通用版2020学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十二不等式选讲理
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版(跟踪检测)：解答题分类特训解答题分类特训9含答案
综合①②可知m的最小整数值为2.
当x∈ 时、f′(x)≤0、f(x)是减函数；
当x∈ 时、f′(x)>0、f(x)是增函数．
③若a>1、则0< <1.
当x∈ 时、f′(x)>0、f(x)是增函数；
当x∈ 时、f′(x)≤0、f(ห้องสมุดไป่ตู้)是减函数；
当x∈(1、＋∞)时、f′(x)>0、f(x)是增函数．
综上所述、当a＝1时、f(x)在(0、＋∞)上是增函数；
①当a≥0时、因为f′(x)＝－1－alnx－a<0、所以f(x)在[1、＋∞)上单调递减、
所以f(x)max＝f(1)＝0、无最小值．
②当－1<a<0时、f(x)在(1、e－ －1)上单调递减、在(e－ －1、＋∞)上单调递增、
所以f(x)min＝f(e－ －1)＝ae－ －1＋1、无最大值．
③当a≤－1时、因为f′(x)＝－1－a(lnx＋1)≥0、当且仅当 时、等号成立、
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若1＜a＜e、试判断f(x)的零点个数．
解析(1)函数f(x)的定义域为(0、＋∞)、f′(x)＝a(x－1)－1＋ ＝ 、令f′(x)＝0、则x1＝1、x2＝ .
①若a＝1、则f′(x)≥0恒成立、所以f(x)在(0、＋∞)上是增函数．
②若0<a<1、则 >1.
当x∈(0,1)时、f′(x)>0、f(x)是增函数；
②当0<x<1时、因为0<a≤1、所以f(x)≤1－x－xlnx、所以g(x)≤ 、
令h(x)＝ 、x∈(0,1)、由条件可知h(x)≤m在(0,1)上恒成立、
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 跟踪检测： 专题1 不等式、函数和导数第1部分 专题1 第4讲
5 答案 2 13．(2019·江西上饶模拟)在△ABC 中，AB＝3AC，AD 是∠A 的平分线，且
AD＝mAC，则实数 m 的取值范围是________.
解析 由三角形角平分线性质知 BD＝3DC，不妨设 AC＝1，则 AB＝3，AD＝m.在△
ABD 和△ACD 中，由余弦定理得
A
A
BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcos2，DC2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos2.又 BD2＝9DC2，所以
图 1 图 2
(1)图 1 中，若 AD⊥BC，求∠BAC 的大小；
π (2)图 2 中，若∠ABC＝4，求△ADC 的面积．
解析 (1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.
因为 AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
11 ＋ 23
1
1
tan α＋tan β
11
1－ ×
π A． 6
π C． 2
π B．3
2π D． 3
B 解析 因为 p∥q，所以(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即 b2＋a2－c2＝ab，利用余弦定理可
b2＋a2－c2 ab 1
π
得 cos C＝ 2ab ＝2ab＝2，所以 C＝3.故选 B 项．
A c－b
3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin22＝ 2c ，则△ABC 的
27 3
27 3
大值为 100 km2，故生活区△ABE 面积的最大值为 100 km2.
