2015年高考安徽文科数学试题及答案解析
2015年高考安徽文科数学试题及答案解析
1 2 + k π , k ∈ z ，故选 D ．（5）【2015 年安徽，文 5】已知 x ， y 满足约束条件 ⎨ x + y - 4 ≤ 0 ，则 z = -2 x + y ⎪ y ≥ 1 （A ） x 2- = 1 （B ） - y 2 = 1 （C ） x 2 - = 1 （D ） - y 2 = 11 / = ， n =2 ； ， n =3 ；④ a = 1 + ， n =4 ，此时， + 1 12 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015 年安徽，文 1】设 i 是虚数单位，则复数 (1 - i )(1 + 2i ) = （）（A ） 3 + 3i （B ） -1 + 3i （C ） 3 + i （D ） -1 + i 【答案】C【解析】 (1 - i )(1 + 2i ) = 1 + 2i - i - 2i 2 = 3 + i ，故选 C ．（2）【2015 年安徽，文 2】设全集U = {1,2,3,4,5,6 } ， A = {1,2}， B = {2,3,4 }，则 A （A ） {1,2,5,6 }（B ） { }（C ） {2}（D ） {1,2,3,4 }(ð B )（）R【答案】B【解析】 ð B = {1,5,6}，∴ A (ð B ) = { }，故选 B ．UR（3）【2015 年安徽，文 3】设 p : x < 3 ， q : -1 < x < 3 ，则 p 是 q 成立的（）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】 p : x < 3 ， q : -1 < x < 3 ，∴ q ⇒ p ，但 p ⇒ q ，则 p 是 q 成立的必要不充分条件，故选 C ．（4）【2015 年安徽，文 4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A ） y = ln x （B ） y = x 2 + 1 （C ） y = sin x （D ） y = cos x 【答案】D【解析】选项 A ：y = ln x 的定义域为 (0, +∞ ) ，故 y = ln x 不具备奇偶性，故 A 错误；选项 B ：y = x 2 + 1 是偶函数，但 y = x 2 + 1 = 0 无解，即不存在零点，故 B 错误；选项 C ：y = sin x 是奇函数，故 C 错；选项 D ：y = cos x是偶函数，且 y = cos x = 0 ⇒ x = π⎧ x - y ≥ 0⎪ ⎩的最大值是（） （A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令 z = -2x + y ⇒ y = -2x - z ，可知在图中 A (1,1)处， z = -2 x + y 取到最大值-1，故选 A ．（6）【2015 年安徽，文 6】下列双曲线中，渐近线方程为 y = ±2x 的是（）y 2 x 2 y 2 x 24 4 2 2【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 y = ±2x ，故选 A ．（7）【2015 年安徽，文 7】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的 n 为（）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6 【答案】B【解析】由题意，程序框图循环如下：① a = 1 ，； n = 1 ② a = 1 +1 31 + 1 2③ a = 1 + 13 + 12= 7 1 17 =5 75= 2 ⨯1 + 2 ⨯ = 2 + 3 ，故选 C ． ⎪⎪ 1 3a ⎧b < 0 是 f ' (x ) = 0 的两根，由图可知 x > 0 ， x > 0 ，∴ ⎨ ，故选 A ． ⇒⎨ 1 2 c c < 0 ⎪ x x = > 0 （11）【2015 年安徽，文 11】 lg + 2lg2 - ( )-1 =．【解析】 lg + 2lg2 - ( )-1= lg5 - lg2 + 2lg2 - 2 = lg5 + lg2 - 2 = 1 - 2 = -1 ．⎩= ⇒ = ⇒ AC = 2 ．sin ⎡⎣180︒ - (75︒ + 45︒)⎤⎦ + (n ≥ 2) ，则数列 {a }的前 9 项和等于．2{}【解析】 n ≥ 2 时， a = a 222∴ S = 9 ⨯1 + ⨯ = 9 + 18 = 27 ．【1712- 1.414 ≈ 0.003 < 0.005 ，所以输出 n = 4 ．故选 B ．（8）【2015 年安徽，文 8】直线 3x + 4 y = b 与圆 x 2 + y 2 - 2 x - 2 y + 1 = 0 相切，则 b = （）（A ）-2 或 12（B ）2 或-12（C ）-2 或-12（D ）2 或 12 【答案】D【解析】直线 3x + 4 y = b 与圆心为 (1,1)，半径为 1 的圆相切，∴ 3 + 4 - b 32 + 42= 1 ⇒ b = 2 或 12，故选 D ．（9）【2015 年安徽，文 9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）1 + 3 （B ）1 + 2 2 （C ） 2 + 3 （D ） 2 2【答案】C【解析】由题意，该四面体的直观图如下， ∆ABD ， ∆ACD 时直角三角形， ∆ABC ， ∆ACD 是等边三角形，则 S∆BCD = S 1 2∆ABC = S 1 32 2以四面体的表面积 S = S ∆BCD + S ∆ABD + S ∆ABC + S∆ACD 32（10）【2015 年安徽，文 10】函数 f (x ) = ax 3 + b x 2 + cx + d 的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A ） a > 0 ， b < 0 ， c > 0 ， d > 0 （B ） a > 0 ， b < 0 ， c < 0 ， d > 0 （C ） a < 0 ， b < 0 ， c < 0 ， d > 0 （D ） a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ， d < 0 【答案】A【解析】由函数 f (x ) 的图像可知 a > 0 ，令 x = 0 ⇒ d > 0 ，又 f ' (x ) = 3ax 2 + 2b x + c ，可知 x ， x12⎧2b x + x =- > 0 2 ⎩ ⎪ 1 2 3a 第Ⅱ卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡的相应位置．5 1 2 2【答案】-15 1 2 2（12）【2015 年安徽，文 12】在 ∆ABC 中， AB = 6 ， ∠A = 75 ， ∠B = 45 ，则 AC = ． 【答案】2【解析】由正弦定理可知： AB AC 6 ACsin 45︒ sin 60︒ sin 45︒（13）【2015 年安徽，文 13】已知数列 {a }中， a = 1 ， a = an1nn -1 1n【答案】27111n2 1n 19 ⨯ 8 19 2 2（14） 2015 年安徽，文 14】在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y = 2a 与函数 y = x - a - 1 的图像只有一个交点，则 a 的值为． 【答案】 -12①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b//BC；⑤(4a+b)⊥BC．∴⎛1⎫()=4⨯1⨯2⨯ -⎪+4=0∴4a+b⊥BC，故⑤正确．因此，正确的（Ⅱ）求f(x)在区间⎢0,⎥上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）化简可得f(x)=2sin 2x+⎪+1，即可求出f(x)的最小正周期T=,1⎥，f(x)x∈⎢0,⎥时，2x+∈⎢,⎥，∴sin 2x+⎪∈⎢-⎣2⎦4⎣44⎦⎝4⎭⎣2⎦种，它们是{A,A}，{A,A}，{A,B}，{A,B}，{A,A}，{A,B}，{A,B}，{A,B}，{A,B}，{B,B}，又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果又1种，即{B,B}，故所求的概率为p=10S S解：（Ⅰ）由题设知：a⋅a=a⋅a=8，又a+a=9，可解得⎨1a=8⎩4或⎨1⎩4【解析】在同一直角坐株系内，作出y=2a与y=x-a-1的大致图像，如下图：由题意，可知2a=-1⇒a=-12．（15）【2015年安徽，文15】∆ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB=2a，AC=2a+b，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）→【答案】①④⑤【解析】∵等边三角形ABC的边长为2，AB=2a，AB=2a=2⇒a=1，故①正确；AC=AB+BC=2a+BC，∴BC=b⇒b=2，故②错误，④正确；由于AB=2a，BC=b⇒a与b夹角为120︒，故③错误；又(4a+b)⋅BC=(4a+b)⋅b=4ab+b2⎝2⎭编号是①④⑤．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2015年安徽，文16】（本小题满分12分）已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos2x．（Ⅰ）求f(x)最小正周期；⎡π⎤⎣2⎦⎛π⎫2π⎝4⎭2=π．（Ⅱ）⎡π⎤π⎡π5π⎤⎛π⎫⎡2⎤max=1+2，f(x)min=0．（17）【2015年安徽，文17】（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）其中样本数据分组区间为[40,50]，[50,60]，…，[80,90]，[90,100]．（Ⅰ）求频率分布图中a的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率．解：（Ⅰ）因为(0.004+a+0.018+0.022⨯2+0.028)⨯10=1，所以a=0.006．（Ⅱ）由所给出频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022+0.018)⨯10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．（Ⅲ）受访职工中评分在[50,60)的有：50⨯0.006⨯10=3(人)，记为A,A,A；受访职工中评分在[40,50)的123有：50⨯0.004⨯10=2(人)，记为B,B．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10121213111223212231321 1212（18）【2015年安徽，文18】（本小题满分12分）已知数列{a}是递增的等比数列，且a+a=9，a a=8．n1423（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）设S为数列{a}的前n项和，b=a n+1，求数列{b}的前n项和T．n n n n nn n+1．142314由a=a q3得公比q=2，故a=a q n-1=2n-1．41n1⎧a=1⎧a=8a=1（舍去）．1 - q1 -2 (2n - 1)(2n +1 - 1) 2n - 1 2n +1 - 1 ，3 3 7 7 152n - 1 2n +1 - 12n +1 - 1 2n +1 - 1 （Ⅱ）证明：在线段 PC 上存在点 M ，使得 AC ⊥ BM ，并求 的值．所以三棱锥 P - ABC 的体积 V = ⋅ S ⋅ P A = ． 3 6．由 MN / / P A ，得 = = ． 【 （点 A 的坐标为 (a ，0)，点 B 的坐标为 (0，b ) ，点 M 在线段 AB 上，满足 BM = 2 MA ，直线 OM 的斜率为 ． - 解：（Ⅰ）由题设条件知，点 M 的坐标为 ( a, b ) ，又 k = ，从而进而得 a = 5b , c = a 2 - b 2 = 2b ，故 e = = ． （Ⅱ）由 N 是 AC 的中点知，点 N 的坐标为 , - ⎪ ，可得 NM = , ⎪ ．又 AB = (-a, b ) ， 从而有 AB ⋅ NM = - a 2 + b 2 = (5b 2 - a 2 )．（21）【2015 年安徽，文 21】（本题满分 13 分）已知函数 f ( x ) = (a > 0 ，r > 0) ．f ' (x ) = a (x 2 + 2rx + r 2 )- ax (2x + 2r ) (x ) (x + r )4 + 2rx + r 22 a (1 - q n )1 - 2n2n 1 1 （Ⅱ） S =1= = 2n - 1 ，∴ b == -nn1 1 1 1 11 1 12n +1 - 2 ．∴T = 1 - + - + - ++-= 1 -=n（19） 2015 年安徽，文 19】 本小题满分 13 分）如图，三棱锥 P - ABC 中，P A ⊥ 平面 ABC ，P A = 1 ， AB = 1 ， AC = 2 ， ∠BAC = 60︒ ． （Ⅰ）求三棱锥 P - ABC 的体积；PMMC1 3解：（Ⅰ）由题设 AB = 1 ， AC = 2 ， ∠BAC = 60︒ ，可得 S22 由 P A ⊥ 平面 ABC ，可知 P A 是三棱锥 P - ABC 的高，又 P A = 1 ， 1 3∆ABC（Ⅱ）在平面 ABC 内，过点 B 作 BN ⊥ AC ，垂足为 N ．在平面 P AC 内，过点 N 作 MN / / P A交 PC 于点 M ，连接 BM ．由 P A ⊥ 平面 ABC 知 P A ⊥ AC ．由于 BN MN = N ，故 AC ⊥ 平面 MBN ，又 BM ⊂ 平面 MBN ，所以 AC ⊥ BM ．在直角 ∆BAN 中，AN = AB ⋅ cos ∠BAC =3 PM AN 1 从而 NC = AC - AN =2MCNC31 2，（20）【2015 年安徽，文 20】（本小题满分 13分）设椭圆 E 的方程为 x 2 y 2 + a 2 b 2= 1(a > b > 0)，点 O 为坐标原点，510（Ⅰ）求 E 的离心率 e ；（Ⅱ）设点 C 的坐标为 (0， b ) ， N 为线段 AC 的中点，证明 MN ⊥ AB ．2 13 3 5 b 5 =10 2a 10，c 2 5 a 5 ⎛ a b ⎫ ⎛ a 5b ⎫⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 6 6 ⎭1 5 1 6 6 6由（Ⅰ）的计算结果可知 a 2 = 5b 2 ，所以 AB ⋅ NM = 0 ，故 MN ⊥ AB ．ax ( x + r)2（Ⅰ）求 f (x ) 的定义域，并讨论 f (x ) 的单调性； （Ⅱ）若 a = 400 ，求 f (x ) 在 (0, +∞) 内的极值．r解：（Ⅰ）由题意知 x ≠ -r ，所求的定义域为 (-∞, -r ) (-r, +∞ ) ． f (x ) = ax (x + r )2 = axx 2 + 2rx + r 2，2=a (r - x )(x + r )，所以当 x < -r 或 x > r 时， f ' (x ) < 0 ，当 -r < x < r 时， f ' (x ) > 0 ．因此， f (x ) 的单调递减区间为 (-∞, -r ) 和 (r, +∞) ， f (x ) 的单调递增区间为 (-r, r ) ．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知 f ' (r ) = 0 ， f (x ) 在 (0, r )上单调递增，在 (r, +∞ ) 上单调递减，= = 100 ．因此， x = r 是 f (x ) 的极大值点．所以 f (x ) 在 (0, +∞ ) 内的极大值为 f (r ) =所以 f (x ) 在 (0, +∞ ) 内极大值为 100，无极小值．ar (2r )2 = a 4004r 4。
2015年安徽省高考数学试卷文科-高考试卷
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．【分析】（1）利用V P=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，=•S△ABC•PA=；所以V P﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．。
