(常考题)北师大版初中数学八年级数学下册第四单元《因式分解》测试(答案解析)(2)

一、选择题
1．下列等式中，从左到右的变形正确的是（ ）
A ．()22242x x x ++=+
B ．()()2444x x x -=+-
C ．()222244x y x xy y +=++
D ．()()2x 2x 3x 6+-=- 2．下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A ．2444x x ++
B ．244x x -++
C ．4244x x -+
D ．291216x x ++ 3．在下列多项式中，不能用平方差公式因式分解的是（ ） A ．229x y - B ．21m -+ C ．2216a b -+ D ．21x -- 4．下列因式分解正确的是
A ．4m 2-4m +1=4m （m -1）
B ．a 3b 2-a 2b +a 2=a 2（ab 2-b ）
C ．x 2-7x -10=（x -2）（x -5）
D ．10x 2y -5xy 2=5xy （2x -y ） 5．对于任何实数m 、n ，多项式2261036m n m n +--+的值总是（ ） A ．非负数
B ．0
C ．大于2
D ．不小于2 6．若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ） A ．-2
B ．2
C ．-50
D ．50 7．因式分解x ﹣4x 3的最后结果是（ ） A ．x （1﹣2x ）2
B ．x （2x ﹣1）（2x+1）
C ．x （1﹣2x ）（2x+1）
D ．x （1﹣4x 2）
8．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．()222x y x y +=+
B ．()24444x x x x -+=-+
C ．()()2111x x x +-=-
D ．()2
10 5521x x x x -=- 9．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A ．a 2﹣2a ﹣3＝a （a ﹣2）﹣3
B ．3ax 2﹣6ax ＝3（ax 2﹣2ax ）
C ．m 3﹣m ＝m （m ﹣1）（m ＋1）
D ．x 2＋2xy ﹣y 2＝（x ﹣y ）2
10．下列因式分解错误的是( )
A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1
B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )
C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )
D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )2
11．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是( )
A ．x 2﹣16+6x =(x +4)(x ﹣4)+6x
B ．10x 2﹣5x =5x (2x ﹣1)
C ．a 2﹣b 2﹣c 2=(a ﹣b )(a +b )﹣c 2
D ．a (m +n )=am +an
12．下列因式分解结果正确的是（ ）
A ．x 2+3x +2=x （x +3）+2
B ．4x 2﹣9=（4x +3）（4x ﹣3）
C ．a 2﹣2a +1=（a +1）2
D ．x 2﹣5x +6=（x ﹣2）（x ﹣3）
二、填空题
13．因式分解：316m m -=________．
14．因式分解：41x -=______．
15．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．
16．若m+n=1，mn=-6，则22m n mn +代数式的值是____________________；
17．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4﹣y 4，因式分解的结果是（x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x ﹣y ）=0，（x+y ）=18，（x 2+y 2）=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x 3﹣xy 2，取x=27，y=3时，用上述方法产生的密码是：_____（写出一个即可）．
18．分解因式：a 2﹣a ﹣6=________________．
19．已知2,350ab b a =--=，则代数式223a b ab ab -+的值为
_______________________．
20．分解因式：mn 2﹣4mn+4m ＝_____．
三、解答题
21．（1）因式分解：328a a -．
（2）如图，//AB CD ，40A ∠=︒，45D ∠=︒，求1∠和2∠的度数．
22．因式分解：（1）382a a -
（2）()()2
4129x y x y +-+-
23．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②
2()(32)x y a b =-+③
任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．
任务二：请你写出正确的解答过程．
24．（1）分解因式：244am am a ++
（2）计算：(-2)(2)(2)x x x y x y ++-
25．分解因式：
（1）3218a b ab -；
（2）244ab ab a -+．
26．（阅读材料）
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a 2+6a +8．
原式＝a 2+6a +9－1＝(a +3) 2－1＝(a +3－1)( a +3+1)＝(a +2)(a +4)
②求x 2+6x +11的最小值．
解：x 2+6x +11＝x 2+6x +9+2＝(x +3) 2+2；
由于(x +3) 2≥0，
所以(x +3) 2+2≥2，
即x 2+6x +11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a 2+4a + ；
(2)用配方法因式分解：a 2－12a +35；
(3)用配方法因式分解：x 4+4；
