2019年福州市高中毕业班质量检测(文科数学)
2019年福建省高三毕业班质量检查测试数学(文)试题(解析版)
，＝
．
3．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：
旧个税税率表（个税起征点 3500 元）
新个税税率 表（个税起征
点 5000 元）
缴税 级数
每月应纳税所得额（含税）＝ 收入﹣个税起征点
税率（%）
每月 税率 应纳 （%） 税所
得额
（含
税）＝
收入
﹣个
税起
征点
﹣专
项附
加扣
除
1
不超过 1500 元的都分
有顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
．
16．（5 分）已知函数 f（x）＝
，若函数 g（x）＝f（x）﹣ 恰有 2 个零
点，则 a 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60
【解答】解：∵a＝0.50.8＜0.50.5，
b＝0.80.5＞0.50.5，∴b＞a， 又 c＝0.80.8＞0.50.8，∴c＞a， 又 b＝0.80.5＞c＝0.80.8， ∴a＜c＜b． 故选：D． 【点评】本题考查有理指数幂的运算性质及幂函数的性质，是基础题． 9．（5 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点，则异面直线 AD1 与 OC1 所成 角的余弦值为（ ）
是从政治、地理、化学、生物 4 门学科中任选 2 门，假设每门学科被选中的可能性相等，
那么政治和地至少有一门被选中的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的 i 的值为（ ）
福建省2019届高三下学期普通高中毕业班4月质量检查(文科数学)(WORD版)
福建省2019届高三下学期普通高中毕业班4月质量检查文科数学本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题）.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2•考生作答时，将答案答在答题卡上•请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效•在草稿纸、试题卷上答题无效.3•选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0. 5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4•保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据X1 , X2 ,…，X n的标准差s= j n〔（X1 -X）2 +（X2 - X）2+ …+（X n - X）2] 其中X为样本平均数柱体体积公式V=Sh其中S为底面面积，h为高第I卷（选择题一•选择题：本大题共12小题，每小题5分，共符合题目要求的.1.在复平面上，复数A •第一象限B锥体体积公式V=-Sh3其中S为底面面积，h为高球的表面积、体积公式2 4 3S =4二R2, V R33其中R为球的半径共60分）60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是2.若〉是第四象限角1 i i的共轭复数的对应点所在的象限是•第二象限 C •第三象限 D •第四象限3，且cos •二，则sin〉等于54B.5C.3.若a =20.3,b=0.32,c = log o.32，则a, b.c的大小顺序是A . a ::: b ::: cB . c ::: a ::: b4.在空间中，下列命题正确的是A .平行于同一平面的两条直线平行C .平行于同一直线的两个平面平行C. c ：： b ：： a D . b ：： c ：：aB垂直于冋平面的两条直线平行D垂直于同平面的两个平面平行5.甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示, 记甲、乙两人的平均得分分别为X甲,X乙, 则下列判断正确的是A . X甲•X乙；甲比乙成绩稳定B . X甲•X乙；乙比甲成绩稳定C . X甲：::X乙；甲比乙成绩稳定D . X甲：::X乙；乙比甲成绩稳定甲乙6 715S2K 6 S4 0336.已知函数f（X）」O g2X,X 0,则f（f（4））的值是3X 1, x 乞0, 4A . 107.已知A109-3x+2 cO},B」x1C . -2D . -5:::x af,若A ± B，则实数a的取值范围是A . 1,2B . 1,21D . 1-2, -&如图给出的是计算-1 -1■...4 6 20121的值的程序框图，其中判断框内应［学)填入的是i 空2012 B . i 2012i <1006 D . i 1006.9.函数 f (x)二sin( ■H TF 3）（「，0）的图象的相邻两条对称轴间的距离是—.右将函数 f （X）图象向右平移兀个单位，得到函数g（x）的解析式为611. 一只蚂蚁从正方体 ABCD-ABC J D J 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到 达顶点G 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是设函数f(x)及其导函数f (x)都是定义在 R 上的函数，则f (为)—f(X 2)<X i —X2 ”是“ R, f (x) cl ” 的A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 第n 卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分•把答案填在答题卡相应位置.13.已知向量 a = (3,1), b = (x,—3)，若 a 丄 b ,则 x= __________________ .A .f(x) =si n(4x ) 6 B . f (x) = si n(4x ) 3C .f (x) =s in (2x—)D . f (x) = sin 2x10.已知 A(—2,0), B(0,2)，点 M 2 2是圆x - y -2x = 0上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是322-3 ；2C . 322 1D . 2、2A . ①②B .①③C . ②④D .③④12. 14.若双曲线方程为x 29 16则其离心率等于T x - -1,y 一x, 贝U z = 3x • y的最大值为___________ 15.若变量x, y满足约束条件x y “16 •对于非空实数集A，记A* =｛y P x w A,y lx｝•设非空实数集合M,P，满足M9P.给出以下结论：①P* M * ；②M * - P = ；③M - P* V其中正确的结论是 _________________ •（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）等差数列｛a n｝的公差为-2，且^83^4成等比数列.（I）求数列｛a n｝的通项公式;（n）设b n （n・N*）,求数列｛b n｝的前n项和S n.n（12-%）18.（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，AD BC, AB = 1, AD —.3 , AB _ BC, CD _ BD ,如图（1）.把UABD 沿BD翻折，使得平面ABD _平面BCD，如图（2）.(I)求证：CD _ AB ；（n）求三棱锥A -BDC的体积;BN说明理由.（川）在线段BC上是否存在点N，使得AN _ BD ?若存在，请求出竺的值；若不存在，请19 .（本小题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(：£亠I')二sin ： cos ,亠cos： sin : -①sin(卅『)=sin 二cos ：—cos t sin : -------- ②由①+② 得sin ［很亠卩厂sin - - 2sin ：• cos ：③令：--A「- - - B 有：=——，二△—2 2A +B A — B代入③得sin A sin B 二2sin cos —2 2（I ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：A+B A—Bcos A -cos B - -2sin sin ；2 2（n ）若ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B =2s in 2C，试判断ABC的形状.（提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及（I）中的结论）20.（本小题满分12分）2019年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区的PM2.5 年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2 . 5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2 . 5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：PM2 . 5浓度组别（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,25]50 . 2 5第二组(25,50]100 . 5第三组(50,75]30 . 1 5第四组(75,100)20 . 1（I ）从样本中PM2 . 5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有-天PM2 . 5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；(U)求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2 5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.21.(本小题满分12分)平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离，记点P的轨迹为曲线:.(I)求曲线:的方程；(H)若点A，B，C是丨上的不同三点，且满足FA FB = 0 •证明：.：ABC不可能为直角三角形.22.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2，al nx的图象在点P(1, f (1))处的切线斜率为10.(I)求实数a的值；(n)判断方程f(x) =2x根的个数，证明你的结论；(川)探究：是否存在这样的点A(t, f (t))，使得曲线y = f (x)在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由.文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、 只给整数分数•选择题和填空题不给中间分. 一、 选择题：本大题考查基础知识和基本运算•每小题 5分，满分60分.1. B2. B3. C4. B5. D6. B7. D8. A9. D10. C11. C12. B二、 填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4分，满分16分.三、解答题：本大题共 6小题，共74分i 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识， 考查运算求解能力， 考查函数与方程思想. 满分12分.(I )解：由已知得 a^a 1 -4,a^a^ -6,解得a<| = 8, ............................... 5分 所以 a n =10-2n ................................ 6 分1 1 1— — , n(n 1) n n 1所以 S n = b] b 2 - "b n18•本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、棱锥体积公式等基础知识，考查空间想 象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想•满分 12分.解：(I)：平面 ABD _ 平面 BCD ,平面 A BD 平面 BCD =BD , CD _ BD••• CD _ 平面 A BD ,.................................. 2 分又••• AB 平面 A BD CD _ A B .1 3 115. 2; 16.①.又a 1,a 3,a 4成等比数列，所以(q -4)=耳佝 -6),(n )由(I )可得b n2 n(12-a n )3)i"(丄—七)=1—^4+112分• 10 •（n ）如图（1）在 Rt ABD 中，BD 二.AB 2 AD 2 =2.：AD [ BC, . ADB =DBC =30 .在 RtLBDC 中, DC =BD tan30 二孕.二 S BDC - BD DC = 2 §3. (6)A 做 A E _ BD 于 E ,••• A E _ 平面 BCD .-A E _ A B L A D 立， _ BD _ 2，（川）在线段 BC 上存在点N ，使得AN _BD ，理由如下: 如图（2）在 Rt. AEB 中，BE »A B 2 _ A E 2〉*，BE BD过点 E 做 EN//DC 交 BC 于点N ，则 BN=BD=1•/ CD _ BD,. EN _ BD ，又 A E _ BD ，A E 门 EN 二 E ，BD _ 平面 A EN ， 又 AN 平面 A EN ，• AN _ BD .•在线段BC 上存在点N ，使得AN _ BD ，此时 曲 . ....................... 12分BC 419. 本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考 查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等•满分12分.解法一：（I ）因为 cos （二■ >'） =cos ： cos ： -sin ： sin :, ①cos （；；「：）二 cos ： cos ： sin : sin :,② .................. 2 分 ①-② 得 cos （-：i 1>,） - cosC - - -2si n -，si n :.③ ......... 