案
最短路径问题教案一、前置知识在学习最短路径问题之前，需要掌握以下基础知识：1.图的基本概念：顶点、边、度、路径、连通性等。
2.图的存储方式：邻接矩阵、邻接表等。
3.图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）等。
4.基本的算法思想：贪心、分治、动态规划等。
二、最短路径问题最短路径问题是指在一个加权图中，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
其中，加权图是指每条边都有一个权值，表示从一个顶点到另一个顶点的距离或代价。
最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是许多实际问题的基础。
例如，在计算机网络中，路由器需要找到从源节点到目标节点的最短路径，以便将数据包传输到目标节点。
最短路径问题可以分为两类：单源最短路径和全源最短路径。
1. 单源最短路径单源最短路径是指从一个固定的源节点出发，到达图中其他所有节点的最短路径。
常见的算法有：•Dijkstra算法•Bellman-Ford算法•SPFA算法1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次选择距离源节点最近的一个节点，然后以该节点为中心进行扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法的具体步骤如下：1.初始化：将源节点到所有节点的距离初始化为无穷大，源节点到自身的距离为0。
2.选择：从未确定最短路径的节点中，选择距离源节点最近的节点。
3.更新：对于该节点的所有邻居节点，更新它们到源节点的距离。
4.标记：将该节点标记为已确定最短路径。
5.重复：重复步骤2~4，直到所有节点都被标记为已确定最短路径，或者无法到达终点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为节点数。
如果使用堆优化，可以将时间复杂度降为O(mlogn)，其中m为边数。
1.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决单源最短路径问题。
它的基本思想是：从源节点开始，每次对所有边进行松弛操作，即尝试通过当前节点更新其他节点的距离，直到所有节点的距离都不再更新。
SPFA算法
让我们结合一道题目来进行探讨
苹果争夺战 两个人A,B在一个5*6的矩阵里抢夺苹果。矩阵包含空地，4棵 苹果树和障碍物，每个苹果树上有3个苹果。A先行动，然后两人轮 流操作，每一回合每人可以向四周移动一格或停留在一棵苹果树下， 如果苹果树非空可以摘下一个苹果。 两人不能移动到矩阵外，障碍物上或是对方的位置，且两人绝 顶聪明。 问A最多可以抢到多少个苹果。
SPFA的核心正是松弛操作：
Relax(u,v){
If （F(v)>F(u)+W_Cost(u,v)） F(v)=F(u)+W_Cost (u,v);
}
但松弛操作直接得出的Bellman-Ford算法效率低下
For Time=1 to N For (u,v)∈E Relax(u,v)
S A1
.......
我们再从另一个角度来分析DIJ和spfa
Dij的思想可以从另一个角度来阐述：一个
点的最短路必定从另一个点的最短路推导 出，而另一个点的最短路必定<这个点的最 短路，因此我们可以DP，但是因为存在环， 所以就只能从最短路最小的那个开始推， 所以只要满足求的是最短路，都可以用DIJ。
我们再从另一个角度来分析DIJ和spfa
类似于在负权图上使用Dijikstra
因此标号法并不适用
思路二：参考负权图上求最短路的思想
通过局部的较优值一步步迭代得到最优解
假设当前解为：
G[ ]= 4 5
F[ ]= 3 5
之后G[ ]得出最优解4
问题所在：F[ ]和G[ ]的最优化目标不同
两种常规解法都失败了，我们需要从新的角度来思考 猜想： 能否越过状态间纷繁复杂的转移关系 直接考虑最终状态呢？
当某边三角不等式不成立时，用松弛操作调整之。
最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）1、Dijkstra算法：用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度代码：procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstrabegin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongintfor i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里visit[v0]:=true;//已经连接v0结点for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；beginmin:=maxlongint;//初始化minfor j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小begin min:=d[j];k:=j;end;visit[k]:=true;//连接进去for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];end;writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
spfa算法(边集数组的介绍)
#include<cstdio>using namespace std;struct node{int x; \\存放有向边的终点int value; \\存放有向边的权值int next; \\用于查找从起点出发的其它有向边，作用相当于一个链。
};node e[60000]; \\存放有向边的信息int visited[1505],dis[1505],st[1505],queue[1505];int main(){int n,m,u,v,w,start,h,r,cur;freopen("c.in","r",stdin);freopen("c1.out","w",stdout);while(scanf("%d%d",&n,&m)!= EOF){for(int i=1;i<=1500;i++) //初始化{visited[i]=0; //是否在队列中的标记数组。
