确定二次函数的表达式(经典)讲解
二次函数的应用(经典) PPT
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天 盈利最多？
最值应用题——销售问题
某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据 试销得知这种服装每天的销售量t（件）与每 件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系： t＝－3x＋204。 写出商场卖这种服装每天销售利润y（元） 与每件的销售价x（元）间的函数关系式； 通过对所得函数关系式进行配方，指出商场 要想每天获得最大的销售利润，每件的销售 价定为多少最为合适？最大利润为多少？
显而易见：顶点式
已知函数y=ax2+bx+c的图象是以点（2，3） 为顶点的抛物线，并且这个图象通过点（3， 1），求这个函数的解析式。（要求分别用一 般式和顶点式去完成，对比两种方法）
已知某二次函数当x＝1时，有最大值－6， 且图象经过点（2，－8），求此二次函数的 解析式。
思维小憩：
用待定系数法求二次函数的解析式，什么 时候使用顶点式y=a(x-m)2+n比较方便？
求函数最值点和最值的若干方法： 直接代入顶点坐标公式 配方成顶点式 借助图象的顶点在对称轴上这一特性，结合 和x轴两个交点坐标求。
二次函数的三种式
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-m)2+n 交点式：y=a(x-x1) (x-x2)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴的一个交点坐标是（8,0），顶点是 （6,-12），求这个二次函数的解析式。 （分别用三种办法来求）
窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的 周长等于6cm，要使窗能透过最多的光 线，它的尺寸应该如何设计？
A
O
D
B
二次函数的函数表达式
二次函数的函数表达式二次函数是高中数学中的一个重要概念，其中的函数表达式可以描述出一个抛物线的形状。
在本文中，我们将介绍二次函数的函数表达式及其相关属性。
一、二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
二次函数的一般形式包含三个系数。
系数a决定了抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
系数b 和c则分别影响了抛物线在x轴方向上的平移和y轴方向上的平移。
二、二次函数的顶点形式二次函数也可以表示成顶点形式：f(x) = a(x-h)² + k，其中a、h、k 为实数，且a ≠ 0。
顶点形式的二次函数可以直接读取出抛物线的顶点坐标(h, k)。
与一般形式相比，顶点形式可以更方便地计算出抛物线在x轴方向上的平移以及确定抛物线的开口方向。
三、二次函数的图像特点1. 开口方向：由一般形式的系数a决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，过抛物线的顶点。
对称轴的方程可以通过将一般形式的系数b消去得到：x = -b/ (2a)。
3. 零点：即二次函数与x轴的交点。
二次函数的零点可以通过解一般形式的方程ax² + bx + c = 0得到。
根据判别式Δ = b² - 4ac的值，可以判断二次函数与x轴的交点情况：当Δ>0时，有两个不相等的零点；当Δ=0时，有两个相等的零点；当Δ<0时，没有实数解，即与x轴没有交点。
4. 最值：二次函数的最值可以通过抛物线的开口方向判断。
当抛物线开口朝上时，最小值为抛物线的顶点值；当抛物线开口朝下时，最大值为抛物线的顶点值。
四、应用案例二次函数的函数表达式在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个二次函数的应用案例：1. 抛物线的高度：一个炮弹从抛射点射出，以二次函数的形式描述炮弹的高度随时间的变化规律，可以计算出炮弹的最高点以及落地点的距离等信息。
九年级数学下册2.3.2确定二次函数的表达式课件1新版北师大版
【例题】
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三 点，求这个函数的表达式.
解析： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10， a+b+c=4， 解方程组得： 4a+2b+c=7，
a=2, b=-3, c=5
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
∴所求抛物线的表达式为
C
O
B
x
y
1 2 2 x x 1. 3 3
【议一议】
一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1， 2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函 数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行 交流.
【议一议】
解析（一）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是(
ห้องสมุดไป่ตู้
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是(
)
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出
如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达 式 . y=x24x+3
2.3 确定二次函数的表达式(1)
0)，B(3，0)两点，； (2) 若直线 AM′ 与此抛物线的另一个交点为 C ， 求△ CAB 的面积；
(2)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点Q，
使得四边形 APBQ 为正方形？若存在 ， 求出此抛物线的表达式； 若不存在，请说明理由．
第2章 二次函数
2．3 确定二次函数的表达式
第1课时 已知图象上的两点求表达式
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法 求其表达式.
