专题2.3 函数的单调性与最值(预测)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质(单调性、最值、奇偶性、周期性)(学生版)
江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性、周期性）填空题1 ．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）函数ln ,(0,)y x x x =-∈+∞的单调递减区间为________.2 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）若函数52++=x mx y 在[2,)-+∞上是增函数,则m 的取值范围是____________.3 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）函数))(1()(a x x x f +-=为奇函数,则)(x f 的减区间为______________.4 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ,都有2]1)([=-x x f f , 则)51(f 的值是____________.5 ．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）函数xx y +-=11的单调递减区间为__________________. 6 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）已知函数f (x )=⎩⎨⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x ＞0是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是_______.7 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））函数2()||f x x x t =+-在区间[-1,2]上最大值为4,则实数t=____________________.8 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））给定函数①1y x -=,②121(1),y og x =+③|1|,y x =-④12,x y +=其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号为______________________________.9 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5均不小于1，且x 1·x 2·x 3·x 4·x 5=729，则max{x 1x 2，x 2x 3，x 3x 4，x 4x 5}的最小值是 ▲ ．10．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知定义在R 上的奇函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，若0)21(=f ，△ABC 的内角A 满足0)(cos <A f ，则A 的取值范围是11．（2010年高考（江苏））设函数f(x)=x(e x +ae -x ),x ∈R,是偶函数,则实数a =________________ 12．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）1()21x f x a =--是定义在(,1][1,)-∞-+∞上的奇函数, 则()f x 的值域为________._13．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）设f (x )奇函数,当0x ≥时, f (x )=2x -x 2,若函数f (x )(x ∈[a ,b ])的值域为[1b ,1a],则b 的最小值为____. 14．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）下列函数为奇数函数的是_______.①.2x y = ; ②3x y =;③ x y 2=;④ x y 2log =.15．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）若函数()f x =是偶函数,则实数a 的值为 ________.16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知2234,0(),0x x x f x ax bx x ⎧-≥⎪⎨+<⎪⎩为偶函数,则ab=______________________.17．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎨⎧3x －1，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (2013)=________.18．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()13log )12a x f x x a =+++-(0,1a a >≠),如果()3log 5fb =(0,1b b >≠),那么13log f b ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是______.19．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数,直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交 于四个不同点A ,B ,C ,D .若AB BC =,则实数t 的值为______.20．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(a)>f(b), 则f(-a)_________ f(-b)(填“>”或:“<”)21．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）定义在R 上的函数()f x ,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=,当(2,0)x ∈- 时,()4x f x =,则(2013)f =________.解答题22．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）求函数y .江苏省2014届一轮复习数学试题选编3：函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性、周期性）参考答案 填空题1. (0,1)2.410≤≤m 3. 11[,]22- 4. 65. ),1(),1,(+∞---∞6. [12,1)7. 2或1548. ①②③9. 910. ),32()2,3(ππππ ． 11. —1 12. 3113[,)(,]2222-- 13. 1- 14. ②15. 2 ;16. 1217. -1318. 3- .19. 74- 20. <21.答案:14. 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用.解答题22.因为22y =≤22[1][12]33x x +-++=⨯∴y ≤3 ,= “=”号,即当0x =时,max 3y =。
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
专题02 函数-2014年高考数学(理)试题分类解析(教师版)
目录专题21 函数及其表示 ............................................................................................................................................ 1 专题22 函数的定义域与值域 ................................................................................................................................ 1 专题23 函数的单调性与最值 ................................................................................................................................ 2 专题24 函数的奇偶性与周期性 ............................................................................................................................ 4 专题25 二次函数与幂函数 .................................................................................................................................... 6 专题26 对数与对数函数 ........................................................................................................................................ 7 专题27 函数的图象 ................................................................................................................................................ 8 专题28 函数与方程 .............................................................................................................................................. 10 专题29 分段函数 ................................................................................................................................................... 11 专题210 新定义函数 .. (13)专题21 函数及其表示1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B 23 C 0 D 21- 【答案】A 【曹亚云·解析】231717()()sin 666f f πππ=+ 111117()sin sin 666f πππ=++ 551117()sin sin sin 6666f ππππ=+++ 0sin sin sin 666πππ=+-+ 12=2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A 1B 2C 3D -1 【答案】A【曹亚云·解析】()()11f g = |(1)|51g ⇒= ()10g ⇒= 10a ⇒-= 1a ⇒=专题22 函数的定义域与值域3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A )1,0(B ]1,0[C ),1()0,(+∞-∞D ),1[]0,(+∞-∞【答案】C 【曹亚云·解析】20x x ->，10x x ∴><或所以选C4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ）A B C D【答案】C【曹亚云·解析】()22log 10x ->2log 1x ⇒>或2log 1x <-，解得 2x >或102x ∴<>专题23 函数的单调性与最值5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ 【答案】A【曹亚云·解析】因为函数y =[1,)-+∞ 上单调递增，所以选项A 正确；因为函数2(1)y x =-在区间(,1)-∞ 上单调递减，在区间[1,)+∞ 上单调递增，所以选项B 错误；因为函数2x y -=在区间(,)-∞+∞ 上单调递减，所以选项C 错误； 因为函数0.5log (1)y x =+在区间(1,)-+∞ 上单调递减，所以选项D 错误；“高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入“高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）1)(log 1)(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞ABCD【答案】B【曹亚云·解析】由图可知，log 31a = ，所以3a =因为3xy -= 在R 上是减函数，所以选项A 错误； 因为33()y x x =-=-在R 上是减函数，所以选项C 错误； 因为3log ()y x =-在(,0)-∞ 上是减函数，所以选项D 错误；7【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D【曹亚云·解析】A 选项：由()()12f x y x y +=+，()()111222()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以B 错误；C 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数；D 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y xy f x f y =⋅=，得()()()f x y f x f y +=，所以D 正确为助力学生学习，特为学生提供打印纸质文档服务，A4纸每页01元，可提供“百度文库”或“中学学科网”下载后打印服务，可包邮。
函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（3）记住几条常用的结论：
①若()是增函数，则−()为减函数；若()是减函数，则−()为增函数；
2
注意：关于①式，可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ )．
+1
−
偶函数：①函数() = ±( + )．
②函数() = log ( + 1) − ．
2
③函数(| |)类型的一切函数．
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是（
− 2
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f ( x)为偶函数
（2）若函数 = ( + )为奇函数，则函数 = ()关于点(, 0)对称．
（3）若() = (2 − )，则函数()关于 = 对称．
（4）若 + (2 − ) = 2，则函数()关于点(, )对称．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增（或减）函数，则在()和()的公共定义域上() +
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第二节 函数的单调性与最值(课件)
(2)需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子 区间上也单调．
(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的 取值.