dis[i]=-1; //源点到I点的距离初始化，因为要求最长路径，故用-1初始化st[i]=-1; //st[i]表示在邻接表中的位置}for(int i=1;i<=m;i++) //建立有向图的邻接表。
{scanf("%d%d%d\n",&u,&v,&w);e[i].x=v;e[i].value=w;e[i].next=st[u];st[u]=i;}start=1; //初始化源点，源点入队，准备SPFAvisited[start]=1; //入队后，变标记dis[start]=0; //源点到本身的最长距离为0h=0; //队首指针r=1; //队尾指针queue[r]=start; //源点入队while(h!=r) //因为是循环队列，本题不考虑队列满的情况，故判断空队列可以看两个指{h=(h+1)%1000; //针是不是相遇。
10个节点最短路径算法题
10个节点最短路径算法题最短路径算法是图论中的一种重要算法，用于计算两个节点之间的最短路径。
在以下内容中，将介绍并讨论10个与最短路径算法相关的题目，并给出相关参考内容，以加深对该算法的理解。
1. Dijkstra算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径。
参考内容：《算法导论》（Introduction to Algorithms）一书中第24章，提供了关于Dijkstra算法原理和实现的详细解释。
2. Bellman-Ford算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径，其中图中可能存在负权边。
参考内容：《算法导论》第24章，提供了Bellman-Ford算法的详细解释和实现。
3. Floyd-Warshall算法题目：给定一个有向图，请找出任意两个节点之间的最短路径。
参考内容：《算法导论》第25章，提供了Floyd-Warshall算法的详细解释和实现。
4. A*算法题目：给定一个加权有向图、一个源节点和一个目标节点，请找出从源节点到目标节点的最短路径。
参考内容：《人工智能：一种现代方法》（ArtificialIntelligence: A Modern Approach）一书中第3章，提供了A*算法的详细解释和实现。
5. Johnson算法题目：给定一个加权有向图，请找出任意两个节点之间的最短路径，其中图中可能存在负权边。
参考内容：《算法导论》第25章，提供了Johnson算法的详细解释和实现。
6. SPFA算法题目：给定一个加权有向图和一个源节点，请找出从源节点到每个其他节点的最短路径。
参考内容：各种算法教材、博客文章和论文中提供了SPFA算法的详细解释和实现，如《算法导论》第24章。
7. Yen's算法题目：给定一个加权有向图、一个源节点和一个目标节点，请找出从源节点到目标节点的K条最短路径。
参考内容：论文《Finding the K Shortest Loopless Paths in a Network》中提供了Yen's算法的详细解释和实现。
算法合集之《SPFA算法的优化及应用》
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2009Thesis
【正文】
SPFA 的优化与应用
姜碧野
SPFA 算法简介
1.1 SPFA 算法的基本实现
下面，先介绍一下 SPFA 和 Bellman-Ford 算法的原理和适用条件。 首先一个很重要的性质便是三角不等式。 设 G=(V,E)为一带权有向图，其权函数 w:EÆR 为边到实型权值的映射，s 为源点，对于任意点 t,d(s,t)为 s 到 t 的最短路。 则对于所有边(u,v)∈E 有 d(s,v)<=d(s,u)+w(u,v)。 令 d(s,s)=0，这一不等式为 d(s,t)是 s 到 t 的最短路的充要条件。 这一性质很容易理解。我们也很容易将其推广。 设 G=(V,E)为一带权有向图，d(u)为状态(顶点)u 的最优值，权函数 w:EÆ自定 义集合。则对于所有边(u,v)∈E 有 d(u)+w(u,v)不优于 d(v). 注:这里的“+”可以是延伸为任意形式的运算表达式。 更进一步，我们并不一定将不等式限定在“最优性”这一框架中，而可根据 具体题目要求制定自己的判断。推广后的三角不等式将不再拘束于最短路问题， 有着更加广泛的适用空间。只要我们根据题目构造出状态间的权函数和优劣判断 标准，在大部分情况下我们都可以使用 SPFA 求解。在下文中将看到相关的应用。
3. SPFA算法的应用.................................................................................. 19 3.1 差分约束系统 ............................................................................... 19 3.2 在一类状态转移阶段性不明显的动态规划中的应用............... 20 3.3 探讨SPFA在解方程中的应用...................................................... 23 3.4 一类状态转移存在“后效性”的动态规划中的应用 ................... 28
spfa算法
队首元素d点出队，对以 为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作 为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（ 队首元素 点出队，对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此 点出队 处只有g这个点），此时路径表格状态为 这个点），此时路径表格状态为： 处只有 这个点），此时路径表格状态为：
a d[i] 0
a d[i] 0
b
c
d
e
f
g ∞
24 8
15 30 ∞
