华中科技大学计算机学院离散数学(二) 2017 A 卷 with 答案
计算机离散数学习题答案
计算机离散数学习题答案计算机离散数学习题答案计算机离散数学是计算机科学中的一门重要学科，它研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在学习计算机离散数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的习题，而这些习题的答案往往是我们学习的关键。
下面，我将为大家提供一些计算机离散数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、命题逻辑命题逻辑是计算机离散数学中的基础内容，它研究的是命题之间的逻辑关系。
在命题逻辑中，我们经常会遇到一些关于命题的合取、析取、条件、双条件等运算。
下面是一些常见的命题逻辑习题及其答案：1. 给定命题p: "我喜欢数学"，q: "我喜欢计算机"，r: "我喜欢编程"，判断以下命题的真假：a) p ∧ qb) p ∨ qc) p → rd) p ↔ q答案：a) 真b) 真c) 真d) 假2. 给定命题p: "我喜欢音乐"，q: "我喜欢运动"，r: "我喜欢读书"，判断以下命题的真假：a) p ∧ (q ∨ r)b) (p ∧ q) ∨ rc) p → (q ∧ r)d) (p → q) ∧ (p → r)答案：a) 假b) 真c) 假d) 真二、集合论集合论是计算机离散数学中另一个重要的内容，它研究的是集合之间的关系和运算。
在集合论中，我们经常会遇到一些关于集合的并、交、差、补等运算。
下面是一些常见的集合论习题及其答案：1. 设A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，C = {2, 4, 6, 8}，求以下集合的并、交、差和补：a) A ∪ Bb) A ∩ Cc) B \ Cd) C'答案：a) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}b) A ∩ C = {2, 4}c) B \ C = {3, 5}d) C' = {1, 3, 5, 7, 9, ...}2. 设A = {a, b, c, d}，B = {c, d, e, f}，C = {a, d, f, g}，求以下集合的并、交、差和补：a) A ∪ Bb) A ∩ Cc) B \ Cd) C'答案：a) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f}b) A ∩ C = {a, d}c) B \ C = {c, e}d) C' = {b, c, e, ...}三、关系与函数关系与函数是计算机离散数学中的另一个重要内容，它研究的是元素之间的关系和映射。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
2017年4月高等教育自学考试《离散数学(二)》试题06094
2017年4月高等教育自学考试《离散数学(二)》试题课程代码：06094一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1．下面给出的句子中不构成命题的是A ．不要作弊B ．3+2=9C ．7是质数D ．我是男生2．能使命题P Q →为真的条件是A ．P 真B ．Q 假C ．Q 真D ．P 真Q 假3．用P 表示“选张三任班长”，Q 表示“选李四任班长”。
则命题“选张三或李四中的一人任班长”可符号为A ．P Q ∨B ．P Q ∧C ．P Q ⌝∨D ．()()P Q P Q ⌝⌝∧∨∧ 4．P(3,x,y,z)谓词的元数是A ． 1B ．4C ．3D ．05．在公式()X P x ∀中，称P 为量词的A ．论域B ．辖域C ．值域D ．0定义域6．设谓词F(x)表示x 是实数；Q(x)表示x 能被2整除。
则命题“存在能被2整除的实数” 可符号化为A ．(()())X F x Q x ∀∧B ．(()())X F x Q x ∀→C ．(()())X F x Q x ∃→D ．(()())X F x Q x ∃∧ 7．由存在指定规则可得到P(c)结论的公式是A ．()X P x ∃B ．()X P x ∀C ．()XP x ⌝∀ D ．()X P x ⌝∃ 8．下面描述中错误的是A ．P 是合式公式，则P ⌝是合式公式 B ．()X P x ∀中x 是约束出现的变元 C ．()X P y ∃∧是合式公式 D ．()()X X P x P x ⌝⌝∀⇔∃9．只有两个元素的集合其幂集元素个数共有A ．2B ．7C ．8D ．1610．设集合M=｛1，2｝，P={2，3}。
