2013年浙江省高考数学(理科)试题完美版
2013年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)
2013年浙江省高考数学试卷（理科）一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）B ．C．D．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）x k9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=_________．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_________cm3．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=_________．14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_________种（用数字作答）15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于_________．16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=_________．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于_________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．2013年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题目：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．24．（5分）（2013•浙江）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ=”的三角函数的图像与性质．φ=⇒f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数．f（x）为奇函数⇒f （0）=0⇒φ=kπ+，k∈Z．所以“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．解：若φ=，则f（x）=Acos（ωx+）⇒f（x）=Asin（ωx）（A＞0，ω＞0，x∈R）是奇函数；若f（x）是奇函数，⇒f（0）=0，∴f（0）=Acos（ω×0+φ）=Acosφ=0．∴φ=kπ+，k∈Z，不一定有φ=“f（x）是奇函数”是“φ=”必要不充分条件．故选B．本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵5．（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）图表型．根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+的值，利用裂项相消法易得答案．解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣．若该程序运行后输出的值是，则 2﹣=．∴a=4，6．（5分）（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A B．C．D．由题意结合sinα+cosα=1可解得sinα，和cosα，进而可得tanα，再代入二倍角的正切公式可得答案．解：∵，又sin2α+cos2α=1，联立解得，或故tanα==，或tanα=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．7．（5分）（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A∠ABC=90°B∠BAC=90°C AB=AC D AC=BC计算题；平面向量及应用．以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由题意可写出，，，，然后由结合向量的数量积的坐标表示可得关于x的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a，进而可判断解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查x k极小值还是极大值即可得结论．解：当k=2时，函数f（x）=（e x﹣1）（x﹣1）2．求导函数可得f'（x）=e x（x﹣1）2+2（e x﹣1）（x﹣1）=（x﹣1）（xe x+e x﹣2），∴当x=1，f'（x）=0，且当x＞1时，f'（x）＞0，当＜x＜1时，f'（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；在（，1）上是减函数，从而函数f（x）在x=1取得极小值．对照选项．故选C．本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．9．（5分）（2013•浙江）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A B．C．D．计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a，焦距为2c，则2a=，|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c=2=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选D．本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF|与|AF|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）（2013•浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）．设α，β是两个不同的平同理，若P2=fβ（P），得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2=fα[fβ（P）]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P，恒有PQ1=PQ2，∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直故选：A本题给出新定义，要求我们判定平面α与平面β所成角大小，着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角二、填空题目：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）（2013•浙江）设二项式的展开式中常数项为A，则A=﹣10．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：二项式的展开式的通项公式为 T r+1=••（﹣1）r•=（﹣1）r••．令=0，解得r=3，故展开式的常数项为﹣=﹣10，故答案为﹣10．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．（4分）（2013•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3．先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可．解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3．如图：V=V棱柱﹣V三棱锥=﹣×3=24（cm3）故答案为：24本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算．V椎体=Sh，V柱体=Sh．考查空间想象能力．13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．答案．解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在x=4，y=4时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几14．（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有480种（用数字作答）最后乘以2即可．解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A，当C在左边第2个位置时A A，当C在左边第3个位置时，有A A+A A，共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480种．故答案为：480．本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．15．（4分）（2013•浙江）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．圆锥曲线的定义、性质与方程．由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公16．（4分）（2013•浙江）△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=．压轴题；解三角形．作出图象，设出未知量，在△ABM中，由正弦定理可得sin∠AMB=，进而可得cosβ=，在RT△ACM中，还可得cosβ=，建立等式后可得a=b，再由勾股定理可得c=，而sin∠BAC═=，代入化简可得答案．解：如图设AC=b，AB=c，CM=MB=，∠MAC=β，在△ABM中，由正弦定理可得=，代入数据可得=，解得sin∠AMB=，故cosβ=cos（﹣∠AMC）=sin∠AMC=sin（π﹣∠AMB）=sin∠AMB=，而在RT△ACM中，cosβ==，故可得=，化简可得a4﹣4a2b2+4b4=（a2﹣2b2）=0，解之可得a=b，再由勾股定理可得a2+b2=c2，联立可得c=，故在RT△ABC中，sin∠BAC====，故答案为：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属中档题．17．（4分）（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．压轴题；平面向量及应用．由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的19．（14分）（2013•浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分．（1）当a=3，b=2，c=1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和．，求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若，求a：b：c．（2）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论．解：（1）由题意得ξ=2，3，4，5，6，P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；P（ξ=4）==；P（ξ=5）==；P（ξ=6）==．故所求ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6P（2）由题意知η的分布列为η 1 2 3PEη==Dη=（1﹣）2+（2﹣）2+（3﹣）2=．得，解得a=3c，b=2c，故a：b：c=3：2：1．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算能力，属20．（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，．M是AD 的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．计算题；空间位置关系与距离；空间角．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°．设∠BDC=θ，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式，最后在Rt△CHG中，根据正切的定义得出tan∠CHG==，从而得到tanθ=，由此可得∠BDC．（1）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ∵△ACD中，AQ=3QC且DF=3CF，∴QF∥AD且QF=AD∵△BDM中，O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OP∥AD且OP=AD∴OP∥QF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD；（2）过点C作CG⊥BD，垂足为G，过G作GH⊥BM于H，连接CH∵AD⊥平面BCD，CG⊂平面BCD，∴AD⊥CG又∵CG⊥BD，AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD，结合BM⊂平面ABD，得CG⊥BM∵GH⊥BM，CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH，可得BM⊥CH因此，∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角，可得∠CHG=60°设∠BDC=θ，可得Rt△BCD中，CD=BDcosθ=2cosθ，CG=CDsinθ=sinθcosθ，BG=BCsinθ=2sin2θRt△BMD中，HG==；Rt△CHG中，tan∠CHG==∴tanθ=，可得θ=60°，即∠BDC=60°本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大21．（15分）（2013•浙江）如图，点P（0，﹣1）是椭圆的一个顶点，C1的长轴是圆的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于两点，l2交椭圆C1于另一点D（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴．∴三角形ABD的面积．∴=，当且仅当时取等号，故所求直线l1的方程为．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能22．（14分）（2013•浙江）已知a∈R，函数f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x∈[0，2]时，求|f（x）|的最大值．小．解：（1）因为f（x）=x3﹣3x2+3ax﹣3a+3，所以f′（x）=3x2﹣6x+3a，故f′（1）=3a﹣3，又f（1）=1，所以所求的切线方程为y=（3a﹣3）x﹣3a+4；（2）由于f′（x）=3（x﹣1）2+3（a﹣1），0≤x≤2．故当a≤0时，有f′（x）≤0，此时f（x）在[0，2]上单调递减，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3﹣3a．当a≥1时，有f′（x）≥0，此时f（x）在[0，2]上单调递增，故|f（x）|max=max{|f（0）|，|f（2）|}=3a﹣1．当0＜a＜1时，由3（x﹣1）2+3（a﹣1）=0，得，．所以，当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极大值，极小值．故f（x1）+f（x2）=2＞0，．从而f（x1）＞|f（x2）|．所以|f（x）|max=max{f（0），|f（2）|，f（x1）}．当0＜a＜时，f（0）＞|f（2）|．又=故．当时，|f（2）|=f（2），且f（2）≥f（0）．又=．所以当时，f（x1）＞|f（2）|．故．当时，f（x1）≤|f（2）|．故f（x）max=|f（2）|=3a﹣1．综上所述|f（x）|max=．本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2013高考真题——(浙江卷)理科数学(解析版+Word版含答案)
数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的运用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则A.yxyx lg lg lg lg 222+=+ B.yxy x lg lg )lg(222∙=+C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙= 答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法； 6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tanA.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解能力；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00∙≥∙。
浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷--含答案