能力提升(建议用时：25 分钟)
π 11．(2019·广东东莞模拟)在△ABC 中，AB＝2，C＝6，则 AC＋ 3BC 的最大值为( )
A．4 7
B．3 7
2020版高考数学二轮复习第2部分专题7选考4系列第2讲不等式选讲教案理选修4_5
第2讲 选修4－5 不等式选讲含绝对值不等式的解法(5年7考)[高考解读] 以解答题的形式考查绝对值不等式的解集、有限制条件的恒成立、有解等问题、考查学生的等价转化能力和数学运算能力，难度中等.1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x ＜1时，f (x )＝－2(x －1)2＜0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．[教师备选题](2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．[解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为00＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号； (3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．1．(有解问题)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|. (1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围． [解](1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜02－3x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12－x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞13x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)． (2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|.f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x x ＜，2－xx ，3x －x ＞，故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0， 故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 2．(恒成立问题)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)若g (x )＝f (x )＋f (－x )，且对任意x ∈R ，都有|k －1|＜g (x )，求实数k 的取值范围．[解](1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12＜x ＜1，3x ，x ≥1.于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12－3x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜1x ＋2＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，3x ＞2，解得x ＜－23或0＜x ＜1或x ≥1.故不等式f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－23或x ＞0.(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，x －2x ＋，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时取等号，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|＜g (x )恒成立，则|k －1|＜g (x )min ＝4， 所以－4＜k －1＜4，解得－3＜k ＜5，即实数k 的取值范围为(－3,5).不等式的证明(5年3考)[高考解读] 以解答的形式考查学生应用比较法、基本不等式等证明不等式，考查学生的逻辑推理及数学运算能力.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明](1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥ 33a ＋b3b ＋c3a ＋c3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． [证明](1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2，因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明](1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋a ＋b24(a ＋b )＝2＋a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．1．(用基本不等式证明不等式)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＞4－|x ＋1|的解集；(2)设a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＝10，求证：a ＋b 2≥27. [解](1)f (x )＞4－|x ＋1|可化为|x －2|＞4－|x ＋1|，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－x －＞4＋x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜2，－x －＞4－x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＞4－x ＋解得x ＜－32或x ∈或x ＞52.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)因为a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1a ＞2，2b ＞4. 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b＝1a－2＋2b －2＝10，即1a ＋2b＝14.由基本不等式得，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ b 2a ＝2a b ，1a ＋2b ＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝17，b ＝27时取等号．所以14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥4，即a ＋b 2≥27.2．(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． [解](1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.与代数式有关的最值问题(5年3考)[高考解读] 以解答题的形式考查代数式含绝对值不等式的最值求法，考查学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.1．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.[解](1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)·(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)·(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥＋a 23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为＋a 23.由题设知＋a 23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1. 2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.[教师备选题]若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解](1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43＞6，从而不存在a ，b ，使得2a＋3b ＝6.1．形如f (x )＝|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |的最值．因为|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |≥|Ax ＋B －(Ax ＋C )|＝|B －C |，当且仅当(Ax ＋B )(Ax ＋C )≤0时取“＝”，所以f (x )min ＝[|Ax ＋B |＋|Ax ＋C |]min ＝|B －C |.2．形如f (x )＝|Ax ＋B |－|Ax ＋C |的最值．因为||Ax ＋B |－|Ax ＋C ||≤|Ax ＋B －Ax －C |＝|B －C |，当且仅当(Ax ＋B )(Ax ＋C )≥0时取“＝”，所以f (x )max ＝[|Ax ＋B |－|Ax ＋C |]max ＝|B －C |，f (x )min ＝[|Ax ＋B |－|Ax ＋C |]min ＝－|B －C |.3．形如f (x )＝|Ax ＋B |＋|Cx ＋D |或f (x )＝|Ax ＋B |－|Cx ＋D |的最值由绝对值的几何意义作图可知．1．(求最值问题)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m . (1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值．[解](1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1，f (x )的最大值为1，∴m ＝1.(2)由(1)可知，a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋1＋b 2a ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)]＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a ＋b ＋1＋b 2b ＋a ＋1＋a 2＋b 2≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13. 2．(求参数问题)设函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |.(1)当a ＝1时，求f (x )的图象与直线y ＝3围成区域的面积； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ＜12，3x ，x ≥12，如图，作出函数f (x )的图象与直线y ＝3，结合图象可知所求面积为12×[1－(－1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32＝32. (2)法一：(借助分段函数的性质) 当－a ＞12，即a ＜－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋1，x ＜12，x －a －1，12≤x ＜－a ，3x ＋a －1，x ≥－a ，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a －1＝1，所以a ＝－32.当－a ≤12，即a ≥－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋1，x ＜－a ，－x ＋a ＋1，－a ≤x ＜12，3x ＋a －1，x ≥12，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×12＋a －1＝1，所以a ＝12.综上，a ＝－32或a ＝12.法二：(解恒成立问题)∵f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12，当且仅当x ＝12时取等号．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝1，得a ＝12或a ＝－32. 3．(与恒成立交汇)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R . (1)当f (1)＋f (－1)＞1时，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，x ，y ∈(－∞，a ]，不等式f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |恒成立，求a 的取值范围．[解](1)f (1)＋f (－1)＝|1－a |－|1＋a |＞1， 若a ≤－1，则1－a ＋1＋a ＞1，得2＞1，即a ≤－1；若－1＜a ＜1，则1－a －(1＋a )＞1，得a ＜－12，即－1＜a ＜－12；若a ≥1，则－(1－a )－(1＋a )＞1，得－2＞1，此时不等式无解．综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)由题意知， 要使不等式恒成立，只需f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min . 当x ∈(－∞，a ]时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋54(y －a )≤0，即－54≤y ≤a 时等号成立， 所以当y ∈(－∞，a ]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54＝a ＋54. 于是a 24≤a ＋54，解得－1≤a ≤5. 又a ＞0，所以a 的取值范围是(0,5]．。
