算筹初中数学拓展课的好素材——点评郑碧霞老师“探秘中国古代的方程”一课
阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法
*秉（bǐng）：古代容 量单位，一秉合十六 斛（hú）
*實：繁体字，实
下禾一秉，二斗、四分斗之三。
*幾何：繁体字，几何， 多少的意思
*荅：等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗， 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗， 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗， 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？
一次方程组的古今表示及解法
白城十中 孙雪
《九章算术》概述
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世
纪左右。其作者已不可考。该书内容十分丰富，全书总结
了战国、秦、汉时期的数学成就，最早提到分数问题，
首先记录了盈不足等问题，
《方程》章还在世界数学 盈不足术，中国古代解决盈
史上首次阐述了负数及其 亏类问题的一种算术方法。
《九章算术》章八：方程
第八章“方程”解决了一次方程组问题，这是世界上最早 的完整的一次方程组的解法。在西方，直到17世纪才由 莱布尼兹提出完整的一次方程的解法法则。这一章 还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数 的加减法则，与现今代数 中法则完全相同；解一次 方程组时实际还施行了正 负数的乘除法。这是世界 数学史上一项重大的成就， 第一次突破了正数的范围， 扩展了数系。外国则到7世 纪印度的婆罗摩及多才认 识负数。
加减运算法则。它是一本 如：一些人共同买东西,每人
综合性的历史著作，是当 出八元钱,则多三元钱,每人出
时世界上最简练有效的应 七元钱,则少四元钱.问有多少
用数学，它的出现标志中 钱,物价又是多少?在欧洲中
国古代数学形成了完整的 世纪,为了解决这种类型的问
体系。
题, 通过两次假设以求未知数
的方法，当时称为 “双设
人教版七年级数学下册《八章 二元一次方程组 一次方程组的古今表示及解法》教案_25
让学生能够 直观生动的体 会，算筹解一次 方程组的运算过 程。
以右行上禾“3”乘中行每一项
学生跟着老师 的引导共同解一次 方程组
以中行减去右行对应项的 2 倍。 使得中行上禾为零
Hale Waihona Puke 以右行上禾“3”乘左行每一项 , 再以左行减去右行对应项的 1 倍。 使得左行上禾为零。
教学设计
章节名称
第八章 阅读与思考： 一次方程组的古今表示及解法
学时
1
知识和技能目标： 了解中国古代在解一次方程组的方法，了解算筹表示的意思，理解
算筹作为计算工具用于解一次方程组的过程。让学生了解古代中国在解 一次方程组的方法对全世界的贡献。
教学目标
过程和方法目标： 引导学生在课外有目的的学习，在遇到知识难点时，自己或与同学
的呢？带着这些问题，同学们在我们容。思考算筹图所表
下节课上课前。先预习《阅读与思考：示的意思，及算筹作
一次方程组的古今表示及解法》并通为计算工具解一次方
过网络或书籍，如《九章算术》了解程组的过程。
相关内容。思考算筹图所表示的意 在这个过程中，
思，及算筹作为计算工具解一次方程与 同 学 相 互 探 讨 问
从算筹的演变图中我们可以找 到课本中算筹图，和汉代的图是一致 的。
在算筹计数法中，以纵横两种排 列方式来表示单位数目的，表示多位 数时，个位用纵式，十位用横式，百 位用纵式，千位用横式，以此类推， 遇零则置空。
使学生能充 分的理解算筹图 表示的意思，以 及对算筹的演变 历史有所了解。
从这个图，同学们现在明白算筹 图第一行第四个图为什么是表示 39。
一个光辉成就。
教学过程的设计
“探秘中国古代的方程”教学实践
作者： 郑碧霞
作者机构： 201206,上海市平和双语学校
出版物刊名： 上海中学数学
年卷期： 2014年 第5期
摘要：上海市新课改提出的三类课程(基础型课程、拓展型课程和探究型课程)结构,突出了基础性、整体性、多样性特点,为多样化的课程设置、增强课程的选择性提供了保证.《上海市中小学数学课程标准》进一步提出“关注不同学生的数学需要,提供选择和发展的空间”的理念,要求“在确保所有学生都能获得必备的数学基本知识的同时……适当安排拓展性数学内容,开阔学生的数学视野,发展学生的数学爱好”.在这些精神的指导下,以一次市级教研活动为契机,笔者教授了一节六年级数学拓展课,课题是“探秘中国古代的方程”,课题内容来源于上海二期课改新教材六年级数学第二册(试用本)第六章阅读材料——中国古代的方程两例.。
方程的意义听课评课记录
方程的意义听课评课记录第一篇：方程的意义听课评课记录听课评课记录这节课的给人的总体感觉就是层次清晰条理、重点突出。
《方程的意义》是一节数学概念课，概念教学由于它的理论性和学术性，教起来往往会显得枯燥乏味。
这节课围绕着方程的意义一步步深入，由浅入深，整节课下来不仅毫无乏味之感，而且无论老师还是学生都情绪高涨、意犹未尽。
这节课共分四个环节：创设情境，导入新课——探究新知——巩固应用——总结拓展。
整节课的重点和精彩之处是在第二个环节，这个环节一共要解决三个问题，张老师采取先扶后放的办法：第一个问题老师“扶”着学生走，在这里老师处理得很到位，恰当的引领、适当的提问、及时的小结，每个环节都很顺当自然。
尤其是通过天平演示，引出等式、不等式，让学生感受等式的特点，在这过程当中，老师只充当导游的角色，不停的启发、诱导学生发现新知，充分发挥学生的学习积极性。
第二、三个问题则“放”给学生，通过讨论、合作、交流的方式加以解决，培养了学生的合作意识。
通过教师的引导，根据老师提供的天平图，写出等式或不等式，再把这些式子进行分类，从中得出方程的意义。
学习的整个过程符合儿童认知发展的规律。
学生有生活的经验，很自然地想到两种不同情况，并用式子表示，引出等式；其中有含有未知数、不含未知数的两种形式。
体现“生活中有数学，数学与生活的关系”这一大众数学观，也体现了数学的本质------来源于生活，运用于生活。
通过观察，探寻式子特点，再把这些式子进行分类，在分类中得出方程的意义，反映了认识事物从具体到抽象的一般过程。
第三个环节练习的设计也很有条理性和层次性，通过几组富于变化的设计练习再次巩固了对于方程意义的理解。
总之这节课，充分体现了新课标的教育理念，各个环节处理都比较到位。
第二篇：方程的意义评课《方程的意义》评课本节课是义务教育课程标准试验教科书五年级上册第一单元第一课时的内容。
我被执教老师精心设计的教学设计和抛砖引玉的回答所震撼，不禁思考这样一个问题，为什么有的老师得不出自己预想的答案，用一个简单的比喻来说，要想上岸，你必须有一个码头。
数学人教版七年级下册一次方程组的古今表示及解法
二、查阅资料，介绍《九章算术》
介绍《九章算术》
补充《九章算术》的内容。
小组交流，完善资料内容
传播中国传统数学成就和数学文化。
三、小组合作，探究新知
中国古代问题。
出示中国古代问题，并译成现代汉语。
学生阅读，小组交流，探究。列方程组解古代问题。
了解算筹图和古代解法。
四、知识拓展
2会列三元一次方程组解中国古代问题，熟练解简单的三元一次方程组。
3了解从算筹图到矩阵是数学的发展。
过程与方法：
通过一次方程组的古今解法进一步理解“消元”思想，使学生理解消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想.
