13.3.2等腰三角形的判定
八年级数学上册 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定说课
八年级数学上册 13.3 等腰三角形 13.3.2 等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定说课稿（新版）新人教版一. 教材分析等腰三角形和等边三角形是八年级数学上册第13.3节的内容。
这部分内容是学生学习了三角形的基本性质之后，进一步研究三角形的特殊形态。
等腰三角形和等边三角形具有很多独特的性质，例如等腰三角形的两底角相等，等边三角形的三个角都相等，三条边都相等。
这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经掌握了三角形的基本性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但等边三角形的性质和判定较为复杂，学生可能难以理解和掌握。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解等腰三角形的性质和判定方法，掌握等边三角形的性质和判定方法。
2.过程与方法目标：通过观察、分析和推理，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的性质和判定方法，等边三角形的性质和判定方法。
2.教学难点：等边三角形的性质和判定方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾三角形的基本性质，引导学生发现等腰三角形和等边三角形的特殊性质。
2.讲解等腰三角形的性质和判定方法：利用多媒体课件和实物模型，展示等腰三角形的性质，引导学生通过观察、分析和推理得出判定方法。
3.讲解等边三角形的性质和判定方法：同样利用多媒体课件和实物模型，展示等边三角形的性质，引导学生通过观察、分析和推理得出判定方法。
4.练习巩固：设计一些具有代表性的练习题，让学生运用所学的性质和判定方法进行解答。
5.课堂小结：让学生总结等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法。
13.3.1.2等腰三角形的判定教案
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示等腰三角形判定方法的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
举例：
a.难点1：已知三角形ABC中，角B=角C，求证三角形ABC为等腰三角形。
解释：学生需要运用角度相等的性质，推导出两边相等，从而判断为等腰三角形。
b.难点2：在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，求证梯形ABCD为等腰梯形。
解释：学生需要运用等腰三角形的性质，证明两个腰所在的三角形全等，从而得出梯形ABCD为等腰梯形。
首先，我意识到在理论讲解部分，我应该更加注重引导学生通过观察和思考，自己总结出等腰三角形的性质。这样不仅能够加深他们对知识点的理解，还能培养他们的逻辑思维能力和抽象思维能力。今后，我打算多设计一些互动环节，让学生在课堂上能够更加主动地参与到学习中。
其次，实践活动中的分组讨论和实验操作环节，虽然学生们表现出了较高的兴趣，但在实际操作过程中，我发现部分学生仍然对如何运用等腰三角形的判定方法解决问题感到困惑。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，增加一些具体的实例分析，让学生在解决实际问题的过程中，逐步掌握等腰三角形的判定方法。
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
人教版八年级上册数学等腰三角形的判定
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2022年秋八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 第2课
15．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O 为 BC 的中点． (1)求证：OA＝OB＝OC； (2)若点 M、N 分别是 AB、AC 上的点，且 BM＝AN，试判断△OMN 的形 状，并说明理由．
(1)证明：在 Rt△ABC 中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， 又∵O 为 BC 的中点，∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC(三线合一)，∴∠OAC＝ ∠OAB＝21∠BAC＝45°，∴∠OAB＝∠B＝45°，∴OA＝OB，∴OA＝OB＝ OC； (2)解：△OMN 为等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，BM＝AN，∴AB－ BM ＝ AC － AN ， ∴ AM ＝ CN ， 在 △ AOM 和 △ CON 中 ，
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝21(180°－∠A)＝12×(180° －36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝21×72° ＝36°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC，∠A＝ ∠ABD，∴AD＝BD＝BC.
