江苏省响水中学高三数学二轮复习 第13课时 二项式系数的性质及应用(1)导学案
学案导学 备课精选高中数学 1.5.2二项式系数的性质及应用同步练习(含解析)苏教版选修23
1.5.2 二项式系数的性质及应用课时目标1.了解二项式系数的性质并能简单应用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用．(a ＋b )n展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n n有如下性质：(1)C mn ＝________；(2)____________＝C mn ＋1；(3)当r <________时，C r n <C r ＋1n ；当r >________时，C r ＋1n <C rn ；(4)C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＝________.一、填空题1．在(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大的项是第________项．2．在(x －1x)10的展开式中，系数最大的项是第______项．3．若(1－2x )2 009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 009x2 009(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009的值为________．4．5310被8除的余数是________．5．已知n ∈N *，则1＋3C 1n ＋32C 2n ＋…＋3n C nn ＝______.6．满足C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n －2n ＋C nn >1 000的最小偶数n 为________．7．在(x ＋y )n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．8．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________.二、解答题9．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项； (4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．10．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.能力提升11．(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为______．12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得．3．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．4．一些整除和近似计算问题可以利用二项展开式解决．1．5.2 二项式系数的性质及应用答案知识梳理(1)C n －m n (2)C m n ＋C m －1n (3)n －12 n －12(4)2n作业设计 1．n ＋1解析 因为2n 为偶数，且x 的系数为1，∴系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第(n ＋1)项．2．5、7解析 根据二项展开式中系数的关系，注意到第6项的系数为－C 510，实际上最小，所以系数最大的项为第5、7项．3．－1解析 本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝12，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝0，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 00922 009＝－1.4．1解析 5310＝(56－3)10＝5610＋C 110569×(－3)＋C 210568×(－3)2＋…＋C 91056×(－3)9＋(－3)10.∴5310被8除的余数等于310被8除的余数．又310＝95＝(8＋1)5＝85＋C 1584＋…＋C 45×8＋1. ∴所求余数为1.5．4n解析 1＋3C 1n ＋32C 2n ＋…＋3n C n n ＝C 0n ＋C 1n 31＋C 2n ·32＋…＋C n n 3n ＝(1＋3)n ＝4n. 6．12解析 n 为偶数时，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C n n ＝2n －1，令2n －1>1 000，得n ≥11(n ∈N *)． ∴最小偶数n 为12. 7．6解析 由题意，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等， ∴C 3n ＝C 7n ，由组合数的性质，得n ＝10.∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项． 8．4解析 令x ＝1，解a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2； 令x ＝0，得a 0＝n ，又a n ＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n ＋1－2－n －1＝29－n ，所以2n ＋1＝32，所以n ＝4.9．解 (1)T r ＋1＝(－1)r C r 11x 11－r y r.(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 611x 5y 6.(5)项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5.(6)二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.10．解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.00 006<0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001， ∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988. 11．0解析 展开式的通项公式T r ＋1＝C r 8·28－r ·(－x )r ，则含x 4的项的系数为1，令x ＝1，得展开式所有项系数和为(2－1)8＝1，因此展开式中不含x 4项的系数的和为1－1＝0.12．解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6都大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7都小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)， ∴由(2)、(3)即可得其值为2 187.。