2021年高考数学二轮复习课时跟踪检测 22不等式选讲 理数(含答案解析)
课时跟踪检测不等式选讲1．已知定义在R上的函数f(x)=|x－m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：4α＋1β≥3.2．设f(x)=|x|＋2|x－a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．3．设函数f(x)=|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．4．已知函数f(x)=|x－m|，m<0.(1)当m=－1时，求解不等式f(x)＋f(－x)≥2－x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．5．设函数f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)． (1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．6．已知函数f(x)=|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t.7．设函数f(x)=|x －1|.(1)求不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a 的取值范围．8．已知f(x)=|2x －1|＋|ax －5|(0<a<5)． (1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a 的值．答案解析1．解：(1)因为|x －m|＋|x|≥|(x －m)－x|=|m|. 所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得－2<m<2.因为m ∈N *，所以m=1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α－1＋2β－1=4，即α＋β=3，所以4α＋1β=13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)=13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ=3. 当且仅当4βα=αβ，即α=2，β=1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x －1|=⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x<0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x>1.当x<0时，由2－3x ≤4，得－23≤x<0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x>1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f(x)=|x|＋2|x －a|=⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x<0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x>a.可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．当x=a 时，f(x)取得最小值a. 若f(x)≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．解：(1)f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x<－12，x ＋2，－12≤x<1，3x ，x ≥1.y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f(x)≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 4．解：(1)设F(x)=f(x)＋f(－x)=|x －1|＋|x ＋1| =⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x<－1，2，－1≤x<1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F(x)≥G(x)解得{x|x ≤－2或x ≥0}．(2)f(x)＋f(2x)=|x －m|＋|2x －m|，m<0. 设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x ≤m 时，g(x)=m －x ＋m －2x=2m －3x ，则g(x)≥－m ；当m<x<m 2时，g(x)=x －m ＋m －2x=－x ，则－m2<g(x)<－m ；当x ≥m 2时，g(x)=x －m ＋2x －m=3x －2m ，则g(x)≥－m 2.则g(x)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m 2，＋∞， 不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>－m2，解得m>－2，由于m<0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．解：(1)当a=1时，f(x)=|x －1|＋|x ＋2|， 故f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x>1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x<－2.①当x>1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2；②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x<－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x<－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]．(2)f(x)=|x －a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a =⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立， 所以g(a)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ， 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a =|a|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a =22， 当且仅当|a|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ，即a=±2时等号成立， 所以g(a)min =2 2.6．解：(1)依题意，得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x<12，3x ，x ≥12，于是f(x)≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x ＋1|=|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|=3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M=[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t =t 3－3t 2＋t －3t =t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0，∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t.7．解：(1)因为f(x)≤3－f(x －1)，所以|x －1|≤3－|x －2|，即|x －1|＋|x －2|≤3， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x<1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x>2，2x －3≤3， 解得0≤x<1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f(x)≤3－f(x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|恒成立， 而f(x)≤f(x ＋1)－|x －a|⇔|x －1|－|x|＋|x －a|≤0⇔|x －a|≤|x|－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a|≤1，即x －1≤a ≤x ＋1， 由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立，所以12≤a ≤2， 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．解：(1)当a=1时，f(x)=|2x －1|＋|x －5|=⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x<12，x ＋4，12≤x<5，3x －6，x ≥5，∴f(x)≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x<12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x<5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴5a>1，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x<12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x>5a.∵当x<12时，f(x)单调递减，当x>5a时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f(x)单调递增，当2<a ≤5时，f(x)单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a=2.。
2020版高考理科数学大二轮专题复习新方略课时作业22不等式选讲
即|x－ m|≤ x＋ 4，
所以－ x－ 4≤x－m≤x＋4，则－ 4≤m≤2x＋4 在[3,4] 上恒成立，
显然当 x＝3 时， 2x＋4 取得最小值 10，
则 m 的取值范围是 [ －4,10]．
4．[2019 ·云南玉溪一中模考 ] 已知函数 f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.
