2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版检测：仿真模拟卷三 Word版含解析
2020年3月普通高考新课标II卷全真模拟卷3(7页)
2020年3月普通高考新课标II 卷全真模拟卷3数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}22|560,{|10}A x x x B x x =-+>=-<，则A B =I （ ） A ．(,1]-∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)(3,)-∞-+∞U2．设43z i =+，则在复平面内1z对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线C ：()221x my m +=∈R 的一条渐近线为3y x =-，则C 的离心率为（ ）AB ．3C ．2D ．104．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”．5．6x⎛ ⎝展开式中含3x 项的系数为（ ）A ．60-B ．60C ．120-D ．1206．已知21533122,,log 355a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b =1，sin sin sin sin a b c Cb A B C-+=+-，若2A B =，则ABC △的周长为（ ）A ．3B ．4C ．2+D ．3+8．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一．《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤9．将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度，得到函数()y f x '=的图象，则下列说法正确的是（ ）①函数()y f x '=的图象关于直线6x π=-对称；②函数()y f x '=的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()y f x '=的图象在区间,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减； ④函数()y f x '=的图象在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． A ．①④B ．②③C ．①③D ．②（④10．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A ．8(6+B ．6(8+C ．8(6+D ．6(8+11．已知抛物线24x y =-的焦点为F ，A 是抛物线上异于坐标原点的任意一点，以F 为圆心，AF 为半径的圆交y 轴负半轴于点B ．平行于AB 的直线l 与抛物线相切于点D ，则直线AD 必过定点（ ） A ．()0,1-B ．()0,2-C ．()0,1D ．()0,212．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21xg x e=+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,1),2(4,3),(,2)a a b c x =+==-r r r r，若//b c r r ，则x 的值为 ．A ．4B ．-4C ．2D ．-214．袋中装有4个黑球，3个白球，不放回地摸取两球，在第一次摸到了黑球的条件下，第二次摸到白球的概率是 ．15．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于 （结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）．16．设函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠满足(1)(3)2(2)f f f +=，现给出如下结论：①若()f x 是(0,1)上的增函数，则()f x 是(3,4)的增函数；②若(1)(3)a f a f ⋅≥⋅，则()f x 有极值；③对任意实数0x ，直线()()00(12)y c a x x f x =--+与曲线()y f x =有唯一公共点．其中正确结论的为 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1n n S a +=． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）若1n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，,E F 分别为,PC CD 的中点，DE EC =．（I ）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（II ）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角[,]43ππθ∈，求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）近年来，我国电子商务蓬勃发展．2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0．6，对服务的满意率为0．75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．（I ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”?（II ）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望EX ． 临界值表：2K 的观测值：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）．20．（本小题满分12分）函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+．（I ）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（II ）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <．21．（本小题满分12分）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，A为椭团的上顶点，B 为其右焦点，D是线段AB 的中点，且⊥OD AB ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点． （ⅰ）判断PQM ∆的形状；（ⅰ）求四边形PMQN 面积的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程2222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．（I ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y =⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<． （I ）当1a =时，求不等式的解集；（II ）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围．。
2020年全国3卷高考理科数学仿真试卷(三)答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C8．C9．A10．B11．D12．D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．214．2015．32016．9π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【答案】(1)2n a n =；(2)()1654209n nn S +-+=．【解析】(1)由题意得22228t t t t t -++==，所以2t =±，···········2分2t =时，12a =，公差2d =，所以2n a n =；···········4分2t =-时，16a =，公差2d =-，所以82n a n =-．···········6分(2)若数列{}n a 为递增数列，则2n a n =，所以2log 2n b n =，4n n b =，()()1214nn n a b n -=-⋅，···········8分所以()()231143454234214n nn S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，·········9分()()23414143454234214n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，所以()23134242424214n n n S n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅ ()()211414422143n n n -+-=+⨯---()1206543n n +---=，···········10分所以()1654209n nn S +-+=．···········12分18．【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）随机变量X 的可取值为0，1，2，3，4···········1分 (2) (3)分 (4) (5)分···········6分故随机变量X 的分布列为:X 01234P1708351835835170···········7分（2）随机变量X 服从超几何分布：()4428E x ⨯∴==，···········9分()1422E Y ∴=⨯=．···········11分()()224E X E Y ∴+=+=．···········12分19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）在半圆柱中，1BB ⊥平面11PA B ，所以1BB PA ⊥．···········2分因为11A B 是上底面对应圆的直径，所以11PA PB ⊥．···········4分因为111PB BB B = ，1PB ⊂平面1PBB ，11BB PBB ⊂，所以1PA ⊥平面1PBB ．···········5分（2）以C 为坐标原点，以CA ，CB 为，y 轴，过C 作与平面ABC 垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系C xyz -．如图所示，设1CB =，则()1,0,0B ，()0,1,0A，(1A，(1B，(P ．···6分平面11PA B 的一个法向量()10,0,1=n ．···········8分设平面11CA B 的一个法向量()2,,x y z =n ，则1z =···········10分···········11分由图可知二面角11P A B C --为钝角，所以所求二面角的余弦值为．···········12分20．【答案】（1）2214y x +=；（2）答案见解析．【解析】（1）取(0,F '，连结PF '，设动圆的圆心为M ，∵两圆相内切，∴122OM FP =-，又12OM PF ='，∴4PF PF FF +=>=''，···········3分∴点P 的轨迹是以F ，F '为焦点的椭圆，其中24a =，2c =，∴2a =，c =，∴2221b a c =-=，∴C 的轨迹方程为2214y x +=．···········5分（2）当AB x ⊥轴时，有12x x =，12y y =-，由⊥m n ，得112y x =，又221114y x +=，∴122x =，1y =，∴111121222AOB S x y ∆=⨯⨯=⨯=．···········7分当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+，()2224240k x kmx m +++-=，则12224kmx x k -+=+，212244m x x k -=+，···········9分由0⋅=m n ，得121240y y x x +=，∴()()121240kx m kx m x x +++=，整理得()()22121240k x x km x x m ++++=，···········10分∴2224m k =+，1221==，综上所述，AOB △的面积为定值．···········12分21．【答案】（1）见解析；（2）当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．【解析】（1）1m =时，()1e ln x f x x x -=-，()1'e ln 1x f x x -=--，········1分要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()0f x '≥对0x >恒成立，令()1e x i x x -=-，则()1e 1x i x -'=-，当1x >时，()0i x '>，···········2分当1x <时，()0i x '<，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10i x i =≥，···········3分即1e x x -≥（当且仅当1x =时等号成立），令()()1ln 0j x x x x =-->当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在()0,1上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j =≥，即ln 1x x +≥（当且仅当1x =时取等号），()1e ln 1x f x x -'=--()ln 10x x -+≥≥（当且仅当1x =时等号成立），()f x 在()0+∞，上单调递增．···········5分（2）由()e ln x m g x x m -=--有，显然()g x '是增函数，令()00g x '=，00e e x m x =，00ln m x x =+，则(]00,x x ∈时，()0g x '≤，[)0,x x ∈+∞时，()0g x '≥，∴()g x 在(]00,x 上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x ···········7分①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；···········8分②当1m <时，001x <<02ln 0x <，001x <<，所以()0g x >0，()g x 没有零点；···········9分③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()eee e e 0mmm mmg m m -----=+-=>，又对于函数e 1x y x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥，∴当0x >时，1010y >--=，即e 1x x >+，∴()23e ln3m g m m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m-=-=，∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又0e 1m x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点．···········12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2020年高考数学模拟系列试卷(3)理 精品
俯视图正(主)视图 侧(左)视图2020年高考模拟系列试卷（三）数学试题（理）【新课标版】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。
满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅2．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则 （ ） A ．11a b =-=， B ．11a b =-=-，C ．11a b ==-，D ．11a b ==，3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424SS =，则64S S 的值为（ ）A ．94B ．32C ．54D ．4 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A ．2 B ．1 C ．23D ．135．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内 投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） A ．24π B ．34πC ．22π D ．32π 6．已知条件p ：不等式210x mx ++>的解集为R ；条件q ：指数函数()(3)xf x m =+为Q增函数．则p 是q 的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设平面区域D 是由双曲线2214y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为 （ ）A ．24B ．25C ．4D ．78．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '=()的图象如图所示．下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点．其中真命题的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 9．如图所示的方格纸中有定点 O P QEFGH ,,,,,,，则OP OQ +=u u u r u u u r （ ） A ．OH u u u u rB ．OG u u u rC ．FO u u u rD ．EO u u u r10．设22)1(则,305满足约束条件,y x x y x y x y x ++⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+- 的最大值为 （ ）A ． 80B ．C ． 25D ．17211．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程仿真模拟卷一课件理
解析 集合 B＝{x|3x<1}，即 B＝{x|x<0}，而 A＝{x|x<1}，所以 A∪B＝ {x|x<1}，A∩B＝{x|x<0}．
2．记复数 z 的共轭复数为－z ，若－z (1－i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝( ) A. 2 B．1 C．2 2 D．2
答案 A
解析 由－z (1－i)＝2i，可得－z ＝12－i i＝2i12＋i＝－1＋i，所以 z＝－1 －i，|z|＝ 2.
∴所求的概率为 P＝SS正梯方形形EAFBODHF＝136.
16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*，n≥1)，则数列{Sn}的通 项公式为________．
答案 Sn＝3n－2n
解析 ∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn， ∴Sn＋1＝2Sn＋3n， ∴S3nn＋ ＋11＝23·S3nn＋13，∴S3nn＋ ＋11－1＝23S3nn－1， 又S31－1＝13－1＝－23， ∴数列S3nn－1是首项为－23，公比为23的等比数列， ∴S3nn－1＝－23×23n－1＝－23n， ∴Sn＝3n－2n.
仿真模拟卷 仿真模拟卷一
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时 间 120 分钟．
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( ) A．A∪B＝{x|x>1} B．A∪B＝R C．A∩B＝{x|x<0} D．A∩B＝∅
9．若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f14＝1，当 x<0 时，f(x)＝log2(－ x)＋m，则实数 m＝( )
2020届高三第二次模拟考试数学(理科)试题 Word版含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1.设351i z i i=++，则z =（ ）A. 2B.12C.22D.102【★答案★】C 【解析】 【分析】根据复数运算法则求得1122z i =-+，根据模长的定义求得结果. 【详解】()351111222i i i z i i i i --=+=+=-++ 112442z ∴=+= 本题正确选项：C【点睛】本题考查复数模长的求解问题，关键是能够通过复数的运算求得复数，属于基础题. 2.已知集合{}2670A x x x =--<，{}B x x x ==-，则A B =（ ）A. (]1,0-B. (]7,0-C. [)0,7D. [)0,1【★答案★】A 【解析】 【分析】分别求解出集合A 和集合B ，根据交集的定义求得结果. 【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}(],0B x x x ==-=-∞(]1,0A B ∴=-本题正确选项：A【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 3.函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4.已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ） A.22B.23C.24D.25【★答案★】C 【解析】 分析】先由向量模的计算公式，根据题中数据，求出12a b ⋅=，再由向量夹角公式，即可得出结果. 【详解】因为向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且||2b a -=，所以2||2-=b a ，即2222+-⋅=b a a b ，因此12a b ⋅=， 所以12cos ,422⋅<>===a b a b a b. 故选：C【点睛】本题主要考查由向量的模求向量夹角余弦值，熟记向量夹角公式，以及模的计算公式即可，属于常考题型.5.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的准线l 与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切，则(p = )A. 6B. 8C. 3D. 4【★答案★】D 【解析】 【分析】根据题意，求出圆的圆心为()1,2和半径为4，以及抛物线的准线方程:2pl y =-，利用直线与圆相切的性质得出242p+=，即可求出p 的值． 【详解】解：由题可知，圆22:(1)(2)16M x y -+-=的圆心为()1,2，半径为4，抛物线2:2(0)C x py p =>的准线:2p l y =-与圆22:(1)(2)16M x y -+-=相切， 则有242p+=，解得：4p =． 故选：D .【点睛】本题考查圆的标准方程和抛物线的简单性质，以及直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8B. 7C. 6D. 4【★答案★】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型. 7.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.09460.8269≈）A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413【★答案★】A 【解析】 【分析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为22333320.82692rr ππ==，则33 3.141920.8269π=≈⨯.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 8.已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【★答案★】B 【解析】 【分析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π.故选B【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.9.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【★答案★】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A. x 2212y -=1B. 22134x y -= C. 221169x y -= D. 221916x y -=【★答案★】D 【解析】 【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝， 可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=， 可得1||22AF a c =+， 由于过F 2的直线斜率为247， 所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-， 则217cos 25AF F ∠=-， 由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =， 即35a c =，45b c =， 可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A.305 B.2305C. 275D.475【★答案★】B【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DNDQ D =，1BMA M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22212512CP ⨯==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2xh x x=的最大值为3x ，则（ ） A. 123x x x >> B. 213x x x >>C. 312x x x >>D. 321x x x >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】()1x f x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= 函数()2xg x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->=⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴> 由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把★答案★填在答题卡中的横线上.13.设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是________.【★答案★】0 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线0x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当:0l x y +=平移到过点(2,2)-时，min 0z =.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力. 14.某公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为_____【★答案★】0.954y x =+ 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，结合已知列关于b 与a 的方程组，求解即可得到y 关于x 的线性回归方程.【详解】解：由已知表格中的数据可得，12342.54x +++==，56 6.5825.544y +++==，∴25.52.54b a =+，① 又11.68b a =+，②联立①②解得：0.95b =，4a =.∴y 关于x 的线性回归方程为0.954y x =+.故★答案★为：0.954y x =+.【点睛】本题考查线性回归方程，直接利用公司计算即可，属于基础题15.若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【★答案★】8π. 【解析】 【分析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果.【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +===， 所以球的表面积为()2428S ππ==.故★答案★8π【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.16.数列{}n a 为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出11a =，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是21a =，32a =，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是41a =，51a =，62a =，73a =，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则2019a =______. 【★答案★】1 【解析】 【分析】根据数列构造方法可知：21n a n -=，即()21121n nk k a a k -+=≤<-；根据变化规律可得20192a a =，从而得到结果.【详解】由数列{}n a 的构造方法可知11a =，32a =，73a =，154a =，可得：21n a n -= 即：()21121n nk k a a k -+=≤<-201999648523010340921a a a a a a a a ∴========本题正确结果：1【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求A 的大小； （2）若2a =，π3B =，求ABC ∆的面积.【★答案★】(1) 4A π=.(2) 334ABC S ∆+=【解析】 【分析】（1）先由正弦定理，将2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）因为2sin sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 即2222b c a bc +-=，再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos 2A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin 4C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 24ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，A 1D 与AD 1交于点E ，AA 1＝AD ＝2AB ＝4.（1）证明：AE ⊥平面ECD.（2）求直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【★答案★】（1）证明见解析；（2）69【解析】 【分析】（1）证明AA 1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA 1D 1D ，得到CD⊥AE.