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2018-2019数学北师大版选修1-1 第四章 导数应用 单元测试

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(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-2．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定3．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞4．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m 5．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f <<6．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞7．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，8．已知函数,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰有三个零点，则（ ）A ．24e a >B ．24e aC ．22e a >D ．2e a >9．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足()()20xf x f x '+>，则不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}2018x x <-B ．{}20202018x x -<<-C ．{}2018x x >-D ．{}20200x x -<<10．若曲线()11xmy e x x =+<-+上存在两条垂直于y 轴的切线，则m 的取值范围是（ ） A ．34,1e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．34,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．341,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =. ②直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()21y x =+.③直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =. ④直线l ：1y x =+在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y e =. ⑤直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =.14．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．15．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题：①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____. 16．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．17．已知函数18ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________.18．函数31()3f x x ax =-的极大值为a =__________． 19．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．20．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32xxf x f x x e'-=，()339f e =，则关于x 的方程()>f x e 的解集为_____________. 三、解答题21．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 22．已知()()2122x f x ax ax x e =-++-. （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间 （2）若f (x )存在3个零点，求实数a 的取值范围.23．已知函数())ln f x a x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值．24．已知函数()(0)x axf x a e=≠． （1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间．25．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()()213ln 22f x x x ax a R =+-+∈． （1）若()f x 在1x =处的切线过点()2,2，求a 的值；（2）若()f x 恰有两个极值点1x ，()212x x x <，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2．A解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.3．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x '-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.4．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.5．B解析：B 【分析】 构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.6．D解析：D 【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()x xx g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.【详解】 由32()0xx x f x ee e a =---=，则32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e ee =--，则()()()3223()3211213x xx x x x x x x g x e ee e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124x x x x x g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．7．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 8．A解析：A 【分析】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x=≠，令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x =≠， 令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4(2)()x xe x g x x -'=，则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2(2)4e g =，当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：由图知，若函数()2y f x ax =-恰有三个零点，则24e a >. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.9．B解析：B 【分析】构造新函数()()2g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩，解之即可. 【详解】令()()2g x x f x =，则()()()()()222g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，不等式()()()202020202222020x f x f x ++<+等价于()()20202+<g x g ，2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩，解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.10．C解析：C 【分析】先求出原函数的导函数，令0y '=，得到2(1)x m x e =+，然后将问题转化为2(1)x m x e =+在(,1)-∞-上有两个不同的解，再构造函数2()(1)(1)x f x x e x =+<-，求出()f x 的取值范围，即可得到m 的取值范围． 【详解】由(1)1xm y e x x =+<-+，得2(1)xm y e x '=-+，令0y '=，则2(1)x m x e =+，曲线(1)1xmy e x x =+<-+存在两条垂直于y 轴的切线， 2(1)x m x e ∴=+在(,1)-∞-上有两个不同的解．令2()(1)x f x x e =+，则22()2(1)(1)(43)x x x f x x e x e x x e '=+++=++．∴当3x <-时，()0f x '>，当31x -<<-时，()0f x '<，()f x ∴在(,3)-∞-上单调递增，在(3,1)--上单调递减， ∴34()(3)max f x f e =-=， 又当3x <-时，()0f x >，(1)0f -=．m ∴的取值范围为34(0,)e．故选：C ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题．11．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312x x -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．①③【分析】根据直线在点处切过曲线的定义对5个函数逐个判断可得答案【详解】对于①由得所以则直线：是曲线：在点处的的切线又当时当时满足曲线在附近位于直线的两侧故直线：在点处切过曲线：故①正确；对于②由解析：①③ 【分析】根据直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义，对5个函数逐个判断可得答案. 【详解】对于①，由3y x =，得23y x '=，所以0|0x y ='=，则直线l ：0y =是曲线C ：3y x =在点()0,0P 处的的切线，又当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，满足曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =，故①正确；对于②，由()21y x =+，得2(1)y x '=+，所以1|0x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处与曲线C ：()21y x =+不相切，故②不正确；对于③，由sin y x =，得cos y x '=，所以0|1x y ='=，则直线l ：y x =是曲线C ：sin y x =在点()0,0P 处的切线，令sin y x x =-，则1cos y x '=-，当02x π-<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π-<<时，0sin 0y x <-=，当02x π<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π<<时，0sin 00y >-=，所以当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，所以曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =，故③正确；对于④，由x y e =，得e x y '=，所以0|1x y ='=，则曲线C ：xy e =在点()0,1P 处的切线方程为10y x -=-，即1y x =+，令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 递增，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 递减，则当0x =时，函数()g x 取得极小值，同时也是最小值(0)0g =，则()0g x ≥，即1x e x ≥+，则曲线C ：xy e =不在切线l ：1y x =+的两侧，故④不正确；对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，所以|11y x '==，所以曲线C ：ln y x =在点()1,0P 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，令()1ln g x x x =--，则1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，函数()g x 取得极小值，也是最小值，所以()(1)0g x g ≥=，所以曲线C ：ln y x =不在切线l ：1y x =-的两侧，故⑤不正确.故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：对直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义正确理解是解题关键.14．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--. 【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．15．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④ 【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③. 【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e-，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e->-故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202xx -+=得222x ±=，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.16．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值解析：49 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可． 【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增， 则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'， 故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线， 故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.17．【分析】设代入解析式得到两个方程联立可得让取值域即可【详解】设则所以联立可得即对于有解令由可得：；由可得：所以在单调递减在上单调递增所以所以值域为即可得的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了利解析：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】设()00,Q x y 、()00,P x y -代入解析式，得到两个方程联立可得2008ln 2a x x =-+，2000()8ln 2h x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，让a 取0()h x 值域即可.【详解】设()00,Q x y 、则()00,P x y -所以2002y x =--，008ln y a x -=+，联立可得2008ln 2a x x =-+即2008ln 2a x x =-+对于1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有解， 令2000()8ln 2h x x x =-+，200000288()2x h x x x x -'=-=，由0()0h x '>可得：2x e <<；由0()0h x '<可得：12x e<<， 所以0()h x 在1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]2,e 上单调递增，20min ()(2)28ln 2268ln 2h x h ==-+=-，2211118ln 210h e e e e ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()228ln 26h e e e e =-+=-，所以0max 21()10h x e =+， 所以0()h x 值域为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，即可得a 的取值范围为2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决存在性问题，涉及求函数的值域，属于中档题.18．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力解析：3 【分析】求导数，取导数为0，计算x =. 【详解】函数31()3f x x ax =-的极大值为 2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=当x =(f =所以3a = 故答案为3 【点睛】本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.19．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x-≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥. 故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔20．【分析】由所给等式变形可得则令可求得c 从而求出的解析式利用导数研究函数的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为所以即所以因为所以解得则当时函数在上单调递增又所以的解集为故答案为:【点睛】本题考 解析：()1,+∞【分析】由所给等式变形可得()2[]x f x e x '=，则()2x f x e c x =+，令3x =可求得c 从而求出()f x 的解析式，利用导数研究函数()f x 的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()()32x xf x f x x e '-=，所以()()242xx f x xf x e x'-=，即()2[]x f x e x '=， 所以()2x f x e c x=+，因为()339f e =，所以33e e c =+，解得0c，则()2x f x e x =，()()20xf x x e x =>，当0x >时，()()22220x x x f x x e x e e x x '=⋅+⋅=+>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()1f e =，所以()()1f x e f >=的解集为()1,+∞. 故答案为: ()1,+∞ 【点睛】本题考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2xf x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=得2ln x a=. 若2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21xg x ae x x x =+-+设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++-()2221(1)(1)11()xx ae x ae x h x x x x x +--'=+-=因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增. 所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-. 若1a e=时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240ee h e a e e e---=-+->->，()22221220e e h e a e e=++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <；所以函数()h x 在()21,e -和()21,e各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点.综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e>时，函数()g x 无零点； 当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()ag x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.22．（1）在(),1-∞单调递减，在()1+∞，上单调递增；（2）22(2,)(,)e e e +∞.【分析】（1）当1a =-时，()()2122x f x x x x e =-+-，求出导数，令()0f x '>，()0f x '<得出答案.（2）由2x =为()f x 的一个零点，所以方程10(2)2x ax e x -+=≠有2个实数根，即2(2,0)x e a x x =≠有两个实数根，设2()(2,0)x e h x x x =≠，分析出其导数，得出单调性，画出函数图象，由数形结合可得答案. 【详解】（1）当1a =-时，()()2122x f x x x x e =-+- ()()()()1111x x f x x x e x e '=-+-=-+由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得1x <，所以()f x 在(),1-∞单调递减，在()1+∞，上单调递增 （2）由函数211()(2)(2)22()x x f x ax ax x e x ax e =-++-=--+， 可得()f x 有一个零点2x =， 要使得()f x 有3个零点，即方程10(2)2x ax e x -+=≠有2个实数根， 又由方程10(2)2xax e x -+=≠，可化为2(2,0)x e a x x=≠，令2()(2,0)xe h x x x =≠，即函数y a =与()y h x =图象 有两个交点，令22222(1)()0x x x xe e e x h x x x --'===，得1x =，()h x的单调性如表：x (,0)-∞(0,1)1 (1,2)(2,)+∞()h x ' － － 0 ＋ ＋ ()h x↘↘极小值↗↗所以函数()f x 在1x =处取得极小值2e ，当0x <时，()0h x <，又2(2)h e =，()h x 的大致图象如图，由函数y a =与()()2y h x x =≠图象有两个交点，根据图象可得22(2,)(,)a e e e ∈+∞所以要使得()f x 有3个零点，则实数a 的取值范围为22(2,)(,)e e e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.23．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.【分析】（1）当1a =-时，2()2x f x x'=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）2()2af x x+'=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞， 当1a =-时，1()f x x '=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞； 当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4). （2）2()2a af x x x'== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减， 此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--．综上所述：min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得()f x '=1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题. 24．