六年级奥数-分数裂项
小学六年级奥数 裂项第一讲
小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1. 掌握分数裂项的基本原理。
2．掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。
一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。
2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。
第一类：“裂差”型运算。
当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行裂差。
两项的裂差非常重要，一定要掌握。
第二类：“裂和”型运算。
当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。
四、归纳总结1、裂差型基本形式：2、裂项和基本形式：3、裂项的实质和意义裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。
五、课堂检测~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~例1仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？分析:先通分（把分母都变成各分母之积），分母相同后，再相加或者相减，把两项整理成一项，注意步骤的完整例2 仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？在此处键入公式。
在此处键入公式。
分母拆分为两个数字的乘积，分子拆分为两个数字的差或和，分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。
把一个分数拆分成两个分数的和或差，最后再把这两各数分别约分化简。
例3 阅读下列巧算方法，解决问题：分析：分析拆分为两个数字的乘积，分子拆分为这两个数字的差（如果分子不是这两个数的差，那么就先变成差，相应的也要让此分数再乘上一个数使得结果和原分数相等），分子上的两个数字要和分母上的两个数字相同。
六年级奥数试题-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h h n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h h n n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭ 2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
六年级下册数学小学奥数计算模块分数裂项全国通用30张标准课件
计算：
作业5
3 5 7 9 11 199
2 6 12 20 30
9900
下节课见
If you want to be loved, be lovable.
计算：
挑战5
4 6 8 16 18 20
1 23 23 4 3 45
7 8 9 8 910 910 11
总结归纳
分数裂差；分数裂和
1
2
3
母积子差；母积子和
4
直接裂开，抵消求解
5 构造求解
6
课后作业
计算：
作业1
1 1 2 1 3 1 4 1 99 1
2 6 12 20
计算：
练习1
3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9 8 10 9 11 10 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 910 10 11
计算：
挑战1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 5 5 7 7 9 911 1113 13 15 15 17 17 19
计算：
挑战2
3 3 3 3 3 3
2 6 12 20 30
9900
5 5 5 5 5 5 5 3 15 35 63 99 143 195
计算：
例题3
22 42
62
82
102
122
142
13 35 5 7 79 911 1113 1315
计算：
练习3
2 22 2 2 2 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 7 8 9 8 910
计算：
例题2
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156
六年级数学奥数第二讲 分数裂项巧求和
（10）+++…+
（11）+++…+
计算：（5）+++…+ 例4. 计算：+++…+
（6）+++…+
分析与解：是不是觉得本题和例3有些相似，但又不完全一样？例3 中每一个分数的分子都是4（两个自然数的差），而这道题中每一个分 数的分子都是1，可以直接将每一个分数写成两个分数相减的形式吗？ 该怎么计算呢？ 这就启发我们思考，能否将每一个分数的分子也变成两个自然数的 差呢？利用分数的基本性质是完全可以的。所以给原题乘4，为了使原 题的值不变，然后再除以4.即：
+++…+ ＝（+++…+）×4÷4 ＝（+++…+）÷4 ＝（—+—+—+…+—）÷4 ＝（—）÷4 ＝÷4 ＝ 【举一反三】 计算： （7）+++…+
（8）+++…+
例5. 计算：+++…+ +++…+
分析与解：先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分 数，找出规律然后计算。
＝+++…+ ＝+++…+ （分子分母同时乘以2） ＝（+++…+）×2 （利用乘法分配律，把分子的2同时 ＝（—）×2 提到括号外面） ＝×2＝ 【举一反三】 计算：（9）+++…+
【典型例题】 例1．计算：+++…++
六年级奥数-分数裂项与分拆(教师版)
第十三讲 分数裂项与分拆1. “裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
①对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- ②对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+③对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭2. 裂差型裂项的三大关键特征：①分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(完整版)六年级奥数-分数裂项
分数裂项计算授课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行合适的变形，也许先进行一部分运算，使其变得更加简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可以分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大要点特色：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x提取出来即可转变成分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的核心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
六年级分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小分数裂项计算教学目标知识点拨的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数计算专题--分数拆分与裂项（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】。
【答案】【解析】原式提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：．【题文】=【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】=【答案】【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。
此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。
从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，，……，原式【题文】【答案】【解析】【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】 = 【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】_______【答案】【解析】根据裂项性质进行拆分为：【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：＝【答案】【解析】原式【题文】。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：=。
【答案】【解析】原式【题文】计算：。
【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，，……，，所以原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】首先分析出原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式＝＋＋…+++…+＝(－)＋(－)＝＋＝＋＝【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】＝＝－＝－＝＝－＝－＝＝－＝－……＝＝－＝－原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【题文】计算：【答案】651【解析】本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知，，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式．（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：所以原式．（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：（，3， (9)如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．【题文】计算：【答案】【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，知识虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，，……原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算： .【答案】【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式【题文】【答案】【解析】原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝【题文】【答案】【解析】，，……，，所以原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】 .【答案】【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：，原式【题文】计算：【答案】【解析】，，……所以，原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】原式【题文】计算：．【答案】【解析】，，，……由于，，，可见原式【题文】计算：．【答案】【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式【题文】【答案】【解析】【题文】【答案】【解析】原式==【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】原式= =====【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】计算：【答案】【解析】原式【题文】【答案】【解析】所以原式。
小学六年级数学分数裂项与整数裂项裂型运算知识点讲解
小学六年级数学分数裂项与整数裂项裂型运算知识点讲解
小学六年级数学裂项综合之裂和型运算知识点讲解
一、裂项综合
（二）、“裂和”型运算
小学六年级数学裂项综合之裂差型运算知识点讲解
