车灯线光源优化设计的数学模型和计算精度讨论
车灯线光源的优化设计
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湖北汽车工业学院学报
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数学建模论文 车灯线光源的优化设计
国防科技大学问题的重述安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
基本假设1、旋转抛物面反射系数为1，无反射衰减2、线光源上每个点的发光强度相同，功率相同3、不考虑光在传播过程中的干涉等其他现象4、灯丝所用材料为当前汽车前照灯一般所使用的材料，即卤素钨丝灯，其发光效率约为20流明/瓦符号说明η：点光源的发光效率，为一常数E点光源i发射的光线在b点产生的光强:ibФ：点光源发射的光通量p: 单位长度线光源的功率P: 线光源的功率I: 点光源的发光强度L: 线光源的长度ɑ：光线与测试屏的夹角模型的建立1． 线光源的功率由于线光源是均匀分布的，因此我们将其看成由许多功率相同的点光源组成。
那么可将线光源分为若干个长度为dl 的小段，每段视为一个点光源。
假设单位长度线光源的功率为p ，则每个点光源的功率为pdl ,由此可得：线光源的功率：⎰-=22llpdl P 。
2． 点光源i 在某点b 附近产生的光照度:ib E某点的光照度与射到这点附近单位面积上的光通量数值成正比，即:dsd E φ=而点光源单位时间内发射的总光通量为pdl ηφ=，故其发光强度πηπφωφ44pd d I ===容易导出从点光源i 发出立体角为ωd 的光束以角度α射到与其距离为r 的一点b 附近产生光斑的面积为:ibib d r ds αωcos 2=由此可知点光源在与其距离为r 的表面产生的光照度是.22.4cos cos ibibibibib r pdl r I dsId dsd E παηαωφ====即: 2.4cos ibibib r pdl E παη=3． 测试屏上任意一点b 的光强对于点光源发射的光线经过旋转抛物面反射后到达测试屏的情况，因为不考虑反射衰减，所以我们可将其看作是这个点所成的虚像发射的光线。
2002年-车灯线光源的优化设计2
摘要本文是关于汽车照明灯线光源长度的优化设计问题，即在给定反射镜面为旋转抛物面和给定设计规范的条件下，确定线光源的长度，使其功率最小（见图1）。
本文从光的反射定律和能量分布规律两种视角解决该问题，建立了两个数学模型。
模型一：利用能量、功率与光照强度之间的关系，利用能量积分法建立了反射屏上任意一点光照强度与线光源上光源点之间、光源点与反射镜面上的反射点之间关系的数学模型，计算出了满足光照强度要求和功率最小要求的线光源的最大长度。
并利用计算机程序对以上结果进行了校核。
模型二：根据光线反射定律，建立了测试屏上反射光线的位置、入射光线的光源点及其反射点之间对应关系的数学模型。
在此模型的基础上讨论了反射镜面不同区域的反射规律，计算出了在满足光照强度要求下的线光源长度。
由于模型二中没有考虑功率最小的要求（因为功率与线光源长度成反比，当线光源长度最短时，其功率最大），同时C点的光照强度在模型二中很小，所以满足题目要求的最终线光源的长度为mm。
.4l18max根据所建立的两个数学模型，对满足设计要求的线光源长度在测试屏上所形成的反射光亮区进行了模拟，在有标尺的坐标系中得到了能够反映反射光变化规律的亮区模拟图（见图2）。
最后，对设计规范的合理性进行了充分和必要的论证。
图1 投影示意图（单位：毫米）图2 测试屏上所形成的反射光亮区（单位：毫米）（注：黑度反映光照强度的大小，黑度越深，光照越强）1 问题的提出：在汽车的照明装置中，前照灯是核心装置，它的反射镜是主要的光学器件。
经过真空镀铝的反射镜镜面通常制成旋转抛物面形，将灯丝发出的散射光聚合，以集中光束的形状射向汽车前进方向的路面。
灯泡灯丝是照明效果的关键，通常制成螺旋形。
灯丝的长度直接决定着光源功率的大小和照明的效果。
因此，在反射镜尺寸和设计规范一定（见A 题）的情况下，选择一定长度的灯丝就显得尤为重要。
本论文试图从最优化的角度，建立起满足设计要求的线光源光强的数学模型，借助于计算机的高速运算与逻辑判断能力，求出使功率最小的线光源的长度，并画出测试屏上反射光的亮区。
车灯线光源的优化设计模型
车灯线光源的优化设计模型摘 要： 本文利用几何光学的原理,从线光源上某一点光源出发作反射;根据能量守恒定律及光传播的球面性,给出直射光和反射光能量之间的关系.从而证明反射光远远强于直射光,故而,在计算测试屏某点的光强度时,可将直射光忽略,只考虑反射光. 根据点光源的反射强度,可计算出点光源到达B 和C 点的光强度,设线光源的长度为2a,则从-a 到a 对点光源积分,可算出B 点和C 点的光强度为:aaB y I I --⋅⋅=250001300arctan25000459.000πa ac y I I --⋅⋅=250002600arctan25000459.000π根据以知B 点的光强度为2单位,C 点的光强度为1单位,利用以上方程可求得:a=2.34mm. 通过点光源在抛物面上任一点处反射光线的计算机模拟，给出了线光源反射线在测试屏上形成的亮区。