则有A ．M P ={2}B ．M P ⊕ =｛1，3｝C ．M P -={3}D ．M P =｛1，2，3｝ 11．下面给出的集合中，不是{a,b}到{1,2,3}的二元关系的是A ． {a,2}B ． {(a,2)}C ． {<a ，2>}D ．空集12．设A={1，2}，B={3，4}，M={(1，3)，(2,4)}是A 到B 的一个二元关系，则M 的关系矩阵第二行第二列的值为A ．0B ．3C ．2D ．113．A={1，2，3}上的关系R={(1,2)，(2,3)}的传递闭包必含A ． (1，1)B ． (3，2)C ． (1，3)D ． (3，1)14．设{(1,2)，(2,3)} R 是A={1，2，3}上的偏序，则R 必有元A ． (3，2)B ． (2，1)C ． (3，1)D ． (1，3)15．实数集R 及其加法运算组成的代数系统<R,+>不满足A ．封闭性B ．结合律C ．幂等律D ．交换律16．非空集合M 上二元运算*满足封闭性是指M 中的任意元A ．a ，b 均满足a*b=b*aB ．a ，b 均满足a*b ∈MC ．a 均满足a*a=aD ．a ，b ，c 均满足(a*b)*c= a*(b*c)17．设<G ，※，*>是一个环，且<G ，※>是阿贝尔群，则A ．*有幺元B ．*有零元C ．<G ，*>是半群D ． ※对于*可分配18．在含有100个顶点的完全图中，其每个顶点的度均为A ． 100B ． 101C ．99D ．5019．连通平面图G 有16个顶点，每个顶点的度都为4。
本部_离散数学II_试卷_a_答案
计算机学院、系2005 /2006 学年（1 ）学期期末考试试卷《离散数学II 》试卷（A 卷）专业年级班级姓名学号一、单选题(在每小题的四个备选答案中，选出一个最正确的答案，并将答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共24分)1、由r棵树组成的森林的顶点数n与边数m有下列关系（ B ）。
A．n=m-r B．n=m+r C．n=m-1 D．m+n+r=02、若无向图G中不含孤立点，且存在一条经过所有边的闭路径，则（ B ）。
A．G必为哈密顿图B．G必为欧拉图C．G必为不连通图D．G必为简单图3、下图是（ C ）。
A．强连通B．单侧连通C．弱连通D．不连通4、以下是简单图的度序列的是（ C ）。
A．(5,4,3,2,2,2,1) B．(7,6,5,4,4,3,1) C．(6,43,3,3,2,1) D．(6,6,4,3,2,2,1)5、下列无向图中，不．是哈密顿图的是（ B ）。
6、满足下列条件（ A ）的无向图不一定是树。
A．边数=顶点数-1 B．任意一对结点间有且仅有一条通路C．连通且无回路D．无回路，但添加任何一条边后必产生唯一回路7、设<S,*>为一代数系统，S={e,a,b}。
*运算定义如下。
则（ D ）为其子代数。
A．<{e,a,b},⊙> B．<{a,b},*> C．<{e,a},*> D．<{e,b},*>8、以下代数系统中，群是（ D ）。
A BC D9、设<S,*>为一代数系统，a∈S，则（ A ）。
A．若a存在逆元，则其逆元未必唯一B．若<S,*>中存在幺元，则幺元未必唯一C．若<S,*>中既有幺元又有零元，则幺元、零元必不相等D．若a既有左逆元，又有右逆元，则左、右逆元必相等10、<S,○><S1,*>为两个代数系统，且存在S到S1的同态映射h，则（ B ）。
计算机离散数学习题答案
计算机离散数学习题答案《计算机离散数学习题答案》计算机离散数学是计算机科学中的重要基础课程，它涉及到许多重要的数学概念和理论。
学习离散数学需要掌握一定的数学知识和逻辑推理能力，而做习题是提高这些能力的有效途径之一。
以下是一些计算机离散数学习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助：1. 证明：对任意整数n，n^2-n为偶数。
答案：当n为偶数时，n=2k，所以n^2-n=4k^2-2k=2(2k^2-k)，为偶数；当n为奇数时，n=2k+1，所以n^2-n=(2k+1)^2-(2k+1)=4k^2+4k+1-2k-1=2(2k^2+2k)，为偶数。
2. 证明：任意正整数n，n^3-n为3的倍数。
答案：当n为3的倍数时，n=3k，所以n^3-n=27k^3-3k=3(9k^3-k)，为3的倍数；当n为3的倍数+1时，n=3k+1，所以n^3-n=(3k+1)^3-(3k+1)=27k^3+27k^2+9k+1-3k-1=3(9k^3+9k^2+3k)，为3的倍数；当n为3的倍数+2时，n=3k+2，所以n^3-n=(3k+2)^3-(3k+2)=27k^3+54k^2+36k+8-3k-2=3(9k^3+18k^2+12k+2)，为3的倍数。
3. 证明：若A、B、C为任意三个集合，则(A∪B)∩C=A∪(B∩C)。
答案：对任意元素x，若x∈(A∪B)∩C，则x∈A∪B且x∈C，即x∈A或x∈B且x∈C，所以x∈A∪(B∩C)；若x∈A∪(B∩C)，则x∈A或x∈B且x∈C，即x∈A∪B且x∈C，所以x∈(A∪B)∩C。
以上是一些计算机离散数学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
在学习过程中，不断做习题并查看答案，可以帮助加深对知识点的理解和掌握，提高解题能力和逻辑推理能力。
