三角形的四心

三角形的“四心”
所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

三角形的“四心”是初中三角形的重难点，也与高中向量、三角函数等知识联系甚紧，需要认真学懂。

一、三角形的外心
定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。

ABC 的重心一般用字母O 表示。

性质：
1、外心到三顶点等距，即OC OB OA 。

2、外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即
AB OF AC OE BC OD ,,. 3、AOB C AOC B BOC A 21
,21
,21。

二、三角形的内心
定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：
性质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝2
1三角形的周长内切圆的半径．3.CE CD BD BF AF AE ,,；
CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,21
90A BIC B CIA 21
90，C AIB 21
90。

三、三角形的垂心
定义：三角形三条高的交点叫垂心。

ABC 的垂心一般用字母H 表示。

性质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即AB CH AC BH BC AH ,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的
垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：
定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母G 表示。

性质：
1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF
GC GE GB GD GA 2,2,23.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．
即3,3C B A G C B A G y y y y x x x x .
4.ABC AGB CGA BGC S S S S 31。