江苏省响水中学高中数学 第二章《指数函数的图象与性质的应用》导学案 苏教版必修1
江苏省响水中学高中数学第二章《指数函数的图象与性质的应用》导学案苏教版必修11.能灵活利用指数函数的单调性解决指数不等式问题.2.掌握与指数函数有关的复合函数的单调性、值域最值等问题的处理方法.前面我们学习了指数函数的概念、图象与性质等,并重点学习了图象和性质的简单应用.在解决一些指数问题时,还常常会遇到与指数有关的不等式问题、与指数函数有关的复合函数问题等,这些都体现了对指数函数图象与性质的深层次应用,这一讲我们就来探索这些问题的解法.问题1:指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的单调性当0<a<1时,y=a x在R上是,当a>1时,y=a x在R上是.问题2:关于指数的不等式的解法(1)形如a f(x)>a g(x)的不等式,先确定底数a的值,若不能确定,需对a进行讨论:当0<a<1时,a f(x)>a g(x)等价于解不等式;当a>1时,a f(x)>a g(x)等价于解不等式.(2)形如a f(x)>b f(x)(a,b>0)的不等式,先把右边不等式转化为()f(x)>1,再对进行讨论:当0<a<b时,a f(x)>b f(x)等价于解不等式f(x)<0;当a>b>0时,a f(x)>b f(x)等价于解不等式.问题3:如何求解函数y=a f(x)(a>0,且a≠1)在区间[m,n]上的最值?先求f(x)在区间[m,n]上的最值,假设f(x)在区间[m,n]上的最大值为M,最小值为N,再对a进行讨论:当0<a<1时,函数y=a f(x)的最大值为,最小值为,当a>1时,函数y=a f(x)的最大值为,最小值为.问题4:复合函数y=f[g(x)]在区间[a,b]的单调性的判断.复合函数y=f[g(x)]可以看作由函数t=g(x)和y=f(t)复合而成,设函数t=g(x)在区间[a,b]的值域为[m,n],考察函数t=g(x)在区间[a,b]和y=f(t)在区间[m,n]单调性可以得到函数y=f[g(x)]的单调性,判断法则可以由四个字来概括,即,具体见下表:t=g(x)在区间[a,b]上的单调增函数增函数减函数减函数性y=f(t)在区间增函数减函数增函数减函数[m,n]上的单调性y=f[g(x)]在区间[a,b]的单调性1.若2x+1<1,则x的取值范围是.2.已知()a>()b,则a、b的大小关系是.3.函数y=a x-3的图象恒过定点.4.若函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.与指数函数有关的不等式的解法(1)已知3x≥30.5,求实数x的取值范围.(2)已知0.2x<25,求实数x的取值范围.与指数函数有关的复合函数的单调性已知a>0,且a≠1,讨论f(x)=的单调性.与指数函数有关函数的最值或值域问题已知函数y=(a>0,且a≠1)在[0,2]上有最小值8,求实数a的值.已知a2x+1≤a x-5(a>0,且a≠1),求x的取值范围.讨论函数f(x)=(的单调性.求函数y=4x-2x+1-5在x∈[-1,2]上的值域.1.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=3x-2的值域是.2.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则下列说法正确的是.①f(x)与g(x)均为偶函数;②f(x)为偶函数,g(x)为奇函数;③f(x)与g(x)均为奇函数;④f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.3.指数函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则a等于.4.解不等式()2-3x≤2.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留污垢不超过原来的1%,则至少要漂洗次.考题变式(我来改编):第3课时指数函数的图象与性质的应用知识体系梳理问题1:减函数增函数问题2:(1)f(x)<g(x)f(x)>g(x)(2)f(x)>0问题3:a N a M a M a N问题4:同增异减增函数减函数减函数增函数基础学习交流1.(-∞,-1)∵2x+1<1=20,且y=2x是增函数,∴x+1<0,∴x<-1.2.a<b y=()x为减函数.3.(3,1)指数函数y=a x的图象恒过(0,1).对函数y=a x-3,当x=3时,y=1,所以恒过定点(3,1).4.解:当a>1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是增函数,由题意可知,解得a=.当0<a<1时,函数f(x)=a x-1在[0,2]上是减函数.由题意可知,此时a无解.综上所述,a=.重点难点探究探究一:【解析】(1)因为3>1,所以指数函数f(x)=3x在R上是增函数.由3x≥30.5,可得x≥0.5,即x的取值范围为[0.5,+∞).(2)因为0<0.2<1,所以指数函数f(x)=0.2x在R上是减函数.因为25=()-2=0.2-2,所以0.2x<0.2-2,由此可得x>-2,即x的取值范围为(-2,+∞).【小结】求解指数不等式时,一般是利用指数函数的性质去掉底数,转化为关于指数x 的不等式,再求解.