概率习题集详细答案

第一章 随机事件及其概率 习题1-1 随机事件及其运算
1.写出下列随机试验的样本空间.
(1)同时抛两枚硬币，观察正面朝上的次数； 解 {}10,1,2Ω=
(2)同时掷两枚骰子，观察两枚骰子出现的点数之和； 解 {}22,3,,12Ω=
(3)生产产品直到得到10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 {}310,11,Ω=
(4)在某十字路口上，一小时内通过的机动车辆数. 解 {}40,1,2,Ω=
2.设,,A B C 为3个随机事件，试用,,A B C 的运算表示下列事件. (1) ,A B 都发生而C 不发生；ABC
(2),A B 至少有一个发生而C 不发生；()A B C (3),,A B C 都发生或都不发生； ()()ABC ABC (4) ,,A B C 恰有两个发生； ABC ABC ABC (5) ,,A B C 至少有两个发生. AB AC BC 3.请用语言描述下列事件的对立事件： (1)A 表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 解 A 表示“抛两枚硬币，至少出现一个反面”； (2)B 表示“生产4个零件，至少有一个合格”； 解 B 表示“生产4个零件，全都不合格”.
4.从一批灯泡中任取4个进行检验，设i A 表示“第i 个灯泡的使用寿命在800小时（含800小时）以上”.试用语言描述下列随机事件： (1) 1234A A A A ； (2) 1234A A A A ；
解 (1)表示4个灯泡中至少有一个灯泡的使用寿命在800小时以上.
（2）表示第1、第4两个灯泡的使用寿命在800小时以上，而第2、第4两个灯泡的使用寿命不足800小时.
5设Ω为随机试验的样本空间，,A B 为随机事件，且{}05x x Ω=≤≤，{}12A x x =≤≤，
{}02B x x =≤≤.试求：,,,A B AB B A A - .
解 利用集合的运算性质可得
{}02A B x x =≤≤ ； {}12AB x x =≤≤
{}01B A x x -=≤<； {}0125A x x x =≤<<≤或
习题1-2 随机事件的频率与概率
古典概型与几何概型
1.设()()()0.7,0.6,0.3P A P B P A B ==-=，求()()()
,,P AB P A B P AB . 解 由于()()()0.3P A B P A P AB -=-=，而()0.7P A =，则()0.4P AB =
所以 ()()10.6P AB P AB =-= ； ()()()()0.9P A B P A P B P AB =+-=
()()
()10.1P AB P A B P A B ==-=
2.设事件,A B 及和事件A B 的概率分别为0.4,0.3和0.6，试求()
P AB 解
()
()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B P A B =-=-+-⎡⎤⎣⎦
()()0.60.30.3P A B P B =-=-=
3.已知()()()()()()11,,14,112,036P A P B P C P AC P BC P AB ======，求:(1),,A B C 至少有
一个发生的概率；(2),,A B C 全不发生的概率.
解 因为AB ABC ⊂，所以有()()0=≤AB P ABC P ， 所以,,A B C 至少有一个发生的概率
()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+
12
7
01211210416131=+---++=. ,,A B C 全不发生的概率()()
()75111212
P ABC P A B C P A B C ==-=-=
4.将3个球随机地投入4个盒子中，求下列事件的概率：
(1)A 表示“任取3个盒子中各有一个球”； (2)B 表示“任取1个盒子中有3个球”.
解 (1)基本事件总数3464n ==,A 包含的基本事件数3
43!24
A r C =⋅=，
()243648
A r P A n =
==. (2) 基本事件总数3464n ==,B 包含的基本事件数1
44B r C ==，()416416
B r P B n
===
5.从0,1,…,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：(1)3个数字中不含0与5的概率；(2)3个数字中不含0或5的概率.
解 设A 表示“3个数字中不含0与5”; B 表示“3个数字中不含0或5”.
基本事件总数3
10n C =,其中A 包含的基本事件数38
A r C =,则()38310715
C P A C ==;B 包含的基本事件数333
998B r C C C =+-,()33
983
10
21415
C C P A C -==
6.袋中有7个球，其中红球5个，白球2个，从袋中取球两次，每次随机地取一个球，取后不放回，求：
(1)第一次取到白球、第二次取到红球的概率； (2)两次取得一红球一白球的概率.
解 设A 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”， 设B 表示“第一次取到白球，第二次取到红球”.
(1)基本事件总数7642n =⨯=,A 包含的基本事件数2510A r =⨯=， 于是 ()1054221
A r P A n =
==. (2)基本事件总数7642n =⨯=,“两次取得一红球一白球”有两种情形：
其一，第一次取得红球第二次取得白球，有52⨯种取法；其二，第一次取得白球，第二次 取得红球，有25⨯种取法，于是B 包含的基本事件数522520B r =⨯+⨯=， 故 ()20104221
B r P B n =
== 7.10把钥匙中有3把能打开门，现任取2把，求能打开门的概率.
解 设A 表示“任取2把能打开门”，基本事件总数2
10n C =，A 包含的基本的事件数为
1
123
7
3
A r C C C =+，则()12
23
732
10815
A C C C r P A n C +===
习题1-3 条件概率
1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，求()
P B A .
解 由()()
10.5P A P A =-=，()
()()0.3P AB P A P AB =-=，得()0.2P AB =，则
()()()0.2
0.40.5
P AB P B A P A =
==
2.设()13P A =
，()1
4
P B A =，()13P A B =，求()()()()
()()()()
B A P B P AB P AB P 43,2,1. 解 ()()()111
3412
P AB P A P B A ==⨯=，()
()121112111=-=-=AB P AB P
由 ()()()13
P AB P A B P B =
=，得()1
4P B =，则
()()()(
)
()()()()[]()32
4
1112141311111=
-⎪
⎭⎫
⎝⎛-+-=--+-=-⋃==B P AB P B P A P B P B A P B P B A P B A P 3.100件同类型产品中有85件一等品，10件二等品和5件次品，求从中任取一件非次品的条件下，产品为一等品的概率.
