尺规作图-线段的垂直平分线--点评
三角形三边的垂直平分线及作图
三角形三边的垂直平分线及作图
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
尺规作图
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归纳总结
应用格式:∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点,∴ PA =PB=PC.
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线,说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内;直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上;钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
做一做
【例1】已知:线段a,h.求作:△ABC,使来自B=AC,BC=a,高AD=h.
D
a
h
作法:1.作BC=a;
2.作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点;
3.以D为圆心,h长为半径作弧交MN于A点;
4.连接AB,AC.
△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
1.已知直线l和其上一点P,利用尺规作 l 的垂线,使它经过点P.
1.3 线段的垂直平分线第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质,能够运用其解决实际问题.(重点)2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
学习目标
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.2.线段的垂直平分线的作法.
性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
画一画:利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,完成之后你发现了什么?
发现:三角形三边的垂直平分线交于一点.这一点到三角形三个顶点的距离相等.
1.三角形三边垂直平分线的性质
点拨:要证明三条直线相交于一点,只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下:
第20课时 垂直平分线、角平分线及尺规作图 中考数学总复习 课件
考 点
2.[2017·荆州]如图20-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于点
知
D,则∠CBD的度数为 ( B )
识
梳
A.30°
B.45°
理
C.50°
D.75°
高
频 考 向
探
究
图20-3
课 时 分 层 训 练
考 点
3.[2018·包头一模]已知:在△ABC中,BC>AB>AC.根据图20-4中的作图痕迹及作
高
到 AB 的距离等于 ( )
∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2.
频
考
A.4
B.3
∵BD 平分∠ABC,∴DE=DC=2,
向 探
C.2
D.1
即点 D 到 AB 的距离等于 2.
究
课
时
图20-5
分
层
训
练
考 点
| 考向精练 |
知
识
[2019·湖州]如图20-6,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,
定 角平分线上的点到角的两边的距离③ 相等 ,
理
即∠���������1���
= ⊥
∠2 ������������,������������
⊥
������������
⇒PE④
=
PF
向 探
逆 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,即
究 课
定 理
������������ ������������
知
法,下列结论一定成立的是 ( B )
识
梳
A.AP⊥BC
理
用尺规作图(作线段的垂直平分线)
2.画一个直角三角形,使其斜边和直 角边分别等于已知的两条线段.
(第 4 题)
E F B D C
2,书本上的练习
作业
课堂作业:书本P37 上的7,9,11题 (画在书本上) 家庭作业(方便居民的生 活,计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心,试问, 该购物中心应建于何处,才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
问题探讨
以C为圆心,任一线段的长为半径 画弧,交l于A、B两点,则C是线段 AB的中点.因此,过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线.
图 24.4.9
作法:(1)以点C为圆心,任一线段的 长为半径画弧,交直线l于点A、B; (2)以点A为圆心,以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心,以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧,两弧交于点D; (4)经过点C、D作直线CD. 则直线CD即为所求.
你能做出下面五角星的一条对称轴吗?
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧,有两个工厂A、B,为了便 于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医 院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选 在何处?你的方案是什么?
B
L
高 速 公 路
1,已知,如图,AD是△ABC的角平分线, DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。 求证:AD垂直平分EF A
思考:
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形,如何验 证呢?不折叠图形,你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗?