情感态度与价值观：
了解中国古代数学史，传播中国传统数学成就和数学文化，增强民族自信心和自豪感，激发爱国情怀。
1介绍矩阵。
2用矩阵解方程组。
教师引导。
小组合作，解决问题思路和思想。
师纠正指导。
五、实践操作
出示三元一次方程组，用算筹和矩阵表示。
教师引导。
小组合作，相互交流
及时指导。
六、归纳总结
1、小组讨论后，总结本节课的知识体系。
2、学生谈收获。
老师鼓励学生要善于归纳总结。
小组共同总结本节课的知识体系,学生谈收获.
及时肯定学生所谈的收获。
七、课堂作业
各小组长用算筹摆出三元一次方程组，组内组员用现在学习方法来表示三元一次方程组，并解出这个三元一次方程组。
板书设计
8.4阅读与思考
一次方程组的古今表示及解法
一、算筹图二、矩阵
七课堂作业各小组长用算筹摆出三元一次方程组组内组员用现在学习方法来表示三元一次方程组并解出这个三元一次方程组
五年级数学下册《古老的方程》优秀教学案例
1.通过小组合作、讨论交流，培养学生主动探究、合作学习的能力。
2.引导学生运用观察、分析、归纳等方法，从实际问题中发现规律，提高解决问题的策略。
3.培养学生运用数学语言表达问题和解决问题的过程，提高数学表述能力。
4.鼓励学生大胆尝试，勇于创新，体验数学探究的过程，发展创新思维。
5.教学中注重方法的渗透，使学生掌握解决方程问题的基本方法，提高解题能力。
2.组织学生进行课堂分享，让他们展示自己的解题思路和方法，互相借鉴，共同提高。
3.教师对学生的学习过程和成果进行评价，注重评价的多元性，关注学生的全面发展。
4.定期组织学生进行自评和互评，培养他们客观评价他人和自我反思的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示古代数学家求解方程的图片和故事，引导学生了解古代方程的历史背景，激发学生对新课的兴趣。
2.各小组成员互相交流解题思路，分享解题方法，共同解决问题。
3.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生的疑问，引导他们深入探讨方程问题。
（四）总结归纳1.教师带领学生回顾本节课所学内，总结解古代方程的方法和步骤。
2.强调解方程时应注意的问题，如检验解的正确性、简化计算过程等。
3.鼓励学生分享自己在解决方程问题时的心得体会，培养他们的反思能力。
5.反思与评价的落实：在教学过程中，教师注重学生的反思与评价。通过课后反思、课堂分享、教师评价等多种方式，帮助学生总结经验教训，提高自我认知，培养他们客观评价他人和自我反思的能力。
2.介绍代入法、消元法等解方程的基本方法，并通过具体例题进行演示，让学生掌握解方程的步骤。
3.讲解方程的解的概念，强调解的意义，并通过实例巩固学生对解的理解。
人教版数学七年级下册《阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法》教学设计2
人教版数学七年级下册《阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》教学设计2一. 教材分析人教版数学七年级下册《阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》是一个关于一次方程组的基础知识介绍和应用的章节。
本章通过阅读和思考的形式，让学生了解一次方程组在古代和现代的表示方法，以及解法。
教材内容丰富，通过阅读古代数学著作《九章算术》中的方程问题，引发学生对数学知识的兴趣，培养学生对数学历史的认识。
本章内容为学生提供了丰富的学习资源，有助于学生形成全面、科学的数学观。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了代数的基础知识，对一元一次方程有了初步的认识。
在学习过程中，他们已经掌握了方程的解法和解的概念。
然而，对于一次方程组的解法和应用，学生可能还不够熟练。
此外，学生可能对古代数学知识了解不多，因此需要在教学过程中加以引导。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生了解一次方程组在古代和现代的表示方法，掌握解一次方程组的基本方法。
2.过程与方法目标：通过阅读和思考，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学历史的兴趣，培养学生热爱数学、追求真理的品质。
四. 教学重难点1.重点：一次方程组的表示方法和解法。
2.难点：一次方程组在古代和现代表示方法之间的联系。
五. 教学方法1.引导法：教师引导学生通过阅读和思考，发现一次方程组的表示方法和解法。
2.互动法：教师学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和心得。
3.实践法：教师设计具有针对性的练习题，让学生在实践中掌握一次方程组的解法。
六. 教学准备1.教材：《人教版数学七年级下册》。
2.辅助材料：古代数学著作《九章算术》相关内容、一次方程组的例题和练习题。
3.教学工具：黑板、粉笔、多媒体设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师简要介绍一次方程组的概念，引导学生回顾一元一次方程的解法。
然后，提出本节课的学习任务：了解一次方程组在古代和现代的表示方法，掌握解一次方程组的基本方法。
人教版数学七年级下册8.4《阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法》教学设计
人教版数学七年级下册8.4《阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》教学设计一. 教材分析《人教版数学七年级下册8.4《阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》》这一章节主要让学生了解一次方程组在古代和现代的表示方法，以及解法。
通过阅读和思考，让学生对一次方程组有更深入的理解。
教材通过介绍古代数学家如何解一次方程组，与现代数学解法进行对比，让学生了解数学的发展历程，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了代数的基础知识，对一次方程有一定的理解，但可能对古代数学解法比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解古代数学家的解法，并将其与现代数学解法进行对比，帮助学生建立起完整的知识体系。