3 分A 卜B - A - B如图（2），在RtKA'BD 中，过点 10分二 V M _BDC = 3|_S BDC A E =二 1_3.令二A、=B 有，：2 2A B . A —B 八代入③得cos A—cos B =—2sin -------- sin ........... ..................... 6 分2 22（n ）由二倍角公式，cos2A-cos2B = 2sin C可化为1 -2sin 2A -1 2sin 2B = 2sin 2C , ........................ 8 分2 2 2即sin A sin C =sin B ..... ................................ 9 分设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c ,由正弦定理可得a2・c2=b2. ................................ 11分根据勾股定理的逆定理知ABC为直角三角形 ................... 12分解法二：（I ）同解法一.2（n ）利用（I ）中的结论和二倍角公式，cos2A -cos2B = 2sin C可化为-2sin A B sin A- B = 2sin2C , ....................................... 8 分因为A,B,C为厶ABC的内角，所以A B C = ~:,所以—sin A B sin A — B =sin2 AB.又因为0 ：：：A • B ：：：二，所以sin A B -0,所以sin A B i亠sin A-B =0.从而2sin AcosB=0. .................................. 10 分算又因为sinA^0,所以cosB=0,即/B=—2 '所以ABC为直角三角形 .... ................................ 12分20.本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等•满分12分.解：（I ）设PM2.5的24小时平均浓度在（50,75］内的三天记为A, A, A s, PM2.5的24小时平均浓度在（75,100）内的两天记为R,B2.所以 5 天任取2 天的情况有：AA , A1A3 , A1B1, A,B2,打A , AR , AB2, A,B ,A s B2共10种. .............. 4分其中符合条件的有：AB , A|B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2共 6 种. ............. 6分所以所求的概率p = 6=3 . .......................... 8分10 5(H)去年该居民区PM2.5 年平均浓度为：12.5 0.25 37.5 0.5 62.5 0.15 87.5 0.1 =40 (微克/立方米)................................ 10分因为40 35 ,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区12分的环境需要改进.21.本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.解法一：(I)由条件可知，点P到点F(1,0)的距离与到直线x = -1的距离相等，所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=「1为准线的抛物线，其方程为y2 =4x . ........... 4分(n)假设ABC是直角三角形，不失一般性，设• A=90；,A(x i, y i), B(X2,y2), C(X3, y?)，则由AB AC=0,T TAB =(X2 —X i,y2 —yj , AC =(X s - y s - yj ,所以区-^)(X3 -为)(y2 —y i)(y s — yj =0.2因为 _冷(—23)n, yr ,所以(y i y 2)(y i y a ) 1^0 ...... ...............................得 X i X 2X 3 =3, y i y 2 y^ 0.由条件的对称性，欲证 - ABC 不是直角三角形，只需证明 • A^ 90 .(1)当 AB — x 轴时，X, =X 2, y i - -y 2，从而 X 3=3-2x i, y^0 ,即点C 的坐标为(3 -2為,0).3由于点C 在y 2 = 4x 上，所以3 - 2X , = 0，即X ,=2此时 A(3, .6) , B(3,i.6) , C(0,0)，则 A = 90：. ............................. 8 分2 2(2当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：x 二ty • m(t = 0)，代入y 2 = 4x ,又因为所以 x 1x 2 x^ 3,y i y 2y a =0,所以y 2y 3 - -16.①又 y i 2 y 22 y a 2 =4(X i 他 X 3)=12,所以(-y 2 -y 3)2 y 22 y 32 =i2，即 y 22 y 32 y 2y 3 =6.② ...................... io 分f I6 f由①，②得 y 22+ -空 -16=6，所以 y 24 -22y 22 +256 = 0 .③< 丫2丿因为# 二(-22)2 - 4 256 二—540 ：： 0 . 所以方程③无解，从而:ABC 不可能是直角三角形. .............. 12分解法二：(I)同解法一B(X 2, y 2), C(X 3,y 3)，由 FA FB FC = 0 ,整理得：y 2 _4ty _4m =0，则 ％ • y 2 = 4t .若.A =90：，则直线AC 的斜率为-t ,同理可得：力• y 3 =「44 4由 y 1 y 2y 3 ^0，得 y^4^-, y^-, * - -4t .由 X 1 X 2 X 3 = 3，可得 y 12 y 22 y/ = 4(x 1 X 2 怡)=12 .4、2, ..、2―z、 , ;t 1 11 整理得：t 2 • p =—，即 8t 4 -11t 2^0，①t 28.,(-11)2 -4 8 8 一135 ：：0.综合(1), (2) , ABC 不可能是直角三角形.22. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程 思想、数形结合思想、考查化归与转化思想•满分12分•解法一：(I)因为f (x) = x 2 • aln x ,所以f'(x) =2x 旦,x函数f (x)的图象在点P(1,f(1))处的切线斜率k =f'(1) = 2・a . 由 2 a = 10 得：a =8 ...................... 4 分(n)由(I)知， f (x) =x 2 81 n x ，令 F (x) = f (x) - 2x =x 2 - 2x 8ln x .因为 F(1) = -1 ：：0 , F(2) =8ln 2 0，所以 F(x) =0在(0,：：)至少有一个4 24 2 2从而(4t ) ( )(-4t) =12,所以方程①无解，从而• A = 90：.11分12分根.又因为F '(x) =2x-2 • 8 _2・.16 -2 =6 • 0 ,所以F(x)在(0, •：：)上递增，x所以函数F(x)在(0,=)上有且只有一个零点，即方程f(x) = 2x有且只有一个实根.(川)证明如下:28由f (x) =x 2 8lnx ，f'(x)=2x ，可求得曲线y = f (x)在点A 处的切x2 8线方程为 y _(t 2 8ln t) =(2t?)(x -t)，8 2即 y =(2t -)x -t 2 8ln t -8 (x ■ 0).28 2记 h(x) = x 2 8lnx-[(2t)x -t8ln t -8]8二 x 8ln x -(2t )x t -8ln t 8 (x 0),则 h'(x) =2x - -(2t 辛)=x t(1 )当 t 彳，即 t =2时，h'(x) =2(x—2)所以h(x)在(0,：：)上递增.又 h(t) =0，所以当 x (0, 2)时 h(x) ：：： 0 , 即存在点A(2, 4 8ln 2)，使得曲线在点 A 在该点处切线的两侧............. 12分4(2 )当 t •—，即 t 2 时，t 44x (0,7)时，h'(x) 0 ； x 〒,t)时，h '(x) :: 0 ； x • (t,二)时，h '(x)0 .4故h(x)在(-,t)上单调递减，在(t,=)上单调递增.4又 h(t) =0，所以当 x (],t)时，h(x) 0 ；当 x (t,：：)时，h(x) 0 , 即曲线在点 A(t,f(t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的 同侧............. 13分(3 )当 t 44，即 0 ::: t <2 时，2(x —t)(x 4) 11分2--0对一切(0. •：：)成立,当 x (2,：：)时 h(x) 0 , 附近的左、右x (0,t)时，h'(x) 0 ；x (t,4)时，h'(x)：：0 ；x (¥「：)时，h'(x) 0.故h(x)在(0,t)上单调递增，在(t,令上单调递减.又 h(t)=O ,所以当 x . (0,t)时，h(x)：：：O ；当 x (t,令时，h(x)：：：O , 即曲线在点 A(t, f (t))附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.综上，存在唯一点 A(2, 4 8ln 2)使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧............. 14分解法二：(I) (H)同解法一； (川)证明如下：由f (x) =x 2 8ln x , f '(x) = 2x • 8，可求得曲线y = f (x)在点A 处的切x线方程为 y —(t 2 81 nt)=(2t 8)(x-t),记 h(x) =x 2 81 nx_[(2t 8)x —t 281 nt-8]=x 2 8ln x - (2t 8)x t 2 -8ln t 8 (x 0),则 h'(x) =2x -x若存在这样的点 A(t, f (t))，使得曲线y = f (x)在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于 t 不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当 t =半，即t =2时，t 不是极值点，即h x -0 . 所以h(x)在0,七上递增.又 h(t)=0，所以当 x (0,2)时，h(x) :: 0 ；当 x (2,：：)时，h(x) 0 ,即存在唯一点 A(2,4 8ln 2)，使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别 位于曲线在该点处切线的两侧............. 14分2A L- X 8- t8ln t -8 (x 0).4t - X。
福建省福州市2019届高三第三次(5月)质量检测数学(文)试题(解析版)
2019年福建省福州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2+2x﹣3＜0}，N＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝（）A．{x|﹣3＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣3≤x＜1} 2．（5分）已知复数z满足（z﹣i）（3+4i）＝25，则|z|＝（）A．B．C．3D．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a n＜a n+1，且a2+a4＝20，a3＝8，则数列{a n}的前10项的和为（）A．1022B．1024C．2046D．20484．（5分）已知向量＝（2，1），＝（m，﹣1），且⊥（2），则m的值为（）A．1B．3C．1或3D．45．（5分）已知命题p：∃x0∈R，cos x0＞sin x0，命题q：直线3x+4y﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相离，则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已，则的取值范围是（）A．（﹣1.1]B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1] 9．（5分）若，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知O为坐标原点，过双曲线的左焦点F作一条直线，与圆x2+y2＝a2相切于点T，与双曲线右支交于点P，M为线段FP的中点，若该双曲线的离心率为，则＝（）A．B．C．D．211．（5分）数列{a n}，满足，记，则数列{b n}的最大项是（）A．b8B．b7C．b6D．b512．（5分）已知函数f（x）＝，则函数g（x）＝2﹣sin2πx与f（x）的图象在区间（﹣1，1）上的交点个数为（）A．1B．3C．5D．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数，则不等式f（lgx）＞0的解集为．14．（5分）某市电视台对本市2019年春晚的节日进行评分，分数设置为1分，2分，3分，4分，5分五个等级已知100名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这100名大众评委的分数的方差为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P到焦点F和点（4，0）的距离之和的最小值为5，则此抛物线方程为．16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑“．如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD．将其沿对角线BD折成一个鳖臑A'﹣BCD，则该鳖臑内切球的半径为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E在线段AC上，且AE＝2EC，BE＝．（Ⅰ）求AC的长（Ⅱ）若∠ADC＝60°，，求∠ACD的大小．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面A1B1C1，D为AB1的中点，B1C 交BC1于点E，AC⊥BC，BC＝2，侧面AA1C1C的周长为8．