安徽高考文科数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数（1-i ）（1+2i ）= ( )（A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i （2）设全集U = { 1，2，3，4，5，6 }，A = {1，2 }，B = { 2，3，4 }，则A ∩R B =()（A ） { 1，2，5，6 } （B ） { 1 } （C ） { 2 } （D ） { 1，2，3，4 } （3）设p ：x < 3，q ：-1< x < 3，则p 是q 成立的 ( )（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )（A ）y = ln x （B ）y = x 2+1 （C ）y = sin x （D ）y = cos x（5）已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-1040y y x y x ，则z = -2x +y 的最大值是( )（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 （6）下列双曲线中，渐近线方程为x y 2±=的是( )（A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）1222=-y x （D ）2212x y -= （7）执行如图所示的程序框图（算法流程图）， 输出的n 为( )（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b = ( )（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12（9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 （10）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是( )（A ）a > 0，b < 0，c > 0，d > 0 （B ）a > 0，b < 0，c < 0，d > 0 （C ）a < 0，b < 0，c < 0，d > 0 （D ）a > 0，b > 0，c > 0，d < 0第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）1)21(2lg 225lg--+= ． （12）在△ABC 中， 45756=∠=∠=B A AB ，，，则AC= ．（13）已知数列{ a n }中，)2(21111≥+==-n a a a n n ，，则数列{ a n }的前9项和等于 ． （14）在平面直角坐标系xOy 中，若直线y = 2a 与函数y = | x-a | -1的图像只有一个交点，则a 的值为 ．（15）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos )cos (sin )(2++= （I ）求f (x ) 最小正周期；（II ）求f (x ) 在区间 ]20[π， 上的最大值和最小值．（17）（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100] （I ）求频率分布图中a 的值；（II ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（III ）从评分在 [40，60] 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率.（18）（本小题满分12分）已知数列{ a n }是递增的等比数列，且a 1 + a 4 = 9，a 2 a 3 = 8 （I ）求数列{ a n }的通项公式；（II ）设S n 为数列{ a n }的前n 项和，11++=n n n n S S a b ，求数列{ b n }的前n 项和T n ．（19）（本小题满分13分）如图，三棱锥P-ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A =1，AB =1，AC =2，∠BAC =60°．（I ）求三棱锥P-ABC 的体积；（II ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求MCPM的值．（20）（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为)0(12222>>=+b a by a x 点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a ，0），点B的坐标为（0，b ），点M 在线段AB 上，满足|BM | = 2|MA |，直线OM 的斜率为105． （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为（0，-b ），N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．（21）（本小题满分13分） 已知函数)00()()(2>>+=r a r x axx f ，．（I ）求f (x ) 的定义域，并讨论f (x ) 的单调性； （II ）若400=ra，求f (x ) 在（0，+∞）内的极值．参考答案一、选择题1.C2.B3.C4.D5. A6.A7.B 8 D 9.C 10.A 二;填空题（11）-1 （12） 2 （13）27 （14）12（15）①④⑤三.解答题16.1718.19..20.21.。
2015年高考安徽卷文数试题解析(解析版)
一、选择题（1）设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】c【解析】因为2(1i)(12i)12i i 2i 3i -+=+--=+，故选（C ）. 【考点】本题主要考查复数的乘法运算公式•【点睛】在应用笈数的乘法运算公式时，一定要注意22i -的运算结果，本题很好的考查了考生的基本 运算能力.（2）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =I （ ）[来源:学科网] （A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，【答案】8【解析】{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4U B ==，所以{}1,5,6U C B =，又{}1,2A =，所以{}()1U A C B =I ，故选（B ）.【考点】本题主要是考查了集合的交集、补集运算.【点睛】学生在求CuB 时，切不可遗漏，造成解答错，本题考查了考生的基本运算能力 （3）设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件[来源:学科网ZXXK] （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】c【解析】因为:3,:13p x q x <-<<，所以,q p p q ⇒≠>，即p 是q 成立的必要不充分条件，故选（C ）.【考点】本题主要考查充分、必要条件的判断.【点睛】在判断充分、必要条件时，考生一定要作好三个歩骤：①p ⇒q 是否成立；②q ⇒p 是否成 立；③形成结论，本题考查了考生的逻辑分析能力.（4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx【答案】D【解析】因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，所以ln y x =不具有奇偶性；因为21y x =+是偶函数，但方程210x +=无解，即21y x =+不存在零点；sin y x =是奇函数；因为cos y x =是偶函数，且由cos 0y x ==，解得,,2x k k ππ=+∈Z 知函数存在零点，故选（D ）.［考点】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念•【点睛】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断，f (x)与 f(-X)的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与X 轴是否有交点；②令f(x) = 0是否有 解；本题考查考生的综合分析能力.（5）已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=2的最大值是（ ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A【解析】 由不等式组0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，得可行域如图所示：由2z x y =-+，得2y x z =+，由图知，直线过点(1,1)A 时，2z x y =-+取到最大值为1-，故选(A).【考点】本题主要考查了简单的线性规划.【点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考查了考生的数 形结合能力和基本运算能力.（6）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案］A【解析】选项（A ）中，1,2a b ==，所以渐近线方程为2y x =±，故选（A ）.【考点】本题主要考查双曲线的渐近线公式一【点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选 用各自对应的公式，切不可混淆.（7）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）是输出nn =n +1a =1+11+aa -1.414≥0.005?开始a=1，n=1（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一次循环得到3,22a n ==，此时 1.414 1.5 1.4140.0860.005a -=-=≥，第二次循环得到7,35a n ==，此时 1.414 1.4 1.4140.0140.005a -=-=≥，第三次循环得到17,412a n ==，此时1.4140.005a -<，此时不满足判断条件，输出4n =，故选（B ）.【考点】本题主要考查程序框图以及循环结构的判断【点睛】考生在解决程序框图以及循环结构时，首先要明确循环的条件，其次在计算的过程中要细心, 本题还考查了考生的计算能力.（8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12【答案】D【解析】由222210x y x y +--+=，得圆心坐标为(1,1)，半径为1，因为直线34x y b +=与圆相切，所2234134b +-=+，解得2,b =或12b =，故选（D ）.【考点】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的 距离公式的应用.【点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程 联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0,0,0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位買关 系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,然后再将d 与圆的半 径r 进行判断，若d>r 则相离；若d = r 则相切；若d<r 则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算 能力（9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）ACBPO（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【答案】c【解析】由该几何体的三视图可知直观图如图所示，其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知2PA PC AB BC ====，取AC 的中点O ，连结,PO BO ，则在Rt POB ∆中，因为1PO BO ==，所以2PB =，所以223122222342S =⨯⨯+⨯⨯=+（）（），故选(C).【考点】本题主要考查空间几何体的三视图、椎体表面积公式【点睛】在利用空间几何嫌的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图, 然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力•（10）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <0 【答案】A【解析】由函数()f x 的图像可知0a >，令0x =，得0d >.又2()32f x ax bx c '=++，设12,x x 是()0f x '=的两根，由图可知120,0x x >>，所以121220303b x x ac x x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪⋅=>⎪⎩，所以00b c <⎧⎨>⎩，故选(A).【考点】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.【点睛】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结合函数的单调 性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.二、填空题 （11）=-+-1)21(2lg 225lg .【答案】-1【解析】原式lg5lg 22lg 22lg5lg 22121=-+-=+-=-=-. 【考点】对数运算和指数幂运算公式【点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键.[来源:学|科|网Z|X|X|K]（12）在ABC ∆中，6=AB ，ο75=∠A ，ο45=∠B ，则=AC .【答案】2 【解析】因为006,75,45AB A B =∠=∠=，由正弦定理可知：6sin 45AC=，解得2AC =.【考点】正余弦定理的应用【点睛】熟练掌握正弦定理的使用条件是解决本题的关键。
2015年安徽省高考数学试卷(文科)
