课题：求二次函数的表达式
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标1熟悉常见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、•二次函数的三种表达式一般式：y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数，a老)顶点式：y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=axA2+bx+c (a, b, c为常数，a M),且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，lal还可以决定开口大小，lal越大开口就越小，lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲2例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2).(1)求这个函数的表达式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x > 0时，求使y》2的x的取值范围.例题2、一次函数y=2x + 3，与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是(b b b b——=12a 21 2A. y= (x—1) +22 B.y=1 (x—1) 2+2 21 2 1 2C.y =丄(x — 1)2-3D.y =l (x +2)2- 12 23. 抛物线y =- 2x 2-x +1的顶点在第 ______ 象限A. 一B. 二C.三D.四4. 不论m 取任何实数，抛物线 y =a (x +m )2+m (a * 0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =-x 上C.在x 轴上D.在y 轴上25. 任给一些不同的实数 n ,得到不同的抛物线 y =2x +n ，如当n =0,± 2时，关于这些抛物线 有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判 断正确的个数是A.1个B.2 个C.3 个D.4 个6. 二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=O ,则它的图象必经过下列四点中,-1)C.(-1,- 1) D.(1 , 1)7. 下列说法错误的是A. 二次函数y =— 2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B. 二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大2 2 2 2 . . 2 . .C. 在三条抛物线 y =2x , y =- 0.5 x , y =-x 中，y =2x 的图象开口最大，y =- x 的图象开 口最小D. 不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2( a 工0)的顶点一定是坐标原点8. 已知二次函数 y =x 2+(2k +1)x +k 2— 1的最小值是0,贝U k 的值是219. 小颖在二次函数 y =2x +4x +5的图象上，依横坐标找到三点(—1, y"，( — , y 2),(-213丄，y 3)，则你认为y 1, y 2,小的大小关系应为2A. y 1 >y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1 C. y 3>y 1>y 2 D. y 3>y 2>y 11 210. 抛物线y =-(x +3)的顶点坐标是 __________ .211. _____________________________________________________________ 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是 ______________________________ .4 212. 函数y =-x - 2- 3x 有最 ________ 值为 ____ .313. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(—2, 3)，且过(—1, 5)，则抛物线的表达式为 14. ________________________________________________________________ 二次函数y =m )2+2x +m- 4n i 的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ______________________15. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;16. 抛物线y=ax 2 + bx + c (c 丰0)如图②所示，回答：(1) _______________________________________ 这个二次函数的表达式是 ; (2) 当 x= _____ 时，y=3;A.( - 1, 1)B.(1 B.C.D.(3)根据图象回答：当x __________________ 时，y>0.17. ____________________________ 已知抛物线y= - x2+( 6- 2k) x+ 2k- 1与y轴的交点位于(0, 5) 上方，则k的取值范围是__ .18. —根长为100 m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为19. ________________________________________________________________________ 若两个数的差为 3,若其中较大的数为 x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为 __________________ _，它有最 _________ 值，即当 x= _________ 时，y= _________ . 20. 边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为 x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁 片的面积y (cm )与x (cm )之间的函数表达式为 ______________________ . 21. 等边三角形的边长 2x 与面积y 之间的函数表达式为 .22. ____________________________________________________________________ 抛物线y=x 2 + kx — 2k 通过一个定点，这个定点的坐标为 __________________________________ . 23. 已知抛物线 y=x 2 + x + b 2经过点(a , — 1 )和(一a , yj ,则y 1的值是 ________________ .424. 如图，图①是棱长为 a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的 方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记 为S,解答下列问题：(1)按照要求填表:n1234s1 3 6(2) 写出当n=10时，S= __________ .(3) 根据上表中的数据，把 S 作为纵坐标，n 作为横坐标，在平面直角坐标系中描出 相应的点.(4) 请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该 函数的表达式.25. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过 程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 S (万元)与销售时间a由(D ②(月)之间的关系(即前t个月的利润总和根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润式；(2)求截止到几月末公司累积利润可达到S与t之间的关系).S (万元)与时间t (月)之间的函数表达30万元;(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?精品文档欢迎您的下载，资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
26.2.3 求二次函数的表达式 公开课获奖课件
解：(1)∵抛物线 y＝13x2＋bx＋c 经过 A(－ 3，0)，B(0，
－ 3) 两 点 ， ∴ 13×（－ 3）2－ 3b＋c＝0， 解 得 c＝－3，
b＝－23 c＝－3.