希望大家在学习离散数学的过程中能够坚持不懈，取得更好的成绩。
华中科技大学计算机学院离散数学(二) 2016 A 卷 with 答案
一. 单项选择（每小题3分，总共15分）( A ) 1、在如下的有向图中，从V 1到V 4长度为3 的道路有（ A ）条。
A ． 1；B ．2；C ．3；D ．4 。
( B ) 2、假设S 、T 是两个有限集合。
那么下面正确的是：A. |S ∪T| = |S| + |T|B. |S ∪T| = |S| + |T| - |S ∩T|C. |S ×T|= |S| × |T| - |S ∩T|D. |S-T|= |S| - |T|( B )3、假定递归算法把一个规模为n 的问题分解为a 个子问题，每个子问题规模为n /b . 再假定把子问题的解组合成原来问题的解的算法处理中，需要总量为g (n )的运算数. 用f (n )表示求解规模为n 的问题所需的运算数，则得出运算数f (n )的递推关系为：A ．f (n ) = b f (n /a) + g (n )；B ．f (n ) = af (n /b ) + g (n )；C ．f (n ) = f (n /b ) +a g (n )；D ．f (n ) = ag (n /b ) + f(n )；( D ) 4、如果两个图H 与G 同构，且结点数大于1，则下面不正确的是：A ．如果H 有一个子图是非平面图，则G 是非平面图B ．如果H 是连通图，则G 没有孤立点。
C ．H 是偶图则G 也是偶图，反之也成立D ．f 是H 的结点集到G 的结点集的双射，则H 的任一结点h 的度数等于G 中结点f(h)的度数。
( D ) 5、下面说法不正确的是：A ：不同算法求出的两个不同结点的最短通路的长度是一样的。
B: 不同算法求得的两个不同结点的最短通路可能不一样。
C: 连通有权图的任两个不同结点的最短通路一定是存在的。
D ：最短通路未必就是简单路。
二. 填空（每小题3分，总共15分）1、连通无向图有欧拉开路（非回路）的充要条件是2、 83个不同的盒子中,5、三. 解答题（总共40分，每小题5分）1、一个(n,m)简单无向图是2-色图(m>0)，那么它上面的所有回路是否都是偶数长？为什么？解答：简单无向图是2-色图(m>0) 就必然是偶图。
离散数学课后习题答案二
习题1. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表所有的主键码。
解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir航空公司＝σ到二维表以后得到的表。
解5,3,2πNadir 航空公司＝6. 把连接运算3J 用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量解 略7. 构造把连接运算2J 用到二维表和二维表所得到的二维表。
解 零件供应商二维表与零件数量和颜色代码二维表连接运算2结果第4章：群、环、域习题1. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法和普通乘法运算，其中n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法和普通乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通加法和普通乘法运算。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
2017-2018离散数学A+答案
20 - 20学年度第 学期试卷 A (闭卷)课程名称 离散数学 二级学院 专业 计算机科学与技术 年级、班级 学号 姓名一、填空题：（每空2分，共20分）1．若4阶无向图G （V,E ）为完全图，则|V|= ，|E|= 2. 无向连通图G 有欧拉回路，当且仅当 。
3. 设Ａ={a,b},R={<b,b>，<b,a>}，求r(R) , s(R) , t(R) 。
4. 设有限集合A, |A| = 3, 则 |P(A)| = ____ ,P (A)∩A= 。
5．设有向图G=<V,E>，则图G 顶点的出度和= ， 度和为 。
二、选择题：（每题2分，共10分）1．若4阶无向图G （V,E ）为完全简单图，则包含多少条环（ ）。
（A ）5 （B ）3 （C ）6（D ）02. R 是A 上关系，则R 是具有自反关系的，充要分条件是（ ）。
（A ）r(R)=R.（B ）t(R)=R （C ）s(R)=R（D ）R=I A3. 对公式((,)(,))x y P x y Q x z ∀∀→的说法正确的是（ ）。
（A ）x 是约束出现，y 是自由出现，z 是约束出现（B ）x 是约束出现，y 既是约束出现又是自由出现，z 是自由出现 （C ）x 是约束出现，y 是约束出现，z 是自由出现（D ）x 是约束出现，y 既是约束出现又是自由出现，z 是约束出现4. 设G 、H 是一阶逻辑公式，P 是一个谓词，G ＝∃xP(x), H ＝∀xQ(x),则一阶逻辑公式G →H 是( )。