2 ． 已知抛物线y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象如图所示 ， 则该抛物线的 y＝2(x－1)2 ． 表达式为：______________
3 ．如图 ， 已知二次函数 y ＝ x2 ＋ bx ＋ c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随
x的增大而增大时，x的取值范围是 1 x> _________ ． 2
• 3．已知二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，最低点到x轴的距离为2，且其图象 经过点(0，3)，求此函数的关系式．
例2、已知二次函数y=ax2+c的图象经过 （2,3）和（-1，-3），求这个二次函 数的表达式。
1 ．抛物线 y ＝ 2x2 ＋ bx ＋ c 与 x 轴交于 ( － 1 ， 0) ，
例1、一名学生推铅球时，铅球行进 的高度y与水平距离x之间的关系如图所示， 其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y 与x之间的关系吗？
1、已知某二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为
2 ． 已知二次函数的图象经过点 ( － 1 ， 3) ， 且它的顶点是原点，那么这个二次函数的
《二次函数》数学教学PPT课件(4篇)
×
知1－讲
(2) y＝－5x2
解：
二次项系数
所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.
二次项系数
(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，
常数项
一次项系数
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，
一次项系数为－21，常数项为30.（来自《点拨》）
知1－练
值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
两年后的产量
y＝20(1＋x)2，
即y＝20x2＋40x＋20.
知1－导
思考：函数y=6x2，m＝
1
2
n2－ 1 n,
2
y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？
可以发现
1、函数解析式是整式；
2、化简后自变量的最高次数是2；
3、二次项系数不为0.
知1－讲
定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
(6)y＝x2＋
.
知1－讲
解： (1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1
(2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2
(3)y＝3a3＋2a2；自变量的最高次数是3
(4)y＝x－2＋x； x－2不是整式
×
√
×
×
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
2－21x＋30，是二次函数 √
整理得到y＝3x
1
1
2
(6)y＝x ＋ x 2
a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变
量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、
一次项系数和常数项．
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
二次函数表达式的确定(原创)
二次函数表达式的确定待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（1）设出适当的二次函数表达式，(2)根据已知信息，构建关于常数的方程（组），(3)解方程(组)，(4)把求出的常数的值代入所设的表达式一般式：顶点式：，其中(h，k)为顶点，交点式：，其中x1，x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标；.1．已知抛物线过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，求二次函数表达式2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，求抛物线的函数表达式3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．(1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的图象4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；5.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．6.在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点为，且过点，求与的函数关系式为6.已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．7.抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，求此抛物线的表达式8.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；9.如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，求抛物线的表达式10.如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.11.已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．10.已知二次函数图象上部分点的坐标满足下表：求该二次函数的解析式；用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．1. 已知二次函数的图象如图所示求这个二次函数的表达式A. y ＝x 2－2x ＋3B. y ＝x 2－2x －3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋32. 一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标(－1，3)，则该抛物线的表达式为( ) A. y ＝－2(x －1)2＋3 B. y ＝－2(x ＋1)2＋3 C. y ＝－(2x ＋1)2＋3 D. y ＝－(2x －1)2＋33. 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点，则这条抛物线的解析式为( )A. y ＝x 2－2x －3B. y ＝x 2－2x ＋3C. y ＝x 2＋2x －3D. y ＝x 2＋2x ＋3 4. 由表格中信息可知，若设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则下列y 与x 之间的函数表达式正确的是( )A. y ＝x 2－4x ＋3 5. 