2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：阶段质量评估3 Word版含解析
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 2.2 最大值、最小值问题 活页作业14
活页作业(十四) 最大值、最小值问题1．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为，则a 等于( )154A ．－ B ． 3212C ．－ D ．或－121232解析：对y 求导得y ′＝－2x －2.令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减少的，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝，154解得a ＝－或a ＝－(舍去)．1232答案：C2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解析：对y 求导得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．令f ′(x )＝0可得x ＝0或x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0；当0<x ≤1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.答案：C3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( )A ． cmB ． cm331033C ． cmD ． cm16332033解析：设圆锥的高为x cm ，则底面半径为cm ，202－x 2其体积为V ＝πx (202－x 2)(0<x <20)，13V ′＝π(400－3x 2)，令V ′＝0，13解得x 1＝，x 2＝－(舍去)．20332033当0<x <时，V ′>0；2033当<x <20时，V ′<0.2033∴当x ＝时，V 取最大值．2033答案：D4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )13A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9.∴x ∈(0,9)时，y ′>0；x ∈(9，＋∞)时，y ′<0.∴x ＝9时函数取得最大值．答案：C 5．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A ．2 m 3B ．3 m 3C ．4 m 3D ．5 m 3解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝(4.5－3x )m .(0<x <32)∴长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3.(0<x <32)∴V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <时，V ′(x )<0.32∴在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．∴最大体积V max ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．答案：B6．f (x )＝x 3－12x ＋8在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12.由f ′(x )>0，得x >2或x <－2；由f ′(x )<0，得－2<x <2.∴f (x )在[－3，－2]上是增加的，在[－2,2]上是减少的，在[2,3]上是增加的．又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，∴最大值M ＝24，最小值m ＝－8.∴M －m ＝24－(－8)＝32.答案：327．在半径为r 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时，它的面积最大．解析：如右图，设∠OBC ＝θ，则0<θ<，OD ＝r sin θ，BD ＝r cos θ.π2∴S △ABC ＝r cos θ(r ＋r sin θ)＝r 2cos θ＋r 2sin θcos θ.令S ′△ABC ＝－r 2sin θ＋r 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得cos 2θ＝sin θ.又0<θ<，π2∴θ＝.即当θ＝时，△ABC 的面积最大．π6π6∴高为OA ＋OD ＝r ＋＝时面积最大．r23r2答案：3r 28．函数y ＝x ＋2cos x 在区间上的最大值是________．[0，π2]解析：对f (x )求导得f ′(x )＝1－2sin x .由f ′(x )＝0，得x ＝.π6∴在上，f ′(x )＞0，(0，π6)在上，f ′(x )＜0.(π6，π2)∴在x ＝处f (x )取到极大值也是最大值f ＝＋.π6(π6)π63答案：＋π639．已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求f (x )的最小值；(2)若f (x )>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－ln x －x ，f ′(x )＝.(2x ＋1)(x －1)x当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )的最小值为f (1)＝0.(2)由f (x )>x ，得f (x )－x ＝x 2－ln x －(a ＋1)x >0.∵x >0，∴f (x )>x 等价于x －>a ＋1.ln xx 令g (x )＝x －，则g ′(x )＝.ln xx x 2－1＋ln xx 2当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴g (x )有最小值g (1)＝1.∴a ＋1<1，即a 的取值范围是(－∞，0)．10．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10 000 m 2，该中心每块球场的建设面积为1 000 m 2，球场每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来刻(1＋15ln x )画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几块球场？解：设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为＝元．128×1041 000x1 280x ∵每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800来表示，(1＋15ln x )∴每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋＝800＋160ln x ＋(x >0)，1 280x 1 280x ∴g ′(x )＝(x >0)．160(x －8)x 2令g ′(x )＝0，则x ＝8.当0<x <8时，g ′(x )<0；当x >8时，g ′(x )>0.∴当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值．故当建成8块球场时，每平方米的综合费用最省．11．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (t)与每吨产品的价格P (元/t)之间的关系式为P ＝24 200－x 2，且生产x t 的成本为C ＝50 000＋200x (元)，则月产量为多少t 时，15利润达到最大值？( )A ．100B ．160C ．200D ．240解析：根据题意，列出函数关系式，求导求解．每月生产x t 时的利润为f (x )＝x －(50 000＋200x )＝(24 200－15x 2)－x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．15令f ′(x )＝－x 2＋24 000＝0，35解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．∵f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，∴它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．15∴每月生产200 t 产品时利润达到最大，最大利润为315万元．答案：C12．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时用料最省．解析：设方底无盖水箱的底面边长为a ，高为h ，则V ＝a 2h ＝256，即h ＝.256a 2用料最省，即表面积最小，由题意列式如下：S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ＝a 2＋256a 2 1 024aS ′＝2a －.1 024a 2令S ′＝0，即2a －＝0，解得a ＝8.1 024a 2当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0.∴当a ＝8时，S 表取得极小值，也是最小值．∴h ＝＝4.25664答案：413．函数f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3在区间[－2，＋∞)上的最大值为________，最小值为________．解析：∵f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝.32当x >时，f (x )是增加的；32当－2≤x ≤时，f (x )是减少的．32∴在[－2，＋∞)上无最大值．又f ＝－28，(32)34∴最小值为－28.34答案：不存在 －283414．函数f (x )＝，当－6≤x ≤8时的最大值为________，最小值为________．100－x 2解析：f ′(x )＝－，令f ′(x )＝0，得x ＝0.x100－x 2又f (－6)＝8，f (0)＝10，f (8)＝6.∴f (x )min ＝6，f (x )max ＝10.答案：10 615．已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每销售1千件的收入为R (x )万元，且R (x )＝Error!(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数关系式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －－10；x 330当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－－2.7x .1 0003x ∴W ＝Error!(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－＝0，得x ＝9.x 210且x ∈(0,9)时，W ′>0；x ∈(9,10)时，W ′<0.∴当x ＝9时，W 取极大值，也是最大值，且W max ＝8.1×9－×93－10＝38.6；130当x >10时，令W ′＝－2.7＝0，得x ＝.1 0003x 21009当x ∈时，W ′>0；(10，1009)当x ∈时，W ′<0.(1009，＋∞)∴当x ＝时，W 取极大值，也是最大值，1009且W max ＝98－－2.7×＝38.10003×10091003综上可知，x ＝9时，W 有最大值38.6，即年产量为9千件时，该公司所获年利润最大．16．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值；(2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．解：(1)由(1，c )为公共切点，f (x )＝ax 2＋1(a >0)，则f ′(x )＝2ax ，k 1＝2a ，g (x )＝x 3＋bx ，g ′(x )＝3x 2＋b ，k 2＝3＋b .∴2a ＝3＋b .①又f (1)＝a ＋1，g (1)＝1＋b ，∴a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，代入①式可得Error!(2)∵a 2＝4b ，∴设h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 2x ＋1.14∴h ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 2.14令h ′(x )＝0，解得x 1＝－，x 2＝－.a2a6∵a >0，∴－<－.a2a 6∴原函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递(－∞，－a2)(－a 2，－a 6)(－a 6，＋∞)增．①当－1≤－，即a ≤2时，最大值为h (－1)＝a －.a 2a 24②当－<－1<－，即2<a <6时，最大值为h＝1.a2a6(－a2)③当－1≥－，即a ≥6时，最大值为h＝1.a6(－a2)综上所述：当a ∈(0,2]时，最大值为h (－1)＝a －；当a ∈(2，＋∞)时，最大值为ha 24＝1.(－a2)。
2018年数学同步优化指导北师大版选修2-3练习：阶段质量评估3 含解析 精品
阶段质量评估(三) 统计案例A 卷(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B ．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C ．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D ．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度，就意味着这个结论一定是正确的 解析：相关关系是对变量的预报量，也可能是错误的． 答案：C2．对于回归直线方程y ＝bx ＋a ，下列说法不正确的是( ) A ．直线必经过点(x －，y －)B ．x 增加一个单位时，y 平均增加b 个单位C ．样本数据中x ＝0时，可能有y ＝aD ．样本数据中x ＝0时，一定有y ＝a解析：利用回归方程y ＝bx ＋a 预报y 值，不是精确值，故D 不正确． 答案：D3．下列现象的相关程度最高的是( )A ．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B ．流通费用率与商业利润之间的相关系数为－0.94C ．商品销售额与商业利润之间的相关系数为0.51D ．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为－0.81 解析：|r |越接近1，相关程度越高． 答案：B4．根据某班学生数学、外语成绩得到的2×2列联表如下：那么χ2约等于( )A ．10.3B ．8C ．4.25D ．9.3解析：由公式得χ2＝85×(34×19－17×15)251×34×49×36≈4.25．答案：C5．某考察团对全国10大城市的职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)进行统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：当y ＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，7.6759.262×100%≈83%.故选A ． 答案：A6．若线性回归方程中的回归系数b ＝0，则相关系数为( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0D ．无法确定解析：∵b ＝0时，∑i ＝1nx i y i －n x － y －∑i ＝1n x 2i －n x－2＝0⇒∑i ＝1nx i y i －n x －y －＝0，∴r ＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x－2∑i ＝1ny 2i －n y－2＝0．答案：C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．下列说法正确的是________．(填序号) ①回归分析就是研究两个相关事件的独立性； ②回归模型都是确定性的函数； ③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步通常是画散点图或求相关系数r ；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法． 解析：①②③错误，④⑤正确． 答案：④⑤8．下面是关于出生男婴与女婴调查的列联表：那么A ＝________，B ＝________，C ＝________，D ＝________，E ＝________． 解析：∵45＋E ＝98，∴E ＝53． ∵E ＋35＝C ，∴C ＝88． ∵98＋D ＝180，∴D ＝82． ∵A ＋35＝D ，∴A ＝47．∵45＋A ＝B ，∴B ＝92． 答案：47 92 88 82 539．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度下观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下表：已知这两个变量之间具有线性相关性，则由此得到回归直线的斜率是________(保留4个有效数字)．解析：∵x －＝30，y －＝93.6，∑i ＝15x i y i ＝17 035，∑i ＝15x 2i ＝7 900，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x － y －∑i ＝15x 2i －5x－2＝17 035－5×30×93.67 900－5×302≈0.880 9．答案：0.880 9三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．根据以上数据建立一个2×2的列联表． 解：2×2的列联表为11．(本小题满分12分)下面是具有线性相关关系的两个变量的一组数据.求x 与y 两个变量之间的回归直线方程．解：根据表中的数据，可以计算出有关数据，列成下表.所以x －＝18×36＝4.5，y －＝18×204＝25.5．所以b ＝∑i ＝18x i y i －8x － y－∑i ＝18x 2i －8x －2＝1 296－8×4.5×25.5204－8×4.52＝9，a ＝y －－b x －＝25.5－9×4.5＝－15． 所以回归直线方程为y ＝－15＋9x ．12．(本小题满分13分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？解：(1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A －表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A －包含的基本事件数为4． ∴P (A －)＝410＝25．∴P (A )＝1－P (A －)＝35．(2)x －＝12，y －＝27，∑i ＝13x i y i ＝977，∑i ＝13x 2i ＝434，∴b ＝∑i ＝13x i y i －3x －y－∑i ＝13x 2i －3x －2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5，a ＝y －－b x －＝27－2.5×12＝－3． ∴y ＝2.5x －3．(3)由(2)知，当x ＝10时，y ＝22，误差不超过2颗； 当x ＝8时，y ＝17，误差不超过2颗． 故所求得的线性回归方程是可靠的．B 卷(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知x ，y 的取值如表所示：如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋132，那么b 的值为( )A ．－12B ．12C ．－110D ．110解析：将x －＝3，y －＝5代入y ＝bx ＋132中，得b ＝－12.故选A ．答案：A2．两个相关变量满足如下关系：则两变量的回归方程为( ) A ．y ＝0.56x ＋997.4 B ．y ＝0.63x －231.2 C ．y ＝0.56x ＋501.4D ．y ＝60.4x ＋400.7解析：回归直线经过样本中心点(20,1 008.6)，经检验只有选项A 符合题意．故选A ． 答案：A3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：y ＝－0.7x ＋a ，则a 等于( )A ．5B ．5.05C ．5.25D ．6解析：x －＝2.5，y －＝3.5， ∵回归直线过定点(x －，y －)， ∴3.5＝－0.7×2.5＋a ． ∴a ＝5.25． 答案：C4．