如果两个图形成轴对称,其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们 只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的 垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴。
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指一条垂直于给定线段,并且将该线段平分为两段长度相等的线。
在几何学中,垂直平分线是一种常见的概念,具有重要的应用价值。
本文将探讨线段的垂直平分线的性质、构造方法以及其在实际生活中的应用。
一、线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线有一些重要的性质。
首先,垂直平分线与线段相交于线段的中点。
这是由于垂直平分线平分了线段,所以垂直平分线必定与线段的中点相交。
其次,线段的两侧到垂直平分线的距离相等。
这是因为垂直平分线将线段平分为两等分,所以线段的两侧到垂直平分线的距离必定相等。
这些性质使得垂直平分线在几何学中具有重要的地位和应用。
二、线段的垂直平分线的构造方法线段的垂直平分线可以通过多种方法进行构造。
以下介绍两种常见的构造方法。
1. 使用尺规作图法通过使用尺规作图法,可以准确地构造出线段的垂直平分线。
具体步骤如下:(1)以线段的两个端点为圆心,作一对同心圆;(2)以同一半径,分别从线段的两个端点处画弧,将两个圆交于两点;(3)以这两个交点为圆心,作两个同心圆;(4)连接两个圆的交点和线段的两个端点,即可得到线段的垂直平分线。
2. 使用数学计算方法通过使用数学计算方法,也可以得到线段的垂直平分线。
具体步骤如下:(1)使用坐标系表示线段的两个端点;(2)根据两个端点的坐标,计算出线段的中点;(3)根据两个端点的坐标,计算出线段的斜率;(4)根据斜率的倒数,计算出线段的垂直平分线的斜率;(5)使用中点和垂直平分线的斜率,可以确定垂直平分线的方程。
三、线段的垂直平分线的应用线段的垂直平分线在实际生活中有广泛的应用。
例如,在建筑设计中,通过垂直平分线可以确定墙壁的位置,使得建筑物更加均衡美观。
在地图制作中,通过垂直平分线可以准确绘制出各个地理位置之间的距离和方位关系。
此外,垂直平分线还用于解决一些实际生活中的问题,如切割食物、划分地块等。
总结:线段的垂直平分线是几何学中的重要概念,具有重要的性质和应用。
16.2尺规作图线段垂直平分线
永年县第四中学 吴睿
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义: ∵MN是AB的垂直平分线 AD=BD; ∴ MN⊥AB , A D B 2.垂直平分线的性质: N ∵MN是AB的垂直平分线 ∴ PA=PB ( 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ) 3.垂直平分线的判定: ∵PA=PB ∴ P在AB的垂直平分线上 ( 到线段两端距 离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 )
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称,怎样作出图形的对称轴?
如果两个图形成轴对 称,其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线.因此,只要找到任 意一组对应点,作出对应 点所连线段的垂直平分线, 就得到此图形的对称轴.
小结
1.说说线段垂直平分线的作法; 2.画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法: (1)将图形对折; (2)用尺规作图; (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点,然 后画垂线.
(3)由DE是BC的垂直平分线得:BD=CD;所以AD+CD= AD+BD=AB. (4)由(2)中式子-(1)中式子得BC=10cm.
课堂练习
练习4 如图,过点P 画∠AOB 两边的垂线,并和 同桌交流你的作图过程. A
P O
B
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老师期望:
课堂练习
练习3:如图,与图形A成轴对称的是哪个图形? 画出它们的对称轴.
思考
两个成轴对称的图形,不经过折叠,你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道,如果两个图形关于某条直线 对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线.因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点,然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了. 提问:如何画一条线段的垂直平分线呢?