探究二:【解析】设u=-x2+3x+2=-(x-)2+,则当x≥时,u是减函数,当x<时,u是增函数.又当a>1时,y=a u是增函数,当0<a<1时,y=a u是减函数,∴当a>1时,原函数f(x)=在[,+∞)上是减函数,在(-∞,)上是增函数;当0<a<1时,原函数f(x)=在[,+∞)上是增函数,在(-∞,)上是减函数.【小结】解决本题的关键是熟练掌握复合函数单调性的规律,另外要注意分类讨论思想的应用.探究三:【解析】令u(x)=x2-3x+3=(x-)2+,当x∈[0,2]时,u(x)max=u(0)=3;u(x)min=u()=.当a>1时,y min==8,解得a=16;当0<a<1时,y min=a3=8,解得a=2(舍去).因此a=16.【小结】对于指数函数y=a x(a>0,且a≠1)的单调性,如果a不确定,那么必须对a分0<a<1和a>1两种情况进行讨论,这里体现了分类讨论思想的应用.思维拓展应用应用一:当0<a<1时,∵a2x+1≤a x-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6;当a>1时,∵a2x+1≤a x-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.故当0<a<1时,x的取值范围为x≥-6;当a>1时,x的取值范围为x≤-6.应用二:令u=x2-2x=(x-1)2-1,u(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,又∵f(u)=()u在其定义域内是减函数,∴f(x)在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数.应用三:y=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,∵-1≤x≤2,∴≤t≤4.∴y=t2-2t-5=(t-1)2-6(≤t≤4).∴当t=1,即x=0时,y min=-6;当t=4,即x=2时,y max=3.∴函数的值域为[-6,3].基础智能检测1.[-,1]因为f(x)=3x-2是x∈[-1,1]上的增函数,所以3-1-2≤f(x)≤3-2,即-≤f(x)≤1.2.②因为f(-x)=3-x+3-(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3-(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数.3.2不论a>1还是0<a<1,y=a x一定是单调函数,∴最大值和最小值一定在区间[0,1]的两端点处取得.∵当x=0时,y=a0=1,当x=1时,y=a1=a,∴1+a=3,∴a=2.4.解:原不等式可化为()2-3x≤()-1.又函数y=()x为减函数,∴2-3x≥-1,∴x≤1.∴原不等式的解集为{x|x≤1}.全新视角拓展4设原来污垢数为1个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的;经过第二次漂洗,存留量为原来漂洗后的,也就是原来的()2;经过第三次漂洗,存留量为原来的()3;…;经过第x次漂洗,存留量为原来的()x,故解析式为y=()x.由题意有,()x≤,4x≥100,2x≥10,∴x≥4,即至少漂洗4次.思维导图构建减函数增函数。
二项式系数的性质教案
二项式系数的性质教案教案标题：二项式系数的性质教案一、教学目标：1. 理解二项式系数的概念和含义；2. 掌握计算二项式系数的方法；3. 理解二项式系数的性质及其在组合数学中的应用。
二、教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉二项式系数的概念、计算方法和性质；b. 准备相关的教学课件、习题和练习册。
2. 学生准备：a. 预习相关的二项式系数的概念和计算方法。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）：a. 通过一个简单的问题引入二项式系数的概念，例如：有5个红球和3个蓝球，从中选取2个球的组合数有多少种？b. 引导学生思考并讨论问题，引出二项式系数的概念。
2. 理解二项式系数的概念（10分钟）：a. 介绍二项式系数的定义和表示方法，例如：C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
b. 通过具体的例子解释二项式系数的含义，例如：C(5, 2)表示从5个元素中选取2个元素的组合数。
c. 利用教学课件展示相关的例题，引导学生进行思考和讨论。
3. 计算二项式系数的方法（15分钟）：a. 介绍计算二项式系数的方法，例如：使用组合数公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)进行计算。
b. 通过具体的例子演示计算二项式系数的步骤，例如：计算C(5, 2) = 5! / (2!* (5-2)!)。
c. 引导学生进行练习，巩固计算二项式系数的方法。
4. 二项式系数的性质（15分钟）：a. 介绍二项式系数的性质，例如：对于任意非负整数n和k，有以下性质：i. C(n, k) = C(n, n-k)ii. C(n, 0) = C(n, n) = 1iii. C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)b. 解释每个性质的含义和证明思路，通过具体的例子进行演示。
c. 引导学生进行练习，巩固二项式系数的性质。
5. 应用实例（15分钟）：a. 介绍二项式系数在组合数学中的应用，例如：二项式定理和杨辉三角形等。
二项式系数的性质及应用
（1）二项式系数的和； （2）各项系数之和； （3）奇数项的二项式系数之和；
偶数项的二项式系数之和； （4）奇数项的系数之和；偶数项的系数之和.
例2、已知：
（1 x）（1 x）2 （1 x）n a0 a1x a2 x2 an xn
求： a1 a2 an 的值.
例3、已知 1 2x 3x2 7 a0 a1x a2x2
a13x13 a14 x14. （1）求a0 a1 a2 a14； （2）求a0 a2 a4 a14； （3）求a1 a3 a5 a13.
例4、已知（1 x）（ 3 2x）9 a（0 x 1）14 a（1 x 1）13 a1（3 x 1） a14.
