确定二次函数的表达式(经典)讲解
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y= -7(x-3)2+4
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4
∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4
【能力挑战】
已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴
上，其横坐标满足方程
(x 1)2 4 2 2
①求点C的坐标
②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。
1 解:①C(３,０)或C(-1,0)
②设：二次函数解析式为：y ax2 bx c(a 0)
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
〔做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
∴二次函数解析式为 y 2 x 2 x 3
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，
交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
a b c 2
当C(3,0)时 c 3
a 0 解得： b 1
9a 3b c 0
c 3
∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在
a b c 2
当C(-1,0)时 c 3
a b c 0
解得：
a 2 b 1 c 3
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6
函数表示式为y 0.1x2 (3 x 3)
谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为：
y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式来自较简便其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2
例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4
∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4
【能力挑战】
已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴
上，其横坐标满足方程
(x 1)2 4 2 2
①求点C的坐标
②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。
1 解:①C(３,０)或C(-1,0)
②设：二次函数解析式为：y ax2 bx c(a 0)
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
〔做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
∴二次函数解析式为 y 2 x 2 x 3
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，
交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
a b c 2
当C(3,0)时 c 3
a 0 解得： b 1
9a 3b c 0
c 3
∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在
a b c 2
当C(-1,0)时 c 3
a b c 0
解得：
a 2 b 1 c 3
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6
函数表示式为y 0.1x2 (3 x 3)
谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为：
y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式来自较简便其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2