9.7方向导数

∂f 方向导数都存在 , = 0. ∂l ( 0 , 0 ) 但 f ( x , y ) 在点 (0,0) 处不连续 .
此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一 方向的方向导数存在的必要条件. 方向的方向导数存在的必要条件
定 理
例 1 求 函 数 z = xe 在 点 P (1,0) 处 沿 从 点
解 由梯度计算公式得
r r r grad u( x , y , z ) = u x i + u y j + uz k r r r = ( 2 x + 3)i + (4 y − 2) j + 6 zk , r r r 故 grad u(1,1,2) = 5i + 2 j + 12k .
3 1 在 P0 ( − , ,0) 处梯度为 0. 2 2
五、小结
1、方向导数的概念 、
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 区别
2、梯度的概念 、
（注意梯度是一个向量） 注意梯度是一个向量） 向量
3、方向导数与梯度的关系 、
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向.
五、小结
1、方向导数的概念 、
| grad f ( x , y ) |=
fx + fy
2
2
.
gradf gradf
不为零时， 当 f x 不为零时， x 轴到 梯度的转角的正切为： 梯度的转角的正切为： fy tanθ = ． fx
P
− gradf
2、方向导数与梯度的关系 、
1) 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方 函数在某点的梯度是这样一个向量， 向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为 方向导数的最大值． 方向导数的最大值．梯度的模为
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数的定义 二、梯度的概念
一、方向导数的定义
1.问题引入 问题引入
问题1：一块长方形的金属板， 问题 ：一块长方形的金属板，四个顶点的 坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原 坐标是 ， ， ， ． 点处有一个火焰，它使金属板受热． 点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板 上任意一点处的温度与该点到原点的距离成 反比． 处有一个蚂蚁， 反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应 处有一个蚂蚁 沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质 实质： 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 即梯度方向）爬行． 向（即梯度方向）爬行．
2y
P (1,0) 到点Q( 2,−1) 的方向的方向导数 的方向的方向导数. r 解 这里方向 l 即为 PQ = (1,−1) ,
r 1 1 r 与 l 同方向的单位向量为 el = ( ,− ), 2 2 ∂z ∂z 2y 2y Q = e (1, 0 ) = 1; = 2 xe (1, 0 ) = 2, ∂x ( 1 , 0 ) ∂y ( 1 , 0 )
4、梯度应用实例 、
x y 例5：设一座山峰高度可由 函数 z = 100 − − 2 2 表示 , 若从点 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 处往上爬山 , 问沿哪个 方向可最快到达山顶 ?
2 2
若从点 P ( x 0 , y0 , z 0 ) 处下山 , 问沿哪个方向可最快 到达山底 ?
f ( x, y ) = c
等高线
o
x
3、梯度的概念可以推广到三元函数 、
可微， 若三元函数 u = f ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 可微，
grad f ( x0 , y0 , z0 ) r r r = f x ( x 0 , y0 , z 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 , z 0 ) j + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) k .
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 区别 r 二元函数 f ( x,y ) 在点 P( x,y ) 沿方向 l (方向角 方向角 为 α , β ) 的方向导数为: ∂ f = f cos α + f cos β 的方向导数为: x y ∂l r 方向 三元函数 f ( x,y,z ) 在点 P( x,y,z ) 沿方向 l (方向 的方向导数为: 角为 α , β , γ ) 的方向导数为:
的梯度为: 三元函数 f ( x,y,z ) 在点 P( x,y,z ) 的梯度为:
grad f = ( f x , f y , f z )
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
3. 关系
可微 方向导数存在 偏导数存在
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长最快 的方向 .
∂f r = grad f ⋅ el ∂l
r 梯度在方向 l 上的投影 .
思考题
讨论函数 z = f ( x , y ) = x + y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
思考题解答
∂z ∂x
( 0,0 )
f ( ∆x ,0) − f (0,0) = lim ∆x → 0 ∆x
grad f ( x0 , y0 ) 或 ∇f ( x0 , y0 )
r r 即 grad f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 )i + f y ( x0 , y0 ) j .
r r 上的单位向量， 设 el = (cos α , cos β ) 是方向 l 上的单位向量，
2)
在几何上 z = f ( x , y ) 表示一个曲面 曲面被平面 z
=c
z = f ( x, y) , 所截得 z = c
所得曲线在xoy面上投影如图 所得曲线在 面上投影如图
y f ( x, y ) = c2
P
f ( x, y ) = c1
grad f ( x , y ) 梯度为等高线上的法向量
∂f = f x cosα + f y cos β = ( f x , f y ) ⋅ (cosα , cos β ) ∂l r = grad f ( x , y ) ⋅ el =| grad f ( x , y ) | cosθ , r 其中 θ 为 grad f ( x , y ) 与 el 的夹角 .