浙江省考试院2013年高考数学测试卷(理)测试卷姓名_____________ 准考证号__________________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{y | y ＝2x ，x ∈R }，则 R A ＝A ．∅B ． (－∞，0]C ．(0，＋∞)D ．R 2．已知a ，b 是实数，则“| a ＋b |＝| a |＋| b |”是“ab ＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．若函数f(x ) (x ∈R )是奇函数，函数g(x ) (x ∈R )是偶函数，则A ．函数f [g (x )]是奇函数B ．函数g [f (x )]是奇函数C ．函数f (x )⋅g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数4．设函数f (x )＝x 3－4x ＋a ，0＜a ＜2．若f (x )的三个零点为x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则A ．x 1＞－1B ．x 2＜0C ．x 2＞0D ．x 3＞25．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab 6．设数列{a n }．A ．若2n a ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列B ．若a n ⋅a n +2＝21n a +，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ⋅a n ＝2m +n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ⋅a n +3＝a n +1⋅a n +2，n ∈N *，则{a n }为等比数列7．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是ABCD8．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+-≥ 则2x＋y 的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．309．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为A B(第6题图)侧视图正视图俯视图侧视图俯视图侧视图正视图 俯视图侧视图俯视图 xy OA B F 1F 2(第9题图)C．2D10．如图，函数y＝f(x)的图象为折线ABC，设f1(x)＝f(x)，f n+1 (x)＝f[f n(x)]，n∈N*，则函数y＝f4(x)的图象为A．B．C．D．非选择题部分(共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2013年浙江省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年浙江省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i是虚数单位,则(－1＋i)(2－i)＝( )A.－3＋iB.－1＋3iC.－3＋3iD.－1＋iS)∪T＝( )2.(5分)设集合S＝{x|x＞－2},T＝{x|x2＋3x－4≤0},则(∁RA.(－2,1]B.(－∞,－4]C.(－∞,1]D.[1,＋∞)3.(5分)已知x,y为正实数,则( )A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB.2lg(x＋y)＝2lgx•2lgyC.2lgx•lgy＝2lgx＋2lgyD.2lg(xy)＝2lgx•2lgy4.(5分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )A.a＝4B.a＝5C.a＝6D.a＝76.(5分)已知,则tan2α＝( )A. B. C. D.7.(5分)设△ABC,P是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( )A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝ACD.AC＝BC8.(5分)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2),则( )A.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极大值9.(5分)如图F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A. B. C. D.10.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B＝fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1＝fβ[fα(P)],Q2＝fα[fβ(P)],恒有PQ1＝PQ2,则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A＝.12.(4分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3.13.(4分)设z＝kx＋y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k＝.14.(4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答)15.(4分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|＝2,则直线l的斜率等于.16.(4分)△ABC中,∠C＝90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC＝.17.(4分)设、为单位向量,非零向量＝x＋y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)在公差为d的等差数列{an }中,已知a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,an；(Ⅱ)若d＜0,求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.19.(14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a＝3,b＝2,c＝1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a：b：c.20.(15分)如图,在四面体A－BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD＝2,BD＝2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°,求∠BDC的大小.21.(15分)如图,点P(0,－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.22.(14分)已知a∈R,函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.2013年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知i是虚数单位,则(－1＋i)(2－i)＝( )A.－3＋iB.－1＋3iC.－3＋3iD.－1＋i【分析】直接利用两个复数代数形式的乘法法则,以及虚数单位i的幂运算性质,运算求得结果.【解答】解：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i＋1＝－1＋3i,故选：B.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.S)∪T＝( )2.(5分)设集合S＝{x|x＞－2},T＝{x|x2＋3x－4≤0},则(∁RA.(－2,1]B.(－∞,－4]C.(－∞,1]D.[1,＋∞)【分析】先根据一元二次不等式求出集合T,然后求得∁S,再利用并集的定义求出结果.R【解答】解：∵集合S＝{x|x＞－2},S＝{x|x≤－2},∴∁RT＝{x|x2＋3x－4≤0}＝{x|－4≤x≤1},S)∪T＝{x|x≤1}故(∁R故选：C.【点评】此题属于以一元二次不等式的解法为平台,考查了补集及并集的运算,是高考中常考的题型.在求补集时注意全集的范围.3.(5分)已知x,y为正实数,则( )A.2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB.2lg(x＋y)＝2lgx•2lgyC.2lgx•lgy＝2lgx＋2lgyD.2lg(xy)＝2lgx•2lgy【分析】直接利用指数与对数的运算性质,判断选项即可.【解答】解：因为a s＋t＝a s•a t,lg(xy)＝lgx＋lgy(x,y为正实数),所以2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx•2lgy,满足上述两个公式,故选：D.【点评】本题考查指数与对数的运算性质,基本知识的考查.4.(5分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0,ω＞0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】φ＝⇒f(x)＝Acos(ωx＋)⇒f(x)＝－Asin(ωx)(A＞0,ω＞0,x∈R)是奇函数.f(x)为奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝kπ＋,k∈Z.所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”必要不充分条件.【解答】解：若φ＝,则f(x)＝Acos(ωx＋)⇒f(x)＝－Asin(ωx)(A＞0,ω＞0,x∈R)是奇函数；若f(x)是奇函数,⇒f(0)＝0,∴f(0)＝Acos(ω×0＋φ)＝Acosφ＝0.∴φ＝kπ＋,k∈Z,不一定有φ＝“f(x)是奇函数”是“φ＝”必要不充分条件.故选：B.【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数性质的灵活运用.5.(5分)某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则( )A.a＝4B.a＝5C.a＝6D.a＝7【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S＝1＋＋…＋的值,利用裂项相消法易得答案.【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S＝1＋＋…＋＝1＋1－＝2－.若该程序运行后输出的值是,则 2－＝.∴a＝4,故选：A.【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中分析出程序的功能是解答的关键.6.(5分)已知,则tan2α＝( )A. B. C. D.【分析】由题意结合sin2α＋cos2α＝1可解得sinα,和cosα,进而可得tanα,再代入二倍角的正切公式可得答案.【解答】解：∵,又sin2α＋cos2α＝1,联立解得,或故tanα＝＝,或tanα＝3,代入可得tan2α＝＝＝－,或tan2α＝＝＝故选：C.【点评】本题考查二倍角的正切公式,涉及同角三角函数的基本关系,属中档题.7.(5分)设△ABC,P是边AB上一定点,满足,且对于边AB上任一点P,恒有则( )A.∠ABC＝90°B.∠BAC＝90°C.AB＝ACD.AC＝BC【分析】设||＝4,则||＝1,过点C作AB的垂线,垂足为H,在AB上任取一点P,设HP0＝a,则由数量积的几何意义可得||2－(a＋1)||＋a≥0恒成立,只需△＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0即可,由此能求出△ABC是等腰三角形,AC＝BC.【解答】解：设||＝4,则||＝1,过点C作AB的垂线,垂足为H,＝a,则由数量积的几何意义可得,在AB上任取一点P,设HP＝||•||＝||2－(a＋1)||,•＝－a,于是•≥••恒成立,整理得||2－(a＋1)||＋a≥0恒成立,只需△＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0即可,于是a＝1,因此我们得到HB＝2,即H是AB的中点,故△ABC是等腰三角形,所以AC＝BC.故选：D.【点评】本题主要考查了平面向量的运算,向量的模及向量的数量积的概念,向量运算的几何意义的应用,还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力8.(5分)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2),则( )A.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极小值B.当k＝1时,f(x)在x＝1处取得极大值C.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极小值D.当k＝2时,f(x)在x＝1处取得极大值【分析】通过对函数f(x)求导,根据选项知函数在x＝1处有极值,验证f'(1)＝0,再验证f(x)在x＝1处取得极小值还是极大值即可得结论.【解答】解：当k＝1时,函数f(x)＝(e x－1)(x－1).求导函数可得f'(x)＝e x(x－1)＋(e x－1)＝(xe x－1),f'(1)＝e－1≠0,f'(2)＝2e2－1≠0,则f(x)在在x＝1处与在x＝2处均取不到极值,当k＝2时,函数f(x)＝(e x－1)(x－1)2.求导函数可得f'(x)＝e x(x－1)2＋2(e x－1)(x－1)＝(x－1)(xe x＋e x－2),∴当x＝1,f'(x)＝0,且当x＞1时,f'(x)＞0,当x0＜x＜1时(x为极大值点),f'(x)＜0,故函数f(x)在(1,＋∞)上是增函数；在(x,1)上是减函数,从而函数f(x)在x＝1取得极小值.对照选项. 故选：C.【点评】本题考查了函数的极值问题,考查学生的计算能力,正确理解极值是关键.9.(5分)如图F1、F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )A. B. C. D.【分析】不妨设|AF1|＝x,|AF2|＝y,依题意,解此方程组可求得x,y的值,利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率.【解答】解：设|AF1|＝x,|AF2|＝y,∵点A为椭圆C1：＋y2＝1上的点,∴2a＝4,b＝1,c＝；∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝4,即x＋y＝4；①又四边形AF1BF2为矩形,∴＋＝,即x2＋y2＝(2c)2＝＝12,②由①②得：,解得x＝2－,y＝2＋,设双曲线C2的实轴长为2m,焦距为2n,则2m＝|AF2|－|AF1|＝y－x＝2,2n＝2c＝2,∴双曲线C2的离心率e＝＝＝.故选：D.【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.(5分)在空间中,过点A作平面π的垂线,垂足为B,记B＝fπ(A).设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P,Q1＝fβ[fα(P)],Q2＝fα[fβ(P)],恒有PQ1＝PQ2,则( )A.平面α与平面β垂直B.平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C.平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【分析】设P1是点P在α内的射影,点P2是点P在β内的射影.根据题意点P1在β内的射影与P2在α内的射影重合于一点,由此可得四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α－l－β的平面角,根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直,得到本题答案.【解答】解：设P1＝fα(P),则根据题意,得点P1是过点P作平面α垂线的垂足∵Q1＝fβ[fα(P)]＝fβ(P1),∴点Q1是过点P1作平面β垂线的垂足同理,若P2＝fβ(P),得点P2是过点P作平面β垂线的垂足因此Q2＝fα[fβ(P)]表示点Q2是过点P2作平面α垂线的垂足∵对任意的点P,恒有PQ1＝PQ2,∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得,四边形PP1Q1P2为矩形,且∠P1Q1P2是二面角α－l－β的平面角∵∠P1Q1P2是直角,∴平面α与平面β垂直故选：A.【点评】本题给出新定义,要求我们判定平面α与平面β所成角大小,着重考查了线面垂直性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识,属于中档题.二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.(4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A＝－10 .【分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的系数等于0,求得r的值,即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr＋1＝••(－1)r•＝(－1)r••.令＝0,解得r＝3,故展开式的常数项为－＝－10,故答案为－10.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.12.(4分)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于24 cm3.【分析】先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可.【解答】解：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体,底面是直角三角形,直角边分别为3,4,侧面的高为5,被截取的棱锥的高为3.如图：V＝V棱柱－V棱锥＝＝24(cm3)故答案为：24.【点评】本题考查几何体的三视图及几何体的体积计算.V椎体＝Sh,V柱体＝Sh.考查空间想象能力.13.(4分)设z＝kx＋y,其中实数x,y满足,若z的最大值为12,则实数k＝ 2 .【分析】先画出可行域,得到角点坐标.再对k进行分类讨论,通过平移直线z＝kx＋y得到最大值点A,即可得到答案.【解答】解：可行域如图：由得：A(4,4),同样地,得B(0,2),z＝kx＋y,即y＝－kx＋z,分k＞0,k＜0两种情况.当k＞0时,目标函数z＝kx＋y在A点取最大值,即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大,即12＝4k＋4,得k＝2；当k＜0时,①当k＞－时,目标函数z＝kx＋y在A点(4,4)时取最大值,即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大,此时,12＝4k＋4,故k＝2.②当k时,目标函数z＝kx＋y在B点(0,2)时取最大值,即直线z＝kx＋y在y轴上的截距z最大,此时,12＝0×k＋2,故k不存在.综上,k＝2.故答案为：2.【点评】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.14.