（1）证明：DE⊥平面BB1C1C；（2）设F是棱AA1上的点，且A1F＝A1A，求四棱锥B1﹣A1FCC1的体积的最大值．19．（12分）2019年春节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段，因此占据了人们大量的时间，对人们的眼睛造成较坏的影响．大学生小王随机调查了班内20位同学每人在春节期间抢到的红包金额x（元），得到下面的频数分布表：（1）将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；（2）若从红包金额在[80，160）的同学中任取2位，求这2位同学的红包金额都在[120，160）的概率．附：，n＝a+b+c+d．参考数据：20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点M（﹣4，0），过F作直线l交椭圆于A，B两点，证明：∠FMA＝∠FMB．21．（12分）已知函数f（x）＝xe x+a（x﹣1）2+b在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y ﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）证明：当x＞0时，f（x）＞2elnx+1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C的交点为P，Q．求弦长|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣4|（1）求不等式f（x）≥5的解集；（2）已知f（x）≥x2+|x|+a的解集包含[﹣1，1]，求实数a的取值范围．2019年福建省福州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】求出M与N中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：集合M＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝{x|﹣1≤x＜1}，故选：B．2．【分析】推导出z﹣i＝＝3﹣4i，从而z＝3﹣3i，由此能求出|z|的值．【解答】解：∵复数z满足（z﹣i）（3+4i）＝25，∴z﹣i＝＝3﹣4i，∴z＝3﹣3i，∴|z|＝＝3．故选：D．3．【分析】设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：等比数列{a n}满足a n＜a n+1，公比设为q，可得等比数列为递增数列，a2+a4＝20，a3＝8，可得a1q+a1q3＝20，a1q2＝8，解得a1＝q＝2或a1＝32，q＝，由等比数列递增，可得a1＝q＝2，数列{a n}的前10项的和为＝211﹣2＝2046．故选：C．4．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．【解答】解：；∵；∴；解得m＝1或m＝3．故选：C．5．【分析】利用逻辑连词命题真假定义的判断即可．【解答】解：当x0＝时，cos x0＞sin x0成立，所以p是真命题；x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0；即：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，由点到直线的距离知圆心到直线3x+4y﹣2＝0的距离为1，所以直线3x+4y﹣2＝0与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0相切，所以q是假命题；所以命题p∧（￢q）是真命题；故选：D．6．【分析】几何体为两个大小一样的三棱锥的组合体，作出直观图计算表面积．【解答】解：作出直观图如图所示：其中AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝1，BC⊥BD，∴AD＝AC＝CD＝，即△ACD为等边三角形，∴三棱锥A﹣BCD的表面积为3+＝+，∴几何体的表面积为2×（+）＝3+．故选：A．7．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：若输入的a值为1，则k＝0，b＝1，a＝，不满足退出循环的条件，故k＝1；a＝﹣2，不满足退出循环的条件，故k＝2；a＝1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B．8．【分析】利用三角函数的倍角公式以及诱导公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵cos（﹣α）＝cos2（﹣）＝2cos2（﹣）﹣1＝2sin2（+）﹣1＝2t2﹣1，则＝＝2t﹣，t∈（0，1]，函数y＝2t﹣，在t∈（0，1]为增函数，则y＝2t﹣∈（﹣∞，1]，故选：D．9．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：表示可行域内的点（x，y）与点P（0，﹣2）连线的斜率，A（3，2）；C（﹣1，0）；k AP＝＝，k CP＝＝﹣2，作出可行域，可知点（x，y）与点P连线的斜率的范围是．所以的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：B．10．【分析】设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，圆的切线的性质，以及勾股定理的运用，结合双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得所求值．【解答】解：如图所示，设F′是双曲线的右焦点，连接PF′．∵点M，O分别为线段PF，FF′的中点，由三角形中位线定理得到：|OM|＝|PF′|＝（|PF|﹣2a）＝|PF|﹣a＝|MF|﹣a，连接OT，因为PT是圆的切线，则OT⊥FT，在Rt△FOT中，|OF|＝c，|OT|＝a，∴|FT|＝＝b．可得＝，双曲线的离心率为，可得c＝a，即有b＝＝a，可得＝．故选：B．11．【分析】由和两式相除，得到{a n}的通项公式，然后的到b n，根据数列{b n}的单调性可得其最大项．【解答】解：因为数列{a n}，满足，所以当n＝1时，；当n≥2时，由和两式相除，得，即a n﹣a n﹣1＝1（n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n＝n+1，所以，因为当n≤6时，b n＜1，当n≥7时，，所以b7为数列{b n}的最大项．故选：B．12．【分析】容易得到f（x），g（x）的图象关于（0，2）对称，结合导数判断f（x）的单调性，结合函数的图象即可判断【解答】解：∵f（x）＝＝2，容易得到y＝为奇函数，图象关于O（0，0）对称，则f（x）的图象关于（0，2）对称，∵函数g（x）＝2﹣sin2πx的图象关于（0，2）对称，当x∈（﹣1，1）f′（x）＝＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增，且2＜f（1）＜3，f（0）＝2，结合图象可知，有5个交点，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】根据题意，先分析函数的定义域，进而可得f（x）＞0的解集，据此分析f（lgx）＞0的解集即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，有，解可得0≤x＜2，即函数的定义域为[0，2），又由≥0，则ln（2﹣x）＞0⇒，解可得：0＜x＜1，f（lgx）＞0，则有0＜lgx＜1，解可得：1＜x＜10，即不等式的解集为（1，10）；故答案为：（1，10）．14．【分析】先根据频率条形图中的数据求出平均数（加权平均），然后代入方差公式计算方差即可．【解答】解：分数的平均数为1×0.2+2×0.1+3×0.3+4×0.3×5×0.1＝3．所以＝（1﹣3）2×0.2+（2﹣3）2×0.1+（3﹣3）2×0.3+（4﹣3）2×0.3+（5﹣3）2×0.1＝1.6．故填：1.6．15．【分析】根据题意，由抛物线的方程求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得点（4，0）到焦点的距离即点P到准线与点（4，0）的距离之和的最小值，则有+4＝5，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线C：y2＝2px，其焦点坐标（，0），其准线方程为x＝﹣，若抛物线上一点P到焦点F和点（4，0）的距离之和的最小值为5，即点P到准线与点（4，0）的距离之和的最小值为5，则点（4，0）到准线的距离即点P到准线与点（4，0）的距离之和的最小值，则有+4＝5，解可得p＝2，则抛物线的方程为：y2＝4x；故答案为：y2＝4x．16．【分析】推导出CD⊥A′D，CD⊥BD，从而CD⊥平面A′BD，CD⊥A′B，由由A′B＝A′D＝1，BD＝，得A′B⊥A′D，从而A′B⊥平面A′CD，A′B⊥A′C，由此能求出结果．【解答】解：∵A′D＝CD＝1，且△A′CD为直角三角形，∴CD⊥A′D，又CD⊥BD，BD∩A′D＝D，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，又由A′B＝A′D＝1，BD＝，得A′B⊥A′D，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，由题意得A′C＝，设内切球的半径为r，则（S△A′BC+S△A′CD+S△A′BD+S△BCD）r＝，∴，解得r＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【分析】（Ⅰ）设AC＝3z，在△ABE中，由余弦定理及cos∠BEA＝﹣cos∠BEC，可得＝﹣，整理可解得z的值，即可得解AC的值．（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ACD＝，利用大边对大角可求∠ACD＜60°，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意，设AC＝3z，在△ABE中，由余弦定理可得：cos∠BEA＝，在△CBE中，由余弦定理可得：cos∠BEC＝，…4分由于∠BEA+∠BEC＝180°，所以cos∠BEA＝﹣cos∠BEC，所以：＝﹣，…6分整理可得：16+6z2﹣4﹣18＝0，解得：z＝1（负值舍去），所以AC＝3…8分（Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理可得，所以＝，所以sin∠ACD＝…10分因为AD＜AC，所以∠ACD＜60°，所以∠ACD＝30°…12分18．【分析】（1）推导出CC1⊥AC，AC⊥BC，从而AC⊥平面BB1C1C，推导出DE∥AC，由此能证明DE⊥平面BB1C1C．（2）由题意得CC1+A1C1＝4，B1C1是四棱锥B1﹣A1FCC1的高，四棱锥B1﹣A1FCC1的体积：V＝•B1C1，由此能求出当CC1＝2时，四棱锥B1﹣A1FCC1的体积取最大值，最大值为【解答】证明：（1）∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，∵AC⊥BC，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BB1C1C，由题意四边形BCC1B1是矩形，∴E为B1C的中点，又D为AB1的中点，∴DE∥AC，∴DE⊥平面BB1C1C．解：（2）由题意得CC1+A1C1＝4，B1C1是四棱锥B1﹣A1FCC1的高，∴四棱锥B1﹣A1FCC1的体积：V＝•B1C1＝＝（4﹣CC1）＝[﹣（CC1﹣2）2+4]≤，∴当CC1＝2时，四棱锥B1﹣A1FCC1的体积取最大值，最大值为．19．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知红包金额在[80，120）和[120，160）内的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）根据题意填写列联表如下，计算K2＝≈3.430＞2.706，所以有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；（2）由题意，红包金额在[80，120）的同学有4位，设为a、b、c、d，红包金额在[120，160）的同学有3位，记为E、F、G，从中任取2个，基本事件为：ab、ac、ad、aE、aF、aG、bc、bd、bE、bF、bG、cd、cE、cF、cG、dE、dF、dG、EF、EG、FG共21种，其中满足这2位同学的红包金额都在[120，160）内的基本事件为EF、EG、FG共3种，故所求的概率为P＝＝．20．【分析】（1）根据焦点坐标和弦长列方程得出a，b的值，得出椭圆的方程；（2）先讨论直线l斜率不存在的情况，再设AB的斜率为k，根据根与系数的关系计算k AM+k BM＝0得出结论．【解答】解：（1）由题意可知c＝1，把x＝1代入椭圆方程可得+＝1可得y＝±，∴＝，又a2＝b2+1，可得a＝2，b＝，∴椭圆的方程为：+＝1．（2）当直线l没有斜率时，又对称性可知：∠FMA＝∠FMB；当直线l有斜率时，设直线l的方程为：y＝k（x+1），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，∴k AM+k BM＝+＝＝，∵2x1x2+5（x1+x2）+8＝﹣+8＝0，∴k AM+k BM＝0，∴∠FMA＝∠FMB．综上，∠FMA＝∠FMB．21．【分析】（1）根据点（0，f（0））在切线3x﹣y﹣1＝0上可得a+b＝﹣1；再根据f′（0）＝3可得1﹣2a＝3进而求出a和b的值；（2）构造新函数g（x）＝f（x）﹣2elnx﹣1，利用导数来研究y＝g（x）的单调性及最值从而证明不等式成立．【解答】解：（1）由题可知，点（0，f（0））在直线3x﹣y﹣1＝0上，则有a+b＝﹣1．又∵f′（x）＝（x+1）e x+2a（x﹣1）且f′（0）＝3∴1﹣2a＝3∴（2）令g（x）＝f（x）﹣2elnx﹣1＝xe x﹣（x﹣1）2﹣2elnx﹣1∴令∴＝＞0∴y＝h（x）在（0，+∞）是增加的又∵h（1）＝0∴当0＜x＜1时，h（x）＜0，当x＞1时，h（x）＞0∴y＝g（x）在（0，1）内为减少的，在（1，+∞）内为增加的∴g（x）min＝g（1）＝e﹣1＞0∴g（x）＞0即f（x）＞2elnx+1．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）把曲线极坐标方程展开两角和的余弦，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）由题意，直线l经过圆内定点A（2，﹣2），结合圆心C（1，﹣1）到直线l的距离为d≤|AC|，即可求得|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由，得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣2＝0．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，可得（x﹣1）2+（y+1）2＝4；（2）由题意，直线l经过圆内定点A（2，﹣2），设圆心C（1，﹣1）到直线l的距离为d，∵d≤|AC|＝，∴|PQ|＝2，当直线l与AC垂直时，等号成立．故弦长|PQ|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【分析】（1）f（x）＝|x﹣1|+|x﹣4|≥5，则，或，或，分别解不定式即可；（2）f（x）≥x2+|x|+a的解集包含[﹣1，1]，即且恒成立，解出a即可．【解答】解：（1）f（x）＝|x﹣1|+|x﹣4|≥5，则，或，或，∴x≤0，或x≥5，∴不等式的解集为{x|x≤0，或x≥5}．（2）根据题意，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝5﹣2x≥x2+|x|+a，f（x）≥x2+|x|+a的解集包含[﹣1，1]，即且恒成立，∴且，∴a≤1，∴a的取值范围为（﹣∞，1]．。
