四川省南充高中09-10学年高二上学期期中考试(数学文)
2高二数学上学期期中试题 文-人教版高二全册数学试题
四川省南充高级中学22020-2021学年高二数学上学期期中试题 文(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)1．若点()2,1A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 与圆位置关系（ ） A ．圆外B ．圆内且不是圆心C ．圆上D ．圆心2．直线250x y +-=的纵截距是（ ） A ．5 B ．－5 C ．52-D ．52-3．已知数列{}n a 满足11a =，16n n a a +=+，在5a =（ ） A ．25B ．30C ．32D ．644．已知m n 、是不重合直线，αβγ、、是不重合平面，则下列说法 ①若αγβγ⊥⊥、，则α∥β ②m n αα⊥⊥、，则m ∥n ③若α∥β、γ∥β，则γ∥α ④若m αββ⊥⊥、，则m ∥α正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5．设变量y ,x 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数y x z -3=的最大值是（ ）A ．－6B ．23C ．6D ．－326．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．36B ．72C ．108D ．2167．若点()12--,A 在直线30mx ny ++=上，其中mn 、均为正数，则12m n+的最小值为（ ） A ．2B ．43C ．6D ．838．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,25,2BCD AB AD BC CD ====，则三棱锥 A BCD -的外接球表面积是（ ）A ．25πB ．5πC ．5πD ．20π9．已知圆()221:(1)-39C x y ++=和222:-42-110C x y x y ++=，则这两个圆的公共弦长 为（ ） A ．125B ．245C ．95D ．1510. ABC ∆中，内角C ,B ,A 的对边分别为,,,c b a 1,232cos ,a b c a C =-=3sin 2C =， 则ABC ∆的面积为（ ） A.32 B. 34 C. 32或34D. 3或3211．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,1012. 四棱锥ABCD S -中，底面是边长为22的菱形 60∠=BAD ABCD ，，SA ⊥平面ABCD , 且22SA =，E 是边BC 的中点，动点P 在四棱锥ABCD S -表面上运动，并且总保持，平面SAC PE //则动点P 的轨迹周长为（ ） A.623+B ．23C ．62+D ．32二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的32，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为______. 14．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，4b =，33c =，则BC 边上的高为___________.15．如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、 AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30°，则MN 和 CD 所成的角的大小为____________.16. 数列}{n a 满足9111215112===++a ,a a a a n n n ，-， 则=100a __________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题10分）已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=. （1）若12l l ⊥，求m 的值； （2）若12l l //，求m 的值.18.（本小题12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知1,CC BC BC AC =⊥，设1AB的中点为D ，E BC C B =11 ．求证： （1）DE //平面C C AA 11； （2）⊥1BC 平面C AB 1．19.（本小题12分）已知等差数列{}n a 中，0>d ，23a =，且1341,1,1a a a +-+成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）已知11.n n n b a a +=，{}n b 前项和为n S ，若89+-<n S n ，求n 的最大值.20.（本小题12分）在三角形ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos sin 3a b C c B =+. （1）求B ；（2）若AD 为BAC ∠的平分线，且24BD DC ==，求c .21.（本小题12分）如图所示，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11是边长为2的正方形，11A ACC 是菱形，oCAA 601=∠，且平面C C BB 11垂直平面11A ACC ，M 为11AC 中点. （1）求证：平面MBC ⊥平面111A B C ；（2）求点1C 到平面C MB 1的距离.22.（本小题12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在x 轴上的圆C 经过点)03(，A ，且被y 轴截得弦长为32，经过坐标原点O 的直线l 与圆C 交于N M ,两点。
四川省南充2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析
高2022级高二上期期中考试数学试题（答案在最后）总分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线0y -=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.502.水平放置的ABC 的直观图如图所示，D ¢是A B C ''' 中B C ''边的中点，且A D ''平行于y '轴，则A B ''，A D ''，A C ''对应于原ABC 中的线段AB ，AD ，AC ，对于这三条线段，正确的判断是（）A.最短的是ADB.最短的是ACC.AB AC> D.AD AC>3.若[]0,πα∈，5252cos cos sin sin 03333αααα+=，则α的值是（）A.π6 B.π4C.π3D.π24.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，11CC BC ==，AC BC ⊥，则异面直线AC 与1BC 所成角大小为（）A.90B.60C.45D.305.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.14B.38C.512D.586.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m ββα⊥∥，则m α⊥B.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥C.若//m α且//n α，则//m nD.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥7.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A 在同一水平面的B ，C 两处作为观测点，测得36m BC =，=45ABC ∠︒，105ACB ∠=︒，在C 处测得阁顶P 的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度AP 为（精确到0.1m 2 1.41≈3 1.73≈）（）A.72.0mB.51.0mC.50.8mD.62.3m8.南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，12cm AB BC ==，18cm AA =，3D 打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（）gA.86.4B.172.8C.864D.950.4二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数12z i =+，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.z 的共轭复数为12i -B.z =C.254iz =+ D.4i 12iz ⋅=--10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件11.如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中//AB CD ，2AB CD =，M ，N 分别为AB CD ，的中点，则结论正确的是（）A.12AC AD AB=+ B.1122CM CA CB=+C.14MN AD AB=+ D.12BC AD AB=+ 12.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 满足113AM AC = ，12CN CD =，点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.1DM AC ⊥ B.DM ∥平面11CB D C.若1B P ∥平面11A NC ，则1B P 5D.若1B P ∥平面11A NC ，则点P 的轨迹长度为62三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一组数据：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为______.14.直线1:10l mx y -+=，()2:3220l m x my -+-=，若12l l ⊥，则实数m 的值为_________________.15.已知()0,0,1OA = ，()2,1,2OB =-，则三角形OAB 的面积为_____________．16.正四面体ABCD 的棱长为12，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知四边形ABCD 的三个顶点()2,3A ，()1,1B -，()4,2C -．（1）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离．18.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60︒．记AB a =，AD b =，1AA c = ．（1）求1BD的长；（2）求1BD与AC夹角的余弦值．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求直线AB 与平面BMN 所成角的余弦值．20.2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．（1）确定a 的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；（2）从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，再从这20家专项贷款金额在[]200,300内的企业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在[)200,250内的概率．21.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，3b c =，1cos 3A =-．（1）求c 的值；（2）求sin C 的值；（3）求()sin 2A C +的值．22.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1AD CD BC CF ====．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求点C 到平面ABF 的距离；（3）若点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 的夹角为θ，试求cos θ的取值范围．高2022级高二上期期中考试数学试题总分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4．考试结束后将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线0y -=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.50【答案】B 【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求得倾斜角为60θ= .0y --=可知其斜率为k =设直线倾斜角为θ，则tan θ=，可得60θ= .故选：B2.水平放置的ABC 的直观图如图所示，D ¢是A B C ''' 中B C ''边的中点，且A D ''平行于y '轴，则A B ''，A D ''，A C ''对应于原ABC 中的线段AB ，AD ，AC ，对于这三条线段，正确的判断是（）A.最短的是ADB.最短的是ACC.AB AC >D.AD AC>【答案】A【解析】【分析】根据题意，由直观图与原图的关系，结合条件，即可判断.【详解】因为A D ''平行于y '轴，所以在ABC 中，AD BC ⊥，又因为D ¢是A B C ''' 中B C ''边的中点，所以D 是BC 的中点，所以AB AC AD =>.故选：A3.若[]0,πα∈，5252cos cos sin sin 03333αααα+=，则α的值是（）A.π6 B.π4C.π3D.π2【答案】D 【解析】【分析】利用余弦的差角公式得到cos 0α=，再根据条件即可求出结果.【详解】因为525252cos cos sin sin cos()cos 0333333ααααααα+=-==，又[]0,πα∈，所以π2α=，故选：D.4.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，11CC BC ==，AC BC ⊥，则异面直线AC 与1BC 所成角大小为（）A.90B.60C.45D.30【答案】A 【解析】【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线AC 与1BC 所成角大小.【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，且ACBC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,1C ，所以，()2,0,0CA =，()10,1,1BC =- ，所以，10CA BC ⋅=，则1CA BC ⊥，所以，异面直线AC 与1BC 所成角为90 .故选：A.5.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.14B.38C.512D.58【答案】A 【解析】【分析】根据随机数找出三次投篮恰有两次命中的数组，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率31124P ==.故选：A6.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m ββα⊥∥，则m α⊥B.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥C.若//m α且//n α，则//m nD.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直以及面面垂直的性质判断A ，B ；根据线面平行的性质判断C ；根据线面垂直的性质判断D.【详解】对于A ，若m β∥，βα⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故A 错误，对于B ，若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故B 错误，对于C ，若//m α且//n α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故C 错误.对于D ，若,m n ββ⊥⊥，则m n ∥，又n α⊥，所以m α⊥，故D 正确，故选：D.7.2023年7月28日、第31届世界大学生夏季运动会将在成都东安湖体育公园开幕．公园十二景中的第一景东安阁，阁楼整体采用唐代风格、萃取太阳神乌形象、蜀锦与宝相花纹（芙蓉花）元素，严谨地按照唐式高阁的建筑形制设计建造，已成为成都市文化新地标，面向世界展现千年巴蜀风韵．某数学兴趣小组在探测东安阁高度的实践活动中，选取与阁底A 在同一水平面的B ，C 两处作为观测点，测得36m BC =，=45ABC ∠︒，105ACB ∠=︒，在C 处测得阁顶P 的仰角为45°，则他们测得东安阁的高度AP 为（精确到0.1m1.41≈1.73≈）（）A.72.0mB.51.0mC.50.8mD.62.3m【答案】C 【解析】【分析】在ABC中，由正弦定理可求AC =，进而可得结果.【详解】在ABC 中，则()18030BAC ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒，因为sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，可得36sin 21sin 2BC ABCAC BAC⨯∠===∠m ），在APC △中，则90,45PAC ACP ∠=︒∠=︒，即APC △为等腰直角三角形，可得50.8AP AC ==≈（m ）.故选：C.8.南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，12cm AB BC ==，18cm AA =，3D 打印所用原料密度为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（）gA.86.4B.172.8C.864D.950.4【答案】D 【解析】【分析】根据题设，应用棱锥、长方体的体积求法求该模型的体积，进而求其质量.【详解】由题设，1812446482EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=2cm ，且棱锥O EFGH -的高为6cm ，所以1486963O EFGH V -=⨯⨯=3cm ，长方体的体积121281152V =⨯⨯=3cm ，所以该模型体积1056O EFGH V V V -'=-=3cm ，故该模型所需原料的质量为10560.9950.4⨯=g.故选：D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设复数12z i =+，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.z 的共轭复数为12i -B.z =C.254i z =+D.4i 12iz ⋅=--【答案】AB 【解析】【分析】由共轭复数的定义、复数模的公式，复数乘法的运算，对选项进行判断.