(4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有480 种(用数字作答)【分析】按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.【解答】解：按C的位置分类,在左1,左2,左3,或者在右1,右2,右3,因为左右是对称的,所以只看左的情况最后乘以2即可.当C在左边第1个位置时,有A,当C在左边第2个位置时,A和B有C右边的4个位置可以选,有A A,当C在左边第3个位置时,有A A＋A A,共为240种,乘以2,得480.则不同的排法共有480种.故答案为：480.【点评】本题考查排列、组合的应用,关键在于明确事件之间的关系,同时要掌握分类讨论的处理方法.15.(4分)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点,过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|＝2,则直线l的斜率等于不存在.【分析】由题意设直线l的方程为my＝x＋1,联立得到y2－4my＋4＝0,△＝16m2－16＝16(m2－1)＞0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y).利用根与系数的关系可得y1＋y2＝4m,利用中点坐标公式可得＝2m,x0＝my－1＝2m2－1.Q(2m2－1,2m),由抛物线C：y2＝4x得焦点F(1,0).再利用两点间的距离公式即可得出m及k,再代入△判断是否成立即可.【解答】解：由题意设直线l的方程为my＝x＋1,联立得到y2－4my＋4＝0,△＝16m2－16＝16(m2－1)＞0.设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y).∴y1＋y2＝4m,∴＝2m,∴x＝my－1＝2m2－1.∴Q(2m2－1,2m),由抛物线C：y2＝4x得焦点F(1,0).∵|QF|＝2,∴,化为m2＝1,解得m＝±1,不满足△＞0.故满足条件的直线l不存在.故答案为不存在.【点评】本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识,考查了推理能力和计算能力.16.(4分)△ABC中,∠C＝90°,M是BC的中点,若,则sin∠BAC＝.【分析】作出图象,设出未知量,在△ABM中,由正弦定理可得sin∠AMB＝,进而可得cosβ＝,在RT△ACM中,还可得cosβ＝,建立等式后可得a＝b,再由勾股定理可得c＝,而sin∠BAC═＝,代入化简可得答案.【解答】解：如图设AC＝b,AB＝c,CM＝MB＝,∠MAC＝β,在△ABM中,由正弦定理可得＝,代入数据可得＝,解得sin∠AMB＝,故cosβ＝cos(－∠AMC)＝sin∠AMC＝sin(π－∠AMB)＝sin∠AMB＝,而在RT△ACM中,cosβ＝＝,故可得＝,化简可得a4－4a2b2＋4b4＝(a2－2b2)2＝0,解之可得a＝b,再由勾股定理可得a2＋b2＝c2,联立可得c＝,故在RT△ABC中,sin∠BAC＝＝＝＝,另解：设∠BAM为α,∠MAC为β,正弦定理得BM：sinα＝AM：sin∠B BM：sinβ＝AM又有sinβ＝cos∠AMC＝cos(α＋∠B),联立消去BM,AM得sin∠Bcos(α＋∠B)＝sinα,拆开,将1化成sin2∠B＋cos2∠B,构造二次齐次式,同除cos2∠B,可得tanα＝,若,则cos∠BAM＝,tan∠BAM＝,解得tan∠B＝,cosB＝易得sin∠BAC＝.另解：作MD⊥AB交于D,设MD＝1,AM＝3,AD＝2,DB＝x,BM＝CM＝, 用△DMB和△CAB相似解得x＝,则cosB＝,易得sin∠BAC＝.故答案为：【点评】本题考查正弦定理的应用,涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用,属难题.17.(4分)设、为单位向量,非零向量＝x＋y,x、y∈R.若、的夹角为30°,则的最大值等于 2 .【分析】由题意求得＝,||＝＝,从而可得＝＝＝,再利用二次函数的性质求得的最大值.【解答】解：∵、为单位向量,和的夹角等于30°,∴＝1×1×cos30°＝.∵非零向量＝x＋y,∴||＝＝＝,∴＝＝＝＝,故当＝－时,取得最大值为2,故答案为 2.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,求向量的模,利用二次函数的性质求函数的最大值,属于中档题.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)在公差为d的等差数列{an }中,已知a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比数列.(Ⅰ)求d,an；(Ⅱ)若d＜0,求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.【分析】(Ⅰ)直接由已知条件a1＝10,且a1,2a2＋2,5a3成等比数列列式求出公差,则通项公式an可求；(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论,得到等差数列{an}的前11项大于等于0,后面的项小于0,所以分类讨论求d＜0时|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|的和.【解答】解：(Ⅰ)由题意得,即,整理得d2－3d－4＝0.解得d＝－1或d＝4.当d＝－1时,an ＝a1＋(n－1)d＝10－(n－1)＝－n＋11.当d＝4时,an ＝a1＋(n－1)d＝10＋4(n－1)＝4n＋6.所以an ＝－n＋11或an＝4n＋6；(Ⅱ)设数列{an }的前n项和为Sn,因为d＜0,由(Ⅰ)得d＝－1,an＝－n＋11.则当n≤11时,.当n≥12时,|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝.综上所述,|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝.【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念,考查了等差数列的通项公式,求和公式,考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力,是中档题.19.(14分)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.(1)当a＝3,b＝2,c＝1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.求ξ分布列；(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若,求a：b：c.【分析】(1)ξ的可能取值有：2,3,4,5,6,求出相应的概率可得所求ξ的分布列；(2)先列出η的分布列,再利用η的数学期望和方差公式,即可得到结论.【解答】解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6,P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝5)＝＝；P(ξ＝6)＝＝.Eη＝＝Dη＝(1－)2＋(2－)2＋(3－)2＝.得,解得a＝3c,b＝2c,故a：b：c＝3：2：1.【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念,同时考查抽象概括、运算能力,属于中档题.20.(15分)如图,在四面体A－BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD＝2,BD＝2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ＝3QC.(1)证明：PQ∥平面BCD；(2)若二面角C－BM－D的大小为60°,求∠BDC的大小.【分析】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF＝3CF,连接OP、OF、FQ.根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形,从而PQ∥OF,再由线面平行判定定理,证出PQ∥平面BCD；(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH.根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C－BM－D的平面角,可得∠CHG＝60°.设∠BDC＝θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式,最后在Rt△CHG中,根据正切的定义得出tan∠CHG＝＝,从而得到tanθ＝,由此可得∠BDC.【解答】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF＝3CF,连接OP、OF、FQ∵△ACD中,AQ＝3QC且DF＝3CF,∴QF∥AD且QF＝AD∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点∴OP∥DM,且OP＝DM,结合M为AD中点得：OP∥AD且OP＝AD∴OP∥QF且OP＝QF,可得四边形OPQF是平行四边形∴PQ∥OF∵PQ⊄平面BCD且OF⊂平面BCD,∴PQ∥平面BCD；(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH∵AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,∴AD⊥CG又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线∴CG⊥平面ABD,结合BM⊂平面ABD,得CG⊥BM∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH因此,∠CHG是二面角C－BM－D的平面角,可得∠CHG＝60°设∠BDC＝θ,可得Rt△BCD中,CD＝BDcosθ＝2cosθ,CG＝CDsinθ＝sinθcosθ,BG＝BCsinθ＝2sin2θRt△BMD中,HG＝＝；Rt△CHG中,tan∠CHG＝＝∴tanθ＝,可得θ＝60°,即∠BDC＝60°【点评】本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行,并且在已知二面角大小的情况下求线线角.着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识,属于中档题.21.(15分)如图,点P(0,－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.【分析】(1)由题意可得b＝1,2a＝4,即可得到椭圆的方程；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x,y).由题意可知：直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y＝kx－1.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|,又l2⊥l1,可得直线l2的方程为x＋kx＋k＝0,与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标,即可得出|PD|,即可得到三角形ABD的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值,即得到k的值.【解答】解：(1)由题意可得b＝1,2a＝4,即a＝2.∴椭圆C1的方程为；(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x,y).由题意可知：直线l1的斜率存在,设为k,则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆的圆心O(0,0)到直线l1的距离d＝. ∴|AB|＝＝.又l2⊥l1,故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0,联立,消去y得到(4＋k2)x2＋8kx＝0,解得,∴|PD|＝.∴三角形ABD的面积S△＝＝,令4＋k2＝t＞4,则k2＝t－4,f(t)＝＝＝,∴S△＝,当且仅,即,当时取等号,故所求直线l1的方程为.【点评】本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力.22.(14分)已知a∈R,函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值.【分析】(1)求出原函数的导函数,求出函数取x＝1时的导数值及f(1),由直线方程的点斜式写出切线方程；(2)求出原函数的导函数,分a≤0,0＜a＜1,a≥1三种情况求|f(x)|的最大值.特别当0＜a＜1时,仍需要利用导数求函数在区间(0,2)上的极值,然后在根据a的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小.【解答】解：(1)因为f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3,所以f′(x)＝3x2－6x＋3a,故f′(1)＝3a－3,又f(1)＝1,所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4；(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1),0≤x≤2.故当a≤0时,有f′(x)≤0,此时f(x)在[0,2]上单调递减,故|f(x)|max＝max{|f(0)|,|f(2)|}＝3－3a.当a≥1时,有f′(x)≥0,此时f(x)在[0,2]上单调递增,故|f(x)|max＝max{|f(0)|,|f(2)|}＝3a－1.当0＜a＜1时,由3(x－1)2＋3(a－1)＝0,得,.所以,当x∈(0,x1)时,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增；当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0,函数f(x)单调递减；当x∈(x2,2)时,f′(x)＞0,函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的极大值,极小值.故f(x1)＋f(x2)＝2＞0,.从而f(x1)＞|f(x2)|.所以|f(x)|max ＝max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.当0＜a＜时,f(0)＞|f(2)|.又＝故.当时,|f(2)|＝f(2),且f(2)≥f(0).又＝.所以当时,f(x1)＞|f(2)|.故.)≤|f(2)|.当时,f(x1＝|f(2)|＝3a－1.故f(x)max综上所述|f(x)|＝.max【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求闭区间上的最值,考查了分类讨论的数学思想方法,正确的分类是解答(2)的关键,此题属于难题.第21页，共21页。
2013年高考数学理(浙江卷)WORD版有答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n k k k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R = h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1， 已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=2， A ，3i -+ B ，13i -+ C ，33i -+ D ，1i -+3， 设集合{}{}22,340S x x T x x x =>-=+-≤，则()R C S T =U A ，(]2,1- B ，(],4-∞- C ，(],1-∞ D ，[)1,+∞3，已知,x y 为正实数，则A ，lg lg lg lg 222x y x y +=+ B ，()lg lg lg 222x y x y +=g C ，lg lg lg lg 222x yx y =+g D ，()lg lg lg 222xy x y =g 4，已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A ，充分不必要条件B ，必要不充分条件C ，充分必要条件D ，既不充分也不必要条件5，某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ，4a = B ，5a = C ，6a = D ，7a =6，已知,sin 2cos R ααα∈+=，则tan 2α= A ，43 B ，34 C ，34- D ，43- 7，设ABC V ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边 AB 上任一点，恒有00PB PC P B PC ≥uu r uu u r uuu r uuu r g g ，则 A ，90ABC ∠=o B ，90BAC ∠=o C ，AB AC = D ，AC BC =8，已知e 为自然对数的底数，设函数()()()()111,2k x f x e x k =--=，则A ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ，当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ，当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9，如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是A B C ，32 D ，210，在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记().B f A π=设,αβ是两个不同的平面，对空间任意一点P ，()()12,Q f f P Q f f P βααβ⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦，恒有12PQ PQ =，则A ，平面α与平面β垂直B ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为45oC ，平面α与平面β平行D ，平面α与平面β所成的（锐）二面角为60o2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．11，设二项式5的展开式中常数项为A ，则A = 12，某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm13，设z k x y =+，其中,x y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k =14，将,,,,,A B C D E F六个字母排成一排，且,A B 均在C 的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）15，设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若2FQ =，则直线l 的斜率等于 16，在ABC V 中，90C ∠=o ，M 是BC 的中点。
