2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年江西省5市重点中学高考数学联考试卷（理科）
1. 已知集合，
，则
( )
A. B.
C.
D.
2. 若复数z 满足，则
( )
A. B. C. 5
D. 17
3. 函数，则
( )
A. B.
C. 1
D. 2
4. 的展开式中含
项的系数是( )
A.
B. 112
C.
D. 28
5. 已知非零向量
与
满足
，且
，则向量
与
的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
6.
在直三棱柱
中，
是等边三角形，
，D ，E ，F 分别
是棱
，
，
的中点，则异面直线BE 与DF 所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7. 某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9，
，
，x ，
已知这5名
参赛选手的得分的平均数为9，方差为
，则
( )
A. B.
C. D.
8. 设函数
的导函数为
，若
在其定义域内存在
，使得
，则
称
为“有源”函数.已知
是“有源”函数，则a 的取值范围是( )
A.
B. C.
D.
9. 已知函数，则( )
A. 的最小正周期是
B. 在
上单调递增
C. 的图象关于点对称
D.
在
上的值域是
10. 如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国
古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区
域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，
则恰用4种颜色的概率是( )
A. B. C. D.
11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线
，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是( )
A. 32
B. 64
C. 128
D. 256
12. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，且
，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. 已知双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，则双曲线C的焦距是______ .
14. 已知，则______ .
15. 已知是定义在上的减函数，且的图象关于点对称，则关于x的不等式的解集为______ .
16. 在棱长为3的正方体中，点P在平面上运动，则
的最小值为______ .
17. 设数列的前n项和为，且，
求的通项公式；
若，求数列的前n项和
18. 某企业为鼓励员工多参加体育锻炼，举办了一场羽毛球比赛，经过初赛，该企业的A，B，C三个部门分别有3，4，4人进入决赛.决赛分两轮，第一轮为循环赛，前3名进入第二轮，第二轮为淘汰赛，进入决赛第二轮的选手通过抽签确定先进行比赛的两位选手，第三人轮空，先进行比赛的获胜者和第三人再打一场，此时的获胜者赢得比赛.假设进入决赛的选手
水平相当即每局比赛每人获胜的概率都是
求进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率；
记进入决赛第二轮的选手中来自B部门的人数为X，求X的数学期望.
19. 已知椭圆C：的离心率是，点在椭圆C上.
求椭圆C的标准方程.
直线l：与椭圆C交于A，B两点，在y轴上是否存在点点P不与原点重合，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
20. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，
，，，E是棱PB的中点.
证明：平面ABCD；
若，求平面DEF与平面PAB夹角的余弦值的最大值.
21. 已知函数
当时，讨论的单调性.
证明：①当时，；
②，
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是
求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值.
23. 已知函数
求的最小值；
若，不等式恒成立，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：构造函数，
因函数，均在R上单调递增，
则在R上单调递增，
又，
则，
故，
，
则
故选：
构造函数，利用其单调性可化简集合A，后化简集合B，后由交集定义可得答案．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：，
，
故选：
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由，
得，
则
故选：
根据函数解析式，先求出，进而可求．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得，其通项公式为
，
令，可得，
所以含项的系数是
故选：
根据题意，得到二项式的通项公式，代入计算即可得到结果．
本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D
【解析】解：非零向量与满足，且，
可得，
可得，
向量与的夹角是，
所以向量与的夹角是
故选：
利用已知条件求解向量的数量积，然后求解向量的夹角．
本题考查平面向量的数量积的运算，向量的夹角的求法，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：取等边的AC边的中点O，连接OB，则
，过O作的平行线，
则以O为原点，分别以OB、OC、Oz为x轴、y轴、z轴，建立空
间直角坐标系，如图所示，
设等边的边长为2，则根据题意可得：
，，，，
，，
，，
异面直线BE与DF所成角的余弦值为，
故选：
取等边的AC边的中点O，以O为原点建立空间直角坐标系，运用异面直线所成角的计算公式即可得结果．
本题考查向量法求解异面直线所成角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为平均数为，
所以，
因为方差为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以
故选：
先由平均数和方差分别得到和的值，再整体代入计算的值即可．
本题主要考查了数据的数字特征，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：，，
由“有源”函数定义知，存在，使得，即有解，记，所以a的取值范围是函数的值域，
则，
当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以，所以，
即a的取值范围是
故选：
根据“有源”函数概念，转化为函数有解问题，利用导函数求出函数值域即可得到参数a的范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：
，
对于A，的最小正周期，A错误；
对于B，当时，，此时单调递减，
在上单调递增，B正确；
对于C，令，解得，此时，
的图象关于点对称，C错误；
对于D，当时，，则，
在上的值域为，D错误．
故选：
利用两角和与差的余弦公式、二倍角和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的图象与性质判断各选项即可．
本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数的图象和性质，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：若按要求用5种颜色任意涂色：
先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择，
再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；
若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择，
则共有种方法，
若恰只用其中4种颜色涂色：
先在5种颜色中任选4种颜色，有种选择，
