2.3 用公式法求解一元二次方程(第二课时)
用公式法解一元二次方程第二课时
公式法的注意事项
01
判别式的判断
在使用公式法之前，需要先判断判别式Δ=b²-4ac的符号，以确定方程
的根的情况。
02 03
根的取值范围
根据判别式的符号和方程的系数a、b、c的值，可以确定根的取值范围。 例如，当a>0时，若Δ>0，则方程的两个根x₁和x₂均大于0；若Δ<0， 则方程没有实根。
复数根的处理
具体求解过程包括将方程转化为标准形式，计算判别式，并利用复数求解公式得到 解。
方程有重根的情况
当判别式等于0时，一元二次方 程有重根，此时也不能直接使用
求根公式。
重根情况下，需要对方程进行因 式分解或使用配方法来求解。
通过因式分解或配方法，可以将 方程化简为更简单的形式，从而
容易地找到重根。
方程无实数根的情况
用公式法解一元二次方程第二 课时
目录
CONTENTS
• 一元二次方程的公式法 • 特殊情况的处理 • 实际问题的应用 • 练习与巩固 • 总结与反思
01 一元二次方程的公式法
CHAPTER
公式法的推导
推导过程
一元二次方程的解可以通过公式法求解， 其推导过程基于一元二次方程的根的判别 式和Vieta定理。首先，计算判别式Δ=b²4ac，然后根据Δ的值判断方程的根的情况。 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0 时，方程没有实根。接着，利用Vieta定理， 根据a、b、c的值计算出方程的两个根x₁和 x₂。
VS
公式形式
一元二次方程ax²+bx+c=0的解为x₁,x₂=[b±√(b²-4ac)]/2a。
公式法的应用
应用范围
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
2.3用公式法求解一元二次方程课时训练含答案
第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程 班级：__________ 姓名：__________ 一、填空题1.配方法解一元二次方程的基本思路是：（1）先将方程配方；（2）如果方程左右两边均为非负数，则两边同时开平方，化为两个__________；（3）再解这两个_________。
2.用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)时：∵a ≠0,方程两边同时除以a 得__________________，移项得__________，配方得_________，即（x +__________）2=__________，当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________和__________， ∴x 1=__________,x 2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________，求得方程的解.4.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是_______，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.二、选择题1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是A.x 1、2=24312122⨯-± B.x 1、2=24312122⨯-±- C.x 1、2=24312122⨯+± D.x 1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±-- 2.方程x 2+3x =14的解是A.x =2653± B.x =2653±- C.x =2233± D.x =2233±- 3.下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个 4.方程x 2+(23+)x +6=0的解是A.x 1=1,x 2=6B.x 1=－1,x 2=－6C.x 1=2,x 2=3D.x 1=－2,x 2=－3三、用公式法解下列各方程1. 5x 2+2x －1=02. 6y 2+13y +6=03. x 2+6x +9=7四、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？参考答案一、1.一元一次方程 一元一次方程2.x 2+0=+a c x a b x 2+ac x a b -= 222222222442 04 44 2 4)2(a ac b a b x ac b a ac b a b a b a c a b x a b x -=+≥--+-=++ a ac b b a ac b b a ac b a b x 24 24 4422222----+---=+ 3.一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 b 2－4ac ≥0 aac b b 242-±- 4.3x 2－7x －8=0 3 －7 －861457 61457-+ 二、1.D 2.B 3.B 4.D三、1.解：a =5,b =2,c =－1∴Δ=b 2－4ac =4+4×5×1=24＞0∴x 1·2=56110242±-=±-∴x 1=561,5612--=+-x 2.解：a =6,b =13,c =6∴Δ=b 2－4ac =169－4×6×6=25＞0 ∴x 1·2=12513122513±-=±- ∴x 1=－23,x 2=－32 3.解：整理，得：x 2+6x +2=0∴a =1,b =6,c =2∴Δ=b 2－4ac =36－4×1×2=28＞0 ∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－7四、解：若A =13，即4x 2+2x －1=3x 2－2 整理，得x 2+2x +1=0∴(x +1)2=0,∴x 1=x 2=－1∴当x =－1时，A =13.。
2.3用公式法解一元二次方程(第2课时)-北师大版九年级数学上册教学案
北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。
2.3 用公式法求解一元二次方程教案
二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化， 然后再利用总结出来的用公式法 解一元二次方程的步骤能更加便利地求解一元二次方程。 所以本节课首先要对上 节课配方法的运算熟练， 在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式， 最后，用公式法解一元二次方程。
三、教学目标： 1.引导学生能够正确的推导出一元二次方程的求根公式，总结用公式法解一 元二次方程的步骤，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 2. 通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，并能够根据方程的系 数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力，提高学生的综合运算 能力。 3.通过在探求公式和总结过程中进一步发展学生合作交流的意识和数学语 言表达能力。
b b 2 4ac a 2ab bLeabharlann 2 4ac x a 2a3
x
b b 2 4ac 2a
问题 4：如果 b2-4ac<0 时，会出现什么问题？（方程无解） 问题 5：如果 b2-4ac=0 呢？（方程有两个相等的实数根）
板书重要结论 1： 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当 b2-4ac≥0 时，它的根是：
∴
即：x1=9,
x2=-2
x
40 1 2 4 2
1
即：x1=x2=2 (3)x2-2x+3=0 解：a=1,b=-2,c=3 ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8﹤0 ∴方程无解
4
3.提出问题： b2-4ac 的值对方程根的情况有什么影响呢？ 当 b2-4ac﹥0 时， 方程的根的情况又如何呢? （方程有两个不相等的实数根） 当 b2-4ac=0 时，方程的根的情况如何呢？（方程有两个相等的实数根） 当 b2-4ac﹤0 时，方程的根的情况又如何呢? （方程没有实数根） 因为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由 b2-4ac 的值决定着， 所以 我们将 b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式 板书重要结论 2： 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 当 b2-4ac﹥0 时，方程有两个不相等的实数根 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根 当 b2-4ac﹤0 时，方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 b2-4ac 来判定， 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字 母“△”来表示。 活动目的： 由学生亲身经历公式的推导过程，只有学生经历了这一过程，他们才能发现 问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而 发。
九年级数学上册-用公式法解一元二次方程
－1 且 k≠0，综上，k 的取值范围为 k≥－1.