3， ∴此抛物线所对应的函数关系式为
y
＝
1 3
x2
－
2 3 3x－3 (2)由(1)可得此抛物线的对称轴为直线 x＝ 3，顶
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 12．已知抛物线 y＝x2＋mx－5 经过点(2，－3)， 则该抛物线的解析式为__y＝x2－x－5__． 13．已知抛物线与 x 轴交于点 A(－1，0)，B(1， 0)，与 y 轴交点的纵坐标为 1，则该抛物线的解析式为 __y＝－x2＋1__． 14．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点在 x 轴上，对称 轴是直线 x＝1，并且抛物线经过点(2，2)，则这条抛 物线的解析式为__y＝2(x－1)2__． 15．一个二次函数，当自变量 x＝－1 时，函数值 y＝2；当 x＝0 时，y＝－1；当 x＝1 时，y＝－2，那 么，这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x－1__．
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
B．2，－4
C．－2，4 D．－2，－4
9．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过(－1，2)，(0，1)，
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数的几种表达式
(3)决定开口大小: ︱a︱越大,则开口越小. ︱a︱越小,则开口越大.
(4)决定最值:a>0时,有最低点,有最小值. a<0时,有最高点,有最大值.
(5)决定增减性:a>0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点： b2-4ac ＞０时,抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac ＝０时,抛物线与x轴有一个交点 b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点 b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
（1）一般式转化为顶点式 利用配方法转化（一提、二配、三整理）
y a x2 bx c
a[ x2 ( x1 x2)x x1 x2]
x x x x b
由韦达定理得：
1
2
a
c 12 a
x x x x x 代入得： y a[ 2 ( )x
]
1
2
12
a[ x2
(
b)x a
c] a
a x2 bx c
三种表达式视情况而定；
（1）不知道特殊点的坐标时，常用一般式来 表示；
（3）交点式转化为一般式
展开，利用韦达定理整理可得
x 二次函数 y a 2 bx c (a 0) 与x轴有两交点（x1，0） x 和（x2，0）则x1和 x2为方程 a 2 bx c 0 的两个根
y a(x x1)( x x2)
a( x2 x1 x x2 x x1 x2)
专题复习： 二次函数的几种表达式
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
求二次函数的表达式
（5）抛物线L：y＝－x2＋bx＋c经过点A（0，1），与它的对称轴直 线x＝1交于点B，则抛物线L的表达式为 y＝－x2＋2x＋1 .
类型2 已知三点坐标（用“一般式”）求二次函数表达式
2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，－5），（0，－4）和 （1，1），则该抛物线的表达式为y＝2x2＋3x－4.
类型5 由平移或翻折求二次函数表达式
5.如图，将二次函数y＝
1 2
（x－2）2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条
新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点
A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数
表达式是 y＝21（x－2）2＋4.
6.已知二次函数y＝－3x2＋1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到 的抛物线的表达式为 y＝3x2－1.
（5）已知二次函数图象的顶点坐标为（－1，3），且与y轴的交点到 x轴的距离为1，则该函数的表达式为 y＝－2（x＋1）2＋3或y＝－4（x＋ 1）2＋3 .
类型4 设“交点式”求二次函数表达式
4.求下列二次函数表达式： （1）已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式 为 y＝（x＋1）（x－3）（或写成y＝x2－2x－3） ；
（3）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过原点和点B（4，8），对
称轴为直线x＝－2，则抛物线的表达式为 y＝41x2＋x）；
y＝41（x＋2）2－1（或写成
（4）已知二次函数的图象经过点（－1，
7 2
）和（－3，
7 2
），且该二
次函数的最小值为3， 则该二次函数的表达式为 y＝12（x＋2）2＋3（或写成y＝12x2＋2x＋5）；
【精选推荐】二次函数(确定二次函数的表达式)
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2, 将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2, 得a=-1. ∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代
入y=ax2+bx+c,
得 1 c，
因为只有一个系数a是未知
的,所以只需要知道图象上
一个点的坐标即可.
(2)形如y=a(x-h)2和
y=ax2+k的二次函数,有两个
系数是未知的,所以需要知
解:∵(4,3)是抛物线的顶点坐标,∴设二次
函数表达式为y=a(x-4)2+3,
把点(10,0)代入y=a(x-4)2+3,解得a= 1 , 12
因此铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)
2=3x2-6x+1.故选B.
2. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式正确的是( D )
A.y=2x2-4x
B.y=-x(x-2)
C.y=-(x-1)2+2
D.y=-2x2+4x
解析:根据图象得:抛物线的顶点坐标为 (1,2),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2,将 (2,0)代入解析式,得0=a+2,解得a=-2,则抛物 线解析式为y=-2(x-1)2+2=-2x2+4x.故选D.
第二章 二次函数
学习新知
检测反馈
学习新知
生活中有很多类似抛 物线形状的建筑物,如 果你是设计师,你能设 计出这些建筑物吗?
初步探究确定二次函数表达式所需要的条件
求二次函数表达式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
二．二次函数解析式的确定1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设注意：（1）如抛物线顶点在原点，可设（2）以y轴为对称轴，可设（3）顶点在x轴上，可设（4）抛物线过原点，可设题型一例1．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）写出该二次函数的表达式及点C的坐标；2．（3分）（2014秋•无锡期末）若二次函数y=（a+1）x2+3x+a2﹣1的图象经过原点，则a 的值必为（）A．1或﹣1B．1C．﹣1D．03．（9分）已知二次函数的图象经过A（3，0），B（0，﹣3），C（﹣2，5）三点．（1）求这个函数的解析式及函数图象顶点P的坐标；（2）画出二次函数的图象（要列表画图）并求四边形OBPA的面积．4．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（1，0）、（4，3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）指出这个二次函数的顶点坐标、对称轴；（3）在所给的坐标系中画出y=x2+bx+c的图象；（4）x在什么范围内，y随x的增大而减小．例2 、如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．A BCO x y3．（8分）（2016秋•徐州期末）如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A为顶点的抛物线经过点C（1）求抛物线的函数表达式；（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由．4．（3分）如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2D．例3 、若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞14；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（ ）A ．（-3，0）B ．（-2，0）C ．x=-3D ．x=-23.已知二次函数212y x x =+-（1）求这个二次函数图像与x 轴交点的坐标；（2）求以这个二次函数图像与x 轴的两个交点及与y 轴的交点为顶点的三角形的面积。
专题训练(二)确定二次函数的表达式常见的五种方法.docx
专题训练（二）确定二次函数的表达式常见的五种方法＞方法一利用一般式求二次函数表达式1•已知抛物线过点A（2，0），B（—l，0），与y轴交于点C，且OC=2.则这条抛物线的表达式为（）A• y = x2—x—2B• y = —X2+X+2C - y=x? —x—2 或y= —x?+x + 2D• y=—x'—x—2 或y=x? + x+22•若二次函数y = x?+bx+c的图象经过点（一4，0），（2，6），则这个二次函数的表达式为 _____________ •3•—个二次函数，当自变量x= —1时，函数值y = 2；当x=0时，y= —1；当x=l时，y=—2.那么这个二次函数的表达式为______________ .4• [2016-安庆外国语学校月考]如图2-ZT-1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax? + bx+c 经过A（-2，-4）＞ 0（0，0），B（2，0）三点.⑴求抛物线y=ax?+bx+c的表达式；（2）若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM + OM的最小值.o V/\图2-ZT-1＞方法二利用顶点式求二次函数表达式5•已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=l时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y=—2x?相同，则这个二次函数的表达式是（）A• y=—2x2—x+3 B. y=—2x2+4C・y= —2x?+4x + 8 D. y=-2x2+4x+66•已知y是x的二次函数，根据表中的自变量x与函数y的部分对应值，可判断此函数表达式为（）A.y = xB. y=—x237.