证明AE⊥ED.即可证明AE⊥平面ECD ；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线A 1C 与平面EAC 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是直四棱柱， 所以AA 1⊥平面ABCD ，则AA 1⊥CD.又CD ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，1,AA AD ⊂平面AA 1D 1D ， 所以CD ⊥平面AA 1D 1D ，所以CD ⊥AE.因为AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.又CD∩ED＝D，,CD ED⊂平面ECD.所以AE⊥平面ECD.（2）如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以1AA所在直线为z轴，建立如图所示的坐标系，A1D与AD1交于点E，AA1＝AD＝2AB＝4.A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），所以E（0，2，2），(0,2,2)AE=，(2,4,0)AC=，1AC=（2，4，﹣4），设平面EAC的法向量为n=（x，y ，z），可得n ACn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩，即240220x yy z+=⎧⎨+=⎩，不妨n=（﹣2，1，-1），所以直线A1C与平面EAC 所成角的正弦值为11||444|46966|636nA CA Cn⋅-++===⋅.【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y 元，每天软件服务的次数为x ，试写出两种方案中y 与x 的函数关系式； （2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【★答案★】(1) 方案一中:1060,y x x N =+∈,方案二：200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.(2) 从节约成本的角度考虑，选择方案一. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，建立等量关系，即可得出所需函数关系；（2）分别设两种方案的日收费为X ，Y ，由题中条形图，得到X ，Y 的分布列，求出对应期望，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题可知，方案一中的日收费y 与x 的函数关系式为1060,y x x N =+∈方案二中的日收费y 与x 的函数关系式为200,15,20100,15,x x Ny x x x N ≤∈⎧=⎨->∈⎩.（2）设方案一种的日收费为X ，由条形图可得X 的分布列为X190 200 210 220 230 P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 方案二中的日收费为Y ，由条形图可得Y 的分布列为Y200 220 240 P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212E Y =⨯+⨯+⨯=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.【点睛】本题主要考查函数的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记相关概念即可，属于常考题型.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为32，焦距为23.（1）求C 的方程； （2）若斜率为12-的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点. ①证明：直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列. ②若Q '与Q 关于x 轴对称，证明：4tan 3POQ '∠>. 【★答案★】（1）2214x y +=； （2）①见解析；②见解析.【解析】 【分析】（1）根据离心率、焦距和222b a c =-可解出,,a b c ，从而得到椭圆方程；（2）①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y ，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，从而求得12y y ；整理可知：2121214Q Q O O P P y y k k k x x ===，从而证得结论；②Q '与Q 关于x 轴对称可知xOQ xOQ'∠=∠，由①知1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，则()tan tan POQ xOQ xOP ''∠=∠+∠，利用两角和差正切公式展开整理，根据基本不等式求得最小值，经验证等号无法取得，从而证得结论.【详解】（1）由题意可得：32223c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2221b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：2214x y += （2）证明：①设直线l 的方程为：12y x m =-+，()11,P x y ，()22,Q x y由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()222210x mx m -+-= 则()()222481420m m m∆=--=->，且122xx m +=，()21221x x m =-()22121212121111122422m y y x m x m x x m x x m -⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2212212112421OP OQPQ m y y k k k x x m -∴====- 即直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列 ②由题可知：xOQ xOQ '∠=∠ 由①可知：1tan tan 4xOQ xOP '∠⋅∠=，tan 0xOQ '∠>，tan 0xOP ∠> ()tan tan tan tan 1tan tan xOQ xOP POQ xOQ xOP xOQ xOP'∠+∠''∴∠=∠+∠='-∠⋅∠()44tan tan 2tan tan 3343xOQ xOP xOQ xOP ''=∠+∠⨯⋅∠=≥∠ 若xOQ xOP '∠=∠，则,P Q 两点重合，不符合题意；可知无法取得等号4tan 3POQ '∴∠>【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、直线与椭圆综合应用问题，涉及到斜率关系的证明和不等式的证明.证明不等式的关键是能够利用倾斜角的关系，利用两角和差正切公式构造出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值；易错点是忽略对于取等条件能否成立的验证.21.已知函数()xf x e ax b =++，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=．（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x -．（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且线段AB 的中点为0(P x ，0)y ，证明：0()f x g <（1）0y <.【★答案★】（1）()2xf x e =-；证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，对()f x 求导得()x f x a e '=+，利用导数的几何意义和切线方程求出a 和b ，即可求出()f x 的解析式，令()()11x h x f x x e x =-+=--，利用导数研究函数得单调性和最值得出()0h x ≥，即可证明不等式；（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-，设210t x x =->，进而转化为只需证：22tte e t -->，构造函数22()ttF t e e t -=--，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出0()f x g <（1）0y <.【详解】解：（1）由题可知，()xf x e ax b =++，则()x f x a e '=+，由于()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为20ex y --=， 所以f （1）2e a b e =++=-，即2a b +=-， 即f '（1）e a e =+=，则0a =，解得：2b =-， 则()2xf x e =-．令()()11x h x f x x e x =-+=--，()1xh x e '=-，令()0h x '=，即10x e -=，解得：0x =，则0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减；0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以函数()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，()(0)0h x h ∴=，则()1f x x -．（2）由题可知，()2g x kx =-，且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则1202()22x x x f x e e+=-=-，12120422x x y y e e y ++-==， 要证0()f x g <（1）0y <成立， 只需证：121224222x x x x e e ek ++--<-<，即证：121222x x x x e k e e++<<，即证：1122122212xx x x x x e e e x e e x +-+<<-， 只需证：212121221112x x x x x x e e x x e----+<<-， 不妨设210t x x =->，即证：2112tt t e e e t -+<<， 要证21t t e e t-<，只需证：22t t e e t -->，令22()t t F t e et -=--，则221()()102t tF t e e -'=+->，()F t ∴在(0,)+∞上为增函数，()(0)0F t F ∴>=，即21t t e e t-<成立； 要证112t t e e t -+<，只需证：112t t e t e -<+，令1()12t t e tG t e -=-+，则22222214(1)(1)()0(1)22(1)2(1)t t t t t t t e e e e G t e e e -+--'=-==<+++， ()G t ∴在(0,)+∞上为减函数，()(0)0G t G ∴<=，即112t te e t -+<成立． ∴2112tt t e e e t -+<<，0t >成立， 0()f x g ∴<（1）0y <成立．【点睛】本题考查导数的几何意义的应用和利用导数证明不等式，还涉及利用导数研究函数的单调性和最值，属于导数知识的综合应用，考查转化思想和运算能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【★答案★】（1）l :cos sin0a ，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a .在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题． [选修4-5：不等式选讲] 23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围.【★答案★】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+，当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解；当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2020年全国3卷高考理科数学仿真试卷(三)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B = （）A ．{}|11x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（）A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（）A ．-160B ．320C ．480D ．6404．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（）A ．B ．2C ．3D ．6．设函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>，其图象的一条对称轴在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内，且()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,2C ．()1,2D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin150.2588≈ ，sin7.50.1305≈ ）班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）A ．14πB ．49πC ．19D ．58π11．已知()cos23,cos67AB =︒︒ ，()2cos68,2cos22BC =︒︒，则ABC △的面积为（）A ．2B 2C ．1D ．2212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（）A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)
2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。
2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版应试技巧篇(88张)
5．如图，CD，BE 分别是边长为 4 的等边△ABC 的中线，圆 O 是△ABC 的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F.在△ABC 中随机取一点，则此点取自图 中阴影部分的概率是( )
3π π
3π
3π
A. 54 B.18 C. 27 D. 108
命题意图 本题考查运用平面几何知识求几何概型的概率．
建议教师组织专门特训，向学生说明特训的目的，在考试时应使用的思 想方法、解题方法、应试技巧等，进行有针对性使用！在讲评时，教师也应 重点讲评应试技巧在每一题中是怎样使用的！为方便您理解，我们特意命制 了一套样题供您参考．
本套试卷知识点覆盖全面，试题常规，难度中等，着重 考查基础知识、基本方法与基本技能，着重考查数学的四大思想和选、填题 的特殊技法，着重考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、空间想象能力、 数据处理能力和分析问题、解决问题的能力．
相等可得ab＋＝1.a2＋b2＝2，
∴ a＝43， b＝1，
故 z＝34＋i，∴选 B.
3．等比数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，则 a3＋a4＋a5 ＝( )
A．14 B．21 C．28 D．63 命题意图 本题需要将问题转化为基本量(首项和公比)的运算，另外还需 注意数列中不同两项之间的关系式的灵活应用，以减少计算量．
特训样题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共 150 分，考试时
间 120 分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 M＝{y|y＝2－x＋1，x∈R}，M∩N＝N，则集合 N 不可能是 ()
2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版检测：基础保分强化训练(三) Word版含解析
基础保分强化训练(三)1．已知1－iz ＝(1＋i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．－12－12iB ．－12＋12i C.12－12i D.12＋12i 答案 B解析 ∵1－i z ＝(1＋i)2，∴z ＝1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝1＋i －2＝－12－12i ，∴z －＝－12＋12i.故选B.2．设命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，则p 为( )A ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0B ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1>0C ．∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0D ．∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0答案 A解析 ∵命题p ：∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，∴p 为∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.故选A.3．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0<x <5} B ．{x |1<x <4} C ．{2,3} D ．{1,2,3,4}答案 C解析 因为A ＝{x ∈Z |x 2－4x <0}，所以A ＝{1,2,3}，因为B ＝{x ∈Z |0<log 5x <1}，所以B ＝{2,3,4}，根据集合交集运算，可得A ∩B ＝{2,3}，所以选C.4．执行如图所示的程序框图，若输出结果为1，则可输入的实数x 的值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 根据题意，该框图的含义是： 当x ≤2时，得到函数y ＝x 2－1； 当x >2时，得到函数y ＝log 2x . 因此，若输出的结果为1时，①若x ≤2，得到x 2－1＝1，解得x ＝±2； ②若x >2，得到log 2x ＝1，解得x ＝2(舍去)．因此，可输入的实数x 的值可能为－2，2，共有2个．故选B.5．已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π 答案 A解析 因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3.由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，故选A.6．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为矩形，且A (－1,1)，B (1,1)，C (1,0)，D (－1，0)，曲线y ＝|x |3过点A 和B ，则在矩形ABCD 内随机取一点M ，则点M 在阴影区域内的概率为( )A.45B.34C.23D.12 答案 B解析 因为当x ≥0时，y ＝|x |3，即y ＝x 3，⎠⎛01x 3d x ＝14x 410＝14，所以阴影部分的面积为34×2＝32，因为矩形ABCD 的面积为2，所以点M 在阴影区域内的概率为34，故选B.7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.272 B ．27 C ．27 2 D ．273 答案 D解析 在长、宽、高分别为3,33，33的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C －BAP ，其中底面BAP 是∠BAP ＝90°的直角三角形，AB ＝3，AP ＝33，所以BP ＝6，又棱CB ⊥平面BAP 且CB ＝33，所以AC ＝6，所以该几何体的表面积是12×3×33＋12×3×33＋12×6×33＋12×6×33＝273，故选D.8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且倾斜角为120°的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若AF ，BF 的中点在y 轴上的射影分别为M ，N ，且|MN |＝43，则抛物线C 的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．x ＝－2C ．x ＝－32 D ．x ＝－3 答案 D解析 设AF ，FB 的中点分别为D ，E ，则|AB |＝2|DE |，由题得|DE |＝43sin π3＝8，所以|AB |＝16，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋p ＝16，∴x 1＋x 2＝16－p ，联立直线和抛物线的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，∴3x 2－5px ＋34p 2＝0，所以16－p ＝5p3，∴p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3.故选D.9．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD ＝( )A.16B.13C.12D.23 答案 B解析 如图，由题意可知，点D 在平行于AB 边的中位线EF 上且满足DE ＝13AB ，S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，∴S △BCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ，∴S △BCD S △ABD ＝13，故选B.10．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E .从D 点测得∠ADC ＝67.5°，从C 点测得∠ACD ＝45°，∠BCE ＝75°，从E 点测得∠BEC ＝60°.若测得DC ＝23，CE ＝2(单位：百米)，则A ，B 两点间的距离为( )A. 6 B ．2 2 C ．3 D ．2 3 答案 C解析 根据题意，在△ADC 中，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝67.5°，DC ＝23，则∠DAC ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC ＝DC ＝23，在△BCE 中，∠BCE ＝75°，∠BEC ＝60°，CE ＝2，则∠EBC ＝180°－75°－60°＝45°，则有ECsin ∠EBC＝BCsin ∠BEC ，变形可得BC ＝EC ·sin ∠BEC sin ∠EBC ＝2×3222＝3，在△ABC 中，AC ＝23，BC ＝3，∠ACB ＝180°－∠ACD －∠BCE ＝60°，则AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝9，则AB ＝3.故选C.11．已知直线l 与曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9相交，交点依次为A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝5，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－2x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝3x －5D ．y ＝－3x ＋2答案 B解析 设f(x )＝x 3－6x 2＋13x －9，则f ′(x )＝3x 2－12x ＋13，设g(x )＝3x 2－12x ＋13，则g ′(x )＝6x －12，令g ′(x )＝0，得x ＝2，所以曲线y ＝x 3－6x 2＋13x －9的对称中心为(2,1)．由|AB |＝|BC |可知直线l 经过点(2,1)，由⎩⎨⎧y ＝x 3－6x 2＋13x －9，(x －2)2＋(y －1)2＝5，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3，因此可得直线l 过点(1，－1)，(3,3)，(2,1)，所以直线l的方程为y ＝2x －3.故选B.答案 1解析 由二项式定理的展开式可得C r 10x10－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ,0)，B (m ,0)(m >0)，若圆上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的取值范围是________．答案 [4,6]解析 由已知，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，又AB 的中点为原点，则|AB |＝2m ，则|m －1|≤(0－3)2＋(0－4)2≤m ＋1，解得4≤m ≤6，即m 的取值范围是[4,6]．14．已知四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC ＝1，AB ＝6，BC ＝3，PE ＝2，则四棱锥P －ABCD 的外接球半径为________．答案 2解析 如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为O 1，由正弦定理可求出三角形PBC 外接圆半径为102，设F 为BC 边的中点，进而求出O 1F ＝12，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫BD 22＋O 1F 2＝4，所以四棱锥外接球半径为2.。
2020高三二轮数学模拟卷理答案.doc
高考仿真模拟卷·数学(理)·参考答案与解析高考仿真模拟卷(一)1．解析：选B.由已知得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}， 所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选B.2．解析：选A.因为i －1i ＋1＝（i －1）（1－i ）（i ＋1）（1－i ）＝i ，所以该复数在复平面上对应的点的坐标为(0，1)．故选A.3．解析：选B.由于随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，又P (X ≤4)＝0.84，所以P (X ≥4)＝P (X ≤2)＝0.16，P (2<X <4)＝1－0.32＝0.68.4．解析：选B.由题意得，BA →·BC →＝0，BA →·CA →＝|BA →|2＝36，所以BA →·BD →＝BA →·(BC →＋CD →)＝BA →·⎝⎛⎭⎫BC →＋23CA →＝0＋23×36＝24，故选B. 5．解析：选B.程序运行过程如下： 首先初始化数据，S ＝0，i ＝1，第一次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝0＋ln 2＝ln 2，i ＝i ＋1＝2，此时不应跳出循环； 第二次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝ln 2＋ln 32＝ln 3，i ＝i ＋1＝3，此时不应跳出循环； 第三次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝ln 3＋ln 43＝ln 4，i ＝i ＋1＝4，此时不应跳出循环； 第四次循环，执行S ＝S ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1i ＝ln 4＋ln 54＝ln 5，i ＝i ＋1＝5，此时应跳出循环； i ＝4时，程序需要继续执行，i ＝5时，程序结束， 故在判断框内应填i ≤4？.故选B.6．解析：选B.由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝23，5a 1＋5×42d ＝35， 解得d ＝3，故选B.7．解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x 1＋2－x ·cos(－x )＝2x （1－2－x ）2x （1＋2－x ）cos x ＝2x －12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0<x <1时，1－2x1＋2x<0，cos x >0，f (x )<0，结合选项知，C 正确，选C.8．解析：选D.由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一，且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为2×12×4×3＋14×12×6π×5＋14×9π＝12＋6π，故两部分表面积为24＋12π.9．解析：选D.由题可得sin ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0，又0<φ<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 10．解析：选C.三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321， 方案一坐3号车的可能：132、213、231，所以P 1＝36；方案二坐3号车的可能：312、321，所以P 1＝26；所以P 1＋P 2＝56.故选C.11．解析：选D.设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形．所以|MF 1|＝|PF 2|，MF 1∥PN . 设|PF 2|＝m ，则|MF 2|＝3m ， 所以2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2m ， 即|MF 1|＝a ，|MF 2|＝3a .因为∠MF 2N ＝60°，所以∠F 1MF 2＝60°， 又|F 1F 2|＝2c ，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2＝a 2＋9a 2－2·a ·3a ·cos 60°， 即4c 2＝7a 2，所以c 2a 2＝74，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝72.故选D. 12．解析：选D.由已知可得y ＝2e x 与y ＝ln x －ln 2＝ln x2互为反函数，即y ＝2e x 与y ＝lnx －ln 2的图象关于直线x －y ＝0对称，|PQ |的最小值为点Q 到直线x －y ＝0的最小距离的2倍，令Q (t ，ln t －ln 2)，过点Q 的切线与直线x －y ＝0平行，函数y ＝ln x －ln 2的导数为y ′＝1x ，其斜率为k ＝1t ＝1，所以t ＝1，故Q (1，－ln 2)，点Q 到直线x －y ＝0的距离为d ＝|1－（－ln 2）|12＋（－1）2＝1＋ln 22，所以|PQ |min ＝2d ＝2(1＋ln 2)．13．解析：消费支出超过150元的人数为(50×0.004＋50×0.002)×100＝30. 答案：3014．