线段的垂直平分线---知识讲解(提高)
线段的垂直平分线---知识讲解(提高)【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理,能够利用尺规作已知线段的垂直平分线.2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高,求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题. 【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线 1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法:(1)分别以点A ,B 为圆心,以大于21AB 的长为半径作弧,两弧相交于C ,D 两点; (2)作直线CD ,CD 即为所求直线. 要点诠释:(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长,否则就不能得到两弧的交点了. (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 要点诠释:线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两条线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,“线段垂直平分线,常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.要点三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 要点诠释:到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合. 要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心. 要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点(三线共点),该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部;钝角三角形的外心在三角形外部;直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题,它要求写出“已知,求作,作法和画图”,画图必须保留痕迹,在现行的教材里,一般不要求写出作法,但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为()A、7B、14C、17D、20【思路点拨】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线,即可得AD=BD,又由△ADC的周长为10,求得AC+BC的长,则可求得△ ABC的周长.【答案】C;【解析】∵在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于的AB的长为半径画孤,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.∴MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∵△ADC的周长为10,∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10,∵AB=7,∴△ABC的周长为:AC+BC+AB=10+7=17.【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大,解题时要注意数形结合思想的应用.举一反三:【变式】阅读“作线段的垂直平分线”的作法,完成填空及证明.已知:线段AB,要作线段AB的垂直平分线.作法:(1)分别以A 、B 为圆心,大于12AB 的同样长为半径作弧,两弧分别交于点C 、D ; (2)作直线CD .直线CD 即为所求作的线段AB 的垂直平分线. 根据上述作法和图形,先填空,再证明.已知:如图,连接AC 、BC 、AD 、BD ,AC=AD=___=___. 求证:CD ⊥AB ,CD 平分AB . 证明:【答案】已知:如图,连接AC 、BC 、AD 、BD ,AC=AD=BC=BD . 求证:CD ⊥AB ,CD 平分AB . 证明:CD 与AB 交于点E . ∵在△ACD 和△BCD 中,,AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD (SSS ). ∴∠1=∠2. ∵AC=BC ,∴△ACB 是等腰三角形. ∴CE ⊥AB ,AE=BE .即 CD ⊥AB ,CD 平分AB .2.(2015秋•和县期中)如图,在△ABC 中,AB 边的垂直平分线l 1交BC 于点D ,AC 边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连结0B,OC,若△ADE的周长为6cm,△OBC 的周长为16cm.(1)求线段BC的长;(2)连结OA,求线段OA的长;(3)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数.