在最短路径表中， 的最短路径估值也变小了 的最短路径估值也变小了， 在队列中不存在 因此e也要 在队列中不存在， 在最短路径表中，e的最短路径估值也变小了，e在队列中不存在，因此 也要 入队，此时队列中的元素为c， ， 入队，此时队列中的元素为 ，d，e 队首元素c点出队，对以 为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作 为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（ 队首元素 点出队，对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作（此处 点出队 两个点），此时路径表格状态为： 有e,f两个点），此时路径表格状态为： 两个点），此时路径表格状态为
算法合集之《SPFA算法的优化及应用》
算法合集之《SPFA算法的优化及应用》SPFA算法即最短路径快速算法（Shortest Path Faster Algorithm）。
它是Bellman-Ford算法的一种优化算法，主要用于求解单源最短路径问题，即从一个节点出发，求解到达其他节点的最短路径。
SPFA算法的基本思想是利用队列进行松弛操作，不断更新节点的距离值，直到所有节点的距离值不再更新。
与普通的队列实现不同，SPFA算法通过维护一个优化队列，将已经被更新的节点推入队列的前部，这样可以提高算法的效率。
SPFA算法的优化主要体现在以下几个方面：1.队列优化：SPFA算法通过优化队列的维护顺序，将已经被更新的节点推入队列的前部。
这样，被更新的节点会尽快参与下一次的松弛操作，从而减少了不必要的松弛操作，提高了算法的效率。
2.标记优化：SPFA算法引入了一个标记数组，用于标记节点是否在队列中。
只有当节点的距离值发生改变时，才会将节点推入队列，并将其标记为在队列中。
这样可以避免重复将相同节点推入队列，减少了不必要的操作。
3.最短路径优化：SPFA算法在每次松弛操作时，会检查节点的距离值是否发生了改变。
如果节点的距离值没有发生改变，则说明该节点的最短路径已经确定，不需要再进行松弛操作。
这样可以减少不必要的松弛操作，提高算法的效率。
SPFA算法的应用非常广泛，主要应用在网络最短路径问题、有向图中的单源最短路径问题等。
具体应用如下所示：1.网络路由：SPFA算法可以用于求解网络中的最短路径，用于确定数据包的传输路径，从而提高网络的传输效率。
2.电力传输：SPFA算法可以用于求解电力网络中的最短路径，用于确定电力传输的路径，从而提高电力传输的效率。
3.交通规划：SPFA算法可以用于求解交通网络中的最短路径，用于规划最短的驾驶路线，从而减少交通拥堵，提高交通的效率。
总之，SPFA算法通过队列优化、标记优化以及最短路径优化，提高了算法的效率，使得求解最短路径问题更加快速和高效。
SPFA算法
SPFA 算法(也适合求最长路径)求单源最短路的SPF A 算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm 。
从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra 等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford 算法的复杂度又过高，SPF A 算法便派上用场了。
简洁起见，我们约定有向加权图G 不存在负权回路，即最短路径一定存在。
当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
和上文一样，我们用数组d 记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G 。
我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u ，并且用u 点当前的最短路径估计值对离开u 点所指向的结点v 进行松弛操作（即不断选优调整），如果v 点的最短路径估计值有所调整，且v 点不在当前的队列中，就将v 点放入队尾（如果v 点已在队列中，则更新调整。
注意点v 可能会多次进入队列）。
这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
(可以采用循环数组队列)定理3 只要最短路径存在，上述SPFA 算法必定能求出最小值。
证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。
换言之，每次的优化将会有某个点v 的最短路径估计值d[v ]变小。
所以算法的执行会使d 越来越小。
由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。
因此，算法不会无限执行下去，随着d 值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
（证毕）刚才我们只是笼统地说SPF A 算法在效率上有过人之处，那么到底它的复杂度是怎样的？定理4 在平均情况下，SPFA 算法的期望时间复杂度为O(E)。
证明：上述算法每次取出队首结点u ，并访问u 的所有临结点的复杂度为O(d)，其中d 为点u 的出度。
单源点最短路径问题常用算法
单源点最短路径问题常用算法单源点最短路径问题是图论中的经典问题，其目标是在给定图中找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
常用的解决该问题的算法包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法、弗洛伊德-沃沙尔算法、A*搜索算法和SPFA算法。
本文将依次介绍这些算法的原理和实现方法，并分析它们的优缺点。
1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它从源点开始逐步扩展到其他顶点，每次选择当前距离源点最近的顶点进行扩展，直到遍历完所有顶点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
实现方法：(1) 初始化：将源点距离设为0，其他顶点距离设为正无穷大。
(2) 选择一个距离源点最近的顶点，将其加入已访问集合。
(3) 对于该顶点的所有邻居，更新它们到源点的距离（如果新的距离比原来的距离小）。
(4) 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问过。
优缺点分析：优点：算法简单直观，适用于稀疏图。