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝a·OP →＝x －y ，则y ＝x －z ，易知当y ＝x －z 经过⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0的交点(3，2)时，z ＝x －y 取得最大值，且z max ＝1. 答案：115．解析：采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为3，1，5，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线3＋1＋5＝3，所以球半径为32，体积为43πr 3＝9π2.答案：9π216．解析：因为f (x )是奇函数，f (－x )＝－f (x )，所以a n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n ＋cos n π2＝0，a n ＋1＝a n＋cosn π2.a 1＝1，a 2＝a 1＋cos π2＝1，a 3＝a 2＋cos 2π2＝0，a 4＝a 3＋cos 3π2＝0，如此继续，得a n ＋4＝a n .S 2 019＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＋a 3＝504×2＋1＋1＋0＝1 010.答案：1 010 17．解：因为3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc ，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝13，由余弦定理得cos A ＝13，所以sin A ＝223.(1)因为sin B ＝2cos C ，所以sin(A ＋C )＝2cos C ， 所以223cos C ＋13sin C ＝2cos C ，所以23cos C ＝13sin C ，所以tan C ＝ 2. (2)因为S ＝22，所以12bc sin A ＝22，所以bc ＝32.① 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得4＝b 2＋c 2－2bc ×13，所以b 2＋c 2＝5.②因为b >c >0，所以联立①②可得b ＝322，c ＝22.18．解：(1)由已知，得P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635.所以事件A 的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.由已知得P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.19．解：(1)证明：因为AB ⊥侧面BB 1C 1C ，BC 1⊂侧面BB 1C 1C ，故AB ⊥BC 1，在△BCC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1＝12＋22－2×1×2×cos π3＝3，所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1，而BC ∩AB ＝B ，所以C 1B ⊥平面ABC .(2)由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则B (0，0，0)，A (0，1，0)，B 1(－1，0，3)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)． 所以CC 1→＝(－1，0，3)，所以CE →＝(－λ，0，3λ)，E (1－λ，0，3λ)， 则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)． 设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →n ⊥AB 1→，即⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3是平面AB 1E 的一个法向量．因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面BB 1E 的一个法向量， 所以|cos 〈n ，BA →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BA →|n ||BA →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2＋（3）2＝32. 两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝32(舍去)．20．解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝2，可得M 的坐标为(2，2)或(2，－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1>0，x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＝0，可知y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4.直线BM ，BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 1＋y 2）（x 1＋2）（x 2＋2）.①将x 1＝y 1k ＋2，x 2＝y 2k ＋2及y 1＋y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k （y 1＋y 2）k ＝－8＋8k ＝0.所以k BM ＋k BN ＝0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM ＝∠ABN .综上，∠ABM ＝∠ABN .21．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， h (x )＝f （x ）x ＝ln x －k （x －1）x (x >0)，则h ′(x )＝1x －k x 2＝x －kx2，当k ≤0时，h ′(x )>0对任意的x >0恒成立，所以h (x )是(0，＋∞)上的增函数，此时h (x )不存在极值．当k >0时，若0<x <k ，则h ′(x )<0；若x >k ，则h ′(x )>0.所以h (x )是(0，k )上的减函数，是(k ，＋∞)上的增函数，故h (x )的极小值为h (k )＝ln k －k ＋1，不存在极大值． 综上所述，当k ≤0时，h (x )不存在极值； 当k >0时，h (x )极小值＝ln k －k ＋1，不存在极大值．(2)由(1)知当k ≤0或k ＝1时，f (x )＝0，即h (x )＝0仅有唯一解x ＝1，不符合题意． 当0<k <1时，h (x )是(k ，＋∞)上的增函数，当x >1时，有h (x )>h (1)＝0， 所以f (x )＝0没有大于1的根，不符合题意．当k >1时，由f ′(x )＝0，即f ′(x )＝1＋ln x －k ＝0，解得x 0＝e k －1， 若x 1＝kx 0＝k e k －1，又x 1ln x 1＝k (x 1－1)，所以k e k －1ln(k e k －1)＝k (k e k －1－1)，即ln k －1＋e 1－k ＝0.令v (x )＝ln x －1＋e 1－x ，则v ′(x )＝1x－e 1－x ＝e x －e x x ex ，令s (x )＝e x －e x ，s ′(x )＝e x－e ，当x >1时，总有s ′(x )>0，所以s (x )是(1，＋∞)上的增函数，即s (x )＝e x －e x >s (1)＝0，故当x >1时，v ′(x )>0，v (x )是(1，＋∞)上的增函数，所以v (x )>v (1)＝0， 即ln k －1＋e 1－k ＝0在(1，＋∞)上无解． 综上可知，不存在满足条件的实数k .22．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝2t，得x －y ＝1，所以直线l 的极坐标方程为ρcos α－ρsin α＝1， 即2ρ(cos αcos π4－sin αsin π4)＝1，即2ρcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1.由ρ＝sin θ1－sin 2θ，所以ρ＝sin θcos 2θ，所以ρcos 2θ＝sin θ，所以(ρcos θ)2＝ρsin θ， 即曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2. (2)设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20，所以P 到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0－1|2＝|x 0－x 20－1|2＝⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫x 0－122－342，所以当x 0＝12时，d min ＝328，此时P ⎝⎛⎭⎫12，14， 所以当P 点为⎝⎛⎭⎫12，14时，P 到直线l 的距离最小，最小值为328. 23．解：(1)由已知可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥22x ，－2<x <2，－4，x ≤－2所以，f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}． (2)证明：由(1)知，|x ＋2|－|x －2|≤4，1y ＋11－y ＝⎝⎛⎭⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y ≥4(当且仅当y ＝12时取等号)，所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y.高考仿真模拟卷(二)1．解析：选A.A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x |1＜x ＜4}，所以A ∩B ＝(2，4)．故选A. 2．解析：选B.由z (1＋i)＝i 得z ＝i1＋i ，所以|z |＝|i||i ＋1|＝12＝22，故答案为B. 3．解析：选B.因为向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，所以2x －4＝0，2y ＝－4，解得x ＝2，y ＝－2，所以a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，所以a ＋b ＝(3，－1)，所以|a ＋b |＝ 32＋（－1）2＝10.4．解析：选A.因为f (－x )＝|－x |ln|－x |x 4＝|x |ln|x |x4＝f (x )，所以f (x )是偶函数， 可得图象关于y 轴对称，排除C ，D ；当x ＞0时，f (x )＝ln xx 3，f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＜0，排除B. 5．解析：选A.因为sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α＝35，所以sin α＝±45，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝45，所以tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝831－169＝－247，故选A.6．解析：选A.设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ， 所以P (A )＝C 23C 210＝115，因此P (A )＝1－P (A )＝1－115＝1415，故本题选A.7．解析：选B.第一次运行，i ＝10，满足条件，S ＝1×10＝10，i ＝9； 第二次运行，i ＝9满足条件，S ＝10×9＝90，i ＝8； 第三次运行，i ＝8满足条件，S ＝90×8＝720，i ＝7； 此时不满足条件，输出的S ＝720.故条件应为8，9，10满足，i ＝7不满足，所以条件应为i ＞7.8．解析：选C.因为1＝log 2 0182 018＞a ＝log 2 018 2 019＞log 2 018 2 018＝12，b ＝log 2 019 2 018＜log 2 0192 019＝12，c ＝2 01812 019＞2 0180＝1，故本题选C.9．解析：选C.由递推公式可得：当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016) ＝1 009＋12×1 009×1 008×4＋1 008×2＝2 017×1 010－1.本题选择C 选项．10．解析：选A.设P (x 0，x 0)，所以切线的斜率为12x 0，又因为在点P 处的切线过双曲线的左焦点F (－1，0)，所以12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，所以P (1，1)，因此2c ＝2，2a ＝5－1，故双曲线的离心率是5＋12，故选A.11．解析：选D.b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc ，这个形式很容易联想到余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，①而条件中的“高”容易联想到面积，12a ×36a ＝12bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，②将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )，所以b c ＋cb ＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，当A ＝π3时取得最大值4，故选D.12．解析：选A.依题意得，AB ＝2AD ＝2，∠DAB ＝π3，由余弦定理可得BD ＝3，则AD 2＋DB 2＝AB 2，则∠ADB ＝π2，又四边形ABCD 是等腰梯形，故四边形ABCD 的外接圆直径为AB ，设AB 的中点为O 1，球的半径为R ，因为SD ⊥平面ABCD ，所以R 2＝12＋⎝⎛⎭⎫SD 22＝54，则S ＝4πR 2＝5π，故选A. 13．解析：因为S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入得d ＝－2.故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数性质，当n ＝7时，S n 最大且最大值为49.答案：4914．解析：由题意得(1－3x )8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(－3x )r＝(－1)r C r 8x r3，r ＝0，1，2， (8)所以(a ＋3x )(1－3x )8展开式的常数项为(－1)0C 08·a ＝a ＝4，所以(4＋3x )(1－3x )8展开式中x 2项的系数为4·(－1)6C 68x 63＋3x ·(－1)3C 38x 33＝－56x 2，所以展开式中x 2的系数是－56.故答案为－56. 答案：－5615．解析：法一：因为DE →＝12DO →，DO →＝OB →＝12DB →，所以DE →＝12DO →＝14DB →，所以DE →＝13EB →，由DF ∥BC ，得DF →＝13CB →，所以CF →＝CD →＋DF →＝CD →＋13CB →＝CO →＋OD →＋13(CO →＋OB →)＝43CO →＋23OD →＝－23AC →＋13BD →，所以λ＝－23，μ＝13，λ＋μ＝－13.法二：不妨设ABCD 为矩形，建立平面直角坐标系如图，设AB ＝a ，BC ＝b ，则A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，O ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，设E (x ，y )，因为DE →＝12DO →，所以(x ，y －b )＝12⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，所以x ＝a 4，y ＝34b ，即E ⎝⎛⎭⎫a 4，34b ，设F (0，m )，因为CF →∥CE →，CF →＝(－a ，m －b )，CE →＝⎝⎛⎭⎫－34a ，－14b ，所以14ab ＋34a (m －b )＝0，解得m ＝23b ，即F ⎝⎛⎭⎫0，23b ，CF →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－13b .又AC →＝(a ，b )，BD →＝(－a ，b )，由CF →＝λAC →＋μBD →，得⎝⎛⎭⎫－a ，－13b ＝λ(a ，b )＋μ(－a ，b )＝((λ－μ)a ，(λ＋μ)b )，所以λ＋μ＝－13.答案：－1316．解析：由题意得ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln xx ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫1，1＋1e ，从而要使ln x ＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝⎛⎭⎫1，1＋1e . 答案：⎝⎛⎭⎫1，1＋1e 17．解：(1)因为f (x )＝3sin(3π＋x )·cos(π－x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋x ，所以f (x )＝3(－sin x )·(－cos x )＋(－sin x )2＝32sin 2x ＋1－cos 2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (A )＝32得，sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＋12＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1，因为0＜A ＜π，所以0＜2A ＜2π，－π6＜2A －π6＜11π6，所以2A －π6＝π2，所以A ＝π3，因为a ＝2，b ＋c ＝4，① 根据余弦定理得，4＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝16－3bc ， 所以bc ＝4，② 联立①②得，b ＝c ＝2.18．解：(1)依题意得，a ＝0.04×5×1 000＝200，b ＝0.02×5×1 000＝100.(2)设抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40＝350＋300＋1001 000，解得x＝30，即抽取的40名学生中，成绩为优秀的学生人数为30. 依题意，X 的可能取值为0，1，2，P (X ＝0)＝C 210C 240＝352，P (X ＝1)＝C 110C 130C 240＝513，P (X ＝2)＝C 230C 240＝2952，所以X 的分布列为X 0 1 2 P3525132952所以X 的数学期望E (X )＝0×352＋1×513＋2×2952＝32.19．解：(1)证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，则NQ ＝12AC ，NQ ∥AC .又MF ＝12AC ，MF ∥AC ，所以MF ＝NQ ，MF ∥NQ ，则四边形MNQF 为平行四边形，即MN ∥FQ .因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊄平面FCB ， 所以MN ∥平面FCB .(2)由AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°可得∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，AB ＝2.因为四边形ACFE 为矩形，所以AC ⊥平面FCB ，则∠AFC 为直线AF 与平面FCB 所成的角，即∠AFC ＝30°，所以FC ＝3.因为FB ＝10，所以FC ⊥BC ，则可建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ，所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，M ⎝⎛⎭⎫32，0，3，MA →＝⎝⎛⎭⎫32，0，－3，MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，1，－3. 设m ＝(x ，y ，z )为平面MAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧MA →·m ＝0，MB →·m ＝0，即⎩⎨⎧32x －3z ＝0，－32x ＋y －3z ＝0.取x ＝23，则m ＝(23，6，1)为平面MAB 的一个法向量．又n ＝(3，0，0)为平面FCB 的一个法向量， 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝23×37×3＝237.则平面MAB 与平面FCB 所成角的余弦值为237.20．解：(1)由题意知，b 等于原点到直线y ＝x ＋2的距离，即b ＝21＋1＝2，又2a ＝4，所以a ＝2，c 2＝a 2－b 2＝2，所以椭圆C 的两个焦点的坐标分别为()2，0，()－2，0.(2)由题意可设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1， 两式相减得y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，又k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0， 所以k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，所以－b 2a 2＝－14，又a ＝2，所以b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.21．解：(1)f ′(x )＝1x －k x 2＝x －kx2，x ＞0.当k ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．当k ＞0时，当0＜x ＜k 时，f ′(x )＜0，当x ＞k 时，f ′(x )＞0，故f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )的极小值为h (k )＝f (k )＝ln k ＋1.当k ＞0时，h (k )≤ak 恒成立，即ln k ＋1≤ak ，即a ≥ln k ＋1k恒成立．令φ(k )＝ln k ＋1k ，则φ′(k )＝1－（1＋ln k ）k 2＝－ln kk 2，令φ′(k )＝0，得k ＝1，当0＜k ＜1时，φ′(k )＞0，φ(k )单调递增，当k ＞1时，φ′(k )＜0，φ(k )单调递减，故k ＝1为φ(k )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以φ(k )max ＝φ(1)＝1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)证明：由(1)知，当k ＞0时，f (x )在(0，k )上单调递减，在(k ，＋∞)上单调递增，设α＜β，则一定有0＜α＜k ＜β.构造函数g (x )＝f (x )－f (2k －x )＝ln x ＋k x －ln (2k －x )－k2k －x ，0＜x ＜k ，g ′(x )＝1x ＋12k －x －k x 2－k（2k －x ）2＝2kx （2k －x ）－2k （x 2－2kx ＋2k 2）x 2（2k －x ）2 ＝－4k （x －k ）2x 2（2k －x ）2. 因为0＜x ＜k ，所以g ′(x )＜0，即g (x )在(0，k )上单调递减，又f (k )－f (2k －k )＝0，所以g (x )＞0，所以f (x )＞f (2k －x )．因为0＜α＜k ，所以f (α)＞f (2k －α)，因为f (α)＝f (β)，所以f (β)＞f (2k －α)，因为0＜α＜k ，所以2k －α＞k ，又函数f (x )在(k ，＋∞)上单调递增，所以β＞2k －α，所以α＋β＞2k .22．解：(1)x 2＝⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42＝(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋1＝y ，所以C 1的普通方程为y ＝x 2.将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入C 2的方程得x 2＋y 2＝4y －3，所以C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＋3＝0.(2)将x 2＋y 2－4y ＋3＝0变形为x 2＋(y －2)2＝1，它的圆心为C (0，2)．设P (x 0，y 0)为C 1上任意一点，则y 0＝x 20，从而|PC |2＝(x 0－0)2＋(y 0－2)2＝x 20＋(x 20－2)2＝x 40－3x 20＋4＝⎝⎛⎭⎫x 20－322＋74，所以当x 20＝32时，|PC |min ＝72， 故曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值为72－1. 23．解：(1)由已知可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ＜0，1，0≤x ＜1，2x －1，x ≥1，所以f (x )min ＝1，所以只需|m －1|≤1，解得－1≤m －1≤1， 所以0≤m ≤2，所以实数m 的最大值M ＝2. (2)证明：因为a 2＋b 2≥2ab ， 所以ab ≤1，所以ab ≤1，当且仅当a ＝b 时取等号，① 又ab ≤a ＋b 2，所以ab a ＋b ≤12，所以ab a ＋b ≤ab2，当且仅当a ＝b 时取等号，②由①②得，ab a ＋b ≤12，所以a ＋b ≥2ab . 高考仿真模拟卷(三)1．解析：选C.因为A ＝(－2，1)，B ＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以∁R B ＝[0，1]，A ∩(∁R B )＝[0，1)，选C.2．解析：选A.由复数z 1与z 3所对应的点关于原点对称，z 3与z 2关于实轴对称可得， 复数z 1与z 2所对应的点关于虚轴对称，z 1＝3＋4i ，所以z 2＝－3＋4i ， 所以z 1·z 2＝(3＋4i)(－3＋4i)＝－25.3．解析：选C.抛掷红、蓝两枚骰子，第一个数字代表红色骰子，第二个数字代表蓝色骰子，当红色骰子点数为偶数时，有18种，分别为：(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，其中两颗骰子点数之和不小于9的有6种，分别为：(4，5)，(4，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，所以当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是P ＝618＝13.故选C.4．解析：选B.本题可以转为等差数列问题：已知首项a 1＝5，前30项的和S 30＝390，求公差d .由等差数列的前n 项公式可得，390＝30×5＋30×292d ，解得d ＝1629.5．解析：选A.因为函数f (x )＝x ln |x |，可得f (－x )＝－f (x )，f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ；当x ＞0时，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＞0得x ＞1e ，得出函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上是增函数，排除B ，故选A.6．解析：选D.由m ⊥OA →，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝⎛⎭⎫－34＝17.7．解析：选D.设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由a 3＋a 4＝7，a 5＋a 6＝13，得1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2，所以a 7＋a 8＝1＋3d ＋2q 3＝7＋16＝23，故选D.8．解析：选C.第一次循环r ＝70，m ＝105，n ＝70；第二次循环r ＝35，m ＝70，n ＝35；第三次循环r ＝0，m ＝35，n ＝0.故输出的m 等于35.9．解析：选A.在△ADC 中，因为AC ＝32，AD ＝3，cos ∠ADC ＝cos ⎝⎛⎭⎫∠ABC ＋π2＝－sin ∠ABC ＝－33，所以代入AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ，可得DC 2＋2DC －15＝0，舍掉负根有DC ＝3.所以BC ＝DC cot ∠ABC ＝3 2.AB ＝AD ＋BD ＝AD ＋DCsin ∠ABC ＝3＋33＝4 3.于是根据三角形的面积公式有：S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12·43·32·33＝6 2.故选A.10．解析：选C.由AB ＝BC ＝2，AC ＝2，可知∠ABC ＝π2，取AC 的中点M ，则点M 为△ABC 外接圆的圆心，又O 为四面体ABCD 的外接球球心，所以OM ⊥平面ABC ，且OM 为△ACD 的中位线，所以DC ⊥平面ABC ， 故三棱锥D -ABC 的体积为V ＝13×12×2×2×23＝233.故选C.11．解析：选B.由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连接QF 2，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，则P (2c ，3c )，连接PF 1，则|PF 1|＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a ＝13－1＝3＋12.12．解析：选B.令g (x )＝f （x ）x 2，则g ′(x )＝x 2f ′（x ）－2xf （x ）x 4＝xf ′（x ）－2f （x ）x 3，由于x ∈(0，1)，且xf ′(x )＞2f (x )，所以g ′(x )＞0，故函数g (x )在(0，1)上单调递增．又α，β为锐角三角形的两个内角，则π2＞α＞π2－β＞0，所以1＞sin α＞sin ⎝⎛⎭⎫π2－β＞0，即1＞sin α＞cos β＞0，所以g (sin α)＞g (cos β)，即f （sin α）sin 2α＞f （cos β）cos 2β，所以cos 2βf (sin α)＞sin 2αf (cos β)． 13．解析：依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92. 答案：9214．解析：依题意，结合茎叶图，将题中的数由小到大依次排列得到：86，86，90，91，93，93，93，96，因此这8位学生得分的众数是93，中位数是91＋932＝92.答案：93，9215．解析：由AB →·AC →＝6，∠A ＝60°，可得|AB →|·|AC →|＝12，又在△ABC 中，13＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，所以AB 2＋AC 2＝25，因为AB >AC ，所以AB ＝4，AC ＝3.