(1)解不等式 f(x)≤x＋3； (2)若 g(x)＝|3x－2m|＋|3x－2|，对 ? x1∈R，? x2∈R，使得 f(x1)＝ g(x2)成立，求实数 m 的取值范围．
由 f(x)≥2 得 x≥0，综合得 x≥1. 2
所以当 m＝1 时， f(x)≥2 的解集是 { x|x≤－4 或 x≥3} ． (2)因为 f(x)＝|2x＋1|－|x－m|≥|x－3|的解集包含 [3,4] ，
所以当 x∈[3,4] 时， |2x＋1|－|x－m|≥|x－3|恒成立．
x∈ [3,4] 时，原式可变为 2x＋1－|x－m|≥x－3，
课时作业 22 不等式选讲
1．[2019 ·江苏卷 ]设 x∈R，解不等式 |x|＋|2x－1|>2. 详细分析： 本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解能 力和推理论证能力．
1 当 x<0 时，原不等式可化为－ x＋1－2x>2，解得 x<－3；
1 当 0≤x≤2时，原不等式可化为 x＋1－2x>2，即 x<－1，无解；
x≤－ 1， 详细分析： (1)原不等式等价于
－3x≤x＋ 3
1 或 － 1<x≤2，
－ x＋2≤x＋3
1 或 x>2，
3x≤x＋ 3，
得－ 12≤x≤32，
故原不等式的解集为
{
x|－
【通用版】2019年高考理科数学练酷专题二轮复习 课时跟踪检测二十二 不等式选讲 含解析
课时跟踪检测（二十二） 不等式选讲1．(2017·邢台模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|.(1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 解：(1)当x ≥2时，由f (x )≥2，得4≥2，故x ≥2；当－2＜x ＜2时，由f (x )≥2，得2x ≥2，故1≤x ＜2；当x ≤－2时，由f (x )≥2，得－4≥2，无解．所以f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}．(2)证明：因为|x ＋2|－|x －2|≤4，1y ＋11－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4⎝⎛⎭⎫当且仅当y ＝12时取等号， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 2．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求2a ＋b 的最小值． 解：(1)当－1≤x ＜3时，f (x )＝4；当x ≥3时，f (x )＝2x －2.∴不等式f (x )≤6等价于⎩⎨⎧ －1≤x ＜3，4≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x －2≤6.∴－1≤x ＜3或3≤x ≤4.∴－1≤x ≤4.∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}． (2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，－1≤x ＜3，2x －2，x ≥3.可知f (x )的最小值为4，∴n ＝4. ∴8ab ＝a ＋2b ，变形得1b ＋2a ＝8.∵a ＞0，b ＞0，∴2a ＋b ＝18(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1b ＋2a ＝18⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥18⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝98. 当且仅当2a b ＝2b a ，即a ＝b ＝38时取等号． ∴2a ＋b 的最小值为98. 3．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b ) ＝2＋3(a ＋b )34， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a ＞0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )＜0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )＜a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x ＜0，原不等式等价于－x 2＜x －3＜x 2，解得2＜x ＜6，故不等式的解集为{x |2＜x ＜6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2， 原不等式等价于|x －a |－|x |＜a 2，由绝对值三角不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |＜a 2，又a ＞0，∴a ＜a 2，解得a ＞1.∴实数a 的取值范围为(1，＋∞)．5．(2017·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0.(1)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－1x ≥2； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，求a 的取值范围．解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，设f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪－1x －a ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪1x ＋a ≥⎪⎪⎪⎪(x －a )＋⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x |＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a <0.当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ， 则f (x )＋f (2x )≥－a ；当a <x <a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ， 则－a 2<f (x )＋f (2x )<－a ； 当x ≥a 2时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ， 则f (x )＋f (2x )≥－a 2， 则f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，则需12>－a 2， 解得a >－1，又a <0，所以－1＜a ＜0，故a 的取值范围是(－1,0)．6．(2017·洛阳模拟)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b ≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋2，x ＜－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x ＞12，函数f (x )的图象如图所示．(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立．∵1a ＋4b ≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3， 结合图象知－1≤x ≤5， ∴x 的取值范围是[－1,5]．。
通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三理
课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x<0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)． 答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233 D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55. 5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·福州模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ； ②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z＝x－y，则a≥z min.当目标函数z＝x－y过点C(1,3)时，z＝x－y取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]。