【详解】复数12z i =+，则12i z =-，A 选项正确；z ==，B 选项正确；()2224i 4i 4i 434i 12i =1=1z +++=+-+=-，C 选项错误；41i =，42i i 1z z ==+⋅，D 选项错误.故选：AB10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件【答案】ACD【解析】【分析】列出事件A ，B ，C ，AC 的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C 的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC 的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件A B ⋃是必然事件，故正确；B.因为A B ⋂≠∅，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故错误；C.因为C B ⊆，所以事件B 包含事件C ，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618P A P C P AC ======⨯⨯⨯，所以()()()P A P C P AC ⋅=，所以事件A 与事件C 是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中//AB CD ，2AB CD =，M ，N 分别为AB CD ，的中点，则结论正确的是（）A.12AC AD AB =+B.1122CM CA CB =+C.14MN AD AB =+ D.12BC AD AB =+ 【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，可得四边形AMCD 为平行四边形，再结合向量线性运算逐项分析计算作答.【详解】对于A ，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB CD =，M 为AB 中点，即有AM CD =，则四边形AMCD 为平行四边形，12AC AD AM AD AB =+=+ ，A 正确；对于B ，M 为AB 中点，1122CM CA CB =+ ，B 正确；对于C ，N 为CD 的中点，111224MN MA AD DN AB AD DC AD AB =++=-++=- ，C 不正确；对于D ，由选项A 知，MC AD = ，12BC MC MB AD AB =-=- ，D 不正确.故选：AB12.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 满足113AM AC = ，12CN CD = ，点P 是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）A.1DM AC ⊥ B.DM ∥平面11CB D C.若1B P ∥平面11A NC ，则1B P 5D.若1B P ∥平面11A NC ，则点P 的轨迹长度为62【答案】ABC【解析】【分析】以点1D 为原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A 、B 选项，分别取AB 、BC 中点G 、H ，连接1B G 、GH 、1B H 、11A C 、1A N 、1NC 、GN ，证明面面平行，找出P 点的轨迹，结合图形求出1B P 的最大值和点P 的轨迹长度，可判断C 、D 选项.【详解】以点1D 为原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()10,0,0D 、()12,2,0B 、(0,2,2)C 、(2,0,2)A 、(0),0,2D 、()10,2,0C ，对于A 选项，11422,,3333⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭DM AM AD AC AD ，()12,2,2AC =-- ，18440333⋅=-++= DM AC ，故1DM AC ⊥，选项A 正确；对于B 选项，因为()112,2,0D B = ，()10,2,2D C = ，设平面11CB D 法向量为()111,,m x y z = ，则1111111220220m D B x y m D C y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11y =-，则111x z ==，可得()1,1,1m =- ，4220333m DM ⋅=--= ，即m DM ⊥ ，因为DM ⊄平面11CB D ，所以DM ∥平面11CB D ，故选项B 正确；对于C 选项，因为12CN CD = ，所以N 为CD 中点，如图分别取AB 、BC 中点G 、H ，连接1B G 、GH 、1B H 、11A C 、1A N 、1NC 、GN ，因为G 、H 分别为AB 、BC 中点，所以GH AC ∥，又因为11AA CC ∥且11AA CC =，则四边形11AA C C 为平行四边形，所以11AC A C ∥，所以11GH A C ∥，且GH ⊄平面11A NC ，11AC ⊂平面11ANC ，所以GH ∥平面11A NC ，同理可得，1B G ∥平面11A NC ，因为1B G GH G = ，1B G 、GH Ì平面1B GH ，所以平面1B GH ∥平面11A NC ，因此当点P 为1B GH △的边上一点（异于点1B ）时，则1B P ⊂平面1B GH ，所以1B P ∥平面11A NC ，故点P 的轨迹为1B GH △的边上一点（异于点1B ），因为2222111215B G B H BB BG ==+=+=所以结合图形可知，当点P 在G 点或H 点时，1B P 5，故选项C 正确；对于D 选项，根据C 选项的分析，P 点的轨迹的长度为1155252++=B G B H GH ，故D 选项错误.故选：ABC【点睛】本题的核心是将求轨迹问题转化为面面平行的问题，满足条件的点一定在与已知平面平行的平面上，只要做出这个平面就能画出轨迹.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知一组数据：24，30，40，44，48，52.则这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为______.【答案】36【解析】【分析】根据百分位数的定义得到第30百分位和第50百分位，即可求解．【详解】因为630% 1.8⨯=，故这组数据的第30百分位数为30，因为650%3⨯=，所以第50百分位数为4044422+=，所以这组数据的第30百分位数、第50百分位数的平均数为3042362+=，故答案为：36．14.直线1:10l mx y -+=，()2:3220l m x my -+-=，若12l l ⊥，则实数m 的值为_________________.【答案】0或1【解析】【分析】根据直线垂直的充要条件计算即可.【详解】由题意可知：()()23210330m m m m m ⨯-+-⨯=⇒-=，解之得0m =或1.故答案为：0或1.15.已知()0,0,1OA = ，()2,1,2OB =- ，则三角形OAB 的面积为_____________．【答案】【解析】【分析】利用空间向量求出cos AOB ∠，再利用三角形面积公式计算即得.【详解】由()0,0,1OA = ，()2,1,2OB =- ，得3||1,||A OB O == ，则2cos 3||||OA OB AOB OA OB ⋅∠== ，于是sin 3AOB ∠==，所以三角形OAB 的面积为113232OAB S =⨯⨯⨯= .故答案为：216.正四面体ABCD 的棱长为12，点P 是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为__________．【答案】-【解析】【分析】先根据正四面体的体积求出内切球的半径，取AD 的中点为E ，再根据数量积得到236PA PD PE ⋅=- ，可得当PE 的长度最小时，PA PD ⋅ 取得最小值，再求出球心O 到点E 的距离d ，从而可得点P 到AD 的距离为d r -，进而求解即可．【详解】由正四面体ABCD 的棱长为12，则其高为h =，则其体积为111212322V =⨯⨯⨯⨯⨯=设正四面体ABCD 内切球的半径为r ，则11341212322V r =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=r =，如图，取AD 的中点为E ，则()()()2236PA PD PE EA PE ED PE PE EA ED EA ED PE ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=- ，显然，当PE 的长度最小时，PA PD ⋅ 取得最小值，设正四面体内切球的球心为O ，可求得OA h r =-=，则球心O 到点E 的距离d ==所以内切球上的点P 到点E 的最小距离为d r -=，即当PA PD ⋅取得最小值时，点P 到AD 的距离为．故答案为：-．【点睛】关键点睛：本题考查几何体的内切球问题，解题的关键是先根据正四面体的体积可求出内切球的半径，得出点P 到AD 的距离为球心O 到点E 的距离减去半径．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知四边形ABCD 的三个顶点()2,3A ，()1,1B -，()4,2C -．（1）若四边形ABCD 是平行四边形，求顶点D 的坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离．【答案】（1）()5,2D（2）17【解析】【分析】（1）由平行四边形特点得到AB DC = ，进而求出点D 坐标即可；（2）先求出直线AB 的方程，再根据点到直线的距离公式求出点C 到直线AB 的距离即可.【小问1详解】设(),D x y ，则()1,4AB =-- ，()4,2DC x y =--- ，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB DC = ，即()()1,44,2x y --=---，则1442x y -=-⎧⎨-=--⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，所以()5,2D ；【小问2详解】由直线两点式知AB 的方程为321312y x --=---，即450x y --=，所以点C 到直线AB 的距离131717d ==.18.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60︒．记AB a =，AD b = ，1AA c = ．（1）求1BD 的长；（2）求1BD 与AC 夹角的余弦值．【答案】（1（2）6【解析】【分析】（1）表达出1BD a c b =-++ ，平方后，结合数量积运算法则计算出212BD = ，求出1BD；（2）计算出AC = ，11BD AC ⋅= ，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由题意知：1a b c === ，,,,60a b b c c a <>=<>=<>=︒ ，∴111cos 602a b b c c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=r r r r r r ，又∵1111BD BA AA A D a c b =++=-++ ，∴()22222122211112BD b c a b c a b c b a c a =+-=+++⋅-⋅-⋅=++-= ，∴1BD = 1BD，【小问2详解】∵AC AB AD a b =+=+，∴()22221212132AC a b a a b b =+=+⋅+=+⨯+= ，∴AC = ，()()2211BD AC b c a a b a b a c a b b c a b ⋅=+-⋅+=⋅+⋅-++⋅-⋅= ，∴111cos ,6BD AC BD AC BD AC ⋅<>== ，即1BD 与AC夹角的余弦值为6．19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求直线AB 与平面BMN 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）法一，通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明；法二，通过证明面面平行，证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BMN 的法向量，利用线面角的公式即可求.【小问1详解】证明：（法一）：取BC 的中点G ，连接GN ，1GB ，∵直三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A B 的中点，所以1111122B M A B AB ==，且1//B M AB ， 因为G ，N 分别BC ，AC 的中点，∴//GN AB ，12GN AB =，∴1//GN B M ，1GN B M =，∴四边形1B MNG 为平行四边形，∴1MN B G ∥，又∵MN ⊄平面11B C CB ，1B G ⊂平面11B C CB ，故//MN 平面11B C CB .（法二）：取AB 的中点K ，连接MK ，NK ，由直三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形又 M 为11A B 的中点，∴1//B M BK ，1=B M BK ，∴四边形1BB MK 为平行四边形，∴1//MK BB ，又∵MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B 故//MK 平面11BCC B ．∵点N ，K 分别为AC ，AB 的中点，∴//NK BC ，又∵NK ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，∴//NK 平面11BCC B ，而NK MK K = ，NK ⊂平面MNK ，MK ⊂平面MNK ，∴平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MNK ，故//MN 平面11BCC B .【小问2详解】∵在直三棱柱111ABC A B C -中又有AB BC ⊥，∴BC ，BA ，1BB 两两垂直，分别以直线BC ，BA ，1BB 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,2,0A ，()1,1,0N ，()0,1,2M ，∴()0,2,0BA = ，()1,1,0BN = ，()0,1,2BM =，设(),,n x y z =是平面BMN 的法向量，则020n BN x y n BM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1z =-，则()2,2,1n =-- 设直线AB 与平面BMN 所成的角为θ，则42sin cos ,233n BA θ=<>==⨯ ，所以直线AB 与平面BMN 所成的角的余弦为25cos 1sin 3θθ=-=．20.2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．下图是该地100家中小微企业的专项贷款金额（万元）的频率分布直方图．（1）确定a 的值，并估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数；（2）从这100家中小微企业中按专项贷款金额分层抽样随机抽取20家，再从这20家专项贷款金额在[]200,300内的企业中随机抽取3家，求这3家的专项贷款金额都在[)200,250内的概率．【答案】（1）0.004a =，175万元（2）25【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，即可求出a ，再求出众数；（2）首先求出[)200,250、[]250,300组中抽取的企业数，利用列举法列出所有可能得结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图得()0.0020.00320.0060.001501a ++++⨯=，解得0.004a =，因为专项贷款金额在[)150,200的频率最大，所以估计这100家中小微企业的专项贷款金额的众数为()11502001752+=万元【小问2详解】由题意知分层抽样抽取比例为2011005=，抽样的20家中小微企业中专项贷款金额在[]200,300内应抽取的企业有()11000.0040.0015055⨯+⨯⨯=家．在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在[)200,250内的有4545⨯=家，记为A ，B ，C ，D ；专项贷款金额在[]250,300内的有1515⨯=家，记为E ．从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE 共10种，其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[)200,250内的情况为ABC ，ABD ，ACD ，BCD 共4种，所以所求概率42105P ==．21.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a =，3b c =，1cos 3A =-．（1）求c 的值；（2）求sin C 的值；（3）求()sin 2A C +的值．【答案】（1）1c =（2）sin C =（3）3-【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理即可求出结果；（2）根据条件，利用同角三角函数间的关系，得到sin 3A =，再利用正弦定理即可求出结果；（3）法一，利用二倍角公式，求出sin2,cos2A A ，利用同角三角函数间的关系求出cos C ，即可求出结果；法二，利用πA B C ++=，得到()()sin 2sin A C B A +=-，再计算出sin ,cos B B 即可求出结果.【小问1详解】因为a =，3b c =，1cos 3A =-，由余弦定理可得2222229121cos 263b c a c c A bc c +-+-===-，整理得210c -=，解得1c =.【小问2详解】因为1cos 3A =-，()0,πA ∈，所以sin 3A ===，由正弦定理sin sin a cA C=1sin 223C =，解得sin C =【小问3详解】（法一）由（2）得，1sin 22sin cos 2339A A A ⎛⎫==⨯-=-⎪⎝⎭，2217cos 22cos 12139A A ⎛⎫=-=⨯--=- ⎪⎝⎭，53cos 9C ===，所以()4253766sin 2sin 2cos cos 2sin 99993A C A C A C +=+=-⨯-⨯=-，所以()sin 23A C +=-．（法二）由余弦定理可得22222213cos23a cb B ac+-+-===，∴sin 3B ==，∴()()()()()sin 2sin sin πsin πsin A C A C A B A B A B A+=++=-+=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦613226sin cos cos sin 33333B A B A ⎛⎫=-=--⨯=-⎪⎝⎭.22.