人教A版(2019)必修第一册1 3.1.1 函数的概念学案

3．1函数的概念及其表示3．1.1函数的概念考点学习目标核心素养函数的概念理解函数的概念，了解构成函数的三要素数学抽象求函数的定义域会求一些简单函数的定义域，并会用区间表示数学运算同一个函数掌握同一个函数，并会判断数学抽象求函数值和值域会求简单函数的函数值和值域，并会用区间表示值域数学运算问题导学预习教材P60－P66，并思考以下问题：1．函数的定义是什么？2．函数的自变量、定义域是如何定义的？3．函数的值域是如何定义的？4．区间的概念是什么？如何用区间表示数集？1．函数的有关概念■名师点拨对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号f：A→B表示从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间的概念及表示(1)区间定义及表示设a，b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b} 闭区间[a，b]{x|a<x<b} 开区间(a，b){x|a≤x<b} 半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b} 半开半闭区间(a，b](2)无穷概念及无穷区间表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a} 符号(－∞，＋∞) [a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a) ■名师点拨关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．()(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y.()(4)区间可以表示任何集合．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝()A．－1B．0C．1 D．2解析：选C.因为g(x)＝2x2－1，所以g(1)＝2－1＝1.函数f(x)＝14－x的定义域是()A．(－∞，4) B．(－∞，4]C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选A.由4－x>0，解得x<4，所以此函数的定义域为(－∞，4)．已知全集U＝R，A＝{x|1<x≤3}，则∁U A用区间表示为________．解析：∁U A ＝{x |x ≤1或x >3}，用区间可表示为(－∞，1]∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)下图中能表示函数关系的是________．解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数． 答案：①②④函数的概念(1)如图可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )(2)下列三个说法：①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素； ②若f (x )＝5(x ∈R )，则f (π)＝5一定成立； ③函数就是两个集合之间的对应关系． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(3)已知集合A ＝[0，8]，集合B ＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是从A 到B 的函数关系的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x【解析】 (1)观察图象可知，A ，B ，C 中任取一个x 的值，y 有可能有多个值与之对应，所以不是函数图象．D 中图象是函数图象．(2)①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素； ②正确．因为f (x )＝5，这个数值不随x 的变化而变化，所以f (π)＝5； ③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．(3)对于A 中的任意一个元素，在对应关系f ：x →y ＝18x ；f ：x →y ＝14x ；f ：x →y ＝12x 下，在B 中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A 中的元素8，在对应关系f ：x →y ＝x 下，在B 中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．【答案】 (1)D (2)B (3)D(1)判断所给对应关系是否为函数的方法 ①先观察两个数集A ，B 是否非空；②验证对应关系下，集合A 中x 的任意性，集合B 中y 的唯一性． (2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤 ①任取一条垂直于x 轴的直线l ； ②在定义域内平行移动直线l ；③若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．下列图形中可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )解析：选C.由函数的定义知选C.2．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．①P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1，1，－2，2}，Q ＝{1，4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ； ③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应．解析：②显然正确，由于①中的集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而①③不正确．答案：②求函数的定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝3－x |x |－5.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，|x |－5≠0，解得x ≤3，且x ≠－5，即函数的定义域为{x |x ≤3，且x ≠－5}．(1)求函数定义域的常用方法①若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零； ②若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零；③若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； ④若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； ⑤若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．(2)第(1)题易出现化简y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域为{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝x －1·4－x ＋2； (2)y ＝（x ＋1）0|x |－x ；(3)f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. 解：(1)要使此函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，4－x ≥0，解得1≤x ≤4，所以此函数的定义域是{x |1≤x ≤4}． (2)因为00无意义，所以x ＋1≠0， 即x ≠－1.①作为分母不能为0，二次根式的被开方数不能为负， 所以|x |－x >0，即x <0.②由①②可得函数y ＝（x ＋1）0|x |－x的定义域是{x |x <0且x ≠－1}．(3)要使此函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，x ≠－2⇒x ≥－3且x ≠－2. 所以f (x )的定义域为{x |x ≥－3且x ≠－2}．同一个函数(1)给出下列三个说法：①f (x )＝x 0与g (x )＝1是同一个函数；②y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 可能是同一个函数；③y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (t )，t ∈R 是同一个函数．其中正确说法的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)下列各组函数： ①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝（x ＋3）2，g (x )＝x ＋3.其中表示同一个函数的是________(填上所有同一个函数的序号)．【解析】 (1)①错误．函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，函数g (x )＝1的定义域是R ，不是同一个函数；②正确．y ＝f (x )，x ∈R 与y ＝f (x ＋1)，x ∈R 两函数定义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有2个．(2)①定义域不同，f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为R .不相等． ②对应关系不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .不是同一个函数． ③定义域、对应关系都相同．同一个函数．④对应关系不同，f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝x ＋3.不是同一个函数． 【答案】 (1)B (2)③判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝1与g (x )＝(x ＋1)0C ．f (x )＝x 2与g (x )＝(x )2D ．f (x )＝x ＋1与g (x )＝x 2－1x －1解析：选A.A 项中两函数的定义域和对应关系相同，为同一个函数；B 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)；C 项中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为[0，＋∞)；D 项中，f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．B ，C ，D 三项中两个函数的定义域都不相同，所以不是相等函数．故选A.求函数值和值域已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f (g (x ))．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f (g (x ))＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．(变设问)在本例条件下，求g (f (1))的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g (f (1))＝g (1)＝1＋4＝5. f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝⎛⎭⎫x ∈R ，且x ≠12.2．