高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(3) 不等式 Word版含解析
课时跟踪检测（三） 不等式1．(2018届高三·湖南四校联考)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－12或x ＞2，则m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：选B 由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m ＜0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52.2．已知直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，则2a ＋4b 的最小值为( ) A. 2 B ．2 2 C ．4D ．4 2解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1经过点(1,2)，∴a ＋2b ＝1，则2a ＋4b ≥22a ·22b ＝22a＋2b＝22，当且仅当2a ＝22b ，即a ＝12，b ＝14时取等号．3．(2019·兰州模拟)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y的最小值是( )A ．5B ．7C ．8D ．23解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，对该直线进行平移，可以发现经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3的交点A (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值7.4．(2019·贵阳一模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：选B 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，所以x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值为4.5．(2019·云南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0≤x ≤3}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |1≤x ≤3}解析：选D 由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x ＜2.当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x ＜2时，由22－x －2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．6．(2019·武汉调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：选B 根据约束条件画出可行域如图①中阴影部分所示．可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点A 处z 有最小值，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，即A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12，则a －12＋a ×a ＋12＝7， 解得a ＝3或a ＝－5. 当a ＝－5时，如图②，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．7．(2019·合肥二模)若关于x 的不等式x 2＋ax －2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选A 法一：因为x ∈[1,4]，则不等式x 2＋ax －2＜0可化为a ＜2－x 2x ＝2x －x ，设f (x )＝2x －x ，x ∈[1,4]，由题意得只需a ＜f (x )max ，因为函数f (x )为区间[1,4]上的减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝1，故a ＜1.法二：设g (x )＝x 2＋ax －2，函数g (x )的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g (x )＜0在区间[1,4]上有解，所以g (1)＜0，解得a ＜1.8．(2019·太原一模)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，故选C.9．(2019·衡水二模)若关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63B.233C.433D.263解析：选C ∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2＞0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2，∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号． ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433.10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：植面积(单位：亩)分别为( )A ．50,0B ．30,20C ．20,30D ．0,50解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，则总利润z ＝4×0.55x ＋6×0.3y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y .此时x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤50，1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0.画出可行域如图，得最优解为A (30,20)．故黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩时，种植总利润最大．11．已知点M 是△ABC 内的一点，且AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，则4x ＋y xy 的最小值为( )A ．16B ．18C ．20D ．27解析：选D 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .∵AB ―→·AC ―→＝23，∠BAC ＝π6，∴|AB ―→|·|AC ―→|cos π6＝23，∴bc ＝4，∴S △ABC ＝12bc sin π6＝14bc ＝1.∵△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为23，x ，y ，∴23＋x ＋y ＝1，即x ＋y ＝13， ∴4x ＋y xy ＝1x ＋4y ＝3(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝3⎝⎛⎭⎫1＋4＋y x ＋4xy ≥3⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝27， 当且仅当y ＝2x ＝29时取等号，故4x ＋yxy 的最小值为27.12．(2019·安徽二校联考)当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0] C.⎣⎡⎦⎤－15，35 D.⎣⎡⎦⎤－15，0 解析：选D 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，y －4＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，即C (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －4＝x ，x －7y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)． 要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0.13．(2018届高三·池州摸底)已知a ＞b ＞1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令log a b ＝t ，由a ＞b ＞1得0＜t ＜1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号．