解 设A 表示“任取一件为非次品”，B 表示“任取一件为一等品” 由题意得：()()0.95,0.85,P A P B B A ==⊂， ()()()()()0.8517
0.9519
P AB P B P B A P A P A =
===
4.用3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的概率分别为0.5,0.3,0.2，各机床加工的
零件为合格品的概率分别等于0.94,0.9,0.95，求全部产品中的合格率.
解 设i A 表示“从全部产品中任取一件为第台i 机床生产”（1,2,3i =），B 表示“从全部产品中任取一件是合格品”，则()()()1230.5,0.3,0.2
P A P A P A ===，()10.94P B A =，()20.9P B A =，()30.95P B A =，由全概率公式得，
()()()3
0.50.940.30.90.20.950.93i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑
5.某工厂中，三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%，它们生产的产品中分别有
5%,4%,2%的次品，
将这些产品混在一起，现随机地取一产品，问它是次品的概率是多少？又问这一次品是由三台机器中的哪台机器生产的概率最大？
解设1A 表示“任取一件产品为第i 台机器生产”（1,2,3i =），B 表示“任取一件产品，它是次品”，则()()()12325%,35%,40%P A P A P A ===，()15%P B A =，()24%P B A =，
()32%P B A =，由全概率公式得
()()()3
25%5%35%4%40%2%0.0345i i i P B P A P B A ==⨯+⨯+⨯=∑
再由贝叶斯公式得 ()()()()
11125%5%
0.36230.0345
P A P B A P A B p B ⨯=
=
≈
()()()()
22235%4%
0.40580.0345P A P B A P A B p B ⨯=
=
≈，()()()()33340%2%0.23190.0345
P A P B A P A B p B ⨯==≈
所以这一次品是由第二台机器生产的概率最大.
习题1-4 事件的独立性 1.设()()0.4,0.7P A P A B == ，在下列条件下分别求()P B . (1)A 与B 互不相容；(2)A 与B 相互独立；(3)A B ⊂. 解 (1)由于A 与B 互不相容，所以()()()P A B P A P B =+ ， 则()()()0.3P B P A B P A =-= .
（2）设A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，()()()()P A B P A P B P AB =+-
()()()()0.7P A P B P A P B =+-=，又()0.4P A =，即得()0.5P B =.
（3）由于A B ⊂， A B B = ，即()()0.7P B P A B ==
2.甲、乙两人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，求目标被击中的概率.若已知目标被击中，求它是甲射中的概率.
解 设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为
()P B 和()1P A B .已知()()120.6,0.7P A P A ==，1A 与2A 相互独立，12B A A = ，则
()()()()()()2212120.60.70.420.88P B P A A P A P A P A P A ==+-=+-= .
()()()()()11115
0.681822
P A B P A P A B P B P B =
==≈ 3.设事件A 与B 相互独立，且事件A 发生B 不发生与事件B 发生A 不发生的概率都为4
1
， 求()A P
解 由题意，()()
B A P B A P = 因为A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B 也相互独立
()()()()()()
()()()()()()
()()()()()()()()
B P A P B P A P B P B P A P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B A P B A P =⇒-=--=-==11
()()()
()()()()()()2
1412
=⇒=
-=-==A P A P A P B P A P A P B P A P B A P 4.有一题，甲、乙、丙三人独立解出的概率分别为111,,534
，问解出此题的概率是多少？
解 设1A 表示“甲独立解出此题”，2A 表示“乙独立解出此题”，3A 表示“丙独立解出此题”，
B 表示“此题被解出”. ()()()()
12312312311P B P A A A P A A A P A A A ==-=-
()()()
1234233115345
P A P A P A =-=-⋅⋅=.
5.进行一系列独立试验，每次试验成功的概率为p ，求：（1）第k 次才成功的概率；（2）n
次试验中恰有k 次成功的概率.
（1）{}()()()()
()()11211211k k k k k P k P A A A A P A P A P A P A p p ---===- 第次才成功. (2) {}()()
1n k
k k n n P n k P k C p p -==-次试验恰有次成功
习题1-5 第一章习题课
1. 设41)(=
A P ，5
2
)(=B P ，在下列情况下，求概率)(B A P . （1）A 、B 互不相容 （2）B A ⊂ （3）A 与B 独立 （4）81
)(=AB P 解：由分析知（1）5
2
)()(==B P B A P (2) 2034152)()()(=-=-=A P B P B A P
(3)1035243)()()(=⨯==B P A P B A P (4) 40
11
8152)()()(=-=-=AB P B P B A P
2.设()()
P AB P AB =，且()P A p =，求()P B .
解 ()()
()()()()11P AB P A B P A B P A P B P AB ==-=-+-⎡⎤⎣⎦ 又因为()()
P AB P AB =，所以有()()11P B P A p =-=- 3.从4双不同的手套中任取4只，求下列事件的概率，
(1)4只没有成对； (2)4只恰好为2双.
解 从4双(8只)中任取4只,共有4870n C ==种,设A 表示“取到的4只没有成对”,则B 表
示“取到的4只恰好为2双”,则A 的基本事件数为1111
222216C C C C ⋅⋅⋅=,B 的基本事件数为
624=C
()1111
2222481687035
C C C C P A C ===
. ()35
3482
4==C C B P
4.有10件产品，其中8件正品，2件次品，现从中无放回地任取两次，求在第二次取得是正品条件下，第一次取得也是正品的概率.
