第三章 恒定磁场

图3.2.5 镯环磁场分布
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第 三 章
恒定磁场

NI NI e, H e , B r r
0

H 0
1
3.4 磁矢位及其边值问题
Magnetic Vector Potential and Boundary Value Problem
3.4.1 磁矢位 A 的引出
第 三 章
第三章 恒定磁场
Steady Magnetic Field
恒定磁场
序 磁感应强度 磁通连续性原理∙安培环路定律 恒定磁场基本方程∙分界面上的衔接条件 磁矢位及边值问题 磁位及边值问题 镜像法 电感 磁场能量与力
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恒定磁场
Introduction 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场，
m — 磁化率。 r—相对磁导率。
磁导率
0 r H/m
即
B Η
6. H 的旋度
l S
斯托克斯定律
H dl I J dS
H J
( H ) dS J dS
S S
积分式对任意曲面 S 都成立，则 恒定磁场是有旋场
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恒定磁场
4.有磁介质时的环量与旋度
B dl I 0 ( I I m )
l 0
0 I 0 J m dS
s
u0 I u0 ( M ) dS
S
u0 I u0 M dl
l
B 移项后 l ( M ) dl I 0 B 定义：磁场强度 H - M 0
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3.2.2 安培环路定律 (Apere’s Circuital Law) 1. 真空中的安培环路定律
B dl I
l 0
I J dS
n 0 k 1 k
0 S
当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正 值，否则取负；
2. 恒定磁场的旋度 用斯托克斯定理
J (r ) (r r ) B dV 3 4π V r r
体电流
0
面电流
0 K (r ) (r r ) B dS 3 4π S r r
毕奥－沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。
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3.2 磁通连续性原理 • 安培环路定律
得 B2 x 300
B2 x H 2x 10 2
由 B1x B2 x
由 H 1 y H 2 y K 得 H 2 y H1 y K 8 4 4
即
图3.3.4 含有 K 的分界面 衔接条件
H 2 H 2 y e y H 2 x e x 10e x 4e y
得到
0 I B e 2 2π 2
2 3 2 3 2图3.24 同轴电缆的磁场 分布返 回 上 页 下 页
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3. 介质的磁化（magnetization） 1）磁偶极子 (magnetic dipole) 磁偶极矩 m IdS Am2
( magnetic dipole moment )
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3.3 基本方程 、 分界面衔接条件
Basic Equations and Boundary Condition 3.3.1 基本方程 (Basic Equations) 恒定磁场的基本方程表示为
B dS 0 （磁通连续原理）
S
l
B 0
（安培环路定律） H J H d l I
恒定磁场
Magnetic Flux Continue Theorem & Ampere’s Circuital Law
3.2.1 磁通连续性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem ) 1. 磁通连续性原理
s B dS 0
磁场中的高斯定律
表明磁感应线是连续的 磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通
有限元法
分离变量法
镜像法
电感的计算
磁场能量及力
磁路及其计算
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恒定磁场
本章要求
深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度 的概念。 掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。 了解磁位及其边值问题。 熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方 法。
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B1n B2 n
图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件
B 的法向分量连续
2. H 的衔接条件
根据
l
H dl I , l2 0 得
H1t l1 H 2t l1 Kl1
H1t H 2t K
图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件
H 的切向分量不连续
H1t H 2t (K = 0时)
Φ B dS
S
单位：Wb (韦伯)
图3.2.1 B 的通量
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恒定磁场
2. 恒定磁场的散度
s B dS 0
则
散度定理
BdV 0
V
B 0
表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。
B 0 可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场 的必要条件。
F1可以表示恒定磁场。
1 1 (b) F2 ( F2 ρ ) ( a ) 2a 0
F2不能表示恒定磁场。
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3.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition) 1. B 的衔接条件 根据 B dS 0, 由 l 0 可得 s
力 = 受力电流 磁感应强度
定义：磁感应强度
0 I 'd l e R 0 Idl (r r ) B 2 4π l r r 3 4π l R
单位 T（Wb/m2）
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恒定磁场
线电流
0 I 'd l e R 0 Idl (r r ) B 2 4π l r r 3 4π l R
化现象。 磁化强度（magnetization Intensity）
图3.2.7 磁偶极子受磁 场力而转动
M lim i 1 V 0 V
mi
（A/m）
n
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3） 磁化电流
体磁化电流 面磁化电流
Jm M
K m M en
磁化电流分布规律： 1.面磁化电流一定存在 2.体磁化电流存在规律 ① 非均匀介质 ② 介质内有体传导电流分布
B 的旋度
B dl S ( B) dS 0 SJ dS
l
B 0 J
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恒定磁场是有旋场
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恒定磁场
例 3.2.1 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。
解： B B( )e
1 ) 0 1
安培环路定律
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恒定磁场
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
( Biot-Savart Law and Magnetic Flux Density )
电场力
力 = 受力电荷 电场强度
1 dV F q( e R ) qE 2 4π 0 V R
'
磁场力
μ0 I d l eR F Id l ( ' ) Id l B 2 l l 4π l R
图3.2.2 同轴电缆
B dl I
l 0
2 2 I π I 2 2 π1 1
I
I 2 l B dl 2πB 0 12
故
图3.2.3 安培定律示意图
0 I B e 2 2 π1
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恒定磁场
2) 1 2
H dl NI
l
H 2 ( r ) H r NI
B B
1
1
2
NI H 2 ( r ) r NI H 2 ( r ) r
0 0
2
0
NI B B 2 ( r ) r
0 1 2 0
恒定磁场
3.1 磁感应强度
Magnetic Flux Density 3.1.1 安培力定律 (Ampere’s Force Law ) 两个载流回路之间的作用力 F
4π l l '
F
0
Idl ( I 'dl ' e R ) R2
式中， 0 为真空中的磁导率
图3.1.1 两载流回路间的相互作用力
图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系
A/m
则有
H dl I
l
安培环路定律
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5. B 与 H 的关系
恒定磁场
实验证明，在各向同性的线性磁介质中 M H
m
B 0 ( H M ) 0 H (1 m ) 0 r H H
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3. 折射定律 媒质均匀、各向同性，分界面 K=0 tan 1 1 折射定律 tan 2 2 讨论: 分析铁磁媒质与空气分界面情况。
0 由 tan 1 tan 2 0 2
图3.3.3 铁磁媒质与空 气分界面
得 1 0
表明只要 2 90 ，空气侧的B 与分界面近似垂直，铁磁媒质表面 近似为等磁面。

