数列通项公式的几种常见求法

题型一、由数列的前几项归纳数列的通项公式
典例 1 根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
（1）3，5，9，17，33，…；（2）23，415，635，863，1099，…；（3）2，-6，12，-20，30，-42，….
解析：（1）联想数列 2，4，8，16，32，…可求出其通项公式是 an = 2n +1；
数列通项公式的几种常见求法
李朝阳（广东省东莞市第二高级中学 523129）
摘要：在高中阶段，数列是一个十分重要的内容，而求数列的通项，则是该模块学习的一个 关键性的问题，并且也是高中生学习的一个重难点。相比之前广东卷对于数列学习的要求， 全国卷的要求明显有所降低。鉴于此，此文将结合高考实际，就一些常见数列通项公式的求 法进行简要探讨。 关键词：数列 通项公式
=
2 3
an
+
1 3
，则 {an } 的通项公式是
an
=
.
解
析：
当
n =1
时， 由
已
知
sn
=
2 3
an
+
1 3
得
a1
=
2 3
a1
+
1 3
，
即
a1 = 1； 当
n≥2
时， 由 已
知
得到
sn-1
=
2 3
an-1
+
1 3
. 所以 an
= sn− sn−1= Nhomakorabea(
2 3
an
+
1 3
)
−
(
2 3
an−1
+
1 3
)
（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前 n 项和 .
解析：（1）由已知， a1b2 + b2 =
b1, b1 =
1, b2 =
1 3
，, 得
a1
=
2，所以数列{an}是首项为
2，公差为
3
的等差数列，
通项公式为 a=n 3n −1。
{ } { } 由（1）和 anbn+1
+ bn+1
= nbn 得 bn+1
当数列{an}为等差或等比数列时，可直接应用相应的通项公式进行计算 .
等差数列：an = a1 + (n −1)d 或 an = am + (n − m)d 等比数列： an = a1q n−1 或 an = am q n−m
典例 2（2016 新课标 1 文数）已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足b1=bb11，1==1，1，b2b=2 =1313 ，anbnn++11++bbn+n1+1= = nbnnbn .
再进一步确定 an 或 Sn .
题型四：由递推关系求通项
（1）累加法：已a知n+1−aan1a+1n=−=aa1a，fn=(n=a) f (n)求数列通项公式用累加法
典例 3 数列{an}满足 an+1 = an + 2n +1，a1 =1，求数列{an}的通项公式 .
解析：由 an+1 = an + 2n +1 得 an+1 − an = 2n +1 则
3n
+ 3 可得 a1
=
S1
=
1 (3 + 3) 2
=
3，
an
=
Sn − Sn−1 =
1 (3n + 3) − 1 (3n−1 + 3) =
2
2
3n−1(n≥≥ 2) ，
而 a1=
3
≠
31−1 ，则
an
=
3, n 3n−1, n
= 1, > 1.
变式练习：（2013 新课标全国Ⅰ）若数列{an}的前 n 项和 sn
an =
(an
−
an −1 )
+
(an−1
−
an−2 )
++
(a3
−
a2 )
+
(a2
−
a1 )
+
a1
= [2(n −1) +1] + [2(n − 2) +1] + + (2× 2 +1) + (2×1+1) +1
= 2[(n −1) + (n − 2) + + 2 +1] + (n −1) +1
（1）此类问题主要靠观察 ( 观察规律 )、比较 ( 比较已知的数列 )、归纳、转化等方法；
（2）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要注意运用分子、分母之间的关系；
（3）符号用（-1）n 与（-1）n+1（或（-1）n-1）来调节，这是因为 n 和 n +1奇偶交错。
题型二：等差、等比数列求通项公式
(an
−
an −1 )
+
(an−1
−
an−2 )
++
(a3
−
a2 )
+
(a2
−
a1 )
+
a1 ，即得数列{an}的通项公式。
50 教学管理与教育研究
（2）累乘法：已知 aann+aa1a1nn+=a1=1
= 2 (n −1)n + (n −1) +1 2
== （(nn−-11)）(n(+n1+)1+)+11=n2.
= n2 所以数列
{an
}
的通项公式为an
=
n2
.
方 法 总 结： 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 an+1 = an + 2n +1 转 化 为 an+1 − an = 2n +1 ， 进 而 求 出
=
bn 3
，因此
bn
1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列 . 记
bn
的前 n
项和为 Sn ，则 Sn=
1− (1)n 3=
1− 1 3
3 2
−
2
1 × 3n−1
.
2018 年第 11 期 49
学科探究
方法总结：无论是等差数列还是等比数列，均包含 5 个基本量和 2 组公式，可将其公式看作是一个关于基本
=
2a− 3
2 3
an
−1
.
所以 an = −2an−1 ，从而数列{an}为以 1 为首项，以 -2 为公比的等比数列。
故 an =（- 2）n−1 .
方法总结：（1）利用 an 与 Sn 的关系 an
=
SS1n(−n
= 1) Sn−1 (n ≥≥ 2) .
（2）若 an 和 Sn 在一个等式中，一般可利用 an 与 Sn 的关系，消去 an 或 Sn ，构造关于 {an }或 {Sn }的递推公式，
（2）认真分析各项分子与分母间的关系，其中分子属于偶数列 {2N }；分母是 1×3，3×5，5×7，…所以其通
2n 项公式是 (2n −1)(2n +1) 。
（3）将数列转换为 1×2，-2×3，3×4，-4×5，…继而计算出其通项公式 an = (−1)n+1 ⋅ n(n +1) 。
方法总结：已知数列的前 n 项，求出其通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
量的多元方程，以此进行求解计算。在实际计算中，很多数列问题都可以转换为方程问题，可通过求解方程的方
式获得正确答案。
题型三：由 an 与 Sn 的关系求通项
典例 3（2015 年山东理数）设数列{an}的前 n 项和为 Sn ，已知 2S=n 3n + 3. ，求数列{an}的通项公式 .
解析：（Ⅰ）由 2S=n