如果抛物线经过点A (2，0)和B (－1，0)，且与y 轴交于点C ，若OC ＝2，则这条抛物线的表达式是( ) A. y ＝x 2－x －2B. y ＝－x 2－x －2或y ＝x 2＋x ＋2C. y ＝－x 2＋x ＋2D. y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 7.已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)，则该函数的表达式为 . 8. 如图，抛物线的表达式为 ，直线BC 的表达式为 ，S △ABC ＝ .9. 如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是 .10. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为 .11. 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3).(1)求二次函数的解析式；(2)画出二次函数的图象.12. 已知抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－3，－3)和点P(t，0)，且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A，请通过观察图象，指出此y的最小值，并写出t的值；(2)若t＝－4，求a，b的值，并指出此时抛物线的开口方向；(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.15. 如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB.16. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0).(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值.参考答案1. B2. B3. A4. A5. D6. y ＝－23(x ＋2)2＋1 7. y ＝－(x ＋1)2＋48. y ＝45x 2－165x －4 y ＝45x －4 12 9. y ＝－x 2＋2x ＋3 10. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x11. 解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (－1，－1)，B (0，2)，C (1，3).∴2(1)(1)1,2,3,a b c c a b c ìï?+?+=-ïïï=íïï++=ïïî解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，∴y ＝－x 2＋2x ＋2.(2)画图略.12. 解：(1)y 的最小值为－3，t ＝－6.(2)分别把(－4，0)和(－3，－3)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝16a －4b ，－3＝9a －3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线表达式为y ＝x 2＋4x ，∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上. (3)－1(答案不唯一)13. 解：(1)∵y ＝x 2＋bx ＋c 过原点，∴c ＝0.又∵y ＝x 2＋bx 过点A (2，0)，∴b ＝－2，∴y ＝x 2－2x . (2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴顶点坐标为(1，－1)，对称轴为直线x ＝1.(3)∵点A 的坐标为(2，0)，∴OA ＝2.∵S △OAB ＝3，∴12OA ·||y B ＝3，∴||y B ＝3.∵抛物线最低点坐标为(1，－1)，∴y B ＝3，∴3＝x 2－2x ，即x 2－2x －3＝0，(x －3)(x ＋1)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3.∴点B 坐标(－1，3)或(3，3).14. 解：(1)把A (2，0)，B (0，－6)的坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.(2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－412()2?＝4，∴点C 的坐标为(4，0).∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2.∴S △ABC＝12·AC ·OB ＝12×2×6＝6. 15. 解：(1)∵抛物线顶点为A (3，1)，设抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝a (x －3)2＋1，将原点坐标(0，0)代入表达式，得a ＝－13.∴抛物线对应的二次函数的表达式为y ＝－13x 2＋233x .(2)将y ＝0代入y ＝－13x 2＋233x 中，解得x ＝0(舍去)或x ＝23，∴B 点坐标为(23，0)，设直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝kx ，将A (3，1)代入表达式y ＝kx 中，得k ＝33，∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y ＝33x .∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x ＋b ，将B (23，0)代入y ＝33x＋b 中，解得b ＝－2，∴直线BD 对应的一次函数的表达式为y ＝33x －2.由⎩⎨⎧y ＝33x －2，y ＝－13x 2＋233x ，得交点D的坐标为(－3，－3)，将x ＝0代入y ＝33x －2中，得C 点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OD ＝23，又OA ＝2＝OC ，AB ＝2＝CD ，OB ＝23＝OD .在△OAB 与△OCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC AB ＝CDOB ＝OD，∴△OAB ≌△OCD .(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，连接CD ，CB ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x )＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x (2＜x ＜6)，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.。
北师大版数学九年级下册《确定二次函数表达式(一般式及顶点式)》课件
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x +3)2+k，
