二次函数解析式的几种表达式
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数，它有三种标准形式的表达式，分别
是一般型、完全型、标准型的表达式，它们可以应用于多学科，对于
任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。
一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式，其中a，b，c为
实数，其中a不能等于0，这是一般型表达式的特点，这也是二次函数最基本的表达方式。
二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展，它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c + dx + e，其中a、d不能同时为0，其他的参数都可以为0，但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式，它可以很好
地表示一个函数的形状，起到了很重要的作用。
三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式，它有一个标准的表
达式形式，即 y = a(x - h)^2 + k，参数a不能等于0，其中h为x
轴上的横坐标，k为y轴上的纵坐标。
标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值，这个特点使得它在实
际应用中非常有用。
总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍，它们各有优缺点，在具体应
用中应根据具体情况来选择适合的表达式。
正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。
二次函数的几种解析式及求法解读
的图像如图所示，
评析：
刚才采用一般式、顶点式和交点式求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用 一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、 解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成 训练，可事半功倍。
2、将抛物线 向左平移4个单位， 再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。 解法：将二次函数的解析式 转化为顶点式得： (1)、由 向左平移4个单位得： （左加右减）
2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）, （1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。
解：设所求的解析式为
∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） ∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴ ∴ a = -1 ∴ 即：
四、尝试练习
4、将二次函数 的图像向右平移1个单位， 再向上平移4个单位，求其解析式。 解：∵ 二次函数解析式为
1 2 所求的解析式为： y ( x 2) 1 3
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)
解法(一)可设一般式 解法(二)可设交点式
解:∵抛物线与X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
二次函数的几种解 析式及求法
二次函数解析(常见的三种表示形式)
(1)一般式
2 y ax bx c(a 0)
2 n(a 0)顶点坐标（ y a ( x m ) m, n) (2)顶点式
(3)交点式 y a( x x 1 )( x x 2 )( a 0)
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
二次函数解析式的几种常见形式
二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
二次函数解析式的几种表达式
顶点形式
$y = a(x - h)^2 + k$
其中，$(h, k)$为抛物线的顶点坐标。
通过平移标准形式，可以得到顶点形式，便于找到抛物线的顶点和对称 轴。
交点形式
$y = a(x - x_1)(x - x_2)$ 其中，$x_1$、$x_2$为抛物线与x轴的交点坐标。
判别式的应用非常广泛，例如在解一元二次方程、判断二次 函数的图像与x轴的交点个数、判断二次函数的单调性等方面 都有重要应用。
03 二次函数解析式的应用
求最值
顶点式
对于形如$y = a(x - h)^2 + k$的 二次函数，其顶点为$(h, k)$，因 此，该函数在$x = h$处取得最值 $k$。
配方法
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，通过配方可以转 化为顶点式，从而求得最值。
解方程
因式分解法
对于形式较为简单的二次方程，可以 通过因式分解法求解。
公式法
对于一般形式的二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，可以使用公式法求解。
判断单调性
导数法
求出二次函数的导数，然后判断导数的正负，从而判断函数的单调性。
经济中的供需关系
描述市场需求和供应的变化
在经济学中，二次函数解析式可以用来描述市场需求和供应的变化。通过设定适当的参数，可以模拟市场价格与 需求量或供应量之间的关系。
制定价格策略
企业可以根据市场需求和供应的变化，制定相应的价格策略。通过调整价格，企业可以平衡市场需求和供应，实 现利润最大化。
生活中的最优化问题
顶点坐标
01
二次函数表达式三种形式的联系与区别
⼆次函数表达式三种形式的联系与区别⼆次函数表达式三种形式的联系与区别⼆次函数的表达式有三种形式，即⼀般式、顶点式、交点式。
它们之间各不相同，⽽⼜相互联系。
⼀、⼀般式：y = a JQ +bx + c （a 0）优点：⼆次项系数"，⼀次项系数b,常数项c,三系数⼀⽬了然。
缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴b 4（〔c _ b⼆、顶点式：y = a（X-\----- ） + ------- （°H0）2a牝优点：很容易看出顶点坐标和对称轴缺点：不容易看出⼆次项系数“，⼀次项系数b,常数项C各是多少。
三、交点式：y = ?（x-x1）（-^-x2）优点：很容易看出图像与X轴的交点坐标（⼪，0）和（⼔，0）缺点：（1）不容易看出⼆次项系数"，⼀次项系数⽅，常数项C各是多少。
（2）当图像不与x轴相交时，此式不成⽴。
四、三种表达式之间的联系（1）⼀般式转化为顶点式利⽤配⽅法转化（⼀提、⼆配、三整理）y = X + bx + cu 2a 2a ⼀提，提⼆次项系数，只对⼆次项、⼀次项提系数“3—⼆配，配⼀次项系数⼀半的平⽅，⼒⼝上后⽴即减下来（2）顶点式转化为⼀般式展开整理即可z b 、 4ac — b y = ） + —- （? ⼯o ）2G 牝2 b h 4uc — b=^X +-"孑）+"4Q 4“4uc - X= a x +bx + ^- + --------- 」A 4a 4a2 f 4ac =a Y + bx +A 4a 2 =d X + bx + c（3）交点式转化为⼀般式展开，利⽤韦达左理整理可得⼆次函数y = 0才+加+（? （c H 0）与x 轴有两交点（弟，0）和（兀2，0）则X\和Xi 为⽅程a X +快+ c= 0的两个根y = a{x-x ^x-x ^= a （X-X i x -X 2x + X l X2>⼆川⽦⼀⼔+上权+兀矩]b c由韦达左理得：X] + X° = __ _a a代⼊得：y = a[x ⼀（X + X^x + %!兀2】r 2 . b. c.=a ^X _（__）% + _1a a=a ” + bx + c三种表达式视情况⽽定：（1）不知道特殊点的坐标时，常⽤⼀般式来表⽰：（2）知道顶点坐标，常⽤顶点式来表⽰：（3）如果知道图像与尤轴的交点坐标，常⽤交点式来表⽰。
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13.抛物线y=x 2(m+1)x+n过点 13.抛物线y=x2-2(m+1)x+n过点 抛物线 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上 且其顶点在直线y=2x+1 (2,4),且其顶点在直线y=2x+1上, (1)求这抛物线的解析式 求这抛物线的解析式. (1)求这抛物线的解析式. (2)求直线y=2x+1与抛物线的对称 求直线y=2x+1 (2)求直线y=2x+1与抛物线的对称 轴所围成的三角形的面积. 轴x轴所围成的三角形的面积.
3 14.画出 y = x − x − 函数的图象，根据图象 函数的图象， 画出 4 回答下列问题． 回答下列问题． (1)图象与x 轴交点的坐标是什么？ 图象与 轴交点的坐标是什么？ (2)当x 取何值时，y＝0？这里x的取值 当 取何值时， ？
2
与方程 x
2
3 − x − = 0 4
有什么关系? 有什么关系来自11.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分 .如图，有一个二次函数的图象， 别说出了它的一些特点： 别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4。 对称轴是直线x=4。 x=4 乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标 轴两个交点A 都是整数。 都是整数。
y C OA B x
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数， 轴的交点C点的纵坐标也是整数， 3。 且S⊿ABC= 3。
1 2 16、已知抛物线 y = x − x + k 、 2
三 班 学 在 题出 争 : 初 某 的 生 问中 现 论 1 2 程x 求 程 = x +3的 时几 所 学 都 方 化 方 x 解 , 乎 有 生 将 程为 2 1 2 x − x −3 = 0, 出 数 象观 它 x轴 交 得 画 函 图 , 察 与 的 点 出 , 2 方 的 , 独 刘 有 方 移, 是 别 出 数 程 解唯 小 没 将 程 项 而 分 画 函 1 点A y = x 和 = x +3的 象他 为 们 交 AB的 坐 y 图 , 认 它 的 点, 横 2 3 标− 和 就 原 程 解 2 是 方 的 . 2
x=4
请你写出满足上述条件的全部特点的所有的 请你写出满足上述条件的全部特点的所有的 所有 二次函数的解析式为 。
12.已知二次函数的图象过 12.已知二次函数的图象过 2,0),在 点(- 2,0),在y轴上的截距 3,对称轴 x=2,求它的 为- 3,对称轴 x=2,求它的 解析式. 解析式.
2
17.你能否画出适当的函数图象， 17.你能否画出适当的函数图象，求方程 你能否画出适当的函数图象
1 x = x +3 2
2
的解？ 的解？
图 26.3.3
18.已知：二次函数y=x +2ax-2b+1和 18.已知：二次函数y=x2+2ax-2b+1和 已知 y=- +(ay=-x2+(a-3)x+b2-1的图象都经过 轴上两个不同的点M x轴上两个不同的点M、N，求 a， 的值． b的值．
轴有两个交点. 与x轴有两个交点 轴有两个交点 的取值范围; （1）求k的取值范围 ） 的取值范围 轴交于A、 两点 且点A在点 两点， （2）设抛物线与 轴交于 、B两点，且点 在点 ）设抛物线与x轴交于 B的左侧，点D是抛物线的顶点．如果⊿ABD是 的左侧， 是抛物线的顶点． 的左侧 是抛物线的顶点 如果⊿ 是 等腰直角三角形，求抛物线的解析式; 等腰直角三角形，求抛物线的解析式 轴交于点C， （3）在（2）的条件下．抛物线与 轴交于点 ， ） ）的条件下．抛物线与y轴交于点 轴的正半轴上且以A、 、 为顶点的三 点E在y轴的正半轴上且以 、O、E为顶点的三 在 轴的正半轴上且以 角形与⊿ 相似。 坐标. 角形与⊿AOC相似。求点 坐标 相似 求点E坐标
7.已知抛物线 y = ax + bx + c 经过三点 已知抛物线 ），B（－1 ），C A（2，6），B（－1，2），C（0，1） ，那么它的解析式是 ， 变: (1)已知二次函数图象经过（－1 10） 已知二次函数图象经过（－ (1)已知二次函数图象经过（－1，10）, 三点， （2，7）和（1，4）三点，这个函数的 解析式是 .