关 键 词：光强度，点光源，线源的功率, 亮区光一． 问题的提出：汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面,且已经告知开口半径和深度,所以可以得出抛物面的焦距,经过适当建立直角坐标系,可以得到抛物面的方程. 在焦点前放置的测试屏用以测试反射光的光强度,使其两点上的光强度各不小于某一额定值. 在设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小. 且在此基础上,精确画出测试屏上反射光的亮区.最后提出对规范合理性的意见. 二． 基本假设：1. 根据题目的要求,我们只考虑反射光的情形。
2. 在车灯内部,只考虑光线的一次反射。
3. 假设光线在抛物面内的每一点上都是镜面反射。
4. 假设线光源上每一个点的光强度都是一样的。
5. 反射光在B 点的光强度不小于一个单位,在C 点的光强度不小于两个单位. 三． 问题的分析和解决 （一）.求线光源的长度：1. 旋转抛物面的方程为fz y x 422=+，其中 f 为其焦距,据已知条件,可知道其焦距 f=15mm 。
2. 以F 为球心.以R 为半径,做一球面.如图1.图1 则mm h r R 6.366.6362222=+=+=3.求直射的面积：根据球冠面积公式有()22Hr S +π＝直，其中r=36mm,mm h R H 30=-=,则22196mm S π＝直4. 求反射的面积：2224.316221964mm R S S S πππ=-－＝＝总面积直反5. 不妨假设线光源上的任一点的点光源的光强度为0I ,则其反射光的强度259.04I S R I I ＝＝反反⋅π 6. 下面就线光源上任意一点M 的反射情况讨论,,如图2所示.图2假设12r r >，以2r 为半径作一球面，首先考虑B 点。
车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计1问题重述安装在汽车头部的车灯，形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，经过车灯的焦点，在与对称轴垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下：在焦点 F 正前方 25 米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线 A 点的同侧取点B 和点 C，使 AC=2AB=2.6 米。
要求 C 点的光强度不小于某一额定值（可取为 1 个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍。
请解决下列问题：1）求在该设计规范标准下计算线光源长度，使线光源的功率最小；2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区；3）讨论该设计规范的合理性。
2模型假设1)将线光源看作是只有长度而没有“直径”的发光体，从而可将其理解成一组点光源的集合。
2)均匀分布的线光源的发光强度在每一点恒定，线光源的功率与其长度成正比。
3)光线射到测试屏上的途径只考虑直射和一次反射两种。
4)光在传播过程中与介质的相互作用未改变光的物理特性。
3问题分析这是一个关于车灯线光源的优化设计问题。
根据题意，线光源通过直射和反射（一次反射）至测试屏，由于光的物理特性和车灯结构使得屏上的光照强度因位置的不同而不同。
根据实际需要，车灯前方较亮的区域只需集中于某一适当范围内。
问题要求车灯设计既能满足实际需要，又不会浪费能源（功率最小）。
我们采用光照强度的概念，根据物理学知识可知：被照射物体的亮度依赖于它与光源之间的距离和光线的投射角度。
光线强度 I 只与光源的亮度 P 和光源与被照射点的距离r 有关，即I P 2 ，但车灯的r照明效果是通过照在物体上的实际效果来衡量，这个代表实际效果的量即光照强度 C，光照强度 C 还与光线的投射角度有关，如图所示，P 为光源的光亮度， r 为光源到被照射点x 的距离，θ为光线的投射角度 ,则光照强度C( x)P sin r 2.图 1. 光照强度求解示意4模型的建立与求解4.1 建模初探：光亮度可以通过照射到的光线的疏密来简单表示。
车灯线光源的优化设计模型
5.2非线性规划数学模型
下面建立线光源一点m经抛物面上点q反射到达B点时，t、y的关系:
在抛物线y =60x(如图3)上一点q 在线光源上取点m(15,t)
线光源 在范围内发生的光源经抛物线 =60x上y 反射后到达B点.
当y=36时,t=8.045235675;当y=30时,t=30
线光源 在范围内发生的光源经抛物线 =60x上y 反射后到达B点.
当y=-36时,t=15.31443969;当y=-33.62时,t=29.8713133
线光源在t (15.31443969,29.87813133)范围内发生的光源经抛物线 =60x上y 反射后到达B点.
图1图2
两点的直线的方向矢量为 = =
通过点 的法矢量为
则 ，使 ，且| |=| |
即
于是
则反射光线 的方向矢量为: ,即:
-15
则 的参数方程为:
该方程经过B点,即:
-------------------- (3)
解得: .
当 时有z=60 ,也就是说线光源的光线经旋转抛物面反射到B点时,任何情况下都有z=0,即n点只在抛物面(y )的一个抛物线(y =60x)上,同理可证得线光源的光线只有经y =60x的抛物线反射后才会经过C点,至此,命题得证.
a-----AB的长度;a=1.3m;
R-----抛物面开口半径,R=36mm;
d-----抛物面深度,d=21.6mm;
-----单位长度线光源在单位平面角内发出的光流常数;
车灯线光源的优化设计方案
r v：测试屏的单位法向量（沿z轴负方向）
车灯线光源的优化设计方案
四、问题的分析
1.
