确定二次函数的表达式
已知三点确定二次函数的表达式
解法一: 设所求二次函数关系式为：y = ax2+bx+c.
又抛物线过点（1，0），（3，0），（2，-1），
依题意得: a+b+c=0
a 1
9a+3b+c = 0 解得 b 4
4a + 2b + c=-1
c3
∴所求的函数关系式为
y x2 。4x 3
解法二 ∵点（1，0）和（3，0）是抛 物线与x轴的两个交点， ∴设二次函数关系式为：y=a(x-1)(x-3), 又抛物线过点（2，-1）， ∴ -1=a（2-1)（2-3） 解得a 1
确定二次函数的关系式
①设 设二次函数的关系式 ②代 将相关数值代入关系式得到方程或
方程组 ③解 解方程或方程组得出待定系数的值 ④写 写出该二次函数的关系式
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1）求二次函数关系式。
例1：已知抛物线图象上三个点的坐标（1，0）， （3，0），（2，-1），求二次函数关系式。
小 结：
如何选择不同形式的二次函数的关系式？
1.一般式：y ax2 bx c(a 0)
（已知抛物线上三点或三对x、y的值，用一般式.）
2．顶点式： y a x h2 k(a 0)
（已知抛物线的顶点或对称轴或最值，用顶点式.）
3．交点式 ： y a(x x1)(x x2 )(a 0)
求c的值
∴设二次函数的关系式为y=a(x-1)2+2
∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的关系式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
已知三点确定二次函数解析式
例题3.已知二次函数与X轴交与（-1,0），（3，0）， 且与y轴交与（0,6）求二次函数解析式
• 解：设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2), 因为与X轴 交 与（-1,0），（3,0）则x1=-1,x2=3,所以可得： y=a(x+1)(x-3) 把点（0,6）代入得6=a(0+1)(0-3) 得a=-2 所以二次函数解析式为y=-2(x+1)(x-3) 即y=-2x2+4x+6
议一议 一个二次函数的图象经过A(0,1),B(1,2),C(2,1)，你能确定这个二 次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流。
做一做 1.已知二次函数的图象经过(0,2),(1,0)和(-2,3)，求这个二次函数 的表达式。
2.已知二次函数的图像经过（2,0）（-3,0）和（4，6），求这 个二次函数的表达式。
a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
2
a=2 解这个方程组得：b=-3 c=5
∴抛物线的解析式是 y=2x2-3x+5 3 2 31 ∵y=2x -3x+5=2(x- ) + 4 8 3 3 31 ∴抛物线的对称轴是 x= ，顶点坐标是（ ， ） 4 4 8
例1.已知:抛物线y=ax2+bx+c过点（2，1）、（1，-2 ）（0， 5）三点，求抛物线的解析式.
解：把（2，1）、（1，-2）、（0，5）分别代 2 入抛物线 y=ax +bx+c 得：
4a+2b+c=1 a+b+c=-2 c=5 a=2 解这个方程组得：b=-12 c=5
已知三点确定二次
用顶点式确定二次函数表达式
(2,5) (0,1)
知识迁移
抛物线 y 2 x bx c（a≠0），经过向左平移 3个单位，向下平移2个单位，得到新的顶点为 （-2，3）；求抛物线原解析式。
2
知识迁移
已知抛物线C1的解析式为 y 2 x 4 x 5
2
抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，则抛物线C2的解 析式为：_________________ _； 若抛物线C3关于抛物线C1 y轴对称，则抛2 9 8
知识迁移
1.已知二次函数的对称轴为直线x=2,函数的最小值 是-3，且过（0，1），求二次函数解析式？
知识迁移
2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1) 和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
知识迁移
3.抛物线如图所示，请求出抛物线的解析式。
综合应用
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安 装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:由题可得, 点(1,3)是图中这段抛 y B(1，3) 物线的顶点.因此可设这段抛物线 3 对应的函数是 A 2 y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 3 1 2 a= － ∴ 0=a(3－1) ＋3 解得: 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 3 O y=－4(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
数形结合 双壁辉映
曾鹏志
顶点式确定二次函数
知识回顾
用待定系数法求二次函数的解析式 常见类型
本节重点 运用
1.顶点式：y a( x h) k (a 0)
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
2.3 二次函数表达式的三种形式 课件(共21张PPT)
轴（交其点中的x1横, 坐x2标是）抛，物选线交与点x式轴：交y 点 (的x 横x坐1)(标x ）x2 )
但不论何种形式，最后都化为一般形x1 式。
2.抛物线y=ax²+bx+c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点， 求抛物线的解析式．
3.二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(－2，5)，且当 x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并 判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．
4.抛物线y=ax²+bx+c经过(0，0)，(12，0)两点，其 顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解x1 析式．(要 求用多种方法)
• 求二次函数表达式的方法有很多，今 天主要学习用待定系数法来求二次函 数的表达式（解析式）
• 2015已知二次函数的图象与y轴的交点为C， 与x轴正半轴的交点为A．且．tan ACO 1
4
• (1)求二次函数的解析式；
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
• 3.交点式：y a(x x1)(x x2 ) (a 0)
一般式 y ax2 bx c(a )
例题1 (1) 已知二次函数图象经过点A(-1,0), B（4，5），C（0，－3），求该二次函
数的表达式．
(2) (2015牡丹江)抛物线y=x²+bx+c经过 点A(1,-4),B(3,0).求此抛物线的解析式.