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1AD CD BC CF ====．（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；（2）求点C 到平面ABF 的距离；（3）若点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 的夹角为θ，试求cos θ的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）7；（3）71,72⎤⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线面垂直，再根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）可以应用等体积法求出点到平面的距离，也可以应用向量法求出点到面的距离；（3）先求出两个面的法向量，再求出法向量的夹角的余弦值的绝对值，最后根据参数的取值范围求出余弦值的取值范围.【小问1详解】在等腰梯形ABCD 中有AB //CD ，1AD CD BC ===，60ABC ∠=︒，所以2AB =且2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，所以222AB AC BC =+，即BC AC ⊥，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ；【小问2详解】法一：因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，而FC AC ⊥，所以FC ⊥平面ABC ，所以13F ABC ABC V S FC -=⨯⨯△，又由（1）知BC AC ⊥，所以1122ABC S =⨯=，所以11326F ABC V -=⨯⨯=，因为FC AC ⊥，所以2AF AB ===，因为BC ⊥平面ACFE 且CF ⊂平面ACFE ，所以BC CF ⊥，所以BF ==，所以△ABF 为等腰三角形，边BF上的高d ==，所以1147222ABF S ∆==，设点C 到平面ABF 的距离为h ，由C ABF F ABC V V --=得136ABF S h ∆⨯⨯=，即173326h ⨯⨯=，解得h =C 到平面ABF 的距离为217；法二：由（1）知BC ⊥平面ACFE 且FC AC ⊥，建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示空间直角坐标系，如图所示，，则()0,0,0C，)A，()0,1,0B ，()0,0,1F ，所以)CA =，()AF = ，()0,1,1BF =-，设()111,,m x y z =为平面ABF 的一个法向量，则11110000m AF z y z m BF ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令1z =，则111,x y ==，所以(m =，所以点C 到平面ABF的距离为7CA m d m⋅=== ；【小问3详解】由（1）知BC ⊥平面ACFE 且FC AC ⊥，建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示空间直角坐标系，如图所示，，令FM λ=（0λ≤≤），则()0,0,0C，)A，()0,1,0B ，(),0,1M λ，则()AB = ，(),1,1BM λ=-，设()1222,,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，则222220000n AB y x y z n BM λ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩ ，令21x =，则22y z λ==，所以()1n λ=，而平面FCB ⊂平面yOz ，所以平面FCB 的一个法向量为()21,0,0n =，所以121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>==又0λ≤≤，所以2≤，所以7172，故cos θ的取值范围为71,72⎤⎥⎣⎦．。
四川省南充市高二上学期数学期中考试试卷
四川省南充市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题正确的（）A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则2. （2分） (2018高一下·西城期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·哈尔滨期中) 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高三上·孝感期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图，则四棱锥P﹣ABCD的全面积为（）A .B .C . 5D . 45. （2分） (2017高一下·承德期末) 直线﹣ =1在x轴上的截距是（）A . ﹣3B . 3C . ﹣4D . 46. （2分）如果AB>0,BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）设,,若直线与圆相切,则m+n的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不等式组所确定的平面区域在x2+y2=4内的面积为（）A .B .C . πD . 2π9. （2分）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A .B .C .D .10. （2分）若在区间上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A . 若，则不存在实数，使得B . 若，则存在且只存在一个实数，使得C . 若，则不存在实数，使得D . 若，则有可能存在实数，使得11. （2分）在中，已知，那么一定是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 正三角形D . 等腰直角三角形12. （2分） (2016高二上·重庆期中) 已知F1 ， F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2= ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A .B .C . 3D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·三明期中) 函数的定义域是________．14. （1分） (2017高三上·盐城期中) 函数y=sin2x的最小正周期是________．15. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 过点（﹣1，3），且圆心为（3，0）的圆的方程为________．16. （1分） (2016高三上·六合期中) 已知直线l：x﹣y=1与圆M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2018·济南模拟) 已知数列的前项和为 .(I)求证：数列为等差数列；(II)令，求数列的前n项和．18. （10分） (2017高二上·襄阳期末) 已知方程（m2﹣2m﹣3）x+（2m2+m﹣1）y+5﹣2m=0（m∈R）．（1）求方程表示一条直线的条件；（2）当m为何值时，方程表示的直线与x轴垂直；（3）若方程表示的直线在两坐标轴上的截距相等，求实数m的值．19. （10分）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB=4，BE=1．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．20. （5分）(2017·扬州模拟) 如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．21. （10分） (2016高二上·潮阳期中) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率．（1）求a的值并估计在一个月（按30天算）内日销售量不低于105个的天数；（2）利用频率分布直方图估计每天销售量的平均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．22. （10分）已知3x+5y+14=0，其中x∈[﹣3，2]，求：||的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
『精选』2020年四川省南充高中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2018学年四川省南充高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（i+1）=，则复数z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．i D．12．（5分）下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b23．（5分）函数f（x）=x2﹣5x+6，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）双曲线+=1的焦距为（）A．1 B．2 C．2D．25．（5分）设集合A={x||x﹣2|＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率p（k2≥10.83）≈0.001表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为0.1%B．变量X与变量Y有关系的概率为99%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%7．（5分）已知点A的坐标为（5，2），F为抛物线y2=x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（）A．（1，）B．（，2）C．（，﹣2） D．（4，2）8．（5分）图中的线段按下列规则排列，试猜想第9个图形中的线段条数为（）A．510 B．512 C．1021 D．10229．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）若AB是过椭圆+=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（）A．6 B．12 C．24 D．4811．（5分）若点P在y=x2上，点Q在x2+（y﹣3）2=1上，则|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣112．（5分）以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=4 B．x2+（y﹣2）2=2 C．（x﹣2）2+y2=2 D．x2+（y﹣2）2=4二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线x2=8y的焦点到直线x﹣y=0的距离是．14．（5分）在某次飞镖集训中，甲、乙、丙三人10次飞镖成绩的条形图如下所示，则他们三人中成绩最稳定的是．15．（5分）如图所示的程序框图运行的结果是．16．（5分）以下命题中：①命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）g（x0）≠0”；②点P是抛物线y2=2x上的动点，点M是P在y轴上的射影，点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；③命题“若P则q”与命题“若非p则非q”互为逆否命题；④若过点C（1，1）的直线l交椭圆C：+=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y﹣7=0．其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A 的横坐标为2，且．（Ⅰ）求此抛物线C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）作直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．18．（10分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．19．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，准线l与圆x2+y2=4相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知直线l和抛物线C交于点A，B，命题P：“若直线l过定点（0，1），则•=﹣7”，请判断命题P的真假，并证明．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点（，）在C上（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为，过点A（x0，0）（x0≥）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（﹣x0，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．22．（12分）设椭圆M：+=1（a＞2）焦点坐标为F1（﹣c，0），F2（c，0），点Q是椭圆短轴上的顶点，且满足|+|=2c．（1）求椭圆M的方程；（2）设A，B是圆与N：x2+（y﹣2）2=1与y轴的交点，P是椭圆M上的任一点，求•的最大值．2018学年四川省南充高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若复数z满足z（i+1）=，则复数z的虚部为（）A．﹣1 B．0 C．i D．1【解答】解：由z（i+1）=，得．∴复数z的虚部为0．故选：B．2．（5分）下列命题正确的是（）A．∃x0∈R，x02+2x0+3=0B．∀x∈N，x3＞x2C．x＞1是x2＞1的充分不必要条件D．若a＞b，则a2＞b2【解答】解：A错，∵方程的根的判别式△=4﹣4×3＜0，此方程没有实数解：B错，∵当x=1时，x3=x2；C对，∵x2＞1⇔（x﹣1）（x﹣1）＞0⇔x＜﹣1或x＞1∴x＞1⇒x2＞1成立，但x2＞1⇒x＞1不成立，∴x＞1是x2＞1的充分不必要条件；D错，∵若a＞b，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）不一定大于0．故选：C．3．（5分）函数f（x）=x2﹣5x+6，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的x0的范围是[2，3]，由几何概型的公式得到使f（x0）≤0的概率是；4．（5分）双曲线+=1的焦距为（）A．1 B．2 C．2D．2【解答】解：因双曲线+=1，化为：，①或②，①应满足即0＜a＜1；②应满足，解得a∈∅，故双曲线的方程为：，所以焦距为：2c=2=2，故选：B．5．（5分）设集合A={x||x﹣2|＜1}，，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵|x﹣2|＜1，∴﹣1＜x﹣2＜1，∴1＜x＜3，即A={x|1＜x＜3}；又2x＞=2﹣1，∴x＞﹣1，∴B={x|x＞﹣1}；∴A B∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．6．（5分）独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系．则在H0成立的情况下，估算概率p（k2≥10.83）≈0.001表示的意义是（）A．变量X与变量Y有关系的概率为0.1%B．变量X与变量Y有关系的概率为99%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%【解答】解：∵概率P（k2≥10.83）≈0.001，∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.001=99.9%，即两个变量有关系的概率是99.9%，故选：D．7．（5分）已知点A的坐标为（5，2），F为抛物线y2=x的焦点，若点P在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时，则点P的坐标是（）A．（1，）B．（，2）C．（，﹣2） D．（4，2）【解答】解：由题意可知：A（5，2）在抛物线内部，设P（x，y）则由抛物线的定义可知：丨PF丨=丨PH丨，则|PA|+|PF|=|PA|+丨PH丨，则当A，P，H三点共线时，|PA|+丨PH丨取最小，则y=2，则x=4，故P点坐标为（4，2），故选：D．8．（5分）图中的线段按下列规则排列，试猜想第9个图形中的线段条数为（）A．510 B．512 C．1021 D．1022【解答】解：通过观察，第一个图形有1个第二个图形有1+2×2个第三个图形有1+2×2+4×2个第四个图形有1+2×2+4×2+8×2个第五个图形有1+2×2+4×2+8×2+16×2个第六个图形有1+2×2+4×2+8×2+16×2+32×2个…∴第9个图形有1+2（2+4+8+16+32+64+128+256）=1021（个）．故选：C．9．（5分）从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，设P（﹣c，y0）（y0＞0），则+=1，∴y0=，∴P（﹣c，），又A（a，0），B（0，b），AB∥OP，∴k AB=k OP，即==，∴b=c．设该椭圆的离心率为e，则e2====，∴椭圆的离心率e=．故选：C．10．（5分）若AB是过椭圆+=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为（）A．6 B．12 C．24 D．48【解答】解：设直线AB的方程为：y=kx，联立，化为（25+16k2）x2=400，解得x=±．∴△FAB面积S=|OF|•|x1﹣x2|=×3×≤12，当k=0即AB为椭圆的短轴时，△FAB面积取得最大值12．故选：B．11．（5分）若点P在y=x2上，点Q在x2+（y﹣3）2=1上，则|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣1【解答】解：圆x2+（y﹣3）2=1的圆心A（0，3），半径为1，∵点P在抛物线y=x2上，设P（x，x2），∴丨PQ丨=丨AP丨﹣丨AQ丨==﹣1=，由二次函数的性质可知：当x2=时，丨PQ丨取最小值，最小值为：﹣1，故选B．12．（5分）以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+y2=4 B．x2+（y﹣2）2=2 C．（x﹣2）2+y2=2 D．x2+（y﹣2）2=4【解答】解：双曲线的焦点坐标是（0，﹣2）和（0，2），离心率为e=2．所以所求圆的圆心坐标是（0，﹣2）或（0，2），半径r=2，∴所求圆的方程为x2+（y+2）2=4或x2+（y﹣2）2=4．故选：D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）抛物线x2=8y的焦点到直线x﹣y=0的距离是．