的是( B )
A．∠A＝50°，∠B＝60°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝40°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
2．如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，添加下列条件中的某一个，不能
推出△ABC 为等腰三角形的是( A )
A．∠BAD＝∠ACD
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝CD
A∠MO＝AMCN＝∠OCN＝45° ，∴△AOM≌△CON，∴OM＝ON，∠AOM＝ OA＝OC
∠CON，又∵∠CON＋∠AON＝90°，∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON ＝90°，∴△OMN 为等腰直角三角形．
等腰三角形的判定(分层作业)(原卷版)
13.3.2 等腰三角形的判定夯实基础篇一、单选题：1．在△AB C中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5B．1.5C．2D．13．如图，在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角4．已知：如图，下列三角形中，AB AC形分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（）A ．OA ＝ODB ．AB ＝CDC ．∠ABO ＝∠DCOD ．∠ABC ＝∠DCB6．如图，在△AB C 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC =110°，则∠EAF 为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°7．如图，△ABC 的面积为8cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为（ ）A ．2cm 2B ．3cm 2C ．4cm 2D ．5cm 2二、填空题：8．在三角形 ABC 中，已知 70A ∠=︒ ， 40B ∠=︒ ，那么 ABC 的形状是 ． 9．如图，在△AB C 中，BD 平分 ∠ ABC ，ED ∥BC ，已知AB =3，AD =1，则△AED 的周长为10．如图，在△AB C 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM +CN =9，则线段MN 的长为 ．11．如图，在△AB C 中，AB =AC ，点E 在CA 延长线上，EP ⊥BC 于点P ，交AB 于点F ，若AF =2，BF =3，则CE 的长度为 ．12．如图，△AB C中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE是∠BAC的平分线，点E到AB的距离等于3cm，则CF=cm.13．如图，在△AB C中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．三、解答题：14．如图，在△AB C中，AB＝AC，高BD、CE相于点O.证明OB＝O C.15．如图，在△AB C中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=A C．16．如图，已知在△AB C中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝A C.能力提升篇一、单选题：1．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（）A．25°B．130°C．50°或130°D．25°或130°3．如图,在△AB C中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G,过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ 12∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n,则AEFS=mn.其中正确的结论有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：4．如图，在ΔABC 中，AB AC =，40B ∠=︒，点D 在线段BC 上运动（D 不与B ，C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 与AC 交于E .在点D 的运动过程中，BDA ∠的度数为 时，ΔADE 的形状是等腰三角形.5．如图，在三角形AB C 中，DE 垂直平分BC ，交BC 、AB 分别于 D 、E ，连接CE ，BF 平分∠ABC ，交CE 于F ，若BE =AC ，∠ACF =16°，则∠EFB =6．如图，已知点P 是射线BM 上一动点（P 不与B 重合），∠AOB =30°，∠ABM =60°，当∠OAP = 时，以A 、O 、B 中的其中两点和P 点为顶点的三角形是等腰三角形．7．如图，在 ABC 中， ABC ∠ 和 ACB ∠ 的平分线相交于点O ，过点O 作 //EF BC 交 AB 于E ，交 AC 于F ，过点O 作 OD AC ⊥ 于D ，有下列结论：①EF BE CF =+ ；②点O 到 ABC 各边的距离相等；③1902BOC A ∠=︒+∠ ；④()12AD AB AC BC =+- .其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）.三、解答题：8．如图，已知在△AB C 中，△ABC 的外角∠ABD 的平分线与∠ACB 的平分线交于点O ，MN 过点O ，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．求证：MN=CN﹣BM．9．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接A D．（1）求证：∠BDC= 12∠BAC；（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．。
13.3.2等腰三角形的判定(教案)
-理解并应用等腰三角形的性质：学生对几何图形性质的理解往往停留在表面，难以将其应用于解决问题。
-判定定理的灵活运用：学生在面对具体问题时，可能难以判断应该使用哪个判定定理，或者如何运用这些定理。
-空间想象能力的培养：在解决等腰三角形相关问题时，学生需要具备较强的空间想象能力，这对于部分学生来说是一个挑战。
2.提高学生的空间想象能力：通过等腰三角形的性质和判定定理的学习，培养学生对几何图形的空间感知和想象能力，为解决复杂几何问题奠定基础。
3.增强学生的数学建模意识：让学生在实际问题中运用等腰三角形的判定方法，学会将现实问题抽象成数学模型，培养数学建模意识。
4.培养学生的数据分析能力：通过解决等腰三角形相关问题时，学会分析数据，找出解决问题的有效方法，提高数据分析能力。
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如利用尺规作图画出等腰三角形，并验证其性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
13.3.2等腰三角形的判定（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第十三章第三节，主要围绕等腰三角形的判Байду номын сангаас展开。教学内容包括：