故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：314．(2019·石家庄模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125.答案：－12515．(2019·成都二诊)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a ＜|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫24，＋∞.答案：⎣⎡⎭⎫24，＋∞ 16．(2018届高三·福州调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ；②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的可行域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)． 因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ， 由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z ＝x －y ，则a ≥z min .当目标函数z ＝x －y 过点C (1,3)时，z ＝x －y 取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a ≥－2.综上可知，实数a 的取值范围为[－2,1]． 答案：[－2,1]。
通用版2020年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十二文
课时跟踪检测（二十二）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 2x －a ·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________． 解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________． 解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x <0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ． 1 B.324C.116D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选 A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n ·3n ＋3＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55.5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·广州模拟)满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y －3≥0，0≤x ≤a 的点(x ，y )组成的图形的面积是5，则实数a 的值为________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y －3≥0，0≤x ≤a等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a .画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0所表示的平面区域如图中△ABC 及其内部，易知A (1,2)，因为S△ABC＝12×1×2＝1<5，所以a >1.画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y －3≥0，0≤x ≤a 所表示的平面区域， 如图中的△ABC 和△ADE 所示．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a所对应的平面区域是△ADE 及其内部，易知D (a ，a ＋1)，E (a,3－a )，所以S △ADE ＝12×(a －1)×(a ＋1－3＋a )＝5－1，解得a ＝3(a ＝－1舍去)．答案：3。
高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测二十二不等式选讲理
课时跟踪检测（二十二） 不等式选讲1．(2017·邢台模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|.(1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 解：(1)当x ≥2时，由f (x )≥2，得4≥2，故x ≥2；当－2＜x ＜2时，由f (x )≥2，得2x ≥2，故1≤x ＜2；当x ≤－2时，由f (x )≥2，得－4≥2，无解．所以f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}．(2)证明：因为|x ＋2|－|x －2|≤4，1y ＋11－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当y ＝12时取等号， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 2．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求2a ＋b 的最小值． 解：(1)当－1≤x ＜3时，f (x )＝4；当x ≥3时，f (x )＝2x －2.∴不等式f (x )≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x＜3，4≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ x≥3，2x －2≤6.∴－1≤x ＜3或3≤x ≤4.∴－1≤x ≤4.∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，－1≤x＜3，2x －2，x≥3.可知f (x )的最小值为4，∴n ＝4.∴8ab ＝a ＋2b ，变形得1b ＋2a＝8. ∵a ＞0，b ＞0，∴2a ＋b ＝18(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝18⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98. 当且仅当2a b ＝2b a ，即a ＝b ＝38时取等号． ∴2a ＋b 的最小值为98.3．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋＋4(a ＋b ) ＝2＋＋4， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a ＞0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )＜0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )＜a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x ＜0，原不等式等价于－x 2＜x －3＜x 2，解得2＜x ＜6，故不等式的解集为{x |2＜x ＜6}． (2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2， 原不等式等价于|x －a |－|x |＜a 2，由绝对值三角不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，原不等式等价于|a |＜a 2，又a ＞0，∴a ＜a 2，解得a ＞1.∴实数a 的取值范围为(1，＋∞)．5．(2017·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0. (1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ≥2； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，求a 的取值范围．解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，。
2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 跟踪检测： 专题7 选考部分第1部分 专题7 第2讲
(1)求实数 m 的值； (2)设 a，b，c 为正实数，且 a2＋b2＋c2＝m，求 a＋2b＋3c 的最大值． 解析 (1)依题意得 f(x＋2)＝|x|－m，所以 f(x＋2)≤0，即|x|≤m，即－m≤x≤m，因为
f(x＋2)≤0 的解集为[－1,1]，所以 m＝1.