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
说明1、这就是说（，a b）n
的展开式的各二项式系数之和等于 2n
C
0 n
C1n
C
2 n
C
n n
2n
2、同时，由于
C
0 n
1 ，上式还可以写成
Cn1 Cn2 Cnn 2n 1
3、这是组合数公式，表示在n不同元素中，每次 取1个、2个、3个、…、n个元素的所有组合数之 和。
练习
1、在（x 1）11的展开式中，求系数最小项的系数？
变式：把（x 1）11改成（2x 1）11 ，结果又如何？
2、求（2x 3y）28 的展开式中系数最大的是第几项？
解：设展开式中系数最大的项为第r+1项，则
C
r 28
228 r
3r
＞C
r 1 28
229 r
3r 1
C
r 28
二项式系数的性质及应用(1)
考点一： (a b)n 展开式的二项式系数 例.已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 ... a7 x7 .求： (1) a0 a1 a2 ... a7 (2) a1 a3 a5 a7 (3) a0 a2 a4 a6 (4) a0 a1 a2 ... a7
例.用二项式定理证明：99100 1能被1000整除.
跟踪训练：求9192 被100除所得的余数.
跟踪训练：求9192 被100除所得的余数.
考点四：证明恒等式
例.求证：1 3Cn1 32 Cn2 ... 3n Cnn 4n
跟踪训练：
求证： Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn n • 2n1
知识影响格局，格局决定命运！ 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
二项式系数的性质及应用 学习目标： 掌握二项式系数的性质并能解决简单的二项式系数有关的问题
(a b)n 展开式的二项式系数Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 有如下性质：
(1) Cnm
C nm n
(2) Cnm
C m1 n
Cm n1
(3)当 r
n
2
1
时，
Cnr
C r1 n
；当
r
当堂检测：
1.若 (x 2)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 __________. 2.已知 (1 kx2 )6 （ k 是正整数）的展开式中， x8 的系数小于 120， 则 k ______.
当堂检测：
1.若 (x 2)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5 x5 ，则 a1 a2 a3 a4 a5 __________. 2.已知 (1 kx2 )6 （ k 是正整数）的展开式中， x8 的系数小于 120， 则 k ______.
二项式系数性质与应用
二项式系数性质与应用二项式系数是组合数学中的一种重要概念，它在代数、概率、统计等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式系数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二项式系数的基本性质1.1 二项式系数的定义二项式系数表示为C(n,k)，其中n和k为非负整数，且0 ≤ k ≤ n。
其计算方法为C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中“!”表示阶乘运算。
1.2 二项式系数的对称性二项式系数具有对称性，即C(n,k) = C(n,n-k)。
这是由于在组合中，选取k个元素与选取n-k个元素是等价的。
1.3 二项式系数的递推关系二项式系数有递推关系：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。
这一关系可以用来计算任意二项式系数，而无需重新计算阶乘。
1.4 二项式定理二项式定理是二项式系数的一个重要性质，表示为(a+b)^n = ΣC(n,k) * a^(n-k) * b^k，其中Σ表示求和运算，k的取值范围为0到n。
二、二项式系数的应用2.1 代数中的应用在代数中，二项式系数被广泛应用于多项式展开和系数计算。
通过二项式定理，我们可以展开任意次多项式，从而计算多项式的各项系数。
2.2 概率与统计中的应用在概率与统计中，二项式系数与二项分布密切相关。
二项分布用于描述一组独立重复试验中成功（或失败）的次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数可以用二项式系数来表示。
2.3 组合数学中的应用二项式系数是组合数学的基础概念，它与排列、组合、二项式定理等紧密相关。
在组合数学中，可以利用二项式系数解决一些计数问题，如排列组合问题、子集问题等。
2.4 离散数学中的应用离散数学中的一些问题可以转化为二项式系数的计算问题，如定理证明、图论、递归关系等。
二项式系数的递推关系和性质在解决这些问题时起到了重要的作用。
2.5 应用于经济学和金融学二项式系数在经济学和金融学中也有一定的应用，例如二项式期权定价模型和二项式资产定价模型。
高中数学1.5.2《二项式系数的性质及应用》课件(苏教版选修2-3)
变式训练2 在(1＋2x)10的展开式中，
(1)求系数最大的项；
(2)若x＝2.5，则第几项的值最大？ 解：(1)设第 r＋1 项的系数最大，由通项公式 得 Tr＋1＝Cr10·2rxr，依题意 Tr＋1 项的系数不小 于 Tr 项及 Tr＋2 项的系数， 得CCr1r10022rr≥≥CCrr11－ ＋00 1122rr＋－11，， 解得2r＋111－≥r2≥10r－，r.
项除以 100 的余数．
由 992＝(10－1)92＝C0921092＋…＋C9902102－C991210＋
1.
前 91 项均为能被 100 整除，后两项和－919，因 原式为正，可从前面的数中分离出 1000，结果为 1000－919＝81，∴9192 被 100 除可得余数为 81. 法二：原式＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋ C9902·902＋C9912·90＋C9922. 前 91 项均能被 100 整除，剩下两项为 92×90＋1 ＝8281，显然 8281 除以 100 所得余数为 81.