2015 年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分） 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷）数学（文科）1．（5 分）设 i 是虚数单位，则复数（ 1﹣i）（1+2i） =（）A．3+3i B．﹣ 1+3i C． 3+i D．﹣ 1+i2．（5 分）设全集 U={ 1，2， 3，4， 5，6} ，A={ 1，2} ， B={ 2，3，4} ，则 A∩（ ? U B）=（）A．{ 1，2，5，6} B．{ 1} C．{ 2} D．{ 1，2，3，4}3．（5 分）设 p：x＜3，q：﹣ 1＜x＜3，则 p 是 q 建立的（）A．充足必需条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件4．（5 分）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（ 5 分）已知 x，y 知足拘束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣ 1 B．﹣2 C．﹣ 5 D．16．（5 分）以下双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（）A．x 2﹣ =1 B．﹣ y2=1．2﹣ =1 D．﹣y2C x=17．（5 分）履行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6．（分）直线3x+4y=b 与圆 x 2+y2﹣2x﹣ 2y+1=0 相切，则 b=（）8 5A．﹣2 或 12B．2 或﹣ 12C．﹣ 2 或﹣ 12 D．2 或 129．（5分）一个四周体的三视图如下图，则该四周体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210（．5 分）函数（fx）=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图，则以下结论建立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B． a＞ 0， b＜ 0， c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D． a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， d＜0二、填空﹣1．11．（ 3 分） lg +2lg2（）=12．（ 3 分）在△ ABC中， AB=，∠ A=75°，∠ B=45°， AC=．13．（ 3 分）已知数列 { a n} 中， a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），数列 { a n} 的前 9 和等于．14．（ 3 分）在平面直角坐系xOy 中，若直 y=2a 与函数 y=| x a| 1 的象只有一个交点， a 的．15．（3 分）△ABC是 2 的等三角形，已知向量足=2 ，=2 + ，以下中正确的选项是．（写出全部正确得序号）① 位向量；②位向量；③；④ ∥；⑤（ 4+ ）⊥．三、解答16．已知函数 f （x）=（sinx+cosx）2+2cos2．x（Ⅰ）求 f（ x）最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区 [ 0，] 上的最大和最小．17．某企认识部下某部本企工的服状况，随机 50 名工，依据 50 名工部的分，制率散布直方（如所示），此中本数据分区 [ 40， 50] ，[ 50，60] ，⋯，[ 80，90] ，[ 90， 100]（ 1）求率散布中 a 的；（ 2）估企的工部分不低于80 的概率；（ 3）从分在 [ 40，60] 的受工中，随机抽取 2 人，求此 2 人分都在 [ 40，50] 的概率．n}是递加的等比数列，且a1+a4，23 ．18．已知数列 { a=9 a a =8（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 S n为数列 { a n} 的前 n 项和， b n=，求数列{ b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥 P﹣ABC中，PA⊥平面 ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（ 1）求三棱锥 P﹣ABC的体积；（ 2）证明：在线段PC上存在点 M ，使得 AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆 E 的方程为=1（a＞b＞0），点 O 为坐标原点，点A 的坐标为（ a，0），点 B 的坐标为（ 0，b），点 M 在线段 AB 上，知足 | BM| =2| MA| ，直线 OM 的斜率为．（1）求 E 的离心率 e；（2）设点 C 的坐标为（ 0，﹣ b），N 为线段 AC的中点，证明： MN⊥ AB．21．已知函数 f （x）=（a＞0，r＞0）（ 1）求 f （x）的定义域，并议论f（x）的单一性；（ 2）若=400，求 f（x）在（ 0， +∞）内的极值．2015 年安徽省高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分） 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷）数学（文科）1．（5 分）设 i 是虚数单位，则复数（ 1﹣i）（1+2i） =（）A．3+3i B．﹣ 1+3i C． 3+i D．﹣ 1+i【剖析】直接利用复数的多项式乘法睁开求解即可．【解答】解：复数（ 1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．应选： C．【评论】此题考察复数的代数形式的混淆运算，基本知识的考察．2．（5 分）设全集 U={ 1，2， 3，4， 5，6} ，A={ 1，2} ， B={ 2，3，4} ，则 A∩（ ? U B）=（）A．{ 1，2，5，6} B．{ 1} C．{ 2} D．{ 1，2，3，4}【剖析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解： ?R B={ 1，5，6} ；∴A∩（ ?R B）={ 1，2} ∩{ 1，5，6} ={ 1} ．应选： B．【评论】考察全集、补集，及交集的观点，以及补集、交集的运算，列举法表示会合．3．（5 分）设 p：x＜3，q：﹣ 1＜x＜3，则 p 是 q 建立的（）A．充足必需条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件【剖析】判断必需条件与充足条件，推出结果即可．【解答】解：设 p：x＜ 3， q：﹣ 1＜x＜3，则 p 建立，不必定有 q 建立，可是 q 建立，必有 p 建立，所以 p 是 q 建立的必需不充足条件．应选： C．【评论】此题考察充要条件的判断与应用，基本知识的考察．4．（5 分）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）2【剖析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别剖析解答．【解答】解：对于 A，y=lnx 定义域为（ 0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于 B，是偶函数，可是不存在零点；对于 C，sin（﹣ x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数而且有无数个零点；应选： D．【评论】此题考察了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性第一要判断函数的定义域，在定义域对于原点对称的前提下判断（f﹣x）与（f x）的关系．5．（ 5 分）已知 x，y 知足拘束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣ 1 B．﹣2 C．﹣ 5 D．1【剖析】第一画出平面地区， z=﹣2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面地区如图暗影部分，当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由获得A（1，1），所以 z 的最大值为﹣ 2×1+1=﹣1；应选： A．【评论】此题考察了简单线性规划，画出平面地区，剖析目标函数取最值时与平面地区的关系是重点．6．（5 分）以下双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（）A．x 2﹣ =1 B．﹣ y2．2﹣ =1 D．﹣y2=1 C x=1【剖析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可获得答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（ a＞ 0，b＞ 0）的渐近线方程为y=±x，由A 可得渐近线方程为y=±2x，由 B 可得渐近线方程为 y=± x，由 C 可得渐近线方程为 y=x，由 D 可得渐近线方程为y=x．应选： A．【评论】此题考察双曲线的方程和性质，主要考察双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5 分）履行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的a，n 的值，当 a=时不知足条件 | a﹣1.414| =0.00267＞0.005，退出循环，输出n 的值为 4．【解答】解：模拟履行程序框图，可得a=1， n=1知足条件 | a﹣1.414| ＞0.005，a=，n=2知足条件 | a﹣1.414| ＞0.005，a=，n=3知足条件 | a﹣1.414| ＞0.005，a=，n=4不知足条件 | a﹣1.414| =0.00267＞0.005，退出循环，输出n 的值为 4．应选： B．【评论】此题主要考察了循环构造的程序框图，正确写出每次循环获得的a，n 的值是解题的重点，属于基础题．．（分）直线3x+4y=b 与圆x2+y2﹣2x﹣ 2y+1=0 相切，则 b=（）8 5A．﹣2 或 12B．2 或﹣ 12C．﹣ 2 或﹣ 12D．2 或 12【剖析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得 b 值．【解答】解：由圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（ x﹣ 1）2+（y﹣ 1）2=1，∴圆心坐标为（ 1，1），半径为 1，∵直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 相切，∴圆心（ 1， 1）到直线 3x+4y﹣b=0 的距离等于圆的半径，即，解得： b=2 或 b=12．应选： D．【评论】此题考察圆的切线方程，考察了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5 分）一个四周体的三视图如下图，则该四周体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【剖析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面 ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△ OAB≌△ OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥 O﹣ ABC，OE⊥底面 ABC，EA=ED=1， OE=1， AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△ OAB≌△ OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四周体的表面积： 2，应选： C．【评论】此题考察了三棱锥的三视图的运用，重点是恢复几何体的直观图，考察了学生的空间思想能力．10（．5 分）函数（fx）=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图，则以下结论建立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B． a＞ 0， b＜ 0， c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D． a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， d＜0【剖析】依据函数的图象和性质，利用清除法进行判断即可．【解答】解： f（0）=d＞ 0，清除 D，当 x→+∞时， y→+∞，∴ a＞ 0，清除 C，函数的导数 f ′（x）=3ax2+2bx+c，则 f ′（x） =0 有两个不一样的正实根，则 x1+x2=﹣＞ 0 且 x1x2=＞0，（ a＞ 0），∴ b＜ 0， c＞0，方法 2：f ′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当 x＜ x1时函数递加，当 x1＜ x＜ x2时函数递减，则 f ′（ x）对应的图象张口向上，则 a＞0，且 x1+x2﹣＞0且 1 2＞，（＞），=x x =0 a0∴b＜ 0， c＞0，应选： A．【评论】此题主要考察函数图象的辨别和判断，依据函数图象的信息，联合函数的极值及 f（ 0）的符号是解决此题的重点．二、填空题11．（ 3 分） lg +2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【剖析】依据指数幂和对数的运算法例计算即可．﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣ 2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣ 1．【评论】此题主要考察了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（ 3 分）在△ ABC中， AB=，∠ A=75°，∠ B=45°，则AC=2．【剖析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可获得AC．【解答】解：∠ A=75°，∠ B=45°，则∠ C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有 AC==2．故答案为： 2．【评论】此题考察正弦定理的运用，同时考察三角形的内角和定理，考察运算能力，属于基础题．13．（ 3 分）已知数列 { a n} 中， a1=1，a n=a n﹣1+ （n≥2），则数列 { a n} 的前 9 项和等于27．【剖析】经过 a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，从而由乞降公式即得结论．【解答】解：∵ a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1= （n≥ 2），∴数列 { a n} 的公差 d= ，又 a1=1，∴a n=1+ （n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36× =27，故答案为： 27．【评论】此题考察等差数列的乞降，注意解题方法的累积，属于基础题．14．（ 3 分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线 y=2a 与函数 y=| x﹣a| ﹣ 1 的图象只有一个交点，则 a 的值为．【剖析】由已知直线 y=2a 与函数 y=| x﹣ a| ﹣1 的图象特色剖析一个交点时，两个图象的地点，确立 a．【解答】解：由已知直线 y=2a 是平行于 x 轴的直线，因为 y=x﹣a 为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=| x﹣a| ﹣1 的图象是折线，所以直线y=2a 过折线极点时知足题意，所以 2a=﹣ 1，解得 a=﹣；故答案为：．【评论】此题考察了函数的图象；考察利用数形联合求参数．15．（3 分）△ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量知足=2 ，=2 + ，则以下结论中正确的选项是①④⑤．（写出全部正确结论得序号）① 为单位向量；②为单位向量；③；④ ∥；⑤（4 +）⊥．【剖析】利用向量的三角形法例以及向量数目积的公式对各结论分别剖析选择．【解答】解：△ ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量知足=2 ，=2 +，则 =，AB=2，所以 | | =1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故 || =2；故②错误；④正确；夹角为 120°，故③错误；⑤（ 4 + ）? =4=4×1×2×cos120°+4=﹣ 4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点】本考了向量的数目运用；注意三角形的内角与向量的角的关系．三、解答16．已知函数 f （x）=（sinx+cosx）2+2cos2．x（Ⅰ）求 f（ x）最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区 [ 0， ] 上的最大和最小．【剖析】（Ⅰ）化函数 f （x）正弦型函数，即可求出 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）由 0≤x≤求出2x+的取范，再依据正弦函数的象与性即可求出 f （x）的最．【解答】解：（Ⅰ） f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+ ）+2，⋯（4 分）所以 f （x）的最小正周期T=π；⋯（6 分）（Ⅱ）由 0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+ ≤；⋯（8分）依据正弦函数 y=sinx 的象可知当， f （x）有最大2+ ，⋯（11 分）当， f （x）有最小1．⋯（13 分）【点】本考了三角函数的化以及三角函数的象与性的用，是基目．17．某企认识部下某部本企工的服状况，随机 50 名工，依据 50 名工部的分，制率散布直方（如所示），此中本数据分区 [ 40， 50] ，[ 50，60] ，⋯，[ 80，90] ，[ 90， 100]（ 1）求率散布中 a 的；（ 2）预计该公司的员工对该部门评分不低于80 的概率；（ 3）从评分在 [ 40，60] 的受访员工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 [ 40，50] 的概率．