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8；④对分类变量X 与Y 的随机变量χ2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，不是分层抽样，故①是假命题；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，是真命题；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，则分布密度曲线关于直线x ＝1对称，所以P (0＜ξ＜1)＝P (1＜ξ＜2)，所以P (0＜ξ＜2)＝P (0＜ξ＜1)＋P (1＜ξ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8，③是真命题；④对分类变量X 与Y 的随机变量χ2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小，所以④是假命题．综上，应选C ．答案：C5．在一次男女生是否说谎的调查中，得到如下数据，根据表中数据可知下列结论正确的是( )A ．在此次调查中有B ．在此次调查中有99%的把握认为说谎与性别有关C ．在此次调查中有90%的把握认为说谎与性别有关D ．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关解析：根据表中数据可求得χ2＝30×(6×9－7×8)213×17×14×16≈0.002 4，因为0.002 4＜2.706，所以在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关．故选D ．答案：D6．某工厂为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8组观察值．计算知∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 对x的线性回归方程是( )A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x解析：由已知条件得x －＝6.5，y －＝28.5．由b ＝∑i ＝18x i y i －n x － y－∑i ＝18x 2i －n x －2，a ＝y －－b x －， 计算得b ≈2.62，a ≈11.47， 所以y ＝11.47＋2.62x ． 答案：A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上) 7．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________.解析：由题意可知x －＝14(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14(24＋34＋38＋64)＝40，b ＝－2．又线性回归方程y ＝－2x ＋a 过点(10,40)，故a ＝60． 所以当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68． 答案：688．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为____________________．解析：由y ＝3e 2x ＋1，得ln y ＝ln(3e 2x ＋1)，即ln y ＝ln 3＋2x ＋1．令u ＝ln y ，v ＝x ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2v ． 答案：y ＝1＋ln 3＋2x9．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，并利用2×2列联表计算得χ2≈3.918．对此，四名同学做出了以下的判断：p ：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； q ：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r ：这种血清预防感冒的有效率为95%； s ：这种血清预防感冒的有效率为5%．则下列复合命题中，正确的是________．(填序号)①p ∧¬q ；②¬p ∧q ；③(¬p ∧q )∧(r ∨s )；④(p ∧¬r )∧(¬q ∨s )．解析：因为χ2＞3.841，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；95%仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，故p 真，其余都假．结合复合命题的真假判断可知，①④正确．答案：①④三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(本小题满分10分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？解：设男生人数为x .依题意可得2×2列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2＞3.841， 由χ2＝3x 2×⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x6×x 32x ×x 2×x 2×x ＝38x ＞3.841，解得x ＞10.24．∵x 2，x6为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．11．(本小题满分12分)在某次试验中，有两个试验数据x ，y ，统计的结果如下面的表格1．表格1(1)在给出的坐标系中画出数据(x ，y )的散点图．(2)补全表格2． 表格2根据表格2的内容和公式b ＝∑i ＝1nxi y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x－2，a ＝y －－b x －：①求出y 对x 的回归直线方程y ＝a ＋bx 中回归系数a ，b ； ②估计当x 为10时y 的值是多少． 解：(1)数据(x ，y )的散点图如图所示．(2)表格如下：①计算得x －＝3，y －＝3.6，b ＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝61－5×3×3.655－5×32＝0.7，a ＝y －－b x －＝3.6－0.7×3＝1.5． ②y ＝a ＋bx ＝1.5＋0.7x ， 当x 为10时，y ＝8.5．12．(本小题满分13分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i ．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α＝v －βu ．解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由d ＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ＝y －d w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ． 因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x ． (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值为100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值为576.6×0.2－49＝66.32． ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值为 0．2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12． 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，预报值最大．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：阶段质量评估2
阶段质量评估(二) 变化率与导数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若lim Δx →f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A ．32B ．23C ．1D ．－1解析：原等式即－lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－f ′(x 0)，也就是f ′(x 0)＝－1.答案：D2．若对于任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝3，则此函数的解析式为( ) A ．f (x )＝x 4－1 B ． f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：∵f ′(x )＝4x 3，∴f (x )＝x 4＋k . 又f (1)＝3，∴k ＝2.∴f (x )＝x 4＋2. 答案：D3．f (x )＝3－x ，则f ′(0)＝( )A ．1B ．log 3eC ．ln 3D ．－ln 3解析：∵f ′(x )＝(3－x )′＝3－x ln 3·(－x )′＝－3－x ln 3， ∴f ′(0)＝－30ln 3＝－ln 3. 答案：D4．函数f (x )＝e x cos x 的图像在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．π4C ．1D ．π2解析：∵f ′(x )＝(e x cos x )′ ＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′ ＝e x cos x －e x sin x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1. ∴倾斜角为π4.答案：B5．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 上点(1,2)处的切线与其平行线bx ＋y ＋c ＝0间的距离为( ) A ．24B ．22C ．322D ． 2解析：由抛物线过点(1,2)，得b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，即2＋b ＝－b ，∴b ＝－1. ∴c ＝2.∴所求切线方程为x －y ＋1＝0.∴两平行直线x －y －2＝0和x －y ＋1＝0之间的距离为d ＝|－2－1|12＋12＝32＝322.答案：C6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( ) A ．23B ．2ln 3C ．23ln 3D ．25ln 3解析：f ′(x )＝[log 3(2x －1)]′＝(2x －1)′(2x －1)ln 3＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3.答案：D7．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：∵y ′＝12x ，∴在点Q 处的切线斜率k ＝12×2＝1.∴切线方程为y －1＝x －2，即x－y －1＝0.答案：A8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图像在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离解析：切线方程为x －y ＋1＝0，圆心到直线的距离为12＝22＜22，所以直线与圆相交但不过圆心．答案：C9．曲线y ＝e －x －e x 的切线的斜率的最大值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4解析：y ′＝k ＝－e －x －e x ＝－(e －x ＋e x )＝－⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ≤－21e x·e x ＝－2， 当且仅当1e x ＝e x ，即x ＝0时，等号成立．答案：C10．下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )A ．－13B ．13C ．73D ．－13或73解析：∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1. ∴函数f ′(x )的图像开口向上． ∵a ≠0，∴其图像为第③个图． 由图像特征可知f ′(0)＝0，且－a ＞0， ∴a ＝－1.∴f (x )＝13x 3－x 2＋1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：A11．(2015·重庆七校联考卷)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2 解析：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导得，f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8. 令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2. 答案：A12．已知函数f (x )＝x 2的图像在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A ．⎝⎛⎭⎫－32，3 B ．(0，－4)C ．(2,3)D ．⎝⎛⎭⎫1，－14 解析：由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2.又切线互相垂直，∴k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x －x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[ 2x －(x 1＋x 2)]＝0， ∵x 1≠x 2，∴x ＝x 1＋x 22.代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知曲线y 1＝2－1x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0的值为__________．解析：由题知y 1′＝1x 2，y 2′＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1x 20，3x 20－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20＝3，所以x 0＝1.答案：114．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：设f (x )＝a (x －m )2(a ≠0)， 则f ′(x )＝2a (x －m )＝2ax －2am ＝2x ＋2. ∴a ＝1，m ＝－1.∴f (x )＝(x ＋1)2＝x 2＋2x ＋1. 答案：f (x )＝x 2＋2x ＋1 15．函数f (x )＝mx 2m＋n的导数为f ′(x )＝4x 3，则m ＋n ＝________.解析：∵f ′(x )＝m (2m ＋n )x 2m ＋n －1＝4x 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (2m ＋n )＝4，2m ＋n －1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.∴m ＋n ＝3. 答案：316．(2015·陕西高考卷)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k ＝y ′＝e x |x ＝0＝1；由y ＝1x ，可得y ′＝－1x 2.因为曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线与曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线垂直，故－1x 2P＝－1，解得x P ＝1.由y ＝1x，得y P ＝1，故所求点P 的坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，且点P 处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．解：∵k ＝tan α＝y ′＝3x 2－3≥－3， ∴tan α≥－ 3.又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π 18．(12分)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x .解：f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′ ＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋ (cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x － (cx ＋d )sin x＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x ＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x .∴a ＝d ＝1，b ＝c ＝0. 19．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．若函数f (x )的图像在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝x －ax(x ＞0)，f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，斜率为1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln 2＝2＋b ，2－a 2＝1.解得a ＝2，b ＝－2ln 2.20．(12分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12.①f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74.②由①②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，故切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，故切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为 12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.21．(12分)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图像为曲线C ．(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1.即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．22．(12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R )，若x ∈[0,1]，f (x )图像上任意一点处切线的斜率为k ，当|k |≤1时，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ， ∴k ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由|k |≤1知|－3x 2＋2ax |≤1(0≤x ≤1)，即⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎫x －a 32＋a23≤1在x ∈[0,1]上恒成立．又f ′(0)＝0， ∴①当a3＜0，即a ＜0时，－3＋2a ≥－1，即a ≥1.故无解；②当0≤a3≤1，即0≤a ≤3时，⎩⎪⎨⎪⎧a 23≤1，－3＋2a ≥－1，解得1≤a ≤3； ③当a3＞1，即a ＞3时，－3＋2a ≤1得a ≤2，此时无解．综上知1≤a ≤ 3.∴a 的取值范围为[1， 3 ]．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.2 导数在实际问题中的应用 活页作业12
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
解析：∵y＝x－ln(1＋x2)，
2x x－12 ∴y′＝1－1＋x2＝ 1＋x2 ≥0.故函数无极值．
答案：D 4．设 a∈R，若函数 y＝eax＋3x，x∈R 有大于零的极值点，则( )
A．a>－3
B．a<－3
1 C．a>－3
1 D．a<－3
B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) 解析：∵y＝2x3＋ax2＋36x－24，
D．(－∞，3)
∴y′＝6x2＋2ax＋36. ∵函数在 x＝2 处有极值，
∴当 x＝2 时，y′＝0，
∴6×22＋2a×2＋36＝0.
∴a＝－15.∴y＝2x3－15x2＋36x－24，
y′＝6x2－30x＋36. 令 y′＝0，得 6x2－30x＋36＝0，
f′(x)＝3ax2＋2bx，
∴Error!∴Error!
解得 a＝－6，b＝9.
(2)f′(x)＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)． 当 f′(x)＝0 时，x＝0 或 x＝1； 当 f′(x)>0 时，0<x<1； 当 f′(x)<0 时，x<0 或 x>1. ∴函数 f(x)＝－6x3＋9x2 的极小值为 f(0)＝0.