福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学(文科)及参考答案
绝密★启用前福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学(文科)考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x2＋2x－3<0}，N＝{x|－1≤x≤1}，则M∩N＝A．{x|－3<x≤1} B．{x|－1≤x<1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－3≤x<1}2．已知复数z满足(z－i)(3＋4i)＝25，则|z|＝A. 2 B．2 2 C．3 D．3 23．已知等比数列{a n}满足a n<a n＋1，且a2＋a4＝20，a3＝8，则数列{a n}的前10项的和为A．1 022 B．1 024 C．2 046 D．2 0484．已知向量a＝(2，1)，b＝(m，－1)，且b⊥(2a－b)，则m的值为A．1 B．3 C．1或3 D．45．已知命题p：∃x0∈R，cos x0>sin x0，命题q：直线3x＋4y－2＝0与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相离，则下列判断正确的是A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨(¬q)是假命题D．命题p∧(¬q)是真命题6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．3＋ 3B．3＋2 3C．2＋ 3D．2＋2 37．执行如图所示的程序框图，当输入a＝1时，则输出的k的值为A．0B．1C．2D．38．已知sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6＝t (t >0)，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6的取值范围是A ．(－1，1]B ．(0，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y ＋1≥0，x －y －1≤0，则z ＝y ＋2x的取值范围为A.⎣⎡⎦⎤0，43 B ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－2，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪[2，＋∞) 10．已知O 为坐标原点，过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作一条直线，与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相切于点T ，与双曲线右支交于点P ，M 为线段FP 的中点．若该双曲线的离心率为3，则|MF |－|OM ||TF |＝A.24 B.22C. 2 D ．2 11．已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n ，n ∈N *，记b n ＝a n －7a n －52，则数列{b n }的最大项是A ．b 8B ．b 7C ．b 6D ．b 512．已知函数f (x )＝2x 2＋x 2sin x ＋4x 2＋2，则函数g (x )＝2－sin 2πx 与f (x )的图象在区间(－1，1)上的交点个数为A ．1B ．3C ．5D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f (x )＝x ln(2－x )，则不等式f (lg x )>0的解集为__________．14．某市电视台对本市2019年春晚的节目进行评分，分数设置为1分，2分，3分，4分，5分五个等级．已知100名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这100名大众评委的分数的方差为__________．15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P 到焦点F 和点(4，0)的距离之和的最小值为5，则此抛物线方程为__________．16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”．如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD＝2，BD ⊥CD .将其沿对角线BD 折成一个鳖臑A ′－BCD ，则该鳖臑内切球的半径为__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 在线段AC 上，且AE ＝2EC ，BE ＝433. (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)若∠ADC ＝60°，AD ＝3，求∠ACD 的大小．18．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1B 1C 1，D 为AB 1的中点，B 1C 交BC 1于点E ，AC ⊥BC ，BC ＝2，侧面AA 1C 1C 的周长为8.(Ⅰ)证明：DE ⊥平面BB 1C 1C ；(Ⅱ)设F 是棱AA 1上的点，且A 1F ＝14A 1A ，求四棱锥B 1－A 1FCC 1的体积的最大值．19．(12分)2019年春节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段，因此占据了人们大量的时间，对人们的眼睛造成较坏的影响．大学生小王随机调查了班内20位同学每人在春节期间抢到的红包金额x (元)，得到下面的频数分布表：(Ⅰ)将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；(Ⅱ)[120，160)的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），n ＝a ＋b ＋c ＋d .20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)已知点M (－4，0)，过F 作直线l 交椭圆于A ，B 两点，证明：∠FMA ＝∠FMB .21．(12分)已知函数f (x )＝x e x ＋a (x －1)2＋b 在点(0，f (0))处的切线方程为3x －y －1＝0. (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当x >0时，f (x )>2eln x ＋1.(二)选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0.(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 的交点为P ，Q ，求弦长|PQ |的最小值．23．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知f (x )＝|x －1|＋|x －4|.(Ⅰ)求不等式f (x )≥5的解集；(Ⅱ)已知f (x )≥x 2＋|x |＋a 的解集包含[－1，1]，求实数a 的取值范围．福州市2019届高三毕业班第三次质量检测数学(文科)参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查集合的运算，考查数学运算能力．【解析】 根据题意，M ＝{x |－3<x <1}，N ＝{x |－1≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{x |－1≤x <1}． 2．【答案】 D【命题意图】 本题主要考查复数的模、复数的四则运算，考查数学运算能力． 【解析】 由(z －i)(3＋4i)＝25，得z －i ＝253＋4i＝25（3－4i ）25＝3－4i ，所以z ＝3－3i.所以|z |＝3 2.3．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查等比数列的通项和前n 项和公式，考查数学运算能力．【解析】 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又数列{a n }单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，所以a n ＝2n.故S 10＝2（1－210）1－2＝211－2＝2 046.4．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查数学运算能力．【解析】 根据题意，得2a －b ＝(4－m ，3)．由b ⊥(2a －b )，得m (4－m )－3＝0.解得m ＝1或m ＝3.5．【答案】 D【命题意图】 本题主要考查简易逻辑的有关知识，考查逻辑推理能力．【解析】 当x 0＝π6时，cos x 0>sin x 0成立，所以p 是真命题．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0⇒(x－1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心到直线3x ＋4y －2＝0的距离为1，所以直线3x ＋4y －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，所以q 是假命题．所以p ∧(¬q )是真命题．6．【答案】 A【命题意图】 本题主要考查三视图、组合体的表面积，考查空间想象能力．【解析】 该几何体为两个三棱锥的组合体，直观图如图所示．所以表面积为S ＝4×12×1×1＋1×1＋2×34×(2)2＝3＋ 3.7．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查程序框图，考查论证推理能力、数学运算能力． 【解析】 第一次循环k ＝0，b ＝1，a ＝－12；第二次循环k ＝1，b ＝1，a ＝－2；第三次循环k ＝2，a ＝1＝b ；结束循环，输出k ＝2.8．【答案】 D【命题意图】 本题主要考查三角恒等变换，考查数学运算能力．【解析】 cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α2－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α2－1＝2t 2－1，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6＝2t 2－1t ＝2t －1t .根据题意，t ∈(0，1]，此时y ＝2t －1t 单调递增，所以y ＝2t －1t∈(－∞，1]．9．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查线性规划，考查数学运算能力、数形结合的思想． 【解析】 根据题意，画出可行域，如图阴影部分所示．z ＝y ＋2x 表示可行域内的点(x ，y )与P (0，－2)连线的斜率．k PC ＝－2，k P A ＝43，故z ∈(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞.10．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查数学运算能力． 【解析】 设双曲线的另一个焦点为F 2，连接OT ，OM ，则OT ⊥PF ，且OM ＝12PF 2.在Rt △FTO 中，由|OF |＝c ，|OT |＝a ，得|TF |＝b .所以|MF |－|OM ||TF |＝12|PF |－12|PF 2||TF |＝ab＝1c 2a2－1＝22. 11．【答案】 B【命题意图】 本题主要考查数列的通项公式、数列中的最值，考查数学运算能力． 【解析】 根据题意，当n ＝1时，1－1a 1＝1a 1，a 1＝2；当n ≥2时，由⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n 和⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2…⎝⎛⎭⎫1－1a n －1＝1a n －1，两式相除，得1－1a n ＝a n －1a n，即a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，a n ＝n ＋1.所以b n ＝a n －7a n －52＝1＋52－7n ＋1－52.当n ≤6时，b n <1；当n ≥7时，1<b n ≤1＋52－78－52＝b 7，所以b 7为数列{b n }的最大项．12．【答案】 C【命题意图】 本题主要考查函数图象、性质和函数的零点问题，考查数形结合的思想、运算求解能力．【解析】 f (x )＝2x 2＋x 2sin x ＋4x 2＋2＝2＋x 2sin x x 2＋2，因为y ＝x 2sin xx 2＋2是奇函数，图象关于原点对称，所以f (x )的图象关于点(0，2)对称．