【剖析】（1）利用频次散布直方图中的信息，全部矩形的面积和为1，获得 a；（ 2）对该部门评分不低于80 的即为 90 和 100，的求出频次，预计概率；（ 3）求出评分在 [ 40，60] 的受访员工和评分都在[ 40，50] 的人数，随机抽取2人，列举法求出全部可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（ 0.004+a+0.018+0.022× 2+0.028）×10=1，解得 a=0.006；（2）由已知的频次散布直方图可知， 50 名受访员工评分不低于 80 的频次为（0.022+0.018）× 10=0.4，所以该公司员工对该部门评分不低于 80 的概率的预计值为 0.4；（3）受访员工中评分在 [ 50，60）的有： 50×0.006×10=3（人），记为 A1，A2，A3；受访员工评分在 [ 40， 50）的有： 50×0.004×10=2（人），记为 B1，B2．从这 5 名受访员工中随机抽取 2 人，全部可能的结果共有10 种，分别是 { A1，A2} ，{ A1，A3} ，{ A1，B1} ，{ A1，B2} ，{ A2，A3} ，{ A2，B1} ，{ A2， B2} ，{ A3，B1} ，{ A3，B2} ，{ B1，B2} ，又因为所抽取 2 人的评分都在 [ 40， 50）的结果有 1 种，即 { B1，B2} ，故所求的概率为 P= ．【评论】此题考察了频次散布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频次预计概率，考察了利用列举法求知足条件的事件，并求概率．n}是递加的等比数列，且a1+a4，23 ．18．已知数列 { a=9 a a =8（ 1）求数列 { a n} 的通公式；（ 2） S n数列 { a n} 的前 n 和， b n=，求数列n}的前n和T n．{ b【剖析】（1）依据等比数列的通公式求出首和公比即可，求数列 { a n} 的通公式；（ 2）求出 b n=，利用裂法即可求数列{ b n} 的前 n 和 T n．【解答】解：（1）∵数列 { a n} 是增的等比数列，且a1+a4，2 3．=9 a a =8∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得 a1=1，a4=8 或 a1=8，a4=1（舍），解得 q=2，即数列 { a n} 的通公式 a n=2n﹣1；（ 2） S n==2n1，∴ b n===，∴数列 { b } 的前n 和 T⋯=n n=+ +=1．【点】本主要考数列的通公式以及数列乞降的算，利用裂法是解决本的关．19．如，三棱 P ABC中，PA⊥平面 ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（ 1）求三棱 P ABC的体；（ 2）明：在段PC上存在点 M ，使得 AC⊥BM，并求的．【剖析】（1）利用 V P﹣ABC=?S△ABC?PA，求三棱锥 P﹣ABC的体积；（ 2）过 B 作 BN⊥AC，垂足为 N，过 N 作 MN∥PA，交 PC于点 M ，连结 BM，证明 AC⊥平面 MBN，可得 AC⊥ BM，利用 MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设， AB=1，AC=2，∠ BAC=60°，可得 S△ABC=．=因为 PA⊥平面 ABC，PA=1，所以 V P﹣ABC= ?S△ABC?PA=；（2）解：过 B 作 BN⊥ AC，垂足为 N，过 N 作 MN ∥PA，交 PC于点 M，连结 BM，由 PA⊥平面 ABC，知 PA⊥AC，所以 MN⊥AC，因为 BN∩MN=N，所以 AC⊥平面 MBN．因为 BM? 平面 MBN，所以 AC⊥BM．在直角△ BAN中， AN=AB?cos∠BAC= ，从而 NC=AC﹣AN=．由 MN∥PA得 = = ．【评论】此题考察三棱锥 P﹣ABC的体积的计算，考察线面垂直的判断与性质的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆 E 的方程为=1（a＞b＞0），点 O 为坐标原点，点A 的坐标为（ a，0），点 B 的坐标为（ 0，b），点 M 在线段 AB 上，知足 | BM| =2| MA| ，直线 OM 的斜率为．（1）求 E 的离心率 e；（2）设点 C 的坐标为（ 0，﹣ b），N 为线段 AC的中点，证明： MN⊥ AB．【剖析】（1）经过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（ 2）经过中点坐标公式解得点N 坐标，利用?=0 即得结论．【解答】（1）解：设 M （x， y），∵ A（ a， 0）、B（0，b），点 M 在线段 AB 上且| BM| =2| MA| ，∴=2 ，即（ x﹣ 0， y﹣ b） =2（a﹣x，0﹣y），解得 x= a，y= b，即 M （ a， b），又∵直线 OM 的斜率为，∴=，∴ a= b， c==2b，∴椭圆 E的离心率 e= =；（2）证明：∵点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴ =（，），又∵=（﹣ a， b），∴? =（﹣ a，b）?（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（ 1）可知 a2=5b2，故? =0，即 MN⊥AB．【评论】此题考察运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考察运算求解能力、注意解题方法的累积，属于中档题．21．已知函数 f （x）=（a＞0，r＞0）（1）求 f （x）的定义域，并议论 f（x）的单一性；（2）若 =400，求 f（x）在（ 0， +∞）内的极值．【剖析】（1）经过令分母不为0 即得 f（x）的定义域，经过求导即得f（x）的单调区间；（ 2）经过（ 1）知 x=r 是 f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数 f（ x） =（a＞0，r＞0），∴ x≠﹣ r，即 f （x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣ r，+∞）．又∵ f（ x） ==，∴ f ′（ x）==，∴当 x＜﹣ r 或 x＞ r 时， f ′（x）＜ 0；当﹣ r＜ x＜ r 时， f ′（x）＞ 0；所以， f （x）的单一递减区间为：（﹣∞，﹣ r）、（r， +∞），递加区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得 f （′x）=0，f（ x）在（ 0，r）上单一递加，在（ r，+∞）上单一递减，∴ x=r 是 f（x）的极大值点，∴ f（x）在（ 0， +∞）内的极大值为 f（r） == ==100．【评论】此题考察函数的定义域、单一区间、极值，注意解题方法的累积，属于中档题．。
2015年高考文科数学安徽卷有答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无．．．．．．．．．．．．效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．. 4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 是虚数单位，则复数(1i)(12i)-+=（ ）A. 33i +B. 13i -+C. 3i +D. 1i -+2. 设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2}A =，{2,3,4}B =，则()U AB =ð（ ）A. {1,2,5,6}B. {1}C. {2}D. {1,2,3,4}3. 设3p x <：，13q x -<<：，则p 是q 成立的 （ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 （ ）A. ln y x =B. 21y x =+C. sin y x =D. cos y x =5. 已知x ，y 满足约束条件0,40,1,x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则2z x y =-+的最大值是（ ）A. 1-B. 2-C. 5-D. 1 6. 下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214y x -=B. 2214x y -=C. 2212y x -=D. 2212x y -=7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 68. 直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是 （ ）A. 2-或12B. 2或12-C. 2-或12-D. 2或129. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A. 1B. 1+C. 2+D. 10. 函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是 （ ）A. 0a >，0b <，0c >，0d >B. 0a >，0b <，0c <，0d >C. 0a <，0b <，0c >，0d >D. 0a >，0b >，0c >，0d <姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上. 11. 151lg 2lg2()22-+-=__________.12. 在ABC △中，AB =75A ∠=，45B ∠=，则AC =__________.13. 已知数列{}n a 中，11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，则数列{}n a 的前9项和等于__________. 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为__________.15. ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB =2a ，AC =2a +b ，则下列结论正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a ⊥b ；④b BC ∥；⑤(4a +b )BC ⊥.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17.（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分13分）如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=. （Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.20.（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为222210x y a b a b+=>>（），点O 为坐标原点，点A 的坐标为(0)a ，，点B 的坐标为(0)b ，，点M 在线段AB 上，满足||2||BM MA =，直线OM的斜率为. （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为(0)b -，，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .21.（本小题满分13分）已知函数2()(0,0)()axf x a r x r =>>+. （Ⅰ）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若400ar=，求()f x 在(0,)+∞内的极值.2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学(文科)答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】复数(1i)(1+2i)=1+2i+2i=3+i --. 【提示】直接利用复数的多项式乘法展开求解 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】B【解析】1,5{},6R B =ð；{}()1,2{}{1}1,5,6R A B ∴==ð.故选：B ． 【提示】进行补集、交集的运算 【考点】交集，并集，补集的混合运算 3.【答案】C【解析】设:3p x <，:13q x -<<，则p 成立，不一定有q 成立，但是q 成立，必有p 成立，所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选：C. 【提示】判断必要条件与充分条件，推出结果 【考点】必要条件，充分条件，充要条件 4.【答案】D【解析】对于A ，ln y x =，定义域为(0,)+∞，所以是非奇非偶的函数； 对于B ，是偶函数，但是不存在零点； 对于C ，sin()sin x x -=-，是奇函数；对于D ，cos()cos x x -=，是偶函数并且有无数个零点 【提示】利用函数奇偶性的判断以及零点的定义分别分析解答 【考点】函数的零点，函数奇偶性的判断. 5.【答案】A【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线2y x z =+经过A 时使得z最大，由01x y y -=⎧⎨=⎩，得到(1,1)A ，所以z 的最大值为2111-⨯+=-故选：A.【提示】首先画出平面区域，2z x y =-+的最大值就是2y x z =+在y 轴的截距的最大值 【考点】简单线性规划故选：A【提示】由双曲线方程22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为b y x a =±，对选项一一判断【考点】双曲线的简单性质故选：B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到a ，n 的值 【考点】程序框图【提示】由直线与圆相切得到圆心到直线的距离d r =，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解 【考点】圆的切线方程【提示】判断得出三棱锥O ABC -，OE ADC ⊥底面，1EA ED ==，1OE =，AB BC ==AB BC ⊥，可判断；OAB OBC ∆∆≌的直角三角形，运用面积求解即可【考点】空间几何体的表面积和体积 10.【答案】A【解析】(0)0f d =>，排除D ，当x →+∞时，y →+∞，∴0a >，排除C ，函数的导数2()32f x ax bx c '=++，则()0f x '=有两个不同的正实根，则(0)0f c '=>，排除B ，故选：A.【提示】根据函数的图像和性质，利用排除法进行判断即可 【考点】函数的图像第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】1-【解析】原式lg5lg22lg22lg5lg22lg10212 1.=-+-=+-=-=-=- 【提示】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项 【考点】对数的运算性质 75，45∠，则80754560--=，由正60s i n 45BA C=， 26⨯【提示】由三角形的内角和定理可得角C ，再由正弦定理，计算即可得到AC 【考点】正弦定理 13.【答案】27【解析】∵112n n a a -=+(2)n ≥，∴112n n a a -=-(2)n ≥，∴数列{}n a 的公差12d =，又11a =， ∴111122n n a n +=+-=（），∴919(91)199362722S a d ⨯-=+=+⨯=，故答案为：27. 【提示】通过112n n a a -=+(2)n ≥可得公差，进而由求和公式即得结论【考点】数列递推式 【提示】由已知直线2y a =与函数1||y x a =--的图像特点分析一个交点时，两个图像的位置，确定A【考点】函数的零点与方程根的关系 15.【答案】①④⑤【解析】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB a =，2AC a b =+，则12a AB =，AB =，所以1a =，即a 是单位向量；①正确；因为2AC AB BC a b =+=+，所以BC b =，故2b =；故②错误；④正确；a 、b夹角为120°，故③错误；a 2(4)4412cos1204440a b bc a b b +=+=⨯⨯⨯+=-+=故答案为：①④⑤.【提示】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择 【考点】平面向量数量积的运算 三、解答题16.