平面与平面的位置关系

平面和平面的位置关系
一、知识梳理
1.两个平面的位置关系
（1）两个平面平行：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行．
（2）两个平面相交：如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，称这两个平面相交． （3）两个平面的位置关系只有两种：①两个平面平行：没有公共点；②两个平面相交：有一条公共直线． （4）两个平面平行的画法：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行（图1，而不应画成图2那样）．平面α和β平行，记作βα//．
图1 图2
2.两个平面平行的判定
工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。

该检测原理就是：
（1）[两个平面平行的判定定理]：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：若,,a b a b A αα⊂⊂= ，且//,//,a b ββ则//αβ。

（线线平行，则线面平行）。

（2）垂直直于同一直线的两平面平行。

（3）平行于同一平面的两平面平行。

3.两个平面平行的性质
（1）两平行平面被第三个平面所截，则交线互相平行。

（2）直线垂直于两平行平面中的一个，必垂直于另一个。

（3）过平面外一点，有且只有一个平面与之平行。

（4）两平面平行，则在其中一个平面内的所有直线必平行于另一个平面。

（5）两平行平面中的一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这个平面。

4.两个平行平面的距离
（1）两个平面的公垂线及公垂线段：直线a 与两个平面α、β都垂直，我们把与两个平行平面都垂直的直线称作两个平行平面的公垂线。

公垂线夹在两个平行平面之间的线段称为这两个平行平面的公垂线段。

注意：两个平面不平行时，由于不可能存在同时与它们垂直的直线，因此此时没有公垂线可言，换句话说，当论及公垂线时，就隐含着两个平面平行。

（2）两个平行平面的距离
我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离． 说明：两个平行平面的公垂线段都相等． 5、二面角
半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。

（1） 二面角的定义：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB ，面为,αβ的二面角，记作二面角AB αβ-- （2）、二面角的画法：分直立式与平卧式两种
①直立式
②平卧式
（3）、二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两
条射线所成的角叫做二面角的平面角．
如图，二面角l αβ--， AOB ∠是二面角的平面角． 注意：
i ）二面角的平面角的范围是[]
0,π，当两个半平面重合时，平面角为0
；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180。

ii.）求解二面角问题的关键是确定平面角的位置，需抓住“二面角的平面角”的三个要素： ①确定二面角的棱上一点；②经过这点分别在两个面内引射线；③所引的射线都垂直于棱。

iii.）作二面角的平面角的常用方法：①点P 在棱上——定义法
②点P 在一个半平面上——三垂线(逆)定理法
③点P 在二面角内——垂面法
6、两平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直。

思考：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？通过观察可以发现，门在转动的过程中，
门轴始终与地面垂直。

（1）[两个平面垂直的判定定理]：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
符号语言：若AB β⊥，AB α⊂， 则αβ⊥
注意：由符号语言知：判定两个平面垂直时需两个条件，在解题时请特别注意，不要漏掉条件。

（2）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，符号表示：,,,,l AB AB l B αβαβαβ⊥=⊂⊥⊥ 若为垂足，则AB
二、【典型例题】
例1. 如图，在正方体1AC 中，M N P 、、分别是棱11111C C B C C D 、、的中点。

求证：平面//MNP 平面1A
BD ．
例2、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。

已知：αβ⊥，,,p p a a αβ∈∈⊥，求证：a α⊂。

例3. 如图，在正方体/
/
/
/
ABCD A B C D -中：
（1）求二面角/
D AB D --的大小；（2）求二面角/
A A
B D --的大小.
例4. 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，A EF ∈，AG α⊂，45GAE ∠=
，若AG 与β所成角
为30
，求二面角EF αβ--的平面角．
例5．正方体AB CD —1111D C B A 中，E 、F 分别是11,CC AA 的中点
（1）求证：平面11EB D ∥平面F B D ，（2）若正方体棱长为a ，求平面D EB 1与平面F B D 间的距离。

例6、在长方体1AC 中，已知AB =B C=a ，1BB =b （b ＞a ）连结1BC ，过1B 作11BC E B ⊥交1CC 于E ，交1BC 于Q 。

求证：（1）⊥1AC 平 面11D EB ；（2）求点1C 到平面11ED B 的距离。

例7、四棱锥ABCD P -的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD 。

（Ⅰ）若面PAD 与面ABCD 所成的二面角为
60，求这个四棱锥的体积；
（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于
90。