(4)求4x 2+4x +3的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分别对各选项进行变形，然后对照进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A 、()2
2241+3x x x ++=+，原选项变形错误，故不符合题意；
B 、()()2422x x x -=+-，原选项变形错误，故不符合题意；
C 、()2
22244x y x xy y +=++，原选项变形正确，故符合题意；
D 、2(2)(3)6x x x x +=---，原选项变形错误，故不符合题意；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了整式的乘法和因式分解，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
利用完全平方公式逐项进行判定即可．
【详解】
解：A. 2444x x ++，无法因式分解，故不符合题意；
B. 244x x -++，无法因式分解，故不符合题意；
C. ()2422442x x x -+=-，符合题意；
D. 291216x x ++，无法因式分解，故不符合题意．
故答案为Ｃ．
【点睛】
本题主要考查了运用完全公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式有： 229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；21m -+＝m 2-1=（m+1）
（m−1）；2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．
【详解】
A.229x y -＝＝（x ＋3y ）（x−3y ）；
B.21m -+＝m 2-1=（m+1）（m−1）；
C.2216a b -+＝b 2−16a 2＝（b ＋4a ）（b−4a ）；
而−x 2−1＝−（x 2＋1），不能用平方差公式分解．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平方差公式：a 2−b 2＝（a ＋b ）（a−b ），熟练掌握此公式是解答此题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
A 、利用完全平方公式分解；
B 、利用提取公因式a 2进行因式分解；
C 、利用十字相乘法进行因式分解；
D 、利用提取公因式5xy 进行因式分解．
【详解】
A 、4m 2-4m+1=（2m-1）2，故本选项错误；
B 、a 3b 2-a 2b+a 2=a 2（ab 2-b+1），故本选项错误；
C 、（x-2）（x-5）=x 2-7x+10，故本选项错误；
D 、10x 2y-5xy 2=xy （10x-5y ）=5xy （2x-y ），故本选项正确；
故选D ．
【点睛】
本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
5．D
解析：D
【分析】
利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】
解：2261036m n m n +--+
226910252m m n n =-++-++
22(3)(5)2m n =-+-+，
2(3)0m -，2(5)0n -，
22(3)(5)22m n ∴-+-+，
∴多项式2261036m n m n +--+的值总是不小于2，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
试题分析：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．
当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．
考点：因式分解的应用．
7．C
解析：C
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
原式=x （1﹣4x 2）=x （1+2x ）（1﹣2x ）．
故选C ．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
直接利用因式分解的定义逐一分析即可得出答案．
【详解】
A.()222x y x y +=+属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意，
B.()2
4444x x x x -+=-+，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意，
C.()()2
111x x x +-=-属于整式乘法运算，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意，
D.()2
10 5521x x x x -=-属于因式分解，符合题意. 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
9．C
解析：C
【分析】
直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案．
【详解】
A 、a 2﹣2a ﹣3＝a （a ﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
B 、3ax 2﹣6ax ＝3ax （x ﹣2），故此选项错误；
C 、m 3﹣m ＝m （m ﹣1）（m ＋1），正确；
D 、x 2＋2xy ﹣y 2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了十字相乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
10．A
解析：A
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
A ．a 2﹣a +1=a (a ﹣1)+1，不符合因式分解的定义，故此选项正确；
B ．a 2﹣b 2=(a +b )(a ﹣b )，正确，不符合题意；
C ．﹣a 2+9b 2=﹣(a +3b )(a ﹣3b )，正确，不合题意；
D ．a 2﹣4ab +4b 2=(a ﹣2b )2，正确，不合题意．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 11．B
解析：B
【分析】
根据因式分解的定义逐个进行判断即可.