活页作业(十二) 函数的极值
1．函数 f(x)的定义域为 R，导函数 y＝f′(x)的图像如下图所示，则函数 f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
解析：设 f′(x)的图像与 x 轴的交点坐标从左往右依次为(x1,0)，(x2,0)，(x3,0)，(x4,0)， 则
2018年数学同步优化指导选修2-3练习：阶段质量评估三
阶段质量评估(三) 统计案例(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是( )A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①③④解析：曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．答案：D2．(2015·高考湖北卷)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关解析：由y ＝－0.1x ＋1，知x 与y 负相关，即y 随x 的增大而减小，又y 与z 正相关，所以z 随y 的增大而增大，减小而减小，所以z 随x 的增大而减小，x 与z 负相关，故选C ．答案：C3．已知线性回归方程y ^＝1＋b ^x ，若x －＝2，y －＝9，则b ^＝( ) A ．－4 B ．4 C ．18D ．0解析：由线性回归方程y ^＝1＋b ^x ，得a ^＝1，把(x －，y －)代入公式a ^＝y －－b ^x －，得b ^＝4.故选B.答案：B4．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )A ．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B ．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C ．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D ．以上说法都不对解析：在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A 错，在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B 错．答案：C5．在线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 中，下列说法正确的是( ) A ．y ＝bx ＋a ＋e 是一次函数B ．因变量y 是由自变量x 唯一确定的C ．因变量y 除了受自变量x 的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e 的产生D ．随机误差e 是由于计算不准确造成的，可以通过精确计算避免随机误差e 的产生 解析：线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，反映了变量x ，y 间的一种线性关系，预报变量y 除受解释变量x 影响外，还受其他因素的影响，用e 来表示，故C 正确．答案：C6．下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y ( ) A ．y ＝x ＋6 B ．y ＝x ＋42 C ．y ＝－2x ＋60D ．y ＝－3x ＋78解析：由表格可知，气温与杯数呈负相关关系．把x ＝4代入y ＝－2x ＋60得y ＝52，e ^＝52－51＝1.把x ＝4代入y ＝－3x ＋78得y ＝66，e ^＝66－51＝15.故应选C ．答案：C7．下面是一个2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为A ．54,103 B ．64,103 C ．54,93D ．64,93 解析：由题意，得a ＋40＝94,40＋63＝b ，∴a ＝54，b ＝103. 答案：A8．某产品在某零售摊位的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为( )A ．51个 C ．49个D ．48个解析：由题意知x －＝17.5，y －＝39，代入回归直线方程得a ＝109,109－15×4＝49，故选C ．答案：C9．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2等于( )A ．0B ．1C ．0＜R 2＜1D ．1.5解析：由于e i 恒为0，即解释变量对预报变量的贡献率为100%，此时两变量间的相关指数R 2＝1.答案：B10．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：由数据统计表可得x －＝3.5，y －＝42，据回归直线的性质得点(3.5,42)在回归直线上，代入方程y ^＝9.4x ＋a ^可得a ^＝9.1，故回归直线方程为y ^＝9.4x ＋9.1，因此当x ＝6时，估计销售额y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5万元．答案：B11．两个分类变量X 和Y ，值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35，若判断变量X 和Y 有关出错概率不超过25%，则c 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：列2×2列联表如下：由K 2的观测值k ＝66×[10(35－c )－21c ]31×35×(10＋c )(56－c )≥5.024.故选项A 、B 、C 、D 代入验证可知选A ．答案：A12．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(x －，y －)解析：由于线性回归方程可设为y ^＝a ^＋b ^x ，而系数a ^的计算公式为a ^＝y －－b ^x －，故应选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．下表是关于男女生喜欢武打剧的调查表：则列联表中A ＝＝________.解析：A ＝105－39＝66，B ＝100－39＝61，C ＝66＋34＝100，D ＝105＋95＝200. 答案：66 61 100 20014．已知变量x ，y 具有线性相关关系，测量(x ，y )的一组数据如下：(0,1)，(1,2)，(2,4)，(3,5)，其回归方程为y ＝1.4x ＋a ，则a 的值是________．解析：本题考查回归方程及样本点的中心x －＝0＋1＋2＋34＝1.5，y －＝1＋2＋4＋54＝3，所以这组数据的样本点的中心是(1.5,3)．代入回归方程y ＝1.4x ＋a ，得3＝1.4×1.5＋a ，解得a ＝0.9.答案：0.915．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05据表中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________．解析：k ≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05. 答案：0.0516．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系.小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析：平均命中率y －＝15×(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而x －＝3，∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，∑i ＝15(x i －x －)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b ^＝0.01，a ^＝y －－b ^x －＝0.47，∴y ^＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ^＝0.53. 答案：0.5 0.53三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查．得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表表(1)(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？附：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a＋c )(b ＋d )解：(1)男女上网时间在[50,60)间的人数为30＋40＝70，由频率知70200＝720为其概率．(2)K 2＝200×(1 800－2 800)100×100×130×70＝20091≈2.20，∵K 2≈2.20＜2.706.∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”．18．(本小题满分12分)夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子中的发芽数，得到如下资料：2组数据用于回归方程检验．(1)若选取12月1日和12月5日这两日的数据进行检验，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试问(1)中所得到的线性回归方程是否可靠？若可靠，请预测温差为14℃时的发芽数．解：(1)由数据，求得x －＝12，y －＝27. 由公式，求得b ＝52， a ＝y －－b x －＝－3，所以y 关于a 的线性回归方程为y ＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ＝52×10－3＝22，|22－23|＜2；当x ＝8时，y ＝52×8－3＝17，|17－16|＜2，因此得到的线性回归方程是可靠的． 当x ＝14时，有y ＝52×14－3＝35－3＝32，所以预测温差为14 ℃时的发芽数约为32颗．19．(本小题满分12分) 某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表1所示表1(1)加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)运用独立检验的思想方法分析：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由.K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(c ＋d )解：(1)随机从该班抽查1名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是2250＝1125；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是2050＝25.(2)因为K 2的观测值k ＝50(17×20－5×8)225×25×22×28≈11.688,11.688>10.828，所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动的情况有关系．20．(本小题满分12分)(2015·高考重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长，设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －∑i ＝1n t 2i －n t－2，a ^＝y －－b ^t －.解：(1)列表计算如下：这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝365＝7.2.又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t －2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．21．(本小题满分12分)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3解：K 2的观测值k ＝200×(70×65－35×30)100×100×105×95≈24.56，由于k ＞10.828，所以在犯错误概率不超过0.001的前提下，可以认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．22．(本小题满分12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如下表：(1) (2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时的速度为多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：(1)散点图如图表示：(2)由图象，设函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将(0,0)，(10,0.3)(20,1.0)代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，100a ＋10b ＋c ＝0.3，400a ＋20b ＋c ＝1.0，解得a ＝0.002，b ＝0.01，c ＝0. 所以，函数的表达式为 y ＝0.002x 2＋0.01x (0≤x ≤140)．经检验，表中其他各值也符合此表达式． (3)当y ＝46.5时，即0.002x 2＋0.01x ＝46.5， 所以x 2＋5x －23250＝0.解得x 1＝150，x 2＝－155(舍去)．故可推测刹车时的速度为150 km/h ，而150>140， 因此发生事故时，汽车属于超速行驶．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义 活页作业6
活页作业(六) 导数的概念及其几何意义1．已知函数f (x )＝x ，则f ′(1)＝( ) A ．14B ．12C ．－12D ．－14解析：Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1，当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于12，所以f ′(1)＝12.答案：B2．设曲线y ＝x 2＋x －2在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(1,0) C ．(0,0)D ．(1,1)解析：设M (x 0，y 0)，则k ＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )－2－(x 20＋x 0－2)Δx ＝2x 0＋1＝3. ∴x 0＝1.∴y 0＝0. ∴M 点的坐标为(1,0)． 答案：B3．做直线运动的一物体，其位移s 与时间t 的关系式为s ＝3t －t 2，t ∈[0，＋∞)，则其初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t 解析：该物体在t ＝0时的瞬时速度v ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2－0Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3－0＝3.答案：B4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 的值是( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1解析：由题意得2＝lim Δx →a (1＋Δx )2－aΔx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，∴a ＝1. 答案：A5．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线倾斜角是π4，则f ′(x 0)＝( )A ．π4B ．－π4C ．－1D ．1解析：由题意知f ′(x 0)＝tan π4＝1.答案：D6．曲线f (x )＝x 2在曲线上某点的切线的倾斜角为3π4，则此点的坐标是________．解析：设所求点的坐标为(x 0，x 20)，由题意得 f ′(x 0)＝－1.利用导数的定义求得f ′(x 0)＝2x 0， 故2x 0＝－1，x 0＝－12.故所求点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，14. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，14 7．已知函数f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是2x －3y ＋1＝0，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：f ′(1)＝23，f (1)＝1，则f (1)＋f ′(1)＝53.答案：538．已知函数y ＝x 3－1，当x ＝2时，lim Δx →ΔyΔx等于__________________． 解析：Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－1－(x 30－1)Δx＝3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2，∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0·Δx ＋(Δx )2]＝3x 20. ∴f ′(x 0)＝3x 20. ∴f ′(2)＝3×22＝12. 答案：129．求函数y ＝f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 10．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 因为f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(1＋Δx )3－1Δx ＝lim Δx →[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3， 所以过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)＋1，y ＝x 3⇒(x －1)2(x ＋2)＝0， ∴x 1＝1，x 2＝－2.所以公共点为(1,1)和(－2，－8)，说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的点．11．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)ΔxB ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0－Δx )＋f (x 0)ΔxC ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )＋f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx解析：由导数的定义可知， f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx，故排除A ，B ，C ． 在D 中，f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝lim Δx →f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx.答案：D12．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P ⎝⎛⎭⎫1，－32，则过点P 的切线的倾斜角为________． 解析：令f (x )＝12x 2－2，Δy ＝12(1＋Δx )2－2－⎝⎛⎭⎫12×12－2＝12Δx 2＋Δx ， Δy Δx ＝12Δx 2＋Δx Δx ＝12Δx ＋1， ∴lim Δx →Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫12Δx ＋1＝1. ∴f ′(1)＝1.∴过点P ⎝⎛⎭⎫1，－32的切线的斜率为1，切线的倾斜角为45°. 答案：45°13．