八年级数学期末试卷综合测试卷(word含答案)

八年级数学期末试卷综合测试卷（word含答案）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或

3

2

（3）9s 【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

【详解】

（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP与△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∠CPQ=90°，

则线段PC与线段PQ垂直.

（2）设点Q 的运动速度x,

①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，

912t t xt =-⎧⎨=⎩

， 解得31t x =⎧⎨=⎩

， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，

912xt t t =⎧⎨=-⎩

解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩

， 综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩

使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，

设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，

∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；

∴EB=EA=18cm.

当V Q =1时，

依题意得3x=x+2×9，

解得x=9；

当V Q =32

时， 依题意得3x=

32x+2×9， 解得x=12.

故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.

2．如图，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ．

（1）如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为___________

②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． （2）如图3，如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，点D 在线段BC 上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE ⊥BC ？请说明理由．

【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）①根据∠BAD=∠CAE ，BA=CA ，AD=AE ，运用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；

②先根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；

（2）先过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，画出符合要求的图形，再结合图形判定

△GAD ≌△CAE ，得出对应角相等，即可得出结论．

【详解】

（1）：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD ．

理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC ，∠CAE=90°-∠DAC ，

∴∠BAD=∠CAE ．

又 BA=CA ，AD=AE ，

∴△ABD ≌△ACE （SAS ）

∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD ．

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE ⊥BD ．

故答案为垂直，相等；

②都成立，理由如下：

∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，

∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，

∴∠BAD ＝∠CAE ，

在△DAB 与△EAC 中，

AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝ ∴△DAB ≌△EAC ，

∴CE ＝BD ，∠B ＝∠ACE ，

∴∠ACB ＋∠ACE ＝90°，即CE ⊥BD ；