2017-2018学年陕西省咸阳市高二(下)期末数学试卷(文科)

2017-2018 学年陕西省咸阳市高二 （下）期末数学试卷 （文
科）
副标题
题号 一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.
（ 1+i ）（ 2-i ）= （
）
A. -3- i
B. -3+i
C. 3-i
D. 3+i
2.
抛物线 y=
的焦点坐标为（
）
A.（，
） B.（，）
C.（，
） D.（，）
2 0
2
3. 已知函数 y=f （ x ）的图象如图所示，则 f ′（ x A ）与 f'（ x B ）的大小关系是（
）
A. f ′（ x A ）＞ f'（x B ）
B. f ′（ x A ）＜ f'（ x B ）
C. f ′（ x A ） =f'（ x B ）
D. 不能确定
4. 双曲线 x 2
-
=1 的渐近线方程是（ ）
A. y=± x
B. y=± x
C. y=± x
D. y=±3x
5. 命题 p ： ?x ∈R ， cosx ＞ 1 的否定是（
）
A. ￢ p ： ?x ∈R ， cosx ≤1
B. ￢ p ： ?x ∈R ， cosx ≤1
C.￢：?∈，
＜
D. ￢
：?∈，
cosx ＜
1
px
R cosx 1
p
x R
6. 设P 是椭圆
=1 上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A. 2
B. 2
C. 2
D. 4
7. “ x ≠0 x 0 ）
”是“ ＞ ”的（
A. 充分不必要条件
B. 必要
不充分条件
C. 充要条件
D. 既不
充分也不必要条件
8. 图是计算函数 f x =
的值的程度
（ ）
框图，在①、②、③处应分别填入的是（
）
x
A. y=ln （ -x ）， y=0， y=2
x
D. y=0，y=ln（-x），y=2
9.对于命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（）
A.逆命题为“周期函数不是单调函数”
B.否命题为“单调函数是周期函数”
C.逆否命题为“周期函数是单调函数”
D.以上三者都不正确
10.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按
图所标边长，由勾股定理有： c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如
图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN ，如果用 S1，S2， S3表示三个侧面面积， S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（）
A. S4=S1+S2+S3
B. S42=S12+S22+S32
C. S43=S13+S23+S33
D. S44=S14+S24+S34
11.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算
筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：个位、百位、万位的
数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出．如7738可用算筹表示为.1-9 这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如图所
示，则 729 可用算筹表示为（）
A. B. C. D.
12. 在如图的四个图象中，其中一个图象是函数f（x）= x3+ax2+a2-1
）x+1 a R
（（∈）的导函数 y=f'（ x）的图象，则 f（ -1）等于（）
A. B. - C. D.-或
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.设 i 为虚数单位，若复数z 满足=i ，其中为复数 z 的共轭复数，则 |z|=______．
14.若 y=f（ x）在（ -∞， +∞）上可导，且=1，则 f'（ a）=______ ．
15.已知袋子内有 6 个球，其中 3 个红球， 3 个白球，从中不放回地依次抽取 2 个球，
那么在第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是______．
16.其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收
集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）
年份 x014568
方向度 y 1.3 1.8 5.67.49.3
由最小二乘法得到回归方程为=1.03x+1.13，但不小心在检测后滴到表格上一滴检
测液，污损了一个数据，请你推断该数据为______ ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共70.0 分）
17.已知抛物线 y2=2px（p＞ 0）的准线方程是 x=- ．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线y=k（ x-2）（ k≠0）与抛物线相交于M（ x1， y1）， N（ x2， y2）两点（ y1y2＜ 0），求 y1y2的值．