(2)依题意得 a2＋b2＋c2＝1(a，b，c>0)，由柯西不等式得 a＋2b＋3c≤ 12＋22＋32·
a+b
2
(2)已知 a＞0，b＞0，证明：aabb≥(ab) . 证明 (1)因为(a2＋b2)－ ab(a＋b) ＝(a2－a ab)＋(b2－b ab) ＝a a( a－ b)＋b b( b－ a) ＝( a－ b)(a a－b b)
1 13 3 2 22 2
＝(a －b )(a －b )，
1133 2222
第一部分 专题 7 第 2 讲
题型 1.绝对值不等式的解法及含参问题
2.不等式的证明 3.应用基本不等式或柯西不等式求最值
对应题号 4,6,7 1,2 3,5
基础热身(建议用时：40 分钟) 1．设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，证明： (1)若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d；
[ )3
－3， 故实数 a 的取值范围为 2 .
(2)设 f(x)的值域为 N，g(x)的值域为 M.对任意 x1∈R，都存在 x2∈R，使得 f(x1)＝g(x2)
| | | | | | a
a
a
x－
－3
－3
等价于 N⊆M，而 g(x)∈[3，＋∞)，f(x)＝ 3 ＋|x－3|≥ 3 ，由 N⊆M 得 3 ≥3，解
得 a≤0 或 a≥18，又 a>0，所以 a≥18.
2020高考数学二轮总复习课时跟踪检测(十九)不等式选讲理
课时跟踪检测(十九) 不等式选讲1．(2019·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|m －x ＋x |＝|m |. 所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(2019·福州四校联考)(1)求不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集；(2)设a ，b 均为正数，h ＝max ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a ，a 2＋b 2ab ，2b ，证明：h ≥2. 解：(1)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1，由－2<－2x －1<0，解得－12<x <12，则不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. (2)证明：∵h ≥2a ，h ≥a 2＋b 2ab ，h ≥2b，∴h 3≥4(a 2＋b 2)ab ≥4×2abab＝8，当且仅当a ＝b 时取等号，∴h ≥2.3．(2019·广东省化州市一模)已知函数f (x )＝|x －a |－2. (1)若a ＝1，求不等式f (x )＋|2x －3|>0的解集；(2)关于x 的不等式f (x )>|x －3|有解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，原不等式等价于|x －1|＋|2x －3|>2. 当x ≥32时，3x －4>2，解得x >2；当1<x <32时，2－x >2，无解；当x ≤1时，4－3x >2，解得x <23.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2或x <23. (2)f (x )>|x －3|⇔|x －a |－|x －3|>2.令g (x )＝|x －a |－|x －3|，依题意知，g (x )max >2. ∵g (x )＝|x －a |－|x －3|≤|(x －a )－(x －3)|＝|a －3|， ∴g (x )max ＝|a －3|，∴|a －3|>2，解得a >5或a <1，∴实数a 的取值范围是(－∞，1)∪(5，＋∞)．4．(2019·蓉城名校高三联考)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤－m 2＋2m ＋92的解集非空，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，∴原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，－x ＋2≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≥2，解得x ≤－1或－1<x ≤0或x ≥23，∴原不等式的解集为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. (2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，所以f (x )min ＝32.要使不等式f (x )≤－m 2＋2m ＋92的解集非空，只需f (x )min ≤－m 2＋2m ＋92，即32≤－m 2＋2m ＋92，化简得m 2－2m －3≤0，解得－1≤m ≤3， 所以实数m 的取值范围是[－1,3]．5．(2019·湖南省岳阳市第一中学高三二检)已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a 是常数)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －9，x ≥32，－3－x ，x <32，则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，3x －9≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x <32，－3－x ≥0，解得x ≥3或x ≤－3，则原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－3}． (2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6.令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象，如图．显然，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时，a 的取值范围是(－2,2)． 6．(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
2020年高考数学(理)二轮专题学与练 21 不等式选讲(考点解读)(解析版)
专题21 不等式选讲预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。
知识点一、含有绝对值不等式的解法1.|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)若c>0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可.(2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.2.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|>g(x)，|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法(1)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).(2)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).知识点二、不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0，等号成立。
定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立。
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课时跟踪检测（二十二） 不等式选讲
1．(2017·邢台模拟)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|.