以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B (4，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，332，所以BC →＝⎝⎛⎭⎫－52，332，因为M 是BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫114，334，H ⎝⎛⎭⎫114，0，所以MH →＝⎝⎛⎭⎫0，－334，所以MH →·BC →＝－278.答案：－27816．解析：函数f (x )＝a ln x －x ＋a ＋3x 在定义域(0，＋∞)内无极值等价于f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在定义域(0，＋∞)内恒成立．因为f ′(x )＝ax －1－a ＋3x 2＝－x 2＋ax －（a ＋3）x 2，设g (x )＝－x 2＋ax －(a ＋3)，则g (x )≥0或g (x )≤0在(0，＋∞)内恒成立，可分两种情况进行讨论，即方程g (x )＝－x 2＋ax －(a ＋3)＝0无解或只有小于等于零的解，因此Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a2≤0，g （0）≤0，解得－2≤a ≤6或－3≤a ≤－2.故实数a 的取值范围为[－3，6]． 答案：[－3，6]17．解：(1)记甲运动员击中n 环为事件A n (n ＝1，2，3，…，10)；乙运动员击中n 环为事件B n (n ＝1，2，3，…，10)；甲运动员击中的环数不少于9环为事件A 9∪A 10，乙运动员击中的环数不少于9环为事件B 9∪B 10，根据已知事件A 9与事件A 10互斥，事件B 9与事件B 10互斥，事件A 9∪A 10与B 9∪B 10相互独立．P (A 9∪A 10)＝P (A 9)＋P (A 10)＝1－0.2－0.15＝0.65， P (B 9∪B 10)＝P (B 9)＋P (B 10)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率等于0.65×0.55＝0.357 5. (2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量X 、Y ，根据已知得X 、Y 的可能取值为：7，8，9，10.甲运动员射击环数X 的概率分布列为甲运动员射击环数X E (X )＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8. 乙运动员射击环数Y 的概率分布列为乙运动员射击环数Y E (Y )＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7.因为E (X )>E (Y )， 所以从随机变量均值意义的角度看，选甲去比较合适． 18．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1.因为{a n }为等比数列，所以2－a ＝1，解得a ＝1.所以a n ＝2n －1. 设数列{b n }的公差为d .因为b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列， 所以(b 4＋5)2＝(b 2＋5)(b 8＋5)，又b 1＝3，所以(8＋3d )2＝(8＋d )(8＋7d )， 解得d ＝0(舍去)或d ＝8.所以b n ＝8n －5. (2)由a n ＝2n －1，得log 2a n ＝2(n －1)，所以{log2a n }是以0为首项，2为公差的等差数列，所以T n ＝n （0＋2n －2）2＝n (n －1)．由b n ＝8n －5，T n >b n ，得n (n －1)>8n －5， 即n 2－9n ＋5>0，因为n ∈N *，所以n ≥9. 故所求n 的最小正整数为9.19．解：(1)设BD ＝x (0<x <3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°， 所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V ABCD＝13AD ·S △BCD＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )·(3－x )≤112⎣⎡⎦⎤2x ＋（3－x ）＋（3－x ）33＝23(当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立)，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A -BCD 的体积最大．(2)以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz . 由(1)知，当三棱锥A -BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，2，0)，A (0，0，2)，M (0，1，1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，所以BM →＝(－1，1，1)．设N (0，λ，0)，则EN →＝⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0. 因为EN ⊥BM ，所以EN →·BM →＝0，即⎝⎛⎭⎫－12，λ－1，0·(－1，1，1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 所以当DN ＝12(即N 是CD 上靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BN →，n ⊥BM →，及BN →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12y ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x .取x ＝1得n ＝(1，2，－1)．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由EN →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， 可得sin θ＝|cos 〈n ，EN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EN →|n |·|EN →|＝⎪⎪⎪⎪－12－16×22＝32， 即θ＝60°，故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.20．解：(1)证明：因为f ′(x )＝x e x ≥0，即f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，结论成立．(2)令g (x )＝e x －1x ，则g ′(x )＝（x －1）e x ＋1x 2>0，x ∈(0，1)，所以，当x ∈(0，1)时，g (x )<g (1)＝e －1， 要使e x －1x<b ，只需b ≥e －1.要使e x －1x >a 成立，只需e x －ax －1>0在x ∈(0，1)上恒成立．令h (x )＝e x －ax －1，x ∈(0，1)，则h ′(x )＝e x －a ，由x ∈(0，1)，得e x ∈(1，e)，①当a ≤1时，h ′(x )>0，此时x ∈(0，1)，有h (x )>h (0)＝0成立，所以a ≤1满足条件； ②当a ≥e 时，h ′(x )<0，此时x ∈(0，1)，有h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去； ③当1<a <e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ，可得当x ∈(0，ln a )时，h ′(x )<0，即x ∈(0，ln a )时，h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去．综上，a ≤1.又b ≥e －1，所以b －a 的最小值为e －2.21．解：(1)由焦点坐标为(1，0)，可知p2＝1，所以p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：当直线l 垂直于x 轴时，△ABO 与△MNO 相似， 所以S △ABO S △MNO ＝⎝⎛⎭⎫|OF |22＝14；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． 设M (－2，y M )，N (－2，y N )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(4＋2k 2)x ＋k 2＝0，所以x 1·x 2＝1.所以S △ABOS △MNO＝12·|AO |·|BO |·sin ∠AOB 12·|MO |·|NO |·sin ∠MON＝|AO ||MO |·|BO ||NO |＝x 12·x 22＝14. 综上，S △ABO S △MNO ＝14. 22．解：(1)由已知可得圆心O 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以圆心O 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，5π4.(2)由直线l 的极坐标方程可得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|－2－1|2，圆O 上的点到直线l 的距离的最大值为|－2－1|2＋r ＝3，解得r ＝2－22. 23．解：(1)显然a ≠0，当a ＞0时，解集为⎣⎡⎦⎤－1a ，3a ，则－1a ＝－6，3a ＝2，无解； 当a ＜0时，解集为⎣⎡⎦⎤3a ，－1a ，令－1a ＝2，3a ＝－6，得a ＝－12. 综上所述，a ＝－12.(2)当a ＝2时，令h (x )＝f (2x ＋1)－f (x －1)＝|4x ＋1|－|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －4，x ≤－14，6x －2，－14＜x ＜32，2x ＋4，x ≥32， 由此可知，h (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－14上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－14，32上单调递增，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上单调递增，则当x ＝－14时，h (x )取到最小值－72，由题意知，－72≤7－3m ，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，72.高考仿真模拟卷(四)1．解析：选B.因为M ＝{x |1≤x ＜3}，N ＝{1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}．故选B. 2．解析：选C.由(z －1)i ＝4＋2i ，得z －1＝4＋2i i ＝2－4i ，所以z ＝3－4i ，所以|z |＝5.3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为50100＝12.所以应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.4．解析：选C.因为a 5＝a 2q 3＜0，a 2＜0，所以q ＞0，所以a n ＜0恒成立，所以S n －S n －1＝a n ＜0，{S n }单调递减，故为充分条件；S n －S n －1＝a n ＜0⇒a 2＜0，a 5＜0，故为必要条件．故选C.5．解析：选B.依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sinC ＝12×3×32＝34.6．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝⎛⎭⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c . 7．解析：选A.由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.8．解析：选C.第一次循环S ＝2，n ＝2，第二次循环S ＝6，n ＝3，第三次循环S ＝2，n ＝4，第四次循环S ＝18，n ＝5，第五次循环S ＝14，n ＝6，第六次循环S ＝78，n ＝7，需满足S ≥K ，此时输出n ＝7，所以18<K ≤78，所以整数K 的最大值为78.9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a ，b ，c ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6bc ＝8ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2c ＝4.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2. 故选B.10．解析：选B.设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0，2y －y 0)代入x 2＋y 2＝9， 得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9， 化简得：⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝94， 又x 20＋y 20＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 的轨迹是在以⎝⎛⎭⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝1525＝35.故选B.11．解析：选A.由题意得，F (c ，0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－ba x ，将x ＝c 代入y＝－b a x 得y ＝－bc a，所以bca ＝2a ，即bc ＝2a 2，所以4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，所以e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.12．解析：选A.二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12图象的对称轴为直线x ＝－a ＋82，由f (a 2－4)＝f (2a －8)及二次函数的图象，可以得出a 2－4＋2a －82＝－a ＋82，解得a ＝－4或a＝1，又a <0，所以a ＝－4，所以f (x )＝x 2＋4x ，所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝（n ＋1）2＋2（n ＋1）＋13n ＋1＝n ＋1＋13n ＋1＋2≥2（n ＋1）·13n ＋1＋2＝213＋2，又n ∈N *，所以当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时等号成立，当n ＝2时，f （n ）－4a n ＋1＝283，n ＝3时，f （n ）－4a n ＋1＝294＋2＝374<283，所以最小值为374，故选A.13．解析：因为函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，所以f (－x )＝－tan x －sin x ＋2 017，从而f (－x )＋f (x )＝4 034，又f (m )＝2，所以f (－m )＝4 032.答案：4 03214．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z ＝x ＋ay 在点C (2，1)处取得最小值，则2＋a ＝4，a ＝2，此时y ＝－12x ＋12z ，其在点C (2，1)处取得最小值，符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点B (2，5)处取得最小值，则2＋5a ＝4，a ＝25，此时y ＝－52x ＋52z ，其在点C 处取得最小值，不符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点A (8，－1)处取得最小值，则8－a ＝4，a ＝4，此时y ＝－14x ＋14z ，其在点A处取得最小值，符合题意．所以a 的值为2或4.答案：2或415．解析：由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n －1. 则b n ＝a 2n －7a n ＋6＝⎝⎛⎭⎫a n －722－254.所以当n ＝3时(b n )min ＝⎝⎛⎭⎫4－722－254＝－6.故答案为－6. 答案：－616．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，此时球直径2R 等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R ＝42＋42＋22＝6，球形容器的表面积为4πR 2＝36π.答案：36π17．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝⎛⎭⎫π6＝2.从而可得m ≤2 . 18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30. P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320，P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝1330，P (ξ＝30)＝45×34×23＝25.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×160＋10×320＋20×1330＋30×25＝1336.(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．又P (A )＝⎝⎛⎭⎫343×160＝91 280，P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫342×14×320＝811 280，故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 19．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB ＝12EF ，且AB ∥EF ，所以AB 綊EG ，因为AB＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ，又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4， 设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (0，－23，0)，F (4，23，0)，C (0，23，4)，D (－2，0，4)，所以AC →＝(2，23，4)，AE →＝(2，－23，0)，设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0，所以⎩⎨⎧2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)，易知平面AEF 的一个法向量为AD →＝(0，0，4)，设二面角C -AE -F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝437×4＝217.20．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )h (x )＝x 2ln x ，F ′(x )＝2x ln x ＋x (x >0)． 令F ′(x )>0，得x >1e，故F (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；令F ′(x )<0，得0<x <1e ，故F (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(2)由题意知，G (x )＝e x －bx ，故G ′(x )＝e x －b ，又b >0，令G ′(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ，故当x ∈(－∞，ln b )时，G ′(x )<0，此时G (x )单调递减；当x ∈(ln b ，＋∞)时，G ′(x )>0，此时G (x )单调递增．故G (x )min ＝b －b ln b ，所以m ≤b －b ln b ，则mb ≤b 2－b 2ln b . 设r (b )＝b 2－b 2ln b (b >0)，则r ′(b )＝2b －(2b ln b ＋b )＝b －2b ln b ，由于b >0，令r ′(b )＝0，得ln b ＝12，b ＝e ，当b ∈(0，e)时，r ′(b )>0，r (b )单调递增；当b ∈(e ，＋∞)时，r ′(b )<0，r (b )单调递减，所以r (b )max ＝e 2，即当b ＝e ，m ＝12e 时，mb 取得最大值e2.21．解：(1)因为点P (2，t )到焦点F 的距离为52，所以2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2，2)， 所以l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，所以|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0， 所以直线l 2：x ＝ny ＋2，因为圆心M (a ，0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2， 所以|DE |＝212－（a －2）21＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，所以存在实数a ＝2，使得|DE |为定值．22．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－π3)＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos αy ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.23．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1.x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2－a ，x ≥a ，2<x <a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．高考仿真模拟卷(五)1．解析：选C.A ＝{x |x ≤3}，B ＝{2，3，4}， 所以A ∩B ＝{2，3}，故选C.2．解析：选D.由已知可得z ＝1＋i 2－i ＝（1＋i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋3i 5＝15＋35i ，所以z ＝15－35i.3．解析：选A.所给圆的圆心为坐标原点，半径为2，当弦长大于2时，圆心到直线l 的距离小于1，即|m |5＜1，所以－5＜m ＜5，故所求概率P ＝5－（－5）9－（－6）＝23.4．解析：选C.因为4a 1，a 3，2a 2成等差数列，所以2a 3＝4a 1＋2a 2，又a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，则2a 1q 2＝4a 1＋2a 1q ，解得q ＝2或q ＝－1，故选C.5．解析：选A.a ＝b ＝1时，两条直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行， 反之由ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行，可得ab ＝1，显然不一定是a ＝b ＝1， 所以，必要性不成立，所以“a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的充分不必要条件． 故选A.6．解析：选A.BD →＝AD →－AB →，所以BC →＝ 2 BD →＝2(AD →－AB →)，所以BC →·AB →＝2(AD →－AB →)·AB →＝ 2 AD →·AB →－ 2 AB →2＝0－2×22＝－4 2.7．解析：选C.该程序框图的功能是计算S ＝2＋lg 12＋lg 23＋…＋lg nn ＋1＝2－lg(n ＋1)的值．要使输出的S 的值为－1，则2－lg(n ＋1)＝－1，即n ＝999，故①中应填n ＜999？.8．解析：选C.F (1，0)，故直线AB 的方程为y ＝x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝x －1，可得x 2－6x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.由抛物线的定义可知：|F A |＝x 1＋1， |FB |＝x 2＋1，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝36－4＝4 2. 故选C.9.解析：选B.如图所示，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与曲线y ＝f (x )只有一个交点．10．解析：选C.由题意得BC ＝CD ＝a ，∠BCD ＝90°，所以。
全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程仿真模拟卷二理
仿真模拟卷二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，则P ∩Q ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{1,2} D ．{0,2} 答案 B解析 因为集合P ＝{0,1,2}，Q ＝{x |x <2}，所以P ∩Q ＝{0,1}．2．已知复数z 满足|z |＝2，z ＋z －＝2(z －为z 的共轭复数)(i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．1＋i 或1－iD ．－1＋i 或－1－i答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，z ＋z －＝2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2a ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝±1，所以z ＝1＋i 或z ＝1－i.3．若a >1，则“a x>a y”是“log a x >log a y ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由a >1，得a x >a y 等价为x >y ，log a x >log a y 等价为x >y >0，故“a x >a y”是“log a x >log a y ”的必要不充分条件．4．已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 因为a ＝log 52<log 55＝12，b ＝log 0.50.2>log 0.50.25＝2,0.51<c ＝0.50.2<0.50，即12<c <1，所以a <c <b .5．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 由题可得S ＝3，i ＝2→S ＝7，i ＝3→S ＝15，i ＝4→S ＝31，i ＝5→S ＝63，i ＝6，此时结束循环，输出i ＝6.6．(1－x )6(1＋x )4的展开式中含x 项的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 答案 B解析 解法一：(1－x )6的展开式的通项为C m 6(－x )m ＝C m 6(－1)mx m2，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4(x )n ＝C n4x n2，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.令m 2＋n2＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·(－1)2·C 04＝－3.解法二：(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.解法三：在(1－x )6(1＋x )4的展开式中要出现x ，可分为以下三种情况：①(1－x )6中选2个(－x )，(1＋x )4中选0个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 26C 04＝15；②(1－x )6中选1个(－x )，(1＋x )4中选1个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 16(－1)1C 14＝－24；③(1－x )6中选0个(－x )，(1＋x )4中选2个x 作积，这样得到的x 项的系数为C 06C 24＝6.故x 项的系数为15－24＋6＝－3.7．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO →·AB →＝32，则实数m ＝( )A ．±1 B．±32 C ．±22 D ．±12答案 C 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，∵直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，∴Δ＝－4m 2＋8＞0，解得－2<m <2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，AO →＝(－x 1，－y 1)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，∵AO →·AB →＝32，∴AO →·AB →＝x 21－x 1x 2＋y 21－y 1y 2＝1－m 2－12－m 2－12＋m 2－m 2＝2－m 2＝32，解得m ＝±22. 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若△ABC 的面积为S ，且43S ＝(a＋b )2－c 2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝( )A ．1 B.22 C.6－24 D.6＋24答案 D解析 由43S ＝(a ＋b )2－c 2，得43×12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，∴23ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即3sin C －cos C ＝1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝12，∵0<C <π，∴－π6<C －π6<5π6，∴C －π6＝π6，即C ＝π3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3·cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 9．关于函数f (x )＝x －sin x ，下列说法错误的是( ) A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增C ．x ＝0是f (x )的唯一零点D ．