设第(r＋1)项系数最大， 则有CCr8r8··22rr≥ ≥CC88rr＋－11··22rr＋－11， ， ∴5≤r≤6 且 0≤r≤8，r∈N. ∴r＝5 或 r＝6. ∴系数最大的项为 T6＝1792x5，T7＝1792x6.
【名师点评】 求展开式中系数最大的项与求二 项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的 正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等 式组的方法求得．
(2)令x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.② ①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝27－67＝－279808. ∴a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139904.
1.5.2 二项式系数的性质及应用 学案(苏教版高中数学选修2-3)
1.5.2 二项式系数的性质及应用学案（苏教版高中数学选修2-3）1.5.2二项式系数的性质及应用二项式系数的性质及应用学习目标1.了解二项式系数的性质.2.理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用“赋值法”知识点二项式系数的性质abn的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式思考1从上面的表示形式可以直观地看出什么规律答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和思考2计算每一行的系数和，你又能看出什么规律答案2,4,8,16,32,64，，其系数和为2n.思考3二项式系数的最大值有何规律答案当n2,4,6，时，中间一项最大，当n3,5，时，中间两项最大梳理1二项式系数表的特点在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2二项式系数的性质一般地，abn展开式的二项式系数C0n，C1n，，Cnn有如下性质CmnCnmn；CmnCm1nCmn1；当rn12时，CrnCr1n；当rn12时，Cr1nCrn；C0nC1nC2nCnn2n.1杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列2二项式展开式的二项式系数和为C1nC2nCnn.3二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同类型一与二项式系数表有关的问题例1如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列1,2,3,3,6,4,10,5，，记其前n项和为Sn，求S16的值解由题意及杨辉三角的特点可得S16123364105369C02C12C23C13C24C14C29C19C22C23C24C29239C31 08292164.反思与感悟对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论跟踪训练1请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________考点题点答案70类型二“赋值法”的应用例2设23x100a0a1xa2x2a100x100，求下列各式的值1a0；2a1a2a3a4a100；3a1a3a5a99；4a0a2a1002a1a3a992；5|a0||a1||a100|.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解1令x0，则展开式为a02 100.2令x1，可得a0a1a2a10023100，a1a2a100231002100.3令x1，可得a0a1a2a3a10023100.与联立相减，得a1a3a9923100231002.4原式a0a2a100a1a3a99a0a2a100a1a3a99a0a1a2a100a0a1a2a3a98a99a10 0232310011001.5Tr11rCr1002100r3rxr，a2k10kN*|a0||a1||a2||a100|a0a1a2a3a10023100.反思与感悟二项展开式中系数和的求法1对形如axbn，ax2bxcma，b，cR，m，nN*的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对axbyna，bR，nN*的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可2一般地，若fxa0a1xa2x2anxn，则fx展开式中各项系数之和为f1，奇数项系数之和为a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为a1a3a5f1f12.跟踪训练2在二项式2x3y9的展开式中，求1二项式系数之和；2各项系数之和；3所有奇数项系数之和考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解设2x3y9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.1二项式系数之和为C09C19C29C9929.2各项系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，所以a0a1a2a92391.3令x1，y1，可得a0a1a2a959，又a0a1a2a91，将两式相加可得a0a2a4a6a85912，即所有奇数项系数之和为5912.类型三求二项式系数或系数最大的项例3已知fx3x23x2n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.1求展开式中二项式系数最大的项；2求展开式中系数最大的项考点展开式中系数最大小的项问题题点求展开式中系数最大小的项解令x1，则二项式各项系数的和为f113n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992.2n22n9920，2n312n320，2n31舍去或2n32，n5.1由于n5为奇数，展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3C2532x33x2290x6，T4C3532x23x23270223x.2展开式的通项公式为Tr1Cr53r2523rx，假设Tr1项系数最大，则有Cr53rCr153r1，Cr53rCr153r1，55rr356rr1，55rr54rr13，即3r16r，15r3r1，72r92，rN，r4，展开式中系数最大的项为T5C4523x3x24405263x.反思与感悟1二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对abn中的n进行讨论当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正.负变化情况进行分析如求abxna，bR的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，，An，且第k1项最大，应用AkAk1，AkAk1，解出k，即得出系数的最大项跟踪训练3已知二项式122xn.1若展开式中第5项.