【思路点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,EA=EC,根据三角形的周长公式计算即可;(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可;(3)根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算.【答案与解析】解:(1)∵l1是AB边的垂直平分线,∴DA=DB,∵l2是AC边的垂直平分线,∴EA=EC,BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm;(2)∵l1是AB边的垂直平分线,∴OA=OB,∵l2是AC边的垂直平分线,∴OA=OC,∵OB+OC+BC=16cm,∴OA=0B=OC=5cm;(3)∵∠BAC=120°,∴∠ABC+∠ACB=60°,∵DA=DB,EA=EC,∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°.【总结升华】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.举一反三:【变式】如图,在△ABC中,已知BC=7,AC=16,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,求△BEC的周长.【答案】∵DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴BE+EC=AE+EC=AC.∴△BEC的周长=BE+EC+BC=AC+BC=23.要点二、线段的垂直平分线的逆定理3.(2016春•鄄城县期中)如图,在△ABC中,AD是高,在线段DC上取一点E,使DE=BD,已知AB+BD=DC.求证:E点在线段AC的垂直平分线上.【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE,推出DE+EC=AE+DE,得出EC=AE,根据线段垂直平分线性质推出即可.【答案与解析】证明:∵AD是高,∴AD⊥BC,又∵BD=DE,∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线,∴AB=AE,∴AB+BD=AE+DE,又∵AB+BD=DC,∴DC=AE+DE,∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE,∴点E在线段AC的垂直平分线上.【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用,掌握线段垂直平分线的性质和判定定理是解题的关键.类型三、线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用4.联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.举例:如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=12AB,求∠APB的度数.探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.【思路点拨】应用:连接PA、PB,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系,然后判断出只有情况③是合适的,再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°,然后即可求出∠APB的度数;探究:先根据勾股定理求出AC的长度,根据准外心的定义,分①PB=PC,②PA=PC,③PA=PB 三种情况,根据三角形的性质计算即可得解.【答案与解析】应用:解:①若PB=PC,连接PB,则∠PCB=∠PBC,∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°,∴∠PBD=∠PBC=30°,∴PD=33DB=36AB,与已知PD=12AB矛盾,∴PB≠PC,②若PA=PC,连接PA,同理可得PA≠PC,③若PA=PB,由PD=12AB,得PD=BD,∴∠APD=45°,故∠APB=90°;探究:解:∵BC=5,AB=3,2222534AC BC AB∴=-=-=①若PB=PC,设PA=x,则x2+32=(4-x)2,∴x=78,即PA=78,②若PA=PC,则PA=2,③若PA=PB,由图知,在Rt△PAB中,不可能.故PA=2或78.【总结升华】考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,读懂题意,弄清楚准外心的定义是解题的关键,根据准外心的定义,要注意分三种情况进行讨论.举一反三:【变式】在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,若∠BAC=110°,则∠EAG=________.【答案】40°;解:∠B=x,∠c=y,则,∠B+∠C=180°-∠BAC,即x+y=70°①,∵DE、GF分别是AB、AC的垂直平分线,∴BE=AE,AG=CG,∴∠BAE=∠B=x,∠CAG=∠C=y,∵∠BAE+∠EAG+∠GAC=∠BAC,∴x+y+∠EAG=110°②,联立①②得,∠EAG=110°-70°=40°.