本问题是个面镜反射的几何光学问题。
2. 要求满足（I ( B ) ≥ 2 , I ( C ) ≥ 1 ）时对线光源的长度（2R）和单位发光密度 （ λ）进行优化，使线光源发光总强度量最小。 3. 对于其中的考察点，根据它们和相应的发射点之间的位置关系算出从线 光源上某点射出的光线在到达考察点时考察点所接收到的光的强度。
从方程组（*）中可以确定
x1 = x1 ( x0 , y 0 ) y1 = y1 ( x0 , y 0 )
车灯线光源的优化设计方案
则 x1，y1 对于 x0，y0 的 Jacobi 行列式为
J =
∂ x1 ∂ y1 ∂x0 ∂x0 ∂ x1 ∂ y1 ∂y0 ∂y0
则可得到
dx1 dy1 = J dx 0 ∂ y 0
于是得到
x1 = t sin α cos β y1 = r + t sin α sin β p z1 = + t cos α 2
车灯线光源的优化设计方案
G点的单位内法向量为
ur lG =
{− x 1 , −
y1 , p }
2
x 12 + y 12 + p
则经抛物面反射的单位向量
hB ( l ) W ≥ 2 H , hC ( l ) W ≥ H
现在问题就是求出最优的线光源长度，满足此规范并使功率W最小。
车灯线光源的优化设计方案 二、基本假设
1. 不考虑光在空气中传播时的损耗。
2. 点光源发光时，在各个方向上产生的光 强度是一样的。
车灯线光源的优化设计方案
基于数学模型构建的车灯线光源优化设计
基于数学模型构建的车灯线光源优化设计摘要：本文依据2002“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛a 题提供的资料，对车灯线光源的优化设计进行后续研究。
按照设计规范要求设计，以车灯线光源功率最小为优化目标，将线光源分为若干点光源，通过车灯罩内壁反射点设计，运用微元法对线光源的长度进行讨论，并进行相应数值分析、检验，构建车灯优化设计数学模型。
abstract： based on the question a of national students mathematical modeling contest of 2002 “higher education’s cup”， this paper made follow-up study on optimal design of line light source of the car light. in accordance with design specifications， taking minimum power of line light source of the car light as optimization goal， the line light source of the car light was divided into a number of point light sources， and this paper carried out discussion on the length of line light source using micro-element method， by design of the reflection point of car lampshade inner wall， and carried out corresponding value analysis and testing to build mathematical model of optimum design of the car light.关键词：线光源；微元法；优化设计；数学模型key words： linear light source；micro-element method；optimal design；mathematical model中图分类号：g40 文献标识码：a 文章编号：1006-4311（2013）11-0219-03————————————作者简介：马廷强（1978-），男，苗族，云南威信人，讲师，理学硕士，研究方向为奇点理论。
车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计首先，光照效果是车灯线光源设计的关键要素之一、一个好的车灯线光源应该能够提供良好的照明效果，使驾驶员在夜间行驶时能够清晰地看到道路和周围物体，以减少事故的发生。
因此，在设计车灯线光源时应考虑选择高亮度、高均匀度的LED作为光源。
LED具有较高的发光效率和长寿命，可提供稳定的光照效果，并可通过调整亮度和颜色来适应不同的环境和驾驶需求。
此外，还应考虑使用透镜来聚焦光线，以增加光照强度和均匀度。
其次，能耗是车灯线光源设计中需要考虑的另一个重要因素。
为了降低能耗，可以采用智能控制系统对车灯线光源进行控制。
通过根据车辆行驶状态和环境光照条件的变化调整光源的亮度和颜色，以达到节能的目的。
此外，还可以考虑使用能源回收技术，将车灯线光源在制动和减速时产生的能量转化为电能进行储存和再利用，以进一步降低能耗。
另外，车灯线光源还应具备一定的灵活性，以满足不同的使用需求。
可以考虑设计一个可调节的车灯线光源，通过改变其形状、尺寸和排列方式，来适应不同车型和不同车辆部位的安装要求。
此外，还可以考虑将车灯线光源与车辆智能系统进行连接，实现与其他车辆和交通设施的信息交互，如通过变化的光线、颜色和图案来传达驾驶意图和车辆状态，提高安全性和驾驶者的交通参与感。
在车灯线光源的优化设计中，还需要考虑对光线的散射和抑制，以减少光的污染和对其他驾驶员的干扰。
可以通过选择适当的光学材料和设计透镜结构，来控制光线的传播和聚焦，避免过强的光线直接照射到其他驾驶员的眼睛，造成视觉疲劳和盲点。
此外，车灯线光源的设计还应考虑制造成本和可靠性。
可以通过采用模块化设计和自动化生产工艺来降低制造成本，并通过质量控制和长期可靠性测试来保证产品的性能和寿命。
总之，车灯线光源的优化设计涉及到多个方面，包括光照效果、能耗、灵活性、光线散射和抑制、成本和可靠性等。