【解答】解：由抛物线x2=8y的焦点F（0，2），则焦点到直线x﹣y=0的距离d==，∴抛物线x2=8y的焦点到直线x﹣y=0的距离是，故答案为：．14．（5分）在某次飞镖集训中，甲、乙、丙三人10次飞镖成绩的条形图如下所示，则他们三人中成绩最稳定的是丙．【解答】解：根据题意，分析条形图中的数据，知；丙图中的数据都分布在8附近，成单峰分布，最稳定；甲乙两图中的数据较分散些．故答案为：丙．15．（5分）如图所示的程序框图运行的结果是．【解答】解：本程序框图功能是求A=+++…，∵不满足条件i≤2012的最小i=2013，∴输出的A=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故答案是．16．（5分）以下命题中：①命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）g（x0）≠0”；②点P是抛物线y2=2x上的动点，点M是P在y轴上的射影，点A的坐标是A（3，6），则|PA|+|PM|的最小值是6；③命题“若P则q”与命题“若非p则非q”互为逆否命题；④若过点C（1，1）的直线l交椭圆C：+=1于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3x+4y﹣7=0．其中真命题的序号是①②④．（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①，命题：“∀x∈R，f（x）g（x）=0”的否定是“∃x0∈R，f（x0）g（x0）≠0”，故①正确；对于②，点P是抛物线y2=2x上的动点，点M是P在y轴上的射影，点A的坐标是A（3，6），设点P在抛物线的准线x=﹣上的射影为N，作图如下：由抛物线的定义知，|PN|=|PF|，故|PM|=|PN|﹣，则|PA|+|PM|=|PA|+|PN|﹣=|PA|+|PF|﹣≥|AF|﹣=﹣=﹣=6，即|PA|+|PM|的最小值是6，故②正确；对于③，命题“若p则q”与命题“若非q则非p”互为逆否命题，与命题“若非p则非q”互为否命题，故③错误；对于④，若过点C（1，1）的直线l交椭圆C：+=1于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，两式相减，整理得：k AB=﹣•，又C（1，1）是AB的中点，所以x1+x2=2，y1+y2=2，所以k AB=﹣，则直线l的方程是3x+4y﹣7=0，故④正确；综上所述，其中真命题的序号是①②④，故答案为：①②④．三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上一点A 的横坐标为2，且．（Ⅰ）求此抛物线C的方程；（Ⅱ）过点（4，0）作直线l交抛物线C于A，B两点，求证：OA⊥OB．【解答】（Ⅰ）解：设抛物线C：y2=2px（p＞0），点A（2，y0），则有，∵，∴，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x；（Ⅱ）证明：当直线l斜率不存在时，此时l：x=4，解得A（4，4），B（4，﹣4），满足，∴OA⊥OB；当直线l斜率存在时，设l：y=k（x﹣4），联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则•=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2﹣4k2（x1+x2）+16k2=16（1+k2）﹣32k2﹣16+16k2=0，即有OA⊥OB．综上，OA⊥OB成立．18．（10分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．（1）求z的值（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．从这5辆车中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率．【解答】解：（1）由题意可得=，解得z=400．（2）这5辆车中，舒适型的有5×=2辆，标准型的有5×=3辆．从这5辆车中任取2辆，所有的取法有=10种，至少有1辆舒适型轿车的取法有•+=7种，∴至少有1辆舒适型轿车的概率为．19．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴正半轴上，准线l与圆x2+y2=4相切．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知直线l和抛物线C交于点A，B，命题P：“若直线l过定点（0，1），则•=﹣7”，请判断命题P的真假，并证明．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：x2=2py，p＞0其准线l的方程为：y=﹣，∵准线l圆x2+y2=4相切，∴=2，解得：p=4，故抛物线线C的方程为：x2=8y；…．…（5分）（Ⅱ）命题p为真命题…（6分）证明：直线m和抛物线C交于A，B且过定点（0，1），故所以直线m的斜率k一定存在，…（7分）设直线m：y=kx+1，交点A（x1，y1）B（x2，y2）．联立抛物线C的方程，整理得：x2﹣8kx﹣8=0，△=64k2+64＞0恒成立，…（8分）由韦达定理得：x1+x2=8k，x1•x2=﹣8，…（9分）y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1•x2+k（x1+x2）+1=﹣8k2+8k+1•=x1•x2+y1•y2=﹣8+﹣8k2+8k+1=﹣7，∴命题P为真命题．…（12分）．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点（，）在C上（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为（2，0），由题意可得：c=2，即a2﹣b2=4，又点（，）在椭圆C上，可得，解得：a2=8，b2=4，c2=a2﹣b2=4，∴C的方程：；…（5分）（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=kx+b（k，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），…（6分），整理得：（1+2k2）x2+4kbx﹣2b2﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，…（8分）即有AB的中点M的横坐标为x M==﹣，纵坐标为y M=k（﹣）+b=，…（10分）直线OM的斜率为k OM==﹣，即有k OM•k=﹣，故OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．…（12分）21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为，过点A（x0，0）（x0≥）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（﹣x0，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，，故抛物线方程为y2=x，焦点．﹣﹣﹣﹣（1分）设直线l的方程为，P（x1，y1），Q（x2，y2）．由消去x，得．所以△=n2+1＞0，y1+y2=n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）因为，点A与焦点F重合，所以．所以n2=1，即n=±1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）所以直线l的方程为或，即4x﹣4y﹣1=0或4x+4y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+x0（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x2，﹣y2）．由消去x，得y2﹣my﹣x0=0，因为，所以△=m2+4x0＞0，y1+y2=m，y1y2=﹣x0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）方法一：设B（x B，0），则．由题意知，，所以x2y1﹣y1x B=﹣x1y2+x B y2，即．显然y1+y2=m≠0，所以x B=y1y2=﹣x0，即证B（﹣x0，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以k PB=1，即，也即，所以y1﹣y2=1，所以，即m2+4x0=1，所以m2=1﹣4x0＞0，即又因为，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分），所以d的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）方法二：因为直线，所以令y=0，则，所以B（﹣x0，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由题意知，△MBQ为等腰直角三角形，所以k PB=1，即，所以y1﹣y2=1，所以，即m2+4x0=1，所以m2=1﹣4x0＞0．因为，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以d的取值范围是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）22．（12分）设椭圆M：+=1（a＞2）焦点坐标为F1（﹣c，0），F2（c，0），点Q是椭圆短轴上的顶点，且满足|+|=2c．（1）求椭圆M的方程；（2）设A，B是圆与N：x2+（y﹣2）2=1与y轴的交点，P是椭圆M上的任一点，求•的最大值．【解答】解：（1）由题意可知，椭圆M：+=1（a＞2）的b=，不妨设Q（0，），则，，则由|+|=2c，得，即c=2．∴a2=b2+c2=16．∴椭圆M的方程为；（2）由x2+（y﹣2）2=1，得圆心N（0，2），则•=（）•（）=﹣1+，∵P是椭圆M上的任意一点，设P（x0，y0），∴，即，∵点N（0，2），∴===．∵y0∈[﹣，]，∴当y0=﹣2时，取得最大值24，∴•的最大值为23．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
四川省南充市高二上学期数学期中考试试卷
四川省南充市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2020高一下·丽水期末) 直线的倾斜角是（）A .B .C .D .2. （1分） (2019高二上·安徽月考) 在四面体中，，，，则四面体外接球的表面积是（）A .B .C .D .3. （1分） (2018高二上·北京月考) 曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （1分）若直线ax+2y+a-1=0与直线2x+3y-4=0垂直，则a的值为（）A . 3B . -3C .D .5. （1分）已知直线l1:ax-y+a=0，l2:(2a-3)x+ay-a=0互相平行，则a的值是（）A . 1B . -3C . 1或-3D . 06. （1分）在正方体中，O为正方形ABCD中心，则与平面所成角的正切值为（）A .B .C .D .7. （1分） (2019高二上·青海月考) 直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A .B .C .D .8. （1分）(2017·长沙模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A .B .C .D .9. （1分） (2016高二上·黑龙江期中) 一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D . 圆10. （1分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AA1=2，AC= ，过BC的中点D作平面ACB1的垂线，交平面ACC1A1于E，则BE与平面ABB1A1所成角的正切值为（）A .B .C .D .11. （1分）一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A . 或B . 或C . 或D . 或12. （1分）已知直线l：，若以点为圆心的圆与直线l相切于点P，且P在y 轴上，则该圆的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知直线y=2x+b过点（1，2），则b=________14. （1分） (2019高二下·蒙山期末) 在正方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．15. （1分）若两圆x2+y2﹣2x+10y+1=0，x2+y2﹣2x+2y﹣m=0相交，则m的取值范围为________．16. （1分） (2016高二上·杭州期中) 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，它的表面积为________三、解答题 (共6题；共9分)17. （2分） (2019高一下·辽源期末) 求倾斜角为且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点；（2）在轴上的截距是-5.18. （1分） (2018高二上·北京月考) 如图，在正三棱柱中，AB＝2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱到顶点C1的最短路线与棱的交点记为M，求：（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长.（Ⅱ）该最短路线的长及的值.（Ⅲ）平面与平面ABC所成二面角（锐二面角）19. （1分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知圆C： .（1）若直线过定点，且与圆C相切，求方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D方程.20. （2分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D，E分别为棱C1C，B1C1的中点．（1）求二面角B﹣A1D﹣A的平面角的余弦值；（2）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定点F的位置并证明结论；若不存在，请说明理由．21. （1分）(2020·辽宁模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，△PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是菱形，点M为PC的中点.（1）求证：PA∥平面MDB；（2）求三棱锥A﹣BDM的体积.22. （2分） (2016高一上·周口期末) 已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在直线x+y﹣2=0上．（1）求圆M的方程．（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共9分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年四川省南充市南充高级中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线 1y x =+的倾斜角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150【答案】D【分析】由斜率与倾斜角的关系求解，【详解】由题意得直线的斜率k =，即直线的倾斜角为150 故选：D2．在空间直角坐标系O xyz -中，()0,1,1A ，()1,0,1B -，则AB =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据空间两点间距离公式进行求解即可. 【详解】因为()0,1,1A ，()1,0,1B -，所以AB = 故选：B3．在正项等比数列 {}n a 中，32a =，则数列{}2log n a 的前 5 项之和为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据对数的运算性质以及等比数列的性质即可求解.【详解】由等比数列的性质得215243a a a a a ==,数列{}2log n a 的前 5 项之和为()521222324251234523232log log log log log log log 5log 5a a a a a a a a a a a a ++++====，故选：C4．在 ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，222c ab a b +=+，则角C 的正弦值为（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【分析】直接利用余弦定理计算得到1cos 2C =，再根据同角三角函数关系得到答案. 【详解】222c ab a b +=+，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，()0,πC ∈，223sin 1cos 2C C =-=. 故选：A5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．20B ．40C ．70D ．112【答案】C【分析】根据程序框图的步骤，进行计算，可得答案.【详解】第一次执行，由1,0i S ==，则()01112S =+⨯+=，又由15i =<，则进入循环； 第一次循环，由2,2i S ==，则()22218S =+⨯+=，又由25i =<，则进入循环； 第二次循环，由3,8i S ==，则()833120S =+⨯+=，又由35i =<，则进入循环； 第三次循环，由4,20i S ==，则()2044140S =+⨯+=，又由45i =<，则进入循环； 第四次循环，由5,40i S ==，则()4055170S =+⨯+=，又由55i ==，则输出70S =. 故选：C.6．已知圆 221:20C x y kx y +-+=与圆222:210C x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过点P ，则点P 的坐标为（ ） A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】计算公共弦所在直线为2210kx y ky -+-+=，得到20210x y y +=⎧⎨--=⎩，解得答案.【详解】圆 221:20C x y kx y +-+=与圆222:210C x y ky ++-=的公共弦所在直线为2210kx y ky -+-+=，即()2210k x y y +--=，故20210x y y +=⎧⎨--=⎩，解得112x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故直线过定点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A7．已知()()2114a b x =-=+，，， ，且a b ⊥，则2a b += （ ） AB．CD．