【答案】（1）最小正周期为π（2）()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥上的取得最小值为0，最大值为1+（2）在区间0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，2,444x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，故当π5π244x +=时，()f x 取得最小值为102⎛+= ⎝⎭-，当ππ242x +=时，()f x 取得最大值为111=【提示】由条件利用三角恒等变换求得()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性求得()f x 最小正周期，由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值【考点】三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（1）0.006a = （2）0.4 （3）110P =. 【解析】解：（1）因为(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得0.006a =； （2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)104+⨯=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；【考点】频率分布直方图，古典概型18.【答案】（1）12n n a =﹣（2）11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+-=⋯+-=-- 【解析】（1）∵数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =. ∴149a a +=，418a a =.解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍），解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a =﹣；（2）1(1)211n nn a q S q-==--，∴1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，∴数列{}n b 的前n 项和1111111111121n n T S S S S S S S S +=-+-+-=⋯+-=-- 【考点】等比数列的通项公式，列项相消法求和19.【答案】（1）1336P ABC ABC V S PA -==△ （2）13PM AN MC NC == 【解析】解：（1）由题设，1AB =，2AC =，60BAC ∠=，可得3sin 602AB AC =ABC 平面，PA =1336ABC S PA =△；MN PA ∥，交PA N M N =c o s A B B A ∠1336ABC S PA ∆=，求三棱锥PA ∥，交PA 于点PM【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，点、线、面间的距离计算(,)M x y (,0)A a (0,)B b||2||BM MA = （2）证明：∵点c 的坐标为(0,)b -，N 为线段AC 的中点，∴()22N ,-，∴()66NM ,-，又∵()AB a -,b ，∴2222551()(,)(5)66666a b a AB NM a b b a =--=-+=-,b ，由（1）可知22坐标，利用0AB NM =即得结论【考点】直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质21.【答案】（1）()f x 的定义域为(,)(,)r r ∞-+∞-，()f x 的单调递减区间为：(,)r ∞--、(,)r +∞，递增区间为：(,)r r -（2）极大值为2400()100(2)44ar a f r r r ==== )(,)r +∞∵2(2a x rx +（2）由（1）的解答可得()0f x '=，()f x 在(0,)r 上单调递增，在()r +∞，上单调递减，∴x r =是()f x 的极大值点，∴()f x 在(0,)+∞内的极大值为2400()100(2)44ar a f r r r ====【提示】通过令分母不为0即得()f x 的定义域，通过求导即得()f x 的单调区间，通过（1）知x r =是()f x 的极大值点，计算即可.【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性.。
2015年全国高考文科数学试题—安徽卷
2015年全国高考文科数学试题—安徽卷1.设i 是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A. 33i + B. 13i -+ C. 3i +D. 1i -+答案：C分析：因为2(1)(12)1223i i i i i i-+=+--=+，故选C .2.设全集{1,2,3,4,5,6},{1,2},{2,3,4}U A B ===，则()U A B ⋂=（ ） A. {1,2,5,6}B. {1}C. {2}D. {1,2,3,4}答案：B分析：∵{1,5,6}UB =，∴(){1}U A B ⋂=， ∴选B .3.设p ： 3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件答案：C分析：∵:3,:13p x q x <-<<，∴q p ⇒，但p q ⇒/，∴p 是q 成立的必要不充分条件，故选C .4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. ln y x =B. 21y x =+ C. sin y x = D. cos y x =答案：D分析：选项A ： ln y x =的定义域为(0,)+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错误；选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 0,2y x x k k Zππ==⇒=+∈，故D 项正确.5.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）A. 1-B. 2-C. 5-D. 1答案：A分析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令22z x y y x z =-+⇒=--，可知在图中(1,1)A 处，2z x y =-+取到最大值1-，故选A .6.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214y x -= B. 2214x y -= C. 2212y x -= D. 2212x y -=答案：A分析：由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为2y x =±，故选A .7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B分析：执行第一次循环体：3,22a n ==；此时| 1.414||1.5 1.414|0.0860.005a -=-=≥；执行第二次循环体：7,35a n ==；此时| 1.414||1.4 1.414|0.0140.005a -=-=≥；执行第三次循环体：17,412a n ==；此时| 1.414|0.005a -<，此时不满足，判断条件，输出4n =，故选B .8.直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）A. 2-或12B. 2或12-C. 2-或12-D. 2或12答案：D分析：∵直线34x y b +=与圆心为(1,1)，半径为112b =⇒=或12，故选D .9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A. 121+ D. 答案：B分析：由题意，该四面体的直观图如下，,ABD BCD ∆∆是直角三角形，,ABC ACD ∆∆是等边三角形，则112BCD ABD S S ∆∆==，1602ABC ACD S S ︒∆∆===所以四面体的表面积2122BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+=故选B ．10.函数32()f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）A. 0,0,0,0a b c d ><>>B. 0,0,0,0a b c d ><<>C. 0,0,0,0a b c d <<<>D. 0,0,0,0a b c d >>><答案：A分析：由函数()f x 的图象可知0a >，令00x d =⇒>又2()32f x ax bx c '=++，可知12,x x 是()0f x '=的两根.由图可知120,0x x >>，∴12122003003b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩ ；故A 正确.11.151lg 2lg 2()22-+-=_____.答案：1-分析：原式lg5lg 22lg 2lg5lg 22121=-+-=+-=-=-.12.在ABC ∆中，75,45AB A B ︒︒=∠=∠= ，则AC =______.答案：2分析：由正弦定理可知：2sin[180(7545)]sin 45sin 45AB AC ACAC ︒︒︒︒︒=⇒=⇒=-+.13..已知数列{}n a 中，1111,(2)2n n a a a n -==+≥，则数列{}n a 的前9项和等于_____.答案：27分析：∵2n ≥时，112n n a a -=+，且2112a a =+，∴{}n a 是以1a 为首项，12为公差的等差数列，9981919182722S ⨯∴=⨯+⨯=+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图像只有一个交点，则a 的值为_____.答案：12-分析：在同一直角坐株系内，作出2y a =与||1y x a =--的大致图像，如下图：由题意，可知1212a a =-⇒=-.15.是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则下列结论中正确的是_____.（写出所有正确结论得序号）①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a b ⊥；④b ∥BC ；⑤(4)a b BC +⊥. 答案：①④⑤分析：∵等边三角形ABC 的边长为2，2AB a =，∴||2||2||1AB a a ==⇒=，故①正确； ∵2AC AB BC a BC =+=+，∴||2BC b b =⇒=，故②错误，④正确； 由于2,AB a BC b a ==⇒与b 夹角为120︒，故③错误；又∵ 21(4)(4)4||412()402a b BC a b b a b b +⋅=+⋅=⋅+=⨯⨯⨯-+=，∴(4)a b BC +⊥，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.。
2015年安徽省高考数学试卷(文科)解析
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=17．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6 8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12 9．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．解答：解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：进行补集、交集的运算即可．解答：解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．点评：考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：判断必要条件与充分条件，推出结果即可．解答：解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．解答：解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．解答：解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．点评：本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．解答：解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12。
2015年高考文数真题试卷(安徽卷)【答案加解析】
2015年高考文数真题试卷（安徽卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·安徽）设i是虚数单位，则复数（1-i）（1+2i)=（）A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i2.（2015·安徽）设全集，，，则=（）A. {1,2,5,6}B. {1}C. {2}D. {1,2,3,4,}3.（2015·安徽）设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.（2015·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A. y=lnxB.C. y=sinxD. y=cosx5.（2015·安徽）已知x，y满足约束条件，则z=-2x+y的最大值是（）A. -1B. -2C. -5D. 16.（2015·安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.（2015·安徽）直线3x+4y=b与圆相切，则b=（）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或128.（2015·安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A. B. C. D.9.（2015·安徽）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A. a>0，b<0，c>0，d>0B. a>0，b<0，c<0，d>0C. a<0，b<0，c<0，d>0D. a>0，b>0，c>0，d<0二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卡相应的位置10.（2015安徽）________。