【详解】
解：A 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；
B 、把多项式10x 2﹣5x 变形为5x 与2x ﹣1的积，是因式分解；
C 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；
D 、变形的结果不是几个整式的积，不是因式分解；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考察了因式分解的定义，理解因式分解的定义是解题的关键.
12．D
解析：D
【分析】
根据因式分解的方法进行计算即可判断．
【详解】
A ．因为x 2+3x +2=（x +1）（x +2），故A 错误；
B ．因为4x 2﹣9=（2x +3）（2x ﹣3），故B 错误；
C ．因为a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2，故C 错误；
D ．因为x 2﹣5x +6=（x ﹣2）（x ﹣3），故D 正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
二、填空题
13．m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可
【详解】解：=m （m2-16）=m （m+4）（m-4）故答案为：m （m+4）（m-4）
【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解
解析：m （m+4）（m-4）
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：316m m
=m （m 2-16）
=m （m+4）（m-4），
故答案为：m （m+4）（m-4）
【点睛】
此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．【分析】两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案【详解】解：=（x2-1）（x2+1）=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式分解因式熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键
解析：()()()
2111x x x +-+． 【分析】
两次运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【详解】
解：41x -=（x 2-1）（x 2+1）=()()()
2111x x x +-+． 故答案为：()()()
2111x x x +-+． 【点睛】
本题考查了运用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15．【分析】先将原式因式分解得再整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案是：【点睛】本题考查因式分解解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值
解析：36-
【分析】
先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．
【详解】
解：()22
222x y xy xy x y +=+， ∵6x y +=，3xy =-，
∴原式()23636=⨯-⨯=-．
故答案是：36-．
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．
16．-6【分析】利用提公因式法因式分解再把m+n=1mn=-6代入计算即可【详解】解：∵m+n=1mn=-6∴m2n+mn2=mn （m+n ）=（-6）×1=-6故答案为：-6
【点睛】本题主要考查了因式分
解析：-6
【分析】
利用提公因式法因式分解，再把m+n=1，mn=-6代入计算即可．
【详解】
解：∵m+n=1，mn=-6，
∴m2n+mn2=mn（m+n）=（-6）×1=-6．
故答案为：-6．
【点睛】
本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．17．(答案不唯一)【分析】将多项式4x3-xy2提取x后再利用平方差公式分解因式将x与y的值分别代入每一个因式中计算得到各自的结果根据阅读材料中取密码的方法即可得出所求的密码【详解】4x3-xy2=x（
解析：(答案不唯一)
【分析】
将多项式4x3-xy2，提取x后再利用平方差公式分解因式，将x与y的值分别代入每一个因式中计算得到各自的结果，根据阅读材料中取密码的方法，即可得出所求的密码．
【详解】
4x3-xy2=x（4x2-y2）=x（2x+y）（2x-y），
∴当取x=10，y=10时，各个因式的值是：
x=10，2x+y=30，2x-y=10，
∴用上述方法产生的密码是：103010，101030或301010，
故答案为103010，101030或301010.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，涉及了提公因式法及平方差公式分解因式，属于阅读型的新定义题，其中根据阅读材料得出取密码的方法是解本题的关键．
18．（a+2）（a﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可【详解】解：原式=（a+2）（a-3）故答案是：（a+2）（a-3）【点睛】此题考查了利用十字相乘法因式分解熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键
解析：（a+2）（a﹣3）
【分析】
利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：原式=（a+2）（a-3）．
故答案是：（a+2）（a-3）．
【点睛】