2013年高考理科数学浙江卷试题及答案解析
2013年浙江高考理科数学试题及答案解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则(R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题 【答案解析】C 因为(R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以(R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y=2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y=2lg x+2lg yD ．2lg(xy )=2lg x∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确 4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φR )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题 【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知αR ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43开始 S =1，k =1k >a ? S =S +1k (k +1)k =k+1输出S结束 是否 （第5题图）【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34. 7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．ABC =90B ．BAC =90 C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k(k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013浙江高考数学理科试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用一．选择题1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1 2．设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A ．(2,1]- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 3．已知y x ,为正实数，则A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D.lg()lg lg 222xy x y =⋅4．已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a6．已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-（第5题图）7．设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅。
则A. 090=∠ABCB. 090=∠BACC. AC AB =D.BC AC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数)2,1()1)(1()(=--=k x e x f kx，则A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
2013年浙江省高考理科数学试卷及答案(word解析版)
浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题（第5题图）【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 22=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB|2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013年浙江省高考数学(理科)试题精校版(word版)(含答案)
2013年浙江省高考数学（理科）试题校对版（word 版）（含答案）数学（理科）试题选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=A ．3i -+B ．13i -+C ．33i -+D ．1i -+2．设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃=A ．(21]-，B ．(4]-∞-，C ．(1]-∞，D ．[1)+∞， 3．已知x ，y 为正实数，则 A ．lg lg lg lg 222x yx y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+ D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则“()f x 是 奇函数”是“2πϕ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ．4a = B ．5a = C ．6a = D ．7a =6．已知R α∈，sin 2cos αα+=tan 2α= A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 7．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅ ．则A ．90ABC ∠=︒B ．30BAC ∠=︒ C ．AB AC =D ．AC BC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)xkf x e x k =--=，，则A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9．如图，1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦 点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是ABC ．32 D．210．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂直为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，1[()]Q f f P βα=，2[()]Q f f P αβ=，恒有12PQ PQ =，则 A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
2013年浙江高考理科数学试卷解析版
绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tanα−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P0B ∙→P0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属（第5题图）于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB|=4，则|→P0B|=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC=|→PH||→PB|=(|→PB| −(a +1))|→PB|，→P0B ∙→P0C=−|→P0H||→P0B|=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P0B ∙→P0C 恒成立，相当于(|→PB|−(a +1))|→PB|≥−a 恒成立，整理得|→PB|2−(a +1)|→PB|+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013年高考理科数学浙江卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至6页.满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时,请按照答题纸上“注意事项”的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试题卷上作答一律无效. 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24πS R = V Sh =球的体积公式其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 33π4V R =台体的体积公式其中R 表示球的半径 11221(S )3V h S S S =++锥体的体积公式其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,13V Sh =h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积,如果事件A ,B 互斥,那么h 表示锥体的高()()()P A B P A P B +=+选择题部分 （共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,则(i)(i 12)-+-=( )A .3+i -B .13i -+C .33i -+D .1i -+2.设集合{2}|S x x =>-,2{340}|T x x x =+-≤,则()S T =R( )A .(]2,1-B .(],4-∞-C .(1],-∞D .[1,)+∞ 3.已知x ,y 为正实数,则( )A .lg lg lg lg 222x y x y +=+B .lg()lg lg 222x y x y +=C .lg lg lg lg 222xyx y =+D .lg()lg lg 222xy x y =4.已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>∈>R ,则“()f x 是奇函数”是“2ϕπ=”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是95,则 ( )A .4a =B .5a =C .6a =D .7a =6.已知α∈R ,10sin 2cos 2αα+=,则tan2α=( )A .43B .34C .34-D .43-7.设ABC △,0P 是边AB 上一定点,满足014P B AB =,且对于AB 上任一点P ,恒有00PB PC P B P C ≥,则( )A .90ABC ∠=B .90BAC ∠= C .AB AC =D .AC BC =8.已知e 为自然对数的底数,设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=,则( )A .当1k =时,()f x 在1x =处取到极小值B .当1k =时,()f x 在1x =处取到极大值C .当2k =时,()f x 在1x =处取到极小值D .当2k =时,()f x 在1x =处取到极大值9.如图,12,F F 是椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C 的公共焦点,A ,B 分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形12AF BF 为矩形,则2C 的离心率为( )A .2B .3C .32D .6210.在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记()B f A π=.设α,β是两个不同的平面,对空间任意一点P ,1[()]Q f f P βα=,2[()]Q f f P αβ=,恒有12PQ PQ =,则( )A .平面α与平面β垂直B .平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C .平面α与平面β平行D .平面α与平面β所成的（锐）二面角为60-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）非选择题部分 （共100分）二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.11.设二项式531()x x-的展开式中常数项为A ,则A ＝_________.12.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,则此几何体的体积等于_________3cm .13.设z kx y =+,其中实数x ,y 满足20,240,240.x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥≥≤若z 的最大值为12,则实数k =_________.14.将A ,B ,C ,D ,E ,F 六个字母排成一排,且A ,B 均在C 的同侧,则不同的排法共有_________种(用数字作答).15.设F 为抛物线C ：24y x =的焦点,过点(1,0)P -的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,点Q为线段AB 的中点,若||2FQ =,则直线l 的斜率等于_________.16.在ABC △中,90C ∠=,M 是BC 的中点.若1in 3s BAM =∠,则sin BAC ∠=_________. 17.设1e ,2e 为单位向量,非零向量x y =+12b e e ,x y ∈R ,.若1e ,2e 的夹角为π6,则||||x b 的最大值等于_________.三、解答题：本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中,已知110a =,且1a ,222a ＋,35a 成等比数列. （Ⅰ）求d ,n a ；（Ⅱ）若0d <,求123||||||||n a a a a ++++.19.（本小题满分14分）设袋子中装有a 个红球,b 个黄球,c 个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.（Ⅰ）当3a =,2b =,1c =时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列；（Ⅱ）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若53E η=,59D η=,求a b c ::.20.(本题满分15分)如图,在四面体A BCD -中,AD ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,2AD =,22BD =.M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且3AQ QC =.（Ⅰ）证明：PQ ∥平面BCD ；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60,求BDC ∠的大小.21.(本题满分15分)如图,点(0,1)P -是椭圆1C ：22221()0x y a b a b +=>>的一个顶点,1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径.1l ,2l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于,A B 两点,2l 交椭圆1C 于另一点D .（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）求ABC △面积取最大值时直线1l 的方程.22.(本题满分14分)已知a ∈R ,函数32()3333f x x x ax a =-+-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当[0,2]x ∈时,求|()|f x 的最大值.数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】1+i 2i 2+i+2i+()()11+3i -=-=--，故选B ．【提示】直接利用两个复数代数形式的乘法法则，以及虚数单位i 的幂运算性质，运算求得结果【考点】复数代数形式的四则运算． 2.【答案】C【解析】∵集合|2{}S x x =>，∴{|2}x x S =≤-R ，由2+340x x -≤得：|41{}T x x =-≤≤，故(}1){|x x S T =≤R ，故选C ．【提示】先根据一元二次不等式求出集合T ，然后求得S R，再利用并集的定义求出结果．【考点】集合的基本运算． 3.【答案】D【解析】因为s t s t a a a +=，lg()lg +lg xy x y =(x ，y 为正实数)，所以lg()lg +lg lg lg 2222xy x y x y ==，满足上述两个公式，故选D ．【提示】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可． 【考点】指数幂运算． 4.【答案】B 【解析】若π2ϕ=，则()π()cos sin()2()f x A x f A x x ωω⇒=+=-()00A x ω>>∈R ，，是奇函数；若()f x 是奇函数⇒(0)0f =，∴(0)cos(0+)cos 0f A A ωϕϕ=⨯== .∴π+2k ϕπ=，k ∈Z ，不一定有π2ϕ=，“()f x 是奇函数”是“π2ϕ=”必要不充分条件．故选B ．【提示】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件． 