18.一串钥匙中有外形类似的 6 片钥匙，分别对应编号为①、②、、⑥六把锁．为了给
6 片钥匙编号，需要用钥匙去试锁．
（ 1）为①号锁找到钥匙最少要试几次？最多要试几次？
（ 2）最少试几次可以区分这 6 片钥匙？最多呢？
19.已知函数 f（ x） =ax3+bx 在 x=2 处取得极值为 -16．
（Ⅰ）求实数 a， b 的值；
（Ⅱ）求 f（ x）的单调区间．
20. 2017 年 10 月 9 日，教育部考试中心下发了《关于2018年普通高考考试大纲修订内
容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极
培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．鞍
山市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全是范围内开设书法课，经
典诵读等课程．为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了 200 位市民进行了解，发现支持开展的占 75%，在抽取的男性市民 120 人中支持态度的
为 80人．
支持不支持合计男性
女性
合计
（1）完成 2×2 列联表
（2）判断是否有 99.9%的把握认为性别与支持有关？
附： K2=．
P（K 2≥k） 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
21.如图，设椭圆 + =1（ a＞2）的离心率为，斜率为 k
（ k＞0）的直线L 过点 E（ 0， 1）且与椭圆交于C， D
两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l 与 x 轴相交于点G，且=，求k的
22.已知函数 f（ x） =xlnx ，g（ x） =x3+ax2-x+2 ．
（Ⅰ）如果函数 g（ x）的单调递减区间为（ - ， 1），求函数 g（ x）的解析式；
（Ⅱ）若 ?x∈（ 0，+∞），使关于 x 的不等式 2f（ x）≥g′（ x） +2 成立，求实数 a 的取值范围．
答案和解析1.【答案】D
【解析】
解：（1+i）（2-i）=3+i ．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘运算，是基础题．
2.【答案】B
【解析】
线 y=
的标
准方程
为 x2线
的焦点坐
标
（0，2）．
解：抛物=8y，可得抛物
故选：B．
化简抛物线方程为标准方程，然后求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3.【答案】B
【解析】
解：解：根据题意，由导数的几何意义，
f'（x A）为点 A 处切线的斜率，f'（x B）为点 B 处切线的斜率，
由图象分析可得：f'（x A）＜f'（x B）；
故选：B．
根据题意，由导数的几何意义可得 f'（x A）为点 A 出切线的斜率，f'（x B）为点 B 处切线的斜率，分析函数的图象，即可得答案
本题考查导数的几何意义，准确理解导数的几何意义是解题的关键
4.【答案】C
【解析】
解：∵双曲线，
即，它的 a=，b=1，焦点在y轴上，
而双曲线的渐近线方程为y=±，
故选：C．
先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线
方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想．
5.【答案】B
【解析】
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题 p：?x ∈R，cosx＞1 的否定是“?x ∈R，cosx≤1．”
故选：B．
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
6.【答案】C
【解析】
解：椭圆=1 的焦点坐标在 x 轴，a=，
P 是椭圆=1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2a=2 ．
故选：C．
判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，直接利用椭圆的定义，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】B
【解析】
解：当x=-1 时，满足 x≠0，当x＞0 不成立，即充分性不成立，
若 x＞0，则 x≠0一定成立，即必要性成立，
即“x≠0是”“x＞ 0”的必要不充分条件，
故选：B．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．
8.【答案】B
【解析】
题图
表示的算法是计
算分段函数的函数
解：由意，本流程值的，
结合框图可知，在① 应填 ln （-x）；在② 应填 y=2x
；在③ 应填
y=0 故选：B．
此题是一个计算函数的值的问题，由于函数是一个分段函数，故根据自变量的取值选取正确的解析式代入求值，由此对选择结构的空填数即可．
本题考查选择结构，解答本题关键是掌握选择结构的逻辑结构以及函数的运
算关系，由此作出判断，得出正确选项．
9.【答案】D
【解析】
解：对于原命题，可理解为：若一个函数是单调函数，则该函数不是周期函数；所以：