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
小学六年级计算知识点：分数裂项
小升初奥数整数裂项及常用公式。
六年级分数-裂项法
1。
2分数计算（裂项法）知识要点和基本方法分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。
分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。
法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确,关键是掌握运算技巧.对算式认真观察,剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律,合理改变运算顺序，使计算简便易行,这对启迪思维,培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力，都有很大的帮助. 公式：(1）平方差公式：)()(22b a b a b a -⨯+=-（2）等差数列求和公式:()n a a a a a a a n n n +=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-1132121（3)分数的拆分公式：①)1(1+n n ＝n 1－11+n②)(1d n n +＝d1×(n 1－d n +1）例1. 计算:211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋100991⨯例2. 计算：110×11 ＋错误!＋……＋错误!例3. 计算：错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!＋错误!＋错误!例4. 计算：错误!＋错误!＋……＋错误!例5. 计算错误!＋错误!＋……＋错误!＋错误!例6. 计算：1＋错误!＋错误!＋错误!错误!＋错误!例7. 计算：16＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!例8. 计算：31＋151＋351＋631＋991＋1431例9. 计算:11111144771*********++++⨯⨯⨯⨯⨯例10. 计算：22222315356399++++ 例11. 计算：1111118244880120168+++++例12. 计算：11＋21＋22＋21＋31＋32＋33＋32＋31＋……＋1001＋1002＋……＋100100＋10099＋……＋1001例13. 计算:1＋211+＋3211++＋43211+++＋……＋20053211+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++例14．计算：2×（1－220051)×（1－220041）×（1－220031）×……×（1－221）例1. 计算:20042003200312005例2. 计算:（751×911×116)÷(113×76×95）例3. 计算:989＋9899＋98999＋……＋99989999个例4. 计算:（1＋21）×（1＋41)×（1＋61）×（1＋81）×（1－31）×（1－51）×(1－71）×（1－91）例5. 计算:200421－131＋200221－331＋200021－531＋……＋421－200131＋221－200331例6. 计算：（971＋97971＋9797971＋979797971）÷（861＋86861＋8686861＋868686861）例7. 计算：⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⋅⋅⋅⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+9115113111011611411211= 。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析[汇编]
![小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析[汇编]](https://img.taocdn.com/s3/m/bcfcdd9403d276a20029bd64783e0912a2167cb5.png)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab ，那么有1111()a bba a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n，1(1)(2)(3)n n nn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n nnnn n nn n n裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11aba b a ba ba bba（2）2222ababa b a b a b a bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
六年级分数裂项法
六年级分数裂项法
同学，今天咱们来唠唠六年级的分数裂项法，这可是个超有趣的数学小技巧呢！
比如说啊，有这么个分数相加的式子，像1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + ……这种。
你要是直接通分去算，那可就太麻烦啦，就像你要穿过一片满是荆棘的树林，很容易就被困住。
这时候分数裂项法就像一把神奇的小剪刀，“咔嚓”一下就把这些分数变得简单了。
你看啊，1/1×2就可以写成1 - 1/2，1/2×3呢就等于1/2 - 1/3，1/3×4就等于1/3 - 1/4，以此类推。
为啥能这么写呢？你想啊，1/1×2就是1除以2，那不就是把1分成两份嘛，一份是1，另一份就是 - 1/2，加起来就是1/1×2啦。
那把这些变形后的式子一加，就特别神奇。
前面的1和后面的 - 1/2， - 1/2和后面的1/2就都抵消了，最后就只剩下1减去最后一个分数的小尾巴，比如在1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4这个式子中，最后就剩下1 - 1/4，结果就是3/4，是不是超级简单？
再比如说那种分母是三个数相乘的，像1/1×2×3这种。
它可以写成1/2×(1/1×2 - 1/2×3)。
你要是不太理解为啥这么写，你可以自己动手算一算，把右边这个式子通分一下，就会发现真的等于1/1×2×3。
分数裂项法就像是数学里的魔法，把那些看起来很复杂的分数加法，变得像搭积木一样简单又有趣。
只要你掌握了这个小魔法，再遇到这种分数相加的题，就可以轻松搞定啦。
小学奥数专题-分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的.【例 1】 111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】56【巩固】 111 (101111125960)+++⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-= 【答案】112【巩固】 2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【例 2】 111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律.从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】 111113355799101++++=⨯⨯⨯⨯ 例题精讲【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【解析】111111111150(1 13355799101233599101101 ++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…）【答案】50 101【巩固】计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++=⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++-⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯-⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++-⎪⎝⎭2515015012115165023232=⨯==【答案】21 1532【巩固】计算：3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111 255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】1 2【例 4】计算：11111111()128 8244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）1111111128 224461618=⨯-+-++-⨯（）1164218=-⨯（）4289=【答案】4 289【巩固】11111111 612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为：11111111612203042567290+++++++ 1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 【答案】25 【巩固】 11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111212312341234567=+++++++++++++++++ 2221233478=++++⨯⨯⨯ 111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74= 【答案】74【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111()22334910=--+-++- 111()2210=-- 110=【答案】110【巩固】 11111104088154238++++= . 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】 计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试 【解析】 原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-= ⎪⨯⨯⎝⎭ 【答案】100400312048045【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】 原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭- 4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】 计算：11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】小数报，初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++- 12021012102121=+-= 【答案】2021021【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270++++= . 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级，1试 【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054= 【答案】51005054【巩固】 计算：1122426153577++++= ____. 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级【答案】11【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯，2154135=-=⨯，……，21951411315=-=⨯， 所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】四中 【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100= 【答案】198100【例 8】 111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭= 【答案】35144【巩固】 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111149494949()212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯ 【答案】494919800【巩固】 计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】 4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 11111111()()......