故答案为:40°.要点四、尺规作图5.如图,每个格的单位长度是1,△ABC的外心坐标是 (_____________).【思路点拨】可分别作BC与AB的垂直平分线,两条垂直平分线交于点G,则点G即为△ABC 的外心,继而可求得答案.【答案与解析】分别作BC与AB的垂直平分线,两条垂直平分线交于点G,则点G即为△ABC的外心,∴△ABC的外心坐标是(-2,-1).故答案为:(-2,-1).【总结升华】考察尺规作图的能力和三角形的外心的定义.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.举一反三:【变式】数学来源于生活又服务于生活,利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题.李明准备与朋友合伙经营一个超市,经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B,同时又有相交的两条公路,李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上,绘制了如下的居民区和公路的位置图.聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置!请用尺规作图确定超市P的位置.(作图不写作法,但要求保留作图痕迹.)【答案】解:如图,点P就是要找的点.。
线段垂直平分线四种常考题型及解决思路分析
解法探究2023年3月下半月㊀㊀㊀线段垂直平分线四种常考题型及解决思路分析◉天津市北辰区秋怡中学㊀张福阳㊀㊀摘要:线段垂直平分线是初中数学几何部分非常重要的知识点,常在几何证明㊁计算㊁尺规作图中使用.考查方式通常比较灵活,且与角平分线结合考查时难度较高.基于此,本文对线段垂直平分线的四种常考题型进行分析,并以此为基础探究与垂直平分线有关的几何题的解决思路.关键词:垂直平分线;证明;解决思路;题型1引言在初中数学几何内容中,垂直平分线是非常重要的知识点,不仅中考考查比较频繁,而且也是教师授新和复习的重点内容[1].本文中以人教版初中数学教材为参考,对线段垂直平分线的四种常考题型进行介绍和分析,并在此基础上对如何解决这类问题进行探究,希望给教师教学带来帮助.2线段垂直平分线的理论基础人教版初中数学教材是这样安排线段垂直平分线的教学内容:首先从轴对称图形入手,让学生建立初步的直观感受.然后介绍等腰三角形,并借此引入垂直平分线的定义㊁性质和判定,最后简单描述了线段垂直平分线的尺规作图方法.与线段垂直平分线有关的理论如下:(1)定义:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(2)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.(3)判定:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.图1(4)作法:如图1所示.(5)全等三角形.在利用线段垂直平分线解决问题的过程中大多情况下会运用到三角形全等的内容.(6)等腰三角形.由于线段垂直平分线的性质其实是利用等腰三角形的性质得到,因此垂直平分线和等腰三角形结合非常紧密.3常考题型及思路分析从历年数学中考命题来看,线段垂直平分线的考查题型主要有以下四种.3.1求三角形的周长图2例1㊀如图2,M P ,N Q 分别垂直平分A B ,A C ,且B C =13c m ,求әA P Q 的周长.分析:本题可根据垂直平分线的性质将A P 转换为B P ,将A Q 转换为C Q ,于是әA P Q 的周长就转换成线段B C 的长.解:ȵM P ,N Q 分别垂直平分A B ,A C ,ʑA P =B P ,A Q =C Q .ʑәA P Q 的周长=A P +P Q +A Q=B P +P Q +C Q=B C =13(c m ).思路总结:由垂直平分线的性质可知,垂直平分线既可以实现线段数量关系的转换,也可改变线段的位置.所以,当所求几条线段没有明显的位置关系或数量关系时,可利用垂直平分线将之如例1的方法处理,这是垂直平分线比较常用的方法.3.2求角的度数图3例2㊀如图3,在直角三角形A B C 中,øC =90ʎ,A B 边的垂直平分线D E 交B C 于点D ,交A B 于点E ,连接A D ,A D 将øC A B 分成两个角,且ø1ʒø2=2ʒ5,求øA D C 的度数.分析:本题先根据垂直平分线的性质得到әA B D为等腰三角形,然后根据其性质得到ø2=øB ,接着利用三角形的外角得到øA D C =2ø2,最后在R t әA D C 利用 直角三角形的两个锐角互余 的性质求出øA D C 的度数.解:设ø1=2x ,ȵø1ʒø2=2ʒ5,ʑø2=5x .ȵD E 是线段A B 的垂直平分线,48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.2023年3月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀ʑA D =B D .ʑøB =ø2=5x .ʑøA D C =ø2+øB =10x .在R t әA D C 中,ø1+øA D C =90ʎ,则2x +10x =90ʎ.