2015年安徽高考数学文科试卷带详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学安徽卷（文科）一、选择题.1. 设i 是虚数单位，则复数(1i)(12i)()-+=A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i 【参考答案】 C【测量目标】 复数的四则运算.【试题解析】 因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-22i =3+i, 所以选C. 2. 设全集{1,2,3,4,5,6},={1,2},{2,3,4}U A B ==，则()()U A B = ð A. {1, 2, 5, 6} B. {1} C. {2} D. {1, 2, 3, 4}【参考答案】 B【测量目标】 集合的运算.【试题解析】 因为U B ð={1, 5, 6}, 所以()U A B ð={1}. 故选B. 3. 设p ：x <3, q ： -1<x <3, 则p 是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【参考答案】 C【测量目标】 充要条件的判断.【试题解析】 因为p ： x <3, q ： -1<x <3, 所以,q p ⇒但是p 不能推出q ， 所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. y =㏑xB. 2y x =+1 C. y =sin x D. y =cos x【参考答案】 D【测量目标】 函数的奇偶性；零点.【试题解析】 对选项A ： y =㏑x 的定义域为（0，+∞），不具有奇偶性，排除A; 对选项B ：2y x =+1是偶函数，但2y x =+1=0无解，即不存在零点，排除B; 对选项C ：y =sin x 是奇函数，排除C; 对选项D ：y =cos x =0,2x k k π⇒=+π∈Z ， 所以D 正确.5. 已知,x y 满足约束条件0401x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则2z x y =-+的最大值是（ ）A.-1B.-2C.-5D. 1 【参考答案】 A【测量目标】 简单的线性规划.【试题解析】 根据题意作出约束条件确定的可行域，第5题图由22z x y y x z =-+⇒=+，可知在图中点（1,1）处，2z x y =-+取到最大值-1，故选A.6. 下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214y x -= B. 2214x y -= C. 2212y x -= D. 2212x y -= 【参考答案】 A【测量目标】 渐近线方程.【试题解析】 由双曲线的渐近线的公式知道选项A 的渐近线方程为2y x =±，故选A. 7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第7题图【参考答案】 B【测量目标】 程序框图.【试题解析】 执行第一次循环体：3,22a n ==,此时 1.414 1.5 1.4140.086a -=-=； 执行第二次循环体：7,35a n ==,此时 1.414 1.4 1.4140.0140.005a -=-=≥； 执行第三次循环体：17,412a n ==,此时 1.4140.005a -<，不满足判断条件，输出 4n =, 故选B.8. 直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12【参考答案】 D【测量目标】 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式.【试题解析】 把圆的方程化为标准形式：22(1)(1)1x y -+-=，则圆心（1,1），半径为1，又直线与圆相切，所以223+4=1=2123+4b b -⇒或. 故选D.9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） A. 13+ B. 122+ C. 23+ D. 22第9题图【参考答案】 C【测量目标】 几何体的三视图；锥体的表面积.【试题解析】 由给出的三视图可知该几何体的直观图如下所示.第9题图其中侧面P AC ⊥底面ABC ,且PAC ABC △≌△, 由三视图中所给数据可知：P A=PC=AB=BC =2, 取AC 中点O ,连接PO, BO , 则Rt POB △中，PO=BO =1⇒PB =2, 所以面积S 可计算为1612222123222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选C.10. 函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）第10题图A. 0,0,0,0a b c d ><>>B. 0,0,0,0a b c d ><<>C. 0,0,0,0a b c d <<<>D. 0,0,0,0a b c d >>>< 【参考答案】 A【测量目标】 函数的图形与性质.【试题解析】 由函数()f x 的图象可知0a >，令'200.()3+2x d f x ax bx c =⇒>=+，可知12,x x 是'()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>. 所以由韦达定理得12122003003b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩， 故选A.二、填空题.11. lg52+2lg2-11()2-=________ . 【参考答案】-1【测量目标】 指数幂运算；对数运算.【试题解析】 原式=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=-1 . 12. 在ABC △中，AB =6, 75,45A B ∠=∠= , 则AC =________ .【参考答案】 2【测量目标】 正弦定理. 【试题解析】 由正弦定理可知：6sin[180(7545)]sin 45sin 60sin 45AB AC AC=⇒=-+,所以2AC =.13. 已知数列{n a }中，1111,(2)2n n a a a n -==+≥，则数列{n a }的前9项和等于_____.【参考答案】 27【测量目标】 等差数列的定义与前n 项和. 【试题解析】 由11(2)2n n a a n --=≥知道数列{n a }是以1为首项，12为公差的等差数列.则其通项公式为12n n a +=，所以前9项和9919[1]2272S ++==. 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为________. 【参考答案】 12-【测量目标】 函数与方程；函数的图象.【试题解析】 在同一坐标系内，作出所给直线与函数的大致图象如图，则1212a a =-⇒=-.第14题图15. ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量、a b 满足22AB AC ==+，a a b , 则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)① a 为单位向量； ② b 为单位向量； ③ ⊥a b ； ④ BC ∥b ； ⑤ (4)BC +⊥a b .【参考答案】 ①④⑤【测量目标】 平面向量的基本概念和性质.【试题解析】 由题意可知：等边三角形ABC 的边长为2，2AB = a ，则22AB ==a ，所以a =1， 故①正确；+2,AC AB BC BC BC ==∴=a +b 2⇒=b , 故②错误，④正确；=2AB BC =∴ ，，与a b a b的夹角为120，故③错误； 1(4)(4)412()+4=02BC +⋅=+⋅=⨯⨯⨯- a b a b b ，(4)BC ∴+⊥ a b , 故⑤正确.三、解答题.16. 已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,2π]上的最大值和最小值.【参考答案】 （1）π； （2）最大值为21+，最小值为0. 【测量目标】 (1)三角函数的性质; (2)三角函数在区间上的最值. 【试题解析】（1）化简可得()2sin(2)14f x x π=++,则()f x 最小正周期22T π==π；（2）52[0,],2[,],sin(2)[,1]244442x x x πππππ∈∴+∈∴+∈- ， 故()2sin(2)14f x x π=++的最大值为21+，最小值为0.17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问了50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 [40,50], [50,60], [60,70], … ,[80,90],[90,100].第17题图（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40, 60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40, 50]的概率. 【测量目标】 (1)频率分布直方图； (2)古典概型;(3)随机事件的概率.【试题解析】 （1）由频率分布直方图可知：（0.004+a +0.018+0.022×2+0.028）×10=1,解得0.006a =.（2）由分布直方图可知，评分不低于80的人数为（0.022+0.018）×10×50=20(人)， 所以评分不低于80分的概率为25. （3）在[40, 50]、[50,60]内的人数分别为：0.004×10×50=2，0.006×10×50=3，故在[40,60]内的受访职工中随机抽取2人，此2人评分均在[40,50]之间的概率为：2225C 1C 10P ==. 18. 已知数列{n a }是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设n S 为数列{n a }的前n 项和，1+1n n n n a b S S +=，求数列{n b }的前n 项和n T .【测量目标】(1)等比数列的通项公式；(2)裂项相消法求和. 【试题解析】 （1）{n a }是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==，14134144114918288a a a a a a q q a a a a +=⎧=⎧⎪<⇒⇒==⇒=⎨⎨=⎩⎪=⎩ ， 1112n n n a a q --∴==. （2）由（1）可知1(1)1221112n nn n a q S q --===---，11211(21)(21)2121n n n n n n b ++∴==-----， +1111111113377152121n n n T ∴=-+-+-++--- =11121n +-=-112221n n ++--.19. 如图三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC , P A =1，AB =1，AC =2，60BAC ∠=. （1）求三棱锥P -ABC 的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M , 使得AC ⊥BM , 并求PMMC的值.第19题图【测量目标】(1)三棱锥的体积公式； (2)线面垂直的判定定理和性质.【试题解析】 （1）在ABC △中， AB =1， AC =2， 60BAC ∠=, 113s i n 12s i n 60222ABC S AB AC BAC ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= △. 又因为P A ⊥面ABC ， -113313326P A B C A B C V P A S ∴=⋅=⨯⨯=△. （2）过点B 作BN 垂直AC 于点N , 过N 作NM P A 交PC 于M , 则有第19题图=M N A B C M N A C A C B M NM N B NN A C A B C B M B M N⊥⊥⊥⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨⊂⊂⎩⎩⎩ 面面面面 AC BM ⇒⊥. 此时M 即为所要找的点，在ABN △中，131====243CM CN PM AN PC AC MC ⇒⇒. 20. 设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（,0a ），点B 的坐标为(0, b ),点M 在线段AB 上,满足2BM MA =,直线OM 的斜率为510. （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为(0,)b -，N 为线段AC 的中点，证明：MN AB ⊥. 【测量目标】 (1)椭圆的离心率；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】 （1）212,(,0),(0,),(,)33BM MA A a B b M a b =∴ ，又OM 的斜率为510，222222215114253=21055553bb ac c e a a a a -∴=⇒=⇒=⇒=⇒. （2）由题意可知N 点的坐标为（,22a b -），11553262326MN b b b b K a a a a +∴===-， 225,1.A B M N A B bb K K K MN AB aa =∴⋅=-=-∴⊥-， 21. 已知函数2()(0,0)()ax f x a r x r =>>+（1）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性； （2）若400ar=，求()f x 在(0,)+∞内的极值.【测量目标】 (1)导数在函数单调性中的应用； (2)函数的极值.【试题解析】(1)由题意可知x r ≠-，所以函数的定义域为,)(,)r r --+ (-∞∞. 222'44()2()()()()()a x r ax x r a x r f x x r x r +-+--==++, 0,0,a r >> 令'()0(,)()f x x r r f x >⇒∈-∴的单调递增区间为(,)r r -；令'()0(,)f x x r <⇒∈--∞和(,)r +∞，()f x ∴的单调递减区间为(,)r --∞和(,)r +∞. （2）由（1）可知()f x 在(0,)+∞内的极大值为2()10044ar af r r r===. 且()f x 在(0,)+∞内无极小值.。
2015年安徽省高考数学试卷(文科)
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值．【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x ﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；【分析】（1）利用V P﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，==．可得S△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，=•S△ABC•P A=；所以V P﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wkl197822；changq；双曲线；w3239003；sxs123；sdpyqzh；maths；cst；caoqz；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年3月17日第1页（共1页）。
2015年安徽省高考数学试卷文科【高考试卷】
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．【分析】（1）利用V P=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，=•S△ABC•PA=；所以V P﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2015年安徽省高考数学试卷文科01
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．【分析】（1）利用V P=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，=•S△ABC•PA=；所以V P﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．。