先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择，再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择；
为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择，
若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择，
则共有种方法，
故恰用4种颜色的概率是
故选：
先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可．
本题主要考查组合及简单计数问题，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，显然，斜率存在且不为0，
设直线方程为，设，，
由，得，
，即，
以代替上式中的k，可得，
，
当且仅当，即时等号成立，
四边形ADBE面积的最小值是
故选：
两条直线的斜率都存在且不为0，因此先设一条直线斜率为k，写出直线方程，与抛物线方程联立求出相交弦长，同理再得另一弦长，相乘除以2即得四边形面积，再由基本不等式求得最小值．
本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦问题，四边形面积的最值的求解，函数思想，基本不等式的应用，属中档题．
12.【答案】B
【解析】解：，即，，
，
由正弦定理得：，即，
，
或，解得或舍去，
又为锐角三角形，则，
，解得，
，
又，
，
，
，即的取值范围
故选：
由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助
角公式将问题转化为求三角函数在上的值域．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：因为双曲线C：的离心率是2，实轴长为2，
所以，解得，，
所以双曲线C的焦距是
故答案为：
根据已知条件，结合离心率的公式，以及实轴的定义，即可求解．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为
故答案为：
首先将化简为，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可得到答案．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数的图象关于点对称，
函数的图象关于原点对称，
令，则为奇函数，
又是在上的减函数，
也是在上的减函数，
又等价于：
，又为奇函数，
，又是在上的减函数，
，解得，
原不等式的解集为
故答案为：
构造新函数，根据题意可易得为上的减函数和奇函数，再利用其奇函数和增函数的性质求解不等式，即可得解．
本题主要考查了函数的奇偶性和对称性，函数的单调性的应用，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：如下图所示：
设与平面交于点E，易知，平面ABCD，
由平面ABCD，所以，又，AC，平面，
所以平面，平面，所以，同理可证，
由，BD，平面，所以平面
因为，所以
，
又因为，所以
倍长EC至F，则，
故点F是点关于平面的对称点．
那么有
所以
如下图，以C为原点，CD，CB，分别为x轴、y轴、z轴建系，
则，，，即
所以，即的最小值为
故答案为：
根据正方形体对角线与平面垂直，找到点关于平面的对称点F，将转化为FP，再根据三角形三边关系得的最小值为，最后通过建系利用坐标计算得的长度即可．
本题主要考查棱柱的结构特征，两点间的距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，，
两式相减得，即，
所以；
由得，
所以，
所以…
【解析】先根据，可得数列是以为公差的等差数列，从而可得数列的通项，再根据与的关系结合累乘法即可得解；
先求出数列的通项，再利用裂项相消法即可得解．
本题主要考查了数列的递推式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．
18.【答案】解：设进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门为事件A，
则
故进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门的概率为
的可能取值为0，1，2，3，
，，，
，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以
【解析】进入决赛第二轮的3人中恰有2人来自同一个部门分为来自A，B，C三个部门，分别求出其概率，由分类加法计数原理即可得出答案；
求出X的可能取值及每个变量X对应的概率，即可求出分布列，再由期望公式即可求出
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可得，，，
联立解得，，
椭圆C的标准方程为
设，，
假设在y轴上存在点，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值．直线PA的方程为，与x轴交点为；
直线PB的方程为，与x轴交点为
把代入方程，解得，，
，
令，解得，
在y轴上存在点，使得直线PA，PB与x轴交点的横坐标之积的绝对值为定值
【解析】由题意可得，，，联立解得，，即可得出椭圆C 的标准方程．
设，，假设在y轴上存在点，使得直线PA，PB与x轴交点
的横坐标之积的绝对值为定值．直线PA的方程为，与x轴交点为；
同理可得直线PB与x轴交点为把代入方程，解得，
计算，进而得出结论．
本题考查椭圆的标准方程及性质、一元二次方程的根与系数的关系、定值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】证明：取CD中点M，连接BD、BM，设，
，，四边形ABMD为矩形，
，，
，E是棱PB的中点，
，，PC、平面PBC，平面PBC，
又平面PBC，
，BD，平面PBD，平面PBD，
又平面PBD，
，，，BC、平面ABCD，平面ABCD；
因为DA，DC，DP两两垂直，所以以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，即，
设平面DEF的法向量为，，
则，即，令，得平面DEF的法向量
，
设平面PAB的法向量为，，
则，即，令，得平面PAB的法向量，所以
，
令则，
则当，即时，取得最大值为
故平面DEF与平面PAB夹角的余弦值的最大值为
【解析】由线线垂直证平面PBC，并依次证、平面PBD、、
平面ABCD；
由向量法求面面角，建立面面角余弦值的函数，进而讨论最大值．
本题主要考查直线与平面垂直的判定，平面与平面所成角的求法，考查空间向量法的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
21.【答案】解：由题可知，
当时，，令，得在单调递减，在单调递增；
当时，，
当时，零点为，，
令解得，
故在单调递增，在，单调递减；
当时，，，在单调递减．
综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在，
单调递减；
当时，在单调递减．
证明：①
，令，其中
则不等式成立，即函数在恒小于零，
由可知，在定义域内单调递减，，因此当时，
；
②由①可知，
因此，
解得，，得证．
【解析】求出的导数，分类讨论a的不同取值范围时的单调性即可；
①展开为，利用换元法简化不等式，再用导数求解不等式恒成立即可；
②利用①中结论放缩，再求和即可．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．
22.
【答案】解：，①②得，根据极坐标方程与直角坐标方程关系可知直线l的直角坐标方程为：；
由可知点过直线l，故直线l的参数方程可写为为参数，
代入曲线C的普通方程得，
由韦达定理可知：，，
所以
【解析】曲线C的参数方程通过平方消元得到普通方程；通过极坐标方程与直角坐标方程关
系得到直线l的直角坐标方程；
由题可知点P过直线l，利用直线的参数方程中参数与定点位置关系即可列式计算．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，，
当时，，
当时，，
综上，，由此可知
由可知，
解得，当时，欲使不等式恒成立，
则，即，解得，
即a的取值范围是
【解析】根据x的不同取值范围，展开化解函数，根据函数的单调性即可判断出的最小值；
根据中解析式简化不等式，再展开绝对值计算即可．
本题主要考查不等式恒成立问题，函数最值的求法，绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．。