缺点：不适合处理带有负权边的图，因为可能会选到负权环中的顶点。
2. 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）贝尔曼-福特算法也是一种贪心算法，但它可以处理带有负权边的图。
该算法从源点开始遍历图的所有边，更新每条边的权值，并检查是否存在负权环。
如果存在负权环，则该边的权值将无限循环，因此需要停止遍历并报告错误。
该算法的时间复杂度为O(nm)，其中n 为顶点数，m为边数。
实现方法：(1) 初始化：将源点距离设为0，其他顶点距离设为正无穷大。
(2) 从源点开始遍历图的所有边，更新每条边的权值。
(3) 对于每个顶点，检查是否存在负权环。
如果存在，则停止遍历并报告错误。
优缺点分析：优点：可以处理带有负权边的图，并且可以检测是否存在负权环。
缺点：时间复杂度较高，且无法优化处理稀疏图。
同时，如果图中存在负权环，算法将无法给出正确的最短路径。
3. 弗洛伊德-沃沙尔算法（Floyd-Warshall Algorithm）弗洛伊德-沃沙尔算法是一种动态规划算法，它通过逐步构建中间顶点的最短路径来找到源点到所有其他顶点的最短路径。
最优路径经典算法
最优路径经典算法最优路径问题是在图论中一个经典的问题，其目标是找到两个节点之间的最短路径或最小权值路径。
在解决最优路径问题的过程中，有多种算法可以使用。
下面将列举十个经典的最优路径算法。
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题。
它通过不断更新起点到各个节点的最短路径，最终得到起点到终点的最短路径。
2. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法可以解决带有负权边的最短路径问题。
它通过迭代的方式不断更新起点到各个节点的最短路径，直到收敛为止。
3. Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法可以解决所有节点对之间的最短路径问题。
它通过动态规划的方式计算任意两个节点之间的最短路径。
4. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，常用于解决图上的最短路径问题。
它通过综合考虑节点的实际距离和估计距离，选择下一个最有可能到达终点的节点进行搜索。
5. 最小生成树算法：最小生成树算法用于解决无向图的最小生成树问题。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法，它们都可以用于寻找最优路径。
6. Johnson算法：Johnson算法是一种解决带有负权边的最短路径问题的算法。
它通过引入一个新的节点，并利用Bellman-Ford算法来计算每个节点到新节点的最短路径，然后再利用Dijkstra算法求解最短路径。
7. SPFA算法：SPFA算法是一种解决单源最短路径问题的算法，它是对Bellman-Ford算法的一种优化。
SPFA算法使用了队列来存储需要更新的节点，减少了不必要的更新操作。
8. Yen算法：Yen算法是一种解决最短路径问题的算法，它可以找到第k短的路径。
Yen算法通过删除已经找到的路径上的一条边，并重新计算最短路径来寻找第k短的路径。
9. Bidirectional Search算法：Bidirectional Search算法是一种解决最短路径问题的算法，它同时从起点和终点开始搜索，直到两个搜索路径相交。
SPFA及SLF优化
SPFA及SLF优化算法简介SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的⼀种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
算法流程SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前⼀遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。
因此，算法⼤致流程是⽤⼀个队列来进⾏维护，即⽤⼀个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。
初始时，源点s⼊队。
当队列不为空时，取出队⾸顶点，对它的邻接点进⾏松弛。
如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其⼊队。
经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。
SPFA算法的实现，需要⽤到⼀个先进先出的队列queue 和⼀个指⽰顶点是否在队列中的标记数组mark。
为了⽅便查找某个顶点的邻接点，图采⽤邻接表存储。
判断负权回路的⽅案很多，世间流传最⼴、⽐较容易实现并且⾼效的⽅法的是记录每个结点进队次数，⼤于等于|V|次表⽰有负权。
两个著名优化（SLF和LLL）：SPFA 是按照 FIFO 的原则更新距离的, 没有考虑到距离标号的作⽤. 实现中 SPFA 有两个⾮常著名的优化: SLF 和 LLL. SLF: Small Label First 策略. （⽐较常⽤） 实现⽅法是, 设队⾸元素为 , 队列中要加⼊节点 , 在时加到队⾸⽽不是队尾, 否则和普通的 SPFA ⼀样加到队尾. LLL: Large Label Last 策略. （不太常⽤） 实现⽅法是, 设队列中的队⾸元素为 , 距离标号的平均值为 , 每次出队时, 若 , 把移到队列末尾, 如此反复, 直到找到⼀个使 , 将其出队.C++模版：(没加SLF优化)#include <fstream>#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cmath>#include <iomanip>#include <iomanip>#include <climits>#include <vector>#include <stack>#include <queue>#include <list>#include <set>#include <map>#include <algorithm>#include <string>#include <cstring>using namespace std;#define