湖北省武汉市武昌区高三数学元月调考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）
A．{x|x≤0}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜2} D．∅
2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i）的模为，则实数a的值为（）
A．2 B．C．±2D．
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．12 B．24 C．40 D．72
4．（5分）根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0
得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）
A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.2
5．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0 B．1 C．2 D．4
6．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部
分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）
A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定
7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可
能值为（）
A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，
8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）
A．B．C．2 D．4
9．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，
若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）
A．B．2 C．D．3
10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：
年级人数近视率
小学3500 10%
初中4500 30%
高中2000 50%
为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为；
抽取的高中生中，近视人数为．
12．（5分）=．
13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为．
15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为．
16．（5分）给出以下数对序列：
（1，1）
（1，2）（2，1）
（1，3）（2，2）（3，1）
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）
…
记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则
（Ⅰ）a54=；
（Ⅱ）a nm=．
17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．
20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．
（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；
（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣1．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．
22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：
1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．
湖北省武汉市武昌区2015届高三元月调考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集为R，集合A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）
A．{x|x≤0}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|0≤x＜2} D．∅
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：直接利用交集运算得答案．
解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|﹣1＜x＜2}，
则A∩B={x|x≤0}∩{x|﹣1＜x＜2}={x|﹣1＜x≤0}．
故选：B．
点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．
2．（5分）如果复数（a+i）（1﹣i）的模为，则实数a的值为（）
A．2 B．C．±2D．
考点：复数求模．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答：解：∵复数（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i的模为，
∴=，
化为a2=4，
解得a=±2．
故选：C．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．12 B．24 C．40 D．72
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用棱锥和长方体的体积公式，可得答案．
解答：解：由三视图得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥和长方体的组合体，
长方体的长宽高分别为3，4，2，故长方体的体积为3×4×2=24，
四棱锥的底面积为：3×4=12，高为6﹣2=4，
故四棱锥的体积为：×12×4=16，
故组合体的体积V=24+16=40，
故选：C
点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．
4．（5分）根据如下样本数据
x 3 4 5 6 7
y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0
得到的回归方程为．若a=7.9，则b的值为（）
A．1.4 B．﹣1.4 C．1.2 D．﹣1.2
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：利用公式求出b，a，即可得出结论．
解答：解：样本平均数=5，=1.9，
∵样本数据中心点必在回归直线上，
将=5，=1.9，代入得：
1.9=5b+7.9，
解得：b=﹣1.2，
故选：D
点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
5．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，F为AD的中点，则=（）A．0 B．1 C．2 D．4
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量的加减运算及向量垂直的条件，即为数量积为0，即可得到所求值．
解答：解：=（）•（）
=（+）•（﹣）
=﹣﹣
=﹣﹣0
=0，
故选A．
点评：本题考查平面向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于基础题．
6．（5分）如图，取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R的半球放在同一水平面α上．用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（）
A．S圆＞S圆环B．S圆=S圆环C．S圆＜S圆环D．不确定
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据图形得出，S截面圆=π（R2﹣d2），r=d，S圆环=π（R2﹣d2），即可判断．
解答：解：根据题意：∵①半球的截面圆：r=，S截面圆=π（R2﹣d2），
②∵取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，
∴r=d，S圆环=π（R2﹣d2），
根据①②得出：S截面圆=S圆环，
故选：B
点评：本题考查了球有关的截面问题，判断图形结构，求出半径即可，属于中档题．7．（5分）函数f（x）=若f（1）+f（a）=2，则a的所有可
能值为（）
A．1 B．﹣C．1，﹣D．1，