【考点】三角函数的性质，三角函数的诱导公式．5.【答案】A【解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出111112(1)1+++1+1++121a a a a S ⨯+=⋯=-=-．若该程序运行后输出的值是95，则192+15a -=．∴4a =，故选A ． 【提示】根据已知流程图可得程序的功能是计算111112(1)1+++1+1++121a a a a S ⨯+=⋯=-=-的值，利用裂项相消法易得答案．【考点】循环结构的程序框图． 6.【答案】C【解析】∵sin +2co s 2αα=，又22sin +cos 1αα=，联立解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故si ta 1s n n co 3ααα=-=或tan 3α=， 代入可得22122tan 33ta 1tan 4113n2ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=或222tan 2331tan tan2134ααα⨯==---=．故选C ． 【提示】由题意结合22sin +cos 1αα=可解得sin α，和cos α，进而可得tan α，再代入二倍角的正切公式可得答案．【考点】二倍角，三角函数的诱导公式． 7.【答案】D【解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，,()C a b ，0(),P x ，则01BP =，0()2,A -，()2,0B ，0()1,0P ，∴01,0()P B =，2(),0B x P =，(,)a C x b P =，01(,)a b P C =-，∵恒有00PB PC P B P C ≥，∴()(21)x a x a --≥-恒成立，整理可得2+2)++10(a x a x ≥-恒成立，∴()()2+24+10a a -∆=≤，即20a ∆=≤，∴0a =，即C 在AB 的垂直平分线上，∴AC BC =，故△ABC 为等腰三角形，故选D ．【提示】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设4AB =，,()C a b ，0(),P x ，然后由题意可写出0P B ，PB ，PC ，0P C ，然后由00PB PC P B P C≥结合向量的数量积的 坐标表示可得关于x 的二次不等式，结合二次不等式的知识可求a ，进而可判断．【考点】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算． 8.【答案】C【解析】当2k =时，函数2()(e 1)(1)x f x x =--．求导函数可得2()e (1)+2(e 1)(1)(1)(e +e 2)x x x xf x x x x x '=---=--，∴当1x =，()0f x '=，且当1x >时，()0f x '>，当112x <<时，()0f x '<，故函数()f x 在(1,+)∞上是增函数；在12,1⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，从而函数()f x 在1x =取得极小值．对照选项．故选C ．第8题图【提示】通过对函数()f x 求导，根据选项知函数在1x =处有极值，验证(1)0f '=，再验证()f x 在1x =处取得极小值还是极大值即可得结论．【考点】利用导数求函数的极值．9.【答案】D数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）【解析】1||AF x =，2||AF y =，x y <∵点A 为椭圆1C ：22+14xy =上的点，∴24a =，1b =，c =；∴12||+|24|AF AF a ==，即4x y +=①；又四边形12AF BF 为矩形，∴2221212||+||||AF AF F F =，即2222+(2)12x y c ===②，由①②得：22+4+12x y x y =⎧⎨=⎩，解得2x =，2y =+2x =+，y =-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c，则1212||||a AF AF y x =-==-12c =曲线2C的离心率11c a e ===．故选D ． 【提示】不妨设1||AF x =，2||AF y =，依题意22+4+12x y x y =⎧⎨=⎩，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得2C 的离心率． 【考点】椭圆和双曲线的简单几何性质． 10.【答案】A【解析】设1()P f P α=，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足，∵111[()]()Q f f P f P βαβ==，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足，同理，若2()P f P β=，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足，因此2[()]Q f f P αβ=表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足，∵对任意的点P ，恒有12PQ PQ =，∴点1Q 与2Q 重合于同一点，由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且112PQ P ∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，∵112PQ P ∠是直角，∴平面α与平面β垂直，故选A ．【提示】设1P 是点P 在α内的射影，点2P 是点P 在β内的射影．根据题意点1P在β内的射影与2P 在α内的射影重合于一点，由此可得四边形112PPQ P 为矩形，且112PQ P ∠是二面角α﹣l ﹣β的平面角，根据面面垂直的定义可得平面α与平面β垂直，得到本题答案．【考点】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角．非选择题部分二、填空题 11.【答案】-10【解析】二项式5的展开式的通项公式为1555362155C (1)(1)C r r r rrrr r T x xx---+=-=-．令15506r-=，解得3r =，故展开式的常数项为35C 10-=-.故答案为10-.【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值． 【考点】二项式定理． 12.【答案】24【解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =311134324(cm )234532V V V =⨯⨯⨯--=⨯⨯⨯⨯=棱柱三棱锥，故答案为：24.【提示】先根据三视图判断几何体的形状，再利用体积公式计算即可． 【考点】由三视图求几何体的表面积和体积． 13.【答案】2【解析】可行域如图：由2+40240x y x y -=⎧⎨--=⎩得：()4,4A ，同样地，得()0,2B ，（步骤1）① 当12k >-时，目标函数+z kx y =在4x =，4y =时取最大值，即直线+z kx y =在y 轴上的截距z 最大，此时，124+4k =，故2k =.（步骤2） ② 当12k ≤-时，目标函数+z kx y =在0x =，2y =时取最大值，即直线+z kx y =在y 轴上的截距z 最大，此时，120+2k =⨯，故k 不存在．综上，2k =.故答案为：2.（步骤3）【提示】先画出可行域，得到角点坐标．再对k 进行分类讨论，通过平移直线z kx y =+得到最大值点A ，即可得到答案． 【考点】二元线性规划求目标函数的最值． 14.【答案】480【解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．（步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A 120=种，当C 在左边第2个位置时2343A A 72=种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有23233323+48A A A A =种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有480种．故答案为：480.（步骤3）【提示】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可． 【考点】排列组合及其应用． 15.【答案】不存在【解析】由题意设直线l 的方程为+1my x =，联立2+14my x y x =⎧⎨=⎩得到24+40my y =-，（步骤1）22161611()06m m =--∆>=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(),Q x y ．∴12+4y y m =，∴12022y y y m +==，（步骤2） ∴200121x my m =-=-.∴2,(22)1Q m m -，（步骤3）由抛物线C ：24y x =得焦点()1,0F ．∵||2QF =，2，化为21m =，解得1m =±，不满足0∆>.故满足条件的直线l 不存在．（步骤4）数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）故答案为不存在．【提示】由题意设直线l 的方程为+1my x =，联立2+14my x y x=⎧⎨=⎩得到24+40my y =-，22161611()06m m =--∆>=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(),Q x y ．利用根与系数的关系可得12+4y y m =，利用中点坐标公式可得12022y y y m +==，200121x my m =-=-，2,(22)1Q m m -，由抛物线C ：24y x =得焦点()1,0F ．再利用两点间的距离公式即可得出m 及k ，再代入∆判断是否成立即可． 【考点】直线与抛物线的位置关系．16.【解析】如图，设AC b =，AB c =，2aCM MB ==，MAC β∠=，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin a c BAM AMB =∠∠，代入数据可得213sin a c AMB =∠，解得2sin 3cAMB a∠=，（步骤1）故()π2cos cos sin sin πsin 23c AMC AMC AMB AMB a β⎛⎫=-∠=∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，而在Rt ACM △中，cos AC AM β=23ca =， 化简可得44222224+4)20(a a b b a b=-=-，解之可得a ，（步骤2） 再由勾股定理可得222+a b c =，联立可得c =， 故在Rt ABC △中，sin BC a AB BA c C ====∠， （步骤3）【提示】作出图象，设出未知量，在ABM △中，由正弦定理可得2sin 3cAMB a∠=，进而可得2cos 3c a β=，在Rt ACM △中，还可得cos AC AMβ==，建立等式后可得a ，再由勾股定理可得c =，而sin BAC BC aAB c∠==，代入化简可得答案． 【考点】正弦定理和余弦定理解三角形． 17.【答案】2【解析】∵1e ，2e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30︒，（步骤1） ∴1211cos30e e =⨯⨯︒=∵非零向量12+b xe ye =，（步骤2）∴22212||+2+b b x xye e y x ===3）∴22|||||+3+x b x x x y y ==⎛⎫ ⎪⎝⎭故当x y =||||x b 取得最大值为2，故答案为2.（步骤4） 【提示】由题意求得1232e e =，22212||+2+b b x xye e yx ===从而可得22||1||+3+x b x x x y y ==⎛⎫ ⎪⎝⎭再利用二次函数的性质求得||||x b 的最大值．【考点】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质． 三、解答题18.【答案】（Ⅰ）414+611n nd d a n a n ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或 （Ⅱ）2(21),(111)221+220,(12)2n n n n n n -⎧≤≤⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩【解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(2+2)54(++1)50(2)(11+)25(5+)a a a a d a d d d =⇒=+⇒=2241121+22+125+253404+611n nd d d d d d d a n a n ==-⎧⎧⇒=⇒--=⇒⎨⎨==-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n ≤≤时，n a ≥123123(10+11)(21)||+||+||++||++++22n n n n n n a a a a a a a a --∴===（步骤2）②当12n ≤时，0n a ≤123123111213||+||+||++||++++(+++)n n a a a a a a a a a a a ∴=-21231112311(2111)(21)21+2202(++++)(++++)2222n n n n n a a a a a a a a ---=-=⨯-=所以，综上所述：1232(21),(111)2||+||+||++||21+220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩；（步骤3）【提示】（Ⅰ）直接由已知条件110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列列式求出公差，则通项公式n a 可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{}n a 的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求0d <时123||+||+||++||n a a a a 的和．【考点】等差数列的通项公式和．（Ⅱ）3:2:1【解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)++66666618P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)+66663P ξ⨯⨯===⨯⨯；（步骤3）数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)+66669P ξ⨯⨯===⨯⨯；（步骤4） 当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)6636P ξ⨯===⨯；（步骤5）ηη所以：222523++35552531+2+39333a b c E a b c a b c a b c a b c D a b c a b c a b c ηη⎧==⎪++++++⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪==-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 所以2b c =，3a c =::3:2:1a b c ∴=．（步骤6）【提示】（Ⅰ）ξ的可能取值有：2，3，4，5，6，求出相应的概率可得所求ξ的分布列； （Ⅱ）先列出η的分布列，再利用η的数学期望和方差公式，即可得到结论． 【考点】随机事件与概率，期望和方差．20.【答案】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点， 所以3AF FD =．因为P 是BM 中点，所以PF BD ∥；（步骤1） 又因为3AQ QC =且3AF FD =， 所以QF CD ∥，所以PQF BDC 面∥面，且PQ PQF ⊂面， 所以PQ BDC ∥面；（步骤2）方法二：如图所示，取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ∥；取CD 的三等分点H ，使3DH CH =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD ∥∥，（步骤1）所以PO QH ∥四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴，且OH BCD ⊂面，所以PQ BDC ∥面；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，由已知得到ADB BDC ⊥面面，过C 作CG BD ⊥于G ， 所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ， 所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM =，设BDC α∠=，所以cos CD BD α=，sin CG CBCD CDBDαα==⇒=，sin CG αα=，BC α=，在Rt BCG △中，BCG α∠=sin BGBCα∴=2BG α∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △13=HG ∴=， 所以在Rt CHG △中：tan tan 60CG CHG HG ∠=︒===（步骤5） tan α∴=(0,90)α∴∈︒60α∴=︒60BDC ∴∠=︒；（步骤6）【提示】（Ⅰ）取BD 的中点O ，在线段CD 上取点H ，使得3DF CH =，连接OP 、OH 、FQ ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQH 是平行四边形，从而PO QH ∥，再由线面平行判定定理，证出PQ BCD∥平面．（Ⅱ）过点C 作CG BD ⊥，垂足为G ，过G GH BM H ⊥作于，连接CH ．根据线面垂直的判定与性质证出BM CH ⊥，因此CHG ∠是二面角C BM D --的平面角，可得60CHG ∠=︒．设BDC θ∠=，用解直角三角形的方法算出HG 和CG 关于θ的表达式，最后在Rt CHG △中，根据正切的定义得出tan CGCHG GH ∠=，从而得到tan θ=BDC ∠【考点】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角．