第6项.第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；2若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项解1由题意，得C4nC6n2C5n，所以n221n980，所以n7或n14.当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C3712423352，T5的系数为C471232470.故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70.当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为C714127273432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3432.2由题意知C0nC1nC2n79，解得n12或n13舍去设展开式中第r1项的系数最大，由于122x12121214x12，则Cr124rCr1124r1，Cr124rCr1124r1，所以9.4r10.4.又r0,1,2，，12，所以r10，所以系数最大的项为T11，且T111212C10124x1016896x10.类型四整除或余数问题例4求证122225n1能被31整除nN*证明122225n125n12125n132n1311n1C0n31nC1n31n1Cn1n31Cnn131C0n31 n1C1n31n2Cn1n显然上式括号内的数为整数，所以原式能被31整除反思与感悟在利用二项式定理证明整除问题或求余数问题时，要进行合理的变形，常用的变形方法是拆数，往往是将幂底数写成两数和或差的形式，其中的一个数是除数或其正整数倍跟踪训练4如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n，经过23n37n5天后的那一天是星期几解因为23n37n58n17n571n17n57n1C1n17nC2n17n1Cnn17Cn1n17n577nC1n17 n1C2n17n2Cnn1n6，显然上式括号内的数是正整数所以23n37n5被7除所得的余数为6.所以对于任意自然数n，经过23n37n5天后的那一天是星期日.1在2x1x4的展开式中，各项的二项式系数的和为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案16解析各项的二项式系数之和为2416.2若x3yn的展开式中所有项的系数之和等于7ab10的展开式的二项式系数之和，则n的值为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案5解析令xy1，得x3yn的展开式中所有项的系数和为4n，7ab10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，故4n210，即n5.32x3y8中的各项二项式系数的最大值是________答案70解析因为8为偶数，所以展开式共有9项，中间一项的二项式系数最大，即第5项，C488765432170.4观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案6解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.5设2x34a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为________考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案15解析令x1，得a0a1a2a3a41.又Tr1Cr42x4r1r3r，当r0时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.1用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和.差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定2用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数或与除数密切关联的数与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面或者前面一.二项就可以了.。
二项式系数性质课件
在二项式定理中，二项式系数是组合数的一种特殊形式，表示从n个不同元素中 取出k个元素的组合数。具体地，对于二项式$(a+b)^n$，其展开后的每一项可 以用组合数来表示，即第$k+1$项的系数为$C_n^k$，其中 $C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项式系数的对称性证明
适用于大规模和高精度计算的问 题。
总结词
二项式系数的对称性是指二项式系数在展开式中的对称位置 相等。
详细描述
对于二项式$(a+b)^n$的展开，其第$r+1$项和第$n-r+1$ 项的系数相等，即$C_n^r=C_n^{n-r}$。这一性质可以通过 组合数的性质证明，因为$C_n^r=C_n^{n-r}$是组合数的基 本性质之一。
二项式系数的递推关系证明
03
二式系数的用
在组合数学中的应用
组合数学中，二项式系数常用于计算组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的 组合方式数。
二项式系数在组合数学中具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性质 在解决一些组合问题时非常有用。
二项式系数在组合数学中还常用于证明一些重要的定理，如二项式定理、组合恒等 式等。
二项式系数的表示方法
二项式系数可以用组合数的公式表示， 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!" 表示阶乘。
也可以用"+"、"*"等运算符来表示二 项式系数，例如C(n, k) = n+k-1 choose k。
二项式系数的性质
二项式系数具有对称 性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
在概率论中的应用
1.5.2二项式系数的性质及应用
n
C1n Cn2
C
n-1 n
(2)增减性和最值:Biblioteka n 是偶数：C0n
n 1
C1n Cn 2
C
n n
n +1
C
2
n
Cnn-1
n 是奇数： C0n
C
n n
(3)二项式系数和:
二、题型
题型一：求指定的项或系数 例1
方法1 (x2+3x+2)5=[(x2+3x)+2]5 利用通项公式
方法2 (x2+3x+2)5= (x+1)5 (x+2)5 方法3 根据多项式相乘的特点，从(x2+3x+2)5 的5个因式中选出1个因式中的3x，4个因式中 的2，才能得到含x的项
例2 在 (3x 2 y)20的展开式中，求系数绝对值最大的项
变式1.求
的展开式中有理项系数的和.
2.已知 ,
二项式定理的应用
江苏省淮州中学孟凡永
1.二项展开式：(a b)n cn0an cn1an1b1 cnranrbr
cnnbn
2.二项式系数（r=0,1,2,…,n)： cnr
3.二项展开式的通项 第 r+1 项：Tr1 cnranrbr
4.二项式系数性质：
10
其中b0+b1+b2+……+bn=62,则n=_________.