解：用A 表示“第一次取得是正品”，A 表示“第一次取到是次品”，用B 表示“第二次取
得正品”所求问题为()
B A P
由题意知 ()()()
9
8
,97,541918191711018======C C A B P C C A B P C C A P
由全概率公式
()()()()()()()
5
4
98519754=⨯+⨯=+=+=B A P A P B A P A P B A P AB P B P
由贝叶斯公式
()()()()()()97
5
49754=⨯
===B P A B P A P B P AB P B A P
5.有两批相同的产品，第一批产品共14件，其中2件次品，装在第一个箱中，第二批产品共有10件，其中1件次品，装在第二个箱子，从第一个箱中任取一件放入第二箱中，求再 从第二箱中任取一件为次品的概率.
解 设1A 表示“从第一箱放入第二箱是次品”，2A 表示“从第一箱放入第二箱是正品”
B 表示“从第二箱任取一件为次品”，由题意知：()()76
,711141
122114121====C C A P C C A P
()(),11
1
,1121111
12111121====C C A B P C C A B P
由全概率公式
()()()()()77
811176112712211=
⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P
6.从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，求从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯的概率. 解：在各交通岗遇到红灯是独立的，故可以看成5重贝努里试验，4.0=p 用A 表示“从学校乘汽车到火车站遇到两次红灯”
()()()3456.04.014.03
2
25=-=C A P
第二章 随机变量及其分布 习题2-1 随机变量及其分布函数 离散型随机变量的概率分布
1. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2这四个值，相应的概率依次为1357,,,24816
c c c c ，确
定常数c ，
解
由归
1167
854321=+++c c c c ，1637
=
c . 2.已知离散型随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥<≤≤≤<≤--<=3
,131,8.010,6.001,3.01
,0x x x x x x F ，求X 的概率分布.
解 ()x F 的跳跃点分别为3,1,0,1-，对应的跳跃高度分别为2.0,2.0,3.0,3.0 故X 的概率分布为
10130.30.30.20.2
X p -
3．已知随机变量X 的概率分布为
且()4
3
2=
≥X P ，求未知参数θ及X 的分布函数. 解：由归一性知，()(),11122
2
=-+-+θθθθ且()012≥-θθ
{}{}{}()()4
31123222
=
-+-==+==≥θθθX P X P X P ， 解得 2
1
,21-==
θθ（舍去) X 的分布函为()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨
⎧≥<≤<≤<=3,132,4
321,4
1
1
,0x x x x x F 4. 5件同类型的产品中有2件次品，3件正品，有放回的每次取一个，共取2次，求2次中取到次品的次数X 的概率分布. 解：X 的所有可能取值为2,1,0
339{0}5525P X ==⨯=，233212{1}555525P X ==⨯+⨯=，224{2}5525
P X ==⨯=
，列表如下，
0129124252525
P
X
()()
2
2123
211X P --θ
θθθ
5. 某电话交换台的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： （1）每分钟恰有8次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数超过10次的概率.
解 设X 表示每分钟收到的呼唤次数，则~(4)X P ，
（1）44
8944{8}{8}{9}0.298!!
∞
∞--====≥-≥=-=∑
∑k k k k P X P X P X e e k k （2）4114{10}0.0028!
k k P X e k ∞
-=>==∑ 习题2-2 连续型随机变量及其概率分布
1．设随机变量X 的概率密度为
cos ,,
()20,
k x x f x π
⎧
≤
⎪=⎨
⎪⎩其它.
求（1）系数k ；（2）{0}P x π<
<；（3）X 的分布函数()F x .
解（1）由
()cos 1π
π+∞
2-∞
-2
==⎰
⎰f x dx k x dx ，得1
2
k =
； （2）20
11{0}cos 22
P x x dx π
π<<=
=⎰
； （3）0,,2
1
()=(sin 1),
,
22
21,.2
x F x x x x ππππ⎧
<⎪⎪
⎪+-
≤<⎨⎪⎪≥
⎪⎩
2. 设随机变量X 的分布函数为
0,0,(),
01,1, 1.
x F x k x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
求（1）系数k ；（2）{00.25}P X ≤≤；（3）X 的概率密度()f x .
解 （1）连续型随机变量的分布函数是处处连续的，(),lim lim 1
1
k x k x F x x ==+
+
→→
(),1lim 1=-
→x F x 即()()1lim lim 1
1
===-
+→→k x F x F x x ；
（2）()()1{00.25}0.2500.2502
P X F F ≤≤=-=-=；
（3）
()()1
,01,()20,x f x F x x
⎧<<⎪
'==⎨⎪⎩
其它.
3. 设随机变量~[2,5]X U ，求（1）{23}P X <≤；（2）{4}P X ≥；（3）{13}P X <≤.
解 （1）321
{23}523P X -<≤=
=-；（2）541{4}523
P X -≥==-；
（3）321{13}523P X -<≤==-. 4. 设~(1,16)X N -，求（1）{ 2.44}P X <；（2）{ 1.5}P X >-；（3）{4}P X <； （4）{52}P X -<
<.
（1） 2.441
{ 2.44}(
)(0.86)0.80514
P X +<=Φ=Φ=； （2）()1.51
{ 1.5}1( 1.5)1(
)10.125(0.125)0.54784
P X P X -+>-=-≤-=-Φ=-Φ-=Φ=；
（3）{4}{44}(1.25)(0.75)(1.25)(0.75)10.6678P X P X <=-<<=Φ-Φ-=Φ+Φ-=； （4）2151{52}(0.75)(1)0.614744P X +-+⎛⎫⎛⎫
-<<=Φ-Φ=Φ-Φ-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
5.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：min ）具有概率密度
51,0,()5
0,0.
x
e x
f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
某顾客在窗口等待服务，若超过10 min ，他就离开.