通过合理的设计和技术手段的应用，可以得到一个较为理想的车灯线光源，并提高行车安全性和驾驶者的舒适性。
§3车灯优化数学模型
§3 车灯线光源的优化设计数学建模问题：安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向前方，其开口半径为36毫米，深度为21.6 毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下，确定光源的长度。
该设计规范在简化后描述为：在焦点F 的正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用于测试车灯的反射光。
在屏上A 点处引出一条与地面平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使得AC=2AB=2.6米。
要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为一个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只需考虑一次反射）。
请解决如下问题：（1）在满足该设计规范的前提下，计算线光源的长度，使得线光源的功率最小 （2）对得到的线光源，在有标尺的坐标系中，划出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性提示：在点P 处的单位能量的点光源经过Q 点反射到C 点的能量密2__________)(4cos QC PQ L +=πβ， 其中角为反射向量与垂直于测试屏所在平面的直线的夹角。
模型假设和简化：（1）假设线光源是透明的，即对反射过来的光没有阻挡；（2）假设只考虑一次反射。
（3）不考虑光源本身对于测试板的直接照射。
（4）设一个单位功率的点光源对B 、C 两点的照射强度为, 总照射强度为 )()l h c 和(l h B )()(l wh l wh c B 和 模型的建立：由题意分析 ，所建立的模型应当为优化模型。
故需要建立目标变量的表达式。
目标为光线的照射强度，它应当由线光源上每个点光源发出的光线经反射后，到达B 、C 两点的强度的迭加。
因此首先要计算线光源上任意一单位能量源光源发出的光线到达B 、C 两点的照射强度。
为了利用有关数值，统一表达各种数量关系，需要建立空间直角坐标系。
如图所示。
一 有关数据的计算：（1）有关数据：在建立的坐标系中，车灯反射面的方程为：6022y x z +=，焦点的坐标为(0,0,15); 点C 的坐标为（0,2600,25015）(2) 任取线光源上的一点p(0,w,15),首先应求出反射点的坐标。
车灯线光源的优化设计模型
把测试屏上的 Ｂ （ ｃ 或 ）点与抛 物面上 的 各个离散点直接相连 。得 到直线 方程 ，与线光 源线段去交 ，（ 方法 同上）
若有交点，则认为线光源上有一份光线对
Ｂ（ ｃ 或 ）点的光强有贡献。 若无 ， 检测抛物面上的下一点 ，重复上述 步骤．直到遍历完抛物线上所有点。（ 记录个数
率Ｐ 恒定 ，电阻 Ｒ＝ ｌ ｐ Ｓ也恒 定。在此不考 虑 ／
热效 应 。
（ 假设 ４ 由 Ｐ＝ Ｒ ） Ｕ ／ ，推出 Ｐ＝ （ ｌ Ｕ／ ｐ ， ／ Ｓ ）即 ：Ｐ １＝Ｕ Ｓ ｐ由上 １ ，３ ／ ，２ ，可 设 Ｕ Ｓ ｐ ２／ 为常量 Ｃ ，即：Ｐ Ｉ＝Ｃ 。故要 使功 率尽 可能 的 小 ，线光源得尽可能 的大 ，且 要满足在测试屏 上 Ｂ和 Ｃ点的光强 比要求 。
由计算原理 中的公式 （ ） １ ，可求 出反射光 的测 试屏 相 交 ，可 得 交 点 坐 标 。 同 时 ，用 双 重 线 ，该反射光线方程与线光源所在的直线去交。 取值范 围就是 线光源 的长度．若有 交 循环 ，遍历线光源上和抛 物面上的所有点 ，记 并且 ，Ｙ
该抛物面上点的法向量。由反射光线与 ２ 米处 ５ 或 ）处 的光强有贡献 。 录测试屏上通过 Ｂ ，ｃ点 （ 在误差 范围 内，也 点 ，则认为光线对 Ｂ （ ｃ 遍历抛物面上的所 有离散点 ，记 录下这些对 Ｂ 可以是 Ｂ ，ｃ附近的点）处光线的数量 Ｎ 。 或 记 第二步计算直射光强度 为使直射光线 与反 （ ｃ）有贡献 的光线 的个 数。 （ 录个数 Ｎ 射光线含相同的光强量 （ 也就是跟反射 的光线 统一单位 ，只有这样才能考虑叠加效果 ） ，只要 把直射的光强也按反射光线 同样的离散 度转化 为光线 ，这样就能统一单位 了。而反射光线 是 根据抛物面 的离散程度来转化 的，所 以直 射光 线也需要经过抛物面来转化 。转化方法如下 ： 把测试屏上的 Ｂ （ ｃ 或 ）点与抛物 面上的 各个离散点相连 ，得直线方程 ，与线 光源线段 去交 ，若有交点 ，则认 为线光源上有一 份光线 对 Ｂ（ ｃ 或 ）点的光强有 贡献。若无 ，检测抛 物面上的下一点 ，重复上述步骤．直到遍历完 抛物线上所有点 （ 记录个数 Ｍ （ 直射 ） 。 ） （ 反射 ） ） （ ）考虑直射效果 ２ 只要把直射的光强也按反 射光线同样 的离 散度转化 为光线 ，这样就能统一单 位了。而反 射光线是根据抛物面的离散程度 来转化 的，所 以直射光线也需要经过抛物面来转化。
车灯线光源的优化设计(第三组)
车前灯线光源的优化设计摘要汽车的车前灯是汽车的重要组成部分，它的照明亮度直接影响司机夜间行车的安全，工业上对车前灯的设计要求很是严格。
题目给出了一汽车前照灯的数据和与照明度相关的要求，我们根据这些要求，运用微积分的思想（更具体的描述。
）建立数学模型，求解出满足光亮条件的线光源的长度。
在求解线光源长度的模型建立中，我们运用微积分的思想建立模型的模型很理想化，但是实际计算起来很困难，于是我们在不是很影响结果的情况下，运用离散化数值积分法对模型进行了优化，把求所有点简化成了求部分重要点，最后降低了计算量，求得了结果。
（注意摘要在整体上的一致性。
第二段是否可去掉，或者在第三段中加入适当内容即可，或者第二段是否可以放到第一段中？）该问题针对车前灯线光源的优化设计提出了两个问题。