人教版八年级数学上册13.3《等腰三角形的判定》教学设计
-结合实际题目，引导学生运用等腰三角形的性质解题，培养解决问题的能力。
4.合作探究：
-将学生分成小组，讨论等腰三角形在实际问题中的应用，培养学生的合作意识和沟通能力。
-引导学生从不同角度分析问题，培养学生的发散思维。
5.练习巩固：
-设计不同难度的练习题，让学生分层练习，巩固所学知识。
2.强调等腰三角形在实际问题中的应用，让学生体会数学与生活的紧密联系。
3.提醒学生注意等腰三角形与其他图形的结合与转化，提高解决问题的能力。
4.鼓励学生在课后继续探索等腰三角形的相关知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生对等腰三角形性质的理解和应用能力，特布置以下作业：
2.练习题包括基本概念题、性质应用题、综合提高题等，涵盖本节课的教学内容。
3.学生独立完成练习题，教师对学生的答题情况进行实时反馈，指导学生正确解题。
4.对学生的作业进行批改，及时了解学生的学习情况，为下一步的教学提供参考。
（五）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的定义、判定定理和性质。
1.基础巩固题：
-请同学们完成课本第93页的习题1、2、3。
-选择两道具有代表性的题目，要求学生在课后独立完成，加强对等腰三角形判定定理和性质的理解。
2.实践应用题：
-结合生活实例，设计一道与等腰三角形相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题。
-鼓励学生思考等腰三角形在建筑、艺术等方面的应用，提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.教学重点：
-等腰三角形Leabharlann 定义及其判定定理的掌握。-运用等腰三角形的性质解决实际问题的能力。
公开课(等腰三角形的判定)
3 1
B
2
C
4、如图，把一张长方形的纸沿着对角 线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？ C’ 为什么？ o D A
B
C
1、等腰三角形的判定方法有下列几 ①定义，②判定定理 种： 。 2、等腰三角形的判定定理与性质定理 的区别是 条件和结论刚好相反。 。 3、运用等腰三角形的判定定理时， 应注意 在同一个三角形中 。 4、等腰三角形的判定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个 角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)
用符号语言表示为:
A
∵
在△ABC 中，∠B =∠C，
∴
AB =AC．
B
C
课堂练习：
1、已知：如图∠A=360,∠DBC =360， ∠C=720。计算∠1和∠2，并说明图中有 哪些等腰三角形？
A
D
1 2 B C
应用举例：
∴ ∠1 =∠B
（两直线平行，同位角相等）
1 A 2
D
∠2 =∠C （两直线平行，内错角相等）
∵ ∠1 =∠2， ∴ ∠B （ 等角对等边 ）
练习2、 如图，AC 和BD 相交于点O， 且AB∥DC，OA =OB．求证：OC =OD．
D O C
A
B
3.已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC 求证：AB=AD
结论：这两条边所对的角相等．
一般形式为:如果一个三角形中有两条边 相等，那么这两条边所对的角相等．
如果一个三角形中有两条边相等，那么这 两条边所对的角相等． 它的逆命题是什么？
如果一个三角形中有两个角相等，那么这 两个角所对的边相等． 这个命题是真命题吗？
如果这个命题是真命题，我们就能根据它去 判断一个三角形是不是等腰三角形了。
等腰三角形的判定教案新版华东师大版
13．3.2 等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定．2．等边三角形的判定．3．等腰三角形的性质与判定的综合运用．重点等腰三角形(含等边三角形)的判定．难点等腰三角形的性质与判定的综合运用．一、创设情境我们学过等腰三角形两底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？同学们画一画、量一量，你有什么结论？请表达．二、探究新知1．等腰三角形具有特殊的性质，在应用上极为广泛，那么怎样判断一个等腰三角形呢？2．我们看另一种方法操作：(1)在准备的半透明纸上画一条线段BC；(2)分别以B，C为顶点，BC为边，在BC的同一侧用量角器作出两个相等的角，两角的另一边交于点A；(3)用刻度尺找出BC的中点D，连结AD；(4)沿AD对折．教师示范．问题：(1)AB与AC重合吗？(2)从以上操作过程及结果中，你能得到一个什么结论？3．归纳如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”)引导学生用推理的方法对结论的正确性进行证明．4．小结现在判断一个三角形是等腰三角形的办法有几种？5．运用(学习教材例3)例在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°.求证：AB＝AC.教师巡回指导．证明：∵∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－70°＝70°，∴∠C＝∠B.∴AB＝AC.6．思考三个角都是60°的三角形是等边三角形吗？你能说明理由吗？教师指导．7．给出等腰直角三角形的定义顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形．问题：请计算等腰直角三角形每个内角的大小．8．引申如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，则图中共有多少个等腰直角三角形？9．学习课本第83页例4、例5.学习时，可先让学生思考、交流，寻找思路，然后师生共同写出解答过程．三、练习巩固1．如图，OB＝OC，∠ABO＝∠ACO.求证：AB＝AC.2．如图，在△ABC中，AD平分∠FAC，AD∥BC，AE是中线．求证：AE⊥AD.四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流，教师在学生发言的基础上归纳总结．作业教材第84页练习第1，2，3题．本节课通过学生操作、观察、发现、论证得出等腰三角形的判定方法，进而利用等腰三角形的判定方法研究得出等边三角形的判定方法，知识上层层推进，方法上相互映衬，符合学生的认知规律，提高了课堂效率．本节课中等腰三角形的基本图形是学生解题的关键，教师积极引导学生归纳，不断升华学生的认知层次，提升解题能力，让学生感受解题成功的喜悦．。
人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形
专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
人教八年级数学上册等腰三角形
B
A
D
C
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪 下来，请试试折叠，此时猜想仍然成立吗？
新知探究 知识点1
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. A
几何语言：如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.