【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求解1x =，进而根据模长公式即可求解.【详解】由()()2114a b x =-=+，，，，a b ⊥得()21401a b x x ⋅=+-=⇒=， 所以()2226,2,262a b a b +=+=+=故选：D8．已知集合(){}22,20A x y x y x =+-=∣,(){}22,880B x y x y x y m =+-++=∣，若A B ⋂有两个子集，则m 的值可以为（ ） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-【答案】D【详解】根据集合,A B 的含义结合A B ⋂有两个子集，可知两圆22(1)1x y -+=，2234)(42)x y m -++=-(相切，由此列出方程，可求得答案.由题意可得(){}2222,20{(,)|(1)1}A x y x y x x y x y =+-==-+=∣， (){}(){}2222,880,4()2)43B x y x y x y m x y x y m =+-++==-+=-+∣∣(，故要使A B ⋂有两个子集，则A B ⋂中有一个元素，即集合,A B中两圆的位置关系为内切或外切． 由于点(4,4)-在圆22(1)1x y -+=的外部，故需满足32m <15=，解得16m =或4m =-， 故选：D.9．如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF 平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①利用中位线证明出线线平行，从而得到直线BE 与直线CF 是共面直线，①错误； 直线BE 与直线AF 满足异面直线的定义，②正确；证明出线线平行，进而证明出线面平行，③正确；BE 与P A 的关系不能确定，故④不一定正确；【详解】画出该几何体，如图所示，①因为E ，F 分别是P A ，PD 的中点，所以EF AD ，所以EF BC ，直线BE 与直线CF 是共面直线，故①不正确； ②直线BE 与直线AF 满足异面直线的定义，故②正确；③由E ，F 分别是P A ，PD 的中点，可知EF AD ，所以EF BC ，因为EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以直线EF 平面PBC ，故③正确；④因为BE 与P A 的关系不能确定，所以不能判定平面BCE ⊥平面P AD ，故④不正确. 所以正确结论的个数是2.故选：B10．圆 ()()22:454C x y -+-=上的动点P 到直线:20l mx y m +--=的距离的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．2+D ．2+【答案】C【分析】直线过定点()12，，圆上的点到直线的最大距离即圆上的点到定点的距离，计算即可. 【详解】直线 10mx y m +--=所过的定点坐标为()12，， 圆()()22:454C x y -+-=的圆心坐标为()45C ，，半径为 2 ， 当圆上的动点P 到直线20mx y m +--=的距离最大时，即为圆上的动点P 到定点()12，的距离，已知圆心()45C ，到定点()12，的 =所以距离的最大值为2. 故选：C11．若圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．22⎡--⎣B ．2⎡⎤⎣⎦C ．⎢⎣⎦D ．2⎡⎣【答案】A【分析】求出已知圆的圆心与半径，则圆2244100x y x y ++--=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为:0l ax by +=的距离d ≤l 的斜率的取值范围.【详解】圆的方程2244100x y x y ++--=，可化为22(2)(2)18x y ++-=，则圆心为()22-，，半径为d ≤:0l ax by +=的距离为≤所以有2240a ab b -+≤①，当0b =时有0x =，此时圆心到直线0x =的距离为2>;当0a =时有0y =，此时圆心到直线0y =的距离为2>;当 0a ≠且0b ≠时，直线a y x b =-，则a k b =-，将①式同时除以2b 得22410a a b b-⨯+≤，即2410k k ++≤，解得22k -≤-+综上直线l 的斜率的取值范围是22⎡--⎣.故选：A12．对于圆 ()()222(0)x a y b r r -+-=>上任意一点()(),,22P x y x y m x y n m n -++-+≠的值与,x y 无关，有下列结论:① 点(),a b 的轨迹是一个圆； ② r 有最小值；③ 当 4m n -=时，r④ 当 1r m ==时，][(),911,n ∈-∞-⋃+∞. 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由d =，将已知条件看作(,)P x y 到直线20x y m -+=、20x y n -+=且已知圆在平行线20x y m -+=、20x y n -+=2r ≥，再结合各项描述分析正误.【详解】令d =，可看作(,)P x y 到直线20x y m -+=、20x y n -+=距由()22x y m x y n m n -++-+≠的值与,x y 无关，所以距离之和与P 在圆上的位置无关，故已知圆在平行线20x y m -+=、20x y n -+=之间， 2r ， ①2r =时，(),a b 的轨迹是直线，错误； ②由上分析知：r 有最大值，无最小值，错误；③4m n -=时，r ≤=，正确；④1r m ==时r =，则|1|10n -≥，故][(),911,n ∈-∞-⋃+∞，正确. 所以正确的有③④. 故选：B二、填空题13．两平行直线12:3410:6830l x y l x y ++=+-=，之间的距离为________ 【答案】12##0.5【分析】用平行线间的距离公式d =.【详解】直线3410x y ++=，即为6820x y ++=，所以两平行直线6820x y ++=与6830x y +-=之间的距离为51102d ===. 故答案为：1214．直线 l 垂直于直线y x m =+，且l 在x 轴上的截距为 2 ，则直线l 的一般式方程为________ 【答案】20x y +-=【分析】根据垂直关系得出直线l 的斜率，再根据截距写出直线l 的表达式，即可化为一般方程. 【详解】解：由题意∵直线 l 垂直于直线y x m =+ ∴直线 l 斜率为-1 ∵l 在x 轴上的截距为 2 ∴l ：2y x =-+故线l 的一般式方程为：20x y +-=， 故答案为：20x y +-=.15．直线 l 过()24-，且与圆224x y +=相切，则直线l 的方程为________ 【答案】34100x y +-=或2x =-.【分析】根据圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】因为 ()2224204-+=>，所以点P 在圆外. 圆O 的圆心坐标为()00O ，，半径为 2. 当直线l 的斜率存在时，设其方程为()42y k x -=+，即240kx y k -++=.所以2=，解得34k =-，故直线l 的方程为34100x y +-=,当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为2x =-，也满足条件. 故直线l 的方程为34100x y +-=或2x =-.故答案为:34100x y +-=或2x =-.16．已知圆 ()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M N 、分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是________ 【答案】9【分析】先求出12,C C 圆心和半径，作1C 关于x 轴的对称圆1'C ，结合三角形三边关系可判断当12,',P C C 三点共线时，PN PM -取到最大值，数形结合即可求解.【详解】由题意可知，圆1C 的圆心()11,1C -，半径为11r =，1C 关于x 轴的对称圆的圆心()1'1,1C ，半径为11'1r r ==，圆2C 的圆心()245C ，，半径为23r =， 设M 关于x 轴的对称点为'M ，则'PM PM =，则'PN PM -的最大值为()()221121'4'PC r PC r PC PC +--=-+的最大值， 当()()12,1,1,4,5P C C -三点共线时，()()()222112max 4155'1PCPC C C -==-+-=，所以PN PM -的最大值为549+=.故答案为：9三、解答题17．已知ABC 的三顶点的坐标为()()()103201A B C --，，，，，.(1)求AB 边的中线所在直线的一般式方程 (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)210x y +-=(2)3【分析】（1）根据中点坐标以及两点斜率公式，由点斜式即可写出直线的方程，（2）根据两点式得直线AC 的方程，进而由点到直线的距离即可求解三角形的高，进而可求面积.【详解】（1）线段 AB 中点为()11M -，，所以直线CM 的斜率为()11201--=--，故直线CM 的方程为:()121y x +=--，即210x y +-=（2）由两点式得AC 的方程为011001y x ，即10x y -+=，所以点B 到直线AC 的距离为:321322d ++==，又2AC =， 所以11232322ABC S AC d =⨯⨯=⨯⨯=18．某工厂使用 A B 、两种原料生产甲、乙两种产品，每天生产所用A 种原料不超过 8 吨，B 种原料不超过 6 吨.已知生产1吨甲、乙两种产品各所需原料如下表所示:甲 乙A （吨） 2 1B （吨） 1 1(1)设该工厂每天生产甲、乙两种产品分别为 x y ，吨，试写出关 于x y ，的线性约束条件并画出可行域;(2)如果生产 1 吨甲、乙两种产品可获得的利润分别为 3 万元、 2 万元，试求该工厂每天生产 甲、乙两种产品各多少吨可获得的利润最大，最大利润为多少?【答案】(1)约束条件为28600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,作图见解析， (2)该工厂每天生产甲产品2吨，乙产品4吨可获得的利润最大，最大利润为14万元.【分析】（1）根据题意即可列出不等关系，进而可得可行域， （2）根据几何意义，结合可行域求截距最值即可. 【详解】（1）28600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，可行域见阴影部分.（2）设利润为z ，则32z x y =+，所以322z y x =-+，由28246x y x y x y +=⎧⇒==⎨+=⎩， ，设()24P ，.易知当直线322zy x =-+经过点P 时，纵截距2z 最大.所以max 6814z =+= .故该工厂每天生产甲产品2吨，乙产品4吨可获得的利润最大，最大利润为14万元. 19．已知圆 22:8120C x y x +-+=，点O 是坐标原点，A 是圆C 上一动点. (1)求线段 OA 的中点M 的轨迹方程;(2)设 ()P x y ，是 (1) ()222x y ++.【答案】(1)()2221x y -+=(2)min max 221221PQ PQ ==，【分析】（1）根据相关点法即可将点A 坐标代入求解，（2）根据两点距离公式结合几何意义即可求解最值.【详解】（1）设 ()M x y ，，则()22A x y ，，因为点A 在圆C 上，所以224416120x y x +-+=，化简得22430x y x +-+=，即()2221x y -+=;M ∴的轨迹方程为()2221x y -+=，它是圆心为()20D ，，半径为 1 的圆 （2）设 ()02Q -，，所以()222x y PQ ++=，由平面几何知识知， 11DQ PQ DQ -≤≤+ ，其中22DQ =，所以min max 221221PQ PQ =-=+， 20．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，60ADC ︒∠=，2,==PA AD E 为AD 的中点.(1)求证：平面PCE ⊥平面PAD ；(2)求PC 与平面PAD 所成的角的正切值；【答案】(1)证明见解析15【分析】（1）由平面几何知识证明CE AD ⊥，由线面垂直的性质定理得CE PA ⊥，由线面垂直的判定定理得线面垂直，从而可得面面垂直；（2）由（1）得CPE ∠是PC 与平面P AD 所成角的平面角，求出这个直角三角形（需证明）中两直角边长，然后可得结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴DA DC =，∵60ADC ∠=︒，∴ADC △为等边三角形， ∴CA CD =，在ADC △中，E 是AD 中点，∴CE AD ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ， CE ⊂平面ABCD ，∴CE PA ⊥，∵PA AD A ⋂=，PA ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴EC ⊥平面P AD ，∵CE ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面P AD .（2）∵EC ⊥平面P AD ，∴斜线PC 在平面内的射影为PE ，即CPE ∠是PC 与平面P AD 所成角的平面角，∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PA AD ⊥，在Rt PAE 中，PE Rt CED 中，CE∵EC ⊥平面P AD ，PE ⊂平面P AD ，∴EC PE ⊥，在Rt CEP 中，tan CE CPE PE ∠==∴PC 与平面P AD . 21．某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销售量a 万件与月促销费用x 万元()0x ≥满足关系式91k a x =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件.已知生产该产品每月固定投入为 8 万元，每生产一万件该产品需要再投入 6 万元，厂家将每件产品的销售价定为98a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元，设该产品的月利润为y 万元.（注：利润=销售收入-生产投入－促销费用) (1)将y 表示为x 的函数;(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大? 最大利润为多少?【答案】(1)()161901y x x x =--≥+ (2)当月促销费为 3 万元 时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元.【分析】（1）根据题意即可求解销售收入，进而可求利润，（2）由基本不等式求最值即可求解.【详解】（1）由已知，当 0x =时，81918911k a k a x =∴-=⇒=∴=-+，，; ()9161686821181190;11y a a x a x x x x a x x ⎛⎫=+⋅---=+-=-+-=--≥ ⎪++⎝⎭（2）当0x >时，()161619=2012011x x x x ⎡⎤---++≤-⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当 1611x x +=+，即3x =时等号成立.所以，当月促销费为3万元 时，该产品的月利润最大，最大利润为 12 万元.22．已知动点 ()M x y ，到原点()00O ，的距离与它到点()30H -，的距离之比为12，记动点M 的轨迹为曲线Ω.(1)求曲线Ω的方程;(2)直线 0x y m -+=与曲线Ω交于E F ，两点，求OE OF ⋅的取值范围 (O 为坐标原点);(3)点P 是直线:20l x y ++=上一动点，过点P 作曲线Ω的两条切线，切点分别为A B 、.试问直线AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点; 若否，请说明理由.【答案】(1)()2214x y -+=(2)1354⎡-+⎢⎣， (3)直线AB 经过的定点为1433⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.【分析】（1）由题意列式求解，（2）联立直线与圆方程，由韦达定理转化为m 的函数后求解， （3）设P 点坐标，由几何关系得直线AB 方程后求解，【详解】（112=，化简得22230x y x +--=，化为()2214x y -+=所以曲线Ω的方程为:()2214x y -+=;（2）设()()1122E x y F x y ，，，，联立直线与圆的方程，222300x y x x y m ⎧+--=⎨-+=⎩，消去y ，得()2222230x m x m +-+-=，得21212312m x x m x x -+=-=， 则()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，()()2221212121232212m OE OF x x y y x x m x x m m m m -∴⋅=+=+++=⨯+-+ 22113324m m m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 直线0x y m -+=与曲线Ω相交，所以圆心()10，到直线0x y m -+=的距离小于半径，即2d =<，解得11m -<<111222m ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，2133024m ⎛⎫⎡+∈+ ⎪⎢⎝⎭⎣， 2113135244m ⎛⎫⎡+-∈-+ ⎪⎢⎝⎭⎣， （3）设()10N ，，(,2)P a a --，由题意得,A B 在以NP 为直径的圆上， 由0NA PA ⋅=得该圆方程为(1)()(2)0x x a y y a --+++=，即22(1)(2)0x y a x a y a +-++++=， 该圆与曲线Ω相交，与22230x y x +--=联立得()()1230a x a y a --+--= 所以直线AB 的方程为()()1230a x a y a --+--=，整理得 ()()1230a x y x y ---++=，令110323043x x y x y y ⎧⎧=-⎪⎪--=⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪=-⎪⎪⎩⎩， ∴直线AB 经过的定点为1433⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.。