21.【答案】（Ⅰ）22+1x y =（Ⅱ）1:1l y =-【解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且24a =2a ∴=，所以椭圆的方程是22+14x y =；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=， 直线21:1++0l y x x ky k k=--⇒=，数学试卷 第19页（共21页） 数学试卷 第20页（共21页） 数学试卷 第21页（共21页）所以圆心(0,0)到直线1:110l y kx kx y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆22+4x y =所截的弦AB =；（步骤3）由22222++0+4+80+14x ky k k x x kx x y =⎧⎪⇒=⎨=⎪⎩，（步骤4）所以28++4D P k x x k =-||DP ∴=，（步骤5） 所以222114||||22+4+44+3+13ABD S AB DP k k k ⨯====△232==≤=（步骤6）252k k =⇒=⇒=1:12l y x =±-（步骤7）【提示】（Ⅰ）由题意可得1b =，且24a =，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:1++0l y x x ky k k=--⇒=.利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O 到直线1l 的距离和弦长||AB ，2l 与椭圆的方程联立即可得到点D 的横坐标，即可得出||PD ，即可得到三角形ABD 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k 的值．【考点】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系． 22.【答案】（Ⅰ）3(1)430a x y a --+-=（Ⅱ）max 33,(0)3|()|1+2(104331,4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】（Ⅰ）由已知得：2()36+3f x x x a '=-(1)33f a '∴=-，且(1)13+3+331f a a =--=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)+430a x y a ---=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()36+33[(2)+]f x x x a x x a '=-=-，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -≤，（步骤2）（1）当0a ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为(0)3(1)f a =-，(2)31f a =-(2)0(0)f f ∴<<max |()|(0)33f x f a ==-；（步骤4）（2）当440a ∆=-≤，即1a ≥时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为(0)3(1)f a =-，(2)31f a =-(0)0(2)f f ∴<<max |()|(2)31f x f a ∴==-；（步骤6）（3）当440a ∆=->，即01a <<时，2()3630f x x x a '=-+=11x ∴=，21x =，且02x x<<<所以1()1+2(1f x a =-2()12(1f x a =--12()+()20f x f x ∴=>，312()()14(1)0f x fx a =--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8）由(0)(2)33310f f a a -=--+>203a ∴<<，所以（ⅰ）当203a <<时，(0)|(2)|f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)1+2(13+32(1(23)f x f a a a a -=-=--=， 又因为203a <<，所以230a ->，340a ->，所以1()(0)0f x f ->， 所以max 1|()|()1+2(1f x f x a ==-（步骤10）（ⅱ）当213a ≤<时，(2)0f >，(0)0f <，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =， 因为21()(2)1+2(13+12(1(32)f x f a a a a -=-=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定， 所以①当2334a <<时，340a ->，所以1()|(2)|f x f >， 所以此时max 1|()|()1+2(1f x f x a ==-；（步骤11） ②当314a ≤<时，340a -<，所以1()|(2)|f x f ≤，所以此时max |()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|1+2(104331,4a a f x a a a a ⎧⎪-≤⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（步骤13） 【提示】（Ⅰ）求出原函数的导函数，求出函数取1x =时的导数值及(1)f ，由直线方程的点斜式写出切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，分0a ≤，011a a <<≥，三种情况求|()|f x 的最大值．特别当01a <<时，仍需要利用导数求函数在区间(0,2)上的极值，然后在根据a 的范围分析区间端点值与极值绝对值的大小． 【考点】利用导数求函数的最值问题．。
2013年高考理科数学浙江卷试题与答案word解析版-推荐下载
x
1 3x
5
的展开式中常数项为
12．(2013 浙江，理 12)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm3.
13．(2013
数 k＝__________.
浙江，理
13)设
z＝kx＋y，其中实数
x，y
14．(2013 浙江，理 14)将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的
B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
x2 9．(2013 浙江，理 9)如图，F1，F2 是椭圆 C1： ＋y2＝1 与双曲线 C2 的
4
公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )．
BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝ 2 2 .M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线 段 AC 上，且 AQ＝3QC． (1)证明：PQ∥平面 BCD； (2)若二面角 C－BM－D 的大小为 60°，求∠BDC 的大小．
2013 浙江理科数学 第 3 页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年高考真题——理科数学(浙江卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）一．选择题：每小题5分，共50分。
1．已知i 是虚数单位，则()()12i i -+-=（ ）（A ）i +-3 （B ）i 31+- （C ）i 33+- （D ）i +-12．设集合{}|2S x x =>-，{}2|340T x x x =+-≤，则()R ST =ð（ ）（A ）(]2,1- （B ）(],4-∞- （C ）(],1-∞ （D ）[)1,+∞3．已知y x ,为正实数，则（ ） （A ）y x yx lg lg lg lg 222+=+（B ）()lg lg lg 222x y x y +=⋅ （C ）lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+ （D ）()lg lg lg 222xy x y =⋅4．已知函数()()()cos 0,0,f x A x A R ωϕωϕ=+>>∈，则“()f x 是奇函数”是2πϕ=的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则a =（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76．已知)sin 2cos 2R ααα+=∈，则=α2t a n （ ） （A ）34 （B ）43 （C ）43- （D ）34-7．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对边AB 上任一点P 恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则（ ） （A ）090=∠ABC （B ）090=∠BAC （C ）AC AB = （D ）BC AC =8．已知e 为自然对数的底数，设函数()()()()111,2kxf x e x k =--=，则（ ）（A ）当1=k 时，()f x 在1=x 处取得极小值 （B ）当1=k 时，()f x 在1=x 处取得极大值 （C ）当2=k 时，()f x 在1=x 处取得极小值 （D ）当2=k 时，()f x 在1=x 处取得极大值输出 Sk = k + 1S = S +1k k + 1 ()k > a ?S = 1 , k = 19．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点。
2013年浙江高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题1．已知i 是虚数单位，则(1i)(2i)-+-= （ ） A ．3i -+ B. 13i -+ C. 33i -+ D.1i -+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】求两个复数相乘的结果 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】(-1+i)(2-i)=- 2+i+2i+1=-1+3i ，故选B.2．设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-…，则()S T =R ð （ ） A ．(2,1]- B.]4,(--∞ C.]1,(-∞ D.),1[+∞ 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】用描述法给出两个集合求补集的并. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵集合S ={x |x ＞-2}，∴S R ð={x |x …-2}，由2x +3x -4…0得：T={x |-4…x …1}，故(S R ð) T ={x |x …1}，故选C.3．已知y x ,为正实数，则 （ ）A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.lg()lg lg 222x y x y += C.lg lg lg lg 222x yx y =+ D.lg()lg lg 222xy x y = 【测量目标】指数幂运算.【考查方式】给出指数型的函数，化简函数. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】因为s ta+=s a ta ，lg(xy )=lg x +lg y (x ，y 为正实数)，所以()lg 2xy =lg +lg 2x y=lg 2xlg 2y ，满足上述两个公式，故选D.4．已知函数()cos()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ，则“)(x f 是奇函数”是π2ϕ=的（ ）A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的性质，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出含参量的三角函数表达式，由函数是奇函数判断命题条件. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】若φ=π2，则f (x )=A cos(ωx +π2)⇒f (x )=-A sin(ωx )(A ＞0，ω＞0，x ∈R )是奇函数；若f (x )是奇函数⇒f (0)=0，∴f (0)=A cos(ω×0+φ)=A cos φ=0.∴φ=k π+π2，k ∈Z ，不一定有φ=π2，“f (x )是奇函数”是“φ=π2”必要不充分条件.故选B.5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 （ ）A.4=aB.5=aC. 6=aD.7=a第5题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图的输出值求输入的值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由已知可得该程序的功能是：计算并输出S =1+112⨯+…+1(1)a a +=1+1-11a +=2-11a +.若该程序运行后输出的值是95，则2-11a +=95.∴a =4，故选A.6．已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ，则=α2tan （ ） A.34 B. 43 C.43- D.34-【测量目标】二倍角，三角函数的诱导公式.【考查方式】给出正弦和余弦的方程求解二倍角的正切. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵sin α+2cos α，又2sin α+2cos α=1，联立解得sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,故tan α=sin cos αα =13-或tan α=3，代入可得tan2α=22tan 1tan αα-=212()311()3⨯---=34-或tan2α=22tan 1tan αα-=22313⨯-=34-.故选C.7．设0,ABC P △是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC….则 （ ） A. 90ABC ∠= B. 90BAC ∠=C. AC AB =D.BC AC =【测量目标】平面向量的算量积运算，向量的坐标运算.【考查方式】在三角形中给出定点在三角形中的位置，求定点与各顶点所成向量数量积的大小.【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设AB =4，C (a ，b )，P (x ，0),则0BP =1，A (-2，0)，B (2，0)，0P (1，0),∴0P B =(1，0)，PB =(2-x ，0)，PC =(a -x ，b )，0PC =(a -1，b ),∵恒有PB PC ≥00P B PC ,∴(2-x )(a -x )≥a -1恒成立,整理可得2x - (a +2)x +a +1≥0恒成立,∴Δ=()22a +-4(a +1)≤0,即Δ=2a ≤0,∴a =0，即C 在AB 的垂直平分线上,∴AC =BC ,故△ABC 为等腰三角形,故选D.第7题图8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(e 1)(1)(1,2)x k f x x k =--=，则 （ ） A ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值 B ．当1=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值C ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极小值D ．当2=k 时，)(x f 在1=x 处取得极大值【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出含未知量的函数表达式，判断函数何时取得极值. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当k =2时，函数f (x )=(e x-1)2(1)x -.求导函数可得()f x '=e x 2(1)x -+2(e x -1)(x -1)=(x -1)(x e x +e x -2)，∴当x =1，()f x '=0，且当x ＞1时，()f x '＞0，当12＜x ＜1时，()f x '＜0，故函数f (x )在(1，+∞)上是增函数；在(12，1)上是减函数，从而函数f (x )在x =1取得极小值.对照选项.故选C.第8题图9．如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是 （ ）第9题图A.2 B.3 C.23 D.26【测量目标】椭圆和双曲线的简单几何性质.【考查方式】椭圆和双曲线相交焦点和交点构成矩形，求双曲线的离心率. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】|1AF |=x ，|2AF |=y ，x y <∵点A 为椭圆1C ：24x +2y =1上的点，∴2a =4，b =1，c|1AF |+|2AF |=2a =4，即x +y =4①；又四边形12AF BF 为矩形，∴21AF +22AF =212F F ，即2x +2y =()22c=(2=12②，由①②得：22412x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =2-y2x y ==-，设双曲线2C 的实轴长为12a ，焦距为12c ，则12a =|2AF |-|1AF |=y -x12c=2C 的离心率e =11c a故选D. 10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记π()B f A =.设βα,是两个不同的平面，对空间任意一点P ，)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =，则（ ） A ．