二、顶点式 y a(x h)2 k
例题1 (1)(2013绥化)若二次函数图像的顶点坐 标为(-2,3），且过点（－3,5）,求此二次 函数的解析式。
初中数学_确定二次函数的表达式教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3（1）确定二次函数的表达式教学设计一、教学目标经历用待定系数法求二次函数关系式的过程，加深对二次函数的理解，二、教学重点和难点重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式. 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.三、教学过程（一）复习回顾：1.二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数y=ax ²+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数xk y =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件. 如果要确定二次函数的关系式y=ax ²+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?（二）初步探索1、已知二次函数2ax y =的图象经过点A （2，-3）、B （3，m ）（1）求a 与m 的值；（2）写出该图象上点B 的对称点的坐标：_________（3）当x_________时，y 随x 的增大而减小（4）当x_________时，y 有最_________值，是_________。
2.已知二次函数c ax y +=2的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求二次函数的表达式3.已知二次函数bx ax y +=2的图象经过点(1,2)、(2,3),求二次函数的表达式.4.已知二次函数c bx x y ++=2图象经过点M (1，—2)、N(—1，6)，求二次函数的表达式.探索1：在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？小结：用一般式y=ax ²+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.（三）深入探索5.如图是一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)的图象，你能求出其 表达式吗？6.已知二次函数的图象与y 轴的交点的横纵坐标是为1，且经过点M(2,5)、N(-2,13)，（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.（3）求这个二次函数的最大值或最小值。
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式之答禄夫天创作学生：时间：学习目标1、熟悉罕见的二次函数的图像；2、理解二次函数的三种表达式知识点分析1、.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]2、一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
例题精讲例题1已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）A ．0＜－ab 2＜1 B ．0＜－ab 2＜2 C ．1＜－ab 2＜2D ．－a b2=1图①图②y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是A.y =21(x －1)2+2B.y =21(x －1)2+21 C.y =21(x －1)2－3D.y =21(x +2)2－1y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都y =xy =－x 上 xy 轴上n ，得到分歧的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)图37.下列说法错误的是y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0 y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大y =2x 2，yx 2，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点8.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是A.43 B.－43C.45D.－45 9.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 110.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______.11.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.12.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.13.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.14.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______.15．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是； （2）当x=时，y=3；16．抛物线y=ax 2＋bx ＋c （c ≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是； （2）当x=时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y ＞0．17．已知抛物线y=－x 2＋（6－2k ）x ＋2k －1与y 轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．18．一根长为100m 的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．19．若两个数的差为3，若其中较大的数为x ，则它们的积y 与x 的函数表达式为，它有最值，即当x=时，y=．20．边长为12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长为x 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y （cm 2）与x （cm ）之间的函数表达式为．21．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为．22．抛物线y=x 2＋kx －2k 通过一个定点，这个定点的坐标为． 23．已知抛物线y=x 2＋x ＋b 2经过点（a ，－41）和（－a ，y 1），则y 1的值是．24．如图，图①是棱长为a 的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，依照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S ，解答下列问题：（1）依照要求填表：n 1 2 3 4 …s 1 3 6 …（2）写出当n=10时，S=．（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1)求抛物线的函数表达式. (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴. (3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,求出两条抛物线、 对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).
