专题：二次函数零点分布
二次函数的零点分布问题
二次函数作为一种基本的数学工具，在物理学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。未来，我 们将探索如何将二次函数零点分布的研究成果应用于这些领域，推动相关学科的发展。
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二次函数的零点分布问
contents
目录
• 引言 • 二次函数零点存在性定理 • 二次函数零点个数判断方法 • 二次函数零点分布规律探讨 • 典型案例分析与应用举例 • 总结与展望
01 引言
二次函数定义与性质
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b,
c$ 为常数，$a neq 0$。
零点的意义
零点是函数图像与 $x$ 轴交点的横坐 标，决定了函数图像在 $x$ 轴上的位 置。
研究目的和意义
研究目的
通过探讨二次函数的零点分布问题，可以深入理解二次函数的性质及其与一元二次方程 的关系，为解决实际问题提供理论支持。
研究意义
二次函数作为一种基本的数学模型，在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。研究二次函数的零 点分布问题，不仅有助于完善数学理论体系，还能为解决实际问题提供有效的数学工具。例如，在控制论中， 通过分析二次函数的零点分布可以判断系统的稳定性；在经济学中，可以利用二次函数模型分析市场供需关
迭代法收敛性
牛顿迭代法具有平方收敛速度，即每一步迭代后误差减少为上一步误差 的平方。但在某些情况下，如初始值选取不当或函数性质不满足要求时， 迭代法可能不收敛。
03 二次函数零点个数判断方 法
图像法
01
观察二次函数图像与x轴的交点个 数，交点个数即为零点个数。
02
二次函数的零点知识点高一
二次函数的零点知识点高一二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学课程中较为复杂的内容之一。
其中，二次函数的零点是学习二次函数的基础知识点之一。
本文将从定义、性质、求解等多个方面来探讨二次函数的零点知识点。
定义：二次函数是一种形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。
这个函数的图像是一条抛物线，开口的方向取决于a的正负。
零点（或者称为根）是指函数的值为0的点，即f(x) = 0的解。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，求解零点就是要找到使得f(x) = 0的x的值。
性质：1. 零点的个数：二次函数一般有零点，但它的零点个数取决于判别式Δ = b^2 - 4ac 的值。
当Δ > 0时，有两个不相等的实根；当Δ = 0时，有两个相等的实根；当Δ < 0时，没有实根，但存在两个虚根。
这个性质也反映了二次函数图像与x轴的相交情况。
2. 零点的对称性：对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的零点x1和x2满足x1 + x2 = -b/a，即两个零点的和与二次项系数a的比值为负。
这个性质称为二次函数零点的对称性，也可通过抛物线的轴对称性来解释。
求解方法：1. 因式分解法：如果二次函数能够被因式分解，即能写成f(x) = a(x - r)(x - s)的形式，其中r和s为实数，那么它的零点就是x = r和x = s。
2. 公式法：二次函数的根可以通过求解一元二次方程得出。
根据根的公式x = (-b±√Δ)/(2a)，其中±表示取加减两种解，Δ = b^2 - 4ac为判别式。
通过这个公式，可以求出二次函数的零点。
3. 完全平方法：对于一些特殊的二次函数，可以利用完全平方公式将其转化为平方的形式。
例如，f(x) = (x - 3)^2 - 4的零点可以通过x - 3 = ±√4转化为求解一次方程的问题。
二次函数零点分布
∆ ≥ 0 b x1 + x2 = − < 0 a c x1 x2 = a > 0
3、一正一负 、
f ( x) = ax + bx + c = 0
2
∆ > 0 c x1x 2 = < 0 a
4、有一个根为零
f ( x) = ax + bx + c = 0
应用举例 例2 2 已知的 x + (m − 3) x + 7 − m = 0 两根都比3大 的范围。 两根都比 大，求m的范围。 的范围
应用举例 例3 一个三角形的两边是方程的
x + px + 1 = 0
2
两根，第三边是 ， 两根，第三边是2，求P的 的 取值范围。 取值范围。
例4.若方程 ax − x − 1 = 0 若方程
f ( x) = ax + bx + c
2
(a > 0)
∆ > 0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) < 0 f ( k3 ) > 0
7、方程有两个根
x1 < x 2 < k
2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
∆ > 0 b <k − 2a f (k ) > 0
8、方程有两个根
x1 < k < x 2
f ( x) = ax + bx + c (a > 0)
2
∆ > 0 f (k ) < 0
9、方程有两个根
k1 < x1 < x 2 < k 2
二次函数的零点分布问题
判别式
判别式 Δ=b²-4ac 是用来判断二次函数的零点情况的重要指标。当 Δ 大于零时，函数有两个不同的实数 零点；当 Δ 等于零时，函数有一个重复的实数零点；当 Δ 小于零时，函数没有实数零点。
零点公式
二次函数的零点公式 x1=(-b+√Δ)/(2a) 和 x2=(-b-√Δ)/(2a) 可以用来计算函数的零点。根据判别式的值， 可以得到不同的零点情况。
讨论 a 的正负和 Δ 的值
当 a>0 时，抛物线开口朝上，函数的图像在顶点处达到最小值；当 a<0 时， 抛物线开口朝下，函数的图像在顶点处达到最大值。Δ 的正负值决定了函数 的零点分布情况。
描绘二次函数的图像
根据基本形式、判别式和零点公式，可以绘制出二次函数的图像。通过图像 可以直观地了解函数的开口方向、顶点位置和零点分布情况。
练习题与解答
为了加深对二次函数的理解，可以尝试解答一些练习题。提供了答案，可以用于自我检查和学习进展的 评估。
二次函数的零点分布问题
通过对比一次函数和二次函数的基本形式、判别式以及零点公式，讨论二次 函数的零点分布情况，并描绘其图像。最后提供练习题与解答。
一次函数与二次函数的对比
一次函数表现为直线，具有线性关系；二次函数则是抛物线，具有非线性关 系，拥有顶点。它们在形状、图像和性质上有明显差异。
基本形式
高中数学课件-二次函数零点分布