f (x )是周期函数 答案 D解析 f (－x )＝－x －sin(－x )＝－x ＋sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；由于f ′(x )＝1－cos x ≥0，故f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，故B 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，f (0)＝0，可得x ＝0是f (x )的唯一零点，故C 正确；根据f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，可知它一定不是周期函数，故D 错误．10．已知log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，则2a ＋b 取到最小值时，ab ＝( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 答案 D解析 由log 2(a －2)＋log 2(b －1)≥1，可得a －2>0，b －1>0且(a －2)(b －1)≥2.所以2a ＋b ＝2(a －2)＋(b －1)＋5≥22(a －2)(b －1)＋5≥22×2＋5＝9，当2(a －2)＝b －1且(a －2)(b －1)＝2时等号成立，解得a ＝b ＝3.所以2a ＋b 取到最小值时，ab ＝3×3＝9.11．已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＋a 2，x <0，ex －1＋a2x 2－(a ＋1)x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f [－f (x )]＝e －a＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋2e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2＋2eC.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1eD.⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋1e 答案 B解析 当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝ex －1＋ax －a －1，f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的大致图象如图所示．令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (t )＝e －a＋a2，f (t )＝et －1＋a2，解得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2e＋2.12．已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为( )A ．[2－3，1]B ．[1，7]C ．[7， 7＋23]D ．[1, 7＋23]答案 B解析 如图，过点B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ，则四边形BMNC 为直角梯形．在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E .又BM ＝AB ·sin∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝AB ·cos∠BAM ＝2cos π3＝1，CN ＝AC ·sin∠CAN ＝3sin π6＝32， AN ＝AC ·cos∠CAN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤ 7，故选B.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(3,1)，c ＝(1,2)，若向量2a －b 与c 共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为________．答案 0解析 向量2a －b ＝(－1,2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，∴向量a 在向量c 方向上的投影为|a |cos 〈a ，c 〉＝a ·c|c |＝1－2×125＝0.14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2ab sin C ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________．答案 3 3解析 由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15．已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________．答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)， 则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )，所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2，当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.16．已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解．综上，m 的取值范围为(3，＋∞)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (3sin x －cos x )＋12.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得－1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. 18．(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD 中，AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，AB ＝1，AD ＝2，∠ADE ＝60°，沿AE ，BF 折成三棱柱AED －BFC .(1)若M ，N 分别为AE ，BC 的中点，求证：MN ∥平面CDEF ； (2)若BD ＝5，求二面角E －AC －F 的余弦值． 解 (1)证明：如图，取AD 的中点G ，连接GM ，GN ，在△ADE中，∵M，G分别为AE，AD的中点，∴MG∥DE，∵DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，∴MG∥平面CDEF.由于G，N分别为AD，BC的中点，由棱柱的性质可得GN∥DC，∵CD⊂平面CDEF，GN⊄平面CDEF，∴GN∥平面CDEF.又GM⊂平面GMN，GN⊂平面GMN，MG∩GN＝G，∴平面GMN∥平面CDEF，∵MN⊂平面GMN，∴MN∥平面CDEF.(2)如图，连接EB，在Rt△ABE中，AB＝1，AE＝3，∴BE＝2，又ED＝1，DB＝5，∴EB2＋ED2＝DB2，∴DE⊥EB，又DE⊥AE且AE∩EB＝E，AE，EB⊂平面ABFE，∴DE⊥平面ABFE.以E 为坐标原点，分别以EA ，EF ，ED 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得E (0,0,0)，A (3，0,0)，F (0,1,0)，C (0,1,1)，AC →＝(－3，1,1)，AE →＝(－3，0,0)，FC →＝(0,0,1)．设平面AFC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝－3x ＋y ＋z ＝0，m ·FC →＝z ＝0，则z ＝0，令x ＝1，得y ＝3，则m ＝(1，3，0)为平面AFC 的一个法向量， 设平面ACE 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝－3x 1＝0，n ·AC →＝－3x 1＋y 1＋z 1＝0，则x 1＝0，令y 1＝1，得z 1＝－1，∴n ＝(0,1，－1)为平面ACE 的一个法向量．设m ，n 所成的角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝322＝64，由图可知二面角E －AC －F 的余弦值是64. 19．(本小题满分12分)为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：利润率是指一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值． (1)从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率； (2)从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；(3)假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利x 1万元，销售一台第二类机器获利x 2万元，……，销售一台第五类机器获利x 5万元，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为E (x )，设x －＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55，试判断E (x )与x －的大小．(结论不要求证明)解 (1)由题意知，本月共卖出30台机器， 利润率高于0.2的是第一类和第四类，共有10台． 设“这台机器利润率高于0.2”为事件A ，则P (A )＝1030＝13.(2)用销售总额除以销售量得到机器的销售单价，可知第一类与第三类的机器销售单价为20万元，第一类有5台，第三类有10台，共有15台，随机选取2台有C 215种不同方法，两台机器的利润率不同则每类各取一台有C 15C 110种不同方法， 设“两台机器的利润率不同”为事件B ，则P (B )＝C 15C 110C 215＝1021.(3)由题意可得，获利x 可能取的值为8,5,3,10，P (x ＝8)＝530＝16，P (x ＝5)＝230＝115， P (x ＝3)＝10＋830＝35，P (x ＝10)＝530＝16， 因此E (x )＝16×8＋115×5＋35×3＋16×10＝7715；又x －＝8＋5＋3＋10＋35＝295，所以E (x )<x －.20．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝4a2交于点A ，与椭圆C 交于点D .连接AF 1并延长交圆F 2于点B ，连接BF 2交椭圆C 于点E ，连接DF 1.已知|DF 1|＝52.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求点E 的坐标．解 (1)设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，所以|F 1F 2|＝2，c ＝1. 又因为|DF 1|＝52，AF 2⊥x 轴，所以|DF 2|＝|DF 1|2－|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－22＝32， 因此2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝4，从而a ＝2. 由b 2＝a 2－c 2，得b 2＝3.因此，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)解法一：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，a ＝2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x ＝1代入圆F 2的方程(x －1)2＋y 2＝16， 解得y ＝±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1,4)． 又F 1(－1,0)，所以直线AF 1：y ＝2x ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，(x －1)2＋y 2＝16，得5x 2＋6x －11＝0，解得x ＝1或x ＝－115.将x ＝－115代入y ＝2x ＋2，得y ＝－125，因此B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－115，－125.又F 2(1,0)，所以直线BF 2：y ＝34(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34(x －1)，x 24＋y 23＝1，得7x 2－6x －13＝0，解得x ＝－1或x ＝137.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以x ＝－1. 将x ＝－1代入y ＝34(x －1)，得y ＝－32.因此E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32.解法二：由(1)知，椭圆C ：x 24＋y 23＝1.如图，连接EF 1.因为|BF 2|＝2a ，|EF 1|＋|EF 2|＝2a ， 所以|EF 1|＝|EB |， 从而∠BF 1E ＝∠B .因为|F 2A |＝|F 2B |，所以∠A ＝∠B ， 所以∠A ＝∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴．因为F 1(－1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x 24＋y23＝1，得y ＝±32.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以y ＝－32.因此E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －x e x＋ax (a ∈R )． (1)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝1，求f (x )的最大值．解 (1)由题意知，f ′(x )＝1x －(e x ＋x e x )＋a ＝1x－(x ＋1)e x ＋a ≤0在[1，＋∞)上恒成立，所以a ≤(x ＋1)e x－1x在[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)e x－1x，则g ′(x )＝(x ＋2)e x＋1x2>0，所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝2e －1，所以a ≤2e－1. (2)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x e x＋x (x >0)． 则f ′(x )＝1x－(x ＋1)e x＋1＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －e x ，令m (x )＝1x －e x ，则m ′(x )＝－1x2－e x<0，所以m (x )在(0，＋∞)上单调递减．由于m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，m (1)<0，所以存在x 0>0满足m (x 0)＝0，即e x 0＝1x 0. 当x ∈(0，x 0)时，m (x )>0，f ′(x )>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，m (x )<0，f ′(x )<0. 所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝f (x 0)＝ln x 0－x 0e x0＋x 0，因为e x0＝1x 0，所以x 0＝－ln x 0，所以f (x 0)＝－x 0－1＋x 0＝－1，所以f (x )max ＝－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝8sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求|MN |.解 (1)因为ρcos 2θ＝8sin θ，所以ρ2cos 2θ＝8ρsin θ，即x 2＝8y ， 所以曲线C 表示焦点坐标为(0,2)，对称轴为y 轴的抛物线． (2)设点M (x 1，y 1)，点N (x 2，y 2)，直线l 过抛物线的焦点(0,2)，则直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝2＋t化为一般方程为y ＝12x ＋2，代入曲线C 的直角坐标方程，得x 2－4x －16＝0，所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－16， 所以|MN |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1－x 2)2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·42－4×(－16)＝10. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x ＋4|，不等式f (x )>8－|2x －2|的解集为M . (1)求M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (2a )－f (－2b )． 解 (1)将f (x )＝|x ＋4|代入不等式， 整理得|x ＋4|＋|2x －2|>8.①当x ≤－4时，不等式转化为－x －4－2x ＋2>8， 解得x <－103，所以x ≤－4；②当－4<x <1时，不等式转化为x ＋4＋2－2x >8， 解得x <－2，所以－4<x <－2；③当x ≥1时，不等式转化为x ＋4＋2x －2>8， 解得x >2，所以x >2. 综上，M ＝{x |x <－2或x >2}．(2)证明：因为f (2a )－f (－2b )＝|2a ＋4|－|－2b ＋4|≤|2a ＋4＋2b －4|＝|2a ＋2b |， 所以要证f (ab )>f (2a )－f (－2b )， 只需证|ab ＋4|>|2a ＋2b |， 即证(ab ＋4)2>(2a ＋2b )2，即证a 2b 2＋8ab ＋16>4a 2＋8ab ＋4b 2，即证a2b2－4a2－4b2＋16>0，即证(a2－4)(b2－4)>0，因为a，b∈M，所以a2>4，b2>4，所以(a2－4)(b2－4)>0成立，所以原不等式成立．。
2020高三二轮数学模拟卷理.doc
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(一) (时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{－1，0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1} B ．{－1，0，1，2} C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}2．已知i 是虚数单位，则复数i －1i ＋1在复平面上所对应的点的坐标为( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(1，0)D ．(0，－1)3．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，且P (X ≤4)＝0.84，则P (2<X <4)＝( ) A ．0.84 B ．0.68 C ．0.32D ．0.164．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，点D 在边AC 上，且2AD →＝DC →，则BA →·BD →的值是( )A ．48B ．24C ．12D ．65．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为ln 5，则在判断框内应填( )A ．i ≤5?B ．i ≤4?C ．i <6?D ．i >5?6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 6＝23，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．97．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )8．某兴趣小组合作制作了一个手工制品，并将其绘制成如图所示的三视图，其中侧视图中的圆的半径为3，则该手工制品的表面积为( )A ．5πB ．10πC ．12＋5πD ．24＋12π9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 10．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( )A ．P 1·P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1＋P 2＝56D ．P 1＜P 211．设F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，过F 2的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若|MF 2|＝3|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的离心率为( )A ．3B ．2 C.52D.7212．设点P 在曲线y ＝2e x 上，点Q 在曲线y ＝ln x －ln 2上，则|PQ |的最小值为( ) A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．2(1＋ln 2) D.2(1＋ln 2)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知100名学生某月零用钱消费支出情况的频率分布直方图如图所示，则在这100名学生中，该月零用钱消费支出超过150元的人数是__________．14．在直角坐标系xOy 中，点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≥0，x ＋y －5≤0，x －2y ＋1≤0，向量a ＝(1，－1)，则a·OP →的最大值是________．15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是A (0，0，5)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (3，1，5)，则该四面体的外接球的体积为__________．16．已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫a n ＋1－a n －cos n π2为奇函数，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 019的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知3(b 2＋c 2)＝3a 2＋2bc .(1)若sin B ＝2cos C ，求tan C 的大小；(2)若a ＝2，△ABC 的面积S ＝22，且b >c ，求b ，c .18．(本小题满分12分)某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．(1)设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A ，求事件A 的概率P (A )；(2)设X 为选出的4人中女生的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π3.(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．20．(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2，0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x －k (x －1)． (1)若函数h (x )＝f （x ）x，求h (x )的极值；(2)若f (x )＝0有一根为x 1(x 1>1)，f ′(x ) ＝0的根为x 0，则是否存在实数k ，使得x 1＝kx 0？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝sin θ1－sin 2θ.(1)写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 上的动点，求P 到直线l 距离的最小值，并求出此时P 点的坐标． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|. (1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R ，0<y <1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y .2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(二)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2＞0}，B ＝{x |0＜log 2x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．(2，4)B ．(1，1)C ．(－1，4)D ．(1，4)2．i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C ．1D. 23．已知向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．104．函数f (x )＝|x |ln|x |x4的图象大致为( )5．若sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan 2α＝( )A ．－247B.32 C ．－32D.2476．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为( )A.1415B.115C.29D.797．如图程序框图输出的结果是S ＝720，则判断框内应填的是( )A ．i ≤7B ．i ＞7C ．i ≤9D ．i ＞98．设a ＝log 2 018 2 019，b ＝log 2 019 2 018，c ＝2 01812 019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a9．已知数列a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2(－1)n ，n ∈Z *，则S 2 017的值为( ) A ．2 016×1 010－1 B ．1 009×2 017 C ．2 017×1 010－1D ．1 009×2 01610．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与函数y ＝x 的图象交于点P ，若函数y ＝x 的图象在点P 处的切线过双曲线的左焦点F (－1，0)，则双曲线的离心率是( )A.5＋12 B.5＋22C.3＋12D.3211．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且BC 边上的高为36a ，则c b＋bc的最大值是( ) A ．8 B ．6 C ．3 2D ．412．已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD 且满足AB ＝2AD ＝2DC ＝2，且∠DAB ＝π3，SC ＝2，则球O 的表面积是( )A ．5πB ．4πC ．3πD ．2π第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝13，S 3＝S 11，则S n 的最大值为________． 14．若在(a ＋3x )(1－3x )8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是________． 15．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，DE →＝12DO →，CE 的延长线与AD 交于点F ，若CF →＝λAC →＋ μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.16．对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin(3π＋x )·cos(π－x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，a ＝2，b ＋c ＝4，求b ，c .18．(本小题满分12分)某次有1 000人参加的数学摸底考试，成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(1)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；成绩区间[75，80)[80，85)[85，90)[90，95)[95，100) 人数50 a 350300b的40名学生中，随机选取2名学生参加座谈会，记选取的2名学生中成绩为优秀的人数为X，求X的分布列与数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，FB＝10，M，N分别为EF，AB的中点．(1)求证：MN∥平面FCB；(2)若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径长的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆C 的焦点坐标；(2)若过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点P 是椭圆C 上使直线PM ，PN 的斜率存在的任意一点，记直线PM ，PN 的斜率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14时，求椭圆C 的方程．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋kx(k ∈R )．(1)若f (x )存在极小值h (k )，且不等式h (k )≤ak 对f (x )存在极小值的任意k 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当k ＞0时，如果存在两个不相等的正数α，β使得f (α)＝f (β)，求证：α＋β＞2k .请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4y ＝sin 2α＋1(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝4ρsin θ－3.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程； (2)求曲线C 1上的点与曲线C 2上的点的距离的最小值． 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ； (2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ， 证明：a ＋b ≥2ab .2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(三)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＜0}，B ＝{x |－x 2＋x ＜0}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，0)∪[1，＋∞) B ．