（1）最大值为1e，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，()x xf x e=，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值；（2）对()f x 求导可得()1()xa x f x e-'=，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间. 【详解】（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x x x x e xe x f x e e--'==． 令()0f x '=，得1x =． 当01x ≤<时，()0f x '>； 当12x <≤时，()0f x '<．所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减， 所以当1x =时，()f x 取最大值1(1)f e=． 又因为(0)0f =，22(2)f e =，所以函数()x xf x e =的最大值和最小值分别为1e，0． （2）因为()1()xa x f x e -'=． 当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >，此时函数()x xf x e=的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <．此时函数()x xf x e=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述：当0a >时，函数()x xf x e =的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，函数()x xf x e=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞．【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.25．（1）20x y e --=；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可； （2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果. 【详解】解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==，∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1xf x x ae '=+-，因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10xf x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，ln 1xx a e+∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()xx x g x e --'=，由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增， (1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减，故max 11()(1)g x g a e e==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 方法点睛：已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.26．（1）1；（2）()2,+∞. 【分析】（1）利用在某点处切线方程的求法可表示出()f x 在1x =处的切线方程，代入()2,2即可求得结果；（2）求导后，令()21g x x ax =-+，分别在0∆≤和0∆>两种情况下，根据()0g x =根的情况，确定()g x 的正负，进而得到()f x 单调性，从而确定符合题意的范围.【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()1f x x a x'=+-， 则()12f a '=-，()12f a =-，()f x ∴在1x =处的切线方程为()()()221y a a x --=--，又切线过()2,2，2a a ∴=-，解得：1a =.（2）由（1）知：()()2110x ax f x x a x x x-+'=+-=>，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，①当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立， 此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，令()0g x =，解得：1x =，2x =⑴若2a <-，则10x <，20x <，()0g x ∴>在()0,∞+上恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意； ⑵若2a >，则120x x <<，∴当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；()f x ∴在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，()f x ∴恰有两个极值点12,x x ，符合题意；综上所述：a 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，求解此类问题的关键是将问题转化为导函数零点个数的讨论问题，需注意的是在导函数有零点的情况下，需结合定义域确定零点是否满足定义域要求.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(包含答案解析)(5)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(包含答案解析)(5)

一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）． A ．0ae b >>B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >> 3．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定4．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e5．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >6．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞7．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定8．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点9．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e10．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．已知函数31()sin xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2- B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-⋃+∞D ．1(,][1,)2-∞-⋃+∞12．已知函数()f x （x ∈R ）满足()34f =，且()f x 的导函数()1f x '<，则不等式()221f x x -<的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(3,3-D ．((),33,-∞-+∞二、填空题13．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a的最小值为______. 14．已知一个母线长33___________米.15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．16．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.17．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．18．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．19．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为______. 20．已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.三、解答题21．已知函数1()ln1xf x x+=-. （1）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（2）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值.22．已知函数()21xx x f x e+-=. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的方程； （2）求函数()y f x =的极值. 23．已知函数()xf x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.24．“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A ，B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)25．已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数()'()g x f x =（'()f x 为()f x 的导函数），若方程()g x a =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围. 26．已知函数2()ln f x x ax =-． （1）当a =1时，①求f (x )在(1，f （1）)处的切线方程； ②求f (x )的极值点；（2）若f (x )≤0恒成立，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x -+-'=，∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立，⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．D解析：D 【分析】根据题意将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案. 【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠，因为函数()e =-xf x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程xb e a x=在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x-=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x=∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0be a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.3．A解析：A【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.4．B解析：B【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．5．A解析：A 【分析】 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x xxx f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''，因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e<，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．D解析：D 【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.【详解】 由32()0xx x f x ee e a =---=，则32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e ee =--，则()()()3223()3211213xxx x x x x x x g x e ee e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124xxxxx g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．7．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =， 则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）8．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.9．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.10．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.11．B解析：B 【分析】利用函数的奇偶性将函数转化为f （M ）≤f （N ）的形式，再利用单调性脱去对应法则f ，转化为一般的二次不等式求解即可． 【详解】由于()31sin xxf x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0， 所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0， 解得112a -≤≤， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题．12．B解析：B 【分析】构造函数()()g x f x x =-，求导后可证得()g x 在R 上单调递减，将原不等式可转化为()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<，所以()g x 在R 上单调递减.因为不等式()221f x x -<可等价于()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，所以213x ->， 解得2x >或2x <-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键解析：3e【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln xxxe x x a a x x a a e e-≤-⇔-≤-，利用同构函数()ln f x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞，∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33xx eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立，令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33xxg x e -'=， ∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增，∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减，1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e. 故答案为：3e【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.14．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h <<圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V h π'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.15．【分析】令问题转化为根据函数的单调性求出不等式的解集即可【详解】因为所以令则所以为奇函数又因为当时所以在上单调递减即在上单调递减而不等式所以所以故答案为：【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方解析：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】令()()2g x f x x =-，问题转化为()()5g x x g -≥，根据函数的单调性求出不等式的解集即可． 【详解】因为()()22f x f x x -+=，所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<， 所以()g x 在(],0-∞上单调递减， 即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-，所以5x x ≤-，所以52x ≤． 故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.16．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 所以，()max20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值解析：49 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可． 【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增， 则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'， 故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线， 故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49，故答案为：49． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.19．【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值 解析：(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可． 【详解】解：函数的导数2()21f a x x x '=+-， 由()0f x '在1x 上恒成立得2210ax x +-在1x 上恒成立， 即221a x x +， 得322x x a +在1x 上恒成立， 设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=， 则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞， 故答案为：(],3-∞ 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题 解析：3【分析】根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦，()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=，()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）2 【分析】（1）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立.（2）对k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围. 【详解】（1）证明：()()1()lnln 1ln 11xf x x x x+==+---， ()2112111f x x x x '=+=+-- 令()3()2()3x g x f x x =-+，则()()()4222211x g x f x x x''=-+=-， 因为()()001g x x '><<，所以()g x 在()0,1上单调递增， 所以()()00g x g >=，()0,1x ∈，即当()0,1x ∈时，3()2()3x f x x >+.（2）由（1）可知，当k 2≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，当2k >时，令()3()()3x h x f x k x =-+，则()()2222()(1)1kx k h x f x k x x--''=-+=-，所以当0x <<()0h x '<， 因此()h x在区间⎛ ⎝上单调递减，当0x <<()()00h x h <=， 即3()()3x f x k x <+，所以当2k >时，3()()3x f x k x >+并非对(0,1)x ∈恒成立，综上可知，k 的最大值为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查了构造新函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是由（1）确定当k 2≤时，3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，考查了运算求解能力.22．（1）210x y --=；（2）极小值为e -，极大值为25e . 【分析】（1）求出函数的导数，计算()()0,0f f '的值，求出函数的切线方程即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，求出函数的极值即可. 【详解】（1）函数()21xx x f x e+-=定义域为R ， 且()()()()()22211x x x x x e x x e f x e ''+-⋅-+-'=()()22211=xxxx e x x e e+⋅-+-⋅22=x x x e -++()()12=xx x e -+-，∵曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线斜率()02k f ='=，又()01f =-，则切点为()0,1-，∴所求切线方程为()()120y x --=-即210x y --=. （2）∵()()()12xx x f x e-+-'=又>0xe ， 由()0f x '=得1x =-或2x =，当(),1x ∈-∞-和()2,+∞时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当()1,2x ∈-时，()0f x '>，此时()f x 为增函数，由()f x 的单调性知函数的极小值为()1f e -=-，极大值为()22525=f e e-=. 【点睛】本题考查函数的切线方程、极值的问题，关键点是由导数的几何意义可求出切线方程，第二问求出导函数利用单调性求出函数的极值，考查了学生的基础知识、计算能力． 23．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤. 【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案. 【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1xf x e '=-，设切点为()000, xx e ax a --，则切线方程为()()()0000xy e ax a f x x x '---=-，因为过点()0,1-，所以0000()111x xe x e x --++=--，解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=. （2）()xf x e a '=-，当0a ≤时，()'0f x >， 所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意，当0a <时，取110ax a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<， 所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0a f a e a a a =--≥，解得01a <≤；综上所述，01a ≤≤.【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解.24．（1）()200cos 100,0,2S πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=. 【分析】（1）在直角三角形ABC 中，求出AC ，在扇形COB 中利用弧长公式求出弧BC 的长度，则可得函数()S θ；（2）利用导数可求得结果.