平面α与平面β垂直 B. 平面α与平面β所成的（锐）二面角为45C. 平面α与平面β平行D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60【测量目标】空间中点、线、面之间的位置关系，二面角. 【考查方式】给出两个平面判断面面之间的位置关系. 【难易程度】较难 【参考答案】A【试题解析】设1P =()f P α，则根据题意，得点1P 是过点P 作平面α垂线的垂足,∵1Q =()[]f f P βα=1()f P β，∴点1Q 是过点1P 作平面β垂线的垂足,同理，若2P =()f P β，得点2P 是过点P 作平面β垂线的垂足,因此2Q =()[]f f P αβ表示点2Q 是过点2P 作平面α垂线的垂足,∵对任意的点P ，恒有1PQ =2PQ ，∴点1Q 与2Q 重合于同一点,由此可得，四边形112PPQ P 为矩形，且∠112PQ P 是二面角α﹣l ﹣β的平面角,∵∠112PQ P 是直角，∴平面α与平面β垂直,故选A.第10 题图二、填空题 11．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出含根式的二项式，求解展开式中常数项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】-10【试题解析】二项式5的展开式的通项公式为 1r T +=5325C (1)rr r rx x --- =15565(1)C r rr x-- .令1556r-=0，解得r =3，故展开式的常数项为-35C =-10.故答案为-10.12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________3cm .第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积和体积. 【考查方式】给出几何体的三视图，求几何体的体积. 【难易程度】中等 【参考答案】24【试题解析】几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边分别为3，4，棱柱的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V =V 棱柱-V 三棱锥=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24(3cm ),故答案为：24.第12题图13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足20240240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，若z 的最大值为12，则实数=k ________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出可行域的不等式和目标函数的最大值，求目标函数中未知数的值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】可行域如图：由24=024=0x y x y -+⎧⎨--⎩得：A (4，4)，同样地，得B (0，2)，（步骤1）①当k ＞-12时，目标函数z =kx +y 在x =4，y =4时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=4k +4，故k =2. （步骤2） ②当k ≤-12时，目标函数z =kx +y 在x =0，y =2时取最大值，即直线z =kx +y 在y 轴上的截距z 最大，此时，12=0×k +2，故k 不存在.综上，k =2.故答案为：2. （步骤3）第13题图14．将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答） 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】给出六个字母和限定条件求排法的种数. 【难易程度】中等 【参考答案】480【试题解析】按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可. （步骤1）当C 在左边第1个位置时，有55A =120种，当C 在左边第2个位置时2343A A =72种，（步骤2）当C 在左边第3个位置时，有2333A A +2323A A =48种，共为240种，乘以2，得480.则不同的排法共有 480种.故答案为：480. （步骤3）15．设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点)0,1(-P 的直线l 交抛物线C 于两点B A ,，点Q为线段AB 的中点，若2||=FQ ，则直线l 的斜率等于________. 【测量目标】直线与抛物线的位置关系.【考查方式】给出抛物线方程和直线过的定点和直线与抛物线交线的长度求直线斜率. 【难易程度】较难 【参考答案】不存在【试题解析】由题意设直线l 的方程为my =x +1，联立214my x y x=+⎧⎨=⎩得到2y -4my +4=0，（步骤1）Δ=162m -16=16(2m -1)＞0.设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，Q (0x ，0y ).∴1y +2y =4m ，∴0y =122y y +=2m ，（步骤2）∴0x =m 0y -1=22m -1.∴Q (22m -1，2m )，（步骤3）由抛物线C ：2y =4x 得焦点F (1，0).∵|QF |=2=2，化为2m =1，解得m =±1，不满足Δ＞0.故满足条件的直线l 不存在. （步骤4）故答案为不存在. 16.ABC △中，90C ∠= ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________. 【测量目标】正弦定理和余弦定理解三角形.【考查方式】直角三角形中直角边的中点，求三角形中角的正弦值. 【难易程度】较难【参考答案】3【试题解析】如图,设AC =b ，AB =c ，CM =MB =2a，∠MAC =β，在△ABM 中，由正弦定理可得2sin sin ac BAM AMB=∠∠，代入数据可得21sin 3a c AMB =∠，解得2sin 3c AMB a ∠=，（步骤1）故πcos cos 2AMC β⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭=sin AMC ∠=()2sin πsin 3c AMB AMB a -∠=∠=，而在Rt △ACM 中，cos β=AC AM =23ca =，化简可得a 4-4a 2b 2+4b 4=(a 2-2b 2)=0，解之可得a，（步骤2）再由勾股定理可得a 2+b 2=c 2，联立可得c，故在Rt △ABC 中，sin ∠BAC=BC a AB c ===骤3）第16题图17．设12,e e 为单位向量，非零向量12x y +b =e e ，,x y ∈R ，若12,e e 的夹角为π6，则||||x b 的最大值等于________.【测量目标】向量模的计算，向量的数量积，不等式性质. 【考查方式】给出单位向量和非零向量，求向量模的比值. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】∵12,e e 为单位向量，1e 和2e 的夹角等于30°，（步骤1）∴12 e e =1×1×cos30°=2.∵非零向量12x y +b =e e ，（步骤2）∴===b （步骤3）∴x====b故当x y=x b取得最大值为2，故答案为 2. （步骤4） 三、解答题18．在公差为d 的等差数列}{n a 中，已知101=a ，且3215,22,a a a +成等比数列.（1）求n a d ,； （2）若0<d ，求.||||||||321n a a a a ++++【测量目标】等差数列的通项公式和.【考查方式】给出等比数列的首相和三项成等比数列，求通项公式，和前n 项绝对值和. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或；（步骤1）（Ⅱ）由（1）知，当0d <时，11n a n =-， ①当111n剟时，123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--∴++++=++++==…（步骤2）②当12n …时，1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)2ln 2202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n a a a a a a a a ∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=…所以，综上所述：1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧⎪⎪++++=⎨-+⎪⎪⎩ 剟…；（步骤3）19．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.（1）当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；（2）从该袋子中任取（且每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若95,35==ηηD E ，求.::c b a 【测量目标】随机事件与概率，期望和方差.【考查方式】有放回取样的分布列和已知期望和方差求个数比. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时2ξ=，此时331(2)664P ξ⨯===⨯；（步骤1）当两次摸到的球分别是黄黄，红蓝，蓝红时4ξ=，此时2231135(4)66666618P ξ⨯⨯⨯==++=⨯⨯⨯；（步骤2）当两次摸到的球分别是红黄，黄红时(3)P ξ=，此时32231(3)66663P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤3）当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时(5)P ξ=，此时12211(5)66669P ξ⨯⨯==+=⨯⨯；（步骤4）当两次摸到的球分别是蓝蓝时P (6ξ=)，此时111(6)P ξ⨯===；（步骤5）所以ξ的分布列是： 9所以：2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩，所以2,3::3:2:1b c a c a b c ==∴=.（步骤6）20．如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（1）证明：//PQ 平面BCD ；（2）若二面角D BM C --的大小为60，求BDC ∠的大小.第20题图【测量目标】空间直线与平面的位置关系，异面直线成角.【考查方式】给出四面体和直线间的位置和长度关系求解二面角大大小. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）方法一：如图，取MD 的中点F ，且M 是AD 中点，所以3AF FD =.因为P 是BM 中点，所以PF BD ；（步骤1）又因为3AQ QC =且3AF FD =，所以QF CD ，所以面PQF 面BDC ，且PQ ⊂面PQF ，所以PQ 面BDC ；（步骤2）第20题图方法二：如图所示，第20题图取BD 中点O ，且P 是BM 中点，所以12PO MD ；取CD 的三等分点H ，使3DH C H =，且3AQ QC =，所以1142QH AD MD，（步骤1）所以PO QH 四边形PQHO 是平行四边形PQ OH ∴ ，且OH BCD ⊂面，所以PQ 面BDC ；（步骤2） （Ⅱ）如图所示，第20题图由已知得到面ADB ⊥面BDC ，过C 作CG BD ⊥于G ，所以CG BMD ⊥面，过G 作GH BM ⊥于H ，连结CH ，所以CHG ∠就是C BM D --的二面角；（步骤3）由已知得到3BM ==，设BDC α∠=，所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===，在Rt BCG △中，2s i ns i n BG BCG BG BCααα∠=∴=∴=，（步骤4）所以在Rt BHG △中，13HG =∴=，所以在Rt CHG △中tan tan 603CG CHG HG ∠==== （步骤5）tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ；（步骤6）21．如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的一个顶点，1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程； （2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.第21题图【测量目标】直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系.【考查方式】给出定点和圆的方程，由直线与椭圆、圆的位置关系求椭圆方程和直线方程. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得到1b =，且242a a =∴=，所以椭圆的方程是2214x y +=；（步骤1）（Ⅱ）因为直线12l l ⊥，且都过点(0,1)P -，所以设直线1:110l y kx kx y =-⇒--=，直线21:10l yx x k y k k=--⇒++=，所以圆心(0,0)到直线1:110l yk x k x y =-⇒--=的距离为d =，（步骤2）所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；（步骤3）由2222248014x ky k k x x kx x y ++=⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，（步骤4） 所以228||44D P k x x DP k k +=-∴==++，（步骤5）所以11||||22444313ABDS AB DP k k k ====++++△23232===…（步骤6）当2522k k =⇒=⇒=±时等号成立，此时直线1:1l y x =-（步骤7） 22．已知a ∈R ，函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f（1）求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）当]2,0[∈x 时，求|)(|x f 的最大值. 【测量目标】利用导数求函数的最值问题.【考查方式】给出含有未知量的函数求函数的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得：2()363(1)33f x x x a f a ''=-+∴=-，且(1)13333f a a =-++-=，所以所求切线方程为：1(33)(1)y a x -=--，即为：3(1)430a x y a --+-=；（步骤1）（Ⅱ）由已知得到：2()3633[(2)]f x x x a x x a '=-+=-+，其中44a ∆=-，当[0,2]x ∈时，(2)0x x -…，（步骤2）（1）当0a …时，()0f x '…，所以()f x 在[0,2]x ∈上递减，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤3）因为max (0)3(1),(2)31(2)0(0)|()|(0)33f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤4） （2）当440a ∆=-…，即1a …时，()0f x '…恒成立，所以()f x 在[0,2]x ∈上递增，所以max |()|max{(0),(2)}f x f f =，（步骤5）因为max (0)3(1),(2)31(0)0(2)|()|(2)31f a f a f f f x f a =-=-∴<<∴==-；（步骤6） （3）当440a ∆=->，即01a <<时，212()363011f x x x a x x '=-+=∴==+，且1202x x <<<，即所以12()12(1()12(1f x a f x a =+-=--，且31212()()20,()()14(1)0,f x f x f x f x a ∴+=>=--<12()()4(1f x f x a -=-，所以12()|()|f x f x >，（步骤7）所以max 1|()|max{(0),(2),()}f x f f f x =；（步骤8） 由2(0)(2)3331003f f a a a -=--+>∴<<，所以 （ⅰ）当203a <<时，(0)(2)f f >，所以(,1][,)x a ∈-∞+∞ 时，()y f x =递增，(1,)x a ∈时，()y f x =递减，所以max 1|()|max{(0),()}f x f f x =，（步骤9）因为21()(0)12(1332(1(23f x f a a a a -=+-+=--=，又因为203a <<，所以230,340a a ->->，所以1()(0)0f x f ->，所以m a x 1|()|()12(1f x f x a ==+-10）（ⅱ）当213a <…时，(2)0,(0)0f f ><，所以max 1|()|max{(2),()}f x f f x =，因为21()(2)12(1312(1(32)f x f a a a a -=+-+=--=，此时320a ->，当213a <<时，34a -是大于零还是小于零不确定，所以 ① 当2334a <<时，340a->，所以1()|(2)|f x f >，所以此时max 1|()|()12(1f x f x a ==+-（步骤11） ② 当314a <…时，340a-<，所以1()|(2)|f x f …，所以此时m a x|()|(2)31f x f a ==-（步骤12）综上所述：max 33,(0)3|()|12(1)4331,()4a a f x a a a a ⎧-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-⎩…….（步骤13）。