(－∞，0]∪(1，＋∞) C ．[0，1)D ．[0，1]2．已知复数z 1＝3＋4i ，复平面内，复数z 1与z 3所对应的点关于原点对称，z 3与z 2关于实轴对称，则z 1·z 2＝( )A ．－25B ．25C ．－7D ．73．抛掷红、蓝两枚骰子，当已知红色骰子的点数为偶数时，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )A.12B.29C.13D.1124．《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作，在《算经》中有一题：某女子善于织布，一天比一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A.47尺B.1629尺C.815尺 D.1631尺 5．函数f (x )＝x ln |x |的大致图象是( )6．已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3，4)，若m ⊥OA →，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.177．已知数列{a n }的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＋a 4＝7，a 5＋a 6＝13，则a 7＋a 8＝( )A ．4＋ 2B ．19C ．20D ．238．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”．若输入的m ，n 分别为385，105，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数，例：11 MOD 7＝4)，则输出的m 等于( )A ．0B ．15C ．35D ．709．在△ABC 中，点D 为边AB 上一点，若BC ⊥CD ，AC ＝32，AD ＝3，sin ∠ABC ＝33，则△ABC 的面积是( ) A ．6 2B.1522C.922D ．12 210．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝2，若四面体ABCD 外接球的球心O 恰好在侧棱DA 上，DC ＝23，则四面体ABCD 的体积为( )A.33B.32C.233D.311.如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为( )A. 3B.3＋12C ．2D ．23－112．已知函数f (x )在(0，1)恒有xf ′(x )＞2f (x )，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则( )A ．sin 2βf (sin α)＞sin 2αf (sin β)B ．cos 2βf (sin α)＞sin 2αf (cos β)C ．cos 2βf (cos α)＞cos 2αf (cos β)D ．sin 2βf (cos α)＞sin 2αf (cos β) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．14．如图是某班8位学生诗词比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的众数和中位数分别为________．89⎪⎪⎪6 60 1 3 3 3 615．已知△ABC 中，AB >AC ，AB →·AC →＝6，BC ＝13，∠A ＝60°，若M 是BC 的中点，过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH →·BC →＝________.16．若函数f (x )＝a ln x －x ＋a ＋3x在定义域内无极值，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击次数相同，已知两名运动员击中的环数稳定在7环、8环、9环、10环，他们比赛成绩的统计结果如下：请你根据上述信息，解决下列问题：(1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于9环的概率；(2)若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛，请你从随机变量均值意义的角度，谈谈让谁参加比较合适？18．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －a ，n ∈N *.设公差不为零的等差数列{b n }满足：b 1＝a 1＋2，且b 2＋5，b 4＋5，b 8＋5成等比数列．(1)求a 的值及数列{b n }的通项公式； (2)设数列{log 2a n }的前n 项和为T n .求使T n >b n 的最小正整数n .19．(本小题满分12分)如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A -BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A -BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，1]． (1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 在x ∈(0，1)上恒成立，求b －a 的最小值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 的焦点为F (1，0)，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，直线AO ，BO 分别与直线m ：x ＝－2相交于M ，N 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r ＞0)．以O为极点，x 轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.(1)写出圆心的极坐标；(2)求当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3. 23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 设f (x )＝|ax －1|.(1)若f (x )≤2的解集为[－6，2]，求实数a 的值；(2)当a ＝2时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x ＋1)－f (x －1)≤7－3m 成立，求实数m 的取值范围．2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝()A．{1} B．{1，2}C．{2} D．[1，2]2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝()A．25 B.17C．5 D．173．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为()A．15，20，10，5 B．15，20，5，10C．20，15，10，5 D．20，15，5，104．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝3，则△ABC 的面积为()A.34 B.34C.32 D.326．设a＝log123，b＝⎝⎛⎭⎫130.2，c＝⎝⎛⎭⎫12－12，则()A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c7．若非零向量a、b满足|a|＝2|b|＝4，(a－2b)·a＝0，则a在b方向上的投影为() A．4 B．8488．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K 的最大值是( )A ．18B ．50C ．78D ．3069．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )A. 3 B ．2 C. 5D ．410．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1225πD.35π11．已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋5412．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4an ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.35834题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，若f (m )＝2，则f (－m )＝________.14．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －5≥0，x ＋y －7≤0，x －2≥0若z ＝x ＋ay 的最小值为4，则实数a 的值为________．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________． 16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB ∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥底面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.(1)求证：AG ⊥平面BCE ； (2)求二面角C AEF 的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x ，h (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a ＝1，b ＝c ＝0，求函数F (x )＝f (x )h (x )的单调区间；(2)若a ＝c ＝0，b >0，且G (x )＝g (x )－h (x )≥m (m ∈R )对任意的x ∈R 都成立，求mb 的最大值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)在第一象限内的点P (2，t )到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝⎛⎭⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值； (2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q ()5，－3，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(五)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |3－x ≥0}，B ＝{2，3，4}，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．{3} C ．{2，3}D ．{2，3，4}2．已知z (2－i)＝1＋i(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．－15－35iB.15＋35i C ．－15＋35iD.15－35i 3．从[－6，9]中任取一个m ，则直线3x ＋4y ＋m ＝0被圆x 2＋y 2＝2截得的弦长大于2的概率为( )A.23B.25C.13D.154．已知等比数列{a n }中，若4a 1，a 3，2a 2成等差数列，则公比q ＝( ) A ．1 B ．1或2 C ．2或－1D ．－15．“a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知在△ABC 中，BC →＝ 2 BD →，AD ⊥AB ，|AB →|＝2，则BC →·AB →＝( ) A ．－4 2 B ．4 2 C ．－2 2D ．2 27．执行如图所示的程序框图，若输出的值为－1，则判断框中可以填入的条件是( )A ．n ≥999?B ．n ≤999?C ．n ＜999?D ．n ＞999?8．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值等于( )A ．8 2B ．8C ．4 2D ．49．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且函数h (x )＝f (x )＋x －a 有且只有一个零点，则实数a的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]10.如图所示，边长为a 的空间四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，平面ABD ⊥平面BCD ，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知双曲线M 的焦点F 1、F 2在x 轴上，直线7x ＋3y ＝0是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且PF 1→·PF 2→＝0，如果抛物线y 2＝16x 的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么|PF 1→|·|PF 2→|＝( )A ．21B ．14C ．7D ．012．已知f (x )＝a e xx ，x ∈[1，2]，且∀x 1，x 2∈[1，2]，x 1≠x 2，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜1恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫2e ，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，9e －22 C.()e 13，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，4e 2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2x ≤2，，则z ＝x ＋2y 的最大值为________．14．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝______．15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1－x )6展开式中x 3的系数为______． 16.若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(A >0，ω>0)的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．18.(本小题满分12分)如图，直线P A 与平行四边形ABCD 所在的平面垂直，且P A ＝AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)求直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．20．(本小题满分12分)某市教师进城考试分笔试和面试两部分，现把参加笔试的40名教师的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]．得到频率分布直方图如图所示．(1)分别求成绩在第4，5组的教师人数；(2)若考官决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若决定在这6名考生中随机抽取2名教师接受考官D的面试，设第4组中有X名教师被考官D面试，求X的分布列和数学期望．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2－x ln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R)．(1)当a＝0时，求函数f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程；(2)若对任意的x∈[1，＋∞)，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φy ＝sin φ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围．2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(六)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤2x ≤4，B ＝{y |y ＝x －2＋2－x }，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．{0} C ．[－2，2] D ．[0，2]2．已知复数z ＝3＋i（1＋i ）2，其中i 为虚数单位，则|z |＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．23．在△ABC 中，M 为AC 的中点，BC →＝CD →，MD →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝( ) A ．1 B.12 C.13D.324．已知cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ的值是( ) A.13 B.223C ．－13D ．－2235．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2106．执行如图所示的程序框图，若输出s ＝4，则判断框内应填入的条件是( )A ．k ≤14B ．k ≤15C ．k ≤16D ．k ≤177．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝5，则异面直线A 1B 1与AC 1所成角的余弦值为( )A.25B.35C.45D.128.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ＝4，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A.413 B.513 C.926D.3269．抛物线x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6等于( )A ．64B ．42C ．32D ．2110．已知平面向量a ，b 的夹角为π3，|a －b|＝|a|＝2 3.若非零向量c －a 与c －b 的夹角为2π3，则|c|的取值范围是( ) A ．(3，4] B ．(23，4] C ．(2，23] D ．[23，4]11.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，)x ∈R 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋f ′(x )，则下列关于函数g (x )的说法中不正确的是( )A ．函数g (x )图象的对称轴方程为x ＝k π－π12(k ∈Z )B ．函数g (x )的最大值为2 2C ．函数g (x )的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线l ：y ＝3x －1平行D ．方程g (x )＝2的两个不同的解分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|最小值为π212．已知函数f (x )＝x 2－ax (1e≤x ≤e ，e 为自然对数的底数)与g (x )＝e x 的图象上存在关于直线y ＝x 对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤1，e ＋1e B.⎣⎡⎦⎤1，e －1e C.⎣⎡⎦⎤e －1e ，e ＋1e D.⎣⎡⎦⎤e －1e ，e第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.⎝⎛⎭⎫x 3＋12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．14．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且满足4cos 2A 2－cos[2(B ＋C )]＝72，若a ＝2，则△ABC 的面积的最大值是____________．16．在三棱锥P -ABC 中，P A ＝PB ＝22，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，若平面P AB ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n （a n ＋2）的前n 项和为T n ，求证：12≤T n ＜1.18．(本小题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生序号i 1 2 3 4 5 6 7 数学成绩x i 60 65 70 75 85 87 90 物理成绩y i70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；②根据上表数据，求物理成绩y 关于数学成绩x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，19．(本小题满分12分)如图，三棱锥P ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A -PD -C 的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，a ∈R . (1)当a ＝0时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝3x ＋m 相切，求实数m 的值； (2)若函数f (x )在[1，3]上存在单调递增区间，求a 的取值范围 .21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为3，圆C的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝⎝⎛⎭⎫a b 2.(1)求椭圆及圆C 的方程；(2)过原点O 作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若CA →·CB →＝－2，求直线l 被圆C 截得的弦长．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A 、B 两点，求|P A |＋|PB |的值．23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(七)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i2．已知集合M ＝{x |x 2－2x －8≤0}，集合N ＝{x |lg x ≥0}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x ≤4} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}3．中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系．如图所示的折线图是2017年和2018年的中国仓储指数走势情况．根据该折线图，下列结论中不正确的是( )A ．2018年1月至4月的仓储指数比2017年同期波动性更大B ．这两年的最大仓储指数都出现在4月份C ．2018年全年仓储指数平均值明显低于2017年D ．2018年各仓储指数的中位数与2017年各仓储指数中位数差异明显4．已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )。
2020版高考理科数学二轮专题提分教程全国通用版仿真模拟卷三
仿真模拟卷三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤2，x ，y ∈N }，则A 中元素的个数为( ) A ．1 B ．5 C ．6 D ．无数个答案 C解析 由题得A ＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A 中元素的个数为6.2．已知i 是虚数单位，z －是z 的共轭复数，若z (1＋i)＝1－i 1＋i ，则z －的虚部为( )A.12 B ．－12 C.12i D ．－12i答案 A解析 由题意可得z ＝1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝12i －12＝－12i －12，则z －＝－12＋12i ，据此可得z －的虚部为12.3．“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析方程x 2m ＋y22－m＝1表示椭圆，即⎩⎨⎧m >0，2－m >0，m ≠2－m⇒0<m <2且m ≠1，所以“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0D ．|a |>|b |答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln (a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，知B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．30B ．31C ．62D ．63答案 B解析 由流程图可知该算法的功能为计算S ＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S ＝1＋21＋22＋23＋24＝1×(1－25)1－2＝31.6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32答案 C解析 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.7．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF→＝1，则λ的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．52答案 B解析 由题意可得AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD→＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝1λAB →2＋13BC →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1AB →·BC →，且AB →2＝BC →2＝4，AB →·BC →＝2×2×cos120°＝－2，故4λ＋43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1×(－2)＝1，解得λ＝2. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则角A ＝( )A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π6答案 D解析 ∵a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0， ∴3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ， ∴3sin(A ＋C )＝3sin B ＝－b cos A ， ∴3a sin B ＝－b cos A ，由正弦定理可得3sin A sin B ＝－sin B cos A ， ∵sin B >0，∴3sin A ＝－cos A ，即tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f (x )＝x 4|4x－1|的图象大致是( )答案 D解析 因为函数f (x )＝x 4|4x －1|，f (－x )＝(－x )4|4－x －1|＝x 4|4－x －1|≠f (x )，所以函数f (x )不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，B ；又因为f (3)＝97，f (4)＝256255，所以f (3)>f (4)，而C 在x >0时是递增的，故排除C.10．在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．AC ＝BCB ．AB ＝AC C ．∠ABC ＝π2 D ．∠BAC ＝π2答案 A解析 (直接法)由题意，以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，取B (4,0)，则P 0(3,0)，设P (a,0)(a ∈[0,4])，C (x 0，y 0)，则PB→＝(4－a,0)，PC →＝(x 0－a ，y 0)，P 0B →＝(1,0)，P 0C →＝(x 0－3，y 0)，则(4－a )(x 0－a )≥x 0－3，即a 2－(4＋x 0)a ＋3x 0＋3≥0恒成立，所以Δ＝[－(4＋x 0)]2－4(3x 0＋3)≤0，即(x 0－2)2≤0，解得x 0＝2，则易知点C 在边AB 的垂直平分线上，所以AC ＝BC ，故选A.11．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )A ．1－3π6B ．1－3π12C ．1－3π9D ．1－3π18答案 A解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示．设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝π2，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.12．若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln (x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则非零实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12eC ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x －2e ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫这里t ＝m x ＋1>0，令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et ，令h (t )＝f ′(t )，则h ′(t )＝1t ＋2et 2＞0，∴h (t )为增函数，即f ′(t )为增函数． 当t ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0， 当0＜t ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0，∴f (t )≥f (e)＝－e ，且当t →0时，f (t )→＋∞， ∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e ，故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________．答案 －2解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解得A (2,2)，z ＝yx －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率． ∵k P A ＝2－02－3＝－2，∴z ＝yx －3的最小值是－2. 