某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为㊁米的喷水管喷水的最大高度为4米，此时喷水的水平距离为+米，在如图2-ZT-2所示的坐标系屮，这支喷泉喷水轨迹的函数表达式是____________ .图2-ZT-28•已知抛物线y]=ax2+bx+c的顶点坐标是（1，4），它与直线y2=x+l的一个交点的横坐标为2.（1）求抛物线的函数表达式；（2）在如图2-ZT-3所示的平面直角坐标系中画出抛物线yj=ax2+bx+c及直线y2 = x + 1，并根据图象，直接写出使得yi^y2成立的x的取值范闱.图2-ZT-3＞方法三利用交点式求二次函数表达式259•若抛物线的最高点的纵坐标是手，且过点（一1，0），（4，0），则该抛物线的表达式为（）A• y=—X2+3X+4B. y=—X2—3X+4C • y = x‘一3x—4 D. y=x? —3x+410•抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（一1，0），（3，0），其形状及开口方向与抛物线y=—2/相同，则抛物线的函数表达式为（）A• y=—2x‘一x + 3 B. y=—2x2+4x + 5C - y=—2X2+4X +8D. y = —2X2+4X+611・[2016揪阳实验中学期中]已知抛物线与x 轴交于A （1 ‘ 0），B （-4 ‘ 0）两点‘与y 轴交于点C ，且AB = BC ，求此抛物线对应的函数表达式.＞方法四利用平移式求二次函数表达式12 • [2017-绍兴]矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为（2，1）. 一张透明 纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达 式为y=x?，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为（）A - y=x 2 + 8x+ 14 B. y=x 2 —8x+14C • y=x 2+4x + 3 D. y=x 2—4x+313. [2017-盐城]如图2-ZT-4，将函数y =鬆一2）2+1的图象沿y 轴向上平移得到一 条新函数的图象，其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点Z ，B'.若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图彖的函数表达式是（）A • y=*（x —2）2—2 B. y=|（x-2）2 + 7图 2-ZT-414 •如果将抛物线y = 2x 2+bx+c 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到了 抛物线 y=2x?—4x+3.⑴试确定b ，c 的值；⑵求出抛物线y=2x?+bx+c 的顶点坐标和对称轴.＞方法五 利用对称轴求二次函数表达式15 •如图2-ZT-5 »已知抛物线y = — x?+bx+c 的对称轴为直线x= 1，且与x 轴的一c . y=|(x —2)2—5个交点坐标为(3 ‘ 0)，那么它对应的函数表达式是__________y：X=1/f v/ 01图2-ZT-516.如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图2-ZT-6，二次函数y, = x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)?+l的“关于y轴对称二次函数”表达式为________________ ；二次函数y = a(x—hF+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为 _____________ ;(3)平面直角坐标系屮，记“关于y轴对称二次函数”的图彖与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C，得到一个面积为24的菱形‘教师详解详析1 •［解析］C 由题意可知点C 的坐标是（0 ' 2）或（0 ‘ 一2）.设抛物线的表达式为r4a+2b+c=0 ‘r a= — \+bx+c.由抛物线经过点(2，0)，(—1，0)，(0，2)，得v a-b+c=0， 解得＜ b=l ， .c=2，lc=2，物线的表达式是j=-?+x+2.同理，由抛物线经过点（2，0），（—1，0），（0，— 2）求得该抛物线的表达式为y=x 2-x~2.故这条抛物线的表达式为），=—d+x+2或y=F —x —2.2 •［答案］y=?+3x-4(16一4Z?+c=0， (b=3，［解析］将点(—4、0)、(2 ‘ 6)代入y=,+bx+c 、得］ 解得］l4+2b+c=6， lc=—4，・・・这个二次函数的表达式为y=/ + 3兀一4.3 • y=x~2x — 14a —2b+c=—4，4a+2b+c=0， c=0，r 1a=~2 '解这个方程组，得＜b=},、c=0，所以抛物线的表达式为 尸~y+x.(2)由 y= —|x 2+x= —|(x —1)2+| »平分线段 OB 、：・OM=BM » :.AM+OM=AM+BM.