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则点P 的坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则f ′(x 0)＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4.又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16.∴x 0＝3.∴P (3,30)． 答案：(3,30)14．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a ＜0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．解：∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于3x 20＋2ax 0－9.即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9， ∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a23.当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)有最小值－9－a23.∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a ＜0，∴a ＝－3. 15．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程，所求切线与曲线是否还有其他公共点？若有，请求出其坐标；若没有，试说明理由．解：(1)由导数的定义求得函数f (x )＝13x 3＋43在x ＝2处的导数为f ′(2)＝4.由导数的几何意义，点P (2,4)处的切线的斜率为4， 故所求的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，利用导数的定义和几何意义，切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝x 20，切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)． ∵点P (2,4)在切线上， ∴4－⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)， 解得x 0＝2或x 0＝－1.∴所求的切线方程为：4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －4＝0，y ＝13x 3＋43，消去y 并整理，得x 3－12x ＋16＝0，即x 3－4x －8x ＋16＝0， ∴(x －2)(x 2＋2x －8)＝0， 即 (x －2)2(x ＋4)＝0. ∴x ＝2或x ＝－4.∴切线4x －y －4＝0与曲线y ＝13x 3＋43除有公共点(切点)P (2,4)外，还有一个公共点为(－4，－20)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，y ＝13x 3＋43，消去y 并整理得x 3－3x －2＝0， 即x 3－x －2x －2＝0，即x (x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0， ∴(x ＋1)2(x －2)＝0.∴x ＝－1或x ＝2.∴切线x －y ＋2＝0与曲线y ＝13x 3＋43，除有公共点(交点)P (2,4)外，还有一个公共点即切点(－1,1)．16．(2017·山东卷)已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2.当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程．解：当a ＝2时，f (x )＝13x 3－x 2，f (3)＝0，∴Δy Δx ＝13(3＋Δx )3－(3＋Δx )2－13×33＋32Δx ＝13Δx 2＋2Δx ＋3.当Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于3.∴f ′(3)＝3.∴曲线y ＝f (x )在(3，f (3))处的切线方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.。
2018年北师大版高中数学选修2-2同步优化指导模块综合测评.docx
北师大版 2018 年高中数学选修 2-2 同步优化指导练习含答案模块综合测评( ： 120 分分： 150 分)一、 (本 共 12 小 ，每小5 分，共 60 分 )1． 复数 z ＝ 1＋2－)(其中 i 虚数 位 )， z 2＋ 3 z 的虚部 (iA ． 2iB ． 0C ．－ 10D ． 2解析：∵ z ＝ 1＋ 2 ＝1－ 2 2 ＝－ － 2－ i 2i ，∴ z ＝ (1－ 2i) 3－ 4i ， z ＝1＋ 2i.∴ z ＋ 3 z ＝－ 3－ 4i ＋ 3(1＋2i) ＝ 2i.∴虚部 2.答案： D2． 察一列数的特点： 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，⋯， 第 100 是 ()A ． 10B ． 13C ．14D ． 100解析： ∵ 1＋ 13 × 13＝ 91，2∴从第 92 开始 14，共有 14 ．∴第 10014.答案： C1－i2 014＋ 2i 的共 复数－－＝ ()3．已知 i 是虚数 位，且 z ＝ 1＋ i z ， z ·z A ． 5 B ． 1 C ． 5D ． 9解析： z ＝ 1－ i 2 0142i ＝ (－ i) 2 014－＝( －1＋ 2i)( － 1－ 2i) ＝5.1＋ i＋＋ 2i ＝－ 1＋ 2i ，故 z ·z答案： A4．数列 { a n } 中， a 1＝ 1，当 n ≥ 2， a n ＝ a n － 1＋ 2n － 1，依次 算 a 2 ，a 3， a 4 后，猜想a n 的表达式是 ()A ． 3n － 2B ． n 2 n －1D ． 4n －3C ．3解析： 算出 a 2＝ 4， a 3＝ 9， a 4＝16，猜想 a n ＝n 2.答案： B5． 确保信息安全，信息需加密 ， 送方由明文→密文(加密 )，接受方由密文→明文 (解密 )，已知加密 ：明文a ，b ，c ，d 密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋ 3d,4d ，例如，明文 1,2,3,4 密文 5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28 ，解密得到的明文()A ． 4,6,1,7B ． 7,6,1,4C ．6,4,1,7D ． 1,6,4,7a ＋ 2b ＝ 14，a ＝ 6，2b ＋ c ＝ 9， 得b ＝ 4，解析： 由故选 C ．2c ＋ 3d ＝23， c ＝ 1，4d ＝ 28，d ＝ 7.答案： C6． (2017 北·京卷 )若复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 1)B ． (－∞，－ 1)C ．(1，＋∞ )D ． (－ 1，＋∞ )解析： (1－i)( a ＋ i) ＝ a ＋ i － ai － i 2＝ a ＋ 1＋ (1－a)i. 由复数 (1－i)( a ＋ i) 在复平面内对应的点在第二象限，a ＋ 1＜ 0，得解得 a ＜－ 1.1－ a ＞ 0.答案： Bπ7π7．由直线 x ＝－ 6， x ＝ 6 ，y ＝ 0 与曲线 y ＝ sin x 所围成的封闭图形的面积为()A ． 2－ 3B ． 4－ 3C ．2＋ 3D ． 4＋ 3解析： 如下图，封闭图形的面积为πS ＝－sinxdx ＋ 0 sinxdx －sinxdxπ＝－ 2sinxdx ＋ 0 sinxdx＝－ 2( －cosx)＋ (－ cosx)|0π＝ 2 cos 0－ cos － π－ (cos π－ cos 0)6 3－ (－ 1－1)＝ 4－ 3.答案： B8．已知α，β是三次函数f(x)＝1312＋ 2bx(a，b∈R )的两个极值点，且α∈ (0,1)，β3x＋ ax2∈(1,2) ，则b－3的取值范围是 () a－ 2A ．－∞，2B．2，1 55C．(1，＋∞ )D．－∞，2∪ (1，＋∞ ) 5解析：因为函数有两个极值，所以f′ (x)＝0有两个不同的根，即>0又.f′ (x)＝ x2＋f′ 0 >0，2b>0，b－ 3的几何意义是动ax＋ 2b，α∈ (0,1)，β∈ (1， 2)，所以f′ 1 <0，即1＋ a＋2b<0，f′ 2 >0，4＋ 2a＋ 2b>0.a－ 2点 P(a，b)到定点 A(2,3)两点连线的斜率．作出可行域如图，由图像可知当直线经过AB 时斜率最小，此时斜率为 k＝1－3＝2；当直线经过AD 时斜率最大，此时斜率为k＝0－ 3＝－ 3－ 2 5－1－22 b－ 31.故5<a－2<1.答案： B9．定义在R上的函数y＝ f(x)满足 f(4 －x)＝f(x)，(x－ 2)f′ (x)<0 ，若 x1<x2，且 x1＋ x2>4，则()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)＝ f(x2)D． f(x1)与 f(x2)的大小不确定解析：由 f(4－ x)＝ f( x)，得函数 f(x)的图像关于直线x＝ 2 对称．由 (x－2)f′ (x)<0，得函数f(x)在 (－∞，2)上是增加的，在 (2，＋∞) 上是减少的．故当 x2>x1>2 时，f(x1)>f( x2)；当 x2>2> x1时，由 x1＋ x2>4，得 x2>4－ x1>2.故 f(4－ x1)＝ f(x1)>f(x2)．综上， f(x1)>f(x2)．答案： B范围是 ()1A ． a ≤ 0B ． a ≥－ 8 1C ．a<－ 8D ． a ≥ 0解析： 由题意，得1f ′ (x)＝2ax ＋(x>0) ，且直线 x ＋ y ＋m ＝ 0(m ∈ R )的斜率为－ 1.x由对任意实数 m 直线 x ＋ y ＋ m ＝ 0 都不是曲线 y ＝f(x)的切线，得曲线 y ＝ f(x)的切线的斜1率不可能为－ 1，即 2ax ＋ ＝－ 1 无正实数根．1 1分离 a ，得 a ＝－ 2x 2 － 2x ①，也就是当 x>0 时，①不能成立． 令 y ＝－ 11 1 1＋ 1 2 12x 2－ 2x ＝－ 2 x 2 ＋ 8 ，设 t ＝1x ，由 x>0，得 t>0.则 y ＝－ 1 t ＋ 1 2＋ 1<0.228 故 a ≥0.答案： D11．如果函数 f(x)＝a x (a x － 3a 2－1)( a>0 且 a ≠ 1)在区间 [0，＋∞ )上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ()23， 1A ． 0， 3B ．3 C ．(1， 3]3，＋∞D ． 2 解析： 由已知得 f ′ (x)＝ 2a 2x ln a － (3a 2＋ 1)a x ·ln a ＝ a x ln a(2a x － 3a 2－ 1)≥ 0. ①当 a>1 时， ln a>0 ，a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1≥0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时，a x ≥ 1，故只需 2－ 3a 2－ 1≥0，∴ 3a 2≤ 1.∴ a2≤ 13与 a>1 矛盾．②当 0<a<1 时， ln a<0， a x >0，∴ 2a x － 3a 2－ 1<0 恒成立．当 x ∈ [0，＋ ∞ )时， a x ≤ 1，223故只需 2－ 3a － 1≤0，∴ 3a ≥ 1.∴ ≤ a<1.12．已知 f(x)在点 x 处可导，那么 limf x ＋x －f x － x ＝ ()x →x A ． 0B ． f ′ (x)1C ．2f ′ (x)D ． 2f ′ (x)解析： lim f x ＋ x － f x － xx →0 x＝lim f x ＋ x －f x ＋ lim f x － f x － xx →xx →x＝ f ′ (x)＋ limf x － x － f xx →－ x＝ f ′ (x)＋ f ′( x)＝ 2f ′ (x)．答案： D二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 )13．设 P 是△ ABC 内一点，△ ABC 三边上的高分别为h A ，h B ，h C ， P 到三边的距离依l al bl c次为 l a ，l b ，l c ，则有 h A ＋ h B ＋ h C ＝ ________；类比到空间，设 P 是四面体 ABCD 内一点，四 顶点到对面的距离分别是 h A ， h B ， h C ， h D ， P 到这四个面的距离依次是l a ， l b ， l c ， l d ，则有____________．解析： 用等面积法可得 l a ＋ l b ＋ l c ＝1.h A h B h C 类比到空间有 l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d＝ 1.h A h B h C h D答案： 1l a ＋ l b ＋ l c ＋ l d ＝ 1h A h B h C h D2在 x ＝ 1 处的切线方程为 14．曲线 y ＝ 2ln x ＋ x － 2x解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝－ 1.又 y ′＝ 2＋ 2x －2，于是 x__________ ．k ＝ y ′ |x ＝ 1＝ 2.故切线方程为 y ＋ 1＝2(x － 1)，即 2x － y －3＝ 0.答案： 2x － y － 3＝015．已知二次函数 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c 的导数为 f ′ (x)， f ′ (0)>0 ，且 f(x)的值域为 [0，＋∞ ) ，则 f 1的最小值为 ________． f ′解析： ∵ f ′(x)＝2ax ＋ b ，∴ f ′ (0) ＝ b>0.又函数 f(x)的值域为 [0，＋ ∞ )，∴ a>0 ，且 ＝ b 2－ 4ac ＝ 0，即 4ac ＝ b 2.∴ c>0.∵ f(1) ＝ a＋ b＋ c，∴f 1＝a＋ b＋ c＝1＋ a＋ c≥1＋ 2ac＝ 1＋4ac＝ 1＋1＝ 2，当且仅f′ 0b b b4ac当 a＝ c 时等号成立．∴ f 1的最小值为 2.f′ 0答案： 216．定义两个实数间的一种新运算“ *：”x* y＝ lg(10 x＋ 10y)， x， y∈R .对任意实数 a， b，c，给出下列结论：① (a*b)* c＝a*( b* c)；② a* b＝ b*a ；③ (a* b) ＋ c＝( a＋ c)*( b＋ c)．其中正确的是 ________(填序号 )．解析：∵ a* b＝lg(10 a＋ 10b)，∴(a* b)* c＝lg(10lg(10 a＋ 10b)＋ 10c)＝lg(10 a＋ 10b＋ 10c)．同理 a*( b* c)＝ lg(10 a＋ 10b＋10c)．∴a*( b*c)＝( a* b)* c.故①正确．同理可验证②正确．∵a* b＝ lg(10 a＋ 10b)，a bb* a＝lg(10 ＋ 10)，∴a* b＝ b* a.又∵ (a＋ c)*( b＋ c)＝ lg(10 a＋c＋ 10b＋c)＝lg[10 c(10a＋ 10b)]＝lg(10 a＋ 10b)＋ c，(a* b)＋ c＝ lg(10 a＋ 10b)＋ c，∴(a* b)＋ c＝(a＋c)*( b＋ c)．故③正确．答案：①②③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)17． (10 分)求证： ac＋ bd≤a2＋b2· c2＋ d2.证明：若 ac＋ bd≤ 0，则不等式显然成立．若 ac＋bd>0 ，要证原不等式成立，22222只要证 (ac＋bd)≤ (a＋b)(c＋ d )，即要证 a2c2＋ 2abcd＋ b2d2≤ a2c2＋ a2d2＋ b2c2＋ b2d2，只要证 (ad－ bc)2≥ 0.此式显然成立，所以原不等式成立．－18．(12 分 )设复数 z 满足 4z＋2 z ＝ 3 3＋ i ，ω＝sin θ－ icos θ(θ∈R)．求 z 的值和 |z－ω| 的取值范围．－解：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，则 z ＝ a－ bi.－代入 4z ＋2 z ＝ 33＋ i ，得 4(a ＋ bi) ＋ 2(a － bi) ＝ 3 3＋ i ，即 6a ＋ 2bi ＝ 3 3＋ i.6a ＝3 3，3，a ＝ 23 ＋1i.∴解得∴ z ＝ 2b ＝1.12 2b ＝ 2.∴ |z － ω|＝3 12＋ i － sin θ－ icos θ2＝3－ sin θ2＋ 12＋ cos θ22＝ 2－ 3sin θ＋ cos θ＝2－2sinθ－ π .6π∵－ 1≤ sin θ－ 6 ≤ 1，π∴ 0≤ 2－ 2sin θ－ 6 ≤ 4.∴ 0≤ |z －ω|≤2.故 |z － w|的取 范 是 [0,2] ．19． (12 分)已知复数 z ＝ (2x ＋ a)＋ (2－x ＋ a)i ， x ， a ∈ R ，当 x 在 (－∞，＋∞ )内 化 ，求 |z|的最小g(a)．解： |z|2＝ (2x ＋a) 2＋ (2 － x＋ a) 2＝ 22x ＋2 － 2x－ x＋ 2a(2x ＋2 )＋ 2a 2.令 t ＝ 2x ＋ 2－ x ， t ≥ 2,22x ＋ 2－2x ＝ t 2－ 2.从而 |z|2＝ t 2＋ 2at ＋ 2a 2－ 2＝ (t ＋ a)2＋ a 2－ 2.当－ a ≥ 2，即 a ≤ － 2 ， g(a)＝a 2－ 2；当－ a<2 ，即 a>－ 2 ，g(a)＝ a ＋ 2 2＋ a 2－ 2＝ 2|a ＋ 1|.20． (12 分)用数学 法 明不等式：2＋ 1× 4＋ 1×⋯× 2n ＋ 124 2n > n ＋ 1.明： ①当 n ＝1 ，左式＝ 3，右式＝2，2左式 >右式，所以不等式成立．②假 n ＝ k(k ≥ 1， k ∈ N ＋ ) 不等式成立，2＋ 1 4＋ 1 2k ＋ 1即2×4×⋯×2k >k ＋ 1，当 n ＝ k ＋ 1 ，2＋ 1×4＋ 1×⋯× 2k ＋ 1× 2k ＋32k ＋ 3 ＝ 2k ＋ 3 .2 42k 2 k ＋1 > k ＋1×2 k ＋ 12 k ＋ 1 要 当 n ＝ k ＋ 1 不等式成立，只需2k ＋3≥k ＋ 2，2 k ＋ 1即2k ＋ 3≥ k ＋1 k ＋ 2 .2由基本不等式 2k ＋ 3＝ k ＋ 1 ＋ k ＋ 2 ≥k ＋ 1 k ＋ 2 成立，故2k ＋ 3≥ k ＋ 2成立．222 k ＋ 1所以，当 n ＝ k ＋1 ，不等式成立．由①②可知， n ∈ N2＋1 4＋ 12n ＋ 1，不等式2 ×4×⋯×2n> n ＋ 1成立．＋21． (12 分 )已知函数 f(x) ＝x 3 ＋2bx 2＋ cx － 2 的 像在与x 交点 的切 方程是y ＝ 5x－10.(1)求函数 f(x)的解析式．(2) 函数 g(x)＝ f(x)＋1mx ，若 g( x)的极 存在， 求 数 m 的取 范 以及函数 g(x)取得3极 的自 量 x 的 ．解： (1)由已知得切点(2,0)，故有 f(2) ＝ 0，即 4b ＋ c ＋ 3＝0.①又 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4bx ＋ c ，由已知 f ′(2) ＝ 12＋ 8b ＋ c ＝5，得 8b ＋ c ＋ 7＝ 0.②立①②，解得b ＝－ 1，c ＝ 1.所以函数的解析式f(x) ＝x 3 －2x 2＋ x － 2.(2)g( x)＝ x 3－ 2x 2＋ x －2＋ 1mx ，3 21令 g ′ (x)＝ 3x －4x ＋1＋ m ＝ 0.3当函数有极 ，方程3x 2－ 4x ＋ 1＋ 1m ＝ 0 有 数解，即 Δ≥ 0.3由 ＝ 4(1－ m)≥ 0，得 m ≤ 1.①当 m ＝1 ， g ′ (x)＝ 0 有 数根 x ＝ 2，在 x ＝2左右两 均有g ′ (x)>0 ，故函数 g(x)33无极 ．②当 m<1 ， g ′ (x)＝ 0 有两个 数根x 1 ＝1 (2－ 1－ m)， x 2＝ 1(2＋ 1－ m)．33当 x 化 ， g ′( x)， g(x)的情况如下表：x (－∞， x 1) x 1(x 1，x 2) x 2( x 2，＋∞ )g′ (x)＋0－0＋g(x)极大值极小值所以当 m∈ (－∞， 1)时，函数g(x)有极值，1当x＝3(2 － 1－m)时， g(x)有极大值；当x＝13(2 ＋ 1－m)时， g(x)有极小值．22．(12 分 )(2014 浙·江高考 )已知函数 f(x)＝ x3＋ 3|x－ a|(a>0)，将 f(x)在 [－ 1,1] 上的最小值记为 g(a)．(1)求 g(a)．(2)证明：当x∈ [ － 1,1] 时，恒有f(x)≤ g(a)＋ 4.(1)解：因为 a>0 ，－ 1≤ x≤ 1，所以①当 0<a<1 时，若x∈ [－ 1， a]，则 f(x)＝x3－ 3x＋ 3a，f′ (x)＝3x2－3<0.故 f(x) 在(－ 1， a)上是减函数．若x∈ [a,1]，则 f(x)＝ x3＋ 3x－3a，f′ (x)＝3x2＋3>0.故f(x) 在(a,1)上是增函数．所以 g(a)＝ f(a)＝ a3.②当 a≥ 1 时，有 x≤ a，则f(x) ＝x3－ 3x＋ 3a， f′ (x)＝ 3x2－ 3<0.故f(x) 在(－ 1,1)上是减函数，所以 g(a)＝ f(1)＝－ 2＋ 3a.a3 0<a<1 ，综上， g(a)＝－2＋ 3a a≥ 1 .(2)证明：令 h( x)＝ f(x)－ g(a)．①当 0<a<1 时， g( a) ＝ a3 .若x∈ [a,1]，则 h(x)＝x3＋3x－ 3a－a3，h′ (x)＝ 3x2＋ 3，在 (a,1)上是增函数．所以 h(x)在 [a,1]上的最大值是 h(1) ＝ 4－ 3a－ a3 .因为 0< a<1，所以 h(1)≤4.故f(x) ≤g( a)＋4.若x∈ [－ 1， a]，则 h(x)＝ x3－ 3x＋ 3a－ a3，h′ (x)＝ 3x2－ 3，在 ( －1， a)上是减函数．所以 h(x)在 [ － 1，a] 上的最大值是h(－ 1)＝ 2＋3a－ a3.9北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案知t(a) 在(0,1)上是增函数，所以 t(a)<t(1)＝ 4，即 h(－ 1)<4.故f(x) ≤g( a)＋4.②当 a≥ 1 时， g(a)＝－ 2＋ 3a，故h(x)＝ x3－ 3x＋ 2，得 h′ (x)＝ 3x2－ 3.此时 h(x)在 (－ 1,1)上是减函数．因此 h(x)在 [ － 1,1] 上的最大值是h(－ 1)＝ 4.故f(x) ≤g( a)＋4.综上，当 x∈ [ － 1,1]时，恒有f(x)≤g(a)＋4.10。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第1章 4 数学归纳法 Word版含解析
