三角形全等之截长补短(习题及答案)

三角形全等之截长补短（习题）
例题示范
例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．
F
E
D C B
A
【思路分析】
题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．
① 考虑截长的方法，如图所示：
A B
C
D
E
F
H
在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可．
结合题目条件，先证明△A B D ≌△H C D ，再证明△A D F ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：
F
E
D
C
B
A H
延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．
可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立． 【过程书写】 （截长的方法）
在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．
A B
C
D
E
F
H
∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，
AB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC
∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°
∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，
AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF
∴CF =CH +HF =AB +AF
巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．
求证：AC =AB +BD ．
A B C D A
B
D
2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．
求证：AE =AD +BE ．
3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长
BD 至E ，使DE =AD ，连接EC ． 求证：BC =AB +CE ．
C
D
E C
D E B E
A
D
C
E
A
D
C
4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．
求证：BE+DF=AE．
思考小结
1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如
果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．
常见构造辅助线的方法：
①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造
全等三角形．
②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的
数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．
2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°
角所对的直角边是斜边的一半．F
E D C
B A
已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求证：BC 1
2
AB ．
【参考答案】
巩固练习 1. 证明略
提示：
方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ， 再证明CE =DE ；
方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略
提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明 BE =FE ． 3. 证明略
提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ， 再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 证明略
30°
A
提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．
思考小结
1.倍长中线，截长补短
2.证明略
提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根
据三线合一，可得BC=1
2
BD，所以BC=
1
2
AB．。