（1）求该顾客未等到服务而离开窗口的概率；
（2）若该顾客一个月内要去银行5次，用Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数，求
{1}P Y ≥.
解（1）25
1{10}5
10
x p P X e dx e -+∞
-=>==⎰
； （
2
）
2~(5,)
Y B e -，
20255{1}1{0}1()(1)0.5167P Y Y C e e --≥=-==--≈.
习题2-3 随机变量函数的分布
1.设随机变量X 的分布律为
210111116
4
3
4
X P
--
求 2Y
X =+及21Z X =-的分布律.
012311116
4
3
4
Y P
；
3011116
2
3
Z P
-
2. 设随机变量X 的分布律为
021
11
2
4
4
X P
π
π
求 cos Y X =的分布律.
101111
2
4
4
Y P
-
3. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，求3
Y X =的概率密度.
解：X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤≥=-0
,00
,22x x e x f x ，
3Y X =在[)+∞,0内单调函数，反函数为()3y y h =在[)+∞,0内单调函数，导数()3
2
3
1-='y y h ，值域为[)+∞,0
()()1
3
2232,0,0,()3
0,0
0,0.
y X Y f h y h y y y e y f y y y --⎧⎧'⋅≥⎡⎤≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨<⎪⎪⎩<⎩
4. 设随机变量~[0,1]X U ，求X
Y e =及ln Z X =-的概率密度.
解：X 的密度函数为()⎩
⎨⎧≤≤=others x x f ,01
0,1
x e y =在[]1,0是单调函数，反函数为()y y h ln =在[]e ,1是单调函数，导数为()y
y h 1
=
'，值域为[]e ,1，则Y 的密度函数为
()()1
,1,,1()0,0,.
X Y y e f h y h y y e y f y ⎧⎧'≤≤⋅≤≤⎡⎤⎪⎪⎣⎦==⎨⎨⎪⎪⎩⎩
其他
其它
x
z ln -=在
()1,0是单调函数，反函数为()z e z h -=在[)+∞,0是单调函数，导数为
()z e z h --='，
()(),0,0,
,
0,()0,
0.
0,00,0.z z X Z f h z h z z e z e z f z z --⎧⎧'≥-≥⎡⎤⎧≥⎪⎪⎣⎦==⎨⎨
⎨<<<⎪⎩⎪⎩⎩
z z =
5. 设随机变量()~0,1X N ，求Y X =的概率密度. 解：X 的概率密度函数为()()+∞<<∞-=-
x e x f x X 2
221
π
,0≥=
X Y
先求Y 的分布函数()y F Y ，
当0≤y 时，(){}0=≤=y Y P y F Y ；
当0>y 时，(){
}{}
{}()()y F y F y X y P y X P y Y P y F X X Y --=≤≤-=≤=≤=， 于是Y X =的概率密度为
()()()()22
2
22
2111,0,0()220,00,0
2,0,0,0.y y X X Y Y y f y f y y e e y f y F y y y e y y ---⎧--⋅->⎧+>⎪⎪
'===⎨⎨≤⎪⎩⎪≤⎩
⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
ππ
π
习题2-4 第二章习题课
1.选择题
（1）设()x f 1为()1,0N 的概率密度，()x f 2为[]3,1-U 的概率密度，若()()()⎩⎨⎧>≤=0
,0
,21x x bf x x af x f 为概率密度()0,0>>b a ，则b a ,满足___. （A ） (A) 432=+b a (B) 324a b += (C) 1=+b a (D) 2=+b a
（2）设随机变量()~2,X B p ，随机变量()p B Y ,3~，若()9
51=≥X P ，则()=≥1Y P .（A ） (A)
1927 (B) 89 (C) 1627
(D)19
（3）设随机变量~[2,4]X U ，则{34}___P X <<=.（A ）
(A) {2.25 3.25}P X << (B) {1.5 2.5}P X << (C) {3.5 4.5}P X << (D) {4.5 5.5}P X <<
（4）设随机变量X 的概率密度为2
(1)81
()22x f x e π
+-=，则~___X .（B ）
(A) (1,2)N - (B) (1,4)N - (C) (1,8)N - (D)(1,16)N -
2.填空题 2λ=
（1）设X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且1
{0}{2}2
P X P X ===，则__λ=. 解：{} ,2,1,0,!
==
=-k e k k X P k λλ
1{0}{2}2P X P X ===228
1!221!02
20=⇒=⇒⨯=⇒--λλλλλλe e
（2）设随机变量X 的概率密度为2,10,
()0,
10.a
x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则常数__.a =10a =
解：由归一性，
()11010lim 1010
2==⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+∞→+∞
∞
+∞
+∞
-⎰
⎰
a a x a x a dx x a dx x f x 10=a
（3）设随机变量~(2,4)X N ，则{2}___.P X ≤=0.5 解：{}()5.002222
22=Φ=⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧-≤-=≤X P X P
（4）设随机变量X 的分布函数为()x F ，则随机变量13+=X Y 的分布函数()=y G . 解：(){}{}⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
-≤
=≤+=≤=313113y F y X P y X P y Y P y G 3.袋中有2个白球3个黑球，现从袋中随机地抽取2个球，以X 表示取到的白球个数，求X 的分布律.
解：
X
的所有取值为
2,1,0
{}{}{}10
1
3,1061,1030252
22513122523=========C C X P C C C X P C C X P
01236110
10
10
X
P
4. 设连续型随机变量X 的分布函数为
(1),0,(),01,1, 1.x x Ae x F x B x Ae x --⎧<⎪=≤<⎨⎪-≥⎩
（习题B 第十题）
求：（1）,A B 的值；（2）X 的概率密度；（3）1{}3
P X >.