【详解】（1）如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠=所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠=则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知()200sin 100S θθ'=-+， 令()0,S θ'= 得1sin 2θ=，因为(0,)2πθ∈所以6πθ=，当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增， 当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减，所以当6πθ=时，使得绿化带总长度()S θ最大.【点睛】 关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.25．（1）220x y --=；（2）2(2,1]e -．【分析】（1）求出()'f x ，计算(1)f '得切线斜率，从而得切线议程；（2）对()g x 求导，确定()g x 的单调性，极值，得()g x 的变化趋势，从而可得结论．【详解】（1）由已知2211()2ln 212ln 1f x x x x x'=+-+=++， 所以(1)2f '=，又(1)0f =，所以切线议程为2(1)y x =-，即220x y --=；（2）由（1）21()2ln 1g x x x =++，定义域为(0,)+∞，33222(1)(1)()x x g x x x x -+'=-=， 所以在(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增， 所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)2g =，211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x →+∞时，()g x →+∞， 所以方程()g x a =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是2(2,1]e -． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围．26．（1）①0x y +=；②极大值点是2，无极小值点；（2）12a e ≥. 【分析】（1）①利用导数的几何意义求切线方程；②利用导数判断函数的单调性，根据极值点的定义求解；（2）不等式转化为2ln x a x ≥恒成立，即2maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，利用导数求函数()2ln x g x x=的最大值. 【详解】 （1）①当1a =时，()2ln f x x x =-，定义域是()0,∞+，()21122x x x xf x -=-='，()11f '=-，()11f =-， 所以函数在点()()1,1f 处的切线方程是()11y x +=--，即0x y +=； ②()0f x '>时，解得：02x <<，函数在区间⎛ ⎝⎭单调递增， ()0f x '<，解得：x >，函数在区间,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，所以函数在2x =时取得极大值，极大值点是2，无极小值点； （2）若()0f x ≤恒成立，等价于2ln 0x ax -≤，即2ln x a x ≥恒成立，即2max ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭ 设()2ln x g x x=，()432ln 12ln x x x x g x x x --'==， 当()0g x '=时，x =当(x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数单调递减，所以当x =()max 12g x e =， 即12a e≥. 【点睛】方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：1.讨论最值，先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式求参数的取值范围；2.分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数的最值，从而求出参数的取值范围.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知1a e =，ln33b =，ln 44c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<2．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f <<3．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ） A ．4B ．26C ．27D ．64．设函数()ln 2e f x x mx n x =--+.若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm 的最大值为（ ） A ．4e B ．2eC ．eD ．2e5．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b <8．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点9．已知函数()()30f x ax bx c ac =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知实数2343a e =，4565b e =，6787c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>11．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+二、填空题13．已知函数()4,0,0x x e x f x e x x+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是______.14．已知1a >，若对于任意的1[,)3x ∈+∞，不等式()4ln 3e ln xx x a a -≤-恒成立，则a的最小值为______.15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．16．已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______________.17．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中2.71828e =）则实数m 的取值范围是________．18．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________. 19．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为______. 20．函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减，则实数a 的取值范围为______. 三、解答题21．已知函数()xf x e ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-，若关于x 的不等式()f x mx ≥在()0,∞+上恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 23．已知函数()()331f x x ax a R =--∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的极大值； （2）讨论函数()f x 的单调性. 24．已知函数1()2ln 2f x x x x x=--+. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）设函数()'()g x f x =（'()f x 为()f x 的导函数），若方程()g x a =在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，求实数a 的取值范围.25．已知函数()ln af x x x x=--. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若()2f x x x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数32113f xx ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析函数()f x 在区间[),e +∞上的单调性，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当x e ≥时，()0f x '≤，所以，函数()f x 在区间[),e +∞上为减函数，34e <<，则()()()34>>f e f f ，即a b c >>.故选：B. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.2．B解析：B 【分析】构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.3．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞恒成立因为16x x +≥16x x =即x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．4．D解析：D 【分析】 由题意可得ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，根据它们的图象，结合的导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求的最大值. 【详解】由不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立， 即为ln 20e x mx n x --+≤，即ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，由()210eg x x x'=+>， 可得()g x 在()0,∞+上递增，且()0g e =，当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞， 作出()y g x =的图象， 再设()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 可得()h x 表示过,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为2m 的一条射线（不含端点）， 要求nm 的最大值，且满足不等式恒成立，可得2n m的最大值， 由于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上移动， 只需找到合适的0m >，且()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：此时2n e m =，即nm 的最大值为2e . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将问题转化为()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，注意运用转化思想和数形结合思想，考查了导数的应用，求切线的斜率与单调性，考查了运算能力和推理能力.5．A解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.6．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围；【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a ab -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．8．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误.【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误； 对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误.故选：C.【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.9．B解析：B【分析】利用函数()f x 的对称性排除A 选项；然后分0a >和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合()0f 的符号可得出合适的选项.【详解】()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+，()()2f x f x c ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,c 对称，排除A 选项；()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项.故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．C解析：C【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可.【详解】构造函数'()(2)()(1)x x f x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'()0,()f x f x >单调递增. 因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6786()77c e f ==，246357<<， 所以642()()()753f f f >>，即c b a >>. 故选：C【点睛】 关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键. 11．A解析：A【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -. 故选：A .【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题. 12．A解析：A【分析】设()()2x x F x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x x F x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x x F x e f x e f x e e f x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦， 所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-， 故(3)2(2)2ef f e +<+．故选：A.【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.二、填空题13．【分析】由得根据的范围得利用导数得可得令将化为关于的二次函数根据二次函数知识可求得结果【详解】因为所以所以因为所以当时由得由得所以在上递减在上递增所以在处取得最小值所以所以令则所以所以当时取得最小值解析：24,0e ⎡⎤-⎣⎦【分析】由()()12f x f x =得2124x e x e x =-，根据1x 的范围得224x e e x ≤，利用导数得22x e e x ≥，可得224x e e e x ≤≤，令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.【详解】因为()()12f x f x =，所以2124x e x e x +=，所以2124x e x e x =-， 因为10x ≤，所以224x e e x ≤， 当0x >时，()x e f x x =，22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==， 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得最小值e ，所以224x e e e x ≤≤， 所以()12x f x 22224x x e e e x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222224x x e e e x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，令22x e t x =，则4e t e ≤≤， 所以()12x f x 24t et =-()2224t e e =--， 所以当2t e =时，12()x f x 取得最小值24e -，当4t e =时，12()x f x 取得最大值0， 所以12()x f x 的取值范围是24,0e ⎡⎤-⎣⎦.故答案为：24,0e ⎡⎤-⎣⎦【点睛】 关键点点睛：令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识求解是解题关键.14．【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令∴在上单调递增∵∴∴恒成立令只需∴单调递增∴单调递减时的最大值为∴∴的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键 解析：3e【分析】不等式等价变形()()()4ln 3ln 3ln 3ln x x xe x x a a x x a a e e -≤-⇔-≤-，利用同构函数()lnf x x x =-的单调性得解【详解】()()4ln 3ln 3ln 3ln x x e x x a a x x ae a x -≤-⇔-≤--()()3ln 3ln x x x x ae ae ⇔-≤-令()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=， ∴()f x 在[)1,+∞上单调递增.∵1a >，1[,)3x ∈+∞， ∴[)3,1,x e x a ∈+∞，∴33x x eae x x a ⇔≤⇔≤恒成立， 令()3x x g x e =，只需max ()a g x ≥，()33xx g x e -'=， ∴1[,1),()0,()3x g x g x ∈'>单调递增， ∴(1,),()0,()x g x g x ∈+∞'<单调递减， 1x ∴=时，()g x 的最大值为3e，∴3a e ≥，∴a 的最小值为3e. 故答案为：3e 【点睛】不等式等价变形，同构函数()ln f x x x =-是解题关键.15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22x f x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即 ()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根， 也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根， 所以()()22420a a ∆=+-+>，即()()2240a a ++->，解得：2a >或2a <-，故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题. 16．【分析】求得导函数后代入不等式则可将不等式化为根据能成立的思想可得利用基本不等式可求得最小值进而得到结果【详解】即为整理得到即使得成立（当且仅当即时取等号）即实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考解析：)+∞ 【分析】 求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为12a x x>+，根据能成立的思想可得min 12a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果. 【详解】()()()2ln 12f x x x a x x a '=++-+-，()()f x xf x '∴>即为()()()222ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a +->++-+-， 整理得到22210x ax -+<，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得221122x a x x x +>=+成立，12x x +≥=12x x =，即2x =时取等号），a ∴>，即实数a 的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞. 【点睛】 本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.17．【分析】由条件转化为换元令由导数确定函数的值域即可求解【详解】设且设那么恒成立所以是单调递减函数当时当时函数单调递增当函数单调递减所以在时取得最大值即解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研 解析：(),0-∞【分析】由条件转化为11ln y y m x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，换元0y t x=>，令()()1ln g t t t =-，由导数确定函数的值域即可求解.【详解】()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y y m x x x --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ 设0y t x =>且1t ≠， 设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t '=-+-⋅=-+-， ()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立， 所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增，当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减，所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m<， 解得：0m <，故答案为：(),0-∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题. 18．【分析】设切点为根据已知得求出得构造函数求出的范围即可【详解】设切点为则整理得由解得由上可知令则因为所以在上单调递减所以即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义利用导数求参数的范围考查计算求解能力 解析：280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】设切点为()00,A x y ，根据已知得0000()(),()()f x g x f x g x ='='，求出02x >，得04x x a e =，构造函数4(),2x x h x x e =>，求出()h x 的范围即可. 【详解】 设切点为()00,A x y ，(),()4xf x aeg x x '='= 则0020024x x ae x m ae x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得20004200x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩， 由200240m x x =->，解得02x >. 由上可知004x x a e =，令4()xx h x e =，则4(1)()x x h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)4()0,()x x x x h x h x e e -'=<=在(2,)+∞上单调递减， 所以280()h x e <<，即280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 19．【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值 解析：(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【详解】 解：函数的导数2()21f a x x x '=+-， 由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立， 即221a x x +， 得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数，则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为：(],3-∞【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．20．