【思路点拨】(1)把点A,B,C的坐标代入抛物线表达式 y=ax2+bx+c,利用待定系数法求解即可. (2)把抛物线表达式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对 称轴即可. (3)根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积 等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.
2.5 用三种方式表示二次函数
确定二次函数表达式的一般方法:
已知条件 顶点和另一点的坐标 二次函数各项系数中的
一个和两点的坐标
三个点的坐标
选用表达式的形式 _顶__点__式__
_一__般__式__
_一__般__式__
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.确定二次函数的表达式需要三个条件.( √ ) 2.知道二次函数的顶点和另一点的坐标,只能用顶点式确定其 表达式.( × ) 3.在实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物 线.( × ) 4.要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上三个点的坐 标.( × )
【备选例题】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点的
横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是- 3 .
2
(1)确定抛物线的表达式.
(2)求出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)依题意抛物线的表达式可以转化为
y=a(x+1)(x-3)，
将点 ( 0 ， 3 ) 代入，得-3a=- 3 , 解得a= 1 ,
【自主解答】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点
A(0,3),B(3,0),C(4,3),
c3,
a1,
9a3bc0, 解得b4,
16a4bc3, c3,
所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对
称轴为直线x=2.
(3)如图,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP′=1, 阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积, 平行四边形A′APP′的面积=1×2=2,∴S阴影=2.
【想一想】 示范题2中能否用顶点式求抛物线的表达式?表达式应该怎样设? 代入时要注意什么问题? 提示:能用顶点式求抛物线的表达式. ∵抛物线经过点A(0,3)和C(4,3),∴其对称轴是直线x=2,∴抛 物线的表达式可设为y=a(x-2)2+k,代入时要把A,B两点或B,C两 点代入,代入A,C两点无法求出a和k.
点D的坐标为(4,5),
∴S△ABD=
1 2
AB·5=10.
【方法一点通】 由两个点的坐标确定二次函数的表达式的两种常见形式 1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式. 2.已知二次函数各项系数中的一个和任意两点的坐标,可用一 般式求二次函数的表达式.
知识点二 由三个点的坐标确定二次函数的表达式 【示范题2】(2013·佛山中考)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).
知识点一 由两个点的坐标确定二次函数的表达式 【示范题1】(2013·黑龙江中考)如图,抛物 线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两 点,交y轴于点E. (1)求此抛物线的表达式. (2)若直线y=x+1与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点F,连接DE, 求△DEF的面积.
【解题探究】(1)已知抛物线的二次项系数a=1,如何求出b,c的 值? 提示:把点A和点B的坐标代入二次函数的表达式,得到关于b,c 的方程组,解方程组即可求出b,c的值. (2)如果我们把EF作为底,如何作辅助线?再求出哪些条件就可 以求出△DEF的面积. 提示:过点D作DM⊥y轴于点M,先求出点D,E,F的坐标,再确定EF 和DM的长,即可求出△DEF的面积.
【尝试解答】(1)∵抛物线经过A(-1,0),B(3,0),
1 9－ 3 bbcc00 ,,解 得 cb － － 3 2,,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
(2)过点D作DM⊥y轴于点M,
根据题意得:
y
x2－2x－3,，
y x 1,
解得
xy11
－1, 0,
xy22
4, 5,
∴D(4,5),∴DM=4,
对于直线y=x+1,当x=0时,y=1,∴F(0,1);对于y=x2-2x-3,
当x=0时,y=-3,∴E(0,-3),∴EF=4,∴S△DEF=
1 2Байду номын сангаас
EF·DM=8.
【想一想】
示范题1中△ABD的面积是多少?
提示:∵AB=3-(-1)=4,
2
2
2
故y= 1 (x+1)(x-3),即y= 1 x2-x- 3 .
2
2
2
(2)因为y= 1 x2-x- 3 = 1 (x-1)2-2.
2
22
所以抛物线开口向上，对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1，-2).
【方法一点通】 “三式”巧定表达式 1.一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时, 可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式 为y=a(x-h)2+k(顶点式). 3.交点式:所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时, 则可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).