但 cos α sin α ≠ 0 时，
ρ →0
f ( ρ cos α , ρ sin α ) − f (0,0)
ρ
1 3
= lim
ρ →0
( ρ 2 cos α sin α )
ρ
= ∞.
此例同时也说明函数在一点连续也未必能推 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在. 出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在
1 ∂z 所求方向导数 . =L= − 2 ∂l ( 0 , 0 )
在点（ ， ） 例 2 求函数 f ( x , y ) = x 2 − xy + y 2 在点（1，1） r 的方向导数. 沿与 x 轴方向夹角为α 的方向射线 l 的方向导数 并问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ ）最大值； ）最小值； ）等于零？ r r 解 与 l 同方向的单位向量为 e = (cosα , sin α ),
∂f 有最大值. 有最大值 当 cosθ = 1 时 , ∂l
方向： 方向：f ( x , y ) 变化率最大的方向
grad f ( x , y )
模 : f ( x , y ) 的最大变化率之值
2、方向导数与梯度的关系 、
1) 梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 函数在某点的梯度是这样一个向量， 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方 最快的方向. 向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为 方向导数的最大值． 方向导数的最大值．梯度的模为
5π π （2）当 α = ） 时， 方向导数达到最小值− 2 ; 4
3π π 7π π （3）当α = ） 和α = 时， 方向导数等于 0. 4 4
4、推广可得三元函数方向导数的定义 、
例3：求 u = ln( x +
y 2 + z 2 )在点 A(1, 0,1)处沿 A指向
B (3, −2, 2)方向的方向导数.
l
由方向导数的计算公式知
∂f ∂l
= f x (1,1) cosα + f y (1,1) sin α
( 1 ,1 )
= ( 2 x − y ) (1,1) cosα + ( 2 y − x ) (1,1) sinα , = cos α + sin α = 2 sin( α + π ), 4
π ） 故 （1）当α = 时， 方向导数达到最大值 2 ; 4
*四、物理意义
数量值函数) 数量场 (数量值函数) 函数 场 温度场, 如: 温度场, 电位场等 向量场(向量值函数) 向量场(向量值函数) 如: 力场,速度场等 力场, 可微函数 f ( P ) ( 势 ) 梯度场 grad f ( P ) (向量场) 向量场)
(物理量的分布) 物理量的分布)
注意: 任意一个向量场不一定是梯度场. 注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.
| grad f ( x , y ) |=
fx + fy
2
2
.
z = f ( x , y ) 在点 P0处沿与梯度 gradf ( x0 , y0 ) 垂直方向的方向导数等于零. 垂直方向的方向导数等于零. r z = f ( x , y ) 在点 P0 沿方向 l 的方向导数等 3) r 上的投影. 于梯度在方向 l 上的投影.
(4) 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在， 函数在一点处沿各方向的方向导数都存在， 也未必在该点处连续. 也未必在该点处连续
xy 2 2 2 4 x +y ≠ 0 例如： 例如： f ( x, y) = x + y 0 2 2 x y 0 r + =
2
在点 (0,0) 处沿任一方向 el = (cosθ , sinθ ) 的
∂f = f x cos α + f y cos β + f z cos γ ∂l
向量） 注意梯度是一个向量 2、梯度的概念 （注意梯度是一个向量） 、 的梯度为: 二元函数 f ( x,y ) 在点 P( x,y ) 的梯度为:
grad f = ( f x ( x , y ) , f y ( x , y ))
定
义
(3) 仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在 仅由函数在一点可偏导， 该点处沿各方向的方向导数存在. 该点处沿各方向的方向导数存在
例如： 例如： f ( x, y) = (x y) ,
∂f ∂l = lim
( 0, 0 )
1 3
则 f x (0, 0)= 0, f y (0, 0) = 0,
二、梯度的概念
1、源自文库题引入 、
问题 : 函数在点 P 沿哪一方向增加的速度 最快 ?
可微分 称 定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 可微分， r r 向量 f x ( x0 , y0 )i + f y ( x0 , y0 ) j 为函数 z = f ( x , y ) 梯度(gradient)，记为 在点 ( x0 , y0 ) 处的梯度 ，
1 1 ∂u 解： = A = 2 2 A 2 ∂x x+ y +z 1 y ∂u ⋅ A = 2 2 ∂y x+ y +z y2 + z2 ∂u ∂z
0 A
A
=0 1 = 2
1 = ⋅ 2 2 x+ y +z
z y2 + z2
A
2 2 1 AB = ( ,− , ), 故在 A 沿 AB 的方向导数： 的方向导数： 3 3 3 1 2 2 1 1 1 ∂u ⋅ ＋0 ⋅ ( − ) + ⋅ = A = 2 3 3 2 3 2 ∂l
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方 类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 向与取得最大方向导数的方向一致， 向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导 数的最大值. 数的最大值
例 5 求函数 u = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + 3 x − 2 y 在点 (1,1,2) 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？ 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零 哪些点处梯度为零？