答案：D
答案：D
答案：D
(－2，1)
解析：根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数． ∴2－x2>x，∴－2<x<1.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值)．
× √
× ×
√
答案：A
答案：B
(三)易错易混 4．(忽视函数的定义域出错)函数f(x)＝ln (4＋3x－x2)的单调递减区间
是________．
5．(忘记函数的单调区间出错)已知函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上 的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是_[_－_1_，__1_) _．
第二节 函数的单调性与最值
必备知识—基础落实 微专题
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2．会运用基本初等函数图象分析函数的单调性．
考向预测·
考情分析：以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间 及函数最值的确定与应用，其中函数单调性及应用仍是高考考查的热 点，题型多以选择题为主，属中档题．
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函 数f(x)在区间D上是
_减__函__数___
图象描述
自左向右看图象是 __上__升__的__
自左向右看图象是 __下__降_的___
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是__增_函__数___或_减__函__数___，则称函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的_单__调__区_间__． (3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当_f_′(_x_)>_0___时，f(x)在区间D上为 增函数；当___f_′(_x)_<_0_时，f(x)在区间D上为减函数．
高考数学复习 专题02 函数与导数 函数的单调性与最值备考策略-人教版高三全册数学素材
函数的单调性与最值备考策略主标题：函数的单调性与最值备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：函数，单调性，最值，备考策略 难度：3 重要程度：5 内容考点一 确定函数的单调性或单调区间【例1】 (1)判断函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，＋∞)上的单调性． (2)求函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调区间．解 (1)法一 任意取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋kx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 1－k x 2＝(x 1－x 2)＋k x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k x 1x 2.当k ≥x 1＞x 2＞0时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＜0， 有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数； 当x 1＞x 2≥k 时，x 1－x 2＞0,1－kx 1x 2＞0， 有f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，此时，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在[k ，＋∞)上为增函数；综上可知，函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝1－k x 2，令f ′(x )＞0，则1－k x2＞0， 解得x ＞k 或x ＜－k (舍)．令f ′(x )＜0，则1－k x2＜0，解得－k ＜x ＜k .∵x ＞0，∴0＜x ＜k .∴f (x )在(0，k )上为减函数；在(k ，＋∞)上为增函数， 也称为f (x )在(0，k ]上为减函数；在[k ，＋∞)上为增函数．(2)令u ＝x 2－4x ＋3，原函数可以看作y ＝log 13u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．令u ＝x 2－4x ＋3＞0.则x ＜1或x ＞3. ∴函数y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．而函数y ＝log 13u 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝log 13(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．【备考策略】(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．考点二 利用单调性求参数【例2】 已知函数f (x )＝ax －1x ＋1. (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减．(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2x 1＋1x 2＋1.∵(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0， ∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递减． (2)解 法一 f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1<x 2<－1， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1 ＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝a ＋1x 1－x 2x 1＋1x 2＋1，又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，∴x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， ∴a ＋1<0，即a <－1.故a 的取值范围是(－∞，－1)． 法二 由f (x )＝ax －1x ＋1，得f ′(x )＝a ＋1x ＋12，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f ′(x )＝a ＋1x ＋12≤0在x ∈(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而a ＝－1时，f (x )＝－1，在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1)．【备考策略】利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．考点三 利用函数的单调性求最值【例3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．审题路线 (1)当a ＝12时，f (x )为具体函数→求出f (x )的单调性，利用单调性求最值．(2)当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＞0恒成立→转化为x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 22x 1x 2－12x 1x 2， ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1x 2＞1，∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－x 2＋2x ，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减，∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3. ∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 【备考策略】求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．。
2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数基本性质
2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）---函数基本性质一．【课标要求】1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．【命题走向】从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索预测2010年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点 三．【要点精讲】1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数 （3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.2函数的单调性与最值文档专练 文
§2.2 函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 2．结论M 为最大值1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( √ )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数． ( × )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( √ ) 2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)， 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增．3．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围，再利用充要条件的定义进行判断． 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示；当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示．所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增”的充要条件．4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________．答案 43，1解析 f (x )＝2x x ＋1＝2(x ＋1)－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.5．函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为________．答案 (1，＋∞)解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为(－∞，12)∪(1，＋∞)．令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝log 21t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调增区间为(1，＋∞)．又y ＝log 21t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝log 21(2x 2－3x ＋1)的单调减区间为(1，＋∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性．思维启迪 可根据定义，先设－1<x 1<x 2<1，然后作差、变形、定号、判断． 解 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2(x 21－1)(x 22－1)＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0.又∵a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴函数f (x )在(－1,1)上为减函数．思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．(1)证明 设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．(2)解 令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数． 由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－14 B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．答案 (1)D (2)[32，2)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得0>a ≥－14.综合上述得－14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0a >1(2－a )×1＋1≤a， 解得32≤a <2，∴a 的取值范围是[32，2)．思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3 (2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由函数在(－1，＋∞)上单调递增，有⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0a ＋2≤－1，解得a ≤－3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2.解得4≤a <8，故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(3)用函数的单调性即可求最值． (1)解 令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)解 ∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f (x 1)f (x 2)与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；(2)利用函数单调性可以求函数最值，若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最小值是f (a )，最大值是f (b )．(1)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x－1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1(2)函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在[12，＋∞)上单调递增，故f (x )在(－∞，12]上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. (2)易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. ∴a ＋b ＝6.函数单调性的应用典例：(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．规范解答(1)证明设x1，x2∈R，且x1<x2，∴x2－x1>0，∵当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. [2分]f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，[4分]∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．[6分](2)解∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，[8分]f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，∴f(a2＋a－5)<2＝f(1)，[10分]∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5<1⇒－3<a<2，即a∈(－3,2)．