()()133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11139799=-⨯⨯32009603=【答案】3200 9603【巩固】9998971 12323434599100101 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...) 123234345991001012334100101 =++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()()2422101002101101=⨯⨯---=【答案】51 24 101【例 9】11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111 31232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯-⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】119 2160【巩固】333...... 1234234517181920 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111113[(...)] 3123234234345171819181920 =⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】1139 6840【例 10】计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315= 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同． 【答案】2315【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（） 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】迎春杯，初赛，五年级【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以 571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445351011911=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155= 所以原式31115565155=⨯=． （法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11223413112220311422055=-+-=-=， 所以原式31115565155=⨯=． （法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--= 所以原式31115565155=⨯=． （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =，3，……，9） 如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．【答案】651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】 12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】 123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】 计算：23993!4!100!+++= .【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯112100!=-【答案】112100!-【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……，10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以原式1112100=-+++15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（） 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】 22222211111131517191111131+++++=------ .【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯ 1113()214214=-⨯= 【答案】314【巩固】 计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯，2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯，……所以，原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯2222222111111112233478=-+-+-++-2118=-6364=【答案】6364【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996= 【答案】9979971996【巩固】 计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233=，204288=，34421515=， 可见原式222244442222213141991=++++---- 1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++⎪----⎝⎭1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101= 【答案】6312101【例 15】 5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 56677889910111111113()...()56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】 123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】 1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127= 【答案】127【巩固】 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111111111111111()()()()()()()()23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】 11798175451220153012++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式111111112111453445355646=+++++++++++111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】 22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020 =++++++++++=+⨯+=【答案】19 3620【巩固】11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007 (...)(...) 200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111 [(...)(...)] 20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111() 2008200720072015028⨯+=【答案】1 2015028【例 17】计算：111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11491502550=+-=【答案】49 50【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111 133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯135134135135=【答案】135134 135135【例 19】计算：283411 1222222 1335571719135357171921⎛⎫++++-+++=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】341199 222224422 1353571719211335355717191921 +++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯所以原式889 122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379 399。
六年级奥数4-1 分数裂项 答案
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
b <，那么x 提取（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯（2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例题精讲教学目标分数裂项计算【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯。
【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】5645++-+2100++⨯2325++⨯星【题型】计算 【解析】 原式25123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算 【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】 原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【答案】211532【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111111111 255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】1 2【例 2】计算：11111111(128 8244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学【解析】原式1111128 2446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（）【答案】428912++++【例 3】计算：1111 135357579200120032005 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】原式1111111 4133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】1004003 12048045【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，仁华学校【解析】 原式791611111182901133******** 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 【答案】2336【例 4】 计算：11111123420*********+++++【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭【巩固】 计算：2612203097029900+++++++=．