(变条件)若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域．解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}，所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7.所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义；②然后将变量取值代入解析式计算，对于f (g (x ))型函数的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f (g (x ))与g (f (x ))的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．1．已知函数f (x )＝x －1，且f (a )＝3，则a ＝________． 解析：因为f (x )＝x －1， 所以f (a )＝a －1. 又因为f (a )＝3， 所以a －1＝3，a ＝16. 答案：162．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示．所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求． y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1(x ≠－1)，显然4x ＋1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)， y ＝u 2＋u ＝⎝⎛⎭⎫u ＋122－14(u ≥0)． 由u ≥0，可知⎝⎛⎭⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．1．若f (x )＝x ＋1，则f (3)＝( ) A ．2 B ．4 C ．2 2D ．10解析：选A.因为f (x )＝x ＋1，所以f (3)＝3＋1＝2. 2．对于函数f ：A →B ，若a ∈A ，则下列说法错误的是( ) A ．f (a )∈BB ．f (a )有且只有一个C ．若f (a )＝f (b )，则a ＝bD ．若a ＝b ，则f (a )＝f (b )解析：选C.根据函数的定义可知，A ，B ，D 正确；C 错误． 3．若[0，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：根据区间表示数集的方法原则可知，3a －1>0，解得a >13，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 4．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________．答案：(1)[1，＋∞) (2)(2，4] (3)(－1，2)∪(2，＋∞) 5．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋4.(1)求函数f (x )的定义域(用区间表示)；(2)求f(－1)，f(12)的值．解：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)．(2)f(－1)＝6－2－－1＋4＝－3－ 3.f(12)＝612－1－12＋4＝611－4＝－3811.[A基础达标]1．下列对应关系是从集合M到集合N的函数的是()A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x|B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→x解析：选C.对于A，集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，集合M 中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应是集合M到集合N的函数．2．下列四个图中，不是以x为自变量的函数的图象是()解析：选C.根据函数定义，可知对自变量x的任意一个值，都有唯一确定的实数(函数值)与之对应，显然选项A，B，D满足函数的定义，而选项C不满足，故选C.3．区间(－3，2]用集合可表示为()A．{－2，－1，0，1，2}B．{x|－3<x<2}C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2}解析：选C.由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3<x≤2}，故选C.4．已知函数f(x)＝x21＋|x－1|，则f(－2)＝() A．－1 B．0 C．1 D．2解析：选C.由题意知f(－2)＝（－2）21＋|－2－1|＝44＝1.故选C.5．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1，0，2，3}，则其值域为() A．{－2，0，4} B．{－2，0，2，4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3}解析：选A.依题意，当x ＝－1时，y ＝4；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝－2；当x ＝3时，y ＝0，所以函数y ＝x 2－3x 的值域为{－2，0，4}．6．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________． 解析：由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0解得x ≤1且x ≠0， 用区间表示为(－∞，0)∪(0，1]．答案：(－∞，0)∪(0，1]7．若f (x )＝5x x 2＋1，且f (a )＝2，且a ＝________． 解析：令5a a 2＋1＝2，即2a 2－5a ＋2＝0，解得a ＝12或a ＝2，故a 的值为12或2. 答案：12或2 8．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ，故函数值域为{1，2，3，4}．答案：{1，2，3，4}9．已知f (x )＝1－x 1＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2－1(x ∈R )． (1)求f (2)，g (3)的值；(2)求f (g (3))的值及f (g (x ))．解：(1)因为f (x )＝1－x 1＋x ，所以f (2)＝1－21＋2＝－13. 因为g (x )＝x 2－1，所以g (3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f (g (3))＝f (8)＝1－81＋8＝－79， f (g (x ))＝1－g （x ）1＋g （x ）＝1－（x 2－1）1＋（x 2－1）＝2－x 2x 2(x ≠0)． 10．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值． 解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合． 由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解．当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ，因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.[B 能力提升]11．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( )A ．p ＋qB ．3p ＋2qC ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )，所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ，f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .12．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1. 故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]．答案：[－1，1]13．求下列函数的值域．(1)y ＝x －1(x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1，2，3，4，5}；(3)y ＝x ＋2x －1；(4)y ＝x 2－2x －3(x ∈[－1，2])．解：(1)因为x ≥4，所以x ≥2，所以x －1≥1，所以y ∈[1，＋∞)．(2)y ＝{3，5，7，9，11}．(3)设u ＝2x －1，则u ≥0，且x ＝1＋u 22， 于是，y ＝1＋u 22＋u ＝12(u ＋1)2≥12， 所以y ＝x ＋2x －1的值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(4)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，因为x ∈[－1，2]，作出其图象(图略)可得值域为[－4，0]．14．已知函数f (x )＝x 2－mx ＋n ，且f (1)＝－1，f (n )＝m ，求f (－1)，f (f (－1))的值及f (f (x ))的表达式．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋n ＝－1，n 2－mn ＋n ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－1， 所以f (x )＝x 2－x －1，故f (－1)＝1，f (f (－1))＝－1，f (f (x ))＝f (x 2－x －1)＝(x 2－x －1)2－(x 2－x －1)－1＝x 4－2x 3－2x 2＋3x ＋1.[C 拓展探究]15．(2019·石家庄检测)已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)由(1)中求得的结果，你发现f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 有什么关系？并证明你的发现．(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝⎛⎭⎫12 018的值． 解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2， 所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明如下： f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值． (3)由(2)知，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1，因为f (1)＋f (1)＝1，f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1，…f (2 018)＋f ⎝⎛⎭⎫12 018＝1，所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f (2 018)＋f ⎝⎛⎭⎫12 018＝2 018.。