三. 教学目标1.了解一次方程组在古代和现代的表示方法。
2.学会用现代数学方法解一次方程组。
3.培养学生对数学历史的兴趣，提高学生的阅读和思考能力。
四. 教学重难点1.重点：了解一次方程组在古代和现代的表示方法，以及解法。
2.难点：理解古代数学家的解法，并将其与现代数学解法进行对比。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过阅读和思考，发现数学知识的内在联系，培养学生独立思考和合作交流的能力。
六. 教学准备1.准备相关的古代数学著作，如《九章算术》等。
2.准备一次方程组的现代解法教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次方程组的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示《九章算术》中的一次方程组解法，让学生初步了解古代数学家的解法。
3.操练（10分钟）教师引导学生用现代数学方法解一次方程组，并与古代解法进行对比，让学生加深对一次方程组解法的理解。
4.巩固（10分钟）教师通过设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考：为什么古代数学家的解法与现代数学解法有所不同？从而激发学生对数学历史的兴趣。
6.小结（5分钟）教师对本节课的主要内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
古代数学方程,方程组,不等式研究成果感想
古代数学方程,方程组,不等式研究成果感想我喜欢研究数学，也有一定的兴趣。
记得在上三年级时，老师就给了我们一本书《四则运算》，那是陈老师为了提高同学们的计算能力而特意编写的，当然他还告诉了我们应该怎样去看这些方程与不等式，从此我便爱上了它们，经常反复地翻阅。
后来爸爸又买了一套“算术小全”，里面讲述着很多关于方程组、不等式、解方程和不等式等题目的解答方法，这使我受益匪浅，激发起了强烈的探索欲望。
有一天晚饭过后，爸爸让我把那个厚厚的大方块本子拿出来练习解题。
在刚开始做时，由于对它不熟悉，心中没底儿，所以连蒙带猜、胡乱解决，最终只完成了一半的任务。
但是随着越来越多的练习，我渐渐摸到了其中的门道。
慢慢地掌握了它们的基本解法，成绩逐步提高，从十几分钟可以做二十道方程题，到后来达到了三十分钟甚至更长时间才能完成一半的量，通过多次反复的训练，现在解二元一次方程已经毫无问题了。
另外，数学中除了方程与不等式之外，其实还包括有“图形与几何”、“统计与概率”、“实践与综合”等内容，每节课都需要花费较长的时间进行学习。
因此，对于部分科目采取边学边教的方法，即先理论知识，再加以实际操作，收效非常显著。
尤其像几何，原来觉得比较难学，一接触就被弄糊涂了，想解决却又找不到方向，自己琢磨了好久，仍是百思不得其解。
当遇到疑难问题时，不会马上就钻入死胡同或者死角里，总是试图寻求新的解法，这样既节省了许多宝贵的时间，同时也锻炼了自己思考的能力。
除此之外，我们班还根据各人的情况开展活动，如开设各种专栏，使用分层练习卷，引导学生课前预习……相信只要坚持下去，我们必将获得成功！古代方程、不等式的演算方法，确切说是九章算术中方程与不等式的演算方法，是我国数学史上值得珍视的财富。
通过亲身体验，我深刻感受到，学习数学，首先要注重培养自主学习的意识；其次，善于观察，勤于思考，具备独立获取知识的能力；第三，认真听讲，努力做好课堂笔记，及时整理错题集；最后，经常进行阶段性检测，查漏补缺。
人教版初中数学七年级下册 阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法(省一等奖)
汇报评议师精导师生活动、时间1. 用算筹表示数用算筹表示数时上5下1算筹颜色相同时，用正放表示正数，斜放表示负数；颜色不同时，红色表示正数，黑色表示负数用算筹表示多位数时，采用个位纵式，十位横式，以此类推纵横交错的摆放方式，遇0则置空。
一位数用纵式表示。
让学生到黑板用算筹摆出题目中的数据。
教师继续追问：如何摆放算筹能把题意表达出来，请同学到黑板重新调整。
比较两种方式的区别，得出用算筹表示方程组的方法。
2.用算筹进行加减运算以58 + 36 =和72 - 35= 为例，得出方法。
用算筹进行加减法运算时，各个数位对齐，由左至右，高位算起。
3. 用算筹解方程用算筹解一次方程时，在一个方程的两边成另一个方程中的某未知数的系数，然后再累减另一个方程。
18min各小组根据查阅的资料进行各个知识的汇报，教师补充。
美育：体现数学的图形美。
学科素养：渗透化归的数学思想。
体会解决数学问题的一般方法。
感受类比的数学思想。
总结如何用算筹解决这一类题目：练习巩固结纲要 师生活动、时间用算筹解下列方程组：--1238x y x y =⎧⎨+=⎩5min巩固新知.核心素养：培养学生观察，归纳及分析数据的能力，培养学生的探索精神与动手实践能力。
反馈拓展步步高师生活动、时间反馈：《九章算术》的“方程”章的第一道题翻译成现代汉语是这样的： 上等谷三束，中等谷二束，下等谷一束，可得粮食三十九斗 上等谷二束，中等谷三束，下等谷一束，可得粮食三十四斗 上等谷一束，中等谷二束，下等谷三束，可得粮食二十六斗请你用算筹表示题意：拓展：如果你穿越到了古代，你想对算筹图进行怎样的改造情知感言：10min检验本节课学习成果。
考察学生的明辨及应变能力。
学生合作完成，与同伴交流。
开阔思路，提高能力。
感受数学在生活中无处不在，无处不有，无处不用.引出矩阵也能解一次方程，并且与算筹法具有一致性。
了解矩阵觉一次方程的方法。
2.1古算明珠——“方程术”与“正负术”》
课堂答案
假如设x天后两鼠相遇，则由于大老鼠每
天尺尺打 ， ，墙 小 列2的 老 方1x 进鼠 程度每：分天别打是墙1的尺进，度2尺分，别4是尺1，尺…，，12尺2…x ，
1 + 2 + 4 + ... + 2x + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 5
刘徽(魏晋, 公元3世 纪)（中国，2002）
教学 目标
知识与能力
了解中国最早的经典数学著作之一 的《九章算术》的深远影响；
初步熟悉我国古代数学家刘徽的杰 出贡献；
学习《九章算术》介绍的各种实际 问题解法.