已知f (x)是R上的偶，且当x 0时，f (x) x2 6x 4, 则y [ f (x)]2 f (x) 30的零点个数为_________.
2、f
(x)
log 5 (1 x) ,
(x
2) 2
x 2, x
1
, 1
则f
(
f
(x))
1的实根个数为_______.
f
(
x)
e
x1
x2
,
2x
1,
x 0，方程f 2 (x) bf (x) 2 0有8个相异的实根， x0
Hale Waihona Puke 则b的取值范围_________.
解得-
19 13
m
0
跟踪训练：1已知二次函数f x＝x2 2ax 4， 一个零点在 0,1内，另一个零点在 6, 8 内，
求实数a的取值范围．
2若函数f x＝－x＋b的零点在区间1, 2内，
求b的取值范围。
• 分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0， • (1)有两个负根； • (2)有两个实根，且一根比2大，另一根比2小； • (3)有两个实根，且都比1大．
二次函数零点分布 与二次方程根的分布
例4.关于x的方程mx2 +2(m 3)x 2m 14=0有两 实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
解：令f x mx2 2m 3 x 2m 14
依题意有mf 40
或 0
m 0
f
4
0
即2m6m0
38
或 0
m 0 26m
38
0
解：(1)方法一 (方程思想)
设方程的两个根为 x1，x2，则有两个负根的
二次函数零点分布情况
二次函数零点分布情况二次函数是代数学中重要的一种函数类型。
它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不为零。
二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线，而与二次函数相关联的一个重要概念就是零点。
零点，也称为根或解，指的是使得函数取值为零的x值。
对于二次函数来说，求解零点的方法比较简单，有一条通用的公式可以使用。
给定一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其零点可以通过解以下的二次方程得到：ax^2 + bx + c = 0二次方程的解可以通过求解下面的一元二次方程公式得到：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)根据这个公式，我们可以得到一些关于二次函数零点分布情况的结论。
1.零点的数量：根据一元二次方程的解的公式，零点的数量取决于判别式的值，即(b^2-4ac)的正负性。
如果判别式大于零，方程有两个不同的实数根；如果判别式等于零，方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，方程没有实数根，但可能有两个复数根。
2.对称性：二次函数的零点也与其图像的对称性有关。
由于二次函数是关于抛物线的对称轴对称的，所以如果一个根为x，则对称轴上的距离为2x的点也是零点。
换句话说，如果(x1,0)是函数图像上的一个零点，那么对称轴上的点(-x1,0)也是零点。
3.零点位置与抛物线开口方向的关系：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
如果a大于零，抛物线开口向上，此时函数图像的最低点就是零点的位置；如果a小于零，抛物线开口向下，此时函数图像的最高点就是零点的位置。
4.零点的分布情况：二次函数的零点的分布情况也与判别式的值有关。
如果判别式大于零，说明方程有两个不同的实数根，这意味着抛物线与x轴相交于两个不同的点；如果判别式等于零，说明方程有两个相等的实数根，这意味着抛物线与x轴相切于一个点；如果判别式小于零，说明方程没有实数根，这意味着抛物线与x轴没有交点。
在解析几何中，二次函数的零点也被称为方程与坐标轴的交点。
二次函数零点分布
一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、 回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、 思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
二次函数的零点公式
二次函数的零点公式二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和其他科学领域中有着广泛的应用。
零点公式是求解二次函数零点的一种方法，也是解二次方程的基本工具。
本文将介绍二次函数的零点公式及其应用。
二次函数是一个一般形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
根据一元二次方程的定义，我们可以将二次函数表示成方程ax^2 + bx + c = 0的形式。
为了求出二次方程的解，我们可以使用零点公式，也称为一元二次方程的求根公式。
零点公式表达为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a。
其中，±表示正负两个解，√表示求平方根。
这个公式是通过配方法和求解一元二次方程得到的。
通过将二次函数设置为0并运用零点公式，我们可以有效地求出二次函数的零点。
在使用零点公式时，我们需要注意以下几点：1. 判别式：方程的判别式是针对二次方程的(b^2 - 4ac)部分的值进行判断。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程没有实根，但存在两个共轭复数根。
2. 实根和虚根：根据判别式的值，我们可以确定方程的解的性质。
如果判别式大于0，方程有两个不相等的实根；如果判别式等于0，方程有两个相等的实根；如果判别式小于0，方程没有实根，但存在两个共轭复数根。
通过以上的阐述，我们了解了二次函数的零点公式及其相关概念。
接下来，我们将介绍一些示例问题，以展示零点公式的实际应用。
示例一：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0。
根据零点公式，我们有x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得到x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4。
化简得到x = (-5 ± √49) / 4。
进一步计算可得到x = (-5 ± 7) / 4。
二次函数的零点问题
二次函数在给定区间上的零点分布一学习目标：学会如何通过研究函数的图象确定二次函数在给定区间上的零点分布.二 知识点精讲一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。