解得x =7.5ʎ.ʑøA D C =10x =75ʎ.思路总结:根据垂直平分线求角度也是初中数学几何中常考题型,这类问题主要是利用垂直平分线的性质得到等腰三角形,然后借助等腰三角形的性质或与直角三角形有关的知识点解题.3.3解决距离问题例3㊀如图4,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A ,B ,C 之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等图4㊀㊀图5分析:本题是点到点距离相等的问题,可根据垂直平分线的判定来解决,分别作线段A B ,B C 的垂直平分线,其交点即为所求.解:如图5所示,点M 即为所求.思路总结:垂直平分线的尺规作图常以这种解决点到点的距离问题的形式出现.需注意的是,垂直平分线上的点是到线段两个端点的距离相等,而角平分线上的点是到角的两边的距离相等.这是学生极易混淆的地方,教师在授新和复习时一定要注意引导学生进行区分.3.4说明线段的数量关系图6例4㊀如图6,在四边形A B C D 中,A D ʊB C ,E 为C D 的中点,连接A E ,B E ,B E ʅA E ,延长A E 交B C 的延长线于点F .试说明A B =B C +A D .解:ȵA D ʊB C ,ʑøD =øF C E .ȵE 为C D 的中点,ʑD E =C E .又øA E D =øF E C ,ʑәA D E ɸәF C E (A S A ).ʑA E =F E ,A D =C F .又ȵB E ʅA E ,B E =B E ,ʑәA B E ɸәF B E (S A S ).ʑA B =B F .ȵB F =B C +C F ,ʑA B =B C +A D .思路总结:本题也可根据垂直平分线直接得到,根据A E =F E 和B E ʅA E 证明B E 是线段A F 的垂直平分线.故而,利用垂直平分线可以转化边的位置,进而获得线段之间的数量关系.4利用垂直平分线解决问题的注意事项线段的垂直平分线与线段具有两种关系,一种是位置关系,即线段和垂直平分线互相垂直,另一种是数量关系,即垂直平分线平分线段[2].所以,在利用垂直平分线解决问题时应注意以下几点:首先,理解这两种关系,准确把握解题方向.很多学生在解题时常常因对 关系 理解不够准确导致出错,所以教师应先讲透垂直平分线中蕴含的这两种关系,让学生理解题意.如果是数量关系,那么应如例4根据题意找到相应线段转换位置,然后分析这几条线段之间存在怎样的数量关系;如果是位置关系,那么只需分析线段是否平行或垂直;如果题中需要讨论关系 ,而未说明需讨论何种关系,则既要讨论数量关系,又要讨论位置关系.其次,编织和丰富知识网络,为解决问题奠定基础.从本文例题可以看出,利用线段垂直平分线解决问题的过程中,会使用很多细小的知识点.而只要某个知识点出现问题,那么势必会影响解决整道题[3].所以,教师在授新和复习过程中,要指导学生不断编织和丰富知识网络.5结语综上所述,线段垂直平分线是解决初中几何问题的重要知识点,但是解题过程中一定要注意本文所述的几个方面.为此,初中数学教师一方面要注意基础知识点的传授,另一方面要指导学生构建知识网络.参考文献:[1]朱玉杰,任敏芬,蔡伟,等.小小一纸片玩出大乐趣 线段的垂直平分线和角平分线 实践类作业设计[J ].上海中学数学,2021(Z 2):6G9,25.[2]夏鸣.一次 图形性质探究课 的实践与思考 以 线段的垂直平分线的性质 教学为例[J ].中学数学,2016(8):33G35,3.[3]涂爱玲,梁艳云.用好 四环节 教学模式有效训练初中生思维 记«线段垂直平分线的性质与判定»的教学与思考[J ].中学教学参考,2018(26):1G3.Z58Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
尺规作图垂直平分线
尺规作图垂直平分线
利用尺规作图垂直平分线,在建筑设计中,获得良好的效果就成了一项重要的
任务。
如果可以建立一道垂直平分线,就可以切分出均对等的空间,并建立一个完整的体系。
因此,尺规作图垂直平分线有助于构建出连续、有完整性的建筑空间。
利用尺规作图垂直平分线,可以使得整个建筑的空间结构更加均衡,这样不仅
可以满足室内的比例要求和空间构成,而且也可以增强建筑物整体的外观视觉效果。
在建筑设计中尤其突出,尺规作图垂直平分线有助于凸显建筑物尺度及室内布局,使得建筑设计空间更加统一、有层次感。
此外,使用尺规作图垂直平分线也可以有效控制建筑物室内的光线,提升建筑
的宜居性。
垂直平分线建立的两个对等的空间可以很好地调节室内的穿透光线,既可以防止室内过暗,也可以保证室内光线充足,从而使得建筑空间更加宜人。
尺规作图垂直平分线是一项重要的建筑技术,可以有效提升室内空间的美感。
它可以帮助构建出均衡、有层次感的空间,以及统一的穿透光线,更是提升了室内的宜居性。
因此,建筑师应该充分利用尺规作图垂直平分线这种技术,相信这会有助于设计出更加绚丽多彩的建筑艺术。
八年级丨线段垂直平分线的经典题型解析