解 （1）由于连续型随机变量的分布函数()F x 为连续函数，因此考查()F x 在0,1
x x ==两点的连续性，有0
lim ()lim x
x x F x Ae A --→→==，00
lim ()lim x x F x B B ++
→→==，得A B =； 又1
1
lim ()lim x x F x B B --
→→==,(1)
1
1
lim ()lim(1)1x x x F x Ae A ++--→→=-=-,得1B A =-；则
1
2
A B ==
于是(1)
1,
0,21(),01,
211, 1.2x
x e x F x x e
x --⎧<⎪⎪
⎪=≤<⎨⎪
⎪-≥⎪⎩
（2）(1)1,
0,2()()0,
01,1
, 1.2
x
x e x f x F x x e x --⎧<⎪⎪
'==≤<⎨⎪⎪≥⎩ （3）11111{}1{}1()133
322
P X P X F >=-≤=-=-= 或(1)11
3
111{}()3
22
x P X f x dx e dx +∞
+∞
-->=
==⎰
⎰
. 5. 设随机变量[]6,0~U X ，求方程04522
=-++X Xt t 有实根的概率.
解：X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=others
x x f ,06
0,61
使方程04522
=-++X Xt t 有实根，0≥∆
()()()
()(),0414454454222
≥--=+-=--=∆X X X X X X
即4≥X 或1≤X
方程有实根的概率为
{}{}21
616114106
4
=
+=≤+≥⎰⎰
dx dx X P X P
第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量
1. 袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中去两次，每次取一球以Y X ,分别表示从袋中两次取球所得的红、黑球个数，(1)求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律；(2)求{}1,2≤≤Y X P .
解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1,2
{}{}{}91
62622,0,31263621,0,4163630,0=⨯====⨯⨯====⨯===Y X P Y X P Y x P
{}{}{}02,1,91
262611,1,61263610,1====⨯⨯====⨯⨯===Y X P Y X P Y X P .
{}{}{}02,2,01,2,36
1
61610,2=======⨯===Y X P Y X P Y X P
联合分布律为
{}{}{}{}{}
{}{}9
8
4161361319100,00,10,21,01,11,21,2=
+++++===+==+==+==+==+===≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P
X
X
0121110463611103912
9
2. 2. 盒中有2个红球，1个白球和2个黑球，从中取2个，设,X Y 分别为取出的红球数
和白球数，求二维随机变量(,)X Y 的联合分布律及边缘分布律. 解：X 的可能取值为0,1,2，Y 的可能取值为0,1
{}{}{},52
0,1,511,0,1011,02512122512112522============C C C Y X P C C C Y X P C C Y X P
{}{}{}01,2,10
1
0,2,511,12512251112===========Y X P C C Y X P C C C Y X P
01
311010510321
155
511201010321
5
5
i j
p p ⋅⋅
3. 已知{}{}2121=
===X P X P ，当事件{}k X =发生时()2,1=k ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛=31,~k B k X Y ，求二维随机变量()Y X ,的联合概率分布律.
解 当1=k 时，{}{}31323111,323231100
1
112001=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P
则有{}{}{}
31
32211010,1=⨯=
======X Y P X P Y X P {}{}{}6
1
31211111,1=⨯=======X Y P X P Y X P
当2=k 时
{}{}94323121,943231201
1
12200
2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛====⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===C X Y P C X Y P
{}9131222
22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛===C X Y P 则有{}{}{}9
2
94212020,2=⨯=======X Y P X P Y X P {}{}{}92
94212121,2=⨯=======X Y P X P Y X P
{}{}{}18
1
91212222,2=⨯=======X Y P X P Y X P
Y
X
()Y X ,的联合分布律为
18
192922061311210
习题3-2 二维连续型随机变量的分布
1. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为
()()⎩
⎨
⎧≤≤≤≤--=其它,04
2,20,6,y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P ；（3）求{4}P X Y +≤；(4)求{}5.1≤X P . 解：(1)由归一性
()()dx y xy y k dxdy y x k dx dxdy y x f ⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=--==∞+∞-∞
+∞
-2
4
2242
20
2166,1 ()[]
8
1
86262022
0=⇒=-=-=⎰k k x x k dx x k （2）{}()()836816813.1103213=--=--=<<⎰⎰⎰⎰∞-∞-dxdy y x dxdy y x Y X P （3）{}()()⎰⎰⎰⎰=--=--=≤∞-+∞∞-5.10425.132
27
6816815.1dy y x dx dxdy y x X P
2. 设二维随机变量(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布，其中G 是由
2,1y x x ==及0
y =所围成的区域，求：（1）(,)X Y 的联合概率密度；（2）1
{0,01}2
P X Y <<
<<. 解 （1）1,01,02(,)0,
.
x y x f x y ≤≤≤≤⎧=⎨
⎩其它；
（2）1
114{0,01}214
P X Y <<<<=
=.
3. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
21
,
01,02,
(,)3
0,
x xy x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.
求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度；（2）{1}P X Y +≥.
X
Y
解 当01x ≤≤时，2
22012
()(,)()233
X f x f x y dy x xy dy x x +∞
-∞
==+=+⎰
⎰；
当0x <或1x >时，
()(,)00X f x f x y dy dy +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰，
则 22
2,
01,()3
0X x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩，
其它.， 同理，11
,
02,()36
0+Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩，
其它.
（2）1
2
2
01165{1}()372
x
P X Y dx x xy dy -+≥=+=⎰⎰. 习题3-3 随机变量的独立性
1. 设随机变量(,)X Y 的联合分布律为
2
311119
1821
13
9
αβ
问：当,
αβ
取何值时，X 和Y 相互独立.
解 若X 和Y 相互独立，则 {1,3}{1}{3}P X Y P X P Y ====⋅=，
即 11111
=()()18918189α+++，16
=α.