此题考查了利用十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．-8【分析】直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案【详解】∵∵∴又∴原式=2×(-4)=-8故答案为：-8【点睛】本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式正确将原式变形是解题关键
解析：-8
【分析】
直接提取公因式将原式变形进而整体代入已知得出答案．
【详解】
∵223a b ab ab -+
(31)ab a b =-+，
∵350b a --=，
∴35a b -=-，
又2ab =，
∴原式=2×(-4)
=-8．
故答案为：-8．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值以及提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 20．m （n ﹣2）2【分析】首先提取公因式m 再利用完全平方公式分解因式即可【详解】解：mn2﹣4mn+4m ＝m （n2﹣4n+4）＝m （n ﹣2）2故答案为：m （n ﹣2）2【点睛】此题主要考查了提取公因式法以
解析：m （n ﹣2）2
【分析】
首先提取公因式m ，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：mn 2﹣4mn+4m
＝m （n 2﹣4n+4）
＝m （n ﹣2）2．
故答案为：m （n ﹣2）2．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
三、解答题
21．（1）2(2)(2)a a a +-；（2）140∠=︒，285∠=︒．
【分析】
(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(2) 根据平行线的性质，可以得到∠1和∠A 的关系，从而可以得到∠1的度数，再根据∠2＝∠1+∠D ，即可求得∠2的度数．
【详解】
解：（1）原式()
2242(2)(2)a a a a a =-=+-． （2）//AB CD ，
140A ∴∠=∠=︒，
45D ∠=︒，
2185D ∴∠=∠+∠=︒．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及平行线的性质，解答第2小题的关键是明确题意，利用平行线的性质和三角形外角和内角的关系解答．
22．（1）()()22121a a a +-；（2）()2
332x y -+ 【分析】
（1）首先提取公因式2a ，再利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：（1）8a 3-2ab 2=2a （4a 2-1）=2a （2a+1）（2a-1），
（2）原式=[3（x-y ）+2]2=（3x-3y+2）2．
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23．①；见解析
【分析】
根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，
故答案为：①
正确过程如下：
229()4()a x y b y x -+-
229()4()a x y b x y =---
22()(94)x y a b =--
()(32)(32)x y a b a b =-+-．
【点睛】
本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．
24．（1）()2
2a m + ；（2）22224x x y --
【分析】
（1）先提公因式a ，再根据完全平方公式分解因式；
（2）先根据整式乘法、乘法公式展开括号，然后再合并同类项即可得到答案．
【详解】
（1）解：244am am a ++ ()244a m m =++
()2
2a m =+； （2）(2)(2)(2)x x x y x y -++-
22224x x x y =-+-
22224x x y =--．
【点睛】
此题考查因式分解及整式的混合运算，掌握多项式的因式分解的方法，整式的乘法计算法则、合并同类项计算法则是解题的关键．
25．（1）2(3)(3)ab a a +-；（2）2(21)a b -．
【分析】
（1）先提取公因式2ab 、然后再运用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式a 、然后再运用完全平方公式分解即可．
【详解】
（1）3218a b ab -
()229ab a =-；
2(3)(3)ab a a =+-
（2）244ab ab a -+
()2441a b b =-+
2(21)a b =-．
【点睛】
本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法和公式法分解因式是解答本题的关键． 26．(1)4；(2) ()()57a a --；(3) ()()222222x x x x ++-+；(4)2.
【分析】
(1)由2224___222,a a a a ++=+•⨯+ 从而可得答案；
(2)由22221235266635a a a a -+=-•⨯+-+化为两数的平方差，再利用平方差公式分解，从而可得答案；
(3)由()242
222422222x x x x +=+••+-••化为两数的平方差，再利用平方差公式分解即可；
(4)由 ()22224432221113x x x x ++=+⨯•+-+化为一个非负数与一个常数的和，再利用非负数的性质求解最小值即可．
【详解】
解：(1)()2
2442,a a a ++=+ 故答案为：4.
(2)22221235266635a a a a -+=-•⨯+-+
()2
261a =-- ()()6161a a =-+--
()()57.a a =--
(3)()242
222422222x x x x +=+••+-•• ()()22222x x =+-
()()222222.x x x x =++-+
(4)()2
2224432221113x x x x ++=+⨯•+-+ ()2
212x =++ ()2210,x +≥
()2
2122,x ∴++≥ 2443x x ∴++的最小值是2.
【点睛】
本题考查的是配方法的应用，同时考查了完全平方公式与平方差公式，掌握用配方法分解因式，求最值是解题的关键．。