这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。
函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0若y =f (x )与y =g (x )有交点(0x ，0y )⇔()f x =()g x 有解0x 。
下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。
1．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤．1方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个正根：01>x ，02>x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩推论：01>x ，02>x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到．2方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个负根：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b 推论：01<x ，02<x⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性．3方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个异号根：210x x <<⇔0<ac ．4 ○1方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个正根：01=x ，02>x ⇔0=c 且0<ab ； （2）方程02=++c bx ax （0≠a ）有一个零根，一个负根：01<x ，02=x ⇔0=c 且0>a b ．2．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。
二次函数零点分布
二次函数零点分布 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学重点根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。
教学难点体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。
教学过程一、 探究二次函数零点分布的要素1、回想：方程0)3(2=+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。
2、思考：函数2)3()(2+-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。
若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。
3.探究：二次函数零点分布的要素二、例题讲解例1函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x例2函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围【总结】一元二次函数两个零点均在一个区间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。
这类问题要考虑哪些因素。
【练习2】12)(2++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a范围【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围例3函数a x a x x f +-+=)3()(2有两个零点21,x x ，且0,021><x x ，求a范围【总结】一元二次函数两个零点在不同区间，这一类问题需要考虑哪些因素，为什么？【练习3】例3中条件改成1,121><x x【变式1】12-)(2++=ax x x f 的两个零点有1,121><x x ，求a 范围。
研究二次函数的零点与极值
研究二次函数的零点与极值二次函数是一类形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b,c$为实数且$a\neq0$，而且$a$的正负与$a$所对应的二次函数的开口方向有关。
在研究二次函数时，我们常常关注它的零点与极值，这些信息对于描绘二次函数的图像以及分析其性质都具有重要作用。
本文将详细讨论二次函数的零点与极值，并介绍求解零点和极值的方法。
一、二次函数的零点二次函数的零点即为函数在横轴上的交点，也就是满足$f(x) = 0$的$x$值。
下面介绍求解二次函数零点的一般步骤和方法。
步骤一：将二次函数$f(x)$置零，得到方程$ax^2 + bx + c = 0$。
步骤二：根据一元二次方程的特性，可通过求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$求解方程，其中$\pm$表示两个不同的根。
特别地，当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有且仅有一个实根；当$b^2 -4ac < 0$时，方程没有实根，但有两个虚根；当$b^2 - 4ac > 0$时，方程有两个不同的实根。
步骤三：使用求根公式求得根的数值，并作为二次函数的零点。
除了求根公式，我们还可以通过图像法来求解二次函数的零点。
通过绘制二次函数的图像，我们可以观察函数与横轴的交点位置，从而得到零点的近似值。
二、二次函数的极值二次函数的极值即为在定义域上的最大值或最小值。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，其极值与开口方向有关。
当$a > 0$时，二次函数开口向上，在抛物线的顶点处取得最小值；当$a < 0$时，二次函数开口向下，在抛物线的顶点处取得最大值。
求解二次函数的极值可通过下面的步骤和方法。
步骤一：通过配方或其他方法将二次函数转化为顶点形式：$f(x) = a(x-h)^2 + k$。
步骤二：根据定义域的不同，分情况讨论极值位置。
二次函数的零点分布
二次函数的零点分布一、基础知识1．零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足f(a)f(b）＜0；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当c 在（a,b ）内且f(c)=0存在唯一零点。