由概率的规范性，得 1111
191839++
+++=αβ，则29
=β.
2. 已知二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为
已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，求常数b a ,. 解：由归一性得 5.011.04.0=+⇒=+++b a b a （1）
{}{}{}a Y X P Y X P X P +===+====4.01,00,00， {}{}{},0,11,01b a Y X P Y X P Y X P +===+====+ {}{}{}{},1,010a y X P Y X X P =====+⋂=
X Y X
Y
010
0.41
0.1
a b
根据题意得{}{}{}{}{}1010=+⨯===+⋂=Y X P X P Y X X P 即 ()()b a a a +⨯+=4.0 （2） 由(1),(2)两式解得 1.0,4.0==b a 3. 二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
8,
01,
(,)0,
xy x y f x y <<<⎧=⎨
⎩其它.
判断X 和Y 是否相互独立. 解 当01x <<时，1
3()(,)844X x
f x f x y dy xydy x x +∞-∞
===-⎰
⎰，
则 344,
01,()0.
X x x x f x ⎧-<<=⎨
⎩，
其它，
当01y <<时，20
()(,)84y
Y f y f x y dx xydx y +∞
-∞
===⎰
⎰，
则 24,
01,()0,
.
Y y y f y ⎧<<=⎨
⎩其它，
(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅ ，∴X 和Y 不相互独立
4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为
2,01,()0,
x x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它.
求{1}P X Y +≤.
解 由题意得()Y X ,的联合密度函为
()()()⎩
⎨⎧≤≤==其他,01
0,4,x xy y f x f y x f Y X
110
1
1
{1}(,)46
x
x y P X
Y f x y dxdy dx xydy -+≤+≤=
==⎰⎰⎰⎰
.
习题3-4 两个随机变量的函数的分布
1. 设随机变量X 和Y 相互独立，分布律分别为
010.6
0.4
X P
1010.2
0.3
0.5
Y P
-
求1Z X Y =+，2Z XY =和3min(,)Z X Y =的分布律.
Y
解 (,)X Y 的边缘分布和联合分布表为101
00.120.180.30.6
10.080.120.20.4
0.2
0.3
0.5
1
-，
从而 1
1012
0.12
0.26
0.42
0.2
Z P
-
21010.08
0.72
0.2
Z P - 31010.2
0.6
0.2
Z P
-
2. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为
0100.10.31
0.3
0.3
求 X Y +和XY 的分布律.
解
0120.1
0.6
0.3X Y
P
+ 010.7
0.3
XY P
3. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求1{}2
P X Y +≤.
解 因为X 和Y 相互独立，则()Y X ,的联合密度函数为
()()()⎩⎨
⎧≤≤≤≤==其他
,00
0,10,1,y x y f x f y x f Y X 111
222000111{}1228x P X Y dx dy x dx -⎛⎫
+≤==-= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
4. 设随机变量X 和Y 相互独立且服从相同的分布，其概率密度为
2,
01,()0,
x x f x ≤≤⎧=⎨
⎩其它.
求{1}P X Y +≤.
解：X 和Y 相互独立，则Y X +也服从正态分布，则()34,1~N Y X Z +=
{}()2101341134111=Φ-=⎭⎬
⎫
⎩
⎨⎧-<-+-=≥+Y X P Y X P X
Y
X
习题3-5 第三章习题课
1.填空题
（1）设~(1,2),~(1,3)X N Y N -，且X 与Y 相互独立，则2~___X Y +.
（2）已知二维随机变量(,)X Y 服从区域:01,02G x y ≤≤≤≤上的均匀分布，则{1,P X ≤
1}___Y ≤=.
1
2
2. 设(,)X Y 的概率密度为
1124,
0,0,(,)230,.
xy x y f x y ⎧
≤≤
≥≤⎪=⎨
⎪⎩
其它 判断X 与Y 是否相互独立？
解 当1
02
x ≤≤时，1
12
3
30
0()24124X f x xy dy xy x ===⎰
当0x <或1
2
x >
时，()0X f x = 则X 的概率密度为 14,
0,()20,.
X x x f x ⎧≤≤⎪=⎨
⎪⎩
其它；
当103
y ≤≤时，1
12
2
20
0()24126Y f y xy dx yx
y ===⎰
当0y <或1
3
y >
时，()0Y f y =， 则Y 的概率密度为 16,
0,()30,.
Y y y f y ⎧≤≤⎪=⎨
⎪⎩
其它
显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.
3. 盒中有2个红球3个白球，从中每次取一球，连续取两次，有放回，记,X Y 分别表示
第一次与第二次取出的红球个数，求(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律. 解 339{0,0}5525P X Y ===
⋅=，326{0,1}5525
P X Y ===⋅=，
236{1,0}5525P X Y ===
⋅=，224{1,1}5525
P X Y ===⋅=， 则(,)X Y 的联合分布律与边缘分布律为
19
63025255642125255321
5
5
i j
p p ⋅⋅
4. 设(,)X Y 的分布律为
35111155131
5
10
q p
-1
- 问,p q 为何值时X 与Y 相互独立？
解：要使X 与Y 相互独立，则需{}{}{}515,1=-===-=Y P X P Y X P
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒
103515115151q 152=⇒q ，
{}{}{}515,1=====Y P X P Y X P 10
1
1035110351103=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒
p p 容易验证当15
2
.101==
q p 时，对Y X ,的所有取值都有..j i ij p p p ⋅=成立。

第四章 随机变量的数字特征
习题4-1 随机变量的数学期望及其性质
1. 投掷一颗均匀骰子，求出现点数X 的数学期望EX .