9. 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1） 已知二次函数的图象顶点坐标（2,1） 且与x 轴相交两点的距离为2 ，且与x 轴相交两点的距离为2，则其 表达式为 . 10.抛物线的顶点为（－1，－8），它与 抛物线的顶点为（－1，－8），它与 抛物线的顶点为（－ 轴的两个交点间的距离为4 x轴的两个交点间的距离为4，此抛物线 的解析式是 .
19.已知抛物线 19.已知抛物线 y = x + (2n - 1)x + n - 1 为常数）。 （n为常数）。 （1）当抛物线经过直角坐标系的原 且顶点在第四象限时， 点，且顶点在第四象限时，求出它 的函数关系式； 的函数关系式；
2
2
假设点A (2) 假设点A是（1）中所确定的抛物 线上位于x轴下方、 线上位于x轴下方、且在对称轴左侧 的一个动点。过点A作x轴的平行线， 的一个动点。过点A 轴的平行线， 交抛物线于另一个点D 再作AB⊥x 交抛物线于另一个点D，再作AB⊥x CD⊥x轴 试问：矩形ABCD ABCD的周 轴，CD⊥x轴。试问：矩形ABCD的周 长是否存在最大值？若存在， 长是否存在最大值？若存在，请求 若不存在，请说明理由. 出；若不存在，请说明理由.
4.当x=1时 x=0时 4.当x=1时，y=0; x=0时, y=x=2时 y=-2，x=2时，y=3; 顶点坐标为（ 5. 顶点坐标为（-1，-2）,且通 过点（ 10） 过点（1，10）; 对称轴为x=2, x=2,函数的最小值为 6. 对称轴为x=2,函数的最小值为 3,且图象经过点 且图象经过点( 3,且图象经过点(-1,5).
二次函数解析式的几种表达式
• • • 一般式：y=ax2+bx+c 一般式：
2+k 顶点式： 顶点式：y=a(x+h)
两根式：y=a(x- )(x两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
根据下列条件求关于x 根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式
1.当x=3时 最小值= 1.当x=3时，y最小值=-1，且图象 过（0，7 ） ; 2.图象过点 图象过点（ ）（1 2.图象过点（0，-2）（1，2）且 对称轴为直线 x=1.5; 3.图象经过点 图象经过点（ ）（1 3.图象经过点（0，1）（1，0） （3，0） ;
(3)当x 取何值时，y＜0？当x取何值时， 当 取何值时， 取何值时， ？ y＞0？ ？ (4)能否用含有x的不等式来描述（3） 能否用含有 的不等式来描述（ ） 中的问题？ 中的问题？
15、抛物线的对称轴是直线x=1,它与 轴交 、抛物线的对称轴是直线 它与x轴交 它与 于A、B两点，与y轴交于 点. 点A、C的 、 两点， 轴交于C点 、 的 两点 轴交于 3 坐标分别是（－ ，0）、（ ， ）. 坐标分别是（－1， ）、（0， （－ ）、（ 2 (1) 求此抛物线对应的函数解析式； 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个 若点P是抛物线上位于 是抛物线上位于x轴上方的一个 动点， 面积的最大值. 动点，求△ABP面积的最大值 面积的最大值
2
(2) 若抛物线与x轴交于点（－1，0）和 若抛物线与x轴交于点（－ （－1 3 ），且过点 且过点（ ），那么抛物 （3，0），且过点（0， ），那么抛物 2 线的解析式是
8.已知抛物线经过三个点A 8.已知抛物线经过三个点A（2，6）， 已知抛物线经过三个点 （－1 ），C ），那么二次 B（－1，0），C（3，0），那么二次 函数的解析式是 ， 它的顶点坐标是 变:抛物线与x轴的两个交点的横坐标是 抛物线与x 3 且过点（ ），此抛物线 －3和1，且过点（0， 2 ），此抛物线 的解析式是