第一章 §41．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设当n ＝2k ＋1时正确，再推当n ＝2k ＋3时正确B ．假设当n ＝2k －1时正确，再推当n ＝2k ＋1时正确C ．假设当n ＝k 时正确，再推当n ＝k ＋1时正确D ．假设当n ≤k (k ≥1)时正确，再推当n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，所以用数学归纳法证明的第二步应先假设第k 个正奇数成立，即假设当n ＝2k －1时正确，再推第(k ＋1)个正奇数即当n ＝2k ＋1时正确． 答案：B2．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…16n －1， ∴f (1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1＝1＋12＋13＋14＋15. 答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案：B4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明错误的是________．解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推5．用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴n ＝2时等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， ∴即n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．。
2018年北师大版高中数学选修2-2同步优化指导第1章1.1、1.2归纳与类比活页作业1.docx
北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案活页作业 (一 )归纳与类比1．有两种花色的正六形地面，按下的律，拼成若干个案，第六个案中有阴影花色的正六形的个数是()A ． 26B． 31C．32D． 36解析：第 n 个案有a n个阴影花色的正六形，a1＝ 6× 1－ 0， a2＝ 6× 2－ 1， a3＝6× 3－ 2，故猜想 a6＝6× 6－ 5＝ 31.答案： B2．察下列各式：1＝ 12，22＋ 3＋4＝ 3 ，3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 52，4＋ 5＋6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝72，⋯⋯可以得出的一般是()A ． n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ n2B．n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－1) 2C．n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 1)＝ n2D． n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 1)＝ (2n－ 1)2解析：可以：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2⋯⋯故第 n 个式子的第一个数是 n；第一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加⋯⋯故第n 个式子中有 2n－ 1 个数相加；第一个式子的果是 1 的平方，第二个式子的果是 3 的平方⋯⋯故第 n 个式子是 2n－ 1 的平方，故可以得到n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝(2n－1) 2.答案： B114x x43x x 43．已知 x＞ 0，由不等式 x＋≥ 2x·＝2，x＋2＝＋＋2≥3··2＝3，⋯，x x x 2 2x 2 2 xa)我可以得出推广： x＋n≥ n＋ 1(n∈N＋ )， a 等于 (x北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案C ．3nnD ． n解析： 再续写一个不等式：3 x x 34 33 x ＋ ＋ 3 x x x 3 ＝ 4，x ＋ 3 ＝ ＋ 3≥ 4 (3)x 3 3 3x3 3 3 x由此可得 a ＝ n n .答案： D4．已知扇形的弧长为l ，半径为 r ，类比三角形的面积公式S ＝ 底×高，可推知扇形面2 积公式 S 扇等于 ()22rlA ． 2B ． 2C ． lrD ．不可类比2解析： 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式．答案： C5．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )A ．空间中平行于同一直线的两直线平行B ．空间中平行于同一平面的两直线平行C ．空间中平行于同一直线的两平面平行D ．空间中平行于同一平面的两平面平行解析： 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．答案： D6．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为 1∶ 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为 ________．1 解析：V 1 3S 1h 1S 1 h 1 1 1 1＝＝ S 2 · ＝ ×＝ .V 2 1h 2 4 283S 2h 2答案： 1∶ 87．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和是 S n ＝ n a 1＋ a n，由此可类比得到各项均为正数的等2比数列 { b n } 的前 n 项积 T n ＝ ________(用 n ， b 1， b n 表示 )．解析：由等差数列中的 “ 求和 ” 类比等比数列中的 “ 求积 ”，可知各项均为正数的等比n数列 { b n } 的前 n 项积 T n ＝ (b 1b n ) 2.n答案： (b 1b n )28.上图中，上起第 n 行，左起第 n ＋1 列的数是 ________．解析： 第 1 行第 2 个数为 2＝ 1× 2，第 2 行第 3 个数为 6＝ 2×3，第 3 行第 4 个数为 12＝ 3× 4，第 4 行第 5 个数为 20＝ 4× 5.故归纳出第 n 行第 n ＋ 1 个数为 n(n ＋ 1)＝ n 2＋ n.答案： n 2＋nx 2y 29．在椭圆中， 有一结论： 过椭圆 a 2 ＋b 2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)上不在顶点的任意一点P 与长轴两b2 端点 A ，A 连线，则直线 PA 与 PA斜率之积为－ 2121 2a ，类比该结论推理出双曲线的类似性质，并加以证明．2 2解： 过双曲线 xyP 与实轴两端点 A 1， A 2 连线，则直线2－ 2 ＝ 1 上不在顶点的任意一点a b2PA 1 与 PA 斜率之积为 b22a .证明如下：设点 P(x 0， y 0)，点 A 1(a,0)， A 2(－ a,0)．椭圆中： kPA 1·kPA 2＝ y 0 y 0－ a ·＋ a ＝x 0 x 0x 02221－ 22ba b2＝ ＝－ 22 22；x 0－ ax 0－ aa222 x 0 2＝b2－ 1双曲线中： kPA＝y 0 a＝b21·kPA 2 x 02－ a 2x 02－ a 2a .10．已知 2 2 2 3 2 2 23sin 30 °＋ sin 90°＋ sin 150 °＝ ，sin 5°＋ sin 65 °＋ sin 125 °＝ .观察上述两等式22的规律，请你写出一个一般性的命题，并证明．解： 一般性的命题为2223sin θ＋ sin (60 °＋ θ)＋ sin (120 °＋ θ)＝ 2. 证明如下：22 2 °＋ θ)sin θ＋ sin (60 °＋ θ)＋ sin (120＝ 1－ cos 2θ 1－cos 120 °＋ 2θ 1－ cos 240 °＋ 2θ ＋ ＋22 23 1＝ 2－2[cos 2 θ＋ cos(120 ＋°2θ)＋ cos(240 ＋°2θ)]＝ 3－1[cos 2 θ＋ cos 120 cos ° 2θ－ sin 120 sin ° 2 θ＋ cos(180 ＋°60°＋ 2θ)] 2 2＝ 3－1 [cos(60 ＋°2θ)－cos(60 ＋°2θ)]＝ 3 .2 2 211． △ ABC 的三 分 a ，b ，c ，△ ABC 的面S ，内切 半径2S，r ， r ＝ a ＋ b ＋ c比 个 可知： 四面体 A-BCD 的四个面的面 分 S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径R ，四面体 A-BCD 的体 V ， R 等于 ()V2VA ．＋ S ＋ S ＋ SB ．＋ S ＋ S ＋ SS 1234S 12343V4VC ．S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4D ．S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4解析： 四面体的内切球的球心O ， 球心 O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体 等于以O 点，分 以四个面 底面的4 个三棱 体 的和．四面体的体1V四面体A-BCD ＝ 3(S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4)R ，3V∴R ＝S 1＋ S 2＋ S 3＋ S 4.答案： C1 113512． n 正整数， f(n)＝ 1＋ 2＋3＋⋯＋ n ， 算得 f(2) ＝ 2，f(4)＞ 2，f(8) ＞ 2，f(16) ＞ 3，察上述 果，可推 一般的______________．解析： 由 意 f(21) ＝3， f(22)＞ 4， f(23)＞ 5， f(24)＞6，故一般的f(2n) ≥n ＋ 22 .2 2 2 2nn ＋ 2答案： f(2 )≥x13． 函数f(x)＝x ＋ 2(x ＞ 0)， 察：xf 1(x)＝ f(x)＝x ＋2，xf 2(x)＝ f(f 1(x)) ＝ 3x ＋4，xf 3(x)＝ f(f 2(x)) ＝ 7x ＋8，x，f 4(x)＝ f(f 3(x)) ＝ 15x ＋16 ⋯⋯根据以上事 ， 由 推理可得： 当 n ∈ N ＋ 且 n ≥ 2 ，f n (x)＝ f(f n －1 (x))＝ ____________.解析：依 意，先求函数 果的分母中x 系数所 成数列的通 公式， 由 1,3,7,15，⋯ ，可推知 数列的通 公式a n ＝ 2n － 1.又函数 果的分母中常数 依次2,4,8,16，⋯ ，故nx其通 公式b n ＝ 2 .所以当 n ≥ 2 ， f n (x)＝ f(f n －1 (x))＝ 2n －1 x ＋2n .答案：x2n － 1 x ＋ 2n14．(2015 ·州模 卷 )平面几何里有“ 直角三角形ABC 的两直角 分 a ， b ，斜上的高1 11h ， 2＋2＝2 ”，拓展到空 ，研究三棱 的 棱 与底面上的高之 的关a b h系可以得出的正确 是：“ 三棱 A-BCD 的三个 棱两两垂直，其 分 a ， b ， c ，面 BCD 上的高 h ， ________”．解析： 如右 所示， A 在底面的射影 O ， 接 BO 并延 交 CD 于 E. 接 AE ，由 AB ⊥ AC ，AB ⊥ AD 得 AB ⊥面 ACD ．11 1∴ AB ⊥ AE. AE ＝ h 1，在△ ABE 中，由已知可得a 2＋ h 21＝ h 2.又易 CD ⊥面 ABE ，∴ CD ⊥AE .11 1在△ ACD 中有 h 21 ＝b 2＋ c 2，11 11∴ a 2＋ b 2＋ c 2＝ h 2.11 1 1答案： a 2＋b 2＋ c 2＝ h 215． (2015 ·西模 卷江 )f(n)＝ n 2＋ n ＋41， n ∈ N ＋ ， 算： f(1)， f(2) ， f(3)， f(4)，⋯，f(10)的 ，同 作出 推理，并用n ＝ 40 猜想是否正确．解： f(1) ＝ 12＋ 1＋ 41＝ 43， f(2) ＝ 22＋ 2＋ 41＝ 47， f(3) ＝ 32＋ 3＋ 41＝ 53， f(4) ＝ 42＋ 4＋41＝ 61，f(5) ＝ 52＋ 5＋ 41＝ 71， f(6)＝ 62＋ 6＋ 41＝ 83，22北师大版 2018 年高中数学选修2-2 同步优化指导练习含答案22f(9) ＝ 9＋ 9＋ 41＝ 131， f(10) ＝ 10＋10＋ 41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数，∴归纳猜想：当 n∈N＋时， f(n)＝ n2＋ n＋ 41 的值都为质数．当n＝40 时， f(40)＝ 402＋ 40＋41＝ 40×(40＋ 1)＋ 41＝41× 41，∴ f(40)是合数．∴由上面归纳推理得到的猜想不正确．16.如右图，点 P 为斜三棱柱 ABC- A1B1C1的侧棱 BB1上一点， PM ⊥BB 1交 AA1于点 M，PN⊥ BB1交 CC1于点 N.(1)求证： CC1⊥ MN ；(2)在任意△ DEF 中有余弦定理DE 2＝ DF 2＋ EF 2－ 2DF ·EFcos∠ DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．(1)证明：∵ PM⊥ BB1， PN⊥ BB1，∴BB1⊥平面 PMN .∴BB1⊥ MN .又∵ CC1∥ BB1，∴ CC1⊥ MN .(2)解：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有 S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋ S2ACC 1A1－ 2SBCC1B1·SACC1A1cos α.其中α为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所成的二面角．证明如下：∵CC1⊥平面 PMN .∴上述二面角的平面角为∠MNP .在△ PMN 中，PM2＝ PN2＋ MN 2－ 2PN·MN cos∠MNP ?PM2·CC21＝ PN 2·CC21＋ MN 2·CC21－ 2(PN·CC1) ·(MN ·CC1)cos∠ MNP ，∴SBCC1B1＝PN ·CC1， SACC1A1＝ MN ·CC1，SABB1A1＝ PM ·BB1＝ PM ·CC1，∴有 S2ABB1A1＝S2 BCC1B1＋ S2ACC1A1－ 2SBCC1B1·SACC1A1cos α.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：阶段质量评估3 Word版含解析
阶段质量评估(三) 导数应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2， ∵x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3. 答案：B2．若a n ＝n (n ＋2)(n －2)(n ＝1,2,3，…)，则数列{a n }为( ) A ．先递增后递减数列 B ．先递减后递增数列 C ．递增数列D ．递减数列解析：令f (x )＝x (x ＋2)(x －2)＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.当x ≥2时，f ′(x )＝3x 2－4>0恒成立． ∴当n ≥2时，a n ＝n (n ＋2)(n －2)为递增数列． 又∵a 1＝－3<0，a 2＝0，∴a 1<a 2，从而当n ∈N ＋时，{a n }为递增数列． 答案：C3．函数f (x )＝x1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0，又x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)． 答案：C4．将8分为两正数之和，要使其立方和最小，则分法为 ( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3，且0<x <8，y ′＝3x 2－3·(8－x )2.令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4. 当0<x <4时，y ′<0；当4<x <8时，y ′>0. ∴当x ＝4时，y 最小． 答案：B5．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．对于f (x )＝x 3＋px 2＋2x ＋1，若|p |<6，则f (x )无极值D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值解析：极值是在局部范围内的问题．在整个函数定义域内极大值不一定比极小值大，故A 错．函数y ＝x 3在[－1,1]上有最大值，但没有极值，故B 错．函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上没有最值，故D 错．答案：C6．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：由题意f (x )在[0，＋∞)上递增， 又∵f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔ |2x －1|<13⇔－13<2x －1<13⇔13<x <23.答案：A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )解析：由已知得⎩⎨⎧－b 2>0.c －b24<0，∴b <0.f ′(x )＝2x ＋b ，只有A 适合．答案：A8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0(a ∈R )的实数根的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：构造函数利用单调性．由f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1. ∵Δ＝－8<0，∴f ′(x )>0.∴f (x )在R 上单调递增． ∵当x →－∞时，f (x )→－∞，当x →＋∞时， f (x )→＋∞，∴f (x )与x 轴有一个交点．即f (x )＝0只有一根． 答案：B9．函数y ＝4x －x 4在x ∈[－1,2]上的最大值，最小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (1)与f (2) C ．f (－1)与f (2)D ．f (2)与f (－1)解析：利用导数求最值．由y ′＝4－4x 3＝0，得x ＝1， ∵f (1)＝3，f (－1)＝－5，f (2)＝－8， ∴f (x )max ＝f (1)，f (x )min ＝f (2)． 答案：B10．函数f (x )＝2x 2－13x 3在区间[0,6]上的最大值是( )A ．323B ．163C ．12D ．9解析：f ′(x )＝4x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝4.比较f (0)，f (4)，f (6)，得f (x )max ＝f (4)＝323. 答案：A11．(2015·福建高考卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0.∴函数F (x )在R 上为单调递增函数．∵1k －1>0，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>F (0)．∵F (0)＝f (0)＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－kk －1>－1， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1. 答案：C12．(2015·全国卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：当x >0时，令F (x )＝f (x )x， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数．∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0， ∴F (1)＝0.∴在(0,1)上，F (x )>0；。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第2章 2.1、2.2 导数的概念及其几何意义