四川省南充市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023年秋季南充市高2022级三校区联考数学试题（答案在最后）总分：150分考试时间:120分钟第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.直线10x +=的倾斜角为（）A.0︒B.45︒C.90︒D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据直线的特征结合倾斜角的定义分析求解.【详解】因为直线10x +=与x 轴垂直，所以直线10x +=的倾斜角为90︒.故选：C.2.已知圆22:(1)(1)4C x y ++-=，则圆心C 与半径r 分别为（）A.(1,1)C -，4r =B.(1,1)C -，4r =C.(1,1)C -，2r =D.(1,1)C -，2r =【答案】D 【解析】【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可【详解】圆C 的方程为22(1)(1)4x y ++-=为标准形式，即圆心C 与半径r 分别为(1,1)C -，2r =故选：D.3.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与11B D 所成的角为（）A.6π B.4π C.3πD.2π【答案】D 【解析】【分析】由异面直线所成角的概念求解，【详解】由题意，正方体中得11//B D BD ，故异面直线AC 与11B D 所成的角，即正方形对角线AC 与BD 的夹角2π，故选：D4.已知点()5,12P -，Q 是圆22:4O x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为（）A.14B.13C.12D.11【答案】D 【解析】【分析】由圆的方程可得圆心和半径，可知所求最小值为圆心到点()5,12P -的距离减去半径，由此可求得结果.【详解】由圆O 方程知：圆心()0,0O ，半径2r =，13OP ∴==，min 13211PQ OP r ∴=-=-=.故选：D.5.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若,m ββα⊥∥，则m α⊥B.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥C .若//m α且//n α，则//m nD.若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直以及面面垂直的性质判断A ，B ；根据线面平行的性质判断C ；根据线面垂直的性质判断D.【详解】对于A ，若m β∥，βα⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故A 错误，对于B ，若,,m n n ββα⊥⊥⊥，则m α⊂或者m α∥或者,m α相交，故B 错误，对于C ，若//m α且//n α，则m 与n 可能平行、相交或异面，故C 错误.对于D ，若,m n ββ⊥⊥，则m n ∥，又n α⊥，所以m α⊥，故D 正确，故选：D.6.如图，二面角l αβ--等于135°，A ，B 是棱l 上两点，BD ，AC 分别在半平面α，β内，AC l ⊥，BD l ⊥，且2AB AC ==，BD =，则CD =（）A. B. C.D.4【答案】C 【解析】【分析】依题意，可得DC DB BA AC =++uuu r uu u r uu r uuu r，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可.【详解】由二面角的平面角的定义知,135BD AC =︒，所以cos ,2cos1352BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯︒=-，由AC l ⊥，BD l ⊥，得0AC BA ⋅= ，0BD BA ⋅=，又因为DC DB BA AC =++uuu r uu u r uu r uuu r，所以()22222222DC DB BA ACDB BA AC DB BA DB AC BA AC=++=+++⋅+⋅+⋅ ()222222102214BD AC =++-⋅=-⨯-=，所以DC =，即CD =．故选：C .7.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P ､A ､B ､C ，其中PA ⊥平面ABC ，2,90PA AB AC BAC ===∠=︒，则该球的体积为（）A.16πB.16π3C.32π3D.8π【答案】C 【解析】【分析】根据线面垂直得到线线垂直，进而得到三棱锥-P ABC 的外接球即为以,,PA AB AC 为长，宽，高的长方体的外接球，求出长方体体对角线PD 的长，得到该球的半径和体积.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，,AB AC ⊂平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，又90BAC ∠=︒，所以,,PA AB AC 两两垂直，所以三棱锥-P ABC 的外接球即为以,,PA AB AC 为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线PD 的长，因为2,2PA AB AC ===，所以2224PD PA AB AC =++=，所以该球的半径为2，体积为34π32π233⨯=.故选：C8.已知点P 是直线:220l x y -+=上的动点，过点P 作圆22:(4)4M x y -+=的切线，切点为C ，D ，则四边形PCMD 的面积的最小值是（）A. B.4C. D.8【答案】D 【解析】【分析】根据切线的性质，求出圆心到直线的距离，即可得切线长的最小值，从而得面积最小值．【详解】由题意要使得四边形PCMD 的面积最小，则需要切线长最小，由切线长公式知，只要使得圆心到直线上的点的距离最小，最小值为圆心到直线的距离，圆心为(4,0)M ，半径为2r =，圆心到直线的距离为d ==，所以最小的切线长为4PC ==，S 最小值124282PC r =⨯⨯⨯=⨯=．故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，选漏得2分，多选不得分.9.已知直线l 的方程为3260x y -+=，则（）A.直线l 在x 轴上的截距为2B.直线l 在y 轴上的截距为3C.直线l 的倾斜角为锐角D.过原点O 且与l 垂直的直线方程为230x y +=【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线方程，分别令0,0x y ==即可判断AB ，由直线斜率可判断C ，求出原点O 且与l 垂直的直线方程即可判断D.【详解】在3260x y -+=中，令0y =，得2x =-，所以A 不正确；令0x =，得3y =，所以B 正确；因为直线l 的斜率为302k =>，所以直线l 的倾斜角为锐角，故C 正确；因为与l 垂直的直线方程可设为230x y m ++=，又直线过原点，所以0m =，故D 正确.故选：BCD10.已知实数,x y 满足方程22410x y y +-+=，则下列说法正确的是（）A.y x -的最大值为2+ B.22x y +的最大值为2+C.x y +2 D.y x 的最大值为33【答案】AC 【解析】【分析】化简圆的方程，求得圆心(0,2)M，半径为r =，分别设y x t -=、x y n +=和yk x=，结合直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定A 、C 正确，B不正确；改写222x y +=，结合其几何意义和点与圆的性质，可判定B 不正确.【详解】由圆的方程22410x y y +-+=，可化为22(2)3x y +-=，设圆的圆心为M ，可得圆心坐标为(0,2)M，半径为r =，对于A 中，设y x t -=，即0x y t -+=，由≤，解得22t ≤≤，即y x -的最大值为2+，所以A 正确；对于B中，由222x y +=，表示原点到圆上点的距离，又由2OM =的最大值为2+，所以22xy+的最大值为(22+，所以B 不正确；对于C 中，设x y n +=，即0x y n +-=≤22n +≤≤，即x y +2+，所以C 正确；对于D 中，设yk x =，即0kx y -=≤，解得3k ≥或3k ≤-，所以D 错误.故选：AC.11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C ：22||||x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的周长是；②曲线C 围成的图形的面积是2π；③曲线C 上的任意两点间的距离不超过2；④若P （m ，n ）是曲线C 上任意一点，3412m n +-的最小值是172-其中正确的结论为（）A.① B.②C.③D.④【答案】AD 【解析】【分析】对绝对值里面的x y ，进行分类讨论，去掉绝对值；根据图象曲线C 是四个半径为2的半圆围成的图形，求出周长判断①正确；可以知道曲线C 的正方形的面积之和，判断②错误；由曲线C 的图象可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，判断③错误；利用点到直线距离判断④正确.【详解】当00，≥≥x y 时，曲线C 的方程可化为22111()()222x y -+-=；当00，≤≥x y 时，曲线C 的方程可化为22111()()222x y ++-=；当00，≥≤x y 时，曲线C 的方程可化为22111(()222x y -++=；当00，≤≤x y 时，曲线C 的方程可化为22111()()222x y +++=；由图可知，曲线C 是四个半径为2的半圆围成的图形，即曲线C 围成的图形的周长是142π22⨯⨯⨯⨯=，故①正确；曲线C的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为2114π2π22⨯⨯+=+，故②错误；由曲线C 的图象可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即2222⨯+=>，故③错误；因为(,)P m n 到直线34120x y +-=的距离为34125m n d +-==，所以34125m n d +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为11(,)22，半径为12的半圆，所以圆心11(,)22到34120x y +-=的距离1710d '==，从而min 17210d d -'=-=，即min 1734122-+-=m n ，故④正确.故选：AD.【点睛】绝对值问题的处理思路：对绝对值里面的数的正负进行分类讨论，去掉绝对值，从而确定方程，确定图象.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC BC CC ===，E 为11B C 的中点，过AE 的截面与棱1BB ，11AC 分别交于点F ，G （G ，E ，F 可能共线），则下列说法中正确的是（）A.存在点F ，使得1A F AE ⊥B.线段1C G 长度的取值范围是[]0,1C.四棱锥C AFEG -的体积为2时，点F 只能与点B 重合D.设截面AFEG ，AEG △，AEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则2123S S S 的最小值为4【答案】BCD 【解析】【分析】以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A 选项；求出b与a 的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B 选项；利用等积法可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为1CC ⊥平面ABC ，ACBC ⊥，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()0,0,0C 、()12,0,2A 、()10,2,2B 、()10,0,2C 、()0,1,2E ，设点()0,2,F a 、(),0,2G b ，其中02a ≤≤，02b ≤≤.对于A 选项，若存在点F ，使得1A F AE ⊥，且()12,2,2A F a =-- ，()2,1,2AE =-，()142220A F AE a ⋅=++-=，解得1a =-，不合乎题意，A 错；对于B 选项，设AG mAE nAF =+，其中m 、R n ∈，即()()()2,0,22,1,22,2,b m n a -=-+-，即22=2+2=02+=2m n b m n m an ---⎧⎪⎨⎪⎩，可得424b a =+-，02a ≤≤ ，则442a -≤-≤-，所以，[]420,14b a =+∈-，B 对；对于C 选项，2C AFEG C AGE C AFE V V V ---=+=，其中11233C AGE E ACG ACG V V S EC --==⋅⋅= ，故43C AFE V -=，又124333C AFE A CEF CEF CEF V V AC S S --==⋅⋅== ，故2CEF S = 即11122CEF CBB C S S == 正方形，故点F 只能与点B 重合，C 对；对于D 选项，()2,1,2AE =- ，()2,2,AF a =-，则点F 到直线AE的距离为13d =，()2,0,2AG b =-，则点G 到直线AE的距离为2d =()334a ==-，所以，223124S d S d a ==-，故()2223312232332242242S S S S S a S S S S S S a +-==++=++-，24≥=，当且仅当=2a 时，等号成立，故2123S S S 的最小值为4，D 对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平行直线1:3460l x y -+=与2:6890l x y -+=之间的距离为_________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据平行线间的距离公式即可求得答案.【详解】由题意得2:6890l x y -+=即29:3402l x y -+=则平行直线1:3460l x y -+=与2:6890l x y -+=9|6|3210-=，故答案为：31014.已知直线l 的一个方向向量为()2,,1m ，平面α的一个法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α∥，那么m =________【答案】8-【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由于l α∥，所以直线的方向向量与平面法向量互相垂直，故122082m m ++=⇒=-，故答案为：8-15.圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.【答案】22(3)4x y -+=【解析】【分析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解.【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有:2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=.故答案为：22(3)4x y -+=【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.16.已知点()2,3A ，点()6,3B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．【答案】(),2-∞【解析】【分析】根据题意求出满足条件20AP BP λ⋅+=的P 点轨迹方程，再将问题转化为直线与圆相交求参数的范围.【详解】设(),P x y ，则()2,3AP x y =-- ，()6,3BP x y =-+，代入20AP BP λ⋅+=得()()()()263320x x y y λ--+-++=，化简得()224132x y λ-+=-，所以1320λ-≥，132λ≤．当132λ=时，P 的轨迹是一个点，显然不满足题意，当132λ<时，P 的轨迹是一个圆，由题意，圆与直线3430x y -+=相交，圆心到直线的距离120335d -+==，所以3<，解得2λ<．故答案为：(),2-∞.三、解答题：本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题12分，共70分.17.已知三角形的三个顶点是()()()1,22,01,3A B C -，，（1）求直线AC 方程（用斜截式表示）；（2）求AB 边上高所在直线方程（用一般式表示）.【答案】（1）1522y x =-+（2）270x y -+=【解析】【分析】（1）利用斜率公式求斜率，然后由点斜式求方程，最后化成斜截式即可；（2）先求AB k ，由直线垂直的斜率关系可得k ，然后点斜式求出方程，化为一般式即可.【小问1详解】因为()()1,21,3A C -，，所以321112AC k -==---，由点斜式可得直线AC 方程为()1212y x -=--，即1522y x =-+.【小问2详解】因为02221ABk -==--，所以所求直线斜率为112AB k k =-=，又因为所求直线过点()1,3C -，所以由点斜式可得()1312y x -=+，整理得270x y -+=.18.①圆心C 在直线l ：230x y --=上，圆C 过点()2,3B ；②圆C 过直线l ：4230x y +-=和圆222x y +=的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点()4,1A ，且________．（1）求圆C 的标准方程；（2）已知点()0,2M ，求过点M 的圆C 的切线方程．【答案】（1）选①：()()22214x y -+-=；选②：()()22214x y -+-=（2）0x =和3480x y -+=【解析】【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解.（2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解.【小问1详解】解：选①：设圆心()00,C x y ，则由题意：∵圆心C 在直线l ：230x y --=上，∴00230x y --=………………………（ⅰ）∵圆C 过点()4,1A 和()2,3B ，∴AC BC =，即=，化简得：0010x y --=…………………（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）解得：002,1x y ==，∴圆心()2,1C ，半径为2r AC ==，∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.选②：如下图：设直线l ：4230x y +-=和圆222x y +=的交点为,E F ，连接OC ，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线OC l ⊥，垂足为D ，连接OF 、CF .由题意，圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径OF =.∵直线l 方程为4230x y +-=，OC l ⊥，∴直线OC 方程为20x y -=，故设圆心()2,C t t ，由图知0t >，则OC ==，由423020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得直线OC 和直线l 交点()0.6,0.3D ，则10OD ==，圆C 半径r FC AC ===20DF ==，CD OC OD=-，由222FCDF CD =+得：()()222312412010t t ⎫-+-=+-⎪⎪⎭，解得：1t =.∴圆心()2,1C ，半径2r FC ==.∴圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=.