[12分]解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1.构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视M、N的取值范围，即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1．利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 函数的单调性是对某个区间而言的． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质． 3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减． 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数．A 中，f (x )＝1x满足要求；B 中，f (x )＝(x －1)2在[0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．2．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数， ∴a ≤1.①又g (x )＝(a ＋1)1－x 在[1,2]上是减函数．∴a ＋1>1，∴a >0.② 由①、②知，0<a ≤1.3．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．[0，34)D ．[0，34]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4(a －3)4a ≥3，得0<a ≤34，综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 D解析 依题意得1x <1，即x －1x >0，所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 二、填空题6．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.7．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是__________．答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0－2a ≤－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0a ≥1⇒a ≥1. 8．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎪⎪⎪⎪1x >1， ∴1x >1或1x <－1，∴0<x <1或－1<x <0. 三、解答题9．函数f (x )＝x 2－4x －4在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )． (1)试写出g (t )的函数表达式； (2)求g (t )的最小值．解 (1)f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8. 当t >2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4；当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8； 当t ＋1<2，即t <1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减函数， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.从而g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7 (t <1)，－8 (1≤t ≤2)，t 2－4t －4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示，由图象易知g (t )的最小值为－8.10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值．解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－(－2x 2＋1)＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( ) A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 D 解析 由题意知a <1，∴g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x－2a ， 当a <0时，g (x )在(1，＋∞)上是增函数，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 ∵f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a (x ≥a )，e －x ＋a (x <a )， ∴f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1.3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案 1解析 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2. 当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数；当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.4．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0， a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}，0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0恒成立， ∴g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上是增函数． ∴f (x )＝lg(x ＋a x－2)在[2，＋∞)上的最小值为 f (2)＝lg a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立． ∴a >3x －x 2，而h (x )＝3x －x 2＝－(x －32)2＋94在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.5．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．(1)证明 任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．。
函数的单调性与最值-2025高考数学复习
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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归纳拓展 1．复合函数的单调性 函 数 y＝ f(u) ， u ＝ φ(x) ， 在 函 数 y＝ f[φ(x)] 的 定 义 域 上 ， 如 果 y＝ f(u)，u＝φ(x)的单调性相同，则y＝f[φ(x)]单调递增；如果y＝f(u)，u＝ φ(x)的单调性相反，则y＝f[φ(x)]单调递减．
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(2)解法一：设 1<x1<x2，
x1
x2
ax2－x1
则 f(x1)－f(x2)＝x1－a－x2－a＝x1－ax2－a.
因为 a>0，x2－x1>0，所以要使 f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0 恒成立， 所以 a≤1.综上所述，a 的取值范围是(0,1]．
－a 解法二：f′(x)＝x－a2<0，
数 f(x)＝x2＋1在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是 f(
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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题组三 走向高考 6．(2021·全国甲，4)下列函数中是增函数的为( D ) A．f(x)＝－x B．f(x)＝23x C．f(x)＝x2
f(x)＝－x2－2x＋3x<0， －x－12＋4x≥0，
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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双基自测 题组一 走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)因为 f(－3)<f(2)，则 f(x)在[－3,2]上是增函数．( × ) (2)函数 f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－ 2,3)．( × )
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版
[第5讲 函数的单调性与最值](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝1－1x在[3，4)上( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在3．[2013·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R 4．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为________．能力提升 5．[2013·宁波模拟] 已知f (x )是定义在实数集R 上的增函数，且f (1)＝0，函数g (x )在(－∞，1]上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，且g (4)＝g (0)＝0，则集合{x |f (x )g (x )≥0}＝( )A ．{x |x ≤0或1≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |x ≤4}D ．{x |0≤x ≤1或x ≥4}6．[2013·全国卷] 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12 B ．－14C.14D.127．[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121x 2＋1的值域为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 8．[2013·惠州二调] 已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．(2－2，2＋2)B ．[2－2，2＋2]C ．[1，3]D ．(1，3)9．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x （x <0），（a －3）x ＋4a （x ≥0）满足对任意的实数x 1≠x 2都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，1) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D ．(1，3) 10．若函数y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f （x ）的值域是________． 11．若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，则f (x )在该区间上的最大值是________．12．函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．13．函数y ＝ln 1＋x1－x 的单调递增区间是________．14．(10分)试讨论函数f (x )＝xx 2＋1的单调性．15．(13分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝x2x－2(x∈R，且x≠2)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)＝x2－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．课时作业(五)【基础热身】1．A [解析] 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．而反比例函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数．故选A.2．A [解析] 函数f (x )在[3，4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，所以该函数有最小值无最大值，故选A.3．B [解析] 方法一：由偶函数的定义可排除C ，D ，又∵y ＝cos2x 为偶函数，但在(1，2)内不单调递增，故选B.方法二：由偶函数定义知y ＝log 2|x |为偶函数，以2为底的对数函数在(1，2)内单调递增．4.12 [解析] 因为x ≥0，当x ＝0时，y ＝0不是函数的最大值．当x >0时，f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x，而x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.【能力提升】5．A [解析] 由题意，结合函数性质可得x >1时f (x )>0，x <1时f (x )<0；x <0或x >4时g (x )<0，0<x <4时g (x )>0，故f (x )g (x )≥0的解集为{x |x ≤0或1≤x ≤4}．6．A [解析] 因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A. 7．C [解析] 因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，令t ＝1x 2＋1，则121≤12t <120，即12≤12t <1，所以12≤y <1.故选C.8．A [解析] 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.9．C [解析] 由题设条件知函数f (x )在R 上为减函数，所以x <0时，f 1(x )＝a x为减函数，则a ∈(0，1)；x ≥0时，f (x )＝(a －3)x ＋4a 中a －3<0，且f (0)＝(a －3)×0＋4a ≤a 0，得a ≤14.综上知0<a ≤14.故选C.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 [解析] 令f (x )＝t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，问题转化为求y ＝t ＋1t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3的值域．因为y ＝t ＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上递减，在[1，3]上递增，所以y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.11．3 [解析] g (x )＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当x ＝1时等号成立，所以x ＝1时，g (x )的最小值为2，则f (x )在x ＝1时取最小值2，所以－p 2＝1，4q －p24＝2.解得p ＝－2，q ＝3.所以f (x )＝x 2－2x ＋3，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为3.12．a ≥2 [解析] y ＝xx ＋a＝1－ax ＋a，因为函数在(－2，＋∞)上为增函数，所以a >0，所以得函数的单调增区间为(－∞，－a )，(－a ，＋∞)，要使y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，只需－2≥－a ，即a ≥2.13．(－1，1) [解析] 由1＋x1－x>0得函数的定义域为(－1，1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x 在(－1，1)上的递增区间，由于u ′(x )＝1＋x 1－x ′＝2（1－x ）2>0.