B
E
A
B
C D
A1
C1
B1
D1
E
Q
例8、如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<
<a 。

（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；
（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。

A
三、课堂练习
1.二面角指的是 （ ）
A. 两个平面相交所组成的图形；
B. 一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所成的图形
C. 从一个平面内一条直线出发的一个半平面与这个平面组成的图形
D. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 2. 下列命题中错误的是 （ ）
A. 平行于同一个平面的两个平面平行；
B. 垂直于同一条直线的两个平面平行
C. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交
D. 垂直于同一个平面的两个平面平行
3.二面角内一点到两个面的距离分别为6和8，两垂足间的距离为10，则这个二面角的大小是（ ）
A. 30°
B. 90°
C. 30°或150°
D. 60°或120°
4. 设平面α//平面β，直线a ⊂α，点b ∈β，则在β内过点b 的所有直线中 （ ） A. 不一定存在与a 平行的直线 B. 只有两条与a 平行的直线 C. 存在无数条与a 平行的直线 D. 存在唯一一条与a 平行的直线
5. 自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ）
A. 相等
B. 互补
C. 互余
D. 无法确定 6. 有下列四个命题：
①夹在两个平行平面间的线段中，较长的线段与平面所成的角较小； ②夹在两个平行平面间的所有线段与两个平面所成的角相等；
③夹在两个平行平面间的线段相等，则这两条线段必平行； ④夹在两个平行平面间的平行线段必相等 其中的真命题是（ ）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ①②③
7. 下列命题中，错误的是（）
A. 若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于此平面内所有直线
B. 若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C. 若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线平行于这个平面
D. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
8. m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题：
①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α；④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
其中正确命题为（）
A. ①与②
B. ②与③
C. ③与④
D. ②与④
9. 在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（）
A、平面ABD⊥平面ADC；
B、平面ABD⊥平面ABC
C、平面ADC⊥平面BCD；
D、平面ABC⊥平面BCD
10.在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内
垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_____。

11. （1）当α∥β时l⊥α，则l与β的关系是；
（2）当α∥β，γ∥β，则α与γ的关系是。

12. 正四面体P－ABC（各棱都相等）的侧面PAB与底面ABC所成锐角的余弦值为________
13. 如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，
∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。

14. 如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC。

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面。

四、课后作业
1．过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP=AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．已知E 、F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是（ ） A ．
32 B ．3
2
C ．
35 D ．3
22 3．在空间，下列命题中正确的是（ ）
A ．若两直线a ,b 与直线l 所成的角相等，那么a ∥b
B ．若两直线a ,b 与平面α所成的角相等，那么a ∥b
C ．如果直线l 与两平面α，β所成的角都是直角，那么βα//
D ．若平面γ与两平面βα, 所成的二面角都是直二面角，那么βα// 4．在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是（ ）
A ．α、β都垂直于平面γ；
B ．α内不共线的三个点到β的距离相等
C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β；
D ．l 、m 是两异面直线且l ∥α，m ∥α，且l ∥β，m ∥β 5．已知二面角A A A A l '∈--内的射影在则的距离为到为ββαβα,1,,60 到平面α的距离是（ ）
A ．
33 B ．1 C ．3
32 D ．21
6．平面的是那么点点平面βαβαβα⊥⊥∈∈=⋂⊥PQ l PQ l Q P l ,,,,
（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件 7．Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，A C 、BC 与α所成角分别为30°和45°，则平面ABC 与α所成角为 .
8．△ABC 的三边长分别是3,4,5，P 为△ABC 所在平面外一点，它到三边的距离都等于2,则P 到平面α的距离为 .
9．已知α、β是两个平面，直线,,βα⊄⊄l l 若以①α⊥l ②β⊥l ③βα⊥
中的两个为条件，另一
个为结论，则能构成正确命题的是 .
10．如图：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC ，,3:4:,6
5
cos ==∠PB PA ABC 求直线PB 和平面PAC 所成角的大小。