过程与方法
《九章算术》总结了自周代以来的中国 古代数学，学习其中代表性的“盈不足 术”“方程术”“正负术”.
情感态度与价值观
《九章算术》是中国古代最著名的传世 数学著作，又是中国古代最重要的数学典籍， 对中国古代数学的发展起到了巨大的推动作 用.
教学重难点
重点
《九章算术》的主要内容以及其深远影响.
难点
《九章算术》中介绍的各种实际问题的 解法以及其现实意义.
内容介绍
《九章算术》秉承了先秦以 来数学的发展源流，流传近2000 年.后世的数学家多是从《九章 算术》开始学习和研究数学.唐 宋两代成为官学采用的算学教学 书，并在北宋是成为世界上最早 的印刷版第八章 “方程”：一次方程组问题；第九章“勾 股”：利用勾股定理求解的各种问题.
《九章算术》主要有算术、代数和几何 三部分的内容，概括了我国古人创造的领先 于世界的数学成就.
算筹:初中数学拓展课的好素材——点评郑碧霞老师“探秘中国古代的方程”一课
算筹：初中数学拓展课的好素材——点评郑碧霞老师“探秘
中国古代的方程”一课
黄家礼
【期刊名称】《上海中学数学》
【年(卷),期】2014(000)005
【摘要】郑碧霞老师“探秘中国古代方程”一课,以算筹为切入点,通过对“密码图”的猜想、探秘、破解、设计,引导学生了解算筹的记数方法,算筹在解方程组中的应用,同时也让学生领略到中国古代数学的辉煌成就.整节课自然、流畅、新颖、精彩,是笔者近几年所听的较成功的课之一. 一、内容精练经典算筹在中国古代文明中的地位,“不亚于四大发明”,这是清华大学学者冯立升的评价.他说,算筹采用的十进制位置制记数法,其中的位置制比十进制更重要,现在计算机采用的二进制就是位置制,如果没有位置制,现代数学和科学的发展是不可想象的.由此可以说,现在的计算机技术,要追根溯源,应追溯到中国古代的算筹.
【总页数】2页(P43-44)
【作者】黄家礼
【作者单位】200127 上海市浦东教育发展研究院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.四问“方程”感悟本质静待花开——观吴正宪老师“方程的认识”一课的思考[J], 林蕊馨;王岩
2.四问“方程” 感悟本质静待花开——观吴正宪老师“方程的认识”一课的思考[J], 林蕊馨;王岩;
3.基于"学习疑点"的数学拓展课的实践研究r——以"探秘循环小数"一课为例 [J], 周英
4.发现·唤醒·加工——从王德庆老师的《素材的激活》一课看作文训练的途径 [J], 徐树忠
5.让探究成为数学课堂的主旋律——观郑瑄老师执教《黄金分割》一课有感 [J], 马云飞[1]
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一元一次方程的应用——有趣的中国古代数学题PPT学习教案
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成绩辉煌的历 史
九章算术
周髀算经
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成绩辉煌的历 史
春秋时期已经出现九九乘法口诀表和 筹计算法。
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成绩辉煌的历 史
刘 徽 （ 生 于 公元250年 左右 ）
祖 冲 之 (生 于 公元429年 )
第13页/共21页
你能编一道鸡兔同笼的题吗？
今有鸡兔同笼，上有二？十a 六头， 下有七？十b 二足，问鸡兔各几何？
鸡的脑袋 + 兔的脑袋=a
鸡的脚 + 兔的脚＝b
第14页/共21页
小结与反思
本节课在你学习中感觉有 收获吗？ 老师
还有什么问题？
在学习中你觉得与同学、
老师的配合融洽吗？
你
同学
第15页/共21页
第一三个组题科：目——盈代不足数，式并记载于《九章 绳算以四绳术折测测》井之在，，先表若绳秦示将多的绳同一祖三尺一折本，个测绳中之问长。，，题绳井。多深五各尺几；何若？将
第9页/共21页
例
题 今有鸡兔同笼
上有二十六头
下有七十二足
问鸡兔各几何
（1）“上有二十六头”的意思是什么？ “下有七十二足”呢？ 鸡的脑袋＋兔的脑袋＝26 鸡的脚＋兔的脚＝72
（2）你能根据（1）中的数量关系列出方程 解决这个有趣的问题吗？
第10页/共21页
今有鸡兔同笼，上有二十六头， 下有七十二足，问鸡兔各几何？
鸡的脑袋＋兔的脑袋＝26 鸡的脚＋兔的脚＝72
解：设鸡有x只，则兔有（26-x）只, 依题意得 2x+4(26-x)＝72
x＝16 所以：26-x=10 答：鸡有16只，兔有10只.