故函数u (x )＝1＋x 1－x的递增区间为(－1，1)，即为原函数的递增区间． 14．解：f (x )的定义域为R ，在定义域内任取x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（x 21＋1）（x 22＋1）， 其中x 1－x 2＜0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0.①当x 1，x 2∈(－1，1)时，即|x 1|＜1，|x 2|＜1，所以|x 1x 2|＜1，则x 1x 2＜1，1－x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为增函数． ②当x 1，x 2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，1－x 1x 2＜0，f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )为减函数．综上所述，f (x )在(－1，1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．15．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.∴f (x 1)－f (x 2)＝a －1x 1－a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以a ≤h (1)，即a ≤3.所以a 的取值范围为(－∞，3]． 【难点突破】16．解：(1)f (x )＝x 2x －2＝[（x －2）＋2]2x －2＝(x －2)＋4x －2＋4，令x －2＝t ，由于y ＝t ＋4t＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)内单调递增，在(－2，0)，(0，2)内单调递减，∴容易求得f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(4，＋∞)；单调递减区间为(0，2)，(2，4)．(2)∵f (x )在x ∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]， 即x ∈[0，1]时，g (x )∈[－1，0]．∵g (0)＝0为最大值，∴最小值只能为g (1)或g (a )，若g (1)＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，1－2a ＝－1⇒a ＝1；若g (a )＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧12≤a ≤1，－a 2＝－1⇒a ＝1.综上得a ＝1.。
2014高考数学一轮复习课件2.2函数的单调性与最大(小)值
(1)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． (2)用定义法判断函数y＝ 性． x2－1 在定义域上的单调
【解析】
1 (1)函数f(x)的定义域为(－ ，＋∞)，令t＝ 2
2x＋1， 因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上是增函数，t＝2x＋1在 1 x∈(－ ，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)＝log5(2x＋1)的 2 1 单调递增区间为(－ ，＋∞)． 2
•【答案】 C
2．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是( ) 1 A．y＝3－x B．y＝x C．y＝－x2＋4 D．y＝|x|
•【解析】 结合函数的图象易知选D. •【答案】 D
•3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是 ________． •【解析】 由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－ 2)ex， •由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2， ＋∞)． •【答案】 (2，＋∞)
ax1 ax2 a（x2－x1）（x1x2＋1） 则f(x1)－f(x2)＝ 2 － 2 ＝ . 2 2 x1－1 x2－1 （x1－1）（x2－1）
∵－1＜x1＜x2＜1， 2 ∴x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0. 2 －1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0. （x2－x1）（x2x1＋1） ∴ ＞0. 2 2 （x1－1）（x2－1） 因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1，1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， ∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1，1)上为增函数． 法二 (导数法)f′(x)＝ a（x2－1）－2ax2 （x2－1）2 ＝
•(2)∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1， •∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1， ······8分 •f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝ 4⇒3f(1)－2＝4， •∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3， •∴f(a2＋a－5)＜2＝f(1)， ·····················10分 ····················· •∵f(x)在R上为增函数，∴a2＋a－5＜1⇒－3 ＜a＜2， • 即a∈(－3，
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第二篇 第2讲 函数的单调性与最值
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第2讲函数的单调性与最值A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·长沙一模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x| D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x>0时，y＝－lg x，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg |x|为偶函数．答案 C2．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为()．A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析法一由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)>2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6>2x ＋4，得x>－1，选B.法二设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2>0，g(x)在R上为增函数．由g(x)>0，即g(x)>g(－1)．∴x>－1，选B.答案 B3．(2012·浙江)设a>0，b>0. ()．A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b解析利用原命题与逆否命题的真假性相同求解．当0<a≤b时，显然2a≤2b,2a≤2b<3b，∴2a＋2a<2b＋3b，即2a＋2a≠2b＋3b成立．∴它的逆否命题：若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a >b 成立，故A 正确，B 错误．当0<a ≤b 时，由2a ≤2b,2a <3b ，知2a －2a 与2b －3b 的大小关系不确定，∴C 不正确，同理D 不正确．答案 A4．(2013·苏州调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )．A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]解析 g (x )＝⎩⎨⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1.当－2≤a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧ a 2－2a ，－2≤a <1，－1，a ≥1. 答案 ⎩⎨⎧a 2－2a ，－2≤a <1－1，a ≥1 6．奇函数f (x )(x ∈R )满足：f (－4)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式(x 2－4)f (x )<0的解集为________．解析 当x 2－4>0，即x <－2或x >2时，f (x )<0.由f (x )的图象知，x <－4或2<x <4；当x 2－4<0，即－2<x <2时，f (x )>0，则－2<x <0.故x ∈(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)．答案(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)三、解答题(共25分)7．(12分)设函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.(1)证明设x1<x2，∴Δx＝x2－x1>0，∴f(Δx)>1，∴f(x2)＝f(x1＋Δx)＝f(x1)＋f(Δx)－1>f(x1)，∴f(x)是R上的增函数．(2)解f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(3m2－m－2)<3＝f(2)．又由(1)的结论知f(x)是R上的增函数，∴3m2－m－2<2，∴－1<m<4 3.8．(13分)已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2>x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)<0，即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，则a≤16.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于( )． A ．2 B ．3 C ．6 D ．9解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0. f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2. f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 C2．(2013·太原质检)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧ f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间 为( )． A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 解析 f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－|x |，2－|x |≤12，12，2－|x |>12⇔ f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，x ≤－1或x ≥1，12，－1<x <1.f 12(x )的图象如右图所示，因此f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析 法一 奇函数关于原点对称.∵当0<x <2时，f (x )>0⇒－2<x <0时，f (x )<0；当2<x ≤5时，f (x )<0⇒－5≤x <－2时，f (x )>0.∴综上，f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．法二 由于f (x )为在[－5,5]上的奇函数，通过数形结合可解决问题． 作图可得{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案 {x |－2<x <0或2<x ≤5}4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题： ①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1； ④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是____________．解析 根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 答案 ①③④三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．解 (1)当a >0，b >0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所以函数f (x )单调递增；当a <0，b <0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递减，所以函数f (x )单调递减．(2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x >0.(i)当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ， 解得x >log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；(ii)当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ， 解得x <log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 6．(13分)(2012·潍坊一模)已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1，当且仅当0<x <1时，f (x )<0，且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1,1)上单调递减．证明 (1)函数f (x )的定义域为(－1,1)，再由f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ， 令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0， ∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数．(2)先证f (x )在(0,1)上单调递减．令0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，即x 2－x 11－x 2x 1>0. 又∵(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1＋1)<0，∴x 2－x 1<1－x 2x 1，∴0<x 2－x 11－x 2x 1<1. 由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2<0，即f (x 2)<f (x 1)， ∴f (x )在(0,1)上单调递减，又f (x )为奇函数且f (0)＝0，∴f (x )在(－1,1)上单调递减.。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第三章第2讲用导数研究函数的单调性与极值
[方法总结] 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集
的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参 数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解
求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，
在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程 的判别式进行分类讨论．
【训练1】 已知f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
f′－1＝3－2－a＝0， f′1＝3＋2－a>0，
解得 1<a<5 或 a＝1.
