确定二次函数的表达式

点D的坐标为(4,5),
∴S△ABD=
1 2
AB·5=10.
【方法一点通】 由两个点的坐标确定二次函数的表达式的两种常见形式 1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式. 2.已知二次函数各项系数中的一个和任意两点的坐标,可用一 般式求二次函数的表达式.
知识点二 由三个点的坐标确定二次函数的表达式 【示范题2】(2013·佛山中考)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).
【备选例题】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点的
横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是- 3 .
2
(1)确定抛物线的表达式.
(2)求出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)依题意抛物线的表达式可以转化为
y=a(x+1)(x-3)，
将点 ( 0 ， 3 ) 代入，得-3a=- 3 , 解得a= 1 ,
2.5 用三种方式表示二次函数
确定二次函数表达式的一般方法:
已知条件 顶点和另一点的坐标 二次函数各项系数中的
一个和两点的坐标
三个点的坐标
Hale Waihona Puke Baidu
选用表达式的形式 _顶__点__式__
_一__般__式__
_一__般__式__
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.确定二次函数的表达式需要三个条件.( √ ) 2.知道二次函数的顶点和另一点的坐标,只能用顶点式确定其 表达式.( × ) 3.在实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物 线.( × ) 4.要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上三个点的坐 标.( × )
【尝试解答】(1)∵抛物线经过A(-1,0),B(3,0),
1 9－ 3 bbcc00 ,,解 得 cb － － 3 2,,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
(2)过点D作DM⊥y轴于点M,
根据题意得:
y

x2－2x－3,，
y x 1,
解得
xy11
称轴为直线x=2.
(3)如图,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP′=1, 阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积, 平行四边形A′APP′的面积=1×2=2,∴S阴影=2.
【想一想】 示范题2中能否用顶点式求抛物线的表达式?表达式应该怎样设? 代入时要注意什么问题? 提示:能用顶点式求抛物线的表达式. ∵抛物线经过点A(0,3)和C(4,3),∴其对称轴是直线x=2,∴抛 物线的表达式可设为y=a(x-2)2+k,代入时要把A,B两点或B,C两 点代入,代入A,C两点无法求出a和k.
2
2
2
故y= 1 (x+1)(x-3),即y= 1 x2-x- 3 .
2
2
2
(2)因为y= 1 x2-x- 3 = 1 (x-1)2-2.
2
22
所以抛物线开口向上，对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1，-2).
【方法一点通】 “三式”巧定表达式 1.一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时, 可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式). 2.顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式 为y=a(x-h)2+k(顶点式). 3.交点式:所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时, 则可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).
－1, 0,
xy22
4, 5,
∴D(4,5),∴DM=4,
对于直线y=x+1,当x=0时,y=1,∴F(0,1);对于y=x2-2x-3,
当x=0时,y=-3,∴E(0,-3),∴EF=4,∴S△DEF=
1 2
EF·DM=8.
【想一想】
示范题1中△ABD的面积是多少?
提示:∵AB=3-(-1)=4,
知识点一 由两个点的坐标确定二次函数的表达式 【示范题1】(2013·黑龙江中考)如图,抛物 线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两 点,交y轴于点E. (1)求此抛物线的表达式. (2)若直线y=x+1与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点F,连接DE, 求△DEF的面积.
【解题探究】(1)已知抛物线的二次项系数a=1,如何求出b,c的 值? 提示:把点A和点B的坐标代入二次函数的表达式,得到关于b,c 的方程组,解方程组即可求出b,c的值. (2)如果我们把EF作为底,如何作辅助线?再求出哪些条件就可 以求出△DEF的面积. 提示:过点D作DM⊥y轴于点M,先求出点D,E,F的坐标,再确定EF 和DM的长,即可求出△DEF的面积.
【自主解答】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点
A(0,3),B(3,0),C(4,3),
c3,
a1,
9a3bc0, 解得b4,
16a4bc3, c3,
所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对
(1)求抛物线的函数表达式. (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴. (3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,求出两条抛物线、 对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).
【思路点拨】(1)把点A,B,C的坐标代入抛物线表达式 y=ax2+bx+c,利用待定系数法求解即可. (2)把抛物线表达式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对 称轴即可. (3)根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积 等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.