14．已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，P A ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________．答案 12π解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当P A ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大．此时P A ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.15．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM→|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________．答案2＋1解析 设点M 的坐标是(x ，y )， ∵C (0，－2)，且|CM→|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA→＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA→＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离．又点P (－1，－1)在圆C 的外部， ∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1 ＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1 ＝2＋1.16．函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝e x －1；②f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)；③f (x )＝⎩⎨⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________．(填序号) 答案 ①②解析 ①设φ(x )＝e x －1－x (x ∈R )，则 φ′(x )＝e x －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0. ∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，所以e x －1－x ≥0，e x －1≥x ，故∃a ＝1，使f (x )≥ax 在R 上恒成立，①中函数f (x )具有性质P ；②易知f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝sin2x (x ≤0)．令φ(x )＝f (x )－2x ＝sin2x －2x (x ≤0)， 则φ′(x )＝2cos2x －2.∴φ′(x )≤0，∴φ(x )在(－∞，0]上是减函数， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，故f (x )≥2x 恒成立． ∴∃a ＝2，使得f (x )≥ax 在(－∞，0]上恒成立， ②中函数f (x )具有性质P ；③作函数y ＝f (x )与直线y ＝ax 的图象，显然当y ＝ax 过点O (0,0)，A (1,1)，B (2,2)时，斜率a ＝1.根据图象知，不存在a ∈[1,2]，使f (x )≥ax 恒成立． 因此③中函数f (x )不具有性质P . 综上可知，具有性质P 的函数为①②.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知锐角△ABC 面积为S ，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，角A ，C 的平分线相交于点O ，b ＝23且S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，求：(1)角B 的大小； (2)△AOC 周长的最大值．解 (1)∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)， 故12ac sin B ＝34×2ac cos B ⇒tan B ＝3⇒B ＝π3.(2)设△AOC 的周长为l ，∠OAC ＝α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4，∵OA ，OC 分别是角A ，C 的平分线，B ＝π3，∴∠AOC ＝2π3.由正弦定理，得OA sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝OC sin α＝23sin 2π3，∴l ＝4sin α＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋23＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，7π12，当α＝π6时，△AOC 周长的最大值为4＋2 3.18．(本小题满分12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC＝AD＝CD＝12AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)若M为线段P A的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A－CMN的高．解(1)证明：在直角梯形ABCD中，AC＝AD2＋DC2＝22，BC＝(AB－CD)2＋AD2＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PC⊥BC，又AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面P AC，故BC⊥平面P AC.(2)N为PB的中点，如图，连接MN，CN.因为M为P A的中点，N为PB的中点，所以MN∥AB，且MN＝12AB＝2.又因为AB∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四点共面，所以N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．因为BC⊥平面P AC，N为PB的中点，所以点N到平面P AC的距离d＝12BC＝ 2.又S△ACM ＝12S△ACP＝12×12×AC×PC＝2，所以V三棱锥N－ACM ＝13×2×2＝23.由题意可知，在Rt△PCA中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2.设三棱锥A －CMN 的高为h ，V 三棱锥N －ACM ＝V 三棱锥A －CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A －CMN 的高为 2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝12，A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，|AF |＝1，直线m ：x ＝－4.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点F 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与直线m 交于M ，N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝12，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线P A ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)． 令x ＝－4，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 1x 1＋2， 同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 2x 2＋2. 则以MN 为直径的圆的方程为(x ＋4)(x ＋4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2y 1x 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2y 2x 2＋2＝0， 整理得，(x ＋4)2＋y 2＋2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4y ＋4k 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0①由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.② 将②代入①，整理得，x 2＋y 2＋8x －6k y ＋7＝0.令y ＝0，得x ＝－1或x ＝－7.当直线l 斜率不存在时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，M (－4，－3)，N (－4,3)， 以MN 为直径的圆为(x ＋4)2＋y 2＝9也过点(－1,0)，(－7,0)两点．综上，以MN 为直径的圆能过两定点(－1,0)，(－7,0)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x －12ax －b ，g (x )＝ax 2＋bx .(1)当a ＝2，b ＝－3时，求函数f (x )在x ＝e 处的切线方程，并求函数f (x )的最大值；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，且x 1≠x 2，求证：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>1. 解 (1)当a ＝2，b ＝－3时，f (x )＝ln x x －x ＋3(x >0)，f ′(x )＝1－ln x －x 2x 2， 则f ′(e)＝－1，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，1e －e ＋3， 故函数f (x )在x ＝e 处的切线方程为x ＋y －1e －3＝0.令h (x )＝1－ln x －x 2，则h (x )＝1－ln x －x 2在(0，＋∞)是减函数，又h (1)＝0，∴x ∈(0,1)，h (x )>0，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，h (x )<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．∴f (x )max ＝f (1)＝2.(2)证明：∵x 1，x 2是f (x )的两个零点，不妨设x 1<x 2，∴f (x 1)＝f (x 2)＝0.即ln x 1x 1－12ax 1－b ＝0，ln x 2x 2－12ax 2－b ＝0， ∴ln x 1－12ax 21－bx 1＝0，ln x 2－12ax 22－bx 2＝0， 相减得ln x 1－ln x 2－12a (x 21－x 22)－b (x 1－x 2)＝0⇒ln x 1x 2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)－b ＝0⇒(x 1＋x 2)ln x 1x 2x 1－x 2－12a ·(x 1＋x 2)2－b (x 1＋x 2)＝0⇒(x 1＋x 2)ln x 1x 22(x 1－x 2)－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝0. ∴(x 1＋x 2)ln x 1x 22(x 1－x 2)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22⇒g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝(x 1＋x 2)ln x 1x 22(x 1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋1ln x 1x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1， 令t ＝x 1x 2，即证0<t <1时，(t ＋1)ln t 2(t －1)>1， (t ＋1)ln t 2(t －1)>1⇔ln t <2(t －1)t ＋1⇔ln t －2(t －1)t ＋1<0， 令m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，t ∈(0,1)， m ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0， ∴m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在(0,1)上是增函数， 又∵m (1)＝0，∴t ∈(0,1)时，m (t )<0，命题得证．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x ＋y ＝1与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l ：θ＝α(ρ>0)与C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当|OB ||OA |＝4时，求α的值．解 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)由(1)知，|OA |＝ρA ＝1cos α＋sin α，|OB |＝ρB ＝4cos α， ∴|OB ||OA |＝4cos α(cos α＋sin α)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4， ∵|OB ||OA |＝4，∴2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22， 由0<α<π2，知π4<2α＋π4<5π4，即2α＋π4＝3π4，∴α＝π4.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|.(1)求f (x )>－5的解集；(2)若关于x 的不等式|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，3－x ，x >12，故f (x )>－5的解集为(－2,8)． (2)由|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立， 得|b ＋2a |－|2b －a ||a |≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a －1≥|x ＋1|＋|x －m |能成立， 令b a ＝t ，则|t ＋2|－|2t －1|≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，由(1)知，|t ＋2|－|2t －1|≤52，又∵|x ＋1|＋|x －m |≥|1＋m |，∴|1＋m |≤52，∴实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32.。
2020届高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(经典版)文档：高考仿真模拟(三) Word版含解析
2020高考仿真模拟(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则(∁R A)∩B ＝()A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．(0,1]C．[3，＋∞) D．∅答案 C解析因为A＝(0,3)，所以∁R A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)．又B＝(1，＋∞)，所以(∁R A)∩B＝[3，＋∞)．2．复数z＝2i1－i的共轭复数是()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案 D解析∵z＝2i1－i＝2i(1＋i)2＝－1＋i，∴z－＝－1－i，故选D.3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是()A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值答案 D解析 A 错误，并无周期变化；B 错误，并不是不断减弱，中间有增强；C 错误，10月份的波动大于11月份，所以方差要大；D 正确，由图可知，12月份起到1月份有下降的趋势，所以12月份的平均值大于1月份．故选D.4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为19，则输出N 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 阅读流程图可得，程序执行过程如下： 首先初始化数值为N ＝19，第一次循环：N ＝N －1＝18，不满足N ≤3； 第二次循环：N ＝N3＝6，不满足N ≤3；第三次循环：N ＝N3＝2，满足N ≤3； 此时跳出循环体，输出N ＝2.故选C.5．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公式，得⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋2π3 B.13＋2π3C.13＋2π6 D ．1＋2π6答案 C解析 由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径2R ＝2，则R ＝22，所以半球的体积为2π3R 3＝2π6，又正四棱锥的体积为13×12×1＝13，所以该几何体的体积为13＋2π6.故选C.7．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝2π，则tan(a 3＋a 5 )的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33 答案 A解析 a 1＋a 4＋a 7＝2π，所以3a 4＝2π，a 4＝2π3，a 3＋a 5＝2a 4＝4π3，tan(a 3＋a 5)＝tan 4π3＝ 3.8．如图，在圆O 中，已知弦AB ＝4，弦AC ＝6，那么A O →·B C →的值为( )A ．10B ．213 C.10 D ．－10 答案 A解析 如图，延长AO ，交圆O 于点D ，连接BD ，CD ，则△ACD 和△ABD 均为直角三角形．于是A O →·B C →＝12A D →·(B A →＋A C →) ＝12A D →·B A →＋12A D →·A C →＝12(A B →＋B D →)·B A →＋12(A C →＋C D →)·A C →＝12(－|B A →|2＋|A C →|2)＝12×(－16＋36)＝10.故选A.9．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B解析 取a ＝b ＝20，即知A ，C ，D 错误；从而选B.事实上，假设5号学生不能进入30秒跳绳决赛，则1号和4号学生也都不能进入30秒跳绳决赛，于是至多只能有5人同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛，与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾．故选B.10．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A. 6 B ．2 2 C ．2 3 D ．4 答案 A解析 由题意，易知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立可得y 2－4k y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4，则|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋1k 2，由弦长公式可得 1＋1k 2×|y 1－y 2|＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝6，∴k 2＝2，|y 1－y 2|＝2 6.三角形的面积为S ＝12|OF |×|y 1－y 2|＝12×1×26＝ 6.故选A.11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形(这个矩形的长不小于宽)，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752 C ．39 D.6018 答案 B解析 设下底面的长为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋172×92＋392＝752.故选B.12．已知函数f (x )＝x 3－4x ，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，其中x 1<x 2<x 3，m <0，则( )A ．x 1>－2B ．x 21＋x 22<4 C ．x 22＋x 23<6 D ．x 3>2答案 C解析 因为f (x )＝x 3－4x ，所以f ′(x )＝3x 2－4，令f ′(x )>0，得x <－233或x >233，令f ′(x )<0，得－233<x <233，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－233，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－233，233上单调递减，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝－2或x ＝2，所以函数f (x )＝x 3－4x 的大致图象如图所示，由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，m <0，知直线y ＝m 与函数f (x )＝x 3－4x 的图象的三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，结合图象知，x 1<－2,0<x 2<233，233<x 3<2，所以A ，D 不正确．又x 21>4，0<x 22<43，43<x 23<4，所以x 21＋x 22>4，x 22＋x 23<163<6，所以C 正确，B 不正确．故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析 T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝(－2)r C r 6·x r ，令r ＝2，得T 3＝(－2)2C 26x 2＝60x 2.故x 2的系数为60.14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝4x ＋3y 的最大值为________．答案 8解析由约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0作出可行域如图中阴影部分所示．又目标函数z ＝4x ＋3y 可化为y ＝－43x ＋z3，因此，当直线y ＝－43x ＋z3在y 轴上截距最大时， z ＝4x ＋3y 取最大值，由图象可得，当直线y ＝－43x ＋z3过点A 时，截距最大，由x －2y －2＝0，令y ＝0，易得A (2,0)，此时z max ＝8.15．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案255解析 过P 点作底面ABCD 的垂线PQ ，垂足为Q .则“点P 到直线CC 1的距离”就转化为“两条平行线PQ 与直线CC 1之间的距离”，进而转化为“点Q 到直线CC 1的距离，即QC ”．当CQ ⊥DE 时，QC 有最小值为255.即点P 到直线CC 1的距离的最小值为255.16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第________天，两马相逢．答案 16解析 设两匹马n 天之后相遇，则两匹马合计行走的路程为6000里．依题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤193n ＋12n (n －1)×13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤97n ＋12n (n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝6000.经估算可知，15<n <16，故n 取16.即离开长安后的第16天，两马相逢．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 是CC 1的中点，BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)证明：B 1E ⊥AE ；(2)若AB ＝2，求二面角A －B 1E －A 1的余弦值． 解 (1)证明：连接BC 1，BE ，因为在△BCC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°. 所以BC ⊥BC 1. 所以BE ＝12CC 1＝1，因为B 1E ＝EC 21＋B 1C 21－2·EC 1·B 1C 1cos120° ＝ 3.所以B 1E ⊥BE ，又AB ⊥平面BB 1C 1C ，且B 1E ⊂平面BB 1C 1C ， 所以B 1E ⊥AB ，AB ∩BE ＝B ， 所以B 1E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以B 1E ⊥AE .(2)以B 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A (0,0，2)，B 1(－1，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，A 1(－1，3，2)， 所以B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0，AB 1→＝(－1，3，－2)，A 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，－2， 设平面AB 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧B 1E →·n ＝0，AB 1→·n ＝0⇒⎩⎨⎧3x －y ＝0，x －3y ＋2z ＝0，取n ＝(1，3，2)，设平面A 1B 1E 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧B 1E →·m ＝0，A 1E →·m ＝0⇒⎩⎨⎧3a －b ＝0，3a －3b －22c ＝0，取m ＝(1，3，0)．所以cos 〈n ，m 〉＝m ·n |m ||n |＝42×6＝63，即二面角A －B 1E －A 1的余弦值为63.18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且2a cos C ＝2b －c .(1)求角A 的大小；(2)若AB ＝3，AC 边上的中线BD 的长为13，求△ABC 的面积． 解 (1)∵2a cos C ＝2b －c ，由正弦定理可得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ， ∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sinC. ∴12sin C ＝cos A sin C ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝12， ∴由A ∈(0，π)，可得A ＝π3.(2)在△ABD 中，AB ＝3，BD ＝13，cos A ＝12，由余弦定理可得13＝9＋AD 2－3AD ，解得AD ＝4(负值舍去)， ∵BD 为AC 边上的中线，∴D 为AC 的中点，∴AC ＝2AD ＝8，∴S△ABC ＝12AB·AC·sin A＝12×3×8×32＝6 3.19．(本小题满分12分)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某地区2019年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．(1)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．解(1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，P(A)＝2＋410＝35.(2)记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P(B)＝C12·C14C26＝815.(3)ξ的可能值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝C36C310＝16；P(ξ＝1)＝C26·C14C310＝12；P(ξ＝2)＝C16·C24C310＝310；P(ξ＝3)＝C34C310＝130.其分布列为E (ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.20．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0,1)，右焦点到直线x ＝a 2c 的距离为33.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点A 作两条互相垂直的直线l 1 ，l 2分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 恒过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35.解 (1)由题意知，a 2c －c ＝33，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明：显然直线l 1，l 2的斜率存在． 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k4k 2＋1，x 2＝0，所以x M ＝－8k4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.由l 1，l 2垂直，可得直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1. 用－1k 替换前式中的k ，可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.则k MP ＝1－4k 24k 2＋1＋35－8k 4k 2＋1＝－8k 25＋85－8k ＝k 2－15k ， k NP ＝k 2－4k 2＋4＋358k k 2＋4＝8k 25－858k ＝k 2－15k ，所以k MP ＝k NP ，故直线MN 恒过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －1x －ax (a ∈R )． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a <－1，求函数f (x )的单调区间； (3)若1<a <2，求证：f (x )<－1. 解 (1)若a ＝0，则f (1)＝－1，f ′(x )＝2－ln xx 2，f ′(1)＝2，所以f (x )在点(1，－1)处的切线方程为2x －y －3＝0. (2)x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝2－ax 2－ln xx 2.令g (x )＝2－ax 2－ln x ，则g ′(x )＝－2ax 2－1x.令g ′(x )＝0，得x ＝± －12a ⎝ ⎛⎭⎪⎫依题意－12a >0.由g ′(x )>0，得x > －12a ；由g ′(x )<0，得0<x < －12a .所以，g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －12a 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，所以，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＝52－ln－12a . 因为a <－1，所以0<－12a <12，ln －12a <0. 所以g (x )>0，即f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． (3)证明：由x >0，f (x )<－1，等价于ln x －1x－ax <－1，等价于ax 2－x ＋1－ln x >0. 设h (x )＝ax 2－x ＋1－ln x ，只须证h (x )>0成立．因为h ′(x )＝2ax －1－1x ＝2ax 2－x －1x，1<a <2，由h ′(x )＝0，得2ax 2－x －1＝0有异号两根． 令其正根为x 0，则2ax 20－x 0－1＝0.在(0，x 0)上h ′(x )<0，在(x 0，＋∞)上h ′(x )>0.则h (x )的最小值为h (x 0)＝ax 20－x 0＋1－ln x 0＝1＋x 02－x 0＋1－ln x 0＝3－x 02－ln x 0.又h ′(1)＝2a －2>0，h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－32＝a －3<0，所以12<x 0<1.则3－x 02>0，－ln x 0>0.因此3－x 02－ln x 0>0，即h (x 0)>0. 所以h (x )>0，所以f (x )<－1.请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．(1)求直线l 被曲线C 截得的弦长；(2)从极点作曲线C 的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程． 解 (1)直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝0，展开可得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ－32cos θ＝0，化为直角坐标方程为y －3x ＝0.曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，消去参数α可得，x 2＋(y －2)2＝4， 圆心C (0,2)，半径r ＝2. ∴圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|12＋(－3)2＝1，∴直线l 被曲线C 截得的弦长为 2r 2－d 2＝222－12＝2 3.(2)设Q 是圆C 上的任意一点，P (x ，y )为线段OQ 的中点，则Q (2x,2y )，代入圆C 的方程可得，(2x )2＋(2y －2)2＝4，化为x 2＋y 2－2y ＝0，可得ρ2－2ρsin θ＝0， 即ρ＝2sin θ为各弦中点轨迹的极坐标方程． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1. 解 (1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)]≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43， 当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)]≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥(2＋a )23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为(2＋a )23.由题设知(2＋a )23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。