故实数 a 的取值范围是[1,5)．
答案
[1,5)
考向一
利用导数解决函数的单调性问题
【例 1】 (2012· 苏中三市调研)已知函数 f(x)＝ln x－ax＋ 1－a x －1(a∈R)． (1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线 方程； 1 (2)当 a≤ 时，讨论 f(x)的单调性． 2
1 即 ax －x＋1－a＝0，解得 x1＝1，x2＝a－1.
2
1 (ⅰ)当 a＝ 时，x1＝x2，g(x)≥0 恒成立，此时 f′(x)≤0， 2 函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
1 1 (ⅱ)当 0<a< 时，a－1>1>0， 2 x∈(0,1)时，g(x)>0，此时 f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 1 x∈1，a－1时，g(x)<0，此时 f′(x)>0，函数 f(x)单调递 增； 1 x∈a－1，＋∞时，g(x)>0，此时 f′(x)<0，函数 f(x)单调 递减； 1 (ⅲ)当 a<0 时，由于a－1<0， x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)2.3函数的单调性与最值课件 新人教A版
对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的 单调性有两种方法：
(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、
判断)证明； (2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单 调性的证明，一般采用定义法进行．
－2x 1． 判断函数 g(x)＝ 在 (1， ＋∞)上的单调性． x－1 解：任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1<x2，
1 3．(1)(2013· 孝感调研)函数 f(x)＝ 在[2,3]上的最小值为 x－1 ________，最大值为________．
(2)若[5,8]是函数 f(x)＝4x2－kx－8 的单调区间，则 k 的取值范围是________． 1 解析：(1)∵f′(x)＝－ <0，∴f(x)在[2,3]上为减函 x－12
2．单调性：如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上 是 增加 的或是 减少 的，那么就称函数y＝f(x)在这个子 集上具有单调性． 3．单调函数：如果函数y＝f(x)在整个定义域内是 增加 的或是 减少 的，那么分别称这个函数为增函数或
减函数，统称为单调函数．
[小题能否全取] 1．(2012· 陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函 数的为
A．(－∞，0)
C．(－∞，－1)
B．(0，＋∞)
D．(1，＋∞)
[自主解答] －1 或 x≥1.
1 1 由 f(x)> ，得－1<x<1，由 f(x)≤ ，得 x≤ 2 2
所以 f 1
2
2－x，x≥1， 1 (x)＝ ，－1＜x＜1， 2 2x，x≤－1.
故 f 1 (x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
<f(m2)的实数m的取值范围是________． (2)(2012· 安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增
高考数学科学复习创新方案：函数的单调性与最值
函数的单调性与最值[课程标准]借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．1．函数的单调性(1)定义单调递增单调递减定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I .∀x 1，x 2∈D 当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上01单调递增当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上02单调递减图象描述自左向右看图象是03上升的自左向右看图象是04下降的增(减)函数当函数f (x )在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数(2)单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)05单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的06单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的07最大值M 为函数y ＝f (x )的08最小值1．函数单调性的两个等价结论设∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，则f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>(<)0(或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>(<)0)⇔f (x )在D 上单调递增(减)．2．若函数f (x )，g (x )在区间I 上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：(1)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数；(2)复合函数y ＝f (g (x ))的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记为“同增异减”．3．对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的单调递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；单调递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数．1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝－1x ＋1B ．y ＝x 13C ．y ＝2－xD ．y ＝log 12(x ＋1)答案AB解析对于A ，y ＝－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，符合题意；对于B ，y ＝x13R 上单调递增，符合题意；对于C ，y ＝2－x 在R 上单调递减，不符合题意；对于D ，y ＝log 12(x ＋1)在(－1，＋∞)上单调递减，不符合题意．2．(人教A 必修第一册习题3.2T 1改编)如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4，3]的图象，则下列说法正确的是()A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，最小值为－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1<t<2答案C解析由已知得，f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，A错误；f(x)在区间(－1，3)上的最大值为3，无最小值，B错误；C正确；当直线y＝t与f(x)的图象有三个交点时－1≤t≤2，D错误．3．(2024·嘉兴一中月考)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A．f(m)<f(1)B．f(m)>f(1)C．f(m)≤f(1)D．f(m)＝f(1)答案B解析因为函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是减函数，所以m－1<0，得m<1，因为f(x)在R上是减函数，所以f(m)>f(1)．故选B.，x∈[2，6]，则4．(人教A必修第一册3.2.1例5改编)已知函数f(x)＝21－xf(x)的最大值为________，最小值为________．－2答案－25在区间[2，6]上单调递增，所以f(x)min＝f(2)＝－解析可判断函数f(x)＝21－x2，f(x)max＝f(6)＝－2.55．(人教A必修第一册复习参考题3T4改编)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上具有单调性，则a的取值范围是________．答案(－∞，2]∪[4，＋∞)解析函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为直线x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4.故a的取值范围是(－∞，2]∪[4，＋∞)．角度定义法确定函数的单调性例1试讨论函数f(x)＝ax(a≠0)在(－1，1)上的单调性．x－1解设－1<x1<x2<1，f(x)＝a·x－1＋1＝x－1则f(x1)－f(x2)＝＝a（x2－x1）.（x1－1）（x2－1）由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．定义法判断函数单调性的步骤已知函数f(x)＝a－2.2x＋1(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论．解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：因为f(x)的定义域为R，所以任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2（2x1－2x2）（2x1＋1）（2x2＋1）.由y＝2x在R上单调递增知，2x1<2x2，所以2x1－2x2<0，又2x1＋1>0，2x2＋1>0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在R上单调递增．