【分析】首先求出函数的导数依题意可得在上恒成立参变分离根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为所以因为函数在上的单调递减所以在上恒成立即在上恒成立因为在上单调递减所以所以即故答案为：【 解析：[2,)+∞【分析】首先求出函数的导数，依题意可得()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，参变分离，根据余弦函数的性质求出参数的取值范围；【详解】解：因为()2sin f x x ax =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()2cos f x x a '=-，因为函数()2sin f x x ax =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减， 所以()2cos 0f x x a '=-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即2cos a x ≥在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，因为()2cos g x x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()max 02cos02g x g === 所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞故答案为：[)2,+∞【点睛】 本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）(],1e -∞+.【分析】（1）求得()xf x e a '=-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调性；（2）利用参变量分离法得出1xe m x≤+在()0,∞+上恒成立，利用导数求出函数()1xe g x x=+在()0,∞+上的最小值，由此可求得实数m 的取值范围. 【详解】解：（1）()x f x e ax =-，()x f x e a '∴=-.当0a ≤时，则()0f x '>在(),-∞+∞上恒成立，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >，由()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增；（2）由题意知xe x mx +≥在()0,∞+上恒成立，即1xe m x ≤+恒成立， 令()1x e g x x =+，其中0x >，则()()21x x e g x x -'=. 当01x <<时，则()0g x '<；当1x >时，则()0g x '>.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()()min 11g x g e ==+. 所以实数m 的取值范围为(],1e -∞+.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.22．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2x f x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=得2lnx a =. 若2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21x g x ae x x x =+-+ 设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++- ()2221(1)(1)11()x x ae x ae x h x x x x x +--'=+-= 因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减.当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增.所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-. 若1a e =时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e >时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点；若10a e <<时，(1)0h <，()222222240e e h e a e e e ---=-+->->， ()22221220e e h e a e e=++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <； 所以函数()h x 在()21,e -和()21,e 各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点. 综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e >时，函数()g x 无零点； 当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】 方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()a g x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.23．（1）极大值为1；（2）答案见解析.【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极大值；（2）求得()233f x x a '=-，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调区间.【详解】（1）当1a =时，()331f x x x =--，该函数的定义域为R ，且233f x x ， 令()0f x '>，得1x <-或1x >；令()0f x '<，得11x -<<，()f x ∴在(),1-∞-，()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，故()f x 的极大值为()11f -=；（2）()()22333f x x a x a '=-=-. ①当0a ≤时，()0f x '≥在R 上恒成立，()f x ∴在R 上单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，得x <x >令()0f x '<，得x <所以，函数()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减. 【点睛】 方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间；解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.24．（1）220x y --=；（2）2(2,1]e -．【分析】（1）求出()'f x ，计算(1)f '得切线斜率，从而得切线议程；（2）对()g x 求导，确定()g x 的单调性，极值，得()g x 的变化趋势，从而可得结论．【详解】（1）由已知2211()2ln 212ln 1f x x x x x'=+-+=++， 所以(1)2f '=，又(1)0f =，所以切线议程为2(1)y x =-，即220x y --=；（2）由（1）21()2ln 1g x x x=++，定义域为(0,)+∞，33222(1)(1)()x x g x x x x -+'=-=， 所以在(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 递减，(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增， 所以1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)2g =，211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x →+∞时，()g x →+∞， 所以方程()g x a =在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且仅有两个实根，则实数a 的取值范围是2(2,1]e -． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围．25．（1）极小值为3ln 2-，无极大值；（2）(],1-∞.【分析】（1）对函数求导，因式分解求得()0f x '=的根，列表判断单调性与极值；（2）将()2f x x x >-转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，令新的函数()g x ，然后求导以及二次求导以后判断单调性与极值，求出()g x 的最小值即可.【详解】解：（1） 由2a =-，得()2ln f x x x x=+-，定义域为()0,∞+，()()()2222212121x x x x f x x x x x-+--'=--==， 令()0f x '=，得2x =（或1x =-舍去），列表：所以f x 的极小值为23ln 2=-f ，无极大值.（2）由2ln a x x x x x -->-，得2ln a x x x<-， 问题转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，记()()3ln ,1,g x x x x x =-∈+∞，即min ()a g x <在()1,+∞上恒成立，则()()2231ln 3ln 1g x x x x x '=-+=--， 令()23ln 1h x x x =--，则()21616x h x x x x -'=-=， 由1x >，知2610x ->，即()0h x '>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增，()()120h x h >=>，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=，由()a g x <在()1,+∞上恒成立，所以1a ≤.【点睛】方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．26．（1）89；（2）存在，12a =. 【分析】（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解.（2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解. 【详解】（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-， 所以()11f '=-，又()113f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--， 即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=． （2）()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =．当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减；当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增．则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =， 当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56． 【点睛】方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(答案解析)(4)

一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m 3．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a ≤-B ．1a ≤-C ．1a ≤D ．01a ≤≤4．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定5．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点6．已知函数()()30f x ax bx c ac =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．7．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩.若对函数()ln 22f x x x =-+，有()()g x f x =恒成立，则（ ）A ．k 的最大值为1ln2+B ．k 的最小值为1ln2+C ．k 的最大值为ln 2D ．k 的最小值为ln 28．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）A ．300万元B ．252万元C ．200万元D ．128万元10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+11．若函数()()11xf x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,1e +B ．[]2,1e +C ．(][),21,e -∞⋃++∞D ．()(),21,e -∞⋃++∞12．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．111e⎛⎫--- ⎪⎝⎭，C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，()20f -=，且当0x >时()()20f x xf x x '-<，则不等式()()2110x f x -->的解集是______. 14．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.15．已知函数21()ln 2f x x x =+，函数()f x 在[1,]e 上的最大值为__________. 16．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．17．若函数32()1f x x ax x =-++在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.18．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________.19．使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立的一个m 值是_____.20．已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.三、解答题21．已知函数()3213 1.3f x x x x =+-- （1）求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值与最小值． 22．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 23．已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程；（2）若()()2g x f x x=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()1ln =--f x x x .（1）证明：()f x 存在唯一的零点； （2）当0x >时，证明：ln x e x x >>. 25．已知函数()11f x x=-. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）设函数()()ln g x f x t x =+，当1t ≤时，求()g x 零点的个数. 26．设函数2()cos ,()sin a f x x x g x x=+=. （1）当[0,]x π∈时，判断()f x 的单调性； （2）若当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==，∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.3．B解析：B 【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】 因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x ay x x x--=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以1a ≤-，【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.4．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x-'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =， 则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）5．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误. 【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.6．B解析：B 【分析】利用函数()f x 的对称性排除A 选项；然后分0a >和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合()0f 的符号可得出合适的选项. 【详解】()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+，()()2f x f x c ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,c 对称，排除A 选项；()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项. 故选：B ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.7．B解析：B 【分析】利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，且()()g x f x =恒成立，则()f x k ≤.函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111xf x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.8．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.9．C解析：C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A.【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.11．A解析：A 【分析】求导得()1xf x e a '=-+，原问题可转化为()'f x 在(0,1)上有变号零点，由于()'f x 单调递增，只需满足()()010f f ''<，解之即可． 【详解】 解：()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点，又()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．a ∴的取值范围是(2,e +1)．故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】求导()()1xf x x m e '=++，将问题转化为()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，也即是关于x 的方程1x xm e --=有两个不同的解，构造函数()xx g x e =，求导()1x xg x e-'=，分析导函数取得正负的区间，从而得函数()g x 的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()'1x fx x m e =++，因为函数()f x 有两个极值点，所以()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点， 故关于x 的方程1xxm e --=有两个不同的解， 令()xx g x e =，则()1x xg x e-'=，当(,1)x ∈-∞时， ()0g x '>，当(1,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，又当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 且0,()0x g x >>()11g e=，故101m e <--<，即111m e --<<-. 故选：B. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.二、填空题13．【分析】设则为偶函数由则在是上单调递增在是上单调递减设即求解分和两种情况解不等式和【详解】设由当时即所以在是上单调递增为奇函数则为偶函数在是上单调递减即（）设当时即由为奇函数则所以由在是上单调递增所 解析：()()1,13,-+∞【分析】 设()()f x g x x =，则()g x 为偶函数，由()()()2xf x f x g x x'-'=， 则()g x 在()0+∞，是上单调递增，()g x 在()0-∞，是上单调递减，设1x t -=，即求解()0f t >，分0t >和0t <两种情况解不等式()0g t >和()0g t <.【详解】 设()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x'-'= 当0x >时()()20f x xf x x'-<，即()0g x '>，所以()g x 在()0+∞，是上单调递增. ()y f x =为奇函数，则()()f x g x x=为偶函数，()g x 在()0-∞，是上单调递减 ()()2110x f x -->,即()10f x ->（1x ≠）设1x t -=，当0t >时，()0f t >，即()()0f t g t t=> 由()20f -=，()y f x =为奇函数，则()20f =，所以()20g =由()g x 在()0+∞，是上单调递增，()0g t >，所以2t >，即12x ->，所以3x > 当0t <时，()0f t >，即()()0f t g t t=< 由()20f -=，则()20g -=，根据()g x 在()0-∞，是上单调递减所以当()0g t <时，则20t -<<，即210x -<-<，所以11x -<< 综上所述：不等式()()2110x f x -->的解集是：()()1,13,-+∞故答案为：()()1,13,-+∞【点睛】关键点睛：本题考查构造函数讨论单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x'-'=结合条件和奇偶性得出其单调性， 属于中档题. 14．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-， 所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<， 所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增， 当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减， 又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <， 当x 与()f x 同号时，()0xf x >， 所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃， 故答案为：()(),01,3-∞⋃ 【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.15．【分析】根据求导函数根据在上单调性求解【详解】因为函数所以所以在上单调递增所以函数在上的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值还考查了运算求解的能力属于中档题解析：212e +【分析】 根据21()ln 2f x x x =+，求导函数，根据()f x 在[1,]e 上单调性求解. 【详解】 因为函数21()ln 2f x x x =+， 所以1()0f x x x'=+>， 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，所以函数()f x 在[1,]e 上的最大值为2()()12e f x f e ==+. 故答案为：212e +【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值解析：49 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可． 