arraysize 501int maxData = 0x7fffffff;typedef struct edge{int to;int w;}edge;vector<edge> adjmap[arraysize]; //vector实现邻接表int d[arraysize];bool final[arraysize]; //记录顶点是否在队列中，SPFA算法可以⼊队列多次int cnt[arraysize]; //记录顶点⼊队列次数bool SPFA(int s){queue<int> myqueue;int i,j;for(i=0;i<n+1;++i){d[i] = maxData; //将除源点以外的其余点的距离设置为⽆穷⼤}memset(final,0,sizeof(final));memset(cnt,0,sizeof(cnt));d[s]=0; //源点的距离为0final[s] = true;cnt[s]++; //源点的⼊队列次数增加myqueue.push(s);int topint;while(!myqueue.empty()){topint = myqueue.front();myqueue.pop();final[topint] = false;for(i=0;i<adjmap[topint].size();++i){int to = adjmap[topint][i].to;if(d[topint]<maxData && d[to]>d[topint]+ adjmap[topint][i].w){d[to] = d[topint]+ adjmap[topint][i].w;if(!final[to]){final[to] = true;cnt[to]++;if(cnt[to]>=n) //当⼀个点⼊队的次数>=n时就证明出现了负环。
基于边集数组的spfa算法及其应用
６， １ 。 列超 过 ｌ ｖ １ 次则 说 明图存在 负权 回路 ．退 出算法 并 ５， 返回 ｆ ａ ｌ ｓ ｅ 。 阿 龙可 以选 择 如 下 一 条 线路 ： １ 一 ＞ ２ 一 ＞ ３ 一 ＞ ５ ， 在 ３号 城 全 国青 少 年 信 息学 奥林 匹克 竞 赛 ２ ０ ０ ９年 职 并 在 ２号 城 市 以 ３的价 格 买 入水 晶球 ，
中只有 源点 Ｓ ． 进 行计 算 时 ． 若 队列 为空 则 算 法 结 不 到 差 价 的 情 况 下 他 就 无 需 进 行 贸 易 束 ．否则将 队首顶点 取 出后 对其 相邻 的点基 于取 假设 Ｃ 国有 ５个 大城 市 ． 城 市 的编号 和 道路 出地点 进行 松 弛 。如果 某邻 点松 弛成 功并 且 那个 连 接情况 如下 图 ．单 向箭 头表 示这 条道路 为单 向
赚 取 的旅 费数为 ２ 。 专（ 高 中） 组第 三题— — 最优 贸易 可 以用基 于边 集 市 以 ５的价格 卖 出水 晶球 ． 阿 龙 也 可 以选 择 如 下 一 条 线 路 １ 一 ＞ ４ 一 ＞ ５ 一 ＞ 数组 的 ｓ Ｄ ｆ ａ 算法 完美解 决 。 ４ 一 ＞ ５ ． 并 在第 １次到 达 ５号 城市 时 以 １的价格 买 题 目描 述
和权 ， 各边 在数 组 中的次序 可任 意安排 。 边 集 数组 １ ～ｎ ， 阿龙 决定从 １号城 市 出发 ． 并最 终在 ｎ号 城 比较适 合 于那些 对边依 次进 行处 理 的操作 ．在求 市结束 自己的旅行 。 在旅 游 的过 程 中 ． 任何 城市 可
最优路径经典算法
最优路径经典算法最优路径经典算法，是指在给定的图中，找到一条从起点到终点的路径，使得该路径上的权值之和最小。
下面将介绍十个常见的最优路径经典算法。
一、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的算法。
它通过维护一个距离数组和一个标记数组，逐步更新距离数组中的值，直到找到起点到终点的最短路径。
二、Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的算法。
它通过对所有边进行松弛操作，逐步更新距离数组中的值，直到找到起点到终点的最短路径。
三、Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种用于计算带权有向图中所有点对之间的最短路径的算法。
它通过维护一个距离矩阵，逐步更新矩阵中的值，得到任意两点之间的最短路径。
四、A*算法A*算法是一种用于计算带权有向图中起点到终点的最短路径的启发式搜索算法。
它通过维护一个优先队列，选择距离起点最近的节点进行扩展，直到找到终点。
五、Branch and Bound算法Branch and Bound算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的分支定界算法。
它通过将问题划分为子问题，并使用界限函数剪枝，逐步搜索最短路径。
六、Johnson算法Johnson算法是一种用于计算带权有向图中所有点对之间的最短路径的算法。
它通过对图进行变换，使得图中不存在负权回路，然后使用Dijkstra算法计算最短路径。
七、SPFA算法SPFA算法是一种用于计算带权有向图中最短路径的算法。
它通过维护一个队列，选择队列中的节点进行松弛操作，直到找到起点到终点的最短路径。
八、Kruskal算法Kruskal算法是一种用于计算带权无向图中最小生成树的算法。
它通过选择边的方式逐步构建最小生成树，直到所有节点都连接在一起。
九、Prim算法Prim算法是一种用于计算带权无向图中最小生成树的算法。
它通过选择节点的方式逐步构建最小生成树，直到所有节点都连接在一起。
spfa讲义
SPFA算法求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的.从名字我们就可以看出，这种算法在效率上一定有过人之处。
很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。
简洁起见，我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。
当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。
我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。