角度图象法、性质法确定函数的单调性例2(1)(2023·海口模拟)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是() A．(－∞，－2)B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2)D．(－2，0)和(2，＋∞)答案B解析根据题意，函数f(x)＝x2－4|x|＋32－4x＋3，x≥0，2＋4x＋3，x＜0，画出函数图象如图所示．由图象可知，函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间为(－∞，－2)和(0，2)．故选B.(2)函数y＝x2＋x－6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案[2，＋∞)(－∞，－3]解析令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，∴y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．1．图象法判断函数的单调性如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．2．判断函数单调性常用的性质(1)对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )的增减性进行判断．(2)对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (u )和u＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断．1.(多选)下列函数中在(0，＋∞)上单调递增的是()A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝2x ＋xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝log 13x －3x答案AB解析对于A ，当x ＞0时，f (x )＝x 在(0，＋∞)上单调递增，A 符合题意；对于B ，因为y ＝2x 与y ＝x 在(0，＋∞)上均单调递增，所以f (x )＝2x ＋x 在(0，＋∞)上单调递增，B 符合题意；对于C ，f (x )＝x 2－2x 在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，C 不符合题意；对于D ，因为y ＝log 13x 与y ＝－3x 在(0，＋∞)上均单调递减，所以f (x )＝log 13x －3x 在(0，＋∞)上单调递减，D 不符合题意．故选AB.2．求函数f (x )＝|4－x |·(x －1)的单调区间．解f (x )＝|4－x |·(x －1)4－x ）（x －1），x ≤4，x －4）（x －1），x ＞4，(4，＋∞)，例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析由题意知y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x>1时，y＝f(x)是减函数，∵a＝f(2)>f(3)，即b>a>c.故选D.已知下面的三个条件中任意两个都能推出第三个．①函数f(x)在某个区间上的单调性；②在这个区间上的任意两个自变量x1，x2的大小；③在这个区间上的任意两个函数值f(x1)，f(x2)的大小．提醒：若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较．A．f(n)<1且f(p)>1B．f(n)>1且f(p)>1C．f(n)>1且f(p)<1D．f(n)<1且f(p)<1答案C解析易知函数y＝lg x与y都是(0，＋∞)上的增函数，∴函数f(x)＝lg x是(0，＋∞)上的增函数，∵0<p<m<n，且f(m)＝1，∴f(p)<f(m)＝1<f(n)．角度利用函数的单调性解不等式例4已知函数f(x)3，x≤0，（x＋1），x>0，若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．答案(－2，1)解析因为当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，所以函数的图象是一条连续的曲线．因为当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x ＋1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数．因此不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.利用函数单调性解不等式的具体步骤(1)将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式；(2)确定函数f(x)的单调性；(3)根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”，转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式，从而得解．(2024·安阳林州一中质检)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2，得f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－5<x<－2或2<x<5.角度利用函数的单调性求参数例5(1)(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[－2，0)C．(0，2]D．[2，＋∞)答案D解析函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)－a24在区间(0，1)上单调递减，因此a2≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D.(2)(2023·南京大学附属中学模拟)若函数f(x)，x＞1，＋2，x≤1对于R上的任意x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则实数a的取值范围是________．答案[4，8)解析∵对于R上的任意x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，∴函数f(x)单调递增，∵函数f(x)，x＞1，＋2，x≤1，＞1，－a2＞0，－a2＋2≤a，＞1，＜8，≥4，∴4≤a＜8.利用函数单调性求参数的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．设函数f(x)x2＋4x，x≤4，2x，x>4.若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ＋1≤2或a ≥4，即a ≤1或a ≥4.例6(1)函数y ＝1－x 21＋x2的值域是________．答案(－1，1]解析解法一：函数y ＝1－x 21＋x 2的定义域是R ，因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x2，又因为1＋x 2≥1，所以0＜21＋x 2≤2，所以－1＜－1＋21＋x 2≤1，所以函数y ＝1－x 21＋x 2的值域为(－1，1]．解法二：由y ＝1－x 21＋x 2得(1＋x 2)y ＝1－x 2，所以(1＋y )x 2＝1－y ，所以x 2＝1－y1＋y ，因为x ∈R ，所以x 2＝1－y 1＋y ≥0，解得－1＜y ≤1，所以函数y ＝1－x 21＋x2的值域为(－1，1]．(2)函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．答案1解析解法一：令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＋34，又t ≥0，所以y ≥14＋34＝1，故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.解法二：因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)上为增函数，所以y min ＝1.(3)(2024·张家口宣化第一中学月考)函数f (x )＝x ≥1，x 2＋2，x <1的值域为________．答案(－∞，2]解析解法一(图象法)：作出函数f (x )x ≥1，x 2＋2，x <1的图象(如图所示)，f (x )max ＝f (0)＝2.由函数图象可知，f (x )的值域为(－∞，2]．解法二(单调性法)：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2，故函数f (x )的最大值为2.所以f (x )的值域为(－∞，2]．函数的最值(或值域)的几种求解方法(1)分离常数法：分子上构造一个跟分母一样的因式，把分式拆成常量和变量，进一步确定变量范围破解．(2)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(3)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．(6)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1.定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C解析画出函数M ＝max{2x ，2x －3，6－x }的图象(如图所示的实线部分)，由图可知，函数M 在点A (2，4)处取得最小值4.2．设f (x )x －a ）2，x ≤0，＋1x＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]答案D解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取等号．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是[0，2]．故选D.3．