【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增， 则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'， 故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线， 故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.17．【分析】求出函数的导函数利用导函数与函数单调性的关系只需在上即可【详解】由函数所以函数在上单调递增则即所以令因为由对勾函数的单调性可知在单调递增故故即实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了导解析：13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】求出函数的导函数()f x '，利用导函数与函数单调性的关系只需在()2,+∞上()0f x '≥即可. 【详解】由函数32()1f x x ax x =-++，所以()2321f x x ax '=-+，函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 则()0f x '≥，即23210x ax -+≥，所以3122x a x≤+， 令()13133222x g x x x x ⎛⎫ ⎪=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为()2,x ∈+∞，由对勾函数的单调性可知()g x 在()2,+∞单调递增，故()()1324g x g >=，故134a ≤，即实数a 的取值范围是13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ . 【点睛】本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.18．【分析】求出函数的导数问题转化为在区间恒成立求出的范围即可【详解】若函数区间上为减函数则在区间恒成立即因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性函数的单调性的性质属于中档题解析：(],1-∞【分析】求出函数的导数，问题转化为10a x-在区间(0,1)恒成立，求出a 的范围即可． 【详解】()f x ax lnx =-，(0)x >， 1()f x a x∴'=-，若函数()f x ax lnx =-区间(0,1)上为减函数， 则10a x-在区间(0,1)恒成立， 即1()min a x ，因为(0,1)x ∈， 所以min11x ⎛⎫>⎪⎝⎭， 所以1a ≤.故答案为：(-∞，1]． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．19．；【分析】首先有且根据导函数得到的单调区间及对应的单调性使函数在区间(0m 上单调递减成立即(0m 包含于的单调递减区间即可得到一个m 值【详解】由题意知：且∴当且时即单调递减当时即单调递增故要使在区间(解析：12； 【分析】首先有2(1)()xx e f x x-'=且0x ≠，根据导函数得到()f x 的单调区间及对应的单调性，使“函数()xe f x x=在区间(0，m ]上单调递减”成立，即(0，m ]包含于()f x 的单调递减区间，即可得到一个m 值 【详解】由题意，知：2(1)()xx e f x x -'=且0x ≠∴当0x ≠且1x <时，()0f x '<，即()f x 单调递减 当1x >时，()0f x '> ，即()f x 单调递增故，要使()f x 在区间(0，m ]上单调递减，则01m <<即可 ∴12m =符合要求 故答案为：12【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数范围，结合导函数研究函数的单调区间，由命题中函数单调的成立条件确定区间的包含关系，进而求参数范围20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题 解析：3【分析】根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦，()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=，()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）答案见解析；（2）最大值是733，最小值是83-．【分析】（1）求得导函数，并计算()0f x '=的根，列表判断极值即可得结果； （2）根据（1）的极值再比较()853f -=-，()7343f =的大小即可得最值. 【详解】解：（1）函数()321313f x x x x =+--的定义域为R ． ()()()22331f x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，解得3x =-，或1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．因此，当3x =-时，函数f x 有极大值，并且极大值为38f -=， 当1x =时，函数()f x 有极小值，并且极小值为()318f =-． （2）由（1）知，函数()f x 在区间[]5,4-上， 极大值为()38f -=，极小值为()318f =-． 又由于()853f -=-，()7343f =， 所以函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值是733，最小值是83-．【点晴】方法点晴：求极值的方法步骤：1、求函数定义域；2、求导函数并解方程()0f x '=的根；3、列表判断极值. 22．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 23．（1）1y =；（2）0a ≥. 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得结果； （2）转化为()0g x '≥，即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞，2222()2x f x x x x -'=-=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线的斜率为2212(1)01f ⨯-'==，又(1)1201f =-⨯=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程为1y = （2）因为()()2g x f x x=+22ln x a x x =++在[1,+)∞上是单调增函数，所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x=-取得最大值0，所以0a ≥. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤； 24．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对()f x 求导，利用导数判断()f x 的单调性，求出()f x 的极值或最值，即可求证；（2）构造函数()xg x e x =-，求导利用单调性证明()0xg x e x =->，再由（1）可知()1ln 0f x x x =--≥即1ln x x ≥+可得ln x x >，进而可证明0x >时， ln x e x x >>.【详解】（1）()1ln =--f x x x 的定义域为()0,∞+，1()1f x x'=-当01x <<时，1()10f x x '=-<，当1x >时，1()10'=->f x x， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以1x =时()f x 最小为(1)11ln10f =--=， 所以()f x 存在唯一的零点1x =，（2）令()xg x e x =-，则()1x g x e '=-，当0x >时，()10xg x e '=->，()x g x e x =-在()0,∞+单调递增，所以()()0001g x g e >=-=，即10x e x ->>，即0x e x ->，所以x e x >，由（1）知()1ln =--f x x x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()f x 最小为(1)11ln10f =--=，所以()1ln 0f x x x =--≥即1ln x x ≥+，所以ln x x >， 综上所述：当0x >时，ln x e x x >>. 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.25．（1）10x y +-=；（2）答案见解析. 【分析】（1）求出()1f 和()1f '的值，结合点斜式可得出曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求得()21tx g x x-'=，分0t ≤、01t <<、1t =三种情况讨论，由导数分析函数()g x 的单调性与极值，进而可得出实数t 在不同取值下函数()g x 零点的个数.【详解】 （1）因为()11f x x =-，所以()21f x x'=-，所以()10f =，()11f '=-. 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()1y x =--，即10x y +-=；（2）因为()()ln g x f x t x =+，所以()()1ln 10g x t x x x =+->， 所以()2211t tx g x x x x-'=-+=. ①当0t ≤时，()0g x '≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.因为()10g =，所以()g x 有且仅有一个零点；②当01t <<时，令()0g x '>，得1x t>，令()0g x '<，得1x t <. 所以()g x 在10,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 因为()10g =，所以()g x 在10,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. 因为()110g g t ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即1ln 10t t t +-<，则111ln 1t t t <-<，所以，11t e t >， 则()1110t t g e e =>， 所以01,x t ⎛⎫∃∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以()g x 在1,t ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.所以当01t <<时，()g x 有两个零点；③当1t =时，()21x g x x-'=. 令()0g x '>，得1x >，令()0g x '<，得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以当1x =时，()g x 取得最小值，且()10g =，所以()g x 有且仅有一个零点. 综上所述，当0t ≤或1t =时，()g x 有且仅有一个零点；当01t <<时，()g x 有两个零点.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.26．（1）()f x 单调递增；（2）24aπ. 【分析】（1）求导()'2sin f x x x =-，得出导函数的符号，从而可得函数()f x 单调性.（2）由已知将问题转化为不等式sin ()a x f x ⋅恒成立，令()sin ()k x x f x =⋅，求导''()cos ()sin ()k x x f x x f x =⋅+⋅，分析导函数的符号，得出()k x 单调递增，求得()k x 的最大值，由恒等式的思想可得出a 的取值范围.【详解】解：（1）()'2sin f x x x =-，令()2sin h x x x =-，当[0,]x π∈时，'()2cos 0h x x =->，所以当[0,]x π∈时，()2sin h x x x =-单调递增；所以()(0)0h x h =，即()0f x '，所以()f x 单调递增. （2）因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()0f x g x -恒成立， 所以当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin ()a x f x ⋅恒成立， 令()sin ()k x x f x =⋅，所以''()cos ()sin ()k x x f x x f x =⋅+⋅，因为当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，'cos 0,()0,sin 0,()0x f x x f x >>>>，所以'()0k x >，所以()k x 单调递增，所以2()24k x k ππ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以24a π≥. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题，常常采用：()f x a >对一切x I ∈恒成立，等价于min ()f x a >；()f x α<对一切x I ∈恒成立，等价于max ()f x α<．。

北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(包含答案解析)

北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）． A ．0ae b >>B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >> 2．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定3．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<4．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2e ⎤-∞⎦B ．()0,2eC ．(,4e ⎤-∞⎦D ．()0,4e5．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞7．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定8．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ）A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，9．已知函数()()30f x ax bx c ac =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．10．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞12．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-二、填空题13．对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅≤⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点（﹣2，f （﹣2））处的切线的斜率为22e -； ②函数f (x )的最小值为2e-； ③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数f (x )在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数. 其中正确命题的序号是_____.14．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中， ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②当(0,)x π∈时，()0f x π-<<； ③若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x >；④若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 所有正确结论的序号为______.15．若a 是区间[]0,3e 上任意选取的一个实数，则xea x>对()0,x ∈+∞恒成立的概率为______.16．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.17．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中2.71828e =）则实数m 的取值范围是________．18．函数()cos f x x x =+在()0,π上的极大值为M ，极小值为N ，则M N +=__________.19．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，则正整数a 的最大值为_______.20．函数31()3f x x ax =-的极大值为a =__________． 三、解答题21．已知函数22()1ln f x x ax a x =++-． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若0a =，且(0,1)x ∈，求证：2()2ln 122xf x x x e x-+-<． 22．已知函数()xf x e ax a =--.（1）当1a =时，求过点()0,1-且与曲线()y f x =相切的直线方程; （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围.23．已知函数()()21xf x x a e =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围. 24．已知曲线3211()33f x x ax bx =+++在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值． 25．已知函数2()ln (0)f x x a x a =->.（1）若2a =，求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程； （2）若()y f x =在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求a 的取值范围.26．已知函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，其中e 2.71828=是自然对数的底数.（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：（i ）11x a<；（ii ）212x x ->【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案. 【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠， 因为函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程xb e a x=在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x-=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x=∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0be a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.2．A解析：A【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =， ()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x x x g x x e xe x x+=+--=-'， 令()1x h x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->，故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001xx e =，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =， 所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.3．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx x x f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.4．A解析：A 【分析】先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120x g x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数； 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()f x的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A. 【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立； （2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.5．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.6．D解析：D 【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()x x x g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案. 【详解】由32()0x x x f x e e e a =---=，则32x x x a e e e =--， 令32()x x x g x e e e =--， 则()()()3223()3211213xx x x x x x x x g x ee e e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124xxxxx g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．7．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =，则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）8．C解析：C 【分析】构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x x g x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x x g x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->， 所以()g x 在R 上单调递增， 又因为00(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3x x g x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于 ()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 9．B解析：B【分析】利用函数()f x 的对称性排除A 选项；然后分0a >和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合()0f 的符号可得出合适的选项.【详解】()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+，()()2f x f x c ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,c 对称，排除A 选项；()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项.故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.10．A解析：A【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =，所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.11．D解析：D【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解．【详解】令2()()x g x e f x =，则2()[2()()]x g x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．B解析：B【分析】根据条件构造函数2()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解.