(A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 可满足的(D) 前束范式. 5. 设A, B 为集合，当( )时A －B ＝∅。
(A) A ∩B ＝∅(B) A ∩B=A(C) B ⊆A (D) A ∩B=B.三、计算题：（5小题，共50分）1. (本题10分)构造(P ∧⌝Q)∨R 的真值表,并说明其类别。
《离散数学》试卷A及答案
《离散数学》试卷(A)适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下述哪一个不是命题？（ ） A 、离散数学是计算机系的一门必修课 B 、不存在最大偶数。
C 、若我有空，我就看书。
D 、请勿随地叶痰！2、设A={a,b,c}，B={1,2,3}，以下哪一个关系是从A 到B 的双射函数？（ ） A 、f={<a,2>,<b,2>,<c,1>} B 、f={<a,3>,<b,1>,<c,2>} C 、f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<a,3>} D 、f={<a,1>,<b,2>,<a,3>}3.设<G, 。
>是群，且|G|>1,则下列命题不成立的是（ ）A.G 中有幺元B. G 中有零元C.G 中任一元素有逆元D. G 中除幺元外无其它幂等元 4、设A={}c b a ,,,则下列是集合A 的划分的是（ ） A.{}{}{}c c b ,, B. {}{}{}c a b a ,,, C.{}{}c b a ,, D.{}{}{}c b a ,, 5.设集合A={a,{b}}，下面四个命题为真的是A.a 包含于AB.φ∈AC.{b}包含于AD.φ包含于A 6、下列是命题公式p ∧(q ∨⌝r)的成真指派的是（ ） A.110,111,100 B.110,101,011 C 所有指派 D.无 7、与一阶公式P(x)→VxQ(x)等值的公式是A.P(y)→VyQ(y)B.P(y)→VxQ(y)C.P(x)→VyQ(y)D.P(z)→VyQ(y)8、设A 和B 都是命题，则A →B 的真值为假当且仅当（ ） A 、A 为0 ，B 为1 B 、A 为0 ，B 为0 C 、A 为1 ，B 为1 D 、A 为1 ，B 为0二、填空题（本大题共7小题，每空3分，共21分）１．.设A={a,b,c}，F 是A 上的二元关系，F={<a,c>,<b,a>,<c,b>}，则其自反闭包为r(F)= 。
离散数学形考任务17试题及答案完整版
2017年11月上交的离散数学形考任务一本课程的教学内容分为三个单元，其中第三单元的名称是（A ）．选择一项：A. 数理逻辑B. 集合论C. 图论D. 谓词逻辑题目2答案已保存满分10.00标记题目题干本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合，其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是（D ）．选择一项：A. 函数B. 关系的概念及其运算C. 关系的性质与闭包运算D. 几个重要关系题目3答案已保存满分10.00标记题目题干本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中，VOD点播版块中共有（B）讲．选择一项：A. 18B. 20C. 19D. 17题目4答案已保存满分10.00标记题目题干本课程安排了7次形成性考核作业，第3次形成性考核作业的名称是（ C）．选择一项：A. 集合恒等式与等价关系的判定B. 图论部分书面作业C. 集合论部分书面作业D. 网上学习问答题目5答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台左侧第1个版块名称是：（C）．选择一项：A. 课程导学B. 课程公告C. 课程信息D. 使用帮助题目6答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台右侧第5个版块名称是：（D）．选择一项：A. 典型例题B. 视频课堂C. VOD点播D. 常见问题题目7答案已保存满分10.00标记题目题干“教学活动资料”版块是课程学习平台右侧的第（ A ）个版块．选择一项：A. 6B. 7C. 8D. 9题目8答案已保存满分10.00标记题目题干课程学习平台中“课程复习”版块下，放有本课程历年考试试卷的栏目名称是：（D ）．选择一项：A. 复习指导B. 视频C. 课件D. 自测请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划，学习计划应该包括：课程性质和目标（参考教学大纲）、学习内容、考核方式，以及自己的学习安排，字数要求在100—500字．完成后在下列文本框中提交．解答：学习计划学习离散数学任务目标：其一是通过学习离散数学，使学生了解和掌握在后续课程中要直接用到的一些数学概念和基本原理，掌握计算机中常用的科学论证方法，为后续课程的学习奠定一个良好的数学基础；其二是在离散数学的学习过程中，培养自学能力、抽象思维能力和逻辑推理能力，解决实际问题的能力，以提高专业理论水平。