7. 已知关于 x 的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x＝0，求代数式(2m－1)2 ＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值(要求先化简再求值)．
解：设AB为xm，则BC为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300， 2x2-50x+300=0， 解得；x1=10，x2=15， 当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300 平方米
故当矩形温室的长为 28 m，宽为 14 m 时，蔬菜种 植区域的面积是 288 m2.
◎拓展提升
6. (2017·齐齐哈尔)若关于 x 的方程 kx2－3x－94 ＝ 0 有实数根，则实数 k 的取值范围是( C )
A．k＝0
B．k≥－1 且 k≠0
C．k≥－1
D．k＞－1
【解析】当 k＝0 时，方程为－3x－49＝0，解得 x＝
老师提示:在检验时,方 程的根一定要符合问题 的实际意义.否则,舍去.
12m
探究2 我—小亮,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都 相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗?
16m
12m xm
探究2 我—小颖 ,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直
②当 b2－4ac____<_0________时，一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
届九年级数学上册 23 用公式法求解一元二次方程第二课时教学设计 新版北师大版
用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。
这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。
画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。
2.3公式法(2)
解这个方程,得
x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去). 答:金链的宽应是5cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场
的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏
围成,木栏长40m.
25m
(1) 鸡场的面积能达到 180m2吗?
180m2
(2) 鸡场的面积能达到 200m2吗?
答 :小路的宽为4m.
xm
当堂作业习题2.6 P44
1.在一幅长90cm,宽40cm的风景画四周外围 镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂 图。如果要求风景画的面积是整个挂图面积 的72%。那么金边的宽应是多少？
解：设金边的宽为 x cm，根据题意得
90 2x40 2x72% 90 40.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙 (墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.
解:(3)设养鸡场的与墙平行的一边为
xm,根据题意得
25m
x 40 x 250 . 2
180m2
即x2 40 x 500 0.
x
解这个方程 ,知
这个方程无解.
答 : 鸡场的面积不能达到 250 m2.
当堂作业习题2.6 P44
3. 如图，圆柱的高为15cm，全面积（也称表面积） 为200π c㎡ ，那么圆柱底面半径为多少？
解:设圆柱的底面半径为R,则有两个底的面 积和为:π R²× 2=2π R²; 侧面积为:2πR × 15=30πR. ∴ 2π R²+30πR=200π; R²+15R-100=0; 解这个方程得 R1= -20(不符合题意舍去) R2=5
180m2
解这个方程 ,得
北师大版九年级数学2.3用公式法求解一元二次方程(2)课后练习
用公式法求解一元二次方程（第2课时）
1.用公式法解方程243x x =+时，24b ac ∆=-的值是（ ）
A.4
B.28
C.20 D .－4
2.若点P 的横、纵坐标恰好是方程22240x x --=的两根，则点P 在（ ）
A. 第二象限
B. 第四象限
C.第一象限 D 第二或第四象限
3.方程2269x x -=的根为
4.已知三角形的两边长为分别为3cm 和4cm ，第三边长是方程2650x x -+=的根，则该三角形的周长为 ，形状为 ，面积为
5.如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m
的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其
中两条与AB 平行，另外两条与AD 平行，
其余部分种花草，要使每一块花草的面积
都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？
设通道宽为x m ，则由题意列的方程
为_____________________.
6. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25 m),另外三边用木栏围成,木栏长40 m. 养鸡场的面积能达到180 m2 吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
7.要对一块长为60m ，宽为40m 的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面。
P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽度都相等，并且两块绿地的面积和矩形ABCD 面积的
14，求P ，Q 两块绿地周围硬化路面的宽。
Q P D C B A。
九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时课件新版北师大版
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
第二课时
一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就 变成正方形,则原菜地的长是 12 m.