【详解】由题意，设2()()g x x f x =，则2'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>，所以当0x >时，'()0g x >，所以函数2()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >，根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞，故选B.【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.二、填空题13．①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③【详解】x≤0时f(x)＝2xexf′(x)＝2（1+x ）ex 故f′（﹣2）＝①正确；且f(解析：①②④【分析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.【详解】x ≤0时，f (x )＝2xe x ，f ′(x )＝2（1+x ）e x ，故f ′（﹣2）＝22e-，①正确； 且f (x )在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x ≤0时，f (x )有最小值f （﹣1）＝2e-， x ＞0时，f (x )＝2122x x -+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x ＞0时，f (x )有最小值f （1）＝122e ->- 故f (x )有最小值2e-，②④正确；令20x x e ⋅=得0x =，令21202x x -+=得22x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误；故答案为：①②④【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.14．①②④【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性求得函数的值域判断②正确；利用导数研究函数的单调性进行变形得到③是错误的数形结合思想可以判断④是正确的【详解】因为所以所以解析：①②④【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，判断②正确；利用导数研究函数sin ()x g x x=的单调性，进行变形得到③是错误的，数形结合思想可以判断④是正确的.【详解】因为()cos sin f x x x x =-， 所以()()cos()sin()cos sin ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-，所以()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，所以①正确；因为'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-，因为(0,)x π∈，所以'()0f x <，所以()f x 在(0,)π上单调递减，所以()()(0)0f f x f ππ-=<<=，所以()0f x π-<<，所以②正确； 令sin ()x g x x=，2cos sin '()x x x g x x -=， 由②可知，()f x 在(0,)π上单调递减，所以)'(0g x <， 所以()g x 在(0,)π上单调递减，若120x x π<<<，所以1212sin sin x x x x >， 即1122sin sin x x x x <，所以③错误； 若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，相当于sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上落在直线y ax =的上方，落在直线y bx =的下方，结合图形，可知a 的最大值为连接(0,0),(,1)2π的直线的斜率，即2π，b 的最小值为曲线sin y x =在(0,0)处的切线的斜率，即0'|1x y ==，所以④正确；故正确答案为：①②④.【点睛】方法点睛：该题属于选择性填空题，解决此类问题的方法：（1）利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性；（2）利用导数研究函数的单调性，从而求得其值域；（3）转化不等式，构造新函数，求导解决问题；（4）数形结合，找出范围.15．【分析】由对恒成立可知只要小于的最小值所以构造函数利用导数求出从而得然后利用区间长度比求出概率即可【详解】设则当时；当时在递减在递增∴∴当时对恒成立故所求概率为故答案为：【点睛】此题考查的是几何概型解析：13【分析】 由x e a x >对()0,x ∈+∞恒成立，可知只要a 小于x e x的最小值，所以构造函数()xe f x x=，利用导数求出()()min 1f x f e ==，从而得()0,a e ∈，然后利用区间长度比求出概率即可.【详解】设()x e f x x =，则()()'21x e x f x x -=，0x >.当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >，()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增∴()()min 1f x f e ==，∴当a e <时，xe a x>对()0,x ∈+∞恒成立.故所求概率为1303e e =-. 故答案为：13【点睛】此题考查的是几何概型，不等式恒成立问题，属于基础题. 16．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解.【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-. 由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x x x+-'==. 由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. 于是()()()min min ln 1ln 022a a f x g x g a a '===-=-≥，所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e .故答案为：(]0,e【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.17．【分析】由条件转化为换元令由导数确定函数的值域即可求解【详解】设且设那么恒成立所以是单调递减函数当时当时函数单调递增当函数单调递减所以在时取得最大值即解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研 解析：(),0-∞【分析】 由条件转化为11ln y y m x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，换元0y t x=>，令()()1ln g t t t =-，由导数确定函数的值域即可求解.【详解】()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y y m x x x --⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ 设0y t x =>且1t ≠， 设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t'=-+-⋅=-+-， ()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立， 所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增，当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减，所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m <， 解得：0m <，故答案为：(),0-∞【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题. 18．【分析】直接求导再判断函数单调性进而求出极值即可【详解】因为令解得或当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增所以极大值极小值则故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值以及求法考查分析问题【分析】直接求导，再判断函数单调性，进而求出极值即可．【详解】因为()sin (0)f x x x π'=-<<，令()0f x '=，解得3x π=或23x π=， 当(0,)3x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(,)33x π2π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(,)3x ππ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以极大值()cos 333M f πππ==+=极小值222()cos 333N f πππ==+=则M N +==，． 【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19．【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性得到在R 上恒成立再利用导数分析解答即得解【详解】因为当时有不等式成立所以令所以函数g(x)在（0+∞）上单调递增由题得所以函数g(x)是奇函数所以函数在R解析：2【分析】令2()(),g x x f x =先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到e x ax >在R 上恒成立，再利用导数分析解答即得解.【详解】因为当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立， 所以()()22+20,[()]0x f x xf x x f x ''>∴>， 令2()(),g x x f x =所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，由题得22()()()g(x),g x x f x x f x -=-=-=-所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R 上单调递增.因为对x R ∀∈，不等式()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，所以()()222,()()e x x x x e f e a x f ax g e g ax ax >∴>∴>，， 因为a >0,所以当x≤0时，显然成立.当x ＞0时，()(0)xe a h x x x<=>， 所以2(1)()xx e h x x-'=，所以函数h (x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以min ()(1)h x h e ==，所以a ＜e,所以正整数a 的最大值为2.故答案为2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.20．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力解析：3【分析】求导数，取导数为0，计算x =.【详解】函数31()3f x x ax =-的极大值为 2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=当x =(f =所以3a =故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.三、解答题21．（1）单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，然后分别令0f x 和0f x ，解不等式可求出函数的单调区间；（2）22()2ln 11ln 12222x x f x x x x x e x e x--+-<⇔+-<，即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<和()3()221x h x e x x =-++，利用导数分别求出()()11g x g <=，()1h x >，从而可得结论【详解】（1）当1a =时，2()1ln f x x x x =++-，定义域为(0,)+∞， ∴1(1)(21)()12x x f x x x x --+'=+-=， 令0f x ，得01x <<；令0f x ，得1x >，∴()f x 的单调递增区间为(]0,1，单调递减区间为[1,)+∞．（2）当0a =时，()1ln f x x =+， ∴22()2ln 11ln 12222x x f x x x x x e x e x--+-<⇔+-<， 即()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，令()(1ln )(01)g x x x x =-<<，∴()ln 0g x x '=->，∴()g x 在0,1上单调递增，∴()()11g x g <=．令()3()221x h x e x x =-++（01x <<），∴()32()2623x h x e x x x '=--++， 令32()2623x x x x ϕ=--++，∴2()6122x x x ϕ'=--+在0,1上递减，又(0)20ϕ'=>，(1)160ϕ'=-<，∴0(0,1)x ∃∈使()00x ϕ'=，且()00,x x ∈时，()0x ϕ'>，()ϕx 递增， ()0,1x x ∈时，()0x ϕ'<，()ϕx 递减，而(0)30ϕ=>，(1)30ϕ=-<，∴1(0,1)x ∃∈使()10x ϕ=，即()10h x '=，()10,x x ∈时()0h x '>，()h x 单调递增，()1,1x x ∈时()0h x '<，()h x 单调递减， 而(0)1h =，(1)h e =，∴()1h x >恒成立，∴()()g x h x <，即()3(1ln )221(01)x x x ex x x -<-++<<， 即2()2ln 122x f x x x e x-+-<． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，第2问解题的关键是把2()2ln 122x f x x x e x-+-<等价转化为()3(1ln )221(01)x x x e x x x -<-++<<，然后构造函数()(1ln )(01)g x x x x =-<<，()3()221x h x e x x =-++，分别求出两个函数的最值即可，考查数学转化思想，属于中档题22．（1）()110e x y ---=；（2）01a ≤≤.【分析】（1）设切点坐标，求出导数及切线方程，把()0,1-代入切线方程可得0x ，然后再求出切线方程；（2）求出导函数，对a 进行讨论并判断函数的单调性，利用函数的最小值可得答案.【详解】（1）当1a =时，点()0,1-不在函数图象上，()1xf x e '=-， 设切点为()000, x x e ax a --，则切线方程为()()()0000x y e ax a f x x x '---=-， 因为过点()0,1-，所以0000()111x xe x e x --++=--， 解得01x =，因此所求的直线方程为()110e x y ---=.（2）()x f x e a '=-，当0a ≤时，()'0f x >，所以在R 上单调递增，其中0a =，()0xf x e =>，符合题意， 当0a <时，取110a x a-=<，()1110x f x e =-<，不符合题意； 当0a >时，()()n 0,,l x a f x '∈-∞<，所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减，()()ln ,,0x a f x '∈+∞>，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，所以()()ln f x f a ≥，要使()0f x ≥，只需()ln 0f a ≥，()ln ln ln 0a f a e a a a =--≥，解得01a <≤；综上所述，01a ≤≤.【点睛】本题考查求函数过一点的切线方程和求参数问题，对于求切线的问题时需要讨论此点是否是切点；对于求参数问题，有时可采用对原函数进行求导讨论其单调性和最值方法求解，也可以采用对参数实行分离的方法，构造新函数并求新函数的值域可得解.23．（1）()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）(][),11,-∞-+∞.【分析】（1）先求导并解得()0f x '=的根，再判断根附近导数值的正负，即得单调性；（2）先判断极小值即最小值，再结合()210f a =>可知()min 0f x ≤，解不等式即得结果.【详解】解：（1）()()21x f x x a e '=-+，定义域为R ， 由()0f x '=，得21x a =-，当21x a <-时，()0f x '<；当21x a >-时，()0f x '>，故()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增； （2）由（1）知()f x 在21x a =-处取得极小值，也是最小值，则()()221min 11a f x f a e -=-=-，因为()f x 存在零点，且()210f a =>，故只需()21min 10a f x e -=-≤，即2101a e e -≥=，故210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）3211()8333f x x x x -=++；（2）极大值为(2)7f =，无极小值；最小值为1(0)3f =. 【分析】（1）求出导数，根据题意有(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩，解出,a b 代入解析式即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，判定函数在区间[]0,3上的单调性，根据极值定义求出函数的极值，比较端点函数值即可解出最小值.【详解】解：（1）函数()f x 求导得2()2f x x ax b '=++因为函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值 所以(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩解得38a b =-⎧⎨=⎩所以函数()f x 的解析式为3211()8333f x x x x -=++ （2）由（1）可知2()68(2)(4)f x x x x x '=-+=--所以当2x <或4x >时，()0,()f x f x '>单调递增;当24x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，则函数()f x 在[]0,3上有极大值为(2)7f =，无极小值 又因为119(0),(3),33f f == 所以(0)(3)f f < 则函数()f x 在[]0,3上的最小值为1(0)3f =. 【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值.25．（1）322ln 20x y ---=；（2）(22,e e ⎤⎦． 【分析】（1）求出导函数，令()3f x '=求得切点坐标后可得切线方程；（2）求导函数()'f x ，确定()f x 在定义域内只有一个极值点，因此这个极值点必在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上，然后得函数在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，由极小值小于0，区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论．【详解】由已知函数()f x 定义域是(0,)+∞，（1）2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x'+-=-=，由2()23f x x x'=-=解得2x =（12x =-舍去）， 又()422ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)3(2)y x --=-，即322ln 20x y ---=；（2）222()2x x a x a f x x x x x⎛ -⎝⎭⎝⎭'=-==， 易知()f x()f x有两个零点，则1e e <<，即2222a e e<<，此时在1e ⎛ ⎝上()0f x '<，()f x递减，在e ⎫⎪⎪⎭上()0f x '>，()f x 递增， ()f x在x =2a f a =-，所以22111ln 0()ln 002f a e e e f e e a e a f a ⎧⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎨⎪⎪=-<⎪⎩解得22e a e <≤．综上a 的范围是(22,e e ⎤⎦． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题．函数在某个区间上的零点，解题时先从大处入手，由导数确定函数的极值点，利用单调区间上的零点最多只有一个，因此函数的极值点必在给定区间内，从而缩小参数的a 范围，在此范围内计算()f x 的单调性与极值，结合零点存在定理可得结论．26．（1）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（1）函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点，等价于ln x a x =在(0,)+∞上有两个不同的实根，记ln ()x g x x=，对函数求导判断单调性，可得实数a 的取值范围； （2）（i ）将()1212,x x x x <代入方程并参变分离，利用分析法可知，需证明111ln 20x x x e -+>，构造()ln 2,(1,)h x x x x e x e =-+∈，求导判断单调性与最值即可证明不等式成立；（ii ）设()()()21ln 11x x x x x ϕ-=->+，对函数求导判断单调性可得：()()21ln 011x x x x ->>>+，由1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式作差可得2121ln x x a x x =-，利用证得的不等式进行放缩，可得不等式成立．【详解】（1）函数()ln f x x ax =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，变量分离得ln x a x=在(0,)+∞上有两个不同的实根，记ln ()x g x x =，则21ln ()x g x x -'= 当(0,)x e ∈时，()0,()'>g x g x 单调递增； 当(,)x e ∈+∞时，()0,()g x g x '<单调递减.且0x →时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x → 故10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）（i ）因为12,x x 是ln x ax =的两根，由（1）可知121x e x <<<，且1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩(只涉及变量1x ，故只用11ln x ax =)，所以11ln x a x =要证211111111120ln 20x ax ax x e x x x e a<⇔->⇔-+>⇔-+> 构造函数()ln 2,(1,)h x x x x e x e =-+∈，则()ln 10h x x '=-<，()h x 在()1,e 上递减 所以()()0>=h x h e ，原不等式成立.（ii ）解析1：放缩设()()()21ln 11x x x x x ϕ-=->+，则()()()()222114011x x x x x x ϕ-'=-=>++恒成立， ()x ϕ∴在()1,+∞单调递增，()()10x ϕϕ>=，即()()21ln 011x x x x ->>>+ 由1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，可得221211221212112121ln ln ln 121x x x x x x a x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==>⋅=---++，从而212x x a >-，则21112x x x a ->->212x x ->>11ae a ⇔>⇔<，证毕! 解析2：对数平均不等式 由对数平均不等式2112211ln ln 2x x x x a x x -+=<-，所以122x x a+>，由（i）可知1x <，所以212x x a >->21x x -=，即212x x -=，只需证：a > 下同解法1.【点睛】方法点睛：本题考查导数研究函数的单调性与零点问题，考查导数证明不等式，设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则：1.若()0f x '>，则()y f x =在[],a b 上单调递增；2.若()0f x '<，则()y f x =在[],a b 上单调递减．。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)(5)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)(5)