2．函数265y x x =-+的零点为1,53．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系：若0∆>，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有2个零点若0∆=，则方程20ax bx c ++=有2根，函数2y ax bx c =++有1个零点若0∆<，则方程20ax bx c ++=有0根，函数2y ax bx c =++有0个零点二、例题讲解例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围变式6：函数29y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是()A (－∞,2]B [－2,2]C (－2,2]D (－∞,－2)例3：已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在；(2)当[2,2]2a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；（3）22a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4故－7≤a ＜－4综上，得－7≤a ≤2例4：是否存在这样的实数k，使得关于x 的方程x 2+（2k－3）x －（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.解：令2()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到2(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即24501313722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解即不存在满足条件的k 值.例5：已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．解：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况：①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根，令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =．当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点．当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点．②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤．③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例6：已知二次函数2()163f x x x q =-++：⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。
二次函数零点分布问题.docx
二次函数零点分布问题二次函数零点分布问题二次函数作为数学中重要的函数之一，其零点分布问题一直是数学研究的热点之一。
通过探究二次函数的零点分布情况，我们可以进一步了解函数图像特征和函数解析式的关系，为解决实际问题提供了有力的数学工具。
本文将从二次函数零点分布的定义、特性及应用等方面进行探讨。
一、二次函数零点分布的定义二次函数可用一般式表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表常数，且a≠0。
二次函数的零点，即函数f(x)在x 轴上的交点，是指使得f(x) = 0的x值。
零点分布问题旨在研究二次函数的零点在数轴上的位置及个数。
二、二次函数零点分布的特性1. 零点个数：根据二次函数的解析式，在a≠0的前提下，二次函数的零点个数最多为2个。
当函数的判别式Δ=b^2-4ac＞0时，二次函数有两个不相等实数根；当Δ=0时，二次函数有两个相等的实数根；当Δ＜0时，二次函数没有实数根。
2. 零点位置：根据二次函数的对称性可知，二次函数的零点位于其对称轴上，即x = -b/2a。
3. 零点分布规律：当a＞0时，即二次函数开口向上时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的两侧；当a＜0时，即二次函数开口向下时，如果函数有两个零点，那么这两个零点将分别位于对称轴的同一侧。
三、二次函数零点分布的应用1. 几何应用：通过对二次函数零点分布规律的研究，我们能够更好地理解抛物线的特性。
在绘制抛物线图形时，我们可以准确地确定抛物线在坐标系中的位置，从而更好地进行几何推导和计算。
2. 物理应用：二次函数的零点分布问题在物理学中也有广泛的应用。
例如，对于运动学中的抛体运动问题，通过研究抛体的轨迹方程，我们可以通过零点分布来确定抛体的高度、时间、速度等物理量。
3. 经济应用：二次函数零点分布问题在经济学领域中也有一定的应用。
例如，通过对二次函数零点的研究，可以确定成本、收益、利润等经济指标在不同条件下的变化趋势，为经济决策提供数学支持。
专题：二次函数零点分布
数形结合思 想应用
f ( x) ax2 bx c(a 0)
11
k1 x1 k2 x2 k3 9、方程的两个根满足：
0 af ( k ) 0 1 af ( k 2 ) 0 af ( k 3 ) 0
数形结合思 想应用
例题解析 例2:若关于x的方程 3 x 2 5 x a 0 一个根大 于－2而小于0，另一个根大于1而小于3，求a的 范围。
想应用
练习
1：当a为何值时，函数y 7 x 2 (a 13) x a 2 a 2
14
的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1, 2)上？
2：求实数m的取值范围，使关于x的方程x 2 mx 3 0 有两个大于1的实数根？
练习 3:一个三角形的两边是方程 x px 1 0 的两根，第三边是2，求p的取值范围。
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
二次函数零点分布
(一元二次方程根的分布)
数形结合思想应用
f ( x) ax 2 bx c(a 0)
2
1、方程有两个正根
0 b x x 0 1 2 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
7
6、方程的两个根满足 x1 x2 k
0 b k 2a af ( k ) 0
数形结合思 想应用