函数y ＝x ＋1－x 2的值域为________．答案[－1，2]解析令x ＝cos θ(0≤θ≤π)，∴y ＝cos θ＋sin θ＝2sin∴当θ＝π4时，y有最大值2.当θ＝π时，y 有最小值－1.∴所求函数的值域是[－1，2]．课时作业一、单项选择题1．(2023·海淀区模拟)下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是单调函数的是() A．y＝x B．y＝x2＋xC．y＝x＋x D．y＝|x－1|答案D解析由一次函数的性质可知，y＝x在区间(0，＋∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y＝x2＋x在区间(0，＋∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y ＝x＋x在区间(0，＋∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y＝|x－1|在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．故选D.2．(2023·中国人民大学附中模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“存在M∈R，对任意x∈R，均有f(x)≤M”是“f(x)有最大值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析只有当∃M∈R，∀x∈R，f(x)≤M且∃x∈R，使得f(x)＝M，这时f(x)有最大值．反之，若f(x)有最大值，则存在M∈R，对任意x∈R，均有f(x)≤M 成立．所以函数f(x)的定义域为R，则“存在M∈R，对任意x∈R，均有f(x)≤M”是“f(x)有最大值”的必要不充分条件．故选B.3．(2024·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x<－2或x>4}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在区间(4，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.4．(2024·鞍山一中月考)函数f(x)＝ax＋1x＋3(－3，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)答案B 解析f (x )＝ax ＋1x ＋3＝a （x ＋3）＋1－3ax ＋3＝a ＋1－3a x ＋3，因为f (x )在(－3，＋∞)上单调递增，所以1－3a <0，解得a >13，即实数a 5．(2023·保定二模)若函数＝1x 2－2x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－4x 的最小值为()A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4答案D解析由1x 2－2x ＋1可得，1－2x ＋1x2，∴f (x )＝x 2(x ≠1)．∴g (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，当x ＝2时，g (x )取得最小值，为－4.故选D.6．(2024·衡水中学调考)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则()A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案B解析因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.7．(2023·武汉模拟)已知函数f (x )＋1，x ≤a ，x，x >a ，若f (x )的值域是R ，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[0，1]C．[0，＋∞)D．(－∞，1]答案B解析解法一：因为函数y＝2x是R上的增函数，且值域为(0，＋∞)，函数y＝x＋1是R上的增函数，且值域也是R，所以要使函数f(x)的值域为R，需满足2a≤a＋1.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x与y＝x＋1的图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤1时，2x≤x＋1，所以实数a的取值范围为[0，1]．故选B.解法二：若a＝－1，则当x≤a时，x＋1≤0，当x>a时，2x>12，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝－1不满足题意，故排除A，D；若a＝2，则当x≤a时，x ＋1≤3，当x>a时，2x>4，可知此时f(x)的值域不是R，即a＝2不满足题意，故排除C.故选B.8．(2024·长沙模拟)设f(x)＝|x＋1x－a|(a∈R)，记f(x)在12，4上的最大值为M(a)，则M(a)的最小值为()A．0 B.98C.158D．2答案B解析设g(x)＝x＋1x －a，x∈12，4，则g(x)在12，1上单调递减，在[1，4]上单调递增，52－a，g(1)＝2－a，g(4)＝174－a，所以M(a)是|52－a|，|2－a|，|174－a|三者中的较大者，所以M(a)a，a≤258，2，a>258，所以当a＝258时，M(a)的最小值为98.故选B.二、多项选择题9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是()A．y＝1|f（x）|在R上为减函数B．y＝|f(x)|在R上为增函数C．y＝－1f（x）在R上为增函数D．y＝－f(x)在R上为减函数答案ABC解析对于A，若f(x)＝x，则y＝1|f（x）|＝1|x|，在R上不是减函数，故A错误；对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，故B错误；对于C，若f(x)＝x，则y＝－1f（x）＝－1x，在R上不是增函数，故C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y＝－f(x)，则有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，则y＝－f(x)在R 上为减函数，故D正确．故选ABC.10．(2024·盘锦高级中学月考)已知函数f(x)＋2，x≤－1，2＋1，－1＜x＜2，下列关于函数f(x)的结论正确的是()A．f(x)的定义域是R B．f(x)的值域是(－∞，5)C．若f(x)＝3，则x的值为2D．f(x)的图象与y＝2有2个交点答案BC解析由函数f(x)＋2，x≤－1，2＋1，－1＜x＜2知，定义域为(－∞，－1]∪(－1，2)，即(－∞，2)，A错误；当x≤－1时，f(x)＝x＋2∈(－∞，1]，当－1<x<2时，x2∈[0，4)，故f(x)＝x2＋1∈[1，5)，故其值域为(－∞，5)，B正确；由分段函数的取值可知f(x)＝3时，x∈(－1，2)，即f(x)＝x2＋1＝3，解得x＝2或x＝－2(舍去)，C正确；由分段函数的取值可知f(x)＝2时，x∈(－1，2)，即f(x)＝x2＋1＝2，解得x＝1或x＝－1(舍去)，故f(x)的图象与y＝2有1个交点，D错误．故选BC.11．(2023·无锡市锡山区校级三模)一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[ka，kb]为f(x)的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是() A．若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的“跟随区间”，则b＝2B．函数f(x)＝1＋1x存在“跟随区间”C．若函数f(x)＝m－x＋1存在“跟随区间”，则m －14，0D．二次函数f(x)＝－12x2＋x存在“3倍跟随区间”答案ACD解析由已知可得函数f(x)在区间[1，b]上单调递增，则有f(b)＝b2－2b＋2＝b，解得b＝2或b＝1(舍去)，所以b＝2，A正确；若存在“跟随区间”[a，b](a<b)，a）＝b，b）＝a，解得a＝b＝1－52或a＝b＝1＋52，不满足a<b，故不存在，B不正确；由已知函数可得，函数在定义域上单调递减，若存在“跟随区间”[a，b](－1≤a<b)，则有（a）＝b，（b）＝a，即＝m－a＋1，＝m－b＋1，两式作差得，a－b＝a＋1－b＋1，即(a－b)·(a＋1＋b＋1)＝a＋1－(b＋1)＝a－b，又－1≤a<b，所以a＋1＋b＋1＝1，易得0≤a＋1<b＋1≤1，所以m＝a＋b＋1＝a＋1－a＋1，设a＋1＝t，则m＝t2－t，即t2－t－m＝0在区间[0，1]上有两个不相等的实数根，＝1＋4m>0，m≥0，解得－14<m≤0，C正确；若函数存在“3倍跟随区间”，设定义域为[a，b]，值域为[3a ，3b ]，当a <b ≤1时，易得函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程－12x 2＋x ＝3x 的两个不相等的实数根，解得x ＝0或－4，故存在定义域为[－4，0]使得值域为[－12，0]，D 正确．故选ACD.三、填空题12．函数f (x )＝1x 2－2x的值域为________．答案(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析令t ＝x 2－2x ，则t ≥－1，且t ≠0，因为函数y ＝1t在[－1，0)和(0，＋∞)上单调递减，所以当t ∈[－1，0)时，y ≤－1；当t ∈(0，＋∞)时，y >0.综上，函数f (x )＝1x 2－2x的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．13．(2024·郑州模拟)设函数f (x )，x >0，，x ＝0，1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案[0，1)解析由题意知g (x )2，x >1，，x ＝1，x 2，x <1，函数图象如图实线部分所示，根据图象可知，函数g (x )的单调递减区间是[0，1)．14．