12345
1.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上抛出,它在空中的高度h(m)
与运动时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,当h=20时,小球的运动时间为
()
A.20 s
B.2 s
解:设垂直于墙的一边长为x m,得 x(58-2x)=200. 解得x1=25,x2=4. 则平行于墙的另一边长为8 m或50 m. 答:矩形的长为25 m,宽为8 m或矩形的长为50 m,宽为4 m.
关闭
答案
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
2.3用公式法求解一元二次方程
即
x1 = x2 = 1 .
2
知识讲解
例2 解方程：4x2-3x+2=0
解： a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
知识讲解
公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
归纳这 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用 这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方 程的解.
知识讲解
二 用公式法解一元二次方程
典例精析
例1：解方程 （1）x2 - 7x –18 = 0.
解：这里 a =1 , b =-7 , c = -18.
∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 的根 的判别式，用希腊字母“Δ”来表示.
知识讲解
不解方程判断下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0;
(2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.
解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 , ∴有两个不相等的实数根.
例3 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等 的实数根，则k的取值范围是（ B ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)
解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完
成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答： 人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时， －b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为 公式法 ．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下： 这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的 反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
用公式法求解一元二次方程ppt课件
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
2.3.2 用公式法求解一元二次方程(第二课时)
新知探究
小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都 相等. 通过解方程，他得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都 相同.
图1
图2
路的宽不可能为 12 m，因而它不是实
际问题的解，应舍去. 而小路宽 2 m 符合这个实际问题，所以 小路的宽是 2 m . （2）你能帮小亮求出图2中的 x 吗？
第二章 一元二次方程
3. 用公式法求解一元二次方程（第2课时）
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
情境引入
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一 个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计 方案吗？
的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道
路的宽为多少？
x
解：设道路的宽为 x 米
20
(32-x)(20-x)=540
x
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
32
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
4 个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且半径为 x m，
根据题意，得πx2 1 1216 . 解得 x 2
96 π
5.5
.
所以图
中的 x约为 5.5.
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.（答案不唯一）
随堂练习
对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图3 所示，你能帮她求出图中的 x 吗？
用公式法求解一元二次方程 第二课时 导学案
丹东市第二十四中学 2.3 用公式法求解一元二次方程第二课时主备：曹玉辉辅备：孙芬、李春贺审核：2014年8月15日一、学习准备：1、一元二次方程的一般形式是什么？2、如何判断一元二次方程根的情况3、一元二次方程的求根公式是什么？二、学习目标：1．会不解方程通过根的判别式判断一元二次方程根的情况。
2．会运用b2-4ac来解题。
三、自学提示：1、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？与同伴交流一下。
（1）如果b2-4ac>0，这时方程有（）的实数根：x1=( ),x2=( )（2）如果b2-4ac=0，这时方程有（）的实数根：x1 =x2=( )（3）如果b2-4ac<0，这时方程（）的实数根.以上三个结论反过来也是正确的。
2、把叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示。
Δ＞0方程（）实数根.Δ=0方程（）实数根.Δ＜0方程（）实数根.巩固练习：不解方程，判别下列方程的根的情况。
①2x2+4x+35=0；②4m（m-1）+1=0；③0.2x2-5=x；④4（y2+0.99）=2.4y；解①：这里a=________,b=_______,c=________,因为Δ=______________________________所以，方程_______________________________剩的题目自己解答。
四、学习小结：五、夯实基础：1、使用判别式之前一定要先把方程变化为，以便正确找出a、b、c的值。
2、如果说方程有实数根，即应当包括有两个两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
3、根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程因此，要注意隐含条件 .六、能力提升：1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0)2、已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．3、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是什么？4、关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有实数根，求k的取值范围。
2.3用公式法求解一元二次方程
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
独立 作业
知识的升华
P43习题2.5 1,2,3题;
祝你成功！
独立 作业
知识的升华
根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广 六尺八寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角 线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
B
即x 8 x 0.
2
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
1.会用求根公式解一元二次方程； 2.通过公式的推导，加强推理技能训练，进一步 发展逻辑思维能力．
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
3 3.x1 1; x2 . 2
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4 .3 y
2
1 2 3 y.
3 4. y1 y2 . 3
小结
拓展
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
北师版数学九年级上册 用公式法求解一元二次方程
∴方程有两个实数根．
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为 a，b，c，其中 a = 5， 若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实 数根，求△ABC 的周长. 解：因为关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个 相等的实数根，
∵ b2 - 4ac = 72 – 4 × 1× (-18 ) = 121 ＞ 0，
∴ x 7 121 7 11.
21
2
即 x1 = -9，x2 = 2 .
2. 解方程 (x - 2) (1 - 3x) = 6. 解：去括号，得 x - 2 - 3x2 + 6x = 6.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0. 这里 a = 3，b = - 7，c = 8， ∴ b2 - 4ac = ( - 7 )2 - 4×3×8 = 49 - 96
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法求解一元二次方程
复习引入
1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
一、移常数项；
二、配方[配上
一次项系数 2
2]；
三、写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )；
四、直接开平方法解方程.
2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ?
（3）x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 ＜ 0. ∴方程无实数根．