第二章 §2 2.1 2.21．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：因为切线x ＋2y －3＝0的斜率为－12＜0，所以f ′(x 0)＝－12＜0.答案：B2．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直D ．与x 轴斜交解析：由导数的几何意义知B 正确． 答案：B3．已知y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：结合图像由导数的几何意义得f ′(x A )＜f ′(x B )． 答案：B4．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝2x －1，则f ′(x 0)＝________. 解析：f ′(x 0)＝k ＝2. 答案：25．已知曲线y ＝f (x )＝x ＋1x 上一点A ⎝⎛⎭⎫2，52，用导数的定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． 解：(1)∵点A 在曲线上，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －⎝⎛⎭⎫2＋12＝－Δx 2(2＋Δx )＋Δx .当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝－12(2＋Δx )＋1趋于34，∴点A 处的切线的斜率为34.(2)点A 处的切线方程为y －52＝34(x －2)，即3x －4y ＋4＝0.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第1章 2.1、2.2 综合法与分析法 活页作业2
活页作业(二) 综合法与分析法1．在△ABC 中，A ，B 所对的边分别为a ，b ，且sin A a ＝cos Bb ，则B ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：由正弦定理sin A a ＝sin B b 及条件cos B b ＝sin Aa 知sin B ＝cos B ，则△ABC 的内角B ＝45°.答案：B2．欲证2－3＜6－7只需证( ) A ．(2－3)2＜(6－7)2 B ．(2－6)2＜(3－7)2 C ．(2＋7)2＜(3＋6)2 D ．(2－3－6)2＜(－7)2解析：欲证2－3＜6－7，只需证2＋7＜3＋6，∵2＋7＞0，3＋6＞0， ∴只需证(2＋7)2＜(3＋6)2. 答案：C3．若实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则xy ＋yz ＋zx 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．⎣⎡⎦⎤－12，1 C ．⎣⎡⎦⎤－1，12 D ．⎣⎡⎦⎤－12，12 解析：xy ＋yz ＋zx ≤x 2＋y 22＋y 2＋z 22＋z 2＋x 22＝1，2(xy ＋yz ＋zx )＝(x ＋y ＋z )2－(x 2＋y 2＋z 2)≥0－1＝－1. 答案：B4．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的关系为( ) A ．x ＞y B ．x ＜y C ．x ＝yD ．不确定解析：取a ＝1，b ＝4，得x ＝32，y ＝5，此时x ＜y ， 猜想x ＜y .用分析法证明如下：x ＜y ，即a ＋b2＜a ＋b ， a ＋b 2＜a ＋b ⇒a ＋2ab ＋b2＜a ＋b ⇒2ab ＜a ＋b ⇒(a －b )2＞0⇒a ≠b ，且a ，b∈(0，＋∞)，而a ≠b ，且a ，b ∈(0，＋∞)恰是已知条件． 故x ＜y . 答案：B5．已知f (x )是实数集R 上的函数，且对于任意实数x 都有f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)恒成立，则函数f (x )的周期为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：∵f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)， ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．∴f (x ＋3)＝f (x ＋2)－f (x ＋1)＝f (x ＋1)－f (x )－f (x ＋1)＝－f (x )． ∴f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )．∴f (x )为周期函数，6是它的一个周期． 答案：B6．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥07．若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a 、b 满足的一个条件是___________． 解析：若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ≥0，b ≥0，不等式两边均大于或等于0.两边平方得：a 3＋b 3＋2ab ab ＞a 2b ＋b 2a ＋2ab ab ，即a 3＋b 3－a 2b －b 2a ＞0，a 2(a －b )＋b 2(b －a )＞0，(a －b )(a 2－b 2)＞0，(a －b )2(a ＋b )＞0，又a ≥0，b ≥0，故a ＋b ≥0，故a ，b 满足的条件为a ≥0，b ≥0且a ≠b .因而满足上式的任一个关于a ，b 的条件均可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b8．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析：∵x ∈(1,2)，∴x 2＋mx ＋4＜0⇔m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 由y ＝x ＋4x 在(1,2)上单调递减，得y ＜5，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＞－5.∴m ≤－5. 答案：m ≤－59．设a ，b ，c 成等比数列，而x ，y 分别是a ，b 和b ，c 的等差中项，求证：a x ＋cy ＝2.证明：由题意得c ＝b 2a ，x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，则a x ＋c y ＝a a ＋b 2＋c b ＋c 2＝2a a ＋b ＋2cb ＋c＝ 2a a ＋b＋2×b 2a b ＋b 2a ＝2a a ＋b ＋2b a ＋b ＝2， 即a x ＋c y＝2. 10．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.证明：要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.∵a ＞0， ∴只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22. 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证 2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即证a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．11．分析法又称执果索因法，则用分析法证明“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac ＜3a ”索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：要证明b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2，只需证(a ＋c )2－ac ＜3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2＜0，即证2a 2－ac －c 2＞0，即证(a －c )(2a ＋c )＞0，即证(a －c )(a －b )＞0.答案：C12．设a ＞0，b ＞0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．解析：∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b )＝ 2ab －(a ＋b )≤0，∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )， lg(1＋ab )2≤lg(1＋a )(1＋b )， 即lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．答案：≤13．已知x ，y ∈(0，＋∞)，a ＝x 4＋y 4，b ＝x 3y ＋xy 3，则a ，b 的大小关系是________． 解析：因为a ＝x 4＋y 4，b ＝x 3y ＋xy 3，所以a －b ＝(x 4＋y 4)－(x 3y ＋xy 3)＝(x 3－y 3)(x －y )＝(x －y )2(x 2＋xy ＋y 2)≥0.故a ≥b .答案：a ≥b14．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．解析：∵f (x )是偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)．又当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ， 不等式f (x ＋2)＜5⇒f (|x ＋2|)＜5 ⇒|x ＋2|2－4|x ＋2|＜5 ⇒(|x ＋2|－5)(|x ＋2|＋1)＜0 ⇒|x ＋2|－5＜0⇒|x ＋2|＜5 ⇒－5＜x ＋2＜5⇒－7＜x ＜3. ∴解集为(－7,3)． 答案：(－7,3)15．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0， 要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．16．(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n－k＋a n－k＋1＋…＋a n－1＋a n＋＋…＋a n＋k－1＋a n＋k＝2ka n，对任意正整数n(n＞k)总成立，则称数列{a n}是“P(k)数列”．1(1)证明：等差数列{a n}是“P(3)数列”；(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n}是等差数列．证明：(1){a n}是等差数列，设其公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d.从而当n≥4时，a n－k＋a n＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2a n，k＝1,2,3，所以a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n，因此等差数列{a n}是“P(3)数列”．(2)数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此当n≥3时，a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＝4a n，①当n≥4时，a n－3＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n.②由①知a n－3＋a n－2＝4a n－1－(a n＋a n＋1)，③a n＋2＋a n＋3＝4a n＋1－(a n－1＋a n)．④将③④代入②，得a n－1＋a n＋1＝2a n，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{a n}是等差数列．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：阶段质量评估4
阶段质量评估(四) 定积分(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1. ⎠⎛－339－x 2d x 等于( ) A ．9π8B ．9π4C ．9π2D ．9π解析：根据定积分的几何意义，⎠⎛－339－x 2d x 表示以原点为圆心，以3为半径的上半圆的面积．故⎠⎛－339－x 2d x ＝9π2.答案：C2．若函数f (x )的图像在[a ，b ]上是一条连续曲线，用n －1个等分点x i (i ＝1,2，…，n －1)把[a ，b ]分成n 个小区间，记x 0＝a ，x n ＝b ，每个小区间长度为Δx ，任取ξi ∈[x i －1，x i ]，则⎠⎛a bf (x )d x 等于当n →＋∞时( )A ．∑i ＝1nf (x i )所趋近的某个值B ．∑i ＝1nf (ξi )(b －a )所趋近的某个值C ．∑i ＝1nf (ξi )Δx 所趋近的某个值D ．∑i ＝1n f (x i )Δxn 所趋近的某个值解析：f (ξi )Δx 为第i 个小曲边梯形的面积，和式f (ξ1)Δx ＋f (ξ2)Δx ＋…＋f (ξn )Δx 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及函数f (x )的图像所围成图形的面积的近似值，当分割无限变细，即n 趋向于＋∞时，∑i ＝1nf (ξi )Δx 所趋近的值就是曲边梯形的面积，即⎠⎛a bf (x )d x ，故选C ．答案：C3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83， b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )|20＝1－cos 2，∴c ＜a ＜b . 答案：D4．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x 等于( ) A ．9 B ．12 C ．15D ．18解析：⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝⎠⎛02f (x )d x ＋⎠⎛026d x ＝3＋12＝15. 答案：C5．如下图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1B ．43C ． 3D ．2解析：函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝43.答案：B6．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0B ．2,0C ．2,1D ．1,0解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0. 答案：B7. ⎠⎛a bf ′(3x )d x 的值为( ) A ．f (b )－f (a ) B ．f (3b )－f (3a ) C ．13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )]解析：∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝13f ′(3x )(3x )′＝f ′(3x )， ∴⎠⎛a bf ′(3x )d x ＝13f (3x )|ba＝13[f (3b )－f (3a )]． 答案：C8．由曲线y 2＝6ax 与直线x ＝2a 及x 轴所围成图形在x 轴上方的部分绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A ．2πa 2B ．4πa 2C ．12πa 3D ．14πa 3解析：不妨设a >0，则所求体积V ＝⎠⎛02aπy 2d x ＝⎠⎛02a6πax d x ＝3πax 2|2a 0＝12πa 3.答案：C9．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x ≤2)，3x ＋4(x >2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4处(单位：m)，则力F 所做的功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎭⎫3x 22＋4x |42＝20＋26＝46 (J)． 答案：B10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x ≤1)，1(1＜x ≤2)，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A ．83B ．2C ．43D ．13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x 3|10＋x |21＝43. 答案：C11．如下图，由函数f (x )＝e x －e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2eC ．e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e.答案：B12．由曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b (a <b )和x 轴所围成的曲边梯形的面积S 等于 ( )A ．⎠⎛a bf (x )d x B ．－⎠⎛a bf (x )d x C ．⎠⎛a b [f (x )－a ]d xD ．⎠⎛a b[f (x )－b ]d x解析：由定积分的几何意义解题． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. ⎠⎛01x 3d x ＝________. 解析：⎠⎛01x 3d x ＝⎝⎛⎭⎫14x 4|10＝14. 答案：1414．