同理可得g (x )的图象也关于点(0，2)对称．因为当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＝x 4cos x ＋2x 2cos x ＋4x sin x（x 2＋2）2>0，所以f (x )在(－1，1)上单调递增，且f (1)＝2＋sin 13，2<f (1)<3，f (0)＝2，作出f (x )和g (x )在(－1，1)上的图象可以看出交点个数为5. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】 (1，10)【命题意图】 本题主要考查函数的定义及不等式的解法．【解析】 f (x )＝x ln(2－x )>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >1.解得0<x <1.所以0<lg x <1.解得1<x <10.14．【答案】 1.6【命题意图】 本题主要考查频率分布条形图的识别、数据平均值与方差，考查数据处理能力．【解析】 分数的平均值为x －＝1×20＋2×10＋3×30＋4×30＋5×10100＝3，所以s x ＝[（1－3）2×20＋（2－3）2×10＋（3－3）2×30＋（4－3）2×30＋（5－3）2×10]100＝1.6.15．【答案】 y 2＝4x【命题意图】 本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力．【解析】 根据抛物线的定义，P 到焦点与点(4，0)的距离之和等于点P 到准线的距离与到点(4，0)的距离之和，其最小值为点(4，0)到准线的距离，即p2＋4＝5，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .16．【答案】2－12【命题意图】 本题主要考查数学文化、空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力．【解析】 因A ′D ＝CD ＝1，且△A ′CD 为直角三角形，所以CD ⊥A ′D ，又CD ⊥BD ，BD ∩A ′D ＝D ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥A ′B .又由A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，得A ′B ⊥A ′D .所以A ′B ⊥平面A ′CD .所以A ′B ⊥A ′C .易得A ′C ＝ 2.设内切球的半径为r ，则13(S △A ′BC ＋S △A ′CD ＋S △A ′BD ＋S △BCD )r ＝13CD ·S △A ′BD ，即13⎝⎛⎭⎫22＋12＋12＋22r ＝13×1×12.解得r ＝2－12. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【命题意图】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查数学运算能力． 【解析】 (Ⅰ)设AC ＝3z ，在△ABE 中，由余弦定理可得cos ∠BEA ＝163＋（2z ）2－42×433×2z.(2分)在△CBE 中，由余弦定理可得cos ∠BEC ＝163＋z 2－92×433×z.(4分)由于∠BEA ＋∠BEC ＝180°，所以cos ∠BEA ＝－cos ∠BEC ， 所以163＋（2z ）2－42×433×2z ＝－163＋z 2－92×433×z.(6分)整理可得16＋6z 2－4－18＝0.解得z ＝1(负值舍去)．所以AC ＝3.(8分)(Ⅱ)在△ADC 中，由正弦定理可得AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠ACD ，所以332＝3sin ∠ACD，所以sin ∠ACD ＝12. (10分)因为AD <AC ，所以∠ACD <60°，所以∠ACD ＝30°.(12分) 18．【命题意图】 本题主要考查直线与平面的平行、垂直的判定，简单几何体的体积，考查逻辑推理和空间想象的能力．【解析】 (Ⅰ)因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥平面ABC .所以CC 1⊥AC .(1分) 又因为AC ⊥BC ，CC 1∩BC ＝C ，所以AC ⊥平面BB 1C 1C .(2分)易知四边形BCC 1B 1是矩形，所以E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点， 所以DE ∥AC .(3分)所以DE ⊥平面BB 1C 1C .(4分)(Ⅱ)由题意，得CC 1＋A 1C 1＝4.(5分)易知B 1C 1是四棱锥B 1－A 1FCC 1的高．(7分) 所以四棱锥B 1－A 1FCC 1的体积V ＝13S 四边形A 1FCC 1·B 1C 1＝13×12(CC 1＋14CC 1)·(4－CC 1)×2＝512CC 1(4－CC 1)＝512[－(CC 1－2)2＋4]≤53.(10分) 故当CC 1＝2时，四棱锥B 1－A 1FCC 1的体积取最大值，最大值为53.(12分)19．【命题意图】 本题主要考查独立性检验思想、古典概型的求解，主要考查数据分析能力．【解析】 (Ⅰ)填写表格如下：(3分)所以K 2＝20×（2×4－7×7）29×11×9×11≈3.430>2.706.故有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关．(6分)(Ⅱ)由题意，红包金额在[80，120)的同学有4位，设为A ，B ，C ，D ，红包金额在[120，160)的同学有3位，设为a ，b ，c ，(8分)则从中抽取2位的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(C ，D )，(C ，a )，(C ，b )，(C ，c )，(D ，a )，(D ，b )，(D ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )．共21种．(10分)其中满足这2位同学的红包金额都在[120，160)的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共3种．设这2位同学的红包金额都在[120，160)的基本事件为M ，则P (M )＝321＝17.(12分)20．【命题意图】 本题主要考查椭圆的几何性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，主要考查数学运算能力．【解析】 (Ⅰ)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b 2a ＝32，a 2＝b 2＋c 2.(2分)解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝ 3.(3分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(Ⅱ)当l 与x 轴重合时，∠FMA ＝∠FMB ＝0°；当l 与x 轴垂直时，直线MF 恰好平分∠AMB ，则∠FMA ＝∠FMB ；(7分) 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)． 代入椭圆方程可得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.(8分)直线MA ，MB 的斜率之和为k AM ＋k BM ＝y 1x 1＋4＋y 2x 2＋4＝y 1（x 2＋4）＋y 2（x 1＋4）（x 1＋4）（x 2＋4）＝k （x 1＋1）（x 2＋4）＋k （x 2＋1）（x 1＋4）（x 1＋4）（x 2＋4）＝k [2x 1x 2＋5（x 1＋x 2）＋8]（x 1＋4）（x 2＋4）.因为2·4k 2－123＋4k 2＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2＋8＝0，所以k AM ＋k BM ＝0.(11分)故直线MA ，MB 的倾斜角互补，所以∠FMA ＝∠FMB .综上，∠FMA ＝∠FMB .(12分) 21．【命题意图】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及导数的几何意义，考查逻辑推理能力和数学运算能力．【解析】 (Ⅰ)因为f ′(x )＝(x ＋1)e x ＋2a (x －1)，函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程的斜率为3，所以f ′(0)＝1－2a ＝3.解得a ＝－1.(2分)又f (0)＝－1，所以－(0－1)2＋b ＝－1.解得b ＝0.(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得f (x )＝x e x －(x －1)2.设g (x )＝f (x )－2eln x －1＝x e x －2eln x －(x －1)2－1，则 g ′(x )＝(x ＋1)e x －2ex －2(x －1)．(5分)令h (x )＝(x ＋1)e x －2ex －2(x －1)，x >0，则h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2e x 2－2＝x e x ＋2ex2＋2(e x －1)．(6分)所以当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0.故h (x )在(0，＋∞)上单调递增．(8分)又h (1)＝0，所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， 所以g (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(10分) 所以当x ＝1时，g (x )取得最小值g (1)＝e －1>0，(11分) 所以g (x )>0，即f (x )>2eln x ＋1.(12分) 22．【命题意图】 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化、弦长的最值问题．【解析】 (Ⅰ)根据题意，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0.(2分)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4.(4分) (Ⅱ)由题意，直线l 经过圆内的定点A (2，－2)，(6分)设圆心C (1，－1)到直线l 的距离为d ，因为d ≤|AC |＝（1－2）2＋（－1＋2）2＝2，(8分)所以|PQ |＝24－d 2≥24－2＝22，当直线l 与AC 垂直时，等号成立． 故弦长|PQ |的最小值为2 2.(10分) 23．【命题意图】 本题主要考查绝对值不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题． 【解析】 (Ⅰ)不等式即为|x －1|＋|x －4|≥5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <1，－2x ＋5≥5或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤4，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，2x －5≥5.(3分)解得x ≤0或x ≥5，故不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤0或x ≥5}．(5分)(Ⅱ)根据题意，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x ＋4－x ＝5－2x ≥x 2＋|x |＋a ，(6分) f (x )≥x 2＋|x |＋a 的解集包含[－1，1]，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，x 2＋3x ＋a －5≤0且⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，x 2＋x ＋a －5≤0恒成立．(7分) 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤0，12＋3×1＋a －5≤0且⎩⎪⎨⎪⎧a －5<0，（－1）2－1＋a －5≤0.(9分) 解之得a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(10分)。
福建2019普通高中毕业班质量检查-数学文
福建2019普通高中毕业班质量检查-数学文文科数学本试卷分第1卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项:1．答题前,考生先将自己旳姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题旳答题区域（黑色线框)内作答，超出答题区域书写旳答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米旳黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2, …，x n旳标准差锥体体积公式s=V=Sh其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球旳表面积、体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高其中R为球旳半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出旳四个选项中,只有一项是符合题目要求旳．1．已知复数，为旳共轭复数，则下列结论正确旳是A．B．C．D．2．已知，则下列不等式一定成立旳是A．B．C．D．3．执行如图所示旳程序框图,若输入旳值为2，则输出旳值为A．3 B．8 C．9 D．634．“”是“”旳Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 5．函数旳图象是6．已知集合，,在集合中任取一个元素 ，则 “”旳概率是A ．B ．C ．D ．7．已知,是椭圆旳两个焦点，焦距为4。