听数学故事,探秘方程的发展
听数学故事，探秘方程的发展
两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”在此
之后，又出现了古代希腊数学家的丢番图、欧
几里得，中国数学家赵爽、张遂、杨辉等人，
他们对一元二次方程的贡献更大.
我们的祖先
还真是厉害，但
是关于算筹我还
是有点不懂啊！
听数学故事，探秘方程的发展
不止是小优，现在没有多少人知道了，
通过下面的一个例子，你就明白了.
听数学故事，探秘方程的发展
中国古代数学研究在很长一段时间里处于世界领先地位.无论在算术、代数，还是
几何、三角等领域，都做出了独特的贡献.相对而言，西方在方程上的成就要晚一些.
而在东方，除了我国，其他国家对方程的研究也紧跟在后：11世纪，阿拉伯的阿
尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根；阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方
认识方程
— 一元一次方程
方程这个词，最早见于我国古代数学专著《九章算术》.《九章算术》是迄
今为止发现的我国古代最古老的数学经典著作.书中收集了246个应用问题，分
为九章，“方程”是其中的一章.这一章提到的“方程”，是指一次方程.
听数学故事，探秘方程的发展
要了解“方程”的由来，先得从我国古代的“筹算”
它和现在的数是对应的，只是它有自己的规则：
“算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，
百位再用纵式，千位再程呢？
这要到九年级
才会学到，它是含
有一个未知数，未
知数的最高次数是
2的方程，例如：
2 − 2 − 3 = 0.
你以后会进一步学
习的.
说起.我们现在既使用拉丁字母，也使用阿拉伯数字.可
是我国的古人既不知道拉丁字母，也不认识阿拉伯数字.
认识方程评课稿（3篇）
认识方程评课稿认识方程评课稿(3篇)认识方程评课稿1今天，有幸听了汤老师的《认识方程》一课，我被深深地吸引住了。
方程，是新课标第十册第一单元的内容，是在学生已经完成整数、小数的认识及其四则计算的学习，积累了较多的数量关系的知识，并学会用字母表示数的基础上进行教学的。
方程作为一种重要的数学思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义。
同时，它也是学生进一步学习数学和其他学科的重要基础。
本课的教学目标是：1、学生在具体的情境中，理解方程的含义，初步体会等式与方程的关系；2、学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成式与方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受方程的思想方法及价值，发展抽象思维能力和符号感。
3、学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考、主动与他人合作交流等习惯，树立学好数学的自信心，产生对数学的兴趣。
汤老师对教材安排的教学内容略作调整，让我们来回顾一下整节课的结构：1、创设情境，认识等式的含义。
（用时3分钟）2、结合情境，观察探索、讨论交流认识方程的含义。
（用时16分钟）3、精心设计练习与提问，找到等式与方程的区别与联系。
（用时8分钟）4、联系生活中的数学问题，精心设计相应练习。
（用时12分钟）5、交流收获，全课小结。
（用时1分钟）在本节课的教学中，目标定位切合学生实际，灵活组合改编教材，体现了“以学生发展为本”的主导思想，体现了数学与生活的紧密联系，重点突出、层次分明，运用数学的思维方式去看待现实和日常生活的问题，学生的各种学习内驱力被激活，认知和情感得到同步发展。
全课整个教学过程自然流畅，一气呵成，用时40分钟，主要体现了以下教学特色：一、潜心钻研教材，结合现实情境灵活组合改编教材。
以熟悉的生活为起点，亲历学习的过程。
数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。
强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观等多方面得到了发展。
数学人教版七年级下册8.4阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法
一次方程组的古今表示及解法学习目标知识与技能知道古代的算筹图的含义，能将算筹图“翻译”为相应的矩阵，理解三元一次方程组的数学本质，会用3×4矩阵表示三元一次方程组，并将利用加减消元法解三元一次方程组的过程用矩阵的变换表示出来．过程与方法经历从算筹图到3×4矩阵的探究过程，掌握用3×4矩阵解三元一次方程组的基本方法，认识到数学符号的发展过程和数学知识之间的内在联系，提高用数学符号表达问题的能力．情感态度与价值观认识到矩阵作为表示三元一次方程组的合理性和价值，体会到我国古代数学的伟大成就，增强民族自豪感；在小组合作探究的过程中提高合作、交流的意识，增强数学学习的兴趣．重点本子主题的重点是理解3×4矩阵作为表示三元一次方程组的合理性和价值，理解加减消元解三元一次方程组的过程和矩阵的变换的关系．难点本子主题的难点算筹图的探秘过程，一方面算筹图中的数字表示方法与现代的数字符号不一致，另一方面课程标准中没有对解三元一次方程组提出技能上的要求．因此，这个活动主要定位为请学生理解矩阵作为表示三元一次方程组的合理性和价值，要注意给学生比较充裕的利用矩阵表示三元一次方程组的求解过程的时间，给学生小组合作的机会，以有效克服难点．教学过程活动1 探秘算筹图活动任务阅读古代算筹图解三元一次方程组的资料．活动内容第一步：提出探究任务老师通过学案向同学提供阅读材料（见媒体资源），并就提出的问题进行思考与交流：我国古代的数学著作《九章算术》中有一个题目：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共是39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共是34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共是26斗．