赋值法
题型二 化简、求值 例4
求值S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1
变式： 求值:
构造二项式，逆用公式
江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》导数在函数中的应用 单调性(2)导学案 苏教版选修1-1
江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数在函数中的应用单调性（2）
导学案苏教版选修1-1
学习目标：
会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
利用函数的单调性解决含参问题。
教学重点：
函数的单调性与导数的关系
教学难点：
探索函数的单调性与导数的关系
预习检测：
课堂探究：
探究1.利用导数求函数的单调区间
已知函数f(x)=ex-ax-1,求f(x)的单调增区间.
探究2. 利用函数单调性求参数的范围
已知函数y=x2+错误！未找到引用源。
在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围。
变式：设
()
2
1
f
ax
e
x
x
+
=
，其中a为正实数，若)
(x
f为R上的单调函数，求a的取值范围。
课堂检测：
1.若函数
()6
x
f2
3+
-
-
=x
ax
x在区间(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围为
2.已知函数
()x
x
a
x ln
2
)1
2(
ax
2
1
f2+
+
-
=
，其中常数0
a>，求()x f的单调区间。
3.已知函数f(x)=ln x+x2+ax在定义域内为增函数,求实数a的取值范围.
4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如右图所示,则该函数的图象是( ).。
江苏省响水中学高三数学二轮复习 第13课时 二项式系数的性质及应用(1)导学案
江苏省响水中学2013届高三数学二轮复习 第13课时 二项式系数的性质及应用(1)导学案激趣导学1、请同学们依次观察当n 取0、1、2、3、……时，n b a )(+的系数有什么特点？2、你能通过观察发现规律吗？ 二、重点讲解 （1）m n n m nC C -=； （2）m n m n m n C C C n 11+-=+ （3）当21-<n r 时，1+<r n r n C C ；当21->n r 时，r n r n C C <+1 （4）n n n n n n C C C C 2...210=++++（5）n 为偶数时，二项式系数中，以2n n C 最大；n 为奇数时，二项式系数中以21-n n C 和21+n n C （两者相等）最大三、质疑讨论1．二项式系数表（杨辉三角）．(a ＋b)n 展开式的二项式系数，当n 依次取1，2，3…时，如下表所示：发现什么特点？四、典题拓展例1 证明：在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
例2 用二项式定理证明：19910-能被1000整除。
例3 已知7722107...)21(x a x a x a a x ++++=-，求下列各式的值： （1）721...a a a +++； （2）2753126420)()(a a a a a a a a +++-+++； （3）721...a a a +++； （4）7531a a a a +++。
求102)1()1()1(x x x ++++++ 展开式中3x 的系数.例5 已知：n x x )3(232+的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项五、要点小结1、二项式系数的性质；2．应用二项式定理证明组合恒等式；3．应用二项定理证明整除性．六、训练巩固1、=++++89392919...C C C C ； 2、=++----1111m n m n m n C C C ； 3、=++++n n n n nnC C C C (32321)； 4、已知n x )1(+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这个二项展开式中二项式系数最大的项是 .5、 已知nx x )21(4-的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明：展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。
二项式系数性质
二项式系数的性质及应用一、三维目标1、知识与技能：（1）．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；（2）．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．2、过程与方法：（1）．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；（2）．熟练运用赋值法求一些代数式的值．3、情感、态度与价值观（1）．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．（2）．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主义情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨，感受中国辉煌的数学史.二、教学重点与难点重点：了解“杨辉三角”的结构与规律，掌握二项式系数的一些性质，掌握赋值法．难点：二项式系数性质的得到和证明，利用二项式系数的性质解决有关问题．三、教学建议：课本通过杨辉三角这个历史素材，引入了二项式系数的讲解．课本分别对杨辉三角中的二项式系数进行观察、归纳发现结论的.第一条性质是对称性，它表明杨辉三角中与首末“等距离”的两个二项式系数相等；第二条性质是递推性，它表明杨辉三角中任何一个不为1的二项式系数都是它“肩上”的两个二项式系数的和.其次在性质的推导基础上进行了简单应用.在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．.四、教学流程。
苏教版高中数学选修2-3 1.5.2 二项式系数的性质及应用 学案
1．5.2 二项式系数的性质及应用[对应学生用书P21](a ＋b )n 的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ 提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n 展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C nn 有如下性质： (1)C m n ＝C n －m n；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n ＜C r ＋1n ； 当r ＞n －12时，C r ＋1n ＜C r n ； (4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以Cn －12n和C n ＋12n(两者相等)最大． 3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[对应学生用书P22][例1] 已知(10127(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x 合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…a 7＝－1① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2＋…－a 7＝37② (1)令x ＝0，则a 0＝1，∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7 ＝37＝2 187. [一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f (x )的各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]．1．设(2x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.解析：∵T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1)r ＝(－1)r 26－r C r 6x 6－r ，∴a r ＝(－1)r 26－r C r 6.∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝[2×(－1)－1]6＝36. 答案：362．二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中各项系数的和为________． 解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为⎝⎛⎭⎫12－11n ＝0. 