【小问2详解】解：由（1）知，选①或选②，圆C 的标准方程均为()()22214x y -+-=，如下图，点()0,2M 在圆外，则因为圆C 的圆心()2,1C 到y 轴距离2d r ==，所以，0x =是圆C 过点M的一条切线.设圆C 过点M 的另一条切线斜率为k ，则其方程为：()20y k x -=-，即20kx y -+=.由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有2=，解得：34k =，∴切线方程为3204x y -+=，即3480x y -+=.综上知，过点M 的圆C 的切线方程为0x =和3480x y -+=.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC ==，3BP =，13CF CP =，13DE DA =．（1）证明：EF P 平面ABP ；（2）求直线PC 与平面ADF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3510【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明EF 与平面ABP 的法向量垂直即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题意知，BC ，BA ，BP 两两互相垂直，以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B ，()3,0,0C ，()2,3,0E ，()2,0,1F ，所以()3,0,0BC = ，()0,3,1EF =-．PB ⊥ 底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，PB BC∴⊥又BC BA ⊥ ，PB BA B ⋂=，且,PB BA ⊂平面ABP ,BC ∴⊥平面ABP ，所以()3,0,0BC =是平面ABP 的一个法向量．因为()()3,0,00,3,10BC EF ⋅=⋅-=，所以BC EF ⊥．又EF ⊄平面ABP ，所以EF P 平面ABP ．【小问2详解】因为()0,3,0A ，()3,0,0C ，()3,3,0D ，()0,0,3P ，()2,0,1F ，所以()3,0,0AD = ，()2,3,1AF =- ，()3,0,3PC =-，设平面ADF 的法向量为(),,n x y z =，则由30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得03x z y =⎧⎨=⎩，令1y =，得平面ADF 的一个法向量为()0,1,3n =．设直线PC 与平面ADF 所成的角为θ，则sin cos<,10PC nPC PC n nθ>⋅====⋅．故：直线PC 与平面ADF 所成角的正弦值为10．20.直线()():121740l m x m y m +++--=，圆22:6430C x y x y +---=.（1）证明：直线l 恒过定点P ，并求出定点P 的坐标；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长；（3）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，当ABC 的面积最大时，求直线l方程.【答案】（1）证明见解析，()1,3P （2）（3）210x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到定点的坐标；（2）根据题意，结合图形，由弦长公式代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由几何法可知当CP l ⊥时，sin ACB ∠有最大值，即面积最大，然后代入计算即可，由代数法可知当圆心到直线AB 的距离为d 最大时，面积最大，代入计算即可.【小问1详解】证明：由题意知l 可化为()()2740m x y x y +-++-=，故270,40,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得()1,3,P ∴直线l 恒过定点()1,3P .【小问2详解】当CP l ⊥时，弦长最短，因为22:6430C x y x y +---=，即()()223216x y -+-=，所以圆C 的圆心为()3,2，半径4r =，如图所示：由两点距离公式()()22||31235PC =-+-=，根据勾股定理22||||16511AP r PC =-=-=，∴||2||211AB AP ==【小问3详解】方法1（几何法）21sin 2ABC S r ACB ∠=⋅ ，且ACB ∠为钝角，∴当CP l ⊥时，sin ACB ∠有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即:210l x y -+=.方法2（代数法）设圆心到直线AB 的距离为d ，则22165)AB d d =-<≤，()22422116168642ABC S AB d d d d d d ∴==-=-+=--+ 当25d =时有最大值，此时同（2），231312PC k -==--，当直线l 被圆截得的弦长最短时，l 与PC 垂直，2l k ∴=，()321y x ∴-=-，即210x y -+=.:210l x y ∴-+=.21.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABC 是正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，点E ，F 分别是BC ，DC 的中点.（1）证明：平面ACD ⊥平面AEF ；（2）若∠BCD ＝60°，点G 是线段BD 上的动点，问：点G 运动到何处时，平面AEG 与平面ACD 所成的角最小.【答案】（1）证明见解析；（2）当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的角最小.【解析】【分析】（1）通过证明CD ⊥面AEF ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以E 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设出点G 的坐标，利用向量法求得二面角的余弦值，结合其范围即可求得结果.【小问1详解】因为△ABC 是正三角形，点E 是BC 中点，所以AE ⊥BC ，又因为平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AE ⊂平面ABC ，所以AE ⊥平面BCD ，又因为CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥AE ；因为点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以EF ∥BD ，又因为BD ⊥CD ，所以CD ⊥EF ，又因为CD ⊥AE ，AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ，又因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面AEF .【小问2详解】在平面BCD 中，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ，设BC ＝4，则23EA =DF ＝FC ＝1，3E F 以点E 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则(0,0,0),(0,0,3),(1,3,0),(1,3,0)E A C D -设()1,,0G y ，则(0,0,23),3,23)EA AD ==- ，(2,0,0),(1,,0)CD EG y ==，设平面AEG 的法向量为1111(,,)n x y z =，由11111.30.0n EA z n EG x yy ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩ ，令11y =，故1(,1,0)n y =- ，设平面ACD 的法向量为2222(,,)n x y z =，由222222.20.330n CD x n AD x y z ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，令21z =，则2(0,2,1)n = ，设平面AEG 与平面ACD 所成的角为θ，则1222cos |cos ,||5151n n y y θ=<>==⋅+⋅+ ，当0,cos y =θ最大，此时θ最小，故当点G 为BD 的中点时，平面AEG 与平面ACD 所成的角最小.22.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数(0,1)λλλ>≠的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）若点P 与点Q 关于点B 对称，点(5,8)C ，求22QB QC +的最大值；（3）若过B 的直线与第二问中Q 的轨迹交于E ，F 两点，试问在x 轴上是否存在点(,0)M m ，使ME MF⋅恒为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2224x y -+=；（2）138；（3）存在点()1,0M ，使得ME MF ⋅为定值3-.【解析】【分析】（1）设点(),P x y ，由题意可得2PA PB =，利用两点之间的距离公式化简整理可得；（2）先由P 的轨迹方程求出Q 点的轨迹方程，利用两点间距离公式整理22QB QC +，从而转化为线性规划问题处理；（3）代入消元，韦达定理，整体思想代入，整理可得解.【小问1详解】设点(),P x y ，由题意可得2PA PB ==化简可得()2224x y -+=，所以点P 的轨迹方程为()2224x y -+=；【小问2详解】设()00,Q x y ，由(1)得P 点满足的方程()2224x y -+=，又点B 是点P 与点Q 的中点，则00210x x y y +=⨯⎧⎨+=⎩，代入()2224x y -+=可得22004x y +=，即Q 的轨迹为224x y +=，设(),Q a b ，所以()()()2222222215822121690QB QC a b a b a b a b +=-++-+-=+--+()12169843498a b a b =--+=-++，令34z a b =+，则3144b a z =-+，14z 可视为直线3144y x z =-+即340x y z +-=在y 轴上的截距，34a b ∴+的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距，所以2d ==，所以min 10z =-，因此22QB QC +的最大值为()41098138-⨯-+=；【小问3详解】存在点()1,0M ，使得ME MF ⋅ 为定值3-.当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得()22221240k x k x k +-+-=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则212221k x x k+=+，212241k x x k -=+，又()11,ME x m y =- ，()22,MF x m y =- ，则()2121212ME MF m m x x x x y y ⋅=-+++ ()()()2212121211m m x x x x k x x =-+++--()()()()()()()2222222222121222421111k k kx x m k x x m k k m k m k k k -=+-++++=+-+++++()22222241m m k m k --+-=+要使上式恒为定值，需满足22224m m m --=-，解得1m =，此时()1,0M ，ME MF ⋅ 为定值223331k k --=-+；当直线l 的斜率不存在时，(E ，(1,F ，由()1,0M 可得((,0,ME MF == ，所以3ME MF ⋅=- ，综上所述，存在点()1,0M ，使得ME MF ⋅ 为定值3-.【点睛】方法点睛：本题为直线与圆的综合题，与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略（1）与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．（2）与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法：①形如y b z x a-=-型的最值问题，可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题；②形如z ax by =+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如()22()x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点(),x y 到定点(),a b 的距离平方的最值问题．。
四川省南充市高二上学期期中数学试卷
四川省南充市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）已知直线l1过点A(－1，－1)和B(1,1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率是（）A . 1B . －1C . 2D . 不存在2. （2分）(2018·河北模拟) 若，且，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）在等差数列中，,则的前5项和（）A . 7B . 15C . 20D . 254. （2分）如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A . 6B . 3C . 6D . 125. （2分） (2016高二上·湖南期中) 设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（）A . c⊥α，若c⊥β，则α∥βB . b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥bC . b⊂β，若b⊥α则β⊥αD . b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c6. （2分）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，⊥底面，且，则此三棱锥外接球的半径为（）A .B .C . 2D .7. （2分） (2016高三上·襄阳期中) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a= ，A=，则b+c的最大值为（）A . 4B . 3C . 2D . 28. （2分） (2017高一下·保定期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则下列直线中与平面ACE平行的是（）A . BA1B . BD1C . BC1D . BB1二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分） (2016高二上·德州期中) 若直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0垂直，则a=________．10. （1分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为________11. （1分） (2020高二下·上海期中) 如图，在正方体中，点在线段上运动，异面直线与所成的角为，则的最小值为________.12. （1分）过点P（，1）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A，B两点，当∠ACB最小时，三角形ACB的面积为________．13. （1分）已知实数x，y满足，则4x+2y的取值范围是________14. （1分）(2019·扬州模拟) 已知直线l：与圆C：相交于P，Q两点，则＝________．15. （1分）不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共35分)16. （10分）(2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.17. （10分） (2019高一下·哈尔滨期中) 在等差数列中，已知．（1）求；（2）若，求数列的前项和．18. （5分）(2017·青岛模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F 是棱 PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）若 AF=1，求证：CE∥平面 BDF；（Ⅱ）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．19. （10分）已知椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点的动直线（轴除外）与椭圆相交于，两点，探究在轴上是否顾在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共35分) 16-1、16-2、17-1、17-2、19-1、19-2、。
南充高中0910学年高二上学期阶段性考试数学试题文