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】2008年，四中【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】198100【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式111111111 21223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】35 144【巩固】计算：111 1232349899100 +++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111111 (21223233434989999100 =⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】4949 19800【巩固】计算：11112022 ++++⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式1111111 31232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【答案】119 2160【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111113[(...)] 3123234234345171819181920 =⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】1139 6840【例 5】计算：5719 1232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．89++⨯⨯星【题型】计算 年，迎春杯，初赛，五年级1789++⨯⨯们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．【答案】651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】75616【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 100!++=【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．12++⨯⨯99)(12100)129912100=-++⨯+++++++++，所以 1112100-+++(133********+⨯⨯⨯⨯【答案】155【例 6】 22222211111131517191111131+++++=------.【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()(()(24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】314【巩固】 计算：222222111111(1(1)(1)(1(1(123454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯，2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯，……所以，原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算222222222278++⨯21993++星【题型】计算211993+++ ⎝299++星【题型】计算253424299++-25099101++⨯星【题型】计算子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为倍，所以2100++-⎝⎭【答案】6312101【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【答案】310【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++【答案】334【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(...(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =1111()2008200720072015028⨯+=【答案】12015028【例 7】 计算：11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】 原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111121235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭ 12351178125025++-+++++++-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭ 111111112⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯+++-⎪ ⎪ ⎪ 【例 835++⨯⨯星【题型】计算35++⨯⨯111135791133535791113⎫⎛⎫+-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎭⎝⎭【例 91719135357171921++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】 3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【解析】 921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379 399。
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本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1
a b
形式的，这里我们把较小知识点拨
教学目标
分数裂项计算
的数写在前面，即a b <，那么有
1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1
(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：
1111
[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++
1111
[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）
2222a b a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】
111111223344556
++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。
例题精讲
【巩固】
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【巩固】
2222
109985443
++++=
⨯⨯⨯⨯
2222
109985443
++++=
⨯⨯⨯⨯
【例 2】1111 11212312100 ++++
++++++
公式的变式
1 122
1
+++=
⨯-
…n n n()
当n分别取1，2，3，……，100时，就有
1 1
2 12 1
12
2 23
1 123
2 34
1 1234
2 45
1 12100
2 100101
=
⨯
+=
⨯
++=
⨯
+++=
⨯
+++=
⨯
…
1
11
121
1231
12100
2122232342991002100101
21121231341991001
100101211212131314199110011001
101211
101
+
++
++++
+++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()
()
=⨯
==2100101200
1011
99101
求和公式推导： S1=1+2+3+4+5 + S1=5+4+3+2+1
【例 3】
1111
133557
99101
++++
=⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：111125133557
2325⎛⎫
⨯++++
=
⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
【巩固】 251251251
251251
488121216
2000200420042008
+++
+
+
⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：
3245671
255771111161622222929
++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 4】 计算：11111111
()1288244880120168224288
+++++++⨯=
方法一：
方法二：
【巩固】 11111111
612203042567290
+++++++=_______
【巩固】 111111
136********
++++++=
一项隔一项来拆项
【巩固】计算：111111111
2612203042567290
--------＝
【巩固】
11111
104088154238
++++=。
【例 5】
7
4.50.16
1111
18
13153563 13 3.75 3.2
3
⨯+
⎛⎫
⨯+++=
⎪
⎝⎭-⨯
【例 6】计算：11111
123420
261220420
+++++
【巩固】计算：11111
20082009201020112012
1854108180270
++++= 。
【巩固】计算：11224
26153577
++++=____。
【巩固】计算：1111111
315356399143195
++++++
【巩固】计算：1511192997019899
2612203097029900
+++++++=．
【例 7】
111 123234789 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：
11
1
123234
9899100
++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：
111
1
135246357
202224
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 999897
1
123234345
99100101
+++
+
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 8】
11111
123423453456678978910
+++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 9】 计算：
57
19
123234
8910
++
+
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．
【例 10】
123456 121231234123451234561234567 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：2399
3!4!100!
+++= .
【例 11】
23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++
⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++
【巩固】
2310
1
112(12)(123)(1239)(12310) ----
⨯++⨯++++++⨯++++
（）
【例 12】56677889910 56677889910 +++++ -+-+
⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】365791113 57612203042 ++++++
【巩固】计算：132579101119
3457820212435
++++++++=
【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++
【巩固】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++
【巩固】计算：5791113151719
1
612203042567290
-+-+-+-+
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算。