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x ＜0)，cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：S ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛－10(x ＋1)d x ＋⎪⎪⎪⎪cos x d x ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝32. 答案：3215．函数f (a )＝⎠⎛0acos x d x 的导函数f ′(a )＝________.解析：∵f (a )＝⎠⎛0acos x d x＝sin x |a 0＝sin a ， ∴f ′(a )＝cos a . 答案：cos a16．设f (x )＝⎠⎛0x(t －1)d t ，则f (x )的最小值为________． 解析：⎠⎛0x(t －1)d t ＝⎝⎛⎭⎫12t 2－t |x 0＝12x 2－x ， 即f (x )＝12x 2－x (x >0)．则f (x )＝12(x 2－2x ＋1)－12＝12(x －1)2－12.所以f (x )的最小值为－12.答案：－12三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)计算下列定积分： (1)⎠⎛－43|x ＋2|d x ； (2)⎠⎛2e ＋11x －1d x . 解：(1) ⎠⎛－43|x ＋2|d x＝－⎠⎛－4 －2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－23(x ＋2)d x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |－2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x |3－2 ＝292.(2)原式＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.18．(12分)已知函数f (x )是一次函数，其图像过点(1,3)，且⎠⎛01f (x )d x ＝2.求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝kx ＋b ，由图像过(1,3)，得k ＋b ＝3.① ∵⎠⎛01f (x )d x ＝2，∴⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝2. ∴⎝⎛⎭⎫k 2x 2＋bx |10＝2. ∴k2＋b ＝2.② 由①②得k ＝2，b ＝1.∴f (x )＝2x ＋1.19．(12分)物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动．问两物体何时相遇？相遇时物体A 走过的路程是多少？(时间单位为s ，速度单位为m/s)解：设A 追上B 时所用的时间为t 0. 依题意有S A ＝S B ＋5， 即⎠⎛0 t 0(3t 2＋1)d t ＝⎠⎛0 t 010t d t ＋5.∴t 30＋t 0＝5t 20＋5. ∴t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)．∴t 0＝5(s)．∴S A ＝5t 20＋5＝130(m)．故出发5 s 后两物体相遇，此时A 走过的路程为130 m.20．(12分)一物体沿直线以v (t )＝2t －3(t 的单位为s ，v 的单位为m/s)的速度做变速直线运动，求该物体从时刻t ＝0 s 至时刻t ＝5 s 间运动的路程．解：∵当0≤t ≤32时，v (t )＝2t －3≤0；当32≤t ≤5时，v (t )＝2t －3≥0. ∴物体从时刻t ＝0 s 至时刻t ＝5 s 间运动的路程为S ＝(3－2t )d t ＋(2t －3)d t ＝(3t －t 2)⎪⎪⎪⎪320＋(t 2－3t )＝94＋⎝⎛⎭⎫10＋94＝292(m)． 21．(12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标．(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又∵点P 0在第三象限， ∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l的斜率为－14.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.22．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋48(a－2)x＋b的图像关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间[－4,4]上的单调性，并证明你的结论．解：f(x)在[－4,4]上是单调递减函数．证明：∵函数f(x)的图像关于原点成中心对称，∴f(x)是奇函数．∴a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－48x.∴f′(x)＝3x2－48.∴当x∈(－4,4)时，f′(x)<0.又∵函数f(x)在[－4,4]上连续，∴f(x)在[－4,4]上是单调递减函数．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时)
第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( )A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0，知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0.答案：D2．若函数h (x )＝2x －＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )k x k 3A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2]解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2k x 22x 2＋k x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥B ．a >1616C ．a ＝D ．0<a <1616解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >x －在(0,1)内恒成立．1213x ∵函数g (x )＝x －在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝－＝，∴a ≥.1213x 12131616答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0.即a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0.(1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0，f ′(x )＝－2x ＋a ＝－.a 2x (x －a )(2x ＋a )x ∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)．(2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e.由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要Error!解得a ＝e.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.2 导数在实际问题中的应用
第三章 §1 1.21．函数f (x )＝1＋3x －x 3有( ) A ．极小值－1，极大值1 B ．极小值－2，极大值3 C ．极小值－2，极大值2 D ．极小值－1，极大值3解析：f ′(x )＝－3x 2＋3， 令f ′(x )＝0，即－3x 2＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的； 当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增加的； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减少的．∴函数的极小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，函数的极大值为f (1)＝1＋3－1＝3. 答案：D2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．不存在解析：y ′＝3x 2≥0，所以函数y ＝x 3＋1在R 上单调递增，故无极大值． 答案：D3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由f (x )在x ＝－3处取得极值，知f ′(－3)＝0，解得a ＝5. 答案：D4．在下列四个函数中，存在极值的是________． ①y ＝1x②y ＝x 2＋1 ③y ＝2 ④y ＝x 3解析：∵y ′＝－1x 2<0，∴y ＝1x 在定义域内不存在极值．同理，③④也不存在极值．②中，y ′＝2x ，令y ′＝0，得x ＝0.∴当x >0时，y ′>0；当x <0时，y ′<0.故函数y ＝x 2＋1在x ＝0处取极小值．答案：②5．设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx(x∈R)，已知g(x)＝f(x)－f′(x)是奇函数．(1)求b，c的值；(2)求g(x)的极值．解：(1)∵f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴g(x)＝f(x)－f′(x)＝x3＋(b－3)x2＋(c－2b)x－c.又g(x)是R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)．∴(－x)3＋(b－3)x2－(c－2b)x－c＝－x3－(b－3)x2－(c－2b)x＋c.化简，得(b－3)x2－c＝0.∴b＝3，c＝0.(2)由(1)知g(x)＝x3－6x，∴g′(x)＝3x2－6＝3(x＋2)(x－2)．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：－2)(2－2，2) (x)在x＝－2处取得极大值为g(－2)＝(－2)3－6×(－2)＝42，在x＝2处取得极小值为g(2)＝(2)3－62＝－4 2.。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 1.1 导数与函数的单调性(第二课时) 活页作业11
活页作业(十一) 导数与函数的单调性(第二课时)1．函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，且在区间(0,2)内单调递减，则a 值为( )A ．1B ．2C ．－6D ．－12解析：f ′(x )＝6x 2＋2ax ，依题意得f ′(2)＝24＋4a ＝0，∴a ＝－6. 答案：C2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫43，3B ． ⎝⎛⎭⎫43，103 C ．⎝⎛⎦⎤43，3D ．(－∞，3]解析：∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，∴f ′(x )＝x 2＋2x －a ≥0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∴a ≤x 2＋2x ，x ∈(1，＋∞)恒成立． ∵当x >1时，x 2＋2x >3， ∴a ≤3.①∵函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax 在区间(1，＋∞)上是增加的，且在区间(1,2)上有零点，∴f (1)<0，f (2)>0. ∴43<a <103.② 由①②得，43<a ≤3.答案：C3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，x 3－(a －1)x ＋a 2－3a －4(x <0) 在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．(－∞，1)D ．[－1,4]解析：若原函数在R 上为增函数，则当x <0时，f ′(x )＝3x 2－(a －1)≥0恒成立．因此有a ≤1.还需注意函数在分段点处函数值的大小，应有a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4.综上－1≤a ≤1.答案：B4．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 0.50.25·f (log 0.50.25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >c >b解析：构造函数h (x )＝xf (x )，由函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，函数y ＝x 是R 上的奇函数，可得h (x )＝xf (x )是R 上的奇函数．又当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0. ∴函数h (x )在x ∈(－∞，0)上为单调递减函数． ∴h (x )在x ∈(0，＋∞)上为单调递减函数． ∵2>20.2>1,0<ln 2<1，log 0.50.25＝2， ∴log 0.50.25>20.2>ln 2.∴b >a >c . 答案：C5．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥43，则p 是q 的________条件．( )A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要解析：对于p ，由题意知f ′(x )＝3x 2＋4x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ≤0. ∴4－3m ≤0.∴m ≥43.又当m ＝43时，f (x )＝x 3＋2x 2＋43x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋233＋1927在R 上单调递增，∴m ≥43.∴p 是q 的充要条件．答案：A6．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的递减区间为[－1， 2]，则b ＝________，c ＝________. 解析：由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在[－1,2]上恒成立，所以－1,2为方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－67．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1，f (x )有三个单调区间， ∴方程3ax 2＋1＝0有两个不等实根． ∴Δ＝0－4×3a ×1>0.解得a <0.答案：(－∞，0)8．已知函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是________． 解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，因此a ≤3.故a 的最大值为3.答案：39．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )．(1)求F (x )的单调区间；(2)若以y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋ax (x >0)，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．∵a >0，由F ′(x )>0得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上是增加的． 由F ′(x )<0得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上是减少的．∴F (x )的递减区间为(0，a )，递增区间为(a ，＋∞)． (2)∵F ′(x )＝x －ax2(0<x ≤3)，∴k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立．即a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12.∴a min ＝12.10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 函数有单调递增区间，即在⎝⎛⎭⎫23，＋∞内，导函数大于0有解，令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |x <－1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x >1}解析：设g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0.∴g (x )在R 上是减函数．∵g (1)＝f (1)－12－12＝1－1＝0，∴g (x )＝f (x )－x 2－12<0的解集为{x |x >1}．答案：D12．已知函数f (x )＝2e x －mx (其中e ≈2.718…)在区间[－1,0]上单调递减，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意得f ′(x )＝2e x －m ≤0在[－1,0]上恒成立，即m ≥2e x 恒成立，可得m ≥2. 答案：[2，＋∞)13．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数，f (x )在区间[－1,2]上为减函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．解析：由已知得f ′(x )＝3x 2－6ax －b ≤0对∀x ∈[－1，2]恒成立， ∵b ＝9a ，∴x 2－2ax －3a ≤0.∵2x ＋3>0. ∴a ≥x 22x ＋3对x ∈[－1,2]恒成立．解得a ≥1. 答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为_________．解析：由已知a >1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx ，∴g ′(x )＝－ln xx2<0(x >1)．∴g (x )＝1＋ln xx 在区间(1，＋∞)内递减．∴g (x )<g (1)． ∵g (1)＝1，∴1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立．∴a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 3(a 为常数)．(1)若a ＝－3，判断函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性； (2)函数f (x )在[1，e]上单调递减，求实数a 的取值范围；(3)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时f ′(x )＝3x 2－3x ＝3(x 3－1)x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)由已知得f ′(x )＝a x ＋3x 2＝3x 3＋a x.∵f (x )在[1，e]上单调递减，∴f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立．即a ≤－3x 3在[1，e]上恒成立． ∵(－3x 3)min ＝－3e 3，∴a ≤－3e 3. (3)不等式f (x )≥ax ＋x 3－x 2＋2x 可化为 a (x －ln x )≤x 2－2x .∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，且不能同时取等号． ∴ln x <x ，即x －ln x >0. ∴a ≤x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])．令g (x )＝x 2－2xx －ln x (x ∈[1，e])，则g ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2.当x ∈[1，e]时，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而g ′(x )≥0(仅当x ＝1时取等号)， ∴g (x )在[1，e]上为增函数． ∴g (x )的最小值为g (1)＝－1. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．设函数f (x )＝1＋x 1－xe －ax .(1)试写出定义域及f ′(x )的解析式； (2)设a >0，讨论函数y ＝f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝ax 2＋2－a (1－x )2e －ax，其中x ≠1.(2)①当0<a ≤2时，f ′(x )≥0且仅在有限个点处取等号，∴f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数．②当a >2时，由f ′(x )>0得ax 2＋2－a >0，解得x >a －2a或x <－a －2a；由f ′(x )<0得ax 2＋2－a <0，解得－a －2a<x < a －2a. 综上所述，当0<a ≤2时，函数y ＝f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递增；当a >2时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a ，1，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a －2a ， a －2a 上单调递减．。