B
C
应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中，不
在同一个三角形中不能使用.
A
B
C
D
新知探究 知识点1
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相 等（简写成“等角对等边”）.
A 几何语言：如图，在△ABC中，
∵∠B=∠C， ∴AB=AC.
B
C
新知探究 知识点1
“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相 等，那么它的两条腰相等.因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能 用“底角”、“顶角”、“腰”这些名词.
A
┐
C
新知探究
跟踪训练
如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度数
为（ C ）
A.35°
B.45°
C.55°
D.60°
解：∵AB=AC，D为BC的中点， ∴∠B=∠C，AD⊥BC. ∵∠B=90°-∠BAD=55°, ∴∠C=55°.
随堂练习 1
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且DA=DC，BD=BA,则∠B的大小
Hale Waihona Puke 课堂导入如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得 到的△ABC有什么特点.
B
A
D
C
剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.
13.3.2 等腰三角形的判定
13.3.2 等腰三角形的判定课题13.3.2等腰三角形的判定授课人教学目标知识技能1.理解并掌握等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理；2．经历等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理的探究过程，能运用所学的新知识解决有关问题；数学思考经历思考、猜想以及对操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受证明的必要性，同时积累数学活动经验．问题解决使学生充分经历新知识的探究过程，进一步培养学生自主探究与合作交流的能力．情感态度经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值．理解并掌握等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理．能探究出等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理．新授课课时第一课时多媒体课件师生活动设计意图[思考并交流] (见书上82页的探索)请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题，其逆命题是真命题吗？请与你的同学研究讨论后作出判断．学生活动：学生分组讨论，探究出答案．教师活动：组织引导学生进行分组讨论活动．师生合作交流：师生通过合作交流得到下列结论：[小结]定理：有两个角相等的三角形是通过分组讨论和师生合作交流活动的开展，引导学生探究出等腰三角形的判断定理，从而引入新课.等腰三角形．简称“等角对等边”.活动二：实践探究交流新知探究内容：上述活动一中的定理我们称之为等腰三角形的判定定理，用几何语言表示为：在△ABC中，∵∠B＝∠C.图13－3－∴AB＝AC(等角对等边)[思维提升] 同学们能从推理的角度证明这个定理吗？学生活动：学生自主探究出答案并与同学进行交流．已知：△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.图13－3－证明：过点A作AD⊥BC，D为用不同的方法证明这个定理，拓展学生添加辅助线的能力.垂足．∵AD⊥BC(已作)，∴∠ADB＝∠ADC(垂直的定义)，在△ABD与△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)，另外一种方法为：作角平分线AE. [探究并交流] 请思考下列问题的答案并与同学交流：(1)三个角都相等的三角形是什么三角形？(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？学生活动：学生自主探究出答案并与同学进行交流．教师活动：组织引导学生进行自主探究与交流活动．师生合作交流：师生合作交流得到下列结论：[小结]1．三个角都相等的三角形是等边三角形．2．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．应用迁移，巩固提高应用举例：图13－3－例1如图13－3－，一艘轮船从A处出发，以每时10n mile(海里)的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上．如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上．本题考查了等边三角形的判定与性质，其目的是培养学生分析、解决问题的能力以及综合思维的能力.(1)画出礁石C的位置；(2)求从B处到礁石C的距离．学生活动：学生自主探究出答案并与同学进行交流．教师活动：组织引导学生进行自主探究与交流活动．图13－3－解：(1)如图13－3－，以B为顶点，向北偏西作60°角，这角一边与AC交于点C，则点C为礁石所在地．(2)∵∠ACB＝60°－30°＝30°(三角形的外角性质)又∵∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC，∴BC＝BA，又∵BA＝10×(10－8)＝20，∴BC＝20.答：从B处到礁石C的距离为20nmile.拓展提升图13－3－如图13－3－，在△ABC中，已知D是BC的中点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，且DF＝DE，那么AB＝AC吗？你能用学过的知识完成这个问题吗？思考：若添加一个条件，使得△ABC是等边三角形？不再添加字母和线段，看你能说出多少个不同的条件．课 1.学生谈谈本节课的收获；培养堂小结2．本节课的主要内容有：等腰三角形的判定定理，等边三角形的判定定理学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价.活动四：课堂总【当堂训练】1．课本P84中的随堂练习2．