八年级丨线段垂直平分线的经典题型解析要点一、线段的垂直平分线定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.线段垂直平分线的尺规作图求做线段AB的垂直平分线作法:(1)分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;(2)作直线CD,CD即为所求直线.要点诠释:作弧时的半径必须大于AB的长,否则就不能得到交点了.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.要点诠释:线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质,是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法,那就是遇见线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造全等三角形创造条件.要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.要点诠释:到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线,也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合.三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理例一、如图,△ABC中AC>BC,边AB的垂直平分线与AC交于点D,已知AC=5,BC=4,则△BCD的周长是()A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A;【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理,也就是已知是线段垂直平分线,那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离就想等,从而把三角形的边进行转移,求的周长.举一反三:【变式1】如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下述结论错误的是()A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BC D.点D是线段AC的中点【答案】D;提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确;所以选D,另外,注意排除法在解选择题中的应用.【变式2】如图所示,在△ABC中,DE是AC的中垂线,AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长是 cm.答案】19;∵DE是AC的中垂线,∴AD=DC,AE=CE=3∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=13∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19.类型二、线段的垂直平分线逆定理例2、如图,已知AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:AD是线段BC 的垂直平分线.【答案与解析】证明:∵ AB=AC(已知)∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC (等角对等边)∵AB=AC(已知)DB=DC(已证)∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)∴AD是线段BC的垂直平分线。
用尺规作图作垂直平分线
用尺规作图作垂直平分线
当我们需要在一条线段的中点处作一条垂直平分线时,我们可以使用尺规作图
的技巧来实现这个目标。
以下是具体步骤。
制作线段的中垂线
首先,我们需要在这条线段的两端分别画两个圆。
然后,我们使用尺子测量线
段的长度,然后将这个长度的一半在圆周上量取出来,并连成一条线段。
我们用相同的方法将圆的另一个端点与线段相连。
这样,我们就得到了线段上的中垂线。
画出一个锐角三角形
接下来,我们需要画出一个锐角三角形。
这可以通过任意两条直线的相交来实现。
我们可以使用尺子测量已经画好的线段的一半,并在线段的两端分别画圆。
然后,我们各选取一个圆心,使得这两个圆相离一定距离,并连接圆的两个交点。
这样,我们就得到了三角形的两条边。
确定三角形的外接圆
接下来,我们需要确定三角形的外接圆。
外接圆是通过三角形三个顶点的圆心。
我们可以使用尺子分别测量三个顶点之间的线段,并将它们连接起来。
然后,我们可以测量两条对角线之间的距离,这将是外接圆的直径。
然后,我们以三角形任意一个顶点为圆心,用之前测量得到的直径画出外接圆。
画出垂直平分线
最后,我们需要确定外接圆的两个交点,并连接这两个交点与三角形的顶点。
这样,我们就得到了垂直平分线。
以上就是使用尺规作图的方法作垂直平分线的步骤。
通过这种方法,我们可以
非常精确地画出想要的图形。
关于线段垂直平分线的尺规作图
班级: 姓名: 主备人:陈秋霞 日期:2017.11.30
坚韧不怠,日进有功 既学会动脑,也学会动手
16.2线段的垂直平分线
——尺规作图
一、学习目标:
1、熟练掌握两个基本作图,能够用准确的语言表达作图方法与步骤
2、通过两个基本作图,体会化归与转化、分类与整合的数学思想,发展空间观念 二、学习过程