得到
B dl 2πB 0 I l 0 I B e 2 π
3) 2 3,
2 32 2 2 2 I I I 2 I 2 2 2 3 2 3 2
0 I ( 32 2 ) l B dl 2πB 32 22
均匀介质内无体传导电流分布时体磁化电流为零。
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恒定磁场
4） 磁偶极子与电偶极子对比 模 型
电 偶 极 子 磁 偶 极 子
极化与磁化
电场与磁场
ρ p - P
p qd
p P en
Jm M
m IdS
K m M en
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构成方程
B H
恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场 的涡旋源。 返 回 上 页
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恒定磁场
例 3.3.1 试判断
(a ) F1 axe y bye x (b) F2 a e
能否表示为一个恒定磁场？
F1 y F 1 x 解：(a ) F1 00 0 x y
m=IdS dS
图3.2.5 磁偶极子
2）介质的磁化
无外磁场作用时，介质对 外不显磁性， n
i 1
mi 0
在外磁场作用下，磁偶极 子发生旋转， n
i 1
mi 0
图3.2.6 介质的磁化
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恒定磁场
旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场 方向一致，对外呈现磁性，称为磁
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恒定磁场
例 3.3.3 在两种媒质分界面处，1 5 0， 2 30 面电流 K 4e z A/m ，且 H1 6e x 8e y A/m，
试求 B1，B2与 H2 的分布。 解:
B1 1 H1 50 (6e x 8e y )
B2 2 H 2 0 (30e x 12e y )
T
A/m
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B B 第 三 章
1 2
恒定磁场
例3.2.4 一矩形截面的镯环，镯环上绕有 N 匝线圈， 电流为 I ，如图示，试求气隙中的 B 和 H。
解: 取安培环路的半径 R1 r R2 , 忽略边缘效应
1 2
3.0 序
但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时，
注意类比法的应用。 恒定磁场的知识结构。
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恒定磁场
基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度
基本方程 分界面衔接条件 边值问题
B 的散度
磁位( m ) 数值法
磁矢位（A） 解析法
有限差分法