南充高中09-10学年高二上学期阶段性考试数学试题（文）命题：田 伟一、选择题：1．设集合{}3|>=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=041|x x x B ，则A ∩B = A ．φ B ．（3，4）C ．（－2，1）D ．（4，+∞）2．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-+=111log 21x x y （x >1）的最大值是 A ．－2 B ．2C ．－3D ．33．设a >0，b >0，2b a P +=，b a Q +=，则A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ≤Q4．函数()x x y -=3log 2的定义域是 A ．{}30|<<x x B ．{}30|><x x x 或 C ．{}30|≥≤x x x 或D ．{}30|≤≤x x5．已知a ∈R 、b ∈R 且a 2+b 2=10，则a +b 的取值范围是 A ．[]52,52-B ．[]102,102-C ．[]10,10-D ．[]10,06．先把函数f (x )=cosx 的图象上的所有的点向右平移5π个单位长度，得函数f 1(x )的图象，再把f 1(x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的41倍，得函数f 2(x )的图象，则f 2(x )是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛+541cos πx B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-541cos πx C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+54cos πx D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-54cos πx 7．设a ，b 是两个非零实数，且a <b ，则在（1）a 2<b 2，（2）a 2b >ab 2，（3）2211abb a >，（4）2>+a b b a ，（5）abb a >这几个式子中，恒成立的有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是 A ．0B ．1C ．2D ．49．已知|2x －log 2x |<2x +|log 2x |成立的一个必要但不充分条件是A ．1<x <2B ．x >1C ．x >0D ．x >210．已知函数f (x )=2x 的反函数为f －1(x )，若f －1(a )+f －1(b )=4，则ba 11+的最小值为 A ．21B ．31C ．41D ．111．不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 A ．1(]1,-∞-∪[)+∞,4 B ．(]2,-∞-∪[)+∞,5 C ．[]2,1D ．(]1,∞-∪[)+∞,212．设x 1，x 2是函数f (x )=e x定义域内的两个变量，x 1<x 2，若()2121x x a +=，那么下列关系式恒成立的是A ．()()()|||)(|21a f x f x f a f ->-B ．()()()()||||21a f x f x f a f -<-C ．()()()()||||||21a f x f x f a f -=-D ．()()()a f x f x f 221>二、填空题 13．设()︒+︒=17cos 17sin 22a ，113cos 22-︒=b ，23=c 则a ，b ,c 从小到大的关系为______________．14．若3||=a ，4||=b ，()()422≥-⋅+b a b a ，则a ，b 的夹角θ的取值范围_________． 15．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，那么，a 3+b 3与c 3的大小关系是______________．16．已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=xx x f 1121)( 00<≥x x 若f (a )>a ，则a 的取值范围是_____________． 南充高中09-10学年高二上学期阶段性考试数学答卷（文）二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题17．已知函数()1cos sin 32cos 22++=x x x x f ． （1）若x ∈［0，π］，求函数f (x )的单调递增区间； （2）求使f (x )<2成立的x 的取值范围．18．函数f (x )=x 2－2x －8，g (x )=2x 2－4x －16． （1）求不等式g (x )<0的解集；（2）若对一切x >2均有f (x )≥(m +2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．19．设函数f (x )=|2x +1|－|x －4|． （1）解不等式f (x )>3； （2）求函数f (x )的最小值．20．已知()1,1=，、的夹角为π43，且1-=⋅．（1）求；（2）若⊥，()0,1=，⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 2,cos 2c A ，其中A 、C 内△ABC 的内角，且A 、B 、C 成等差数列，求||p n +的最小值．21．某厂家拟在2009年国庆节期间举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（m ≥0），满足13+-=m kx （k 为常数），若不搞促销活动，该产品的年销量只能是1万件，已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家把每件产品的销售价格定为每件产品成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2009年的促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？22．设f(x)=x2+bx+c (b、c为常数)，方程f(x)=x的两个实数根为x1、x2，且满足x1>0，x2－x1>1．（1）求证：b2>2(b+2c)；（2）设0<t<x1，比较f(t)与x1的大小．。
2009-2010学年南充高中第一学期高二入学考试文
2009-2010学年四川省南充高中第一学期高二入学考试数学试卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求）1．设集合}32|{≤=y y P ，22=x ，则下列关系中正确的是A ．P x ⊂B ．P x ∉C ．P x ∈}{D ．P x ⊂}{2．若△ABC 中， 90=∠C ，3=AC ，4=BC ，则)cos(B A -的值是A ．53B ．54C ．2524D ．257 3．已知条件p :3≤a ，条件q :0)3(≤-a a ，则p 是q 的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0<a ，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xa x x f ，下列结论正确的是 A ．有最大值而无最小值 B ．无最大值而有最小值C ．有最大值且有最小值D ．无最大值且无最小值5．若3||=，4||=，33)3()(=+⋅+，则与的夹角是A ． 30B ． 60C ． 120D ． 1506．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且63-=a ，67=a ，则A ．54S S =B ．65S S =C ．64S S >D ．65S S >7．若向量），（21=，），（32-=，n m -与2+共线（其中R n m ∈,且0≠n ），则n m 等于A ．21- B ．2 C ．21 D ．2- 8．若非零向量,满足⋅=22，⋅=22，则与的夹角是A ． 0B ． 30C ． 60D ． 1809．若]),[(3||b a x y x ∈=的值域为]9,1[，则a b a 222-+的取值范围是 A ．]4,2[ B ．]16,4[ C ．]32,2[ D ．]12,4[10．若一次函数)(x f 满足：1)1(=f ，且)4(2)]2([1-=f f f ，则)3(f 的值是A ．5B ．4C ．3D ．211．在等比数列}{n a 中，5121=a ，公比21-=q ，设其前n 项的积为n ∏，即n n a a a ⋅⋅⋅=∏ 21，则 ,,21∏∏中的最大值是A ．11∏B ．10∏C ．9∏D ．8∏12．若非零向量AB 与满足：0=⋅+BC ）（，21=，则△ABC 是 A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案直接填写在答卷中横线上）13．若βαta n ,ta n 是方程04332=++x x 的两根，且)2,2(,ππβα-∈，则=+βα____． 14．若），（02M ，），（20N ，且点P 满足MN MP 21=，O 为坐标原点，则=⋅OM ____． 15．在△ABC 中，O 为中线AM 的中点，若2=AM ，则)(+⋅的值是____．16．若数列}{n a 满足：11=a ，且)(21*∈+=+N n nn a a n n ，则当2≥n 时，=n a ____． 三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知集合}21|{<<=ax x A ，}1|||{<=x x B ，且)(B A A ⊂，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知一次函数)(x f 满足：1)1(=f ，且)4(2)]2([1-=ff f ，求)(x f 的解析式． 19．（本小题满分12分）已知c b a ,,分别为△ABC 内角C B A ,,的对边，)2sin ,2cos (A A m -=，)2sin ,2(cos A A =，且21=⋅． （1）求角A 的大小；（2）若32=a ，三角形的面积为3=S ，求c b +的值．20．（本小题满分12分）已知βα,均为锐角，且21)tan(-=-βα．（1）求αcos 的取值范围；（2）若53cos =α，求βcos 的值． 21．（本小题满分12分）已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，且0543=++OC OB OA ，设x ⋅=，y ⋅=，z ⋅=．（1）求xyz 的值；（2）求△ABC 的面积．22．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且)(1)2(2*∈-+=N n a n S n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设24231111+⋅++⋅+⋅=n n n a a a a a a T ，求n T ．。
四川省南充市高二上学期数学期中考试试卷
四川省南充市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）∀a，b，c，d∈R，定义行列式运算=ad-bc．将函数f(x)=的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高一下·漳州期末) 如图，在长方形ABCD中，AB= ，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一上·武威期末) 已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为（）A . y＝2x＋4B . y＝ x－3C . x－2y－1＝0D . 3x＋y＋1＝04. （2分）(2019·金华模拟) 已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2019高三上·上海期中) 直线的一个法向量可以是________.6. （1分） (2019高二上·上海期中) 三角形的重心为，，则顶点的坐标为________．7. （1分） (2019高二上·上海期中) 已知矩阵A= ，矩阵B= ，计算：AB=________．8. （1分） (2018高三上·吉林月考) 上随机地取一个数k ，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为________9. （1分） (2018高二下·揭阳月考) 已知变量满足条件则的最小值是________．10. （1分）把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是________.11. （1分）直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为________12. （1分） (2019高二上·上海期中) 三阶行列式中，元素的代数余子式的值为________.13. （1分）(2017·大同模拟) 已知P为△ABC内一点，且，若，则点P到△ABC三边的距离的最大值为________．14. （1分） (2017高一上·无锡期末) 已知向量、满足，它们的夹角为60°，那么=________．15. （1分） (2017高二上·定州期末) 如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是________．16. （1分） (2018高一下·台州期中) 已知向量及向量序列: 满足如下条件:，且 ,当且时, 的最大值为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （5分）已知矩阵M=的两个特征值分别为λ1=﹣1和λ2=4，（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x﹣2y﹣3=0，求直线l的方程．18. （10分）设函数，其中（1）求出f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求f（x）在上最大值与最小值．19. （10分） (2018高二上·莆田月考) 已知： f(x)=ax2+2x+c，最低点为 (−1,−2)（1）求不等式的解集（2）若，求实数的取值范围.20. （15分）(2017·新课标Ⅲ卷理) 已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M 是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．21. （15分） (2019高二上·浙江期中) 已知实数，关于x的方程恰有三个不同的实数根，Ⅰ 当时，求a的值；Ⅱ 记函数的最小值，求的取值范围．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、21-1、第11 页共11 页。
四川省南充市数学高二上学期文数期中考试试卷
四川省南充市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，如果，那么cosC等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·重庆模拟) 已知非零实数a ， b满足，则下列不等关系不一定成立的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·赣州期中) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an ，则的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高三上·东莞期末) 对任意x∈[﹣1，1]，不等式﹣4≤x3+3|x﹣a|≤4恒成立，则实数a 的取值范围为（）A . [﹣， ]B . [﹣， ]C . [0， ]D . [0，1]5. （2分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，则cos∠DAC=（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·龙海期中) 在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7 ，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4 ， b5 ， b7 ， b8的一个不等关系是（）A . b4+b8＞b5+b7B . b5+b7＞b4+b8C . b4+b7＞b5+b8D . b4+b5＞b7+b87. （2分）设实数x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A . 26C . 16D . 148. （2分）下面的程序框图输出S的值为（）A . 62B . 126C . 254D . 5109. （2分）已知等差数列中，若，则数列的前5项和等于（）A . 186B . 90C . 45D . 3010. （2分） (2017高二下·菏泽开学考) 在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且f（A）=2，b=1，△ABC的面积是，则的值是（）B . 2C . 4D . 211. （2分） (2019高二上·会宁期中) 若，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A . 2B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·邵阳期中) 在中，已知，，则的面积为________.14. （1分） (2018高三上·凌源期末) 已知数列满足，若，则数列的首项的取值范围为________．15. （1分）已知函数y=aex（其中a＞0）经过不等式组，所表示的平面区域，则实数a的取值范围是________ ．16. （1分） (2016高二上·浦东期中) Sn是数列{an}的前n项和，若a4=7，an=an﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）解关于x的不等式：ax2﹣（a+1）x+1＞0．18. （10分） (2017高三·银川月考) 在中，内角A，B，C所对的边分别为 .已知的面积为，（1）求和的值；（2）求cos(2A+ )的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南充高中09-10学年高二上学期期中考试
数学试题（文科）
（考试时间：120分钟，命、审题人：杜道平、田伟）
一、选择题（5×12）
1.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是
A、B、C、D、
2.直线的倾斜角的大小为
A、120°
B、30°
C、60°
D、150°
3.若
A、B、) C、D、
4.直线与直线互相垂直，则a
的值为
A、2
B、
C、
D、
5.若α、β满足，则的取值范围是
A、B、C、D、
6.已知，则
A、B、C、D、
设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围
7.是
A、[0，
B、
C、
D、
8.不等式的解集是
A、B、C、D、
9.若点(4，a)到直线的距离不大于3，则a的取值范围
是
A、B、C、D、
10.过点的直线与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两
点，则面积取最小时直线的方程为
A、B、C、D、
11.已知，
A、B、C、D、
12.已知：实系数一元二次方程的两个实
根为，且，则的取值范围是
A、B、C、D、
二、填空题（4×4）
13.已知则的最小值是。
14.设a、b、c为直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m、n)在直线
ax+by+2c=0上，则。
15.若，则的取值范围
是。
（用区间表示）
16.设函数，若，则的取值范围
分）解不等式
（2）若，求证+；
19.（12分）画出下列不等式组表示的平面区域，并求的最大值和最小值。
20.（12分）设的顶点，内角∠的平分线所在直线方程为，AB边上的中线所在直线方程为；
（1）求B点坐标；
（2）求BC所在直线方程。
21.（12分）某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤 9吨，电力4kW，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kW，劳力10个，又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元。
现在此工厂有煤360吨，电力200kW，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
22.已知,设关于x的方程
的两个非零实根为，试问：是否存在实数m，使不等式对任意
恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。
（14分）。