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2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A B）=（）∩（∁UA．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：＜3，q：﹣1＜＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=ln B．y=2+1 C．y=sin D．y=cos5．（5分）已知，y满足约束条件，则=﹣2+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2的是（）A．2﹣=1 B．﹣y2=1 C．2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3+4y=b与圆2+y2﹣2﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（）=a3+b2+c+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1= ．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．13．（3分）已知数列{an }中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系Oy中，若直线y=2a与函数y=|﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（）=（sin+cos）2+2cos2．（Ⅰ）求f（）最小正周期；（Ⅱ）求f（）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{an }是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn 为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（）=（a＞0，r＞0）（1）求f（）的定义域，并讨论f（）的单调性；（2）若=400，求f（）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A ∩（∁B）=（）UA．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．B={1，5，6}；【解答】解：∁RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}．∴A∩（∁R故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）设p：＜3，q：﹣1＜＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：＜3，q：﹣1＜＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=ln B．y=2+1 C．y=sin D．y=cos【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=ln定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣）=﹣sin，是奇函数；对于D，cos（﹣）=cos，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣）与f（）的关系．5．（5分）已知，y满足约束条件，则=﹣2+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，=﹣2+y的最大值就是y=2+在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2+经过A时使得最大，由得到A（1，1），所以的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2的是（）A．2﹣=1 B．﹣y2=1 C．2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±，由A可得渐近线方程为y=±2，由B可得渐近线方程为y=±，由C可得渐近线方程为y=，由D可得渐近线方程为y=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）直线3+4y=b与圆2+y2﹣2﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆2+y2﹣2﹣2y+1=0，化为标准方程为（﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3+4y=b与圆2+y2﹣2﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O ﹣ABC ，OE ⊥底面ABC ，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB ⊥BC ，∴可判断；△OAB ≌△OBC 的直角三角形，S △OAC =S △ABC ==1，S △OAB =S △OBC =×2=该四面体的表面积：2， 故选：C ．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）函数f （）=a 3+b 2+c+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f （0）=d ＞0，排除D ，当→+∞时，y →+∞，∴a ＞0，排除C ，函数的导数f ′（）=3a 2+2b+c ，则f ′（）=0有两个不同的正实根，则1+2=﹣＞0且12=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0，方法2：f ′（）=3a 2+2b+c ，由图象知当当＜1时函数递增，当1＜＜2时函数递减，则f ′（）对应的图象开口向上，则a ＞0，且1+2=﹣＞0且12=＞0，（a ＞0），∴b ＜0，c ＞0，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f （0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）lg +2lg2﹣（）﹣1= ﹣1 ．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg +2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 2 ．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）已知数列{an }中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于27 ．【分析】通过an =an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵an =an﹣1+（n≥2），∴an ﹣an﹣1=（n≥2），∴数列{a n }的公差d=，又a 1=1，∴a n =1+（n ﹣1）=，∴S 9=9a 1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）在平面直角坐标系Oy 中，若直线y=2a 与函数y=|﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a 的值为 ． 【分析】由已知直线y=2a 与函数y=|﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a ．【解答】解：由已知直线y=2a 是平行于轴的直线，由于y=﹣a 为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣； 故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是 ①④⑤ ．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．已知函数f（）=（sin+cos）2+2cos2．（Ⅰ）求f（）最小正周期；（Ⅱ）求f（）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）化函数f（）为正弦型函数，即可求出f（）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤≤求出2+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=（sin+cos）2+2cos2=sin2+2sincos+cos2+2cos2=1+sin2+1+cos2=sin（2+）+2，…（4分）所以f（）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤≤得，0≤2≤π，所以≤2 +≤；…（8分）根据正弦函数y=sin的图象可知当时，f（）有最大值为2+，…（11分）当时，f（）有最小值为1．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A 1，A 2，A 3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B 1，B 2． 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B 1，B 2}， 故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n }的通项公式；（2）求出b n =，利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． ∴a 1+a 4=9，a 1a 4=a 2a 3=8．解得a 1=1，a 4=8或a 1=8，a 4=1（舍），解得q=2，即数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1；（2）S n ==2n ﹣1，∴b n ===﹣，∴数列{b n }的前n 项和T n =+…+﹣=﹣=1﹣． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求的值．【分析】（1）利用V P ﹣ABC =•S △ABC •PA ，求三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）过B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，过N 作MN ∥PA ，交PC 于点M ，连接BM ，证明AC ⊥平面MBN ，可得AC ⊥BM ，利用MN ∥PA ，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S △ABC ==． 因为PA ⊥平面ABC ，PA=1，所以V P ﹣ABC =•S △ABC •PA=；（2）解：过B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，过N 作MN ∥PA ，交PC 于点M ，连接BM ，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（﹣0，y﹣b）=2（a﹣，0﹣y），解得=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（）=（a＞0，r＞0）（1）求f（）的定义域，并讨论f（）的单调性；（2）若=400，求f（）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（）的定义域，通过求导即得f（）的单调区间；（2）通过（1）知=r是f（）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（）=（a＞0，r＞0），∴≠﹣r，即f（）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（）==，∴f′（）==，∴当＜﹣r或＞r时，f′（）＜0；当﹣r＜＜r时，f′（）＞0；因此，f（）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（）=0，f（）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴=r是f（）的极大值点，∴f（）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．。
安徽省高考数学试卷(文科)解析
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）﹣﹣y2=1=1﹣y2=17．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）229．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）1+210．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）最大，由得到﹣﹣y2=1=1﹣y2=1 ﹣=1±解：由双曲线方程﹣±x±xy=7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）时不满足条件，，，22=19．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）1+2AB=BC=AB=BC===×10．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．=AC=13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．+（d=（，+×=2714．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．；故答案为：15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．的等边三角形，已知向量满足=2，+，=|，即=2，所以|+）=4=4三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．在区间+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+2x+∴它的最小正周期为=）在区间∈[，]=时，（﹣2x+时，1+1=1+17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．，利用裂项法即可求数列=2==﹣+﹣19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．•的值．==PA=BAC=．得=．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．）通过题意，利用=2，可得点的斜率为，计算•=0=2，即（x=y=a b的斜率为，∴，b=2b=，﹣）=，﹣=•=，﹣）﹣=，故•=021．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．（===100参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wkl197822；changq；双曲线；w3239003；刘长柏；sdpyqzh；maths；cst；caoqz（排名不分先后）菁优网2015年6月11日。
安徽高考文科数学试题及答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文科） 第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设i 是虚数单位，则复数（1-i ）（1+2i ）= ( )（A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i （2）设全集U = { 1，2，3，4，5，6 }，A = {1，2 }，B = { 2，3，4 }，则A ∩R B =()（A ） { 1，2，5，6 } （B ） { 1 } （C ） { 2 } （D ） { 1，2，3，4 } （3）设p ：x < 3，q ：-1< x < 3，则p 是q 成立的 ( )（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )（A ）y = ln x （B ）y = x 2+1 （C ）y = sin x （D ）y = cos x（5）已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-1040y y x y x ，则z = -2x +y 的最大值是( )（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 （6）下列双曲线中，渐近线方程为x y 2±=的是( )（A ）1422=-y x （B ）1422=-y x （C ）1222=-y x （D ）2212x y -= （7）执行如图所示的程序框图（算法流程图）， 输出的n 为( )（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b = ( )（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12（9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 （10）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是( )（A ）a > 0，b < 0，c > 0，d > 0 （B ）a > 0，b < 0，c < 0，d > 0 （C ）a < 0，b < 0，c < 0，d > 0 （D ）a > 0，b > 0，c > 0，d < 0第II 卷（非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）1)21(2lg 225lg--+= ． （12）在△ABC 中， 45756=∠=∠=B A AB ，，，则AC= ．（13）已知数列{ a n }中，)2(21111≥+==-n a a a n n ，，则数列{ a n }的前9项和等于 ． （14）在平面直角坐标系xOy 中，若直线y = 2a 与函数y = | x-a | -1的图像只有一个交点，则a 的值为 ．