我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v 进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。
这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。
证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。
（松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。
所谓对i,j进行松弛，就是判定是否d[j]>d[i]+w[i,j]，如果该式成立则将d[j]减小到d[i]+w[i,j]，否则不动。
）换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。
所以算法的执行会使d越来越小。
由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。
因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
（证毕）期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。
实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，在建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。
SPFA算法
SPFA算法和BFS算法
• SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重 新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它 的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设 一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左 右。
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SPFA算法原理
初始化 队列
SPFA算法
松弛操作 求出最短路径
算法思想 • 我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的
队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对 离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队 列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
三个最短路径算法复杂度的比较
• Dijkstra：适用于权值为非负的图的单源最短路径，用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV) • BellmanFord：适用于权值有负值的图的单源最短路径，并且能够检测负圈，复杂度O(VE) • SPFA：适用于权值有负值，且没有负圈的图的单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个
A
3
A
3
2
经 松 弛 操 作
单源最短路径问题算法
单源最短路径问题算法一、概述单源最短路径问题是指在一个有向带权图中，给定一个起点，求出该起点到所有其他点的最短路径。
这个问题在实际应用中非常常见，例如地图导航、网络路由等。
二、算法分类1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决单源最短路径问题的一种经典算法。
该算法使用了贪心策略，每次选取当前距离起点最近的未访问节点作为下一个节点，并更新其周围节点的距离值。
该算法适用于没有负权边的情况。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种解决单源最短路径问题的经典算法。
该算法使用动态规划的思想，通过对所有边进行松弛操作来更新每个节点的距离值。
该算法适用于存在负权边但不存在负权环的情况。
3. SPFA算法SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法是一种基于Bellman-Ford思想和队列优化技巧的改进型算法。
SPFA在处理稀疏图时比Bellman-Ford更快，并且可以处理存在负权边但不存在负权环的情况。
4. Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是解决全源最短路径问题的一种经典算法。
该算法使用动态规划的思想，通过对每对节点之间进行松弛操作来更新它们之间的最短路径。
该算法适用于存在负权边但不存在负权环的情况。
三、算法实现1. Dijkstra算法Dijkstra算法可以使用堆优化来提高效率。
以下是使用堆优化的Dijkstra算法实现：```pythonimport heapqdef dijkstra(graph, start):# 初始化距离字典和堆dist = {node: float('inf') for node in graph}dist[start] = 0heap = [(0, start)]while heap:# 取出距离起点最近的节点(distance, node) = heapq.heappop(heap)# 更新周围节点的距离值for neighbor, weight in graph[node].items():new_distance = dist[node] + weightif new_distance < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_distanceheapq.heappush(heap, (new_distance, neighbor))return dist```2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法需要进行多次松弛操作来更新每个节点的距离值，以下是Bellman-Ford算法实现：```pythondef