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仿真模拟卷三本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤2，x ，y ∈N }，则A 中元素的个数为( ) A ．1 B ．5 C ．6 D ．无数个 答案 C解析 由题得A ＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)}，所以A 中元素的个数为6.2．已知i 是虚数单位，z －是z 的共轭复数，若z (1＋i)＝1－i1＋i ，则z －的虚部为( )A.12 B ．－12 C.12i D ．－12i 答案 A解析 由题意可得z ＝1－i (1＋i )2＝1－i 2i ＝12i －12＝－12i －12，则z －＝－12＋12i ，据此可得z －的虚部为12.3．“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m ＝1表示椭圆”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析方程x 2m ＋y22－m＝1表示椭圆，即⎩⎨⎧m >0，2－m >0，m ≠2－m⇒0<m <2且m ≠1，所以“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．4．若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3b C ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 取a ＝2，b ＝1，满足a >b ，但ln (a －b )＝0，则A 错误；由9＝32>31＝3，知B 错误；取a ＝1，b ＝－2，满足a >b ，但|1|<|－2|，则D 错误；因为幂函数y ＝x 3是增函数，a >b ，所以a 3>b 3，即a 3－b 3>0，C 正确．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．30B ．31C ．62D ．63 答案 B解析 由流程图可知该算法的功能为计算S ＝1＋21＋22＋23＋24的值，即输出的值为S ＝1＋21＋22＋23＋24＝1×(1－25)1－2＝31.6.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 8的展开式的常数项为( )A ．－56B ．－28C ．56D ．28 答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝C r 8·(－1)r· x 8－43r，令8－43r ＝0，得r ＝6，∴所求常数项为C 68·(－1)6＝28.7．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE →·AF →＝1，则λ的值为( )A ．3B ．2 C.32 D.52答案 B解析 由题意可得AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝1λAB →2＋13BC →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1AB →·BC →，且AB →2＝BC →2＝4，AB →·BC →＝2×2×cos120°＝－2，故4λ＋43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ＋1×(－2)＝1，解得λ＝2.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则角A ＝( )A.2π3B.π3C.π6D.5π6 答案 D解析 ∵a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0， ∴3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ， ∴3sin(A ＋C )＝3sin B ＝－b cos A ，∴3a sin B ＝－b cos A ，由正弦定理可得3sin A sin B ＝－sin B cos A ，∵sin B >0，∴3sin A ＝－cos A ，即tan A ＝－33，∵A ∈(0，π)，∴A ＝5π6.9．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f (x )＝x 4|4x－1|的图象大致是( )答案 D解析 因为函数f (x )＝x 4|4x －1|，f (－x )＝(－x )4|4－x －1|＝x 4|4－x －1|≠f (x )，所以函数f (x )不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，B ；又因为f (3)＝97，f (4)＝256255，所以f (3)>f (4)，而C 在x >0时是递增的，故排除C.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 答案 D解析 令x ＝1，得展开式的各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－115＝1＋a ，∴1＋a ＝2，∴a ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，所求展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的常数项与含x 项的系数和，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·(－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝(－1)r 25－r ·C r 5x5－2r，令5－2r ＝1得r ＝2；令5－2r ＝0，无整数解，∴展开式中常数项为8C 25＝80.11．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为( )A ．1－3π6B ．1－3π12C ．1－3π9 D ．1－3π18答案 A解析 满足条件的正三角形ABC 如图所示．设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝π2，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.12．若存在m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )·[ln (x ＋m )－ln x ]＝0成立，其中e 为自然对数的底数，则非零实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12e C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e ，＋∞ 答案 C解析 由题意得－12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x －2e ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m x ＝(t －2e)ln t ⎝ ⎛⎭⎪⎫这里t ＝m x ＋1>0， 令f (t )＝(t －2e)ln t (t ＞0)，则f ′(t )＝ln t ＋1－2et ，令h (t )＝f ′(t )，则h ′(t )＝1t ＋2et 2＞0，∴h (t )为增函数，即f ′(t )为增函数． 当t ＞e 时，f ′(t )＞f ′(e)＝0，当0＜t ＜e 时，f ′(t )＜f ′(e)＝0， ∴f (t )≥f (e)＝－e ，且当t →0时，f (t )→＋∞， ∴－12a ≥－e ，解得a ＜0或a ≥12e ，故选C.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________．答案 －2解析 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)， 联立⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解得A (2,2)， z ＝yx －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率． ∵k P A ＝2－02－3＝－2，∴z ＝yx －3的最小值是－2. 14．已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，P A ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________．答案 12π解析 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当P A ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大．此时P A ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点处的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3×22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.15．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________．答案2＋1解析 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离．又点P (－1，－1)在圆C 的外部， ∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1 ＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.16．函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝ex －1；②f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)；③f (x )＝⎩⎨⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________．(填序号) 答案 ①②解析 ①设φ(x )＝e x －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0. ∴φ(x )min ＝φ(1)＝0，所以e x －1－x ≥0，e x －1≥x ，故∃a ＝1，使f (x )≥ax 在R 上恒成立，①中函数f (x )具有性质P ； ②易知f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝sin2x (x ≤0)．令φ(x )＝f (x )－2x ＝sin2x －2x (x ≤0)， 则φ′(x )＝2cos2x －2.∴φ′(x )≤0，∴φ(x )在(－∞，0]上是减函数， ∴φ(x )min ＝φ(0)＝0，故f (x )≥2x 恒成立． ∴∃a ＝2，使得f (x )≥ax 在(－∞，0]上恒成立， ②中函数f (x )具有性质P ；③作函数y ＝f (x )与直线y ＝ax 的图象，显然当y ＝ax 过点O (0,0)，A (1,1)，B (2,2)时，斜率a ＝1.根据图象知，不存在a ∈[1,2]，使f (x )≥ax 恒成立． 因此③中函数f (x )不具有性质P . 综上可知，具有性质P 的函数为①②.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知锐角△ABC 面积为S ，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，角A ，C 的平分线相交于点O ，b ＝23且S ＝34(a 2＋c 2－b 2)，求：(1)角B 的大小； (2)△AOC 周长的最大值． 解 (1)∵S ＝34(a 2＋c 2－b 2)， ∴12ac sin B ＝34(a 2＋c 2－b 2)，故12ac sin B ＝34×2ac cos B ⇒tan B ＝3⇒B ＝π3.(2)设△AOC 的周长为l ，∠OAC ＝α，则α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4，∵OA ，OC 分别是角A ，C 的平分线，B ＝π3， ∴∠AOC ＝2π3. 由正弦定理，得OA sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝OC sin α＝23sin 2π3， ∴l ＝4sin α＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋2 3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋23，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，π4，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，7π12，当α＝π6时，△AOC 周长的最大值为4＋2 3.18．(本小题满分12分)某商场营销人员在进行某商品M 的市场营销调查时发现，每返还消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到下表：(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y (百件)与返还点数t之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程y ^＝b ^t ＋a ^，并预测若返还6个点时该商品每天的销量；(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：①求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X 的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1)；②将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：(ⅰ)b ^＝∑ni ＝1t i y i －n t y －∑n i ＝1t 2i －n t 2，a ^＝y －－b ^t ；(ⅱ)∑5i ＝1t i y i＝18.8. 解 (1)易知t －＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y －＝0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.75＝1.04，∑5i ＝1t 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， b ^＝∑5i ＝1t i y i －5t y －∑5i ＝1t 2i －5t 2＝18.8－5×3×1.0455－5×32＝0.32，a ^＝y －－b ^t ＝1.04－0.32×3＝0.08.则y 关于t 的线性回归方程为y ^＝0.32t ＋0.08，当t ＝6时，y ^＝2.00，即返还6个点时该商品每天的销量约为2百件．(2)①根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返还点数的心理预期值X 的平均值x －及中位数的估计值分别为x －＝2×0.1＋4×0.3＋6×0.3＋8×0.15＋10×0.1＋12×0.05＝6，中位数的估计值为5＋2×100－20－6060＝5＋23≈5.7.②抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为6×2030＝4，“欲望膨胀型”消费者人数为6×1030＝2.所以X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 34C 02C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，故随机变量X 的分布列为E(X)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.19．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC 垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，AA1⊥A1C，AC⊥BC，AC＝4，BC＝2.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面A1BC；(2)求二面角B－A1B1－C的余弦值．解(1)证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC且平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，且BC⊥AC.∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AA1，又∵AA1⊥A1C，∴AA1⊥平面A1BC∵AA1⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面A1BC.(2)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1与底面ABC垂直，侧棱与底面所在平面成60°角，∴∠A1AC＝60°.又∵AA1⊥A1C，AC＝4，∴A1A＝2，如图建立空间直角坐标系，则A 1(3,0，3)，C (0,0,0)，B (0，2,0)，A (4，0,0) 由AB →＝A 1B 1→，得B 1(－1,2，3)，设平面BA 1B 1，平面CA 1B 1的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则BA 1→＝(3，－2，3)，BB 1→＝(－1,0，3)，CA 1→＝(3,0，3)，CB 1→＝(－1,2，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BA 1→＝0，n 1·BB 1→＝0，知可取n 1＝(3,6，3)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CA 1→＝0，n 2·CB 1→＝0，知可取n 2＝(－1，－2，3)，cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝64，所以二面角B －A 1B 1－C 的余弦值为64.20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，离心率e ＝12，A 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，|AF |＝1，直线m ：x ＝－4.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点F 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与直线m 交于M ，N 两点，试问：以MN 为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a －c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 斜率存在时，设直线l ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线P A ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)． 令x ＝－4，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 1x 1＋2，同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2y 2x 2＋2.则以MN 为直径的圆的方程为(x ＋4)(x ＋4)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2y 1x 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋2y 2x 2＋2＝0，整理得，(x ＋4)2＋y 2＋2k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4y ＋4k 2·x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.②将②代入①，整理得，x 2＋y 2＋8x －6k y ＋7＝0. 令y ＝0，得x ＝－1或x ＝－7.当直线l 斜率不存在时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，M (－4，－3)，N (－4,3)，以MN 为直径的圆为(x ＋4)2＋y 2＝9也过点(－1,0)，(－7,0)两点． 综上，以MN 为直径的圆能过两定点(－1,0)，(－7,0)． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x －12ax －b ，g (x )＝ax 2＋bx . (1)当a ＝2，b ＝－3时，求函数f (x )在x ＝e 处的切线方程，并求函数f (x )的最大值；(2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为x 1，x 2，且x 1≠x 2，求证：g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>1. 解 (1)当a ＝2，b ＝－3时，f (x )＝ln xx －x ＋3(x >0)， f ′(x )＝1－ln x －x 2x 2，则f ′(e)＝－1，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，1e －e ＋3，故函数f (x )在x ＝e 处的切线方程为x ＋y －1e －3＝0.令h (x )＝1－ln x －x 2，则h (x )＝1－ln x －x 2在(0，＋∞)是减函数，又h (1)＝0，∴x ∈(0,1)，h (x )>0，f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，h (x )<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． ∴f (x )max ＝f (1)＝2.(2)证明：∵x 1，x 2是f (x )的两个零点，不妨设x 1<x 2，∴f (x 1)＝f (x 2)＝0.即ln x 1x 1－12ax 1－b ＝0，ln x 2x 2－12ax 2－b ＝0，∴ln x 1－12ax 21－bx 1＝0，ln x 2－12ax 22－bx 2＝0， 相减得ln x 1－ln x 2－12a (x 21－x 22)－b (x 1－x 2)＝0⇒ln x 1x2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)－b ＝0⇒(x 1＋x 2)ln x 1x2x 1－x 2－12a (x 1＋x 2)2－b (x 1＋x 2)＝0⇒(x 1＋x 2)ln x 1x22(x 1－x 2)－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝0. ∴(x 1＋x 2)ln x 1x22(x 1－x 2)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22⇒g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝(x 1＋x 2)ln x 1x22(x 1－x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＋1lnx 1x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1，令t ＝x 1x 2，即证0<t <1时，(t ＋1)ln t 2(t －1)>1，(t ＋1)ln t 2(t －1)>1⇔ln t <2(t －1)t ＋1⇔ln t －2(t －1)t ＋1<0，令m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，t ∈(0,1)， m ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，∴m (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1在(0,1)上是增函数， 又∵m (1)＝0，∴t ∈(0,1)时，m (t )<0，命题得证．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：x ＋y ＝1与曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l ：θ＝α(ρ>0)与C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当|OB ||OA |＝4时，求α的值．解 (1)曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.曲线C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)由(1)知，|OA |＝ρA ＝1cos α＋sin α，|OB |＝ρB ＝4cos α，∴|OB ||OA |＝4cos α(cos α＋sin α)＝2(1＋cos2α＋sin2α)＝ 2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4，∵|OB ||OA |＝4，∴2＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22， 由0<α<π2，知π4<2α＋π4<5π4，即2α＋π4＝3π4， ∴α＝π4.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|. (1)求f (x )>－5的解集；(2)若关于x 的不等式|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝|x ＋2|－|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x <－2，3x ＋1，－2≤x ≤12，3－x ，x >12，故f (x )>－5的解集为(－2,8)．(2)由|b ＋2a |－|2b －a |≥|a |(|x ＋1|＋|x －m |)(a ≠0)能成立，得|b ＋2a |－|2b －a ||a |≥|x＋1|＋|x －m |能成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a －1≥|x ＋1|＋|x －m |能成立，令ba＝t，则|t＋2|－|2t－1|≥|x＋1|＋|x－m|能成立，由(1)知，|t＋2|－|2t－1|≤5 2，又∵|x＋1|＋|x－m|≥|1＋m|，∴|1＋m|≤52，∴实数m的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－72，32.。