离散数学2及答案
离散数学2一、填空题（每小题2分，共30分）1 设():M x x 偶数， ():F x x 素数。
将命题“存在偶素数”符号化为： ))()((x F x M x ∧∃ 。
2 集合A={2,2,2,3}的幂集合P(A)={}3,2{},3{},2{,φ }。
3 设A={1,2,3}，B={a,b}，则=⨯B A 6 。
4 已知命题公式A 含有2个命题变项，其成真赋值为00、10、11，则其主合取范式为 1M 。
5 设p ：北京比大连人口多，q ：2+2=4，r ：乌鸦是白色的。
则命题公式)()(r p r p ⌝∧↔∨⌝的真值为 0 。
6 无向图G 具有欧拉通路，当且仅当G 是 连通 图且无奇度顶点或有两个奇度顶点。
7 6阶无向树的总度数为 10 。
8设A={1,2,3}，B={a, b}，A 1={2}，f={<1,a>,<2,a>,<3,b>}，则=-))((11A f f { 1，2 }。
9 设B A f →:，若ran B f )(=，则称B A f →:是满射的。
10 设群>⊕=<}),.({b a P G ，其中⊕为对称差。
群方程φ=⊕}{b Y 的解=Y {b} 。
11 设p：我去自习，q：我去看电影，r：我有课。
则命题“如果我去自习或看电影，我就没有课”的符号化形式为r qp⌝→∨)(。
12 画出3阶有向完全图的2条边的2个非同构的生成子图。
13 下面运算表中的=-1a c 。
14 写出模4乘法<Z4,⊗ >的运算表⊗0 1 2 31230 0 0 00 1 2 30 2 0 20 3 2 115 设A（x）是任意的含自由出现个体变项x的公式，则⇔⌝∀)(xxA )(xAx⌝∃。
二、试解下列各题（每小题5分，共25分）1. 设A = {a , b , c , d }, R = {<a ,b >,<b ,a >,<b ,c >,<c ,d >}, 求3R 的的矩阵表示和关系图表示。
离散数学课后习题答案
离散数学课后习题答案离散数学课后习题答案离散数学是计算机科学中的一门重要课程，它涵盖了诸多数学概念与技巧，为计算机科学的理论基础打下了坚实的基础。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
然而，有时候我们会遇到一些难以解答的问题，需要参考一些答案来进行思考与学习。
本文将为大家提供一些离散数学课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、集合论1. 设A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
2. 证明：任意集合A和B，有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
答案：首先，对于任意元素x，如果x属于(A-B)∪(B-A)，那么x属于A-B或者x属于B-A。
如果x属于A-B，那么x属于A∪B，但x不属于A∩B；如果x属于B-A，同样有x属于A∪B，但x不属于A∩B。
所以(A-B)∪(B-A)属于(A∪B)-(A∩B)。
另一方面，对于任意元素x，如果x属于(A∪B)-(A∩B)，那么x属于A∪B，但x不属于A∩B。
所以x属于A或者x属于B。
如果x属于A，但x不属于B，那么x属于A-B；如果x属于B，但x不属于A，那么x属于B-A。
所以x属于(A-B)∪(B-A)。
所以(A∪B)-(A∩B)属于(A-B)∪(B-A)。
综上所述，(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)。
证毕。
二、逻辑与证明1. 证明：如果p为真命题，那么¬p为假命题。
答案：根据命题的定义，命题要么为真，要么为假，不存在其他情况。
所以如果p为真命题，那么¬p为假命题。
2. 证明：对于任意整数n，如果n^2为偶数，则n为偶数。
答案：假设n为奇数，即n=2k+1（k为整数）。
那么n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1。
根据偶数的定义，2(2k^2+2k)为偶数，所以n^2为奇数。
2017离散数学答案(1--5).pdf
02任务_0001试卷总分：100 测试时间：0单项选择题一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。