(1)解不等式f (x )≥2；
(2)当x ∈R,0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y
. 解：(1)当x ≥2时，由f (x )≥2，得4≥2，故x ≥2；
当－2＜x ＜2时，由f (x )≥2，得2x ≥2，故1≤x ＜2；
当x ≤－2时，由f (x )≥2，得－4≥2，无解．
所以f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}．
(2)证明：因为|x ＋2|－|x －2|≤4，
1y ＋11－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4⎝ ⎛⎭
⎪⎫当且仅当y ＝12时取等号， 所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y
. 2．(2017·成都模拟)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.
(1)求不等式f (x )≤6的解集；
(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求2a ＋b 的最小值． 解：(1)当－1≤x ＜3时，f (x )＝4；
当x ≥3时，f (x )＝2x －2.
∴不等式f (x )≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ＜3，4≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，2x －2≤6.
∴－1≤x ＜3或3≤x ≤4.
∴－1≤x ≤4.
∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．
(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，－1≤x ＜3，2x －2，x ≥3.可知f (x )的最小值为4，∴n ＝4.
∴8ab ＝a ＋2b ，变形得1b ＋2a
＝8. ∵a ＞0，b ＞0，
∴2a ＋b ＝18(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝18⎝
⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98
. 当且仅当2a b ＝2b a ，即a ＝b ＝38
时取等号． ∴2a ＋b 的最小值为98.
3．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明：
(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；
(2)a ＋b ≤2.
证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6
＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)
＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.
(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3
＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3a ＋b 24(a ＋b ) ＝2＋3a ＋b 34
， 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.
4．(2017·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －a |－12
x (a ＞0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )＜0；
(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )＜a 2＋a 2
恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝|x －3|－12x ，即|x －3|－12x ＜0，原不等式等价于－x 2
＜x －3＜x 2
，解得2＜x ＜6，故不等式的解集为{x |2＜x ＜6}． (2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a
2
， 原不等式等价于|x －a |－|x |＜a 2，
由绝对值三角不等式的性质，
得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |，
原不等式等价于|a |＜a 2，
又a ＞0，∴a ＜a 2，解得a ＞1.
∴实数a 的取值范围为(1，＋∞)．
5．(2017·开封模拟)设函数f (x )＝|x －a |，a <0. (1)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1x ≥2； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<12
的解集非空，求a 的取值范围．
解：(1)证明：函数f (x )＝|x －a |，a <0，
设f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪
⎪－1x －a ＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＋a ≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2|x |·1|x | ＝2(当且仅当|x |＝1时取等号)．
(2)f (x )＋f (2x )＝|x －a |＋|2x －a |，a <0.
当x ≤a 时，f (x )＋f (2x )＝a －x ＋a －2x ＝2a －3x ，
则f (x )＋f (2x )≥－a ；
当a <x <a 2
时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋a －2x ＝－x ， 则－a 2
<f (x )＋f (2x )<－a ； 当x ≥a 2
时，f (x )＋f (2x )＝x －a ＋2x －a ＝3x －2a ， 则f (x )＋f (2x )≥－a 2
， 则f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－a 2，＋∞，若不等式f (x )＋f (2x )<12的解集非空，则需12>－a 2， 解得a >－1，又a <0，所以－1＜a ＜0，
故a 的取值范围是(－1,0)．
6．(2017·洛阳模拟)已知f (x )＝|2x －1|－|x ＋1|.
(1)将f (x )的解析式写成分段函数的形式，并作出其图象；
(2)若a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b
≥3f (x )恒成立，求x 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2，x ＜－1，－3x ，－1≤x ≤12，x －2，x ＞12
，
函数f (x )的图象如图所示．
(2)∵a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，
∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23
时等号成立． ∵1a ＋4b
≥3(|2x －1|－|x ＋1|)恒成立， ∴|2x －1|－|x ＋1|≤3，
结合图象知－1≤x ≤5，
∴x 的取值范围是[－1,5]．。