华南理工大学概率论与数理统计试卷及参考解答1
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华南理工大学期末考试
《概率论与数理统计》试卷A 卷
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 可使用计算器； 3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共八大题，满分100分。考试时间120分钟。
5. 本试卷的六、七、八大题，有不同学分的要求，请小心阅题。
可能用到的分位点：
5.20)10(19
)9(25
.3)10(7
.2)9(2
025.02
025.02
975.02975.0====χχχχ
()()()()()812.11083.1923.21026.2931.2805.005.0025.0025.0025.0=====t t t t t
(1)0.8413,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2)0.9772Φ=Φ=Φ=Φ=
一、(10分) 已知：0)( 16
1
)()( 41)()()(======AC P BC P AB P C P B P A P 求：
)(C B A P
解：)()(C B A P C B A P = =1-)(C B A P =1-（)()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++）
=8
3
（0)(,0)(==ABC P AC P ）
二、(15分) 袋中有15个球，10个红球，5个黄球。不放回地分两次从袋中将球逐个取出，第一次取5个球，第二次取6个球。求以下事件的概率： (1) 第二次6个球中的第5个是红球；
(2) 第一次5个球中有2个黄球且第二次6个球中有4个红球； (3) 第一次5个球中有3个红球或第二次6个球中有2个黄球； 解： (1) 设A ：第二次6个球中的第5个是红球
3
2
1510)(==A P (2) 设A ：第一次5个球中有2个黄球
B ：第二次6个球中有4个红球 原问题转换为求P(AB)
①: Ω: 5
15C
AB: 1
4
2625C C C ⋅⋅ 2.01001
200
)(5
151
42625≈=⋅⋅=C C C C AB P ②:
2.01001
200)
(*)()(6
10472351531025≈=⋅⋅⋅==C C C C C C A B P A P AB P (3) 设A ：第一次5个球中有3个红球
设B ：第二次6个球中有2个黄球 原问题转换为求P(A ∪B)
5
15
14
26255153
9266
154
10
2551531025)()(,)(C C C C AB P C C C C C C B P C C C A P ⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅=⋅=
P(A ∪B)= )()()(AB P B P A P -+=
62.01001
620
≈
三、(15分) 随机变量 ξ 服从N(0,4)，η=2ξ。求：
(1) η的概率分布密度函数f η (y)； (2) E η； (3) D η
(1) F η(y)=P(η<y)
=P(2ξ<y) =P(ξ<lny/ln2) =
dx e
y x ⎰
∞
--
2ln ln 8
2221π
f η(y)= F’η(y)
=
2
ln 8ln 221
22ln 21y e
y
-
⋅⋅π
(2) Eη =dx e
x x ⎰
∞
+∞
--
⋅8
22221π
=
()()
dx e
x ⎰
∞
+∞
----
2ln 162ln 48
1
22221π
=2ln 22
ln 222=e
(3) Dη = Eη2 – (Eη )2
=
dx e
x x ⎰
∞
+∞
--
⋅8
222221π
－2ln 42
e
=
()()
dx e
x ⎰
∞
+∞
----
2ln 642ln 88
1
22221π
－2ln 42
e
=2
ln 82e
－2
ln 42e
=()
1222ln 42ln 4-
四、(12分) 某种产品装在三个盒子中，第1个盒子装有3个次品和6个正品，第2个盒子装有个2个次品和10个正品，第3个盒子装有6个次品和18个正品。扔一骰子以决定选盒，若出现点数为1，2，3，选第1个盒子；若出现点数为4，选第2个盒子；若出现点数为5，6，则选第3个盒子；从选中的盒中任取一产品。试求：
(1) 取出的产品为次品的概率；
(2) 当取出的产品为次品时，它来自第1、2、3盒的概率各是多少？ 解： 设A ：产品为次品 B i ：产品取自第i 盒，i=1、2、3 则：P(B 1)=1/2, P(B 2)=1/6, P(B 3)=1/3
P(A|B 1)=3/9, P(A|B 2)=2/12, P(A|B 3)=6/24 (1) P(A) =
∑=3
1)(i i
AB P
=
18/5)()(3
1
=⋅∑=i
i i
B A P B P
(2)
P(B k |A) =
)
()
(A P AB P k
=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===3
10
32101153k k k