）1. 设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )．A. {{1}, {a}}B. {,{1}, {a}}C. {{1}, {a}, {1, a }}D. {,{1}, {a}, {1, a }}2. 集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={<x，y>|x=y且x, y A}，则R的性质为（）．A. 不是自反的B. 不是对称的C. 传递的D. 反自反3. 若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. {a，{a}}AB. {1，2}AC. {a}AD. A4.设集合A ={1 , 2, 3}上的函数分别为：f = {<1, 2>，<2, 1>，<3, 3>}，g = {<1,3>，<2, 2>，<3, 2>}，h = {<1, 3>，<2, 1>，<3, 1>}，则h =（）．A. f?gB. g?fC. f?fD. g?g5. 设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<4, 4>}，S={<1, 1>，<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>，<4, 4>}，则S是R的（）闭包．A. 自反B. 传递C. 对称D. 自反和传递6. 若集合A={1，2}，B={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．A. A B，且A BB. B A，且A BC. A B，且A BD. A B，且A B7. 设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系是A上的整除关系，则偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A. 最大元B. 最小元C. 极大元D. 极小元8. 若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）．A. 1024B. 10C. 100D. 19. 如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．A. 0B. 2C. 1D. 310. 设集合A={a}，则A的幂集为( )．A. {{a}}B. {a，{a}}C. {，{a}}D. {，a}02任务_0002试卷总分：100 测试时间：0单项选择题一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
华科离散数学试题与答案试卷
华科离散数学试题与答案试卷离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% (每小题2分)，+A,{x|(x,N)且(x,5)},B,{x|x,E且x,7}1(设 (N:自然数集，E 正偶A,B,数) 则。
2(A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。
A B C 3(设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则，(P,(Q,(R,，P))),(R,，S)的真值= 。
(P,R),(S,R),，P4(公式的主合取范式为。
，xP(x),,xP(x)5(若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为。
6(设A={1，2，3，4}，A上关系图为2则 R = 。
7(设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则 R= 。
8(图的补图为。
9(设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下:* a b c da abc db bcd ac cd a bd d a b c 那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10(下图所示的偏序集中，是格的为。
二、选择 20%(每小题 2分)1、下列是真命题的有( ){a},{{a}}{{,}},{,,{,}}A( ; B(;,,{{,},,}{,},{{,}}C( ; D( 。
2、下列集合中相等的有( ),,,, A({4，3};B({，3，4};C({4，，3，3};D( {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有( )个。
2，23，33 2 32 A( 2;B( 3;C( ; D( 。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是( )R,S A(若R，S 是自反的，则是自反的;R,S B(若R，S 是反自反的，则是反自反的;R,S C(若R，S 是对称的，则是对称的;R,S D(若R，S 是传递的，则是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P(A)(A的幂集)上规定二元系如下R,{,s,t,|s,t,p(A),(|s|,|t|}则P(A)/ R=( )A(A ;B(P(A) ;C({{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}};,D({{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}},,6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为( )7、下列函数是双射的为( ),,，A(f : IE , f (x) = 2x ; B(f : NNN, f (n) = <n , n+1> ;,,C(f : RI , f (x) = [x] ; D(f :IN, f (x) = | x | 。