(2023·中卫三模)已知函数f (x )2＋2x －1，x ≤0，x＋m ，x >0在R 上存在最小值，则m 的取值范围是________．答案[－3，＋∞)解析当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2≥－2，当x ＝－1时，取得最小值－2，当x >0时，f (x )＝3x ＋m 递增，可得f (x )>1＋m ，由题意可得1＋m ≥－2，解得m ≥－3.四、解答题15．已知函数f(x)＝x2x－3.(1)试判断f(x)在[1，2]上的单调性；(2)求函数f(x)在[1，2]上的最值．解(1)∀x1，x2∈[1，2]，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x22x2－3－x21 x1－3＝x22（x1－3）－x21（x2－3）（x2－3）（x1－3）＝（x2－x1）[x1x2－3（x1＋x2）]（x2－3）（x1－3），∵x1，x2∈[1，2]，∴x2－3<0，x1－3<0，x1x2－3(x1＋x2)<0，又x1<x2，∴x2－x1>0，∴（x2－x1）[x1x2－3（x1＋x2）]（x2－3）（x1－3）<0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，2]上为减函数．(2)由(1)知f(x)在[1，2]上为减函数，∴f(x)min＝f(2)＝42－3＝－4，f(x)max＝f(1)＝11－3＝－12.16．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①f(x1)－f(x2)；②当x＞1时，f(x)＜0.(1)求f(1)的值；(2)证明：函数f(x)为减函数；(3)求不等式f(2x＋1)＞f(2－x)的解集．解(1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，则x1x2＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，所以0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．(3)因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以不等式f(2x＋1)＞f(2－x)等价于x＋1＞0，－x＞0，x＋1＜2－x，解得－12＜x＜13，|－12＜x。
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名师预测
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝2
－|x |
2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( ) A ．f (x )＝1
x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
3．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a ， x <0，
a x ， x ≥0，(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是
( )
A ．(0,1)
B ．[1
3，1)
C ．(0，1
3
]
D ．(0，2
3
]
4．下列区间中，函数f (x )＝|ln(2－x )|在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1，4
3]
C ．[0，3
2
)
D ．[1,2)
5．函数y ＝(12)2x 2
－3x ＋1的递减区间为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，3
4)
C ．(1
2
，＋∞)
D ．[3
4
，＋∞)
6．已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (1
2)>0>f (－
3)，则方程f (x )＝0的根的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
7．已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )
A ．f (4)>f (－6)
B ．f (－4)<f (－6)
C ．f (－4)>f (－6)
D ．f (4)<f (－6)
8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( ) A ．最小值f (a ) B ．最大值f (b ) C ．最小值f (b )
D ．最大值f ⎝⎛
⎭⎫
a ＋
b 2
9．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13
10．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m
M 的值为( )
A.14
B.12
C.
2
2
D.32
11．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
12．若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________．
13．若f (x )＝ax ＋1
x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．
14．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．
15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >00，x ＝0－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．
16．已知函数f (x )＝3－ax
a －1
(a ≠1)，若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
17．已知函数f (x )对任意的a ，b ∈R 恒有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.
18．已知f (x )＝x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．
19．设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]都成立，求t 的取值范围．
20．求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；
(2)y ＝a 1－2x －x 2(a >0且a ≠1)．
21．已知f (x )＝x x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．
22．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性； (2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．
23．函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0. (1)求f (1)的值；
(2)判断f (x )的单调性并加以证明； (3)若f (4)＝2，求f (x )在[1,16]上的值域．
6．解析：因为在(0，＋∞)上函数递减，且f (1
2
)·f (－3)<0，又f (x )是偶函数，
所以f (12
)·f (3)<0.
所以f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．
又因为f (x )是偶函数，则它在(－∞，0)上也有唯一的零点，故方程f (x )＝0的根有2个． 答案：C
7．选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．
答案：⎣⎡⎦
⎤0，32 12．解析：画出图象易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]， 依题意应有m ≤0. 答案：(－∞，0]
13．解析：设x 1>x 2>－2，则f (x 1)>f (x 2)， 而f (x 1)－f (x 2)＝
ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1
x 2＋2
＝2ax 1＋x 2－2ax 2－x 1x 1＋x 2＋＝x 1－x 2a －x 1＋x 2＋
>0，
则2a －1>0.得a >1
2.
答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞
故原不等式的解集为(－1，4
3
)．
18．解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，
20．解：(1)由于y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2＋2x ＋1，x ≥0，
－x 2－2x ＋1，x <0，
即y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
－x －2＋2，x ≥0，－x ＋2
＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)令g (x )＝1－2x －x 2＝－(x ＋1)2＋2，
所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．
当a >1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－∞，－1)，减区间是(－1，＋∞)； 当0<a <1时，函数y ＝a 1－2x －x 2的增区间是(－1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)．
同理，当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a
2b
，。