{ { a(-4 +3)2+k = -3，
a = 1，
a(-1 +3)2+k = 0， 解得 k = -4，
∴该二次函数的表达式是 y= (x -1)2 -4
当堂练习
y
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象
5 4
的表达式应是 y
3 4
x2
.
3 2 1
缺少常数项， 图象经过原点
自学检测1：（3分钟）
完成课本第43页“随堂练习”第2题第（1）题。
解：将点（1,1）、（2、3）分别代入表达式
y=x2+bx+c，得
{1=1+b+c 3=4+2b+c
已知一次项系数
解这个方程组，得
{ b=-1 c=1
小所结以：，所求二次函数的表达式为y=x2-x+1。
1. 已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数 ，再知道图
自学检测3：（5分钟）
1.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式 是 y=-2(x-1)2+6 .
2.已知二次函数的顶点坐标为（2,5），且图像经过点
（3，7），求此二次函数的表达式。 y=2(x -2)2+5，
3.二次函数的图像过点A(－4，－3)和B(-1,0)，对称轴
是直线x＝－3，求二次函数解析式
解：设这个二次函数的表达式是 y=a(x -2)2+3，
再把点（-1，0）代入上式得 a(-1-2)2+3=0，
小结： 解得 a= -—13 . ∴1.用所顶求点的式二y次=a函(x数－的h)表2+k达时式，是知道y=顶-1点/3（(xh-2,k)2）+3和图象 上的另一点坐标,就可以确定这个二次函数的表达式。
2.3确定二次函数的表达式(1)
(4) 解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+ bx+c 依题意，得 a-b+c = 8 a+b+c = 4 c=7
解得a=-1，b=-2，c=7 ∴这个二次函数的解析式为y=-x2- 2x+7
已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过 点（2，5）和（-2,3），求这个二次函数的表达式. 解法一：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以 设抛物线关系式为 y ax2 bx 1 ∵图象经过点(2,5)和(-2,13)
【解答】 (1)依题意，得 a＝－1， a＋b＋c＝0，解得b＝－2， c＝3. c＝3， ∴抛物线解析式为 y＝－x －2x＋3. b －2a＝－1，
2
∵对称轴为 x＝－1，且抛物线经过 A(1，0)， ∴B(－3，0)． ∴把 B(－3，0)、C(0，3)分别代入直线 y＝mx＋n，得
(3)设 P(－1，t)，又 B(－3，0)，C(0，3)， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴BC ＝18，PB ＝(－1＋3) ＋t ＝4＋t ，PC ＝(－1) ＋(t－3) ＝t －6t＋10. 2 2 2 2 2 ①若点 B 为直角顶点，则 BC ＋PB ＝PC ，即 18＋4＋t ＝t －6t＋10，解得 t＝－2； 2 2 2 2 2 ②若点 C 为直角顶点，则 BC ＋PC ＝PB ，即 18＋t －6t＋10＝4＋t ，解得 t＝4； 2 2 2 2 2 ③若点 P 为直角顶点，则 PB ＋PC ＝BC ，即 4＋t ＋t －6t＋10＝18； 3＋ 17 3－ 17 解得 t1＝ ，t2＝ . 2 2 综上所述，P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1， 3＋ 17 3－ 17 )或(－1， )． 2 2
二次函数解法公式法
二次函数解法公式法二次函数是数学中的一种函数形式，其一般表达式为f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用来描述抛物线、开口方向等各种现象。
二次函数的解法有多种，其中一种常用的解法是使用二次函数的解法公式。
二次函数的解法公式可以帮助我们快速求解二次函数的解，并且可以通过解析解的方式得到准确的结果。
二次函数的解法公式主要包括两个公式，分别是求根公式和顶点公式。
下面我们来详细介绍这两个公式的求解方法。
1. 求根公式：求根公式是用来求解二次函数的x的解的公式，其表达式为：x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a其中，±表示两个解，√表示开方，b^2-4ac称为判别式。
求根公式的推导过程较为复杂，这里我们不再详细展开，只介绍如何使用求根公式求解二次函数的解。
我们需要确定二次函数的系数a、b、c的值，然后代入求根公式中即可求得解。
需要注意的是，判别式b^2-4ac必须大于等于0，否则二次函数没有实数解。
2. 顶点公式：顶点公式是用来求解二次函数的顶点坐标的公式，其表达式为：x=-b/2ay=f(x)=f(-b/2a)顶点公式的求解比较简单，只需要将二次函数的系数a、b代入公式中即可得到顶点坐标。
顶点公式可以帮助我们确定二次函数的最值，即抛物线的最高点或最低点。
通过求解顶点坐标，我们可以得到二次函数的凹凸性和开口方向。
除了使用求根公式和顶点公式，我们还可以通过图像法、配方法等方式来解二次函数的方程。
图像法是通过绘制二次函数的图像来寻找函数的零点、最值和凹凸性等特征。
通过观察抛物线的形状和位置，可以直观地得到二次函数的解。
配方法是一种通过将二次函数转化为完全平方式来求解的方法。
通过配方，我们可以将二次函数转化为一次函数相乘的形式，从而更容易求解。
总结起来，二次函数解法公式法是一种快速求解二次函数的解的方法。
通过求根公式和顶点公式，我们可以准确地求解二次函数方程的解和顶点坐标。
确定二次函数表达式(已知三个条件)
上时，ON=t，MN= 3t，所以S= 3 t2（0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
2
值不变为 2 3，所以S= 3t（2≤t≤4），故选C.
你学到哪些二次函数表达式的求法？ （1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值， 通常选择一般式. （2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过
A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
a
1 3
【例题】
【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1， 4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
a-b+c=10，
a=2,
由条件得： a+b+c=4， 解方程组得： b=-3,
4a+2b+c=7，
c=5.
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
3 确定二次函数的表达式
1.会用待定系数法确定二次函数的表达式. 2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.