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一. 单项选择（每小题3分，共15分）( ) 1. 5种不同的球中取出8个，共有多少种取法(A) C(8, 5) (B) C(12, 5) (C) C(12, 8) (D) C(13, 5)( ) 2. 递推式x n = 4x n-1 - 4x n-2的通解是(A)C 1+C 22n (B)C 1n +C 22n (C) C 1n +C 2n 2n (D) (C 1+C 2n )2n( ) 3. 5个结点的完全图去掉一条边后，一定不是(A) 连通图 (B) 欧拉图 (C) 哈密顿图 (D) 平面图( ) 4. 5个结点的简单平面图的边数最多是(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10( ) 5. 完全正则二元树（满二叉树）的叶结点数是t ， 则该树的结点数一定是(A) t +t /2+1(B) 2t -1 (C) 2t (D) 2t +1二. 填空（每小题3分，共15分）1. 6个人平均分到3个不同部门的分法有___90___种；2. 5个不同的球分成3堆的分法有___25___种；3. 图G 分支数是3，节点数是10，则其边数至少是___7___；4. n 个结点的多重图（无单边弧）的邻接矩阵的主对角线以上部分所有项的和等于图的_____边数______；5. 利用欧拉定理，可得11890 ≡___1___ (mod 15)三. 解答题（共40分）1. 排列26个字母，使得a与b之间恰有7个字母，求方法数。
（6分）2×C(24,7)A(7，7)A(18，18) = 36×24!这道题的解答并不难，可以有以下的几种解法。
解法1：从24个字母（a,b除外）中任选7个字母，放置于ab之间，然后将这选出来7个字母与ab构成一个整体当成一个对象，再于剩下的17个字母（已经选了7个，再除掉ab），共18个对象全排列。
结论是C(24,7)A(7，7)A(18，18) = 36×24! 但还需要考虑到a在前b在后和b在前a在后两种不同的情况，所以答案是：2×C(24,7)A(7，7)A(18，18) = 36×24!这种做法中，不少同学没有考虑到上面ab两个字母顺序的问题，没有乘以2; 也有不少同学只考虑了剩下17个字母的全排列，没有考虑的a*******b这个整体在整个排列中的位置不同的问题。
解法2：先考虑选定字母a的位置，由于ab之间一定要放置7个字母，所以在a前b后的排列时，a的位置只有26 – 8 = 18种选择可能；a位置确定后，b的位置就是唯一对应确定的，不再有变化；再考虑剩下的24个字母全排列就可以；当然这种解法也需要考虑到b前a后的问题，同样是要乘以2. 结论是一样的。
2×18A(24，24) = 36×24!2. 把9个苹果分给3个孩子，如果要求第一个孩子的苹果数跟第二个孩子的苹果数必须相同，而且每个孩子至少分得1个苹果。
那么有多少种分法？（要求用生成函数）（6分）4种方法解答：这道题由于数字比较小，在规定的约束下，答案方案数很简单，就是4种方法；很多同学没有任何表达式，就是采取拼凑的方法得到答案。
这种做法只有答案分2分；因为题目明确要求用生成函数，就必须写出正确的生成函数。
这题的生成函数的构成并不复杂。
考虑到第一个孩子必须跟第2个孩子分得的苹果数相同，将这两个孩子当成一个人对待，这一个人分得的苹果只能是正偶数（2,4,6,8）；第3个孩子分得的苹果数就是正整数1,2,3,4,5,6,7. 所以生成函数就是（x2+x4+x6+x8）(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7)（x2+x4+x6+x8+…）(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+…)也是正确的。
有些同学觉得第3个孩子分得的苹果数不可能再试偶数，于是（x2+x4+x6+x8）(x1+x3+x5+x7)也是正确的。
从这个生成函数中求出x9的系数就是题目的答案。
有同学答生成函数是（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7)3，并且展开时，第一个表达式跟第2个表达式选到的x的指数必须相同的情况下，求出x9的系数。
严格说来，这种做法不是太好的做法。
3下图是不是欧拉图，是不是哈密顿图，是不是二部图，说明理由。