2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第3章 2.1 实际问题中导数的意义
第三章 §2 2.11．某人拉动一个物体前进，他所做的功W 是时间t 的函数W ＝W (t )，则W ′(t 0)表示( )A ．t ＝t 0时做的功B ．t ＝t 0时的速度C ．t ＝t 0时的位移D ．t ＝t 0时的功率解析：功率＝做功时间答案：D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．4 m/s 解析：s ′＝－1＋2t ，s ′|t ＝3＝－1＋2×3＝5.答案：C3．设球的半径为时间t 的函数R (t )．若球的体积以均匀速度C 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C解析：根据题意，V ＝43πR 3(t )，S ＝4πR 2(t )， 球的体积增长速度为V ′＝4πR 2(t )·R ′(t )，球的表面积增长速度S ′＝2·4πR (t )·R ′(t )， 又∵球的体积以均匀速度C 增长，∴球的表面积的增长速度与球半径成反比，比例系数为2C ．答案：D4．人体血液中药物的质量浓度c ＝f (t )(单位：mg/mL)随时间t (单位：min)变化，且f ′(2)＝0.3，则f ′(2)表示__________.答案：服药后2 min 时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL 的速度增加5．物体做自由落体运动，其方程为s (t )＝12gt 2.(其中位移单位：m ，时间单位：s ，g ＝9.8 m/s 2)(1)计算当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 关于时间t 的平均变化率，并解释它的意义；(2)求当t ＝2 s 时的瞬时速度，并解释它的意义．解：(1)当t 从2 s 变到4 s 时，位移s 从s (2)变到s (4)，此时，位移s 关于时间t 的平均变化率为s (4)－s (2)4－2＝12g ×42－12g ×224－2＝9.8×3＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s 到4 s 这段时间平均每秒下落29.4 m.(2)∵s ′(t )＝gt ，∴s ′(2)＝2g ＝19.6(m/s)．它表示物体在t ＝2 s 时的速度为19.6 m/s.。
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阶段质量评估(三) 导数应用(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．[－3，＋∞) C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0，则a ≥－3x 2， ∵x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3. 答案：B2．若a n ＝n (n ＋2)(n －2)(n ＝1,2,3，…)，则数列{a n }为( ) A ．先递增后递减数列 B ．先递减后递增数列 C ．递增数列D ．递减数列解析：令f (x )＝x (x ＋2)(x －2)＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.当x ≥2时，f ′(x )＝3x 2－4>0恒成立． ∴当n ≥2时，a n ＝n (n ＋2)(n －2)为递增数列． 又∵a 1＝－3<0，a 2＝0，∴a 1<a 2，从而当n ∈N ＋时，{a n }为递增数列． 答案：C3．函数f (x )＝x1－x 的单调增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)，(1，＋∞)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞) 解析：∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′(1－x )2＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2>0， 又x ≠1，∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)． 答案：C4．将8分为两正数之和，要使其立方和最小，则分法为 ( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5D ．以上都不对解析：设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3，且0<x <8，y ′＝3x 2－3·(8－x )2.令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4. 当0<x <4时，y ′<0；当4<x <8时，y ′>0. ∴当x ＝4时，y 最小．答案：B5．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C ．对于f (x )＝x 3＋px 2＋2x ＋1，若|p |<6，则f (x )无极值D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值解析：极值是在局部范围内的问题．在整个函数定义域内极大值不一定比极小值大，故A 错．函数y ＝x 3在[－1,1]上有最大值，但没有极值，故B 错．函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上没有最值，故D 错．答案：C6．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：由题意f (x )在[0，＋∞)上递增， 又∵f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔ |2x －1|<13⇔－13<2x －1<13⇔13<x <23.答案：A7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图像是( )解析：由已知得⎩⎨⎧－b 2>0.c －b24<0，∴b <0.f ′(x )＝2x ＋b ，只有A 适合．答案：A8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0(a ∈R )的实数根的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：构造函数利用单调性．由f (x )＝x 3＋x 2＋x ＋a ，得f ′(x )＝3x 2＋2x ＋1. ∵Δ＝－8<0，∴f ′(x )>0.∴f (x )在R 上单调递增． ∵当x →－∞时，f (x )→－∞，当x →＋∞时， f (x )→＋∞，∴f (x )与x 轴有一个交点．即f (x )＝0只有一根． 答案：B9．函数y ＝4x －x 4在x ∈[－1,2]上的最大值，最小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (1)与f (2) C ．f (－1)与f (2)D ．f (2)与f (－1)解析：利用导数求最值．由y ′＝4－4x 3＝0，得x ＝1， ∵f (1)＝3，f (－1)＝－5，f (2)＝－8， ∴f (x )max ＝f (1)，f (x )min ＝f (2)． 答案：B10．函数f (x )＝2x 2－13x 3在区间[0,6]上的最大值是( )A ．323B ．163C ．12D ．9解析：f ′(x )＝4x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝4.比较f (0)，f (4)，f (6)，得f (x )max ＝f (4)＝323. 答案：A11．(2015·福建高考卷)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1解析：构造函数F (x )＝f (x )－kx ， 则F ′(x )＝f ′(x )－k >0.∴函数F (x )在R 上为单调递增函数． ∵1k －1>0，∴F ⎝⎛⎭⎫1k －1>F (0)．∵F (0)＝f (0)＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1－k k －1>－1，即f ⎝⎛⎭⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1.∴f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1. 答案：C12．(2015·全国卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞) 解析：当x >0时，令F (x )＝f (x )x， 则F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0.∴当x >0时，F (x )＝f (x )x为减函数．∵f (x )为奇函数，且由f (－1)＝0，得f (1)＝0， ∴F (1)＝0.∴在(0,1)上，F (x )>0； 在(1，＋∞)上，F (x )<0. 即当0<x <1时，f (x ) >0； 当x >1时，f (x )<0.又f (x )为奇函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0； 当x ∈(－1,0)时，f (x )<0.综上可知，f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值为________． 解析：f ′(x 0)＝3x 20＝3，∴x 0＝±1. 答案：±114．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是_________． 解析：令y ′＝3x 2＋2x －5>0，得x <－53或x >1.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(1，＋∞) 15．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意可知，f ′(x )＝2mx ＋1x －2＝2mx 2－2x ＋1x ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2mx 2－2x ＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．∴m ≥2x －12x 2在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝2x －12x 2＝1x －12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x －12＋12， ∴g (x )max ＝12.∴m ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞16．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________．解析：当a >0时，函数f (x )在(－∞，－1)上是增加的，在(－1，a )上是减少的，在(a ，＋∞)上是增加的．故在x ＝a 处取极小值．当a ＝－1时不合题意．当－1<a <0时，函数f (x )在(－∞，－1)上是减少的，在(－1，a )上是增加的，在(a ，＋∞)上是减少的．故在x ＝a 处取极大值．当a <－1时，函数f (x )在(－∞，a )上是减少的，在(a ，－1)上是增加的，在(－1，＋∞)上是减少的．故在x ＝a 处取极小值．综上，a ∈(－1,0)． 答案：(－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∵f (x )在x ＝0处取得极值， ∴f ′(0)＝0，即b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.∵函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，∴应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.18.(12分)如图，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．解：设矩形边长为|AD |＝2x ，则|AB |＝y ＝4－x 2，矩形面积S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)． 即S ＝8x －2x 3，∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝23， x 2＝－23(舍去)．当0<x <23时，S ′>0； 当23<x <2时，S ′<0. ∴当x ＝23时，S 取得最大值， 此时S 最大＝3239，y ＝83.即矩形的边长分别为433、83时，矩形的面积最大．19．(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝a x －12x 2＋32，由题意知f ′(1)＝0， 即a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛⎭⎫因为x 2＝－13不在定义域内，舍去. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.20．(12分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)∵f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， ∴f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， ∴a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数． 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知函数f (x )＝2x 3－x 2＋ax ＋b ，(1)若函数f (x )的图像上有与x 轴平行的切线，求参数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )<b 2＋b 恒成立，求参数b 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ， 依题意知，方程f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝4－4×6a ≥0，得a ≤16.即参数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，16. (2)由函数f (x )在x ＝1处取得极值，知x ＝1是方程f ′(x )＝6x 2－2x ＋a ＝0的一个根， ∴a ＝－4，方程f ′(x )＝6x 2－2x －4＝0的另一个根为－23，∴当x <－23或x >1时，f ′(x )>0；当－23<x <1时，f ′(x )<0.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，－23和[1,2]上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－23，1上为减函数， ∴f (x )有极大值f ⎝⎛⎭⎫－23＝4427＋b ， 极小值f (1)＝b －3.又f (－1)＝b ＋1，f (2)＝b ＋4， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝4＋b . ∴只需满足f (x )max <b 2＋b ， 即4＋b <b 2＋b ，解得b >2或b <－2. ∴b 的取值范围为b >2或b <－2.22．(12分)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝a x ＋2(x ＋1)2∵a ＝0，∴f ′(x )＝2(x ＋1)2.根据导数的几何意义，所求切线的斜率k ＝f ′(1)＝12，而f (1)＝0.∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.(2)f ′(x )＝a (x ＋1)2＋2x x (x ＋1)2＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋ax (x ＋1)2，令g (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a ，Δ＝4(a ＋1)2－4a 2＝8a ＋4. 当a ＝0时， f ′(x )＝2(x ＋1)2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上递增．当a >0时，Δ>0，此时g (x )＝0的两根 x 1＝－(a ＋1)－2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，∵a >0，∴x 1<0，x 2<0. ∴g (x )>0.∵x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )>0.∴f (x )在(0，＋∞)上递增．当a <0时，Δ＝8a ＋4≤0，即a ≤－12时，g (x )≤0，∴f ′(x )≤0.∴f (x )在(0，＋∞)上递减． 当Δ>0，即－12<a <0时，x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a >0，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a >0.∴令f ′(x )>0，x ∈(x 1，x 2)， f ′(x )<0，x ∈(0，x 1)∪(x 2，＋∞)．∴f (x )在(x 1，x 2)上递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减． 综上所述：当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上递增；当－12<a <0时，f (x )在(x 1，x 2)上递增，在(0，x 1)和(x 2，＋∞)上递减⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a； 当a ≤－12时，f (x )在(0，＋∞)上递减．。