答案：03．已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)求a 1＋a 3＋a 5.解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1.① (2)令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5＝－243.② ∵|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－243. (3)a 1＋a 2＋a 3＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x )n 项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第r ＋1项系数最大，由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，确定r 的值．[精解详析] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有 C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1，C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1，解得5≤r ≤6. ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6. [一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n 为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n 为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________. 解析：∵(a ＋b )n 的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n ＋1＝9，∴n ＝8.答案：85．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ， 而各项的二项式系数的和等于2n ， 根据已知，得方程4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.所以二项展开式的通项T r ＋1＝C r 3()x 3－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 3x 32－32r ，显然当r ＝1时，T r ＋1是常数项，值为3C 13＝9.答案：96．在⎝⎛⎭⎫x 23＋3x 25的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数最大的项．解：(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项， ∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫x 235－r (3x 2)r ＝3r C r 5x 10＋4r 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r －1C r －15，3r C r 5≥3r ＋1C r ＋15，∴72≤r ≤92，∴r ＝4. 即展开式中第5项系数最大，T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x 263.[例3] [思路点拨] 将2n ＋2·3n ＋5n －4＝4·6n ＋5n －4转化为25的倍数即可证明．[精解详析] 原式＝4·6n ＋5n －4 ＝4·(5＋1)n ＋5n －4 ＝4·(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋C 2n ·5n －2＋…＋C n n )＋5n －4＝4(C 0n ·5n＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52＋C n －1n ·51)＋4C nn ＋5n －4＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋20n ＋4＋5n －4 ＝4(C 0n ·5n ＋C 1n ·5n －1＋…＋C n －2n ·52)＋25n . 以上各项均为25的整数倍，故2n ＋2·3n ＋5n －4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除． 证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C 051·4951＋C 151·4950·2＋…＋C 5051·49·250＋C 5151· 251－1.易知除C 5151·251－1以外各项都能被7整除． 又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C 017717＋C 117·716＋…＋C 1617·7＋C 1717－1＝7·(C 017·716＋C 117·715＋…＋C 1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n,33n －26n －1可被676整除． 证明：当n ＝0时，原式＝0，可被676整除． 当n ＝1时，原式＝0，也可被676整除． 当n ≥2时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n －26n －1＝(26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262＋C n －1n ·26＋1)－26n －1 ＝26n ＋C 1n 26n －1＋…＋C n －2n ·262. 每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n,33n －26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值． 3．余数及整除问题 (1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．。
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1
激趣导学
1、请同学们依次观察当n 取0、1、
2、
3、……时，n b a )(+的系数有什么特点？
2、你能通过观察发现规律吗？ 二、重点讲解 （1）m n n m n
C C -=； （2）m n m n m n C C C n 11+-=+ （3）当21-<n r 时，
1+<r n r n C C ；当21->n r 时，r n r n C C <+1 （4）n n n n n n C C C C 2...210=++++
（5）n 为偶数时，二项式系数中，以2n n C 最大；n 为奇数时，二项式系数中以21-n n C 和21+n n C （两者相等）最大
三、质疑讨论
1．二项式系数表（杨辉三角）．
(a ＋b)n 展开式的二项式系数，当n 依次取1，2，3…时，如下表所示：
发现什么特点？
四、典题拓展
例1 证明：在n b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的
和。
例2 用二项式定理证明：199
10-能被1000整除。
例3 已知
7722107...)21(x a x a x a a x ++++=-，求下列各式的值： （1）721...a a a +++； （2）2
753126420)()(a a a a a a a a +++-+++；
2 （3）721...a a a +++； （4）7531a a a a +++。
求102)1()1()1(x x x ++++++ 展开式中3x 的系数.
例5 已知：n x x )3(23
2+的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
五、要点小结
1、二项式系数的性质；
2．应用二项式定理证明组合恒等式；
3．应用二项定理证明整除性．
六、训练巩固
1、=++++89392919
...C C C C ； 2、=++----11
11m n m n m n C C C ； 3、=++++n n n n n
nC C C C (32321)
； 4、已知n x )1(+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这个二项展开式中二项式系数最大的项是 .
5、 已知n
x x )21(4-
的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明：展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。