1-4电势及其梯度

Ui ( p)
p
ri
q3
r3 qi
注意：（1）电势是标量，迭加的结果是求代数和； （2）要求各个点电荷的零电势点必须相同；
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
4、电势的计算 两种方法：
1）由电势的定义出发，用场强的线积分求电势，即由
电势定义式 Up
零点Edl计算P点电势。
p
2）根据点电荷的电势公式和电势迭加原理求电势分布。
A ab q0
b Edl
a
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电
场力所作的功。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
注意几点：
1)电势是标量，只有正负之分。
2)电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。
dn
算符 gradxiyjzk
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
电势梯度U 是一个矢量，
它的方向是沿电场线的切向 并指向电势升高的方向。
UdU
P2
nˆ
U
dn
P3
P1 dl
2
E1
如果过P1沿 dl方向的电势增加率为
为。
dU dl
，dl与nˆ 的夹角
有： dUdUcos
dl dn
(dn dcl o)s
点电荷q0所受电场力为： Fq0E
点从电r 荷到的rv场d中lv,移电动场点做电的荷功q
0
：
dA Fdlq0Edl
q0Edclos q
drdcl o,sE
q
q
4 0r 2
dAq0 40r2 dr
b
rb
v
ra
q 0 rcd dl rF
a
E
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
q
dA q0 40r2 dr
第一章 静电场 恒定电流场
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
四、场强与电 势之间的关系
Ua a Edl
1、等势面
等势面：将电场中电势相等的点连接起来组成的面。 等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
规定：画等势面时，相邻两等势面的电势差为常数。
等势面
等势面
§4、电势及其梯度
等势面的性质：
选取距带电直导线为R的Q点为电势零点， 点不能再
UP
Q P
Edr
rR
20r
dr
20
ln
R r
选在无穷 远处。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
例4：在正方形四个顶点上各放置 带电量为+q的四个电
荷，各顶点到正方形中心O的距离为r。求： （1）
O点的电势；（2）把试探电荷q0从无穷远处移到O点时 电场力所作的功；（3）电势能的改变。
强调：
当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电
场中A移ab动q时0电abE 场力dl 所做q的0(U 功a：Ub)
例、求点电荷产生的电场中的电势分布。
解：E
q
40r2
rˆ
v
Up
E
p
dlv
p4q0r2dr4q0rp
p E
r q
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
rq2dr
q
4 0 R
•II区：球壳外电势 rR
U2 rE2dlrE2dr r410 rq2dr
q
4
0r
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
q
I区：球面内 II区：球面外
rR, E1 0 U1
r R,E2
1
40
q r2
4 0R
U2
q
4 0r
II
II
q
I
o
R
q
I
o
R
qE 4 0 R 2
qV 4 0 R
oR
r oR
r
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
例3：无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。
解：无限长带电直线的场强：
E 2 0 r
若选无穷远为电势 0 点，则
UP
Edl
P
Edr
P
无意义
o
r RP Q
r
当电荷分
r
20r
dr
(lnlnr) 20
布扩展到 无穷远时 ，电势零
结论：静电力为保守力，静电场为保守场。
§4、电势及其梯度
二、静电场的环路定理
第一章 静电场 恒定电流场
静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿 任意闭合路径的线积分等于零。这称为静电场的环 路定理或环流定理。
LEdl 0
运动电荷的场不是保守场，而是 非保守场，将在磁场部分讨论。
§4、电势及其梯度
场强与电势的微分关系
dl cos d n
考虑到方向：E
dU
nˆ
gradUU
dn
电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量
的负值。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
在直角坐标系中： E UiU jUk
注意几点：
x y z
1)“–”表示电场强度的方向为电势降低的方向。
2)沿等势面法线方向场强最大。 在任意方向上，场强的分量为：
第一章 静电场 恒定电流场
3) 等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的 地方，场强较小。
因为规定相邻两个等势面的电势差为常数。
4)电场线的方向指向电势降低的方向。等势面
证明：假设电荷q0由2移到1， 因沿电场线方向移动正电荷电场力做
2
dl
1
正功，电势能减少。
E
A U2 2 1 U 1(E p 01 E Up 2 2) UE 1p 2 E 的E 方p 1 向为q0电(U 势2降U 低1的) 方0向。
（a）点电荷系：
U
Ui
i
qi
40ri
（b）连续带电体：
UdU4dq0r
注意电荷元的选取！
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
例1：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求 圆环轴线上一点的电势 U。
解：(用叠加原理) 将圆环分割成无限多个电荷元：
dU dq
4 0r
环上各点到轴线等距。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
3、场强与电势的微分关系 电场强度的方向与电势梯度矢
UdU
P2
nˆ
量的方向相反，即E与nˆ 反向。
U
dn
P3
根据 场强与电势的积分关系，有：
dl
P1
2
EdlU 1U 2U(UdU ) dU E 1
即： E co sd l d U
E dU d U
连续带电体：
b v r b vv
vv
a b aq q0 E 0v E1 d dl v l a b a q 0 q E v 02 (E d 1 l v E L 2 a b L q 0 E v n E d n l v )d Alab
任何静电场，电场强度的线积分只取决于 起始和终了的位置,而与路径无关。这一 特性叫做静电场的保守性。