首先，针对第一问提出的“在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使得线光源的功率最小”问题，我们基于微积分的思想，建立了数学模型，并用离散化数值积分法对模型进行了优化求解，得到最优线光源长度为5.00mm。
再来第二问要求“针对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区”一问，我们用Matlab软件带入数据画图，很容易的得到了反射屏上的亮区图。
随后第三问要求“讨论该设计规范的合理性”，我们参考计算所得数据和工业设计上对车前灯的规格要求，考虑到灯的边照和直射产生的眩光，对此题目的设计规范进行了合理的评价。
满足条件的车前灯线光源最优长度为5.00mm，从得到的亮区图来看，符合实际生活，证明我们所建立的模型是合理的。
只是建立在微积分思想上的原有模型计算起来很困难，我们不得不对模型进行了优化。
虽然结果较原有模型误差变大啦，但离散化的数值积分方法应用范围很大，改进过的模型更具有实用性。
关键词汽车前照灯；微积分思想；光迹追踪法；线光源；离散化数值积分法一、问题重述1.1问题背景在汽车工业中需要对汽车头部的车灯进行设计和测试。
由于汽车前照灯的照明效果对夜间行车安全影响很大，因而对前照灯的光学性能提出了严格的标准。
车灯线光源的优化设计模型
车灯线光源的优化设计模型一.假设和简化α反射点的切平面β反射向量与z轴的夹角W:线光源的功率其它符号均沿用题目所示二. 模型的建立建立坐标系如下图，记线光源长度为l，功率为W，B,C点的光强度分别为BI和c I，建立整个问题的数学模型。
以下均以毫米为单位，由所给信息不难求出车灯反射面方程为2260zyx+=，焦点坐标为(0,0,15)xI、模型分析位于点(0,,15)Q t的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量设反射点的坐标为22(,,)60x y P x y +。
记入射向量为a，该点反射面外法线方向为b ，可以得到反射向量2,2600,2501560c x y r ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭满足与向量22a b a b b ⋅-共线.记222yx r =+,由2(,,15),60(,,1)3030a x y t x yb r =--=- 从而得22a b a b b⋅-的表达式22224222(1)900(2900)(2)90018003600810000(3)60(900)x y zxytt ty c ry r c rr r c r =+--=++--=+ 由反射向量c 满足与向量22a ba b b⋅-共线,应有 2(4)2600(5)25015(6)60x y z kc xkc ykc r=-=-=-其中k 为常数。
从上述(1)、（4）式可解得0=x 或29002r k ty +=-.由(2)(3)得反射点坐标满足以下两组方程:54320(7)(2600)1800(14982004680000)(9360000810000)135081000021060000000.375013(2600)(8)x y t y y t y t y t t y t x =⎧⎪-+++-++⎨⎪--=⎩⎧=⎪-⎨⎪=⎩计算上面式子可知,存在0 1.56C t ≈-,当0C t t >时方程组（7）不存在满足2236r ≤的实根，即无反射点。
名师推荐A题车灯线光源的最优设计4数学建模
A题车灯线光源的最优设计参赛队员：王之元谷德峰饶彬指导老师：毛紫阳学校：湖南长沙国防科技大学A题车灯线光源的最优设计摘要车灯线光源的设计具有很强的实际应用意义。
该问题属于单目标规划中的非线性规划问题。
本文通过已知条件求出了灯光焦点，以及任一条反射光线的空间解析表达式和对应屏上的坐标位置表达式。
然后建立光子跟踪模型进行求解。
光子跟踪模型的原理是把光线粒子化，及时跟踪光子的运行方向，最后以单位面积打到屏上的光子数来衡量光照度大小，进而反映光强度在屏上的分布规律。
这是一种离散型处理方法，其本质是计算机模拟。
这个模型中基于不同原理又提出了好几种算法：等间距光子跟踪算法，改进的等间距跟踪算法，等效立体角跟踪算法和随机方向跟踪算法。
每一种算法的原理都不一样，层层递增，一步比一步深入，并分别作图进行比较。
另外还结合边界条件讨论了线光源长度的临界值以及B、C两点光强随线光源长度变化的规律。
在进一步讨论中，我们分析了光线直射到屏上时的情况，对二次反射的影响也做了分析，进而证明了问题的合理性。
本文我们得出的结论是：满足功率最小时的灯丝长度为4.337mm，第二问的答案见下图，图的大概形状是一个心形。
关键词：光子跟踪模型计算机模拟一、问题重述与分析：1、问题重述车灯线光源的设计是一个非常实际的问题。
已知车灯的形状为一旋转抛物面，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定使光源功率最小的线光源长度（规范化要求略，见原题）；并对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区和讨论该设计规范的合理性。
2、问题分析显然在线光源单位长度光通量一定的情况时，要使光源功率最小，线光源的长度也应该较小。
但线光源的长度太小了，有可能出现C点的光强度小于额定值；线光源的长度过大，虽然能同时满足B、C两点光强度的要求，但线光源的功率也增大了。
基于数学模型构建的车灯线光源优化设计
关键词 ：线光 源； 微元 法； 优化设计； 教 学模型 Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｌ ｉ ｈｔ ｇ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ； ｍ ｉ ｃ ｒ ｏ — ｅ ｌ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ； ｏ ｐ ｔ ｉ ｍ ａ ｌ ｄ ｅ ｓ ｉ ｎ； ｇ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ 中图分类号 ： Ｇ ４ ０ 文献标 识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ３ ） １ ｉ 一 ０ ２ １ ９ — ０ ３