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：计算题．
分析：由分段函数的解析式容易得出，f（1）=e1﹣1=1，∴f（a）=1，然后在每一段上求函数的值为1时对应的a的值即可．
解答：解：由题意知，当﹣1＜x＜0时，f（x）=sin（πx2）；
当x≥0时，f（x）=e x﹣1；
∴f（1）=e1﹣1=1．
若f（1）+f（a）=2，则f（a）=1；
当a≥0时，e a﹣1=1，∴a=1；
当﹣1＜a＜0时，sin（πx2）=1，
∴，x=（不满足条件，舍去），或x=．
所以a的所有可能值为：1，．
故答案为：C
点评：本题考查分段函数中由函数值求对应的自变量的值的问题，需要在每一段上讨论函数的解析式，然后求出对应的自变量的值．
8．（5分）函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω=（）
A．B．C．2 D．4
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由题意可得，sin（ω•）=，故有ω•=，从而求得ω 的值．
解答：解：由题意可得y=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，且在这个区间上
的最大值是，
∴sin（ω•）=，ω•=，ω=，
故选：B．
点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，属于基础题．
9．（5分）设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，
若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是（）
A．B．2 C．D．3
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两
根分别为﹣c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求．
解答：解：设斜率为的直线l：y=x+t，
代入双曲线方程，消去y，可得，（b2﹣a2）x2﹣a2tx﹣a2t2﹣a2b2=0，
由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，
则有上式的两根分别为﹣c，c．
则t=0，即有（b2﹣a2）c2=a2b2，由于b2=c2﹣a2，
则有2c4﹣5a2c2+2a4=0，由e=，则2e4﹣5e2+2=0，
解得e2=2（舍去），
则e=．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，若函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上
有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：可采用数形结合的方法解决问题，因为f（x）﹣是奇函数，只需判断a≥0时的满
足题意的a的范围，然后即可解决问题．
解答：解：y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同），即函数y=f（x）与y=g（x）=的图象在[﹣10，10]上有10个不同的交点．
先研究a≥0时的情况，如图，当a=0时，g（x）=恰好与y=f（x）产生10个交点；
当a＞0时，y=的图象是将y=向上平移a个单位，则在y轴右边，当g（9）＜1时，右
边产生4个交点；
同时y轴左边满足g（﹣10）≤0时，左边产生6个交点．
这样共产生10个交点，即，解得0≤a≤．
同理，根据函数图象的对称性可知，当a＜0时，只需时满足题意．
综上，当时，
函数y=f（x）﹣﹣a在区间[﹣10，10]上有10个零点（互不相同）．
故选C
点评：本题考查了数形结合的方法研究函数的零点个数的问题，要注意参数变化时函数图象的变化规律．属于中档题．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况如表所示：
年级人数近视率
小学3500 10%
初中4500 30%
高中2000 50%
为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则：（Ⅰ）样本容量为200；
抽取的高中生中，近视人数为20．
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）求出学生总人数，利用抽样比求出样本容量．
（Ⅱ）利用学生的近视率直接求解高中学生近视人数．
解答：解：由题意可知学生总人数为：3500+4500+2000=10000，
（Ⅰ）样本容量为：10000×2%=200；
（Ⅱ）2000×2%=40．
40×50%=20．
故答案为：200；20．
点评：本题考查分层抽样的实际应用，基本知识的考查．
12．（5分）=4．
考点：三角函数的化简求值．
专题：计算题．
分析：由已知可得，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简
可得结果．
解答：解：
=
故答案为：4
点评：本题主要基础知识的考查，考查了在三角函数的化简与求值中，综合运用二倍角正弦公式、两角和的正弦公式，要求考生熟练运用公式对三角函数化简．
13．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，则x﹣y的取值范围是[﹣3，4]．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
解答：解：作作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，
平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点C（4，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，
此时z max=4，
当直线经过点A（0，3）时，此时直线y=x﹣z截距最大，z最小．此时z min=0﹣3=﹣3．
∴﹣3≤z≤4，
故答案为：[﹣3，4]
点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．
14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为﹣5050．
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，
∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，
故答案为：﹣5050
点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
15．（5分）以（1，3）为圆心，并且与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．
考点：圆的切线方程．
专题：直线与圆．
分析：以（1，3）为圆心，与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，由此能求出圆的方程．
解答：解：以（1，3）为圆心，
与直线3x﹣4y﹣6=0相切的圆的方程的半径r等于圆心到直线的距离d，
∴r=d==3，
∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=9．
点评：本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
16．（5分）给出以下数对序列：
（1，1）
（1，2）（2，1）
（1，3）（2，2）（3，1）
（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）
…
记第i行的第j个数对为a ij，如a43=（3，2），则
（Ⅰ）a54=（4，2）；
（Ⅱ）a nm=（m，n﹣m+1）．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：由前4行得到，每一行的第一个数对是（1，n），n为行数，接着的每一个数对前一个数是连续的自然数，后一个是依次减1的数，由此推出第n行的数对，即可得到（Ⅰ）、（Ⅱ）的结论，注意每一行中，第一个数是列数，两个数之和减1是行数．
解答：解：由前4行的特点，归纳可得：
若a nm=（a，b），
则a=m，b=n﹣m+1，
∴a54=（4，5﹣4+1）=（4，2），
a nm=（m，n﹣m+1），
故答案为：（Ⅰ）（4，2）；（Ⅱ）（m，n﹣m+1）
点评：本题主要考查归纳推理的思想方法，注意观察和分析数对的特点，是解决该类问题的关键．
17．（5分）已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率是．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：函数f（x）在R上是增函数转化为f'（x）≥0恒成立，即△≤0解得a，b的一个关系式，一一列举出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