bellman_ford(graph, start):# 初始化距离字典dist = {node: float('inf') for node in graph}dist[start] = 0# 进行n-1轮松弛操作for i in range(len(graph) - 1):for node in graph:for neighbor, weight in graph[node].items(): new_distance = dist[node] + weightif new_distance < dist[neighbor]:dist[neighbor] = new_distance# 检查是否存在负权环for node in graph:for neighbor, weight in graph[node].items():if dist[node] + weight < dist[neighbor]:raise ValueError('Negative cycle detected')return dist```3. SPFA算法SPFA算法使用队列来存储需要更新的节点，并使用一个标记数组来记录每个节点是否在队列中。
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三个最短路径算法复杂度的比较
• Dijkstra：适用于权值为非负的图的单源最短路 径，用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV) • BellmanFord：适用于权值有负值的图的单源最 短路径，并且能够检测负圈，复杂度O(VE) • SPFA：适用于权值有负值，且没有负圈的图的 单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个 节点进入Queue的次数，且k一般<=2，所以实际 SPFA的复杂度一般为O(E)。
a d[i] 0
dis[e]>dis[c]+w[c,e] =15 dis[f]>dis[c]+w[c,f] =11
SPFA算法举例
• 队首元素d点出队，对以d为起始点的所有边的 终点依次进行松弛操作（此处只有g这个点）， 此时路径表格状态为： 入 队
e
f b 24
g c 8 d e f g 15 15 11 19
b
c b 24
d c 8 d 15 e ∞ f ∞ g ∞
a d[i] 0
dis[b]>dis[a]+w[a,b] =24 dis[c]>dis[a]+w[a,c]=8 dis[d]>dis[a]+w[a,d]=15
SPFA算法举例
• 队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的 终点依次进行松弛操作（此处只有e点），此时 路径表格状态为：
SPFA算法简介
• Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法， 但它局限于边的权值非负的情况，若图中出现权 值为负的边，Dijkstra算法就会失效，求出的最 短路径就可能是错的。这时候，就需要使用其他 的算法来求解最短路径，Bellman-Ford算法就是 其中最常用的一个。但是Bellman-Ford算法的复 杂度又过高，因此SPFA应运而生。
SPFA算法举例
• 队首元素f点出队，对以f为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处有d，e，g三个点）， 此时路径表格状态为： 入 g e 队
a d[i] 0
b 24
c 8
d e f g 15 13 11 14
dis[g]>dis[f]+w[f,g] =14 dis[d]<dis[f]+w[f,d] =16 dis[e]>dis[f]+w[f,e] =13
SPFA算法举例
• 队首元素g点出队，对以g为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处只有b点），此时路 径表格状态为： 入 队
e
b b 17 c 8 d e f g 15 13 11 14
a d[i] 0
dis[b]>dis[g]+w[g,b] =17
3.在此输入一些酷炫的文字
• 队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此 时路径表格状态为： 入 队
b
a d[i] 0
b 17
c 8
d e f g 15 13 11 14
dis[g]<ຫໍສະໝຸດ is[e]+w[e,g] =22 松弛不成功没有新节点入队
SPFA算法举例
• 队首元素b点出队，对以b为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处只有e这个点），此 时路径表格状态为： 入 队
a d[i] 0
b 17
02
PART TWO
SPFA算法原理
SPFA算法原理
松弛操作
初始化
SPFA算法
求出最短路径 队列
算法思想
• 我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值， 采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的 队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队 首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对 离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点 的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的 队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中 取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
SPFA算法和BFS算法