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｑ ｕ ｅ ｓ ｔ ｉ ｏ ｎ Ａ ｏ ｆ Ｎａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｏ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｏ ｆ ２ ０ ０ ２” Ｈｉ ｇ ｈ ｅ ｒ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｉ ｆ ｏ ｎ ＇ ｓ Ｃ ｕ ｐ ” ， ｔ ｈ ｉ ｓ Ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｍａ ｄ ｅ ｆ ｏ ｌ ｌ ｏ ｗ－ ｕ ｐ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍａ ｌ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｃ ａ ｒ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ． Ｉ ｎ ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ａ ｎ ｃ ｅ ｗｉ 山 ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｆ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ． ｔ ａ ｋ ｉ ｎ ｇ ｍｉ ｎ ｉ ｍｕ ｍ ｐ ｏ ｗｅ ｒ
ｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ｈｅ ｔ Ｃ ｒ ａ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ａ ｓ ｏ ｐ ｔ ｉ ｍｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ ｏ ａ ｌ ， ｈｅ ｔ ｌ ｉ ｎ ｅ ｉ ｌ ｇ ｈ ｔ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｃ ａ ｒ ｌ ｉ ｇ ｈ ｔ ｗ ａ ｓ ｄ ｉ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ａ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｏ ｆ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｌ ｉ ｈｔ ｇ ｓ ｏ ｕ ｒ ｃ ｅ ｓ ，
2002车灯线光源的优化设计1
问题重述：安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。
经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。
要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。
在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。
在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。
要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
（3）讨论该设计规范的合理性。
模型假设：1．抛物面表面绝对光滑且反射系数为12．灯丝发光强度处处相同3．当光源尺寸远小于它到受照面的距离时可视为点光源4．光线在大气中传播时不考虑尘埃等对光线的散射或其它影响5．将灯丝离散的分成许多小段，每一段的能量集中在该段的中心位置，视为点光源6．灯丝发光强度与功率成正比，比例系数为K符号系统：L：灯丝长度；P：抛物线的焦距；：光通量；I ：发光强度； Ω：空间角；模型的建立：首先我们建立如下的坐标系，其中xoy 平面为过旋转轴的水平面，z 轴垂直xoy 竖直向上我们的模型建立在光通转移法原理之上。
光通转移法的原理（如图1所示）是基于照射到一块反射面上的光通量乘以反射系数后，将完全照射到所对应的配光屏上。
详述为： 照射到配光屏上的光通量为：βθαβθαφcos cos *2∆∆=∆∆=Ω=I R R R I I 其中 β——入射线与面元法线的夹角 α∆——入射线与光轴的夹角α的变化量 θ∆——旋转角度θ的变化量 照射到配光屏上产生的照度抛物面坐标系 配光屏坐标系YZ图1βθαρcos SI S E ∆∆=Φ=其中 ρ——反射器的反射系数 S ——配光屏上对应的面积下面我们分单灯丝和双灯丝两种情况来建立模型1．单灯丝模型当入射线与光轴的夹角α与旋转体角度θ发生微小变化（α∆，θ∆）时，配光屏上相应的面积S 求法如下所述：α角和θ角发生微小变化，形成图2所示的微锥体，设微锥体的棱长为R ，则底面矩形的长和宽分别为θα∆∆R R ,，面积为θα∆∆2R 。
车灯线光源设计的数学模型
车灯线光源设计的数学模型
陈旭松;张兴鹤;周金城
【期刊名称】《襄阳职业技术学院学报》
【年(卷),期】2003(002)006
【摘要】从汽车头部车灯内线光源发射的光线出发,计算出直射光线总功率与反射光线总功率之比,以及直射光线与反射光在测试屏上的亮区.运用微积分、物理光学及空间解析几何知识进行计算得到形象、直观的结果,为汽车头灯设计提供了理论依据.本模型的重要结论:直射总功率与反射光总功率之比值为0.69353114;直射光的亮区面积为62549.57029(m2).
