第1课时 一次方程(组)及其应用

第二单元
方程（组）与不等式（组）
第二单元 方程（组）与 不等式（组）
第1课时 第2课时 第3课时 第4课时 其应用 一次方程（组）及其应用 一元二次方程及其应用 分式方程及其应用 一元一次不等式（组）及
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方程（组）与不等式（组）
第1课时
一次方程（组）及其应用
中考考点清单
考点１ 考点２ 考点３
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方程（组）与不等式（组）
解：设大宿舍有x间，小宿舍有y间，
x y 80 根据题意，得： 8x6 y 360
解方程组得
x30 . y 20
答：大宿舍有30间，小宿舍有20间．
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方程（组）与不等式（组）
【一题多解】设大宿舍有x间，则小宿舍有 （50－x）间， 根据题意得8x＋6（50－ x ）＝360， 解得x ＝30， ∴50－ x ＝20（间）． 答：大宿舍有30间，小宿舍有20间． 【归纳总结】一般地若题目中涉及A与B两种事 物，已知A与B一共有多少，及A是B的倍数， 或A、B之间存在倍数关系的，可用一次方程求 解．
∴原方程组的解为：
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方程（组）与不等式（组）
【方法指导】对于二元一次方程组的解法，其主导 思想为“消元转化”，即将“二元”通过消元转化 为“一元”方程来求解．一般地，方程组中若有一 个未知数的系数是１或－１，可考虑用代入消元法 ，若有一个未知数的系数相同或互为相反数，可考 虑用加减消元法.
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变式题2（’12长沙）以“开放崛起，绿色发展” 为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日 在湖南长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共 签订了境外与省外境内投资合作项目共348个， 其中境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投 资合作项目个数多51个． （１）求湖南省签订的境外．省外境内的投资合 作项目分别有多少个？ （２）若境外、省外境内投资合作项目平均每个 项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在这次 “中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿 元？
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方程（组）与不等式（组）
【思路分析】（1）本题中的相等关系有两 个：境外与省外境内投资合作项目共348个， 境外投资合作项目个数的2倍比省外境内投 资合作项目多51个．据此可列出二元一次 方程组或一元一次方程来解决这个问题； （2）由（1）中的两种项目可以直接计算 出引进的总资金．
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解：（1）设境外投资合作项目个数为x个，省外境 内投资合作项目为y个， x y 80 ， 根据题意得 8x6 y 360 解得
x133 . y 215
（2）133×6＋215×7.5＝2410.5（亿元）． 答：（1）境外投资合作项目为133个，省外境内投 资合作项目为215个．（2）东道主湖南省共引进资 金2410.5亿元．
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方程（组）与不等式（组）
类型一
二元一次方程组的解法
例１（’13成都）解方程组： 解：由①＋②，得：3x＝6，∴x＝2． 把x＝2代入①，得：2＋y＝1， ∴y＝－1．
∴原方程组的解为
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【一题多解】由②得y＝2x－5③，
把③代入①式中得x＋2x－5＝1， 即 3 x＝ 6 ， x＝ 2 ， 把x＝2代入①式中， 解得y＝－1．
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方程（组）与不等式（组）
【信息梳理】 原题信息 一 学校有大、小两种类型的 学生宿舍共50间 二 大宿舍每间可住8人， 小宿舍每间可住6人， 360名住宿生恰好住满 整理后的信息
x y 80 8x 6 y 360
x y 80 整理得 8x6 y 360
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方程（组）与不等式（组）
３．二元一次方程（组）的解 （１）使二元一次方程两边的值相 等的两个未知数 的值叫做二元一次方程的解． （２）适合二元一次方程组中每一 个方程的一组未 知数的值，叫做这个方程组的一个 解．
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4．二元一次方程组的解法 （１）解二元一次方程组的基本思想是：消去一个 消元 未知数（简称为），得到一个一元一次方程． （２）代入消元法：把其中一个方程的某一个未知 数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代 入到另一个方程中，便得到了一个二元一次方程； 加减消元法：如果两个方程中有一个未知数的系数 相等（或互为相反数），那么把这两个方程相（或 相加）；否则，先把其中一个方程乘以适当的数， 将所得方程与另一个方程相减（或相加）．
链接例题
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考点３ 一次方程（组）的实际应用（高频考点）
１．列方程（组）解实际问题的步骤： （１）审：即审清题意，分清题中的已知量、未 知量； （２）设：即设关键未知数； （３）列：即找出适当等量关系，列方程（组）； （４）解：即解方程（组）； （５）验：即检验所解答案是否正确或是否符合 题意； （６）答：即规范作答，注意单位名称．
⑥ 移项 .
⑦合并同类项. 把方程化成的形式 ax b(a 0) ⑧系数化为1 . 方程两边同除以未知数的系数 返回目录
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考点２
二元一次方程（组）及其解法
１．二元一次方程 含有⑨ 两 个未知数，并且含未知数 的每一项都是⑩ 一次 的方程． ２．二元一次方程组 把两个含有相同未知数的二元一次方 程（或者一个二元一次方程，一个一 元一次方程）联立起来组成的方程 组．
b (c 0). 即若a=b，则ac=bc, a c c
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（２）解一元一次方程的一般步骤
步骤 去分母 去括号 具体做法 若方程中未知数的系数为分数，方程两边同 乘以分母的⑤ 最小公倍数 . 若方程中有括号，应先去括号．去括号顺序 为先去小括号，再去中括号，最后去大括号 将含未知数的项移到方程左边，常数项移到 方程右边
一元一次方程及其解法 二元一次方程（组）及其解法 一次方程（组）的实际应用
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常考类型剖析
类型一 类型二 二元一次方程组的解法 一次方程（组）的实际应用
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考点１
一元一次方程及其解法
１．一元一次方程
只含有① 一个 未知数，并且未知数 定义 的次数是② 1 （系数不为０）的 整式方程 ax b 0(a 0) 一般形式 形式 最简形式 ax b(a 0)
解
b x (a 0) a
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方程（组）与不等式（组）
２．一元一次方程的解法
（１）等式的性质 性质１：等式两边都a加上（或减去） ③ 同一个数（或）式 ，所得结果仍是式．即 若a=b，则a+c=b+c， a c bc. 性质２：等式两边都乘以（或除以） ④ 同一不为0的数 ，所得结果仍是等式．
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方程（组）与不等式（组）
２．一元一次方程（组）解实际问题的常见类型 常见问题 基本数量关系式 利润＝售价－进价
利润问题
利息问题 工程问题
利润 利润率 = 进价 售价＝标价×折扣 销售额＝单价×销量 利息＝本金×利率×期数 本息和＝本金＋利息 工作时间 工作量＝工作效率× _________
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方程（组）与不等式（组）
变式题１（’11永州）解方程组：
解：①－②×2得－5y＝－15， y＝3．把y＝3代入①中，得x＝5． 原方程组的解为
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类型二
一次方程（组）的实际应用
例２（’13济南）某寄宿制学校有大、小两 种类型的学生宿舍共50间，大宿舍每间可住8 人，小宿舍每间可住6人．该校360名住宿生 恰好住满50间宿舍．求大、小宿舍各有多少 间？
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路程＝速度×时间 相遇问题： ＋ 乙走的路程 全路程＝甲走的路程 ___ 追及问题： 同地不同时出发：前者走的 行程问题 路程＝追者走的路程； 同时不同地出发：前者走的路程＋两地 间距离＝追者走的路程 水中航行问题： 船速 ＋水速度 顺水速度＝_____ 水速度 逆水速度＝船速－_______