解X 的概率分布可用列表法表示如下：
X
Y X
Y
123456111111666666
X P
所以数学期望
1111117
1234566666662
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
2. 设连续型随机变量X 的概率密度为,12
()0,
cx x f x ⎧<<⎪=⎨
⎪⎩其他 求：（1）常数c 的值； （2）概率{ 1.2 1.2}P X -<<； （3）数学期望EX .
解 （1）由
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
得，
2
1
1cxdx =⎰
，
故
2
c =.
（2） 1.2
1.2
1.21
{1.2 1.2}()20.44P x x dx xdx ϕ--<<===⎰
⎰.
（3）2
12
()2(221)3
EX xf x dx x xdx +∞
-∞=
=⋅=-⎰⎰
. 3. 设随机变量X 的分布律为
110122111113
6
6
12
4
k
X p -
求EX ，)1(+-X E ，2EX .
解 由已知可列表如下：
2
1111136
61241
1012
21
1210121
1
14
4
P X X X --+-
1111111
(1)01236261243
EX =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
1111112
(1)210(1)36261243E X -+=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=，
211111135
1014364612424
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
4. 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律如下：
求：（1）()E XY ； （2）(2)E X Y -.
解
（
1
）
()(00)0.1(01)0.2(10)0.3(11)0.40.4E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=;
或
01
0.60.4
XY
p
则
()10.40.4E XY =⨯=.
（2）
(2)(020)0.1(021)0.2(120)0.3(121)0.40.5E X Y -=-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=-;
或(,)X Y 的分布和边缘分布为
0100.10.20.31
0.30.40.7
0.4
0.6
X Y 则
0.7EX =,0.6EY =,
故
(2)20.5E X Y EX EY -=-=-.
5. 设随机变量X 和Y 相互独立，密度函数分别为
2,01
()0,X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，5,5()0,5
y Y e y f x y -⎧>=⎨≤⎩.
求()E XY .
解 因X 和Y 相互独立，可写出(,)X Y 的联合密度函数为
()()(5)2,01,5
(,)0,y X Y xe x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩
其他，
1(5)0
5
()()24y E XY dx xy xe dy +∞
--==⎰⎰.
习题4-2 随机变量的方差及其性质
1.已知离散型随机变量X 的概率分布如下：
2113111126412
X P
-- 求方差DX .
解 首先计算
11112
(2)(1)13264123
EX =-⨯+-⨯+⨯+⨯=-，
再计算
22222111119
(2)(1)13264126
EX =-⨯+-⨯+⨯+⨯=,
所以方差
22219249
()()6318
DX EX EX =-=
--=. 2.设随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，且=2.4EX ，=1.44DX ，求参数n ，
p .
解 由假设有
2.4(1) 1.44
EX np DX np p ==⎧
⎨
=-=⎩， 由此推出
1.44
10.62.4
p -=
=,0.4p =,6n =. 3. 设随机变量X 与Y 相互独立， =1DX ， =4DY . 求(2)D X Y -，(2)D X Y -.
解 因为随机变量X 与Y 相互独立，故
(2)=(2)417D X Y DX D Y DX DY -+=+=, (2)=(2)48D X Y D X DY DX DY -+=+=.
4. 设连续型随机变量X 的概率密度为2,01
()0,a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他 ，已知数学期望
3
=5
EX ，求常数a 与b 的值，并求方差DX .
解 由
1()33()5
24b f x dx a a b
EX xf x dx +∞-∞+∞-∞
⎧
==+⎪⎪⎨
⎪===+⎪⎩⎰⎰，
得
35a =，6
5b =.
122203611
()5525
EX x x dx =+=⎰,
2221132
()()25525
DX EX EX =-=-=.
4.
5. 设随机变量X 与Y 相互独立，它们都服从指数分布，它们的概率密度分别为
22,0()0,x X e x f x -⎧>=⎨
⎩其他，44,0()0,
y Y e y f x -⎧>=⎨⎩其他. 求()E X Y +，()D X Y +.
解24113
()24244
x
y E X Y EX EY x e
dx y e dy +∞
+∞
---∞
-∞
+=+=
⋅+⋅=+=⎰
⎰
；
或因为~(2)X E ，~(4)Y E ，所以
1
2
EX =,14EY =,
故
3()4
E X Y +=
, 22
115()2416
D X Y DX DY +=+=
+=. 6. 设随机变量X 的分布函数为311,1
()0,
1x F x x
x ⎧
-≥⎪=⎨⎪<⎩,求方差DX . 解 由X 的分布函数得出其密度函数为
4
3
,1()0,
1x f x x x ⎧≥⎪
=⎨⎪<⎩, 故
41
33
()2EX xf x dx x dx x +∞
+∞
-∞
==⋅
=⎰
⎰
,
x 22233
()3()24DX EX EX =-=-=
.
习题4-3 协方差、相关系数、矩及其性质
1.二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为
2,01,01
(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨
⎩
其他， 求(,)Cov X Y .
解 因为
1
3
()(2)(01)2
X f x x y dy x x =--=
-<<⎰， 所以
1035()212
EX x x dx =-=⎰,
同理，由
1
3
()(2)(01)2
Y f y x y dx y y =--=
-<<⎰, 可得
512
EY =
. 另一方面，有
1
1
001
()(2)6
E XY dx xy x y dy =--=⎰⎰,
所以
1
(,)()144
Cov X Y E XY EXEY =-=-
. 2. 设二维随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布，其中
{(,)01,0}
G x y x y x =<<
<<，试求相关系数XY ρ. 解 (,)X Y 的联合密度为
2,(,)(,)0,x y G
f x y ∈⎧=⎨
⎩
其他, 11
20
2
(,)[2]23
x EX xf x y dxdy xdy dx x dx +∞+∞
-∞
-∞
====
⎰
⎰
⎰⎰⎰,
2
所以
1412918
DX =
-=. 1
1
1
001
(,)[2](22)3y EY yf x y dxdy y xdx dy y y dy +∞+∞
-∞
-∞
===-=⎰
⎰
⎰⎰⎰,
12
201(22)6
EY y y dy =-=⎰,
所以
1116918
DY =-=.