【总页数】3页(P15-17)
【作者】陈旭松;张兴鹤;周金城
【作者单位】襄樊职业技术学院,信息技术系,湖北,襄樊,441050;襄樊职业技术学院,信息技术系,湖北,襄樊,441050;襄樊职业技术学院,信息技术系,湖北,襄樊,441050【正文语种】中文
【中图分类】O141.4
【相关文献】
1.车灯线光源的优化设计模型 [J], 罗小称;郁婵娴
2.基于数学模型构建的车灯线光源优化设计 [J], 马廷强
3.车灯线光源优化设计的数学模型和求解 [J], 胡建德
4.车灯线光源设计的数值模拟 [J], 丁根宏;董增川
5.车灯线光源的优化设计 [J], 陈杰东;廖毅强
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摘要: 针对 2002 年全国大学生数学建模竞赛A 题推导了车灯线光源经一次反射至测试点时相应的反射
曲线应满足的方程和计算反射的能量需要的积分上下限的确定方法, 进而计算了测试点上的光照度值并求 得满足设计规范的灯丝长度为 4115mm. 对计算精度作了深入分析, 因而得出计算结果正确的结论.
关键词: 反射; 点光源; 精度; CUM CM
E =
p
E (Q ) d s ∫
L
( 2. 11)
的关系曲线 ( 坐标单位: 米)
上式的积分是沿 L 对弧长的曲线积分, d s 表弧元素. 对于 L 1 由 ( 214) 知积分曲线关于 x = 0 平面对称, 因此积分可以先计算一半, 再对结果乘以 2. 为此, 令 x 0 = 0, 由 ( 214) 可以计算 积分下限 y -0 ( 用 y -0 代表积分曲线的起始端点 ( 0, y -0 , a ( y -0 ) 2 2). 令 z 0 = 010216 则由
的点, Q 点为旋转抛物面上任意点 . 设线光源透明, 由各向同性的点光源 S 连续排列而成, 长度为 h (m ) , 功率为 1, 则 S 点的功率为 1 h. 类似文献[ 1 ] 中基于反射点轨迹分析推导可以 导出 S 经 Q 反射到测试屏上 P 点的能量密度为 1 co sΑ ( 1. 3) E (Q ) = h 4ΠS Q 2 式中 Α表示 Q P 与 z 轴的夹角, 25. 015 - z 0 co s Α= 2 2 2 x 0 + ( y 1 - y 0 ) + ( 25. 015 - z 0 )
1 基本问题
根据题意[ 5 ] 建立如图 1 所示的坐标系, 设车灯的对称轴为 z 轴, 旋转抛物面的顶点位于 坐标原点 O. 由车灯的开口半径 01036 米和深度 010216 米知旋转抛物面由以下方程确定 2 2 2 ( 1. 1) x + y = z
a
式中 a = 100 3, - 01036 Φ x , y Φ 01036, 0 Φ z Φ 010216.
工程数学学报 2003 年第 5 期已刊登数篇车灯优化设计论文, 但对车灯的最优长度未能 得出准确的结果[ 1—3 ]. 作者曾推导了车灯线光源一次反射到测试屏上任意点时对应的反射 曲线应满足的方程和计算反射的能量时需要的积分上下限的确定方法, 并研究了典型测点 的反射曲线的特点[ 4 ]. 本文则针对A 题测试点上的光照度计算给出简洁的计算方法. 通过 对计算精度的严格分析, 显示了本文所给方法是稳定的.
SQ =
2 x 0 + (y 0 2 y ) + (z 0 -
0. 015) 2
于是线光源一次反射光对 P 点的贡献 ( 或称总照度[ 2 ] ) 为
E =
p
∫ E (Q (y ) ) dy
- h 2
h 2
( 1. 4)
上式中被积函数含有反射点 Q 的坐标, 在 Q 的轨迹明确之前积分是无法计算的.
E w Ε 1
C
( 3. 1)
E w Ε 2
B
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4
数 学 的 实 践 与 认 识
35 卷
上式假设了待测的额定光强度 I = 1. 当 I ≠ 1 时在求得最小的 w 后再乘以 I 即可. 现在考虑 E B 或 E C 的积分曲线 L , 先考虑 x 0 ≠ 0 时, 由 ( 2. 3) ( 2. 4) 可算得积分上下限 B+ BC+ Cy 0 = 0. 000845, y 0 = 0. 000346, y 0 = 0. 000423, y 0 = 0. 000173 ( 3. 2) 于是, 对应的 x 0 ≠ 0 的反射点对 B C 点的照度可表达为:
3 ( 2. 7)
或记为
y0 =
25y ay 1 ( y - y 1 )
( 212) ( 215) 就是 S 点经 Q 点对 P 点构成反射的必要条件 . 对于确定的 y 1 , 方程 ( 212) 表达的曲面与方程 ( 111) 的旋转抛物面的交线也就确定了.