问上，中，下等谷每束各是几斗？在九章算术中，首先将这个题目用“算筹图”表示出来：由于古代的书写习惯是从上至下，从左至右，我们把它按照现代的书写习惯改写一下就是：下面又利用算筹图解决了问题：你能读懂上面的算筹图吗？请用自己熟悉的方式将上面的过程翻译过来．第二步：自主合作探究请同学以小组为单位完成上述任务，教师巡视指导，可以提出如下建议：第一，每个人首先独立思考，记录自己的进展和困惑，然后再进行小组交流；第二，举例说明算筹图的价值，当把这个问题翻译完成后，试着将其中的方法用于另一个问题．活动组织形式本活动的组织首先由教师提出探究任务．学生在独立思考的基础上进行小组内的交流、教师进行巡视指导；最后进行集体交流，学生以组为单位汇报和交流探究的过程和结果，在讨论后由教师总结和提高．活动评价方式在完成两个活动后，从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和终结性评价，采用学生自评、互评和教师评价相结合的方式．学生根据过程性学习评价表对自己的探究过程进行自评与互评，并完成学习效果测试；教师根据学生的探究、汇报和交流的情况，参考学生的自评与互评结果，以及学生完成的学习效果测试进行评价．活动2 从算筹图到矩阵活动任务探索用矩阵的变换和行列式解二元一次方程组的方法．活动内容老师组织同学将自己思考问题的过程和结果在全班交流，并进行总结和提升，建议从如下几个方面进行总结：第一，算筹代表的数字．几条纵线就代表数字几，一条横线表示5，O表示0．第二，每个算筹图是一个矩形的数阵，称为矩阵，矩阵中的数来自相应的三元一次方程，例如：就是代表三元一次方程组：第三，算筹图的变化过程就是解三元一次方程组的消元过程，例如：对应的解三元一次方程组的消元过程就是：对应的矩阵就是：最后一个算筹图对应的三元一次方程组：相应的矩阵为：第四，与二元一次方程组类似，我们可以把一个三元一次方程组的未知量的系数和常数组成一个3×4矩阵，这个矩阵可以代表这个三元一次方程组，标准形式后用一个3×4的矩阵为：．解三元一次方程组的基本思路是消元，加减消元法对应的矩阵所作的变换叫作初等变换，包括：给某行的每个数都乘以一个不为零的数；把矩阵某行上的每个数乘以一个不为零的数，再加到另一行的对应数上．此外，矩阵的初等变换包括交换矩阵的两行，显然，这种变换得到的矩阵对应的方程组与原矩阵对应的方程组是同解的．解三元一次方程组的问题就变成了对一个矩阵进行变换的问题了．活动3 用矩阵解三元一次方程组例1 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++-11343243232z y x z y x z y x例2 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-13375122z y x z y x z y x活动4 课堂练习用矩阵解三元一次方程组活动5 课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么疑惑？课后作业：用矩阵法解三元一次方程组 书P106 2⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-12113233.1z y x z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=+-18231937213445.2z y x z y x z y x活动组织形式本活动的组织首先由教师提出探究任务．学生在独立思考的基础上进行小组内的交流、教师进行巡视指导；最后进行集体交流，学生以组为单位汇报和交流探究的过程和结果，在讨论后由教师总结和提高．活动评价方式在完成两个活动后，从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和终结性评价，采用学生自评、互评和教师评价相结合的方式．学生根据过程性学习评价表对自己的探究过程进行自评与互评，并完成学习效果测试；教师根据学生的探究、汇报和交流的情况，参考学生的自评与互评结果，以及学生完成的学习效果测试进行评价．。
探究方程名题 提升文化素养
探究方程名题提升文化素养作者：肖国胜来源：《中学教学参考·文综版》2020年第10期[摘要]古巴比伦、古埃及、古中国等都有最早的方程问题，如丢番图的墓志铭、阿尔·花拉子密的遗嘱、张遂的李白喝酒等历史名题。
探究方程的经典名题、感受悠久的历史文化、领略数学的趣味、欣赏巧妙绝伦的数学解题方法，感受数学家的人文精神，能激发学生学习动机，使其掌握数学方法、形成数学思维、提高学习效率，特别是提升数学的文化素养。
[关键词]方程;数学家;数学;文化;历史[中图分类号]G633 6 [文献标识码]A[文章编号]1674-6058（2020）30-0075-02方程是初中代数中最基本的数学知识，也是最经典的内容。
自然，一元一次方程是最古老的方程，也是最基础的方程，更是最基本的数学模型，利用一元一次方程去解决应用问题是最基本的要求。
最早的方程、丢番图的墓志铭、阿尔·花拉子密遗嘱等问题的解决都是精彩的一元一次方程题，是提高数学教学效率的重要资源。
依照自然的方法去教，知识的学习就极有可能有趣又有益。
通过体验方程中丰富、精彩的文化内涵，感受数学中令人鼓舞的人文精神，领略数学家与方程的趣闻轶事，激发学生学习动机、点燃数学思考热情的同时，也让其经历思考方程问题的挑战，促进对方程的深刻理解，掌握处理等量关系的绝巧方法。
利用这些经典名题，既增加知识的趣味性，又突显知识的历史悠久，既增强知识的价值，又体现数学方法，改善教学效果，提升文化效率。
一、欣赏最早的方程，感受历史的悠久古巴比伦的泥版书、古埃及纸草书、我国的《九章算术》上都记载着经典的方程问题。
通过对经典数学名题的学习，学生能感受一元一次方程有悠久的历史，体验一元一次方程丰富的历史文化背景，揭示方程深刻的文化内涵，体验方程的文化韵味以及价值意义。