若为椭圆上一点，且旳周长为14，则椭圆旳离心率为A ．B ．C ．D ． 8．若变量满足约束条件则旳最小值为A ．4B ．1C ．0D ． 9．设为两条不同旳直线，是两个不同旳平面，下列命题正确旳是 A ．若，则 B ．若,则 C ．若，则 D ．若,则10．已知点，,，以线段为直径作圆，则直线与圆旳位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 11．已知点点是线段旳等分点，则等于A ．B ．C ．D ．12．定义两个实数间旳一种新运算“*":。
福建省2019-2020学年高三毕业班质量检查测试文科数学试题(带答案解析)
（2）证明： ， .
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若直线 与 相切于第二象限的点 ，与 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角.
A． B． C． D．
7．函数 的大致图象不可能是（）
A． B． C． D．
8．2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）
A． B． C． D．
11．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.
C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年
12．已知长方体 中， ， ， ，过点 且与直线 平行的平面 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值是（）
A． B．2C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
2019年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学(B)
M 文科数学试题 第1页（共5页）学校： 准考证号： 姓名：（在此卷上答题无效）2019年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学(B)本试卷共5页。
满分150分。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合(){}ln 1A y y x ==-，{}=0,1,2,3B ，则A B =A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}2,3D ．{}0,12．复数z 满足i 2i z ⋅=+，则z = A ．12i -B ．12i -+C ．12i +D ．12i --3．已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，若()222+=+a b a b ，则m = A ．4-B ．1-C ．1D ．44．某商场一年中各月的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法正确的是 ①利润最高的月份是2月份； ②收入最高值与收入最低值的比是2:1； ③1至2月份的收入增长最快； ④第二季度月平均收入为50万元． A ．①②③④ B ．①②C ．②④D ．②③④注：收入 支出 利润=收入-支出M 文科数学试题 第2页（共5页）5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为(2,0)F -，经过点F 且与圆223x y +=相切的直线与C 的一条渐近线平行，则C 的离心率为AB ．2CD6．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于y 轴对称的函数为 A ．πcos(2)2y x =+ B ．πsin(2)2y x =+ C ．cos 2sin 2y x x=+D ．cos sin y x x =+7．若,x y 满足约束条件2+40,10,10,x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪-+⎩≤≥≤则2z x y =+的最小值为A ．2B ．83C ．8D ．18．执行右图所示的程序框图，则输出的S =A ．4B ．9C ．16D ．259．已知正方体1111ABCD -A B C D 的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为 ABC．D．10．已知函数()2cos sin f x x x =-分别在x α=，x β=处取到最大值与最小值，则cos sin αβ+=A．BC．5D．511．设椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的上顶点为M ，左焦点为F .动直线l 与Γ交于A ，B 两点，当ABF △的周长的最大值为20时，原点O 到直线MF 距离的最大值为M 文科数学试题 第3页（共5页）A ．54B ．52C ．3D ．512．已知函数()e xf x x =，存在三个不同实数123,,x x x 满足()()()123123f x f x f x a x x x ===，则实数a 的取值范围是A ．2e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2e ,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．2e ,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年福州市质检文科数学试卷
2019年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则A B U =（）．A.{}1x x ≥B.{}12x x ≤<C. {}11x x -<≤D.{}1x x >-2. 设复数z 满足(3+i)3i =-z ，则||z =（）．A.12B.1C.2D. 2 3. 为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加参加场数1234567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4. 已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线=y b 与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ， O 为坐标原点．若∆OMN 为直角三角形，则C 的离心率为（）． A.2B.3 C. 2D.55. 已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a （）． A.12B.54C.45D. 45-6. 已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）． A. 0B. 12C.1D.3 7. 已知函数()sin ,f x x x =()f x '为()f x 的导函数，则函数()f x '的部分图象大致为( ) ．A B C D8.在边长为3的等边ABC∆中，点M满足BMu u u u r2=u u u rMA，则CM CA⋅=u u u u r u u u r（）．A．32B．23C．6D．1529.如图，线段MN是半径为2的圆O的一条弦，且MN的长为2. 在圆O内，将线段MN绕N点按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将线段NM绕M点按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动···．点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.4-63π B.3312π- C.332π- D.332π10.已知函数()314,025,0x xf xx x x⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m恒成立，则实数m的取值范围是( )．A. (),4-∞- B. (),2-∞- C. ()2,2- D. (),0-∞11.已知12,F F为椭圆2214xy+=的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是12F PF∆内切圆的圆心，过1F作1F M PK⊥于M，O是坐标原点，则OM的取值范围为（）．A . ()0,1 B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()0,23．12.如图，棱长为1正方体1111-ABCD A B C D的木块，平面α过点D且平行于平面1ACD，则木块在平面α内的正投影面积是（）．A. 3B.332C.2D. 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21 题为必考题，每第12题图个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13.若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14. 已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12AA BC ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15. 将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）在Rt ABC ∆中，=90o C ∠，点,D E 分别在边，AB BC 上，5,3==CD CE ,且ECD ∆的面积为．（1）求边DE 长；（2）若3=AD ，求sin A 的值．18. （本小题满分12分）峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别．它是将一天24小时划分成两个时间段，把8：00—22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00—次日8：00共10个小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调．为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某市一小区随机抽取了50 户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100,300)，[300500),，[500700),，[700900),，[9001100),，[]11001300,（单位：度）分组的频率分布直方图如下：若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于700度的住户称为“一般用户”．其中，使用峰谷电价的户数如下表： 月平均用电量（度）使用峰谷电价的户数3 9 13 7 2 1（1）估计所抽取的 50户的月均用电量的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）（）将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面的列联表:一般用户大用户使用峰谷电价的用户 不使用峰谷电价的用户(ii )根据（i ）中的列联表，能否有的把握认为 “用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？附：()22()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.025 0.010 0.001 k5.0246.63510.82819. (本小题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 为矩形，=6AD ，=5AB ，=3BE ，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE . （1）求证：AE BE ⊥；（2）设M 在线段DE 上，且满足2EM MD =，试在线段AB 上确定一点N ，使得//MN 平面BCE ，并求MN 的长.20. （本小题满分12分）已知抛物线1C ：)022>=p py x （和圆2C ：22+1+2x y =（），倾斜角为45o的直线1l 过1C 的焦点且与2C 相切．（1）求p 的值；（2）点M 在1C 的准线上，动点A 在1C 上，1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r，求证：点N 在定直线上，并求该定直线的方程．21. （本小题满分12分)已知函数1()ln +=--a f x a x x x(∈a )R ． （1）求函数()f x的单调区间；（2）当e a <<x 的方程1()+=-a f ax ax有两个不同的实数解12,x x ，求证：12124+<x x x x .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原A点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）当AB OP =时，求a 的值.23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M . （1）求集合M ；（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.。
【福州市3月质检】福建省福州市2019届高三毕业班质检数学文试题扫描版
x2 ) 2t
0 ， ………… 10分
将 x1
x2
1
4k2 2k2
,
x1x 2
2k 2 2 1 2k 2 代入，解得 t＝ 2． ………… 11 分
综上，存在定点 E(2 ， 0)，
使得 x 轴上的任意一点 (异于点 E、F )到直线 EM 、 EN 的距离相等。 …………… 12 分
a 22. 解: （Ⅰ） f ' (x) , g' ( x) 2x ,依题意得 :a=2; …………2…分
· 1·
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· 4·
2019 年福州市高中毕业班质量检测 数学 ( 文科 ) 试卷参考答案及评分标准
1--12; BCDAB
CDDBC
BB
13. x R ,都有 f( x)≠ x
14.1/2
15.10
16.－ 1007
17. 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为 d，
由 a1 4, a2 10 得 log3 (4 1) 1,log3(10 1) 2 所以 d=1；………… 3 分
6
6
因为 x甲 x乙 ，所以甲市的空气质量较好 .