问题1:新建的两个小区附近要通一辆公交车,车站要建在小区门口的公路上, 要使从两个小区门口出来的居民走到车站的路程一样长,车站要建在哪里? (保留作图痕迹,不写作法)
问题2:已知:线段AB
求作:线段AB 的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法)
回顾反思:
用尺规作已知线段的垂直平分线 表述思路:
问题3:已知:直线AB 及一点P
求作:经过点P 且垂直于AB 的直线(保留作图痕迹,不写作法)
回顾反思:
过一点作已知直线的垂线
三、作业布置
必做:P119 练习1、2,习题1、2、3 选做:已知:线段a 、b
求作:以线段a 、b 为边的直角三角形(保留作图痕迹,不写作法)。
线段的垂直平分线的性质教学设计和评价
聚焦教学重难点的信息化教学设计课题名称:线段的垂直平分线的性质姓名:金大文工作单位:布朗山乡九年制学校学科年级:八年级数学教材版本:人民教育出版社一、教学内容分析《线段的垂直平分线的性质》选自人教版《义务教育教科书•八年级上册》(2013版)第十三章《轴对称》第一单元第二课。
在此之前,学生学习了全等三角形,对轴对称图形的性质有所认识,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是今后证明线段相等和直线互相垂直的依据,因此本节课具有承上启下的重要作用。
二、教学目标1.知识与技能目标:了解线段的垂直平分线的性质,会利用线段的垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、计算作用。
2.过程与方法目标:自己动手探究发现线段的垂直平分线的性质,培养学生的观察力、实验推理能力。
3.情感态度与价值观目标:要求学生在学习中运用发现法,体验几何发现的乐趣,在实际操作动手中感受几何应用美。
三、学习者特征分析学生在此之前已经学习了轴对称图形,对线段的垂直平分线已经有了初步的认识,这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础,但处于该阶段的学生语言表达能力较差,特别是几何语言的描述不规范,本节课几何语言理解表达问题较难,因此,教学中要加强推理证明步骤的规范化。
四、教学策略选择与设计我选择的教法是“自主探究-合作交流-归纳总结”的教学模式,引导学生动手操作,主动思考,小组讨论,归纳应用。
“线段的垂直平分线”是初中几何的重点内容,在解决问题时有其实用性和简洁性,学法上既要求学生动手操作,又要求学生主动思考,合作交流,在动手中得出知识,不能依靠教师讲解后的记忆。
五、教学重点及难点线段垂直平分线性质在以后的学习中经常要用到.让学生通过探索活动来发现结论,经历知识的再发现过程,可增强学生对性质的认识和理解,培养学生多方面的能力.因此我确定本节课的重点为:探究线段垂直平分线的性质.难点为:明确线段垂直平分线的性质和判定的区别六、教学过程教师活动预设学生活动设计意图1.温故知新,导入新课回顾线段的垂直平分线定义概念,探究线段的垂直平分线的性质。
垂直平分线尺规作图教案
线段的垂直平分线的概念:
线段的垂直平分线的性质:
3、线段的垂直平分线的画法:
3.线段的垂直平分线的画法:
3、线段的垂直平分线的画法:
例题分析:基础练习:
2、例题分析:(中测1)
2.例题分析:(中测1)
2、例题分析:(中测1)
15
1、教师示范。
2、学生完成。
3、学生思考为什么这样画出的就是线段的垂直平分线。
3、基础练习:(中测2, 3)
10
1.独立完成。
2.教师点评。
4.能力提升:(中测4, 5)
10
1、独立思考
2、小组合作
3、教师点评
5.小结
3
引导学生总结
学科
数学
年级
七年级
学期
2013-2014-2
课题
线段的垂直平分线的画法
学
习
目
标
1、会用尺规画线段的垂直平分线。
2、发展逻辑思维。3、来自养严谨的品质和规范的习惯。设计教师
审核
教师
编辑时间
2014.5.18
关键内容&内容提要
T
方法&策略
反思&自评
1.复习回顾(前测)
1、复习回顾(前测)
2
1.自主完成
1、自主完成
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16.2 线段的垂直平分线(三)—尺规作图点评
本节课不同于一般的新授课,是一节培养学生作图能力的实践型课堂.但是该课的设计并没有停留在单纯教学会学生作图方法上,而是以此为载体,深挖作图的原理和数学本质,培养学生的思维意识,打开思维的视角,教学生学会思考问题的方法,执果索困,追本溯源.在教学设计上,打破了传统的教学流程(教师演示,学生跟着作图),而是设置了具有较强的开放性学生活动,便于学生从多角度去探索知识.例如,一开始教师将“求作线段AB垂直平分线”这一问题直接抛给学生,并给学生留出充分思考的时间和空间,鼓励学生大胆尝试操作、并与同学合作交流,学生不仅学会了作图,还弄清了作图的理由,真正做到了对学生思维能力的培养.
在学生活动中,教师引导学生通过操作、观察、思考、归纳等方法探究解决问题的思路.同时,教师注意观察学生的活动、倾听学生的发言,及时捕捉学生的思维难点,加以启发和引导,培养学生大胆猜想,小心求证的学习态度,发展学生的演绎推理能力.做到了及时追问挖深度、总结提升扩广度,有效把握课堂生成.
总之,这节课为了让学生的手动起来,脑活起来,精心设计,在有效的问题和师生交流中启迪学生思维,提升学生能力.。