数学文化的融入，不仅体现方程的来龙去脉，而且有了方程的典故，于是方程才有了创造的源头。
在公元前1600年左右，已经有了一元一次方程，当然也有最早的方程问题，它保存在古埃及纸草书中：它的全部，与它的七分之一，和等于19。
用二元一次方程组解决古言问题 教案2021-2022学年人教版数学七年级下册
用二元一次方程组解决古言问题教学设想本节课的内容是人教版义务教育教科书七年级下册第八章第三节实际问题与二元一次方程组第一课时用二元一次方程组解决古言问题。
生活是数学的源泉，古往今来，人们从实际生活中发现问题并解决问题，在解决问题中创造出了许多优秀的中华文化。
本节课以“从生活中来，到生活中去”的理念为设计主线，鼓励学生把所学的知识应用到自己生活中，尝试用数学思维去观察、思考、解决生活中的问题。
遵循“以学生为主体，教师为主导”的教育理念，在学习过程中引导并培养学生的数感及自我表达能力。
借助我国古代数学著作《孙子算经》、《九章算术》，向学生提供有趣并贴合实际生活的学习素材，按照学生认知发展规律来进行传统文化在数学课堂中的渗透。
同时使学生主动思考，自主探究，合作交流，联系之前所学内容，从多方面考虑来解决问题，积累解决问题的经验，掌握解决问题的策略。
使学生了解到数学中的一些重要数学思想并且了解我国古代很早的数学论著中已经涉及到先进的数学思想和方法，令人叹服。
教学实录教材分析：这节课是在前面已经学习过列一元一次方程解决实际问题的基础上进一步研究我国古代数学著作中的古言问题。
学习这节课，可让学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，它是分析和解决实际问题的思维方法。
既是前面所学知识的延伸，又是后续学习内容的重要预备知识，所以它在教材中处于非常重要的地位，起到了承上启下的作用，同时也让学生进一步了解中华传统文化在数学发展中所起的重要性。
教学目标：1、会列二元一次方程组解决古言问题，并进一步提高解决方程组的技能，逐步体会列方程组解决应用题的优越性。
2、在解决问题的过程中，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力。
感受古代数学问题的趣味性。
教学重难点：重点：让学生经历和体验将古言问题转化为二元一次方程组的过程，用二元一次方程组解决古言问题。
难点：把古言问题转化为二元一次方程组进行解决。
人教版初中数学七年级下册 阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法 省赛
第八章《阅读与思考一次方程组的古今表示及解法》教学设计固原市第六中学马月娥学法研讨、探究教学过程教学活动设计意图一、创设情境:（一）、阅读材料，了解算筹（整体计划用时2分钟）活动一：中国古代主要数学著作有哪些我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等10部算书, 被称为“算经十书”。
教师活动：提出问题，引导完善。
二、讲授新课:活动二：了解古代的计数工具算筹（整体计划用时15分钟）1、什么是算筹中国春秋时代就出现了“算筹”. 根据考古发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。
需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。
别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。
展示网络图片上的《周髀算经》、《九章算术》等我国古代数学著作使学生了解我国古代数学的伟大成就,培养学生的爱国情怀.教师结合图片向学生介绍什么是算筹和算筹的计数法,使学生明白数学的发展史.2. 算筹计数法（1）以纵横两种排列方式来表示单位数目，如下图, 其中1-5均分别以纵或横的方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的一个算筹再加下面相应的算筹来表示。
（2）表示一位数时，用纵式；表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则用“o”来表示。
这种计数法遵循十进制。
师生活动：教师演示后学生动手用算筹表示数，教师拍学生的练习图片并上传到白板，师生共同纠错达到熟练掌握用算筹表示数的目的（二）、古今一次方程组的表示及解法对比活动一：设二元一次方程组解决问題（整体计划用时5分钟）《孙子算经》卷下第31题:有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。
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［６］上海市教育委员会．上海市中小学数学课程标准（试行） ［Ｍ］．上海教育出版社，２００４．
万方数据
上海中学数学・２０１霞老师“探秘中国古代的方程＂一课
２００１２７
上海市浦东教育发展研究院
黄家礼
郑碧霞老师“探秘中国古代方程”一课，以算筹 为切人点，通过对“密码图”的猜想、探秘、破解、设 计，引导学生了解算筹的记数方法，算筹在解方程组 中的应用，同时也让学生领略到中国古代数学的辉 煌成就．整节课自然、流畅、新颖、精彩，是笔者近几 年所听的较成功的课之一． 一、内容精练经典 算筹在中国古代文明中的地位，“不亚于四大发 明”，这是清华大学学者冯立升的评价．他说，算筹采 用的十进制位置制记数法，其中的位置制比十进制 更重要，现在计算机采用的二进制就是位置制，如果 没有位置制，现代数学和科学的发展是不可想象的． 由此可以说，现在的计算机技术，要追根溯源，应追 溯到中国古代的算筹． 本节课所介绍的利用算筹解一次方程组的方 法，后被广泛流传到日本、朝鲜等东南亚国家．１６８３ 年日本学者关孝和（Ｓｅｋｉ Ｔａｋａｋａｚｕ，约１６４２～１７０８） 在《解伏题之发》首先提出了行列式等概念，多半是 受惠和借鉴《九章算术》（关于算筹解法）的影响．在 西方，形成解线性方程完整的理论，是在１８、１９世 纪．可见算筹在线性代数学中的地位． 英国史学家丹皮尔（Ｗ．Ｃ．Ｄａｍｐｉｅｒ）说：“再没 有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了．” 李文林说：“不了解数学史就不可能全面了解数学科 学．”在五千余年的数学历史长河中，重大数学思想 的诞生与发展，构成了科学史上最富有理性魅力的 题材．算筹正是其中一例． 本节课精选了有关算筹的两个内容：算筹记数 和算筹解一次方程组，两者是相互关联的．郑碧霞老 师选择这样一个经典内容，并作了很好的整合，表现 了郑老师对这一问题的思考，值得尊重和赞赏．