…… 4 分
（Ⅱ）由茎叶图知，甲市 6 天中有 2 天空气质量等级为一级，有 4 天空气质量等级为二级，空气质
量等级为二级的 4 天数据为 a, b, c, d ，空气质量等级为一级的两天数据为 m,n ，则 6 天中抽取两天
的所有情况为 ab,ac,ad,am,an, bc,bd, bm,bn,cd,cm, cn,dm,dn, mn ，基本事件总数为 15. … 9 分
21. 解：（Ⅰ）由题意得 ,
( x 1)2 y2 |x 2|
福建省福州市2019届高三第一学期质量抽测数学文试题
2018-2019学年度福州市高三第一学期质量抽测数学（文科)试卷（完卷时间：120分钟；满分:150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则（ )A. B。
C。
D。
2.复数，则( ）A。
B。
-2 C。
D。
23。
随机抽取某中学甲班9名同学、乙班10名同学，获得期中考试数学成绩的茎叶图如下：估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是（）A。
75，84 B。
76，83 C. 76，84 D。
75,834。
如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图,则相应的侧视图可以是（）A。
B. C。
D.5。
已知，则( ）A. B. C。
D.6.已知点到双曲线的渐近线的距离为2，则的离心率是( ）A. B. C。
D.7。
等比数列的前项和为，若，,则( ）A。
18 B。
10 C. -14 D。
—228.函数的部分图像大致为( ）A。
B。
C. D.9。
已知函数在单调递增,则的最大值是( )A。
B. C. D.10。
如图，已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线依次交抛物线及圆于点，、、四点，则的值是（ ) A。
6 B。
7 C。
8 D. 911。
在边长为1的正方形中,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的最大值是( ）A。
3 B. C。
D. 412.已知函数，对于任意,，恒成立，则的取值范围是（ )A. B。
C。
D。
第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答.第（22）题、第(23）题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，,若，则__________．14.若实数,满足约束条件则的最大值是__________．15.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为,若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．16.在中，已知，，,则__________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17。
2019届福建省福州市高三第三次(5月)质量检测数学(文)试题(解析版)
2019届福建省福州市高三第三次（5月）质量检测数学（文）试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】求解出集合M ，再求解两个集合的交集. 【详解】 根据题意，所以，故选B. 【点睛】本题主要考查集合的运算，简单的一元二次不等式的解法，考查数学运算能力. 2．已知复数满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先利用复数的运算法则求出z ，再结合复数模的求解公式求解. 【详解】 由，得，所以，所以故选D.【点睛】本题主要考查复数的模，复数的四则运算，考查数学运算能力.3．已知等比数列{}n a 满足1+<n n a a ，且2420a a +=，38a =，则数列{}n a 的前10项的和为（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C【解析】先利用等比数列的通项公式求出首项和公比，再结合前n 项和公式求解.【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，依题意31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122q a =⎧⎨=⎩或11232q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩又数列{}n a 单调递增，则122q a =⎧⎨=⎩，所以nn a 2=，所以()10111021222204612S -==-=-，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项和前项和公式，考查数学运算能力. 4．已知向量，，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．【答案】C【解析】先根据向量的数乘和减法运算，求出的坐标，结合向量垂直的条件可求m. 【详解】 根据题意，得，由，得.解得或故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查数学运算能力.5．已知命题0:p x R ∃∈，00cos sin x x >，命题q ：直线3420x y +-=与圆012222=+--+y x y x 相离，则下列判断正确的是（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∨-是假命题D ．命题()p q ∧-是真命题【答案】D【解析】先根据相关知识判断命题p,q 的真假，再验证选项可得. 【详解】 当06x π=时，00cos sin x x >成立，所以p 是真命题.222210x y x y +--+=⇒()()22111x y -+-=，所以圆心到直线3420x y +-=的距离为1，所以直线3420x y +-=与圆相切，所以q 是假命题，所以()p q ∧⌝是真命题. 【点睛】本题主要考查简易逻辑的有关知识，考查逻辑推理能力. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3B ．3+C ．2+D ．2+【答案】A【解析】先根据三视图还原几何体，结合几何体的特征求解表面积. 【详解】该几何体为两个三棱锥组合体，直观图如图所示，所以表面积为141122S =⨯⨯⨯+2134⨯+=故选A.【点睛】本题主要考查三视图组合体的表面积，考查空间想象能力. 7．执行如图所示的程序框图，当输入时，则输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】把代入，跟着循环结构运算几次可得.【详解】 第一次循环；第二次循环；第三次循环；结束循环，输出故选C.【点睛】本题主要查程序框图，考查论证推理能力，数学运算能力.8．已知sin (0)26t t απ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，则2cos 3sin 26πααπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．(1,1]- B ．(0,)+∞C ．)1,(-∞D ．]1,(-∞【答案】D【解析】先寻求已知角和所求角间的关系，利用倍角公式化简，结合函数单调性可求. 【详解】2cos cos 2332ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos 132πα⎛⎫=--= ⎪⎝⎭222sin 12162t πα⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以22cos 21132.sin 26t t t t πααπ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭根据题意(]1,0∈t ，此时12y t t =-单调递增，所以(]12,1y t t=-∈-∞ 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查数学运算能力，转化能力. 9．若满足约束条件，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先作出可行域，结合图形，考虑的几何意义.【详解】根据题意，画出可行域，如图阴影部分所示，表示可行域内的点与连线的斜率，故【点睛】本题主要考线性规划，考查数学运算能力，数形结合的思想.10．已知O 为坐标原点，过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 作一条直线，与圆222:O x y a +=相切于点T ，与双曲线右支交于点P ，M 为线段FP 的中点.若该双曲线的离心率为3，则MF OMTF-=（ ） A ．42 BCD ．2【答案】B【解析】结合双曲线的定义可知点P 到两个焦点的距离之差为常数2a ，MF OM -转化为定义式，TF 利用圆的切线的性质可求. 【详解】设双曲线的另一个焦点为2F ，连接,OT OM ，则OT PF ⊥，且212OM PF =，在Rt FTO 中，由,OF c OT a ==，得,TF b =所以21122PF PF MF OM TF TF--=2a b ===.故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，考查数学运算能力.11．已知数列{}n a 满足121111111n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，*n N ∈，记n b =，则数列n b 的最大项是（ ） A ．8b B ．7bC ．6bD ．5b【答案】B【解析】先化简条件，求出通项公式n a ，再结合数列n b 的通项公式的特点求解. 【详解】根据题意，当1n =时，111111,2;a a a -== 当2n ≥时，由121111111n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭和12111111111n n a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相除得 111n n na a a --=，即()112n n a a n --=≥，所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列， 1.n a n =+所以1n b ==;当6≤n 时，1n b <；当7n ≥时，711n b b <≤=，所以7b 为数列{}n b 的最大项.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，数列中的最值，考查数学运算能力.12．已知函数()2222sin 42x x x f x x ++=+，则函数()2sin 2g x x π=-与()f x 的图象在区间()1,1-上的交点个数为（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】先判定函数22sin 2x xy x =+的奇偶性，结合函数图像的特征求解.【详解】()222222sin 4sin 222x x x x x f x x x ++==+++，因为22sin 2x xy x =+是奇函数，图像关于原点对称，所以()f x 的图像关于点()0,2对称，同理可得()g x 的图像也关于点()0,2对称，因为当()1,1-∈x 时， ()()4222cos 2cos 4sin '02x x x x x xf x x++=>+，所以()f x 在()1,1-上单调递增，且()()()sin112,213,023f f f =+<<=，作出()f x 和()g x 在()1,1-的图像可以看出交点个数为5.