例题解析 例1:已知 x 2 (m 3) x 7 m 0 的两根都比3 大，求m的范围。
8
f ( x) ax2 bx c(a 0)
16
12
f ( x) ax2 bx c(a 0)
203专题--二次函数零点分布
1、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.小结：，方程有2个实根；，方程有1个实根；，方程无实根.2、若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。
0<<12、若关于x的方程有实根，则 。
2、若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。
0<<1小结：，(两个正根)3、一元二次方程的两根都是负数，求的取值范围。
（或k>3）3、一元二次方程有两个负实根，求实数的取值范围.3、一元二次方程有两个负根，求k的取值范围小结：，4、在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？分析：依题意有<0=>0<<34、若关于的方程有一正根和一负根，则．小结：5、若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？分析：由已知－3=0，∴=3，代入原方程得3+5=0，另一根为负。
小结：①，且且；②，且且6、已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。
（）6、若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。
（）6、方程的两根均大于1，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿。
6、方程==0(>0)的两个根都大于1的充要条件是( )A、△≥0且(1)>0B、(1)>0且－>2C、△≥0且－>2，>1D、△≥0且(1)>0，－>2小结：7、若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。
（）小结：。
8、已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围.8、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是______8、取何值时，方程的一根大于，一根小于．小结：推论：。
9、已知方程仅有一实根在0和1之间，求的取值范围. （）9、已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。
变式：改为较小实根 （不可能；）小结：有且仅有(或).考虑端点，验证端点.10、实数a在什么范围内取值时，关于x的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于310、若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。
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想应用
练习
1：当a为何值时，函数y 7 x 2 (a 13) x a 2 a 2
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的一个零点在区间(0,1)上，另一个零点在区间(1, 2)上？
2：求实数m的取值范围，使关于x的方程x 2 mx 3 0 有两个大于1的实数根？
练习 3:一个三角形的两边是方程 x px 1 0 的两根，第三边是2，求p的取值范围。
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7、方程的两个根满足 x1 k x2
0 af ( k ) 0
数形结合思 想应用
f ( x) ax2 bx c(a 0)
10
8、方程有两个根 k1 x1 x2 k2
0 af ( k ) 0 1 af ( k 2 ) 0 k b k 1 2 2a
3
2、方程有两个负根
0 b x1 x 2 0 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
4
3、方程有一个根为零
C＝0
f ( x) ax2 bx c(a 0)
5
4、方程有一正一负两个根
数形结合思 想应用
f ( x) ax2 bx c(a 0)
11
k1 x1 k2 x2 k3 9、方程的两个根满足：
0 af ( k ) 0 1 af ( k 2 ) 0 af ( k 3 ) 0
数形结合思 想应用
例题解析 例2:若关于x的方程 3 x 2 5 x a 0 一个根大 于－2而小于0，另一个根大于1而小于3，求a的 范围。
7
6、方程的两个根满足 x1 x2 k
0 b k 2a af ( k ) 0
数形结合思 想应用
例题解析 例1:已知 x 2 (m 3) x 7 m 0 的两根都比3 大，求m的范围。
8
f ( x) ax2 bx c(a 0)
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
二次函数零点分布
(一元二次方程根的分布)
数形结合思想应用
f ( x) ax 2 bx c(a 0)
2
1、方程有两个正根
0 b x x 0 1 2 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
16
12
f ( x) ax2 bx c(a 0)
13
10、方程在(k1,k2)上只有一个根
0 k b k 或 f ( k1 ) f ( k 2 ) 0 1 2 2a 0 0 b b k k k k2 1 1 2 2 a 2 a 或 或 f ( k ) 0 f (k2 ) 0 1 af ( k ) 0 af ( k ) 0 数形结合思 2 1
2
15
ax) l g( ax2 ) 4 4:若关于x的方程 l g( 的所有解都大于1，求实数a的取值范围。
练习 5:关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一个实 数解，求实数k的取值范围 。
6.已知a为实数，f ( x) 2ax 2 2 x a 3, 如果函数y f ( x) 在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围。
0 c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)
6
5、两根一正、一负且负的绝对值大
0 b x1 x 2 0 a c x x 0 1 2 a
f ( x) ax2 bx c(a 0)