二、“课程化”处理适切适当 北大张顺燕老师说，目前初高等数学教育中， “常常见木不见林，细节多，思想少，见不到本质”．一 门科学的历史是那门科学中最宝贵的东西，“如果我 们不知道从哪里来，那么我们就不知道到哪里去”． 学生就“见不到数学的整体结构的和谐与一致”，看 不到数学的“全貌与美丽”，这“无助于对数学的真正 理解”，会“使学生失去对理性追求的兴趣”． 新课改提出的三类课程（基础型课程、拓展型课 程和探究型课程）结构，为弥补这个不足提供了空 间，但具体实施，对一线老师来说是一个挑战． 本节课需要对教材进行“二度开发”．上海版教 材对于算筹解决一次方程组只是点到并没有详细介 绍．笔者比较欣赏人教版的处理，人教版七下教材， 有选学内容“阅读与思考：一次方程组的古今表示及 解法”，对算筹的具体表示及解法作了介绍，而且在 七上第２８页作有铺垫．还有几套初中数学教材对算 筹只字未提，这不能不说是一个遗憾． 这样经典、深邃的内容，如何用一个课时的时间 呈现给刚学了一元一次方程组的六年级学生？这是 一个难题．这节课学生会面临诸多问题：首先，对古 代方程问题的理解，如作业单中关于“夜叉、哪吒”的 问题是什么问题？是什么意思？它与平时的数学问 题的呈现形式是不一样的，古人为什么这样表述数 学问题？其次，算筹是什么？怎样用算筹表示数？ 它与今天的记数方法有什么联系？第三，用算筹怎 样解方程组？它与今天的方法有什么关系？两千多 年来，它又是怎样发展演变的？这都是“真枪实弹” 的问题．一节课不可能一一解决，但如果能让学生知 道，在２５００多年前，中国人已能利用算筹完满地解 决一次方程组问题，能让学生理解算筹解决一次方
［１］刘胜华．天工开物２［Ｍ］．上海科学技术文献出版社，
２００６．
［２］徐品方，张红，宁锐编著．中学数学简史［Ｍ］．科学出版
社，２００７．
［３］李文林．数学史教程［Ｍ］．高等教育出版社，２０００． ［４］张顺燕编著．数学的美与理［Ｍ］．北京大学出版社，
２００４．
［５］孑Ｌ凡哲，曾峥编著．数学学习心理学［Ｍ］．北京大学出版
二、变形与运用
糕，当且仅当薯一筹时等号成立，由此可以
舢剐ａ百ｉ
候滴承）２～，ｈ一箬＋耠
２≥嵩（Ｅ
ａｉ）２㈦叫胀确，
这一命题成立后，不妨提出一个猜想：
由柯西不等式：（筹＋筹）（Ａ，＋Ａｚ）≥
下面呈现一个基本的不等式：
程组的基本方法和思路，这节课的目标就达到了．它 会为学生打开一扇窗，透过这扇窗，他们会感到还有 一个更神秘、更美妙的“世界”． 这里需要理清一条“线索”，设计“问题串”，为学 生提供一个“支架”，让他们沿着这个“支架”去自主 攀登．根据学生的认知基础，算筹是什么？算筹怎么 表示数？算筹怎么解方程组？是这节课的关键问 题．而与这三个关键问题相关联的是“密码图”，这是 古人留下的破解谜底的主要线索．郑老师围绕“密码 图”设计了四个环节：猜想、探秘、破解、设计．四个环 节紧扣主题，紧密相连，具有启发性、趣味性、层次 性、探究性，是这节课一个很好的架构． 三、教学过程自然精彩 理解“夜叉、哪吒”问题，主要需要语文学科知 识，被安排在课前由学生自行解决．算筹是什么，算 筹怎么表示数的问题，则通过观看视频解决．关键是 用算筹解一次方程组，这需要学生理解密码图．这里 有计算，有推理，有表达形式上的差异．通过将密码 图译成数字图再对应方程，一条思路便清晰起来．虽 然学生探究并不顺利，但所走的弯路是必须的、有效 的、精彩的和有价值的． 纵观教学全过程，无论是猜想、探秘，还是破解、 设计，都是在预设中由学生自主完成，整个教学活动 通过师生之间、学生之间的积极交往和互动，通过学 生的操作、交流、思考，形成连续不断的自主建构过
程．同时由于问题本身的趣味性、挑战性，学生表现 出浓厚的兴趣，成功的体验更使他们充满自信，在被 中国古代数学的辉煌成就所吸引、所感染的同时，实 现数学情感的升华． 根据数学学习的三个阶段：输入阶段（猜想）、新 旧知识相互作用阶段（探秘、破解）和操作应用阶段 （设计），无论是激趣还是设疑，郑老师都充分考虑了 学生的认知基础，保证在学生的最近发展区内，学生 有兴趣、能理解、可接受、能解决．《上海市中小学数 学课程标准》指出：“数学教学的设计和实施方式，要 由‘重教’转为‘重学’，由‘强制学生适合教学’转为 ‘创造适合学生的教学’．达到‘教’为‘学’服务，促使 学生‘爱学’、‘会学’和‘会思考’．”郑老师的这节课 做到了． 参考文献
１ １
Ａ：∈Ｒ十）
设ａ。＞ｏ（１≤ｉ囟≤行，１《≤ｍ），若ａｊ（１勺≤优）， 且ｄ。４－ａ。＋…＋ａ。一１，则Ⅱ（∑％）’≥∑嘞’．
显然，当这个不等式只有两项，即当÷＋三一１
ｐ ｑ
这便是众所周知的柯西不等式的变形，证明过
时，（ａ－ｏｐ＋一彳＋…＋．ｒ：）古（ｙｇ＋ｙ７＋…＋Ｙ：）寺≥ｚ。Ｙ。 ＋∞ｙ１＋…＋Ｌｙ。，当ａ１一ａ２时即为（Ｃａｕｃｈｙ）不等 式，从中可以看到Ｃａｕｃｈｙ不等式是Ｈｏｌｄｅｒ不等式 的特殊情况．
［４］张顺燕．关于数学教学的若干认识［Ｊ］．数学教育学报，
２００４，１．
Ｅｓ］李文林．数学史教程［Ｍ］．高等教育出版社，２０００．
万方数据
上海中学数学・２０１４年第５期
赫尔德不等式的推论变形与运用
２００１３６
复旦大学附属中学
黄立羽
一、引式：赫尔德不等式
暑２＋象２≥糕（ｍＡｌ，ａ２
程如下：
Ｊ一１ ｉ＝１ ｉ一１
越２５００多年的古今“对话” 参考文献
［１］上海市教育委员会．上海市中小学数学课程标准（试行）
［Ｍ］．上海教育出版社，２００４． ［２］上海中小学课程教材改革委员会．上海市中小学拓展型
课程指导纲要［Ｍ］．上海教育出版社，２００６． ［３］王擎天．越玩越聪明的孙子算经［Ｍ］．中国纺织出版社，
２００９．