【点睛】本题主要考查函数图像，性质和函数的零点问题，考查数形结合的思想，运算求解能力.二、填空题13．已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】先求的解集，再结合对数函数的单调性求解.【详解】解：，所以解得，所以，解得【点睛】本题主要考查对数函数图像及不等式的解法，考查数形结合的思想，运算求解能力. 14．某市电视台对本市2019年春晚的节目进行评分，分数设置为分，分，分，分，分五个等级.已知名大众评委对其中一个舞蹈节目评分的结果如图，则这名大众评委的分数的方差为_________．【答案】【解析】结合评分图先求出平均值，再求解方差.【详解】分数的平均值为所以.【点睛】本题主要考查频率分布条形图的识别，数据平均值与方差，考查数据处理能力.15．已知抛物线上一点到焦点和点的距离之和的最小值为，则此抛物线方程为__________． 【答案】【解析】利用抛物线的定义，求出未知数p. 【详解】根据抛物线的定义，到焦点与点的距离之和等于点到准线的距离与到点的距离之和，其最小值为点到准线的距离，即，所以，所以抛物线方程为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力,数形结合思想.16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，平面四边形ABCD 中，1AB CD ==，BD BD CD =⊥,将其沿对角线BD 折成一个鳌臑A BCD '-，则该鳌臑内切球的半径为__________．【解析】结合几何体的内切球的特点，把几何体分割为四个小几何体，小几何体的体积之和等于大几何体的体积. 【详解】因'1A D CD ==，且'A CD ∆为直角三角形，所以'CD A D ⊥，又,'CD BD BD A D D ⊥⋂=，所以CD ⊥平面'A BD ，所以'CD A B ⊥.又由''1,A B A D BD ===''A B A D ⊥所以'A B ⊥平面'A CD ，所以''A B A C ⊥，易得'A C =r ，则()'''13A BC A CD A BD BCD S SSS+++'13A BDr CD S =⋅.即1111113222232r ⎛+++=⨯⨯ ⎝⎭，解得1.2r = 【点睛】本题主要考查数学文化，空间几何体与球的相切问题，考查空间想象能力.三、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3=BC ，点E 在线段AC 上，且EC AE 2=，3BE =.（1）求AC 的长；（2）若60ADC ∠=，3=AD ，求ACD ∠的大小.【答案】（1）3；（2）30.ACD ︒∠=. 【解析】(1)在ABE △中,使用正弦定理，在CBE △中，使用余弦定理可求AC. (2) 在ADC ∆中，由正弦定理可得ACD ∠sin ,进而可求角ACD ∠. 【详解】解：()1设3AC z =，在ABE △中，由余弦定理可得()21624cos z BEA +-∠=在CBE △中，由余弦定理可得2169cos z BEC +-∠=由于180BEA BEC ︒∠+∠=，所以cos cos BEA BEC ∠=-∠()22161624933z z +-+-= 整理可得21664180z +--=解得z=1（负值舍去），所以 3.AC =()2在ADC ∆中，由正弦定理可得ACDADADC AC ∠=∠sin sin =，所以1sin 2ACD ∠=. 因为AD<AC ，所以60,ACD ︒∠<所以30.ACD ︒∠= 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，考查数学运算能力.18．2019年春节期间，各种手机红包成了亲友间互动的重要手段，因此占据了人们大量的时间，对人们的眼睛造成较坏的影响.大学生小王随机抽查了班内20位同学每人在春节期间抢到红包金额x （元），得到下面的频数分布表：（1）将这20位同学的红包金额与眼睛近视的人数填入下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关；（2）若从红包金额在[)80,160的同学中任取2位，求这2位同学的红包金额都在[)120,160的概率.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，n a b c d =+++参考数据：【答案】（1）详见解析；（2）71. 【解析】（1）根据频数分布表先求出列联表，再利用卡方公式计算；（2）先求出所有基本事件空间，再求2位同学的红包金额都在[)120,160的事件，从而可求概率. 【详解】()1填写表格如下：所以()22202477 3.430 2.706911911K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.故有90%的把握认为红包金额的大小与近视有关.()2由题意，红包金额在[)80,120的同学有4位，设为,,,A B C D ，红包金额在[)120,160的同学有3位，设为,,a b c ，则从中抽取2位的基本事件有()()(),,,,,,A B A C A D ()()(),,,,,c ,A a A b A ()()(),,,,,,B C B D B a ()()(),,,,,,B b B c C D ()()(),a ,,,,,C C b C c ()()(),,,,,,D a D b D c ()()(),,,,,a b a c b c 共21种.其中满足这2位同学的红包金额都在[)120,160的基本事件为()()(),,,,,a b a c b c ，共3种，设这2位同学的红包金额都在[)120,160的基本事件为M ，则()31.217P M == 【点睛】本题主要考查独立性检验思想，古典概型的求解，主要考查数据分析能力.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，过F 且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知点()4,0M -，过F 作直线l 交椭圆于,A B 两点，证明：FMA FMB ∠=∠.【答案】（1）13422=+y x ；（2）详见解析. 【解析】（1）根据焦点坐标可得1c =，结合弦长及,,a b c 的关系可得椭圆的方程； （2）FMA FMB ∠=∠转化为0AM BM k k +=，结合韦达定理可证. 【详解】（1）由题意得22221,3,2+c ,c ba ab =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为13422=+y x .（2）当l 与x 轴重合时，0FMA FMB ∠=∠=o ；当l 与x 轴垂直时，直线MF 恰好平分AMB ∠，则FMA FMB ∠=∠； 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设直线l 的方程为()()10y k x k =+≠.代入椭圆方程可得()22223484120k x k x k +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. 直线,MA MB 的斜率之和为121244AM BM y y k k x x +=+++()()()()1221124444y x y x x x +++==++()()()()()()122112141444k x x k x x x x +++++++()()()12121225844k x x x x x x +++⎡⎤⎣⎦=++， 因为2222222241288244024322580343434k k k k k k k k ⎛⎫----++⋅++== ⎪+++⎝⎭， 所以0AM BM k k +=.故直线,MA MB 的倾斜角互补，所以FMA FMB ∠=∠. 综上，FMA FMB ∠=∠. 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，主要考查数学运算能力.20．已知函数()()21x f x xe a x b =+-+在点()()0,0f 处的切线方程为310x y --=.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0x >时，()2ln 1f x e x >+. 【答案】（1）1a =-，0b =；（2）详见解析.【解析】（1）利用导数的几何意义，结合切线方程可求,a b ;（2）构造新函数()()2ln 1g x f x e x =--，求解新函数的最小值，从而可证. 【详解】（1）因为()()()121xf x x e a x '=++-，函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程的斜率为3，所以()0123f a '=-=，解得1a =-. 又()01f =-，所以()2011b --+=-，解得0b =.（2）由（1）得()()21x f x xe x =--.设()()()22ln 12ln 11x g x f x e x xe e x x =--=----，则()()()2121x eg x x e x x '=+---. 令()()()2121xe h x x e x x =+---，0x >，则()()()22222221x x x e eh x x e xe e x x '=++-=+-+.所以当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增.又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 所以当1x =时，()g x 取得最小值()110g e =->. 所以()0g x >，即()2ln 1f x e x >+. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及导数的几何意义，考查逻辑推理能力和数学运算能力.21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 204πρθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的交点为,P Q ，求弦长PQ 的最小值. 【答案】（1）()()22114x y -++=；（2）22. 【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式可求；（1）利用圆的性质可知弦长PQ 的最小时，直线l 垂直于过点()2,2-A 的直径，结合勾股定理可求. 【详解】（1）根据题意，2cos 204πρθ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即22c o s 2s i n 20ρρθρθ-+-=.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线C 的直角坐标方程为()()22114x y -++=. （2）由题意，直线经过圆内定点()2,2-A ，设圆心()1,1C -到直线l 的距离为d ，因为d AC ≤==,所以PQ =≥=l 与AC 垂直时，等号成立. 故弦长PQ 的最小值为22 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的相互转化、弦长的最值问题.22．已知.（1）求不等式的解集；（2）已知的解集包含，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用零点分段讨论法，去掉绝对值，求解不等式；（2）的解集包含转化为恒成立问题求解.【详解】（1）不等式即为，等价于或或解得或，故不等式的解集为.（2）根据题意，当时，，的解集包含，即且恒成立.所以且.解之得，故实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及一元二次不等式恒成立问题，考查运算能力和转化思想.。