连接4B 交直线x=\于点则此时AM+OM 的值最小.过点A 作AN 丄x 轴于点N ， 在RtAABTV 中，AB=y ］AN 2+BN 2=^/42+42=4 ^2，因此 AM+OM 的最小值为 4 迈.5 • D6 •［解析］D J 函数图象过点（0，为和（2，弓），・・・函数图象的对称轴为直线x=\，故该 函数图彖的顶点坐标为（1，2）.设函数表达式为.尸吩一1F+2.把（一1，— 1）代入，得4a+2 =—1，解得d=—扌，・•・此函数表达式为y=— |（x —1）2+2.7 •［答案］J =-10（X -|）2+4I 解析］设喷泉喷水轨迹的函数表达式为y=a （x —护+4.将点（0，为代入，得| +4，解得a=-l0，故喷泉喷水轨迹的函数表达式为y= —10（x —护+4.8・解：（I ）；•抛物线与直线y 2=x+\的一个交点的横坐标为2，・••交点的纵坐标为2+1{则抛可得抛物线的对称轴为直线x=\，并冃.对称轴垂直=3即此交点的坐标为(2，3). 设抛物线的表达式为yi=tz(x—1)2+4. 把(2 » 3)代入，得3=d(2—1)'+4，解得a= — 1，抛物线的表达式为yi = —(X— l)2+4=—x24-Zr+3.(2)令yi=0，即一d+2兀+3=0，解得%i=3 »x2= —1，二抛物线与兀轴的交点坐标为(3，0)和(一1，0).在平面直角坐标系中画出抛物线与直线，如图所示：根据图象、iij知使得yi$y2成立的x的取值氾圉为一1W X W2.1 39 •［解析］A由抛物线的轴对称性可知该抛物线的对称轴为直线1 +4)=^，故该抛物线的顶点坐标为(号，乎).设该抛物线的表达式为尸心+l)(x—4).将(扌，手)代入，得晋=dg+l)(号一4)解得a= —1，故该抛物线的表达式为y=—(兀+1)(尢一4)=—,+3x+4.注意: 本题也可运用顶点式求抛物线的表达式.10•［解析］D设所求的函数表达式为X!)(x—%2)-因为抛物线y=ax2 + bx+c与兀轴的两个交点坐标为(一1，0)，(3,0)，所以y=a(x~3)(x+l).又因为其形状及开口方向与抛物线y=—2x1相同» 所以y= — 2(兀一3)(x+l)，即y=—2x2+4x+6.11•解：由4(1，0)，B(_4，0)可知AB=5，OB=4.又・：BC=AB，・・・BC=5.在RtABCO 中，寸52_42=3，・••点C的坐标为(0，3)或(0，-3).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x— 1)(兀+4).将点(0 ' 3)代入‘得3=a(0-1)(0+4) >3将点(0，一3)代入，得一3=a(0-l)(0+4)，解得°=才3 3该抛物线对应的函数表达式为y=—^(x—l)(x+4)或)，=才(兀一l)(x+4)，即y= _討_条+3或『=条2+条_3.12 •［解析］A 根据题意可知点C的坐标为(一2，—1)，故一个点由点4平移至点C，向左平移了4个单位，向下平移了2个单位.又・・•该点在点A时，抛物线的函数表达式为丿= x2，・••该点在点C时，抛物线的函数表达式为y=（兀+4）2—2=/+8兀+14.O x13•［解析］D 如图，连接AB »B r，过点4作AC丄交BE的延长线于点C，则AC=3.由于平移前后的抛物线形状相同，根据割补的思想可知阴彫部分的面积等于平行四边形ABBA的面积，:・BB‘・AC=3BB,=9，:・BB‘ =AA f=3 ‘故平移后的抛物线的表达式14•解：（1）・・了=2?一4兀+3 = 2（”一2兀+1 — 1） + 3 = 2（.丫一1）2+1，・・・将其向上平移2个单位，再向右平移3个单位可得原抛物线，即y=2（x-4）2+3，.•・），=2,—16兀+35，.*./?= —16，c=35.（2）由y=2（x~4）2+3得顶点坐标为（4，3），对称轴为直线兀=4.15・［答案］y=-?+2x+3c b［解析「・•抛物线y=—/+加+c的对称轴为直线x=l，•逬=1，解得b=2，又・・•与x轴的一个交点坐标为（3，0），・・・0=—9 + 6+c，解得c=3，故函数表达式为）=一"+2兀+3.16•解：（1）（答案不唯一）顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称.c °（2）y=2（x—2）~ + 1 y=a（x+/?）~+k（3）若点A在y轴的正半轴上，如图所示：顺次连接点A，B，O，C得到一个而积为24的菱形，由BC=6，得OA = S，则点4的坐标为（0，8），点B的坐标为（一3，4）.设一个抛物线的表达式为少=°（兀+3尸+4.4将点A的坐标代入，得9d+4=8，解得a=g.4 4二次函数少=刖兀+3F+4的“关于y轴对称二次函数”的表达式为〉=彳（兀一3）2+4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，则“关于），轴对称二次函数”的表达式还4 c 4 o可以为y= _§（兀+3）2_4，y=—^（x—3）^-4.综上所述，“关于y轴对称二次函数”的表达式为)=£(X+3)2+4，),=詁一3尸+4或y4 4 o=一姿+3) —4，＞=一尹一3)2—4.。
确定二次函数表达式(已知三个条件)
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)