立体几何垂直问题经典题型汇总

1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1
AO ⊥平面MBD ． 证明 ◆
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2 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交
SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．
3 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，
作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．
证明：
5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
证明：
．
6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BD
A
D
B O
C
证明： 7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D
D 1 C 1
A 1
B 1
D C
A B
证明：
8.
如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC
分析：
10
【典型例题精讲】
［例1］ 如图9—39，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．
图9—39
［例2］ A B C D F E G A'
在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，求证：平面D 1EF ⊥平面AB 1C ．
【证明】如图9—43，∵E 、F 分别是AB 1、CB 1的中点，
3．如图9—44，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱与底面成3
的角，侧面ABB 1A 1垂直于底面， 图9—44
（1）证明：B 1C ⊥C 1A ．（2）求四棱锥B —ACC 1A 1的体积．
4．如图9—45，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点，且PA=AB ．
图9—45
（1）求证：平面PCE ⊥平面PCD ；（2）求点A 到平面PCE 的距离．
5．已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=23，E 、F 分别为棱CC 1、BB 1上的点，且满足EC=BC=2FB ．
图9—46
6（1）求证：平面AEF ⊥平面A 1ACC 1；（2）求异面直线EF 、A 1C 1所成角的余弦值． （2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. (Ⅰ)证明:1
AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,16AC =,求三棱柱111ABC A B C -的体积. C 1
1
A A
B C。