这一比值与q0的值无关，仅取决 于电场的性质及场点的位置。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
定义电势：
Ua
Wa q0
零点r r Edl
a
意义：把单位正电荷从场点a经过任意路径移到零电势
参考点时电场力所作的功。也等于单位正电荷在a点所
具有的电势能。
电势差：静电场中两点电势值的差。
UabUaUbWaq0Wb
§4、电势及其梯度
一、电场力的功 二、静电场的环路定理 三、电势能和电势 四、场强与电势之间的关系 五、电偶极层
第一章 静电场 恒定电流场
§4、电势及其梯度
一、电场力的功 1、点电荷的场 2、任意带电体系的场
第一章 静电场 恒定电流场
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
一、电场力的功
1、点电荷的场
在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场力作 功为：
q
b
r b rdr
ra
q
0
r dl r dr F
a
A
b
dA
rb
q0q dr q0q 1 1
a
ra 40r2 40 ra rb
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
2、任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的
第一章 静电场 恒定电流场
1)在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此 电荷不作功。
2)除电场强度为零外，电场线与等势面正交。
3) 等势面较密集的地方，场强较大。等势面较稀疏的 地方，场强较小。
4)电场线的方向指向电势降低的方向。
§4、电势及其梯度
等势面的性质：
第一章 静电场 恒定电流场
1)在静电场中，沿等势面移动电荷时，静电场力对此
令 Wb 0,
电荷q0在此系统中a点的电势能为：
r 势 能 零 点 r
Waq0 a Edl
q0
E
a
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由该点 沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作的功。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
有限带电体，通常规定无穷远处为电势能零点。
即：W 0, r
E
dU
nˆ
dn
El Ecos
dUcos
dn
dU dl
3)等势面密处，场强大，电场线也密。等势面疏处，
场强小，电场线也疏。
4)场强反映场点处的电势的“变化率”，E 与 U 无直 接
的关系。电势为零的地方，场强不一定零。场强为
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
+q o
+ q
o
-q U0,E 0势4)的场“强变反化映率场”点，处E的与电
电荷不作功。
证明：
b Aq0aEdlq0U ab
a
b
q0(UaUb) 0
等势面
2)除电场强度为零外，电场线与等势面正交。
证电 明场d ：力M 做因功为 A 为将E N 零单d ，位l 而正E 路电径荷c 不从为等d 零势 o 。面0 上l Ms E点移d到lN点，dNlE M
§4、电势及其梯度
q dq r
U
q
dU
1 dq
40(x2q0 R 42)10/r2
R o
x dU x
思考：用电势的定义求解
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
例2：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：球壳内、
外的电势分布。
解（用电势定义）求壳内、外场强
作高斯球面
EÑS dS
r
ÑS E q
0
r dS
r
Wa q0 a Edl
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。
强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。
2、电势与电势差
r 势 能 零 点 r
Waq0 a
Edl r 势 能 零 点
r
两边同除以q0，得： W a/q0a Edl
§4、电势及其梯度
3、电势迭加原理
第一章 静电场 恒定电流场
表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式：U(p) pEdlp(E 1E 2)dl
Ui(p) pE i dl4qi0rip
U(p) qi
i 40ri
q1
rr21
q2
i
三、电势能和电势 1、电势能 2、电势与电势差 3、电势迭加原理 4、电势的计算
第一章 静电场 恒定电流场
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
三、电势能和电势 1、电势能 设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路径移动到 b 点，
b
q0
E
a
电场力作功为Aab。 因为保守力所作的功等于势能增量的负值。
3)电势零点的选择：
•对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值（即电势差）有意义。
4)电势能与电势的区别：W 取决于 q 和 q0 ； U只取决 于场源电荷 q 。
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
解：（1）根据电势迭加原理
q q
UO
4 i1
qi
40ri
4q q
40r 0r
r o
（（23））根根据A据电OE势p定aq义0E UpOUbOA qaqAb0q0Or0
AO q0
q
E O E OE A O
qq
0
r
q
§4、电势及其梯度
四、场强与电 势之间的关系
Ua a Edl
1、等势面 2、电势的梯度 3、场强与电势的微分关系
q
0
qo r
I
R
E
r
r
E
1
40
q r2
II 高斯面
I区：球面内 rR, q0 E1 0
II区：球面外
rR,qq
E2
1
40
q r2
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
选无穷远为电势0点，
II
•I区：球壳内电势 rR
R
U 1rE 1dlRE 2dl
I qo RE
0R E2dr
r r
R410
Aab W (Wb Wa) Wa Wb
W ——电势能
br r br r
A abaFdlq0aEdl
§4、电势及其梯度
Aab bW a Wb b
A ab aF d lq 0aE d l
第一章 静电场 恒定电流场
br r
W aW bq0
Edl
a
电势能是一个相对的量，必须选择一个零势能点。 b
§4、电势及其梯度
第一章 静电场 恒定电流场
2、电势的梯度 取两个相邻近的等势面1和2， 电势分别为U和U+dU,且dU>0,.
规定：等势面的法线正方向为指 向电势升高的法线方向。
定义电势梯度矢量：
UdU
P2
nˆ
U dn P3
dl
P1
2
E1
大小：dU
方向： 沿着等势面的正法线方向
dn
写成矢量式：gradU dUnˆ U