此交线包含着 S 点对 P 构成反射的空间曲线, 或者说此交线包含着满足反射条件的旋转抛 物面上 x 0 ≠ 0 的 Q 点的轨迹. 此轨迹的长短或终始位置则取决于线光源的长短, 其间关系 由 ( 215) 或 ( 216) 式确定. ( b ) 当 x 0 = 0 时ห้องสมุดไป่ตู้ 考察方程 ( 111) 与 y oz 平面的交线对 P 点的反射情况 . 此时 ( 111) 变为 2 ( 2. 8) ay = 2z 类似 ( a ) 中的推导可以导出点源 S 反射点 Q 和测试屏上点 P 之间的坐标关系为
第 35 卷第 2 期 2005 年 2 月
数学的实践与认识 M A TH EM A T ICS I N PRA CT ICE AND TH EO R Y
V o l135 N o 12 Feb. , 2005
建 模
车灯线光源优化设计的数学模型和计算精度讨论
胡建德
( 中央民族大学数学与计算机科学学院, 北京 100081)
B 对应反射点数 y C 对应反射点数
0 0
1 1
4 4
2 2 ( 3. 4)
( 0. 006 - 0. 00156) - 0. 00156 ( - 0. 00156 - 0. 00381) [ - 0. 00381 - 0. 006 ]
为了求 ( 313) 的积分, 将方程 ( 212) 与 ( 111) 的交线写为如下的参数方程: ) x 0 = rco sΗ , y 0 = r sin Η+ b, z 0 = b2 a ( 1 + sin Η
由此可知, 当线光源坐标 y < - 0100078 - 0100156 时, B C 点开始受到与 x = 0 平面对 称的两个点的光反射, 对B C 点的反射至 y = - 0100191 - 0100381 为止. 结合2 ( b ) 中 x 0 = 0 的反射点知线光源的坐标与反射点个数之间有如下关系 ( 在 y ( - 01006, 0. 006) 的范 围) : ( 0. 006 - 0. 00078) - 0. 00078 ( - 0. 00078 - 0. 00191) [ - 0. 00191 - 0. 006 ] y
3 0. 5a 3 y 5 0. 5a 3 ( y + y 1 ) y 4 1. 5) y - y 1 ) y 2 0 0 + ay 0 + a ( ( 25. 015a 0
+ ( 2ay y 1 + 0. 015) y 0 - 25. 015y - 0. 015y 1 = 0
[6]
( 2. 9)
以 y 1 , y 为参数, 使用M a t lab 计算可求得 y 0 的 5 个解. 当 y 1 = 113 时, 可算出对应 y Φ - 0100078 的一对实数解 y 0 对应着 B 点的反射点 . 当 y 1 = 216 时对应 y Φ - 0100156 的一 对实数解 y 0 对应着 C 点的反射点. 当线光源长度为 h 时, 可计算出 y = - h 2 对应的一对反 射点 ( 即积分上限) y + 0 从 ( 2 19 ) 可以导出
y = ay 1 y 0 ay 1 y 0 - 25
2
( 2. 5)
( 2. 6)
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2期
胡建德: 车灯线光源优化设计的数学模型和计算精度讨论
y =
3 4 ( 0. 03 + 2ay 2 y 0) 0 + a y 0 ) (y 1 3 4 ( ) - 50. 03 + 4ay 1 y 0 + a 50. 03a - 3 y 2 a y0 0 -
( 2. 10)
图 2 给出了当 y 1 = 113 时用上式计算的线光源坐标 y 与 反射点坐标 y 0 的关系曲线, 曲线的极大点 ( 其绝对值即产生反 射 的线光源半长的极小点 ) 对应着初始反射点 ( 即积分下 限) y B = - 01000404, 因此在计算平面曲线 ( x 0 = 0) 反射 0 贡献时, 以 y -0 为起始点, 可分为沿 y 0 增加和减小的两个方向 分别进行. 在计算 ( 113) 时还须用上式代入 S Q 的表达式. ( c) 记反射线为 L , L 包含 L 1 ( x 0 ≠ 0) 和 L 2 ( x 0 = 0) 部 图 2 x 0 = 0, y 1 = 1. 3 时线光源 分, 则可计算线光源经 L 曲线反射至 P 点的照度. ( 114) 变为 坐标 y ( 纵轴) 与反射点坐标 y 0
或记为 由 ( 212) 和 ( 111) 可以解出
z 0 = ay 1 y 0 -
1 2a
( 2. 3)
y0 = y1 ±
y1 -
2
x0 -
2
1 a2
( 2. 4)
式中的 ± 号取决于计算的 y 0 是否满足定义域. 由 ( 211) 的一、 二项可解得 y 1 ( 1 + 2az 0 ) y = 2a ( ay 1 y 0 - 25) 将 ( 2. 3) 代入 ( 2. 5) 有
图 1 车灯与测试屏坐标关系示意图 ( 坐标单位: 米)
定义图中各点坐标及 Q 点的法矢量 n : F S ( 0, 0 y , 0. 015) , A B C ( 0, 0. 1. 3 2. 6, 25. 015)
收稿日期: 2003208231