7-2 迭代法(续)

取x0 = 2，对上述4种迭代法，计算结果为：
k 0 xk x0 迭代法 迭代法 迭代法3 迭代法4 1 2 2 2 2 2
1
2 3 …
x1
x2 x3 …
3
9 87 …
1.5
2 1.5 …
1.75
1.73475
1.75
1.732143
1.732361 1.732051 … …
3 1.7320508
特别地
p = 1时称线性收敛， /* linear convergence */ p >1时称超线性收敛/* superlinear convergence */ p = 2时称平方收敛 /* quadratic convergence */
定理
x* 为 x = g(x) 的 不 动 点 ， 若 g C p ( B ( x*)) ， g ( x*) ... g ( p 1) ( x*) 0 且 g ( x*) 0 ，则 xk+1 = g(xk) 在 B ( x*) 内 p 阶收敛。 证明：由于g’(x*)=0，故可断定局部收敛，
(发散)
(收敛)
快
二、迭代法的收敛速度
1. 迭代法的收敛阶/* Order of Convergence */
定义 设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动 点 x* 。 | ek 1 | lim C 0 设 ek = xk x*，若 k p
| ek |
则称该迭代为p 阶收敛，其中 C 称为渐进误 差常数。/* { xk } converges to x* of order p, with asymptotic error constant C > 0 */
7.2 迭代法及其收敛性
（续）
/* Fixed-Point Iteration
and Convergence*/
一、迭代法的收敛条件
二、迭代法的收敛速度
一、迭代法的收敛条件
1. 迭代公式的构造 f(x) = 0
同解变形
1)给初值x0 2)若xk→x*
x = g(x)
构造公式
x*就是
f(x)=0的根
而 x* 0.5 ,因此用迭代公式
x k 1 e
xk
局部收敛.
例2用不同方法求方 程 x 2 3 0 的根x*= 3 解：由方程可写成不同的迭代形式
(1)
2 xk 1 xk xk 3
( x) x 2 x 3
3 xk
'( x) 2 x 1
| (e x ) || e x | e 0.5 0.61 1

因此用迭代公式
x k 1 e
xk
进行迭代
计算是收敛的。
方法2：
首先 g' ( x ) (e )' e
x x
连续
其次 | (e x ) | e x e 0.5 0.61 1, x 0.5
法1： （区间收敛）
定理 设方程 x = g(x)有根x*, g(x)可微， 若 ( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]； ( II ) 0 L < 1 使得 | g’(x) | L < 1 对 x[a, b] 成立。
则任取 x0[a, b]，由 xk+1 = g(xk) 得到的序 列 xk k 0 收敛于g(x) 在[a, b]上的唯一不 动点。
g ( p ) ( k ) p xk 1 g( xk ) g( x*) g ( x*)( xk x*) ... ( xk x*) p!
x*
k
设
( p)
C
请考察前面的例题1和例题2，并 考虑x*未知如何处理？
作业：
习题
1，2 ， 3 ， 4
.补充定理：
设方程x=g(x)在区间[a,b]内有根，若 总有 | g ( x ) | 1 ,则迭代公式对任意 [a,b]上的初值均发散。
判断收敛的方法2： （局部收敛）
定义
设x*是g(x)的不动点，若存在 x* 的某 邻域 B = { x | | x x* | } ，对 x0 B 迭代产生的序列 x k B 且收敛到x*，
则称 x k 1 g( xk ) 局部收敛.
判断收敛的方法2： （局部收敛）
定理
设x*是g(x)的不动点，若g’(x)在 x* 的某 邻域 连续，且 有 | g’(x*) | < 1， 则迭代法局部收敛。
x k 1 g( xk )
3. 判断收敛的方法2： （局部不收敛）
补充定理 设x*是g(x)的不动点，若g’(x)在 x* 的某 邻域 连续，且 有 | g’(x*) | > 1， 则迭代法 x k 1 g( xk )不局部收敛。
例1求方 程 x ex
在x=0.5附近的一个根。
分析：本题两种思路 方法 1 ：找到一个区间 [a,b] ，在此区间 上迭代函数满足定理的条件，由此构造 出的迭代公式才能收敛到方程的根。 方法2：根据迭代法的局部收敛。
方法1：
判断如下求解过程的正确性？ 由已知选a=0.5, b=0.6。则由于 f(0.5)<0，f(0.6)>0 故所求的根在区间[0.5, 0.6]内，且
' ( x*) ' ( 3 ) 2 3 1 1
(2)
xk 1
3 ( x) x
3 '( x) 2 x
' ( x*) ' ( 3 ) 1
(3)
1 2 x k 1 x k ( x k 3) 4 1 2 ( x ) x ( x 3) 4
1 '( x) 1 x 2
1 ' ( x*) ' ( 3 ) 1 3 0.134 1 2
(4)
xk 1
1 3 ( xk ) 2 xk
1 3 ( x) ( x ) 2 x
1 3 ' ( x ) (1 2 ) 2 x
' ( x*) ' ( 3 ) 0