课本P84中的习题13.3中的T5、T6、T7当堂检测，及时反馈学习效果【知识网络】完整的知识网络是教师教学结反思的提纲，是学生复习的依据，有利于学生对新知的理解与巩固.【教学反思】①[授课流程反思]本节课借助于[思考与交流]、[思维提升]、[探究并交流]以及[思维拓展]等活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动方式和学习方式探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．教学反思是一种有益的思维活动和再学习活动；也是回顾教学，分析成败，查找原因，寻求对策，以利后行的过程.②[讲授效果反思]等腰三角形的判定与等腰三角形的性质两课的课堂结构基本类似，学生学习效果好一些，但学生在的探究能力和几何的说理意识不够好．③师生互动反思④[习题反思]好题题号____________________________ ______________错题题号____________________________ ______________。
等腰三角形的判定(综合案)
13.3等腰三角形（2）（综合案）教师复备栏或学生笔记栏学习目标：1、掌握等腰三角形的判定方法，并能灵活运用解决实际问题；2、 通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题的能力，享受学习的快乐；学习重点：等腰三角形的判定方法。
学习难点：等腰三角形的判定和性质的区别，等腰三角形的判定的应用。
学法指导：1、浏览学案，带着问题自学课本；2、首先读课本77～78页了解内容；3、再读课文，根据下面“问题导读”划等腰三角形的判定定理；4、再读课文，理解等腰三角形的判定定理是如何验证出来的；5、小组内两两组合讲述例2的证明步骤和例3的作法；6、完成课后习题；7、再读课文，找出疑惑并作出相应的标记；8、合上课本完成学案；9、交流讨论学案的内容并作出评价。
预习案问题导读：1. 已知三角形的两个角相等，那么它们所对的边有什么关系，如何证明，添加的辅助线是什么？2. 等腰三角形的判定定理是什么？它的几何语言怎么写？3. 例2给出的是一个文字命题，它的图形、已知、求证分别是什么？分析的思路是什么？4. 例3中已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形，作法是什么？注意它的作图痕迹，想一想为什么这样作出来的图形就是等腰三角形呢？预习自测：1、如图，∠A=36゜，∠DBC=36゜，∠C=72゜。
∠1=______，∠2=_____，图中的等腰三角形有：______________________________我的疑惑：1:2:预习检查组长签字：__________探究案探究：等腰三角形的判定1、等腰三角形的性质定理是_________________________________.它的逆命题是____________________________________________.如何验证？请结合命题画出它相应的图形，写出已知和求证。
已知：求证：证明：由此可以得到：等腰三角形的判定定理：_______________________________________，简写为__________.几何语言：∵_______________________∴_______________________跟踪训练：1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，求证：OA=OBABCDO2.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个教师复备栏或学生笔记栏三角形是等腰三角形。
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此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择（AO=OP=R）
③AP=OP（一个）
作AO的中垂线，与y轴有一个交点，该上所述，共有4个．
三、难点释疑，延伸拓展:
3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F.
同学们，你们想知道，这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定.
二、自学探究交流展示：
1：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°
BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，
则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．
2：已知平面直角坐标系中，点A坐标为（－2，3），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：因为△AOP为等腰三角形，所以可分成三类讨论：
①AO=AP（有一个）
此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是P；
集体备课专用
主备人
杨世友
参加人员
全体数学教师
个人修改意见
课题
13.3.2等腰三角形的判定
学
习
目
标
1．使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；
2．掌握等腰三角形判定定理的运用；
教学重点
使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论
教学难点
掌握等腰三角形判定定理的运用
教学用具
多媒体课件
1、创设情境呈现目标：
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，他选择河流北岸上一棵树（A点）为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米,就可知河流宽度是50米.
求证：△CEF是等腰三角形.
4：如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，点A的坐标是（1，0），点B、C在y轴上，在x轴上是否存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形？如果存在，请写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
四、总结反思，当堂检测
5：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．