逆命题，要逆过来说，将假设和结论调换．
理解为
：若一个函数不是周期函数，
则该
函数是
单调
函数；
应该是：“不是周期函数的函数，就是单调函数”，A 错否命题，就是否定原命题的假设和结论．
理解为：若一个函数不单调，则该函数是周期函数；
就是：“不单调的函数是周期函数”，B 错
逆否命题
，就是将逆命
题
的假
设
和
结论
都否定．
理解为：若一个函数是周期函数，则该函数不单调；应该是：“周期函数不是单调函数”，C 错
原命题可以理解成：若一个函数是 单调函数，则该函数不是周期函数，所以根
据逆命题，否命题，逆否命题的定义即可求出 这几种命题，从而找出正确选
项．
考查原命题，逆命题，否命题，逆否命题的定义，而将原命题变成：“若一个函
数是单调函数，则该函数不是周期函数 “是求解本 题的关键．
10.【答案】 B
【解析】
解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S 42=S 12+S 22+S 32
故选：B ．
从平面图形到空间图形，同时模型不变．
本题主要考查学生的知 识量和知识迁移、类比的基本能力．解题的关键是掌
握好类比推理的定 义．
11.【答案】 D
【解析】
解：根据题意，729 的个位为 9，十位为 2，百位为 7，
用算筹表示 为
；
故选：D ．
根据
题
意，分析 729 的个位、十位、百位，用算筹表示即可得答案．
本题考查归纳推理的应用，关键是理解题目中算筹 记数的方法． 12.【答案】 B
【解析】
解：函数的导数 f ′（x ）=x 2+2ax+（a 2
-1），
则 f ′（x ）是一个开口向上的抛物 线，故第三个图象是，则 f ′（0）=0，即f ′（0）=a 2-1=0，则 a 2
=1，得a=±1，
又 对 称 轴 -
则 则
=-a ＞0， a ＜0， a=-1，
即 f ′（x ）=x 2
-2x ，则 （）
3 2
，则 （ ） -1+1=- ，
f x = x -x +1 f -1 =-
求函数的导数，结合函数的解析式以及二次函数的图象和性质求出 a 的值即可．
本题主要考查三次函数的图象和二次函数的图象和性质，求出函数的导数，利用图象确定 a的值是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】
解：数z 满足=i，∴ =i（1-i ）=1 i，
则 z=1-i．
∴|z|=．
故答案为：．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义及其模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
解：==1，
∴==f （′a），
故答案为：
根据导数的定义进行求解即可．
本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】
解：第一次抽到红球后，袋中还有 2 个红球，3 个白球，
故第二次还抽到红球的概率为．
根据古典概型概率公式 计算．
本题考查了条件概率的 计算，属于基础题．
16.【答案】 6.1
【解析】
解：由表中数据： =
=4，
回归方程
=1.03x+1.13，
∴ =1.03 ×4+1.13=5.25， 设污损的数据为 a
∴ = （1.3+1.8+5.6+a+7.4+9.3）=5.25，
解得：a=6.1．
故答案为：6.1．
由题意求出
，代入到回归直线方程 ，即可求解污损处的数据．
本题考查了线性回归方程的求法及 应用，属于基础题．
17.【答案】 解：（ Ⅰ ）抛物线 y 2=2px （ p ＞ 0）的准线方程是 x=- ，
可得 - =- ，即 p=1 ，
则抛物线的方程为
y 2 =2x ；
2
（ Ⅱ ）直线 y=k （ x-2）（ k ≠0），联立抛物线方程 y =2x ，可得 k 2x 2-2（ 1+2k 2） x+4k 2=0 ， M （ x 1，y 1）， N （x 2， y 2 ）， 可得 x 1x 2=4，
即有
? =x 1x 2=4，
由于 y 1， y 2 异号，可得 y 1y 2=-4．
【解析】
（Ⅰ）由抛物线的准线方程可得 p ，进而得到所求抛物 线方程；
（Ⅱ）直线 y=k （x-2）（k ≠0），联立抛物线方程 y 2
=2x ，消去 y ，可得 x 的二次方程，
运用
韦
达定理和点
满足抛物
线方程，
计
算可得所求
值．
本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考 查直线和抛物线方
程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档 题．
18.【答案】 解：（ 1）如果试第一次就找到了，这是最少的次数，即为①号锁找到钥
匙最少要试 1 次．
如果试了 5 次还没打开①号锁，则剩下的那片就是①号锁的，故最多次数是 5 次．
（ 2）若第 1 次试，打开了①号锁；然后第 2 次试②号锁，也打开了②号锁；；第5
次试，打开了⑤号锁，
剩下那片钥匙就是⑥号锁的，即最少次数是 5 次．
最多次数的开锁情况是：找①号锁试了 5 次，然后从剩下 5 把锁中找②号锁，次数为4次，，最后剩下⑤，⑥号锁时，只要试 1 次，
即总次数是 5+4+3+2+1=15 （次）．
最多次数是试了15 次．
【解析】
（1）如果试第一次就找到了，这是最少的次数，如果试了 5 次还没打开①号锁，则剩下的那片就是①号锁的，故最多次数是 5 次．