二次函数表达式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的六种表达式
二次函数的六种表达式一、标准式二次函数的标准式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为常数，a不为0。
其中a决定了二次函数的开口方向和开口程度，当a>0时开口向上，当a<0时开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴方程为x=-b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点位置。
在应用中，可以通过标准式方程确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过标准式方程求解二次方程，解决实际问题。
二、顶点式二次函数的顶点式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为常数，a不为0。
其中(h,k)为二次函数的顶点坐标。
通过顶点式可以方便地确定二次函数的顶点坐标，进而画出函数图像。
同时，可以通过顶点式进行函数的变形，例如平移、压缩、拉伸等操作。
三、描点式二次函数的描点式为y-y₁=a(x-x₁)²，其中(x₁,y₁)为已知点，a为常数且不为0。
通过描点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过描点式求解二次方程，解决实际问题。
四、导数式二次函数的导数式为y'=2ax+b，其中a、b均为常数，a不为0。
通过导数式可以方便地确定二次函数的斜率，进而画出函数图像。
同时，可以通过导数式求解二次方程的极值，解决实际问题。
五、交点式二次函数的交点式为y=k(x-x₁)(x-x₂)，其中k、x₁、x₂均为常数，k 不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过交点式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过交点式求解二次方程，解决实际问题。
六、因式分解式二次函数的因式分解式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中a、x₁、x₂均为常数，a不为0，x₁、x₂为二次函数的零点。
通过因式分解式可以方便地确定二次函数的各项参数，进而画出函数图像。
同时，可以通过因式分解式求解二次方程，解决实际问题。
二次函数有六种常见的表达式，每种表达式都有其特点和应用。
确定二次函数的表达式
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。
2、顶点式
3、交点式
4、平移式
将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标， 可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。
二次函数关系:
（顶点式） 解： ∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ， ∴ (-1+3)/2 = 1 ∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4 ∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4
解：
1.已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y轴交点为（0，－5）,求该抛物线的解析式？
所以设所求的二次函数解析式为：y=a(x＋1)2-3
因为已知抛物线的顶点为（－1，－3）
又点( 0,-5 )在抛物线上
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即：y=－2x2-4x－5
3 已知二次函数的图象在x轴上截得的线段长是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式．
由题意,得:
解:设图象与x轴的交点坐标为( ,0),( ,0),
把(1,-4)代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)
解得:a=1
∴y=x2-2x-3
四、用平移式求二次函数的解析式、 1.将抛物线 向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。
∴ a(0+1)(0-1)=1
解得： a=-1
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
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例3. 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),
B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，
求这个二次函数的解析式。
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3 ∴设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k 图象过点A(0,5),B(5,0)两点
∴ 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k
-b/2a = 3 (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：
a= -7 b= 42 c= -59 ∴ 二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59
解法2：（利用顶点式） ∵ 当x=3时，有最大值4∴ 顶点坐标为
(3,4) 设二次函数解析式为： y=a(x-3)2+4 ∵ 函数图象过点（4，- 3） ∴ a(4 - 3)2 +4 = - 3 ∴ a= -7 ∴ 二次函数的解析式为：
c=3
∴ 函数的解析式为：y= -x2+2x+3
（顶点式）
解：
∵ 抛物线与x轴相交两点(-1,0)和(3,0) ，
∴ (-1+3)/2 = 1
∴ 点(1,4)为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为： y=a(x-1)2+4
∵ 抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -(x-1)2+4
【能力挑战】
已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X轴
上，其横坐标满足方程
(x 1)2 4 2 2
①求点C的坐标
②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。
1 解:①C(３,０)或C(-1,0)
②设：二次函数解析式为：y ax2 bx c(a 0)
二、重点和难点：
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式， 既是重点又是难点。
例1.若二次函数图象过A(2,-4),B(0,2), C(-1,2)三点 求此函数的解析式。
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
〔做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．
试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
∴二次函数解析式为 y 2 x 2 x 3
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
归纳：
在确定二次函数的表达式时 （1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ； （2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶 点式 较为简便； （3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交 点式较为简单。
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
例2. 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)， 并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次 函数的解析式。
解法1：（利用一般式） 设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0) 由题意知 16a+4b+c = -3
y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0)
一、教学目标：
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函
数表达式的思想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，
交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达 式时减少未知数的个数，简化运算过程。
a b c 2
当C(3,0)时 c 3
a 0 解得： b 1
9a 3b c 0
c 3
∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在
a b c 2
当C(-1,0)时 c 3
a b c 0
解得：
a 2 b 1 c 3
AB 6CB AB 3,OC 0.9 2
B(3,0.9)代入y ax2中,0.9 a 32
a 0.1因此这段抛物线对应的二次
图 26.2.6
函数表示式为y 0.1x2 (3 x 3)
谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）
二次函数 确定二次函数的表达式
复习提问：
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
3.若二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴两交点为 (x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形 式?
解得：a= 1 k=-4 ∴ 二次函数的表达式: y= (x-3)2-4 即 y =x2-6x+5
小结:
已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时 优先选用顶点式。
例４．已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和 (3,0)三点，求二次函数的表达式。
解：（交点式） ∵二次函数图象经过点 (3,0),(-1,0) ∴设二次函数表达式为 ：y=a(x-3)(x+1) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a (1-3)(1+1) 得 a= -1 ∴ 函数的表达式为：
y= -(x+1)(x-3) = -x2+2x+3 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标，选用交点式来自较简便其它解法：（一般式）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和(3,0)
∴ a+b+c=4
①
a-b+c=0
②
9a+3b+c=0 ③
解得： a= -1
b=2