• SPFA 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同 的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能重 新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列 之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它 的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是 再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。设 一个点用来作为迭代点对其它点进行改进的平均 次数为k，有办法证明对于通常的情况，k在2左 右。
SPFA算法简介
• SPFA算法核心的循环的提前跳出：在实际操作中， 贝尔曼-福特算法经常会在未达到V-1次前就出解，V1其实是最大值。于是可以在循环中设置判定，在某 次循环不再进行松弛时，直接退出循环，进行负权 环判定。 • 具体做法是用一个队列保存待松弛的点，然后对于 每个出队的点依次遍历每个与他有边相邻的点（用 邻接表效率较高），如果该点可以松弛并且队列中 没有该点则将它加入队列中(只有进行松弛操作的点 才会对它的邻接点有影响，也就是说其邻接点才需 要松弛操作)，如此迭代直到队列为空。
入 队
c
d b 24
e c 8 d e f 15 30 ∞ g ∞
a d[i] 0
dis[e]>dis[b]+w[b,e] =30
SPFA算法举例
• 队首元素c点出队，对以c为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处有e,f两个点），此 时路径表格状态为：
入 队
d
e
b 24
f
c 8 d e f g 15 15 11 ∞
Thanks for Listening
A 3
经 松 弛 操 作
2
8
B
A
3
2
5
B
松弛操作
• 例如dis[B]<dis[A]+w[A,B]
A 3
经 松 弛 操 作
4
6
B
A
3
4
6
B
SPFA算法流程
• 初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全 部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有 知道前驱然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径，或 者说最短路就是0。将源点入队； 另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis 数组，有顶点出队了记得消除那个标记 ∙ 队列+松弛操作 读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标 记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能 更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外， 如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标 记），如果已经在队列中了，那么就不用入队。以此 循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解。
SPFA算法
CONTENT
01
SPFA算法简介
02
03 04
SPFA算法原理 SPFA算法举例
SPFA算法总结
02
01
PART ONE
SPFA算法简介
SPFA算法简介
SPFA算法是西南交通大学段凡丁于 1994年发表的。 求单源最短路的SPFA算法的全称是： Shortest Path Faster Algorithm。 从名字我们就可以看出，这种算法在 效率上一定有过人之处。
松弛操作
• 松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之 和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等 式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否 dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小 到dis[i]+w[i,j]，否则不动。
松弛操作
• 例如dis[B]>dis[A]+w[A,B]
a d[i] 0
dis[g]>dis[d]+w[d,g] =19
SPFA算法举例
• 队首元素e点出队，对以e为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处只有g这个点），此 时路径表格状态为：
入 队
f
g b 24 c 8 d e f g 15 15 11 19
a d[i] 0
dis[g]<dis[e]+w[e,g] =24 松弛不成功没有新节点入队
c 8
d e f g 15 13 11 14
dis[e]<dis[b]+w[b,e] =23 在最短路径表中，e的最短路径估值没变化（松弛 不成功），此时队列为空了。
04
PART FOUR
SPFA算法总结
SPFA算法总结
• SPFA，要从Bellman-ford的优化说起。在n个点m 条边的图中，Bellman-ford的复杂度是n*m，依 次对每条边进行松弛操作，重复这个操作n-1次 后则一定得到最短路，这是因为最长的没有环路 的路，也只不过是n个点n-1条边构成的，所以松 弛n-1次一定能得到最短路。 • SPFA的意义在于，如果一个点上没有被松弛过， 那么下次就不会从这个点开始松弛。每次把被松 弛过的点加入到队列中，就可以忽略掉没有被松 弛过的点。算法的核心在于队列优化的bellmanford，利用了每个点不会更新次数太多的特点发 明的此算法。
03
PART THREE
SPFA算法举例
SPFA算法举例
SPFA算法举例
• 首先设a为源点，建立a与其余各点的距离为无穷 大。首先源点a入队，距离表格如下
入 队
a
b ∞ c ∞ d ∞ e ∞ f ∞ g ∞
a d[i] 0
SPFA算法举例
• 队首元素（a）出队，对以a为起始点的所有边的终 点依次进行松弛操作（此处有b,c,d三个点），此时 路径表格状态为： 入 队