11
30
1()(,)2[]4
x E XY xyf x y dxdy x ydx dy x dx +∞+∞
-∞
-∞
====
⎰
⎰
⎰⎰⎰, 121(,)()4936
Cov X Y E XY EXEY =-=
-=, 故
1
(,)1362
111818
XY
Cov X Y DX DY ρ===. 3.设二维随机变量(,)X Y 的分布列如下： 验证X 与Y 是不相关的，且X 与Y 也不
独立.
解 由(,)X Y 的分布律得X 和Y 的边缘分布律分别为：
1013
238
8
8X p
- 1013238
8
8
Y p
- 显然，
22
{0,0}{0}{0}88
P X Y P X P Y ==≠===⨯，
故X 和Y 不是相互独立的.
而
323
(1)010888EX =-⨯+⨯+⨯=，
323
(1)010888
EY =-⨯+⨯+⨯=，
113
()(1)(1)(1)110888
E XY =-⨯-⨯+-⨯⨯+⨯=,
所以
0XY EXY EX EY
DX DY
ρ-⋅=
=,
从而X 与Y 是不相关的.
4.已知随机变量()Y X ,服从二维正态分布，并且X 和Y 分别服从正态分布()
2
3,1N 和
()
24,0N ，X 与Y 的相关系数为21-
=XY ρ，设Y X Z 2
131+=，求(1)()()Z D Z E ,；(2)XZ ρ. 解：(1)()()()310211312131213
1
=⨯+⨯=+=⎪⎭⎫
⎝⎛+=Y E X E Y X E Z E ，
()()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=Y X Cov Y D X D Y X D Z D 21,31223213122()()35
1
241=⨯⨯⨯
++=XY Y D X D ρ， (2)()()()3
321,31,,⨯⎪
⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=
⋅=
Y X Cov X X Cov Y D X D Z X Cov XZ ρ
()()
03
3,21
31=⨯+=Y X Cov X D 习题4-4第四章习题课
1. 设二维随机变量(,)X Y 的联合分布如下：
求：（1）EX ，EY ，DX ，DY ；
（2）相关系数XY ρ； （3）X 与Y 是否相关、是否独立. 解 由(,)X Y 的联合分布律得边缘分布律为：
101111333
X p
- 011233
Y p
故
111
1010333
EX =-⨯+⨯+⨯=，
0111031
0311
3
ξη-
122
01333
EY =⨯+⨯=;
由于
22221112
(1)013333EX =-⨯+⨯+⨯=,
222122
01333
EY =⨯+⨯=,
故
222
()3DX EX EX =-=
, 222
()9
DY EY EY =-=.
由于
11
()(1)111033
E XY =-⨯⨯+⨯⨯=,
2
(,)()0003
Cov X Y E XY EXEY =-=-⨯=,
所以
0XY =ρ.
所以X 与Y 不相关;
由边际分布律知，1{1}3P X ==,1
{0}3
P Y ==,{1,0}0P X Y ===, 故
{1}{0}{1,0}P X P Y P X Y ==≠==,
因此X 与Y 一定不独立.
2. 设连续型随机变量X 的分布函数为0,
0(),01,x F x kx b x x ππ<⎧⎪
=+≤≤⎨⎪>⎩
.
（1）确定常数k ，b 的值； （2）求EX ，DX ； （3）若sin X Y =，求E η.
解 （1）由0
lim ()(0)x F x F →=，lim ()()x F x F ππ-→=得到 0b =,1/k π=.
（2）X 的分布函数为
0,0
1
(),01,x F x x x x π
ππ
<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩,
X 的概率密度函数为
1
,0()()0,x f x F x π
π
⎧≤≤⎪'==⎨⎪⎩
其他,
1
()2
EX xf x dx xdx +∞
-∞
===
⎰
⎰
π
π
π
,2
2
2
2
1
()3
E x f x dx x dx π
πξπ
+∞
-∞
=
==
⎰
⎰
,
2
2
22
2
()()3
212
DX EX EX =-=
-=ππ
π.
（3）00
1
1
2
sin ()sin cos EY xf x dx xdx x +∞
-∞
=
==-
=
⎰
⎰
π
π
π
π
π
.
3. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0(,)0,x y x
f x y ≤≤<≤⎧=⎨⎩其他,
求：（1）EX ，EY ； （2）DX ，DY ； （3）(,)Cov X Y ，XY ρ.
解 （1）11
20
2
(,)223
x EX xf x y dxdy dx xdy x dx +∞+∞
-∞
-∞
=
===
⎰⎰
⎰⎰⎰; 1
1
20
1(,)23
x
EY yf x y dxdy dx ydy x dx +∞
+∞
-∞
-∞
====
⎰
⎰
⎰⎰⎰. （2）112
2230001
(,)222
x EX x f x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞
-∞
-∞
====⎰⎰
⎰⎰⎰,
故
222121
()()2318
DX EX EX =-=
-=； 11222
300021(,)236
x EY y f x y dxdy dx y dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰,
故
222111
()()6318
DY EY EY =-=
-=. （3）1130
1
()(,)24
x
E XY xyf x y dxdy dx xydy x dx +∞+∞
-∞
-∞
====
⎰⎰
⎰⎰⎰ 故
1211(,)()43336
Cov E E E ξηξηξη=-=
-⨯=; 1
(,)1362
111818
Cov D D ξηξηρξη===. 4. 设X 、Y 为相互独立的随机变量，其概率密度为。