解答：解：f'（x）=x2﹣2（a﹣1）x+b2
若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4（a﹣1）2﹣4b2≤0，即（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）≤0
因为a+b﹣1≥1，
所以a﹣b﹣1≤0，
即a﹣b≤1，
则满足的条件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，3），（3，2），（4，3）9个基本事件，
总的基本事件有12种．
故函数f（x）在R上是增函数的概率P==．
故答案为：．
点评：考查利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题求解，是导数与古典概型相结合的题目，新颖，体现了数形结合的思想，属中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，B=，c=8，cosC=﹣．求：
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积．
考点：余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）首先，求解sinC=，然后，根据正弦定理，求解b的值即可；
（2）首先，求解sinA，然后，利用三角形的面积公式求解即可．
解答：解：（1）∵cosC=﹣，
∴sinC=
=
=，
∴sinC=，
根据正弦定理，得
，
∴b===7，
∴b的值为7．
（2）∵sinA=sin[π﹣（B+C）]
=sin（B+C）
=sinBcosC+cosBsinC
=
=，
∴sinA=，
∴S=bcsinA
==6．
∴△ABC的面积6．
点评：本题重点考查了余弦定理、正弦定理和三角形的面积公式等知识综合应用，属于中档题．
19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n；数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}为等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，数列{b n﹣a n}的公差为d=2，由此能求出数列{a n}和{b n}的通项公式．
（Ⅱ）由，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．
解答：解：（Ⅰ）由题意知数列{a n}是首项a1=1，公比q=2的等比数列，
所以；
因为b1﹣a1=2，b2﹣a2=4，
所以数列{b n﹣a n}的公差为d=2．
所以b n﹣a n=（b1﹣a1）+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n．
所以．…（6分）
（Ⅱ）∵，
∴T n=b1+b2+b3+…+b n
=（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2n﹣1）
=
=n（n+1）+2n﹣1．…（12分）
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
20．（13分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．
（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；
（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．
考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得
到，∠A1D1E=60°．
解答：解：（Ⅰ）如下图所示：
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，
∴B1B⊥平面ABCD，
∵A C⊂平面ABCD，
∴B1B⊥AC，
∴AC⊥平面B1BDD1．
∵D1E⊂平面B1BDD1，
∴AC⊥D1E．
（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，
∴．
∵，
∴．
∴EB1=2．∵AD∥A1D1，
∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．
在Rt△EB1D1中，求得．
∵D1A1⊥平面A1ABB1，
∴D1A1⊥A1E．
在Rt△EB1D1中，得
，
∴∠A1D1E=60°．
∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．
点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．
21．（14分）已知函数f（x）=﹣1．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．
分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；
（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；
（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）
由已知
令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e
∵当0＜x＜e时，，
当x＞e时，
∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减
故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴，
②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴，
③当m＜e＜2m，即时
∴．
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，
∴在（0，+∞）上恒有，
即且当x=e时“=”成立，
∴对∀x∈（0，+∞）恒有，
∵，
∴
即对∀n∈N*，不等式恒成立．
点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．
22．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：
1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
（ⅰ）若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，当最小时，求点T的坐标．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）（ⅰ）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．
（ⅱ）T点的坐标为（3，﹣m）．，|PQ|=．由此能求出当
最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得，
解得a2=6，b2=2．
所以椭圆C的标准方程是．
（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F点的坐标为（2，0）．
由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为x=my+2．
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，
得消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，
其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，．
于是．
设M为PQ的中点，则M点的坐标为．
因为TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．
当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），
此时直线OT的斜率为，其方程为．
将M点的坐标为代入，
得．解得t=3．
（ⅱ）由（ⅰ）知T点的坐标为（3，﹣m）．
于是，
=
=
=
=．
所以
=
=
．
当且仅当，即m=±1时，等号成立，
此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是（3，1）或（3，﹣1）．
点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、弦长公式的合理运用．。