（9分）不是二部图；是欧拉图；不是哈密尔顿图；解答说明：这道题分三个问题，每个问题3分。
都需要给出结论，也需要给出理由。
有些同学只给出结论不给出理由，就只有结论分。
(1)不是二部图。
因为二部图（偶图）的每一条回路都一定是偶数长。
这个图显然不满足这点。
(2)只要每个结点的度都是偶数，又是连通的，就一定是欧拉图。
显然这个图的所有结点的度都是偶数，而且连通，所有是欧拉图。
(3)不是哈密尔顿图。
从这个图中去掉v2,v4,v6,v8四个结点后，连通分支数为5. 由哈密尔顿图的必要条件，知道该图不是哈图。
判断下图是否为平面图，并说明理由。
（7分）解答：不是平面图。
（有少数几位同学回答是平面图）。
必须说理由。
不少同学的理由是：该图有一个子图跟K 3,3同胚。
看起来好像理由正确，但几乎等于没有说。
需要指出哪个子图（画出来，标注每个结点），然后经什么样的变换后跟K 3,3同胚。
这个图跟K 3,3同胚的子图不是唯一的，所以有多种做法。
也有找到子图经变换后跟k 5同胚的，也是正确的。
还有一些同学，利用欧拉公式，说明不满足。
这里几乎没有办法数围城的区域数，因为本来就做不到在一个平面上无交叉画出来。
另外还有少数几个同学，说没有办法换种画法在平面上不交叉地画出来，所以是非平面图。
题目就是要证明没有办法在平面上不交叉地画出来，不是要说这个结论，而是要证明之。
求下图的最小生成树。
（6分）这里的最小生成树是唯一的解答： 这个图的各边的长度都不一样，所有最小生成树是唯一的。
利用1211 6.5 4 6 5 10.5 3.58 13 7 7.5求最小生成树的算法，很容易得到结果。
但要求把最小生成树画出来；求同余方程4x ≡ 5 mod 9的所有解。
（6分）答案是：x ≡ 8 mod 9 或者x= 8 + 9k (k为任意整数，包括负整数和零)说明：这道题的本意是，希望同学们理解这个方程，然后求出4关于mod9的模逆，再利用模逆求解出同余方程。
由于这里的数字很小，比较简单，不少同学没有任何解法，就是拼凑出一个解8, 然后再把答案写出来。
也有些同学就像解普通方程，得到答案：x= (5 + 9k)/4. 显然是不对的。
四. 应用与证明（每小题10分，共30分）1. 请给出下列生态变迁的递推关系模型：在一个封闭的生态系统中，蜜蜂的繁殖常常是以月为周期。
繁殖出来的蜜蜂会在下下个月（隔月）开始每月都繁殖新蜜蜂。
假定每个蜜蜂每次都繁殖两个小蜜蜂。
那么每个月（比如，第n个月）的蜜蜂总数量，除了上一个月的蜜蜂数量外，还有上上月的蜜蜂繁殖出新的数量。
如果不考虑蜜蜂的死亡：1）请给出n个月后生态系统中蜜蜂的总数量的递推公式；2）假设蜜蜂数量第0个月为a0=2, 第一月a1=7。
求出递推关系的解。
解答：(1) 递推关系：a n = a n-1 + 2a n-2(2) a n = (-1)n+1 + 3×2n这道题按系统的方法做就可以。
不需要再解释多少。
2. 假设G是n（n≥5）个结点的简单图，证明G中有简单回路或者G的补图G包含有简单回路。
解答：谈到简单回路，很容易联想到树的概念。
用反正法是基本的证明方法和思路。
反设G以及补图G都没有简单回路。
那么它们的每一个连通分支都是一个简单图而且没有简单回路，如是，每一个连通分支都是树；G以及补图G都是树或者是树林。
一个图如果是树或者是树林，那么它们的边的数目顶多是n-1( 树林的边数更少).这样图与补图的边的综合数目不超过2n-2. 但图与其补图的边数是一个n 个结点的完全图的边的数目n(n-1)/2. 当n≥5时，2n-2 < n(n-1)/2. 矛盾！所以结论成立。
在n<5时，结论不一定成立。
3. 如果从无向图G中任意删除一条边，其连通分支数都增加。
证明图G 要么是树要么是树林；说明删除一条边后会增加多少个连通分支？为什么？解答：这道题跟上一道题都涉及到了树与树林的知识。
大部分同学都用了反证法。
同学们在回答这道题出现得比较多的问题如下：(1)（出现最多的）就是假设不是树或者树林，图就没有回路。
这个结论是一个错误的结论。
一个图只要有边就一定会有路，也有回路。
可以是原路去原路回，就是回路。
正确的应该是没有简单回路！相信不少人是疏忽，但这种疏忽导致错误结论。
从逻辑上说，这是不容许的。
(2)有些同学说树和树林里有一个特征就是删除任一条边后，连通分支数会增加，所以题目的条件符合树或者树林的特征，所以就是树或者树林。
不可以这样回答问题，逻辑上不可以。
举个例子：人有一个特征就是有两个眼睛，然后某个特定的对象也有两个眼睛，所以可以证明那个对象也就是人。
显然是错误的逻辑。
(3)还有些同学（不少），说在题目条件下，每条边都是割边（这个没错），然后立马下结论说图不是树就是树林。
结论没错，但理由没说清楚。
为什么就是？这里就是要你把其中的理由说清楚。
(4)第2问，有些同学回答了删除一条边后，会增加一个连通分支。
但是，没有说任何理由。
题目明确问了为什么？就必须说明理由的。
也有些同学很不错，还说清楚了，在题目条件下，不可能有多重边；也不可能有单边环，于是是简单图；并且说证明清楚了每个连通分支都是一颗树；当图连通时是树，不连通时是树林。