一、选择题1．已知α，β∈R ，则“0αβ+<”是“sin sin αβαβ+<+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分必要条件2．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3323．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e4．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ） A ．(2020)(2021)f ef > B ．(2020)(2021)f ef < C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <6．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞ B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e7．已知函数321()13f x x ax x =+++在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞-B ．55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．55,34⎛⎫--⎪⎝⎭8．已知定义域为R 的函数 f x （） 的导函数为'f x （） ，且满足'24f x f x （）﹣（）＞ ，若 01f =（）﹣ ，则不等式22x f x e +（）＞ 的解集为（ ）A ．∞（0，+）B ．1+∞（﹣，）C ．0∞（﹣，）D ．1（﹣，﹣）∞ 9．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 10．函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．[)2,+∞11．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()03xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(0,2)(2,)⋃+∞12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞二、填空题13．已知a R ∈，对于任意的实数[]1,2x ∈，不等式()110x x e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是________________.14．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()()()x f x e x b b R =-∈．若存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是____．16．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是______.17．已知a R ∈，设函数232,1()1,1x x a x f x x a nx x ⎧-+=⎨->⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在R上恒成立，则a 的取值范围是_________.18．已知函数()()ln ,11,1x x x f x x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()()2g x f x f x a =--⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数a 的取值范围是______.19．函数31()3f x x ax =-的极大值为a =__________． 20．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()ln ()=+∈f x x x ax a R ． （Ⅰ）当0a =，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()()ln g x f x x =+在区间[1,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； 22．已知函数()21x f x ae x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 23．已知函数()()21xf x x ae=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围.24．已知函数())ln f x a x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在[1,4]上的最小值． 25．已知函数()ln af x x x x=--. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若()2f x x x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数21()ln (1)12f x a x x a x =+-++. （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，再判断选项. 【详解】构造函数()sin x x x f -=，()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()f x ∴是单调递增函数，0αβ+<，即αβ<-，()()f f αβ∴<-，即()()sin sin ααββ-<---，即sin sin αβαβ+<+，反过来，若sin sin αβαβ+<+，即()()sin sin ααββ-<---，αβ∴<-，即0αβ+<.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过条件观察后构造函数()sin x x x f -=，通过判断函数的单调性，比较大小.2．C解析：C 【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可. 【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06ax <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max 2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．3．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥，①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．4．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 6．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.7．B解析：B 【分析】求导得到2()21'=++f x x ax ，然后根据()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，由(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩求解.【详解】 已知函数321()13f x x ax x =+++， 则2()21'=++f x x ax ，因为()f x 在(,0)-∞，(3,)+∞上为增函数，在()1,2上为减函数，所以(0)0(1)0(2)0(3)0f f f f ''≥⎧⎪≤⎪⎨''≤⎪⎪≥⎩，即10121044109610a a a ≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪++≥⎩，解得 5534a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围为55,34⎡⎤--⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 设()()22xf x F x e +=，则()()()224xf x f x F x e '--'=，∵f (x )−2f ′(x )−4>0，∴F ′(x )>0,即函数F (x )在定义域上单调递增， ∵f (0)=−1,∴F (0)=1，∴不等式f(x)+2>e2x等价为不等式()221e xf x+>等价为F(x)>F(0)，解得x>0，故不等式的解集为(0,+∞)，本题选择A选项.9．D解析：D【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x+=-，2324log logx x-=，化简结论得32312xx-，311,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x xx=-，11,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可．【详解】已知函数图象如下：方程()f x a=有四个不同的解1x，2x，3x，4x，且1234x x x x<<<，则122x x+=-，2324log logx x-=，所以341x x⋅=，且311,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以234322312311()2x x xx x x x⋅=+⋅+-，令21()2f x xx=-，11,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则31()1f xx=+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0，故()f x在11,42x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，所以313(),42f x⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故选:D．【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．10．B解析：B 【分析】由题意得出()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，由此得出()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，进而可求得实数k 的取值范围. 【详解】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】通过令3()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令3()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ， 当0x >时，()3()0xf x f x '+>，∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数， f ∴（2）0=，g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减， ∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，故选C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12．D解析：D 【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】当时证明出由题意可得出可得出结合函数的单调性可求得实数的取值范围【详解】当时先证明出构造函数则则函数在区间上单调递增所以所以函数在区间上单调递增当时所以由可得所以当时即令则所以函数在区间上单解析：11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】当[]1,2x ∈时，证明出11xx e x e +>-，由题意可得出11xxx a e e-≤≤+，可得出()max min11xx x a e e ⎛⎫-≤≤+⎪⎝⎭，结合函数的单调性可求得实数a 的取值范围. 【详解】当[]1,2x ∈时，先证明出11xx e x e +>-，构造函数()11xxf x e x e =+-+， 则()11xx f x e e'=--，则函数()f x '在区间[]1,2上单调递增， 所以，()()1110f x f e e''≥=-->，所以，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增，当[]1,2x ∈时，()()110f x f e e ≥=+>，所以，11x x e x e+>-. 由()110x x e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝⎭，可得11xx x a e e -≤≤+，所以，()max min11xx x a e e ⎛⎫-≤≤+⎪⎝⎭. 当[]1,2x ∈时，011x ≤-≤，即()max 11x -=， 令()1xx g x e e =+，则()10xxg x e e'=->，所以，函数()g x 在区间[]1,2上单调递增， 当[]1,2x ∈时，()()min 11g x g e e ==+，所以，11a e e≤≤+. 因此，实数a 的取值范围是11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦. 故答案为：11,e e⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.14．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内，不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.15．【详解】解答：∵f(x)=ex (x−b)∴f′(x)=ex(x−b+1)若存在x ∈2使得f(x)+xf′(x)>0则若存在x ∈2使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0即存在x ∈2使得b<成立令解析：83b <【详解】 解答： ∵f(x)=e x (x−b)， ∴f′(x)=e x (x−b+1)， 若存在x ∈[12,2],使得f(x)+xf′(x)>0， 则若存在x ∈[12,2],使得e x (x−b )+xe x (x−b+1)>0， 即存在x ∈[12,2],使得b<221x x x ++ 成立， 令()221,,212x x g x x x +⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦，则()()222201x x g x x ++'=>+ ，g(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，∴g(x)最大值=g(2)=83， 则实数b 的取值范围是83b <16．【分析】由解析式可分析得到的一个周期为则只需考虑在上的值域即可利用导函数求得其最值即可【详解】由题的一个周期为故只需考虑在上的值域令解得或可得此时或或所以的最小值只能在点或或和边界点中取到因为所以的解析： 【分析】由解析式可分析得到()f x 的一个周期为2T π=,则只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域即可,利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题,()f x 的一个周期为2T π=, 故只需考虑()f x 在[)0,2π上的值域,()()()()22sin 2cos 22sin 212sin 22sin 1sin 1f x x x x x x x '=-+=-+-=--+,令()0f x '=,解得1sin 2x =或sin 1x =-, 可得此时6x π=或56π或π, 所以()2cos sin 2f x x x =+的最小值只能在点6x π=或56π或π和边界点0x =中取到,因为62f π⎛⎫=⎪⎝⎭,562f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2f π=-,()02f =,所以()f x 的最小值为故答案为:【点睛】本题考查导数的运算,考查利用导函数求最值,考查运算能力.17．【分析】根据分段函数当时将恒成立转化为恒成立令利用二次函数的性质求得其最大值当时将转化为恒成立令用导数法求得其最小值然后两种情况取交集【详解】当时等价于恒成立令其中则所以当时等价于恒成立令则当时递增 解析：[]1,e【分析】根据分段函数，当1x ≤时，将()2320f x x x a =-+≥恒成立，转化为232x x a -恒成立，令23()2x x g x -=，利用二次函数的性质求得其最大值，当1x >时，将()ln 0f x x a x =-≥，转化为1xanx 恒成立，令()ln x h x x=，用导数法求得其最小值，然后两种情况取交集. 【详解】当1x ≤时，()2320f x x x a =-+≥等价于232x x a -恒成立，令()22231139()322228x x g x x x x -⎛⎫==--=--+ ⎪⎝⎭，其中1x ≤，则()max 1g x =， 所以1a ≥，当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥等价于1xanx恒成立， 令()ln xh x x=，则221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -⋅-'==， 当x e >时，()()0,h x h x '>递增， 当1x e <<时，()()0,h x h x '<递减， ∴x e =时，()h x 取得最小值()h e e =， ∴()min a h x e ≤=， 综上：a 的取值范围是[]1,e . 故答案为：[]1,e . 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，函数的最值与导数以及导数与不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示：解析：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当1x <时，()()1xf x x e =-，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由1≥x 时，()ln f x x =，作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，将问题转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且12,(0,1)t t ∈即()()12,f x t f x t ==各有3个根求解.【详解】当1x <时，()()1xf x x e =-，所以()xf x xe '=-，当0x <时，()0f x '>，()f x 递增，当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 所以当0x =时， ()f x 取得最大值1， 又当1≥x 时，()ln f x x =， 所以()f x 的大致图象如图所示：令()f x t =，则转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ， 且()()2121,(0,1),,t f x t f t x t ==∈各有3个根， 方程20t t a --=在(0,1)有两个不同的解，设2()g t t t a =--，所以(0)0140(1)0g a a g a =->⎧⎪∆=+>⎨⎪=->⎩，解得104a -<<.故答案为：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.19．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力解析：3 【分析】求导数，取导数为0，计算x =. 【详解】函数31()3f x x ax =-的极大值为 2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=当x =(f =所以3a = 故答案为3 【点睛】本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x-≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥. 故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）11()f e e=-；（2）2a ≥- 【分析】（1）对函数求导，令'()ln 1=0=+f x x ，讨论函数的单调性即可求出结果.（2）由()g x 在区间[1,)+∞单调递增，可得'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数可得：1ln (1)+≥-+x a x ，构造函数即可求出结果. 【详解】（1）()ln 1,'()ln 1=+=+f x x x f x x 令'()ln 1=0=+f x x ，解得1=x e当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：所以min ()()f x f ee ==-（2）1'()ln 1=+++g x x a x， ()g x 在区间[1,)+∞单调递增，所以'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，即1ln (1)+≥-+x a x在[1,)+∞恒成立 设221111()ln ,'()0-=+∴=-=>x h x x h x x x x x1()ln ∴=+h x x x[1,)+∞单调递增，min ()=(1)=1h x h 只需1(1)≥-+a 即可，解得2a ≥-【点睛】方法点睛：()g x 在区间[1,)+∞单调递增'()0⇔≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数，构造函数是常用方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.. 22．（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2xf x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=得2ln x a=. 若2,ln x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21xg x ae x x x =+-+设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++-()2221(1)(1)11()xx ae x ae x h x x x x x +--'=+-=因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增. 所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-.若1a e=时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240ee h e a e e e---=-+->->，()22221220e e h e a e e=++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <；所以函数()h x 在()21,e -和()21,e各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点.综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e>时，函数()g x 无零点； 当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()ag x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.23．（1）()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）(][),11,-∞-+∞.【分析】（1）先求导并解得()0f x '=的根，再判断根附近导数值的正负，即得单调性； （2）先判断极小值即最小值，再结合()210f a =>可知()min0f x ≤，解不等式即得结果. 