2013年浙江卷(理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=A ．3i -+B ．13i -+C ．33i -+D ．1i -+ 2．设集合{2}S x x =>-，2{340}T x x x =+-≤，则()R C S T =UA ．(2,1]-B ．(,4]-∞-C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞ 3已知x ，y 为正实数，则A.lg lg lg lg 222x y x y +=+B.lg()lg lg 222x y x y +=⋅C.lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D.lg()lg lg 222xy x y =⋅4．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，R ϕ∈），则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a =A ．4B ．5C ．6D ．76．已知a R ∈，sin 2cos 2αα+=，则tan 2α= A ．43 B ．34 C ．34- D ．43-7．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则 A ．90ABC ∠=o B ．90BAC ∠=o C ．AB AC = D ．AC BC =8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)x k f x e x =--（1k =，2），则 A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值9．如图，1F ，2F 是椭圆1C ：2214x y +=与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率为ABC ．3D10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂足为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，1[()]Q f f P βα=，2[()]Q f f P αβ=，恒有12PQ PQ =，则A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45oC ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60o二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11．设二项式5的展开式中常数项为A ，则A = ． 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm ．13．设z kx y =+，其中实数x ，y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k = ．14．将A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母排成一排，且A ，B 均在C 的同侧，则不同的排法有 种（用数字作答）．15．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点(1,0)F -的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若2FQ =，则直线l 的斜率等于 ． 16．在ABC ∆中，90C ∠=o ，M 是BC 的中点．若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠=．17．设1e u r ，2e u u r 为单位向量，非零向量12b xe ye =+r u r u u r ，x ，y R ∈．若1e u r ，2e u u r的夹角为6π，则x br 的最大值等于 ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.（本小题满分14分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （Ⅰ）求d ，n a ；（Ⅱ）若0d <，求123n a a a a ++++L ．设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．（Ⅰ）当3a =，2b =，1c =时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量X 为取出此2球所得分数之和，求X 的分布列； （Ⅱ）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若53E η=，59D η=，求::a b c ．20．（本小题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，BD =．M是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （Ⅰ）证明：PQ ∥平面BCD ；（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60o ，求BDC ∠的大小．21．（本小题满分15分）如图，点(0,1)P -是椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆2C ：224x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．ABD PQM已知a R ∈，函数32()3333f x x x ax a =-+-+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当[0,2]x ∈时，求()f x 的最大值．。
2013年浙江高考理科数学试卷解析版
2013年浙江高考理科数学试卷解析版绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式如果事件,A B互斥，那么P A B P A P B+=+()()()如果事件,A B相互独立，那么•=•P A B P A P B()()()如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S = 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径 选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R)，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tanα−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB|≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013年高考浙江卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江卷）选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分． 1．已知i 是虚数单位，则(−1+i)(2−i)=A ．−3+iB ．−1+3iC ．−3+3iD ．−1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S ={x |x >−2}，T ={x |x 2+3x −4≤0}，则( R S )∪T =A ．(−2，1]B ．(−∞，−4]C ．(−∞，1]D ．[1，+∞) 【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．已知x ，y 为正实数，则A ．2lg x +lg y =2lg x +2lg yB ．2lg(x +y )=2lg x ∙ 2lg yC ．2lg x ∙ lg y =2lg x +2lg yD ．2lg(xy )=2lg x ∙ 2lg y【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题 【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D 正确4．已知函数f (x )=A cos(ωx +φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ=π2”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A ．a =4B ．a =5C ．a =6D ．a =7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A 6．已知α∈R ，sin α+2cos α=102，则tan2α= A ．43B ．34C ．−34D ．−43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.（第5题图）7．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则A ．∠ABC =90︒B ．∠BAC =90︒ C ．AB =ACD ．AC =BC 【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB|2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC 8．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )=(e x −1)(x −1)k (k =1，2)，则 A ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极小值 B ．当k =1时，f (x )在x =1处取到极大值C ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极小值D ．当k =2时，f (x )在x =1处取到极大值 【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
2013年高考理科数学浙江卷
17.设
e1
,
e2
为单位向量,非零向量
b
xe1
ye2
,
x,y R
.若
e1
,
e2
的夹角为
π 6
,则
| |
x b
| |
的
最大值等于_________.
数学试卷 第 4 页（共 6 页）
三、解答题：本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题满分 14 分)
AB 上 任 一 点 P
,恒有
PB PC≥P0B P0C ,则
()
A. ABC 90
B. BAC 90
C. AB AC
D. AC BC
8.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f (x) (ex 1)(x 1)k (k 1,2) ,则
()
A.当 k 1时, f (x) 在 x 1 处取到极小值
项是符合题目要求的.
1.已知 i 是虚数单位,则 (1 i)(2 i)
()
A. 3+i
B. 1 3i
C. 3 3i
D. 1 i
效 数学试卷 第 1 页（共 6 页）
2.设集合 S {x | x 2} , T {x | x2 3x 4≤0} ,则 ( RS) T
（Ⅰ）求椭圆 C1 的方程；
（Ⅱ）求△ABC 面积取最大值时直线 l1 的方程.
22.(本题满分 14 分) 已知 a R ,函数 f (x) x3 3x2 3ax 3a 3 . （Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 x [0,2] 时,求| f (x) | 的最大值.
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2013年浙江省高考数学（理科）
数学（理科）试题
选择题部分（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=
A ．3i -+
B ．13i -+
C ．33i -+
D ．1i -+ 2．设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则()R C S T ⋃=
A ．(21]-，
B ．(4]-∞-，
C ．(1]-∞，
D ．[1)+∞， 3．已知x ，y 为正实数，则 A ．lg lg lg lg 222x y
x y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅ C ．lg lg lg lg 2
22x y
x y ⋅=+ D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅
4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则“()f x 是奇函数”是“2
π
ϕ=
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9
5
，则 A ．4a = B ．5a = C ．6a = D ．7a =
6．已知R α∈，sin 2cos αα+=tan 2α= A ．
43 B ．34 C ．34- D ．43
- 7．设ABC ∆，0
P 是边AB 上一定点，满足01
4
P B AP =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅
，则
A ．90ABC ∠=︒
B ．30BA
C ∠=︒ C ．AB AC =
D ．AC BC = 8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)x
k
f x e x k =--=，，则 A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值
C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值
D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值
9．如图，1F ，2
F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点， A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF
为矩形，则2C 的离心率是 A
B
C ．
32 D
10．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂直为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，1[()]Q f f P βα=，2[()]Q f f P αβ=，恒有12PQ PQ =，则 A ．平面α与平面β垂直 B ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α与平面β平行 D ．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60︒
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11
．设二项式5
的展开式中常数项为A ，则A = ． 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等 于 3
cm ．
13．设z kx y =+，其中实数x ，y 满足20
240240x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，若z 的最大值
为12，则实数k = ．
14．将A B C D E F ，
，，，，六个字母排成一排，且A B ，均在C 的同侧，则不同的排法共有
种（用数字作答）．
15．设F 为抛物线2
:4C y x =的焦点，过点(10)P -，
的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||2FQ =，则直线l 的斜率等于 ．
16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点．若1
s i n 3
BAM ∠=，则s i n BAC ∠= ．
17．设12e e ，为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈．若12e e ，的夹角为6
π，则
||
||
x b 的最大值等于 ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （Ⅰ）求d ，n a ；
（Ⅱ）若0d <，求123||||||||n a a a a ++++ ．
19．（本题满分14分）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．
（Ⅰ）当331a b c ===，
，时，从该袋子中任任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；
（Ⅱ）从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若
53E η=
，5
9
D η=，求::a b c ．
20．（本题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，
BC CD ⊥，2AD =，BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中
点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC ． ． （Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；
（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．
21．（本题满分15分）如图，点(01)P -，
是椭圆22
122:1x y C a b
+= （0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径．
1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A ，B 两
点，2l 交椭圆1C 于另一点D ． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程．
22．（本题满分14分）已知a R ∈，函数3
2
()3323f x x x ax a =-+-+．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，
处的切线方程； （Ⅱ）当[02]x ∈，
时，求|()|f x 的最大值．。