（15）△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos )cos (sin )(2++= （I ）求f (x ) 最小正周期；（II ）求f (x ) 在区间 ]20[π， 上的最大值和最小值．（17）（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100] （I ）求频率分布图中a 的值；（II ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（III ）从评分在 [40，60] 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率.（18）（本小题满分12分）已知数列{ a n }是递增的等比数列，且a 1 + a 4 = 9，a 2 a 3 = 8 （I ）求数列{ a n }的通项公式；（II ）设S n 为数列{ a n }的前n 项和，11++=n n n n S S a b ，求数列{ b n }的前n 项和T n ．（19）（本小题满分13分）如图，三棱锥P-ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A =1，AB =1，AC =2，∠BAC =60°．（I ）求三棱锥P-ABC 的体积；（II ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求MCPM的值．（20）（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为)0(12222>>=+b a by a x 点O 为坐标原点，点A 的坐标为（a ，0），点B的坐标为（0，b ），点M 在线段AB 上，满足|BM | = 2|MA |，直线OM 的斜率为105． （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为（0，-b ），N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．（21）（本小题满分13分） 已知函数)00()()(2>>+=r a r x axx f ，．（I ）求f (x ) 的定义域，并讨论f (x ) 的单调性； （II ）若400=ra，求f (x ) 在（0，+∞）内的极值．参考答案一、选择题1.C2.B3.C4.D5. A6.A7.B 8 D 9.C 10.A 二;填空题（11）-1 （12） 2 （13）27 （14）12（15）①④⑤三.解答题16.1718.19..20.21.。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()1i 12i -+=（ ） （A ）33i + （B ）13i -+ （C ）3i + （D ）1i -+ 【答案】C【解析】()()21i 12i 12i i 2i 3i -+=+--=+，故选C ．（2）【2015年安徽，文2】设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()R A B I ð（ ）（A ）{}1,2,5,6 （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2,3,4 【答案】B【解析】{}1,5,6U B =Q ð，(){}1R A B ∴=I ð，故选B ．（3）【2015年安徽，文3】设:3p x <，:13q x -<<，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】:3p x <，:13q x -<<，q p ∴⇒，但p q ，则p 是q 成立的必要不充分条件，故选C ． （4）【2015年安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）ln y x = （B ）21y x =+ （C ）sin y x = （D ）cos y x = 【答案】D【解析】选项A ： ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ： sin y x =是奇函数，故C 错；选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 0,2y x x k k z ππ==⇒=+∈，故选D ．（5）【2015年安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令22z x y y x z =-+⇒=--，可知在图中()1,1A 处，2z x y =-+取到最大值-1，故选A ． （6）【2015年安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为2y x =±，故选A ．（7）【2015年安徽，文7】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， ⇒/171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =．故选B ． （8）【2015年安徽，文8】直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】直线34x y b +=与圆心为()1,1，半径为1的圆相切，2234134bb +-∴=⇒=+2或12，故选D ． （9）【2015年安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 【答案】C【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 602ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积321223BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选C ．（10）【2015年安徽，文10】函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论 成立的是（ ）（A ）0a >，0b <，0c >，0d > （B ）0a >，0b <，0c <，0d > （C ）0a <，0b <，0c <，0d > （D ）0a >，0b >，0c >，0d < 【答案】A【解析】由函数()f x 的图像可知0a >，令00x d =⇒>，又()232f x ax bx c '=++，可知1x ，2x是()0f x '=的两根，由图可知10x >，20x >，12122003003b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪∴⇒⎨⎨<⎩⎪=>⎪⎩，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，文11】151lg 2lg2()22-+-= ．【答案】-1【解析】151lg 2lg2()lg5lg22lg22lg5lg2212122-+-=-+-=+-=-=-．（12）【2015年安徽，文12】在ABC ∆中，6AB =，75A ∠=o ，45B ∠=o ，则AC = ． 【答案】2【解析】由正弦定理可知：()62sin 45sin 45sin 1807545AB AC ACAC =⇒=⇒=︒︒︒-︒+︒⎡⎤⎣⎦． （13）【2015年安徽，文13】已知数列{}n a 中，11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，则数列{}n a 的前9项和等于 ． 【答案】27【解析】2n ≥Q 时，112n n a a -=+，且2112a a =+，{}n a ∴是以1a 为首项，12为公差的等差数列．9981919182722S ⨯∴=⨯+⨯=+=．（14）【2015年安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点，则a 的值为 ．【答案】12-【解析】在同一直角坐株系内，作出2y a =与1y x a =--的大致图像，如下图：由题意，可知1212a a =-⇒=-．（15）【2015年安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a r 、b r 满足2AB a =u u u r r ，2AC a b =+u u u r r r，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号）①a r为单位向量；②b r 为单位向量；③a b ⊥r r ；④//b BC →r ；⑤(4)a b BC +⊥u u u r r r ． 【答案】①④⑤【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2，2AB a =u u u r r ，∴221AB a a ==⇒=u u u r r r，故①正确；2AC AB BC a BC =+=+u u u r u u u r u u u r r u u u r Q ，2BC b b ∴=⇒=u u u r r r，故②错误，④正确；由于2AB a =u u u r r ，BC b =⇒u u u r r a r 与b r 夹角为120︒，故③错误；又()()21444412402a b BC a b b ab b ⎛⎫+⋅=+⋅=+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭r r u u u r r r r r r r Q ()4a b BC ∴+⊥r r u u u r ，故⑤正确．因此，正确的编号是①④⑤．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2015年安徽，文16】（本小题满分12分）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++． （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）化简可得()2sin 214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫∴+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()max 12f x =+，()min 0f x =． （17）【2015年安徽，文17】（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）， 其中样本数据分组区间为[]40,50，[]50,60，…，[]80,90，[]90,100． （Ⅰ）求频率分布图中a 的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[]40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[]40,50的概率．解：（Ⅰ）因为()0.0040.0180.02220.028101a +++⨯+⨯=，所以0.006a =．（Ⅱ）由所给出频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为()0.0220.018100.4+⨯=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．（Ⅲ）受访职工中评分在[)50,60的有：500.006103⨯⨯=(人)，记为123,,A A A ；受访职工中评分在[)40,50的有：500.004102⨯⨯=(人)，记为12,B B ．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10 种，它们是{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，又因为所抽取2人的评分都在[)40,50的结果又1种，即{}12,B B ，故所求的概率为110p =． （18）【2015年安徽，文18】（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（Ⅰ）由题设知：14238a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，可解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）．由341a a q =得公比2q =，故1112n n n a a q --==．（Ⅱ）()111221112n n n n a q S q--===---，()()1121121212121n n n n n n b ++∴==-----， 111111111111221133771521212121n n n n n n T ++++-∴=-+-+-++-=-=----L ． （19）【2015年安徽，文19】（本小题满分13分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒． （Ⅰ）求三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC 的值．解：（Ⅰ）由题设1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，可得13sin 602ABC S AB AC ∆=⋅⋅⋅︒=．由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC -的高，又1PA =，所以三棱锥P ABC -的体积133ABC V S PA ∆=⋅⋅=．（Ⅱ）在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作//MN PA交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA AC ⊥．由于BN MN N =I ，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC BM ⊥．在直角BAN ∆中，1cos 2AN AB BAC =⋅∠=，从而32NC AC AN =-=．由//MN PA ，得13PM AN MC NC ==． （20）【2015年安徽，文20】（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为5． （Ⅰ）求E 的离心率e ； （Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，证明MN AB ⊥． 解：（Ⅰ）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又5OM k =，从而52b a =， 进而得225,2a b c a b b ==-=，故25c e a ==．（Ⅱ）由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得5,66a b NM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ．又(),AB a b =-u u u r ，从而有()22221515666AB NM a b b a ⋅=-+=-u u u r u u u u r ．由（Ⅰ）的计算结果可知225a b =，所以0AB NM ⋅=u u u r u u u u r，故MN AB ⊥．（21）【2015年安徽，文21】（本题满分13分）已知函数2()(00)()axf x a r x r =>>+，．（Ⅰ）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若400ar=，求()f x 在()0,+∞内的极值． 解：（Ⅰ）由题意知x r ≠-，所求的定义域为()(),,r r -∞--+∞U ．()()2222axaxf x x rx r x r ==+++，()()()()()()()2224222222a x rx r ax x r a r x x r f x x r xrx r++-+-+'==+++，所以当x r <-或x r >时，()0f x '<，当r x r -<<时，()0f x '>．因此，()f x 的单调递减区间为(),r -∞-和(),r +∞，()f x 的单调递增区间为(),r r -． （Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知()0f r '=，()f x 在()0,r 上单调递增，在(),r +∞上单调递减，因此，x r =是()f x 的极大值点．所以()f x 在()0,+∞内的极大值为()()2400100442ara f r r r ====． 所以()f x 在()0,+∞内极大值为100，无极小值．。