（2）若第1 次试，打开了① 号锁；然后第2 次试②号锁，也打开了② 号锁；；第 5 次试，打开了⑤ 号锁，剩下那片钥匙就是⑥号锁的，即最少次数是 5
次．最多次数的开锁情况是：找① 号锁试了 5 次，然后从剩下 5 把锁中找②号锁，次数为 4次，，最后剩下⑤ ，⑥ 号锁时，只要试 1 次，最多次数是试了
15次．
本题考查为锁找钥匙最少要试几次，最多要试几次的求法，考查推理论证能
力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
32
19.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=ax +bx，可得f′（x）=3 ax +b，
由函数 f（ x）=ax3+bx 在 x=2 处取得极值为 -16，
得，
解得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ） f（ x） =x3-12x，
2
f ′（ x） =3x -12，
令 f′（ x）＞ 0，解得： x＞ 2 或 x＜ -2，
令 f′（ x）＜ 0，解得： -2＜ x＜ 2，
故 f（ x）在（ -∞， -2），（ 2， +∞）递增，在（-2，2）递减．
f （x）的单调增区间：（-∞， -2），（ 2，+∞）；单调减区间：（-2， 2）．
【解析】
（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于 a，b 的方程组，解出即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档
题．
20.【答案】解：（1）抽取的男性市民为120 人，持支持态度的为200 ×75%=150 人，
男性公民中持支持态度的为80 人，列出2×2 列联表如下：
支持不支持合计
男性8040120
女性701080
合计15050200
（ 2）由表中数据，计算，
所以有 99.9%的把握认为性别与支持有关．
【解析】
（1）根据分层抽样法求出抽取的人数，填写列联表即可；
（2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
21.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得e= ==，
解得 a=，
则椭圆方程为+ =1；
（Ⅱ）设直线l 的方程为y=kx+1，
可得 G（- ，0），
设 C（x1，y1）， D（ x2， y2），
将直线方程代入椭圆方程 2x2 +3y2=12，
可得（ 2+3k2）x2+6kx-9=0 ，
22
△=36k +36（ 2+3k
）＞ 0 恒成立，
即有 x1+x2=-，
由 = ，可得 x1+ =0-x2，
即有 x1+x2+ =0，
即-+ =0，
解得 k=（负的舍去）．
【解析】
（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线 l 的方程为 y=kx+1 ，求得 G 的坐标，设 C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），将直线方程代入 椭圆方程 2x 2+3y 2
=12，可得 x 的二次方程，运用韦达定理和向
量相等即 对应坐标相等，化简可得 k 的方程，解方程，即可得到所求 值 ．
本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和
椭圆基本量 a ，b ，c 的关系，
考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量相等的条件，考 查运算
能力，属于中档题．
22.
- ，1），
【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵g'（ x ） =3x 2+2ax-1，若函数 g （ x ）单调减区间为（
由 g'（x ） =3 x 2+2 ax-1＜ 0，解为 - ＜ x ＜ 1，
∴- ， 1 是方程 g'（ x ） =0 的两个根，
∴- +1=- ? a=-1 ，
3
2
∴g （ x ） =x -x -x+2；
（ Ⅱ ）要使关于 x 的不等式 2f （ x ）≥g ′（ x ） +2 成立，
2
即 2xlnx ≥3x+2 ax-1+2 成立．
所以 2ax ≤2xlnx-3 x 2 -1，在 x ＞ 0 时有解， 所以 2a ≤2lnx-3x- 最大值，
令 h （ x ）=2ln x-3x- ，则 h ′（ x ） =
，
当 0＜ x ＜1 时， h'（ x ）＞ 0， h （x ）单增，
当 x ＞ 1 时， h'（ x ）＜ 0， h （ x ）单减． ∴x=1 时， h （ x ） max =-4 ， ∴2a ≤-4，
即 a ≤-2．【解析】
（Ⅰ）求g （x ）的导数，利用函数 g （x ）单调减区间为（-
，1），即- ，1 是方程
g'
（x ）=0 的两个根．然后解 a 即可．
（Ⅱ）将不等式2f （x ）≥g （′x ）+2 成立，转化为含参问题恒成立，然后利用导数求
函数的最 值
即可．
本题主要考查利用导数研究函数的性 质，要求熟练掌握导数和函数 单调性，
最值之间的关系，考查学生的运算能力．对含有参数恒成立 问题，则需要转
化为最值恒成立．。