【详解】解：（1）()()21xf x x a e '=-+，定义域为R ，由()0f x '=，得21x a =-，当21x a <-时，()0f x '<；当21x a >-时，()0f x '>， 故()f x 在()2,1a -∞-上单调递减，在()21,a -+∞上单调递增；（2）由（1）知()f x 在21x a =-处取得极小值，也是最小值， 则()()221min 11a f x f a e-=-=-，因为()f x 存在零点，且()210f a =>，故只需()21min 10af x e -=-≤，即2101ae e -≥=，故210a -≥，解得1a ≤-或1a ≥，所以a 的取值范围为(][),11,-∞-+∞.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.24．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩. 【分析】 （1）当1a =-时，2()2f x x '=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）()f x '=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =-时，12()2f x x x-'=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞；当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4).（2）()a f x x '== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减，此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f ==当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--． 综上所述：min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得2()2a f x x '=，进而分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.25．（1）极小值为3ln 2-，无极大值；（2）(],1-∞.【分析】（1）对函数求导，因式分解求得()0f x '=的根，列表判断单调性与极值；（2）将()2f x x x >-转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，令新的函数()g x ，然后求导以及二次求导以后判断单调性与极值，求出()g x 的最小值即可.【详解】解：（1） 由2a =-，得()2ln f x x x x=+-，定义域为()0,∞+， ()()()2222212121x x x x f x x x x x -+--'=--==， 令()0f x '=，得2x =（或1x =-舍去），列表：所以f x 的极小值为23ln 2=-f ，无极大值.（2）由2ln a x x x x x -->-，得2ln a x x x<-， 问题转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，记()()3ln ,1,g x x x x x =-∈+∞，即min ()a g x <在()1,+∞上恒成立，则()()2231ln 3ln 1g x x x x x '=-+=--， 令()23ln 1h x x x =--，则()21616x h x x x x -'=-=， 由1x >，知2610x ->，即()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，()()120h x h >=>，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=，由()a g x <在()1,+∞上恒成立，所以1a ≤.【点睛】方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．26．（I ）1y x =-；（Ⅱ）1a <.【分析】（Ⅰ）当0a =时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，2(1)()10a x a x a f x x a x x'-++=+--==时，11x =和2x a =，并讨论a 与0,1的大小关系，求实数a 的取值范围.【详解】 （I ）当0a =时，21()12f x x x =-+. 所以()1f x x '=-， 所以(2)1k f '==， 因为21(2)22112f =⨯-+=. 所以切线方程为1y x =-. （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为21()ln (1)12f x a x x a x =+-++ 所以2(1)()1a x a x a f x x a x x'-++=+--=. 令()0f x '=，即2(1)0x a x a -++=，解得1x =或x a =.（1）当0a 时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以当时，取得极小值所以0a 成立.（2）当01a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以01a <<成立.（3）当1a =时，()0f x '在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有板小值，不成立.（4）当1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以1a >不成立.综上所述，1a <.【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求a 的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a ，但需讨论a 的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(含答案解析)

一、选择题1．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定2．已知函数2()sin f x x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则下列式子成立的是（ ） A ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e4．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数k 的最大值是（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．25．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f6．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2- 0 4()f x11-1A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B ．132-C ．132+D ．238．已知对任意实数x 都有()()2xf x f x e '-=，()01f =-，若()()1f x k x >-恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．323,42e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()121,4eD ．()321,4e9．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ） A ．[13]B ．[1，)+∞C ．(13]D ．(1,)+∞10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+11．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞D ．211(2,]22e --- 12．已知函数()ln f x ax x =-，若()0f x ≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．1[,)e+∞C ．[1,)+∞D ．[),e +∞二、填空题13．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对于任意的x ，1()2f x '<恒成立，则不等式()22lg 1lg 22x f x <+的解集为________.14．已知函数2()ln 3mf x x x x x=+-+．若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则实数m 的最小值为________．15．已知函数()()()x f x e x b b R =-∈．若存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是____．16．函数2()ln f x x ax x =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是_____． 17．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．18．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________19．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 20．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()()22646x x e f x x x -=++.（1）求函数()f x 的单调区间，并求()f x 的最值； （2）已知[)0,1a ∈，()()()2322202x e a x x g x x x-++=>.①证明：()g x 有最小值；②设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 22．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<． 23．已知函数()(0)xaxf x a e =≠． （1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值；（2）求函数()f x 的单调区间． 24．已知函数2()ln (0)f x x a x a =->.（1）若2a =，求曲线()y f x =的斜率等于3的切线方程；（2）若()y f x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，求a 的取值范围.25．已知函数()ln f x kx x =-（k ∈R ）.（1）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数. 26．已知函数32113f xx ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.2．B解析：B 【分析】由奇偶性的定义得到函数()f x 为偶函数，求导数得到函数()f x 在(0,)2π上为增函数，则函数在(,0)2π-上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．【详解】函数2()sin f x x x x =+， 22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，定义域关于原点对称，且()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=-+--=+=．所以函数()f x 为偶函数，所以()()11f f -= 又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>． ()f x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，则()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数．13π1222<<<，所以()13122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()13122f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，解答本题的关键是先得出函数为偶函数，再由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>利用单数判断出单调性，属于中档题.3．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.4．B解析：B 【分析】首先代入函数，变形为1221ln1x kx x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】 设12x x >，因为()()()()2221212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12212lnx kx x x x >-， 等价于1221ln1x k x x x >-，因为120x x >>，令12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.当1t >时1()ln 10g t t t'=+->恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0.故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12212lnx kx x x x >-，并进一步变形为1221ln1x k x x x >-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.5．A解析：A 【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A . 【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.6．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<， 可得：3322a -<<，故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.7．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =--- 则函数y在单调递减，在单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由导数的运算求出()f x ，然后用分离参数法得出1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-，再设(21)()1x e x h x x -=-，求出()h x 在1x >时最小值，在1x <时的最大值，从而可得k 的范围． 【详解】因为()()2xf x f x e '-=，所以()()2x f x f x e '-=，即()2x f x e '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以()2x f x x c e =+（c 为常数），()(2)x f x e x c =+，由(0)1f c ==-，()(21)x f x e x =-，不等式()()1f x k x >-为(21)(1)xe x k x ->-，1x =时，不等式为0e >，成立，1x >时，(21)1x e x k x -<-，1x <时，(21)1x e x k x ->-， 设(21)()1x e x h x x -=-，则2(23)()(1)x xe x h x x -'=-， 当312x <<或01x <<时，()0h x '<，当32x >或0x <时，()0h x '>，所以()h x 在(0,1)和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和(,0)-∞上是增函数，1x >时，()h x 在32x =时取得极小值也最小值32342h e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由(21)1x e x k x -<-恒成立得324k e <，1x <时，()h x 在0x =时取得极大值也是最大值(0)1h =，由(21)1xe x k x ->-恒成立得1k >，综上有3214k e <<． 故选：D ． 【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用．9．A解析：A 【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解 【详解】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.10．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.11．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a ⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，设()ln g xx x=，求出()g x 的导数，进而求出其最大值，得到答案. 【详解】 ()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x=，则()21ln 'xg x x -=由()21ln '0x g x x -=>，则0x e <<，由()21ln '0xg x x-=<，则x e > 所以()g x 在()0e ，上单调递增，在()+∞e ，上单调递减.当x e =时， ()g x 有最大值()1g e e= 所以1a e≥ 故选：B 【点睛】本题考查恒成立求参数问题，考查分离参数法的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】由构造单调递减函数利用其单调性求解【详解】设则是上的减函数且不等式即为所以得解得或原不等式的解集为故答案为:【点睛】利用导数研究函数的单调性构造函数比较大小属于难题联系已知条件和结论构造辅助解析：10,10,10.【分析】 由()12f x '<，构造单调递减函数()()12h x f x x =-，利用其单调性求解.【详解】()()11,022f x f x <∴-''<，设()()12h x f x x =-， 则()()102h x f x ''=-<， ()h x ∴是R 上的减函数，且()()111111222h f =-=-=， 不等式()22lg 1lg 22x f x <+，即为()22lg 1lg 22x f x -<，所以()()2lg 1h x h <，得2lg 1x >，解得10x >或110x， ∴原不等式的解集为10,10,10.故答案为:10,10,10.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题，联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.14．6【分析】求导函数令恒成立变量分离转化为求新函数的最大值【详解】可得令若函数在上单调递减即当时单调增所以函数在上单调递增所以故答案为:6【点睛】关键点睛：变量分离转化为不等式恒成立问题进而求又一函数解析：6 【分析】求导函数()f x '，令()0f x '≤恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】21()23mf x x x x'=+--，()0f x '≤，可得3223m x x x ≥-+， 令()3223g x x x x =-+，若函数()f x 在[1,2]上单调递减，即()max m g x ≥ 当[1,2]x ∈时，()2661g x x x '=-+单调增，()()266110g x x x g ''=-+≥>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增()()max 26g x g ==，所以6m ≥.故答案为:6 【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.15．【详解】解答：∵f(x)=ex(x−b)∴f′(x)=ex(x−b+1)若存在x ∈2使得f(x)+xf′(x)>0则若存在x ∈2使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0即存在x ∈2使得b<成立令解析：83b <【详解】 解答： ∵f(x)=e x (x−b)， ∴f′(x)=e x (x−b+1)， 若存在x ∈[12,2],使得f(x)+xf′(x)>0， 则若存在x ∈[12,2],使得e x (x−b)+xe x (x−b+1)>0， 即存在x ∈[12,2],使得b<221x x x ++ 成立，令()221,,212x x g x x x +⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦， 则()()222201x x g x x ++'=>+ ，g(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，∴g(x)最大值=g(2)=83， 则实数b 的取值范围是83b <16．【分析】求得函数的导函数根据在区间上有极值求得的取值范围【详解】令得由于分离常数得构造函数所以在上递减在上递增下证：构造函数当时①而即所以所以由①可得所以当时单调递增由于所以当时故也即由于所以所以的 解析：4(2,)ln 21+ 【分析】求得函数()f x 的导函数()'f x ，根据()f x 在区间2(,2)e上有极值，求得a 的取值范围. 【详解】()()'21ln 2ln f x x a x x a x a =-+=--，令'0f x得2ln 0x a x a --=，由于222,ln ln ln 2,ln 2ln 1ln 2x x x e e e<<<<<+<， 分离常数a 得21ln xa x=+.构造函数()21ln x h x x =+，()()'22ln 1ln x h x x =+，所以()h x 在2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln 2ln 2ln 21ln 21ln eeh h h e e e e⎛⎫======⎪+⎝⎭+. 下证22e e >：构造函数()22xg x x =-，()'2ln 22xg x =-，当2x ≥时，22ln 222ln 22x -≥-①，而1ln 2ln 2e =<=<，即1ln 212<<，所以222ln 24<<，所以由①可得22ln 222ln 220x -≥->.所以当2x ≥时，()g x 单调递增.由于()20g =，所以当2x >时，()()20g x g >=，故()0g e >，也即22022e e e e ->⇒>.由于()22ln 2ln 2eee e >⇒>，所以()22h h e ⎛⎫<⎪⎝⎭. 所以a 的取值范围是4(2,)ln 21+ 故答案为：4(2,)ln 21+ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.17．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值解析：49 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可． 【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增， 则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'， 故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线， 故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.18．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()xg x f x e =，则()()xg x f x e --=-，因为2()()0xf x ef x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()x x xg x f x e f x e f x f x e '''=+=+，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增； 又不等式21()(1)x f x ef x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-，所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.19．【分析】求出函数的导数问题转化为在区间恒成立求出的范围即可【详解】若函数区间上为减函数则在区间恒成立即因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性函数的单调性的性质属于中档题解析：(],1-∞【分析】求出函数的导数，问题转化为10a x-在区间(0,1)恒成立，求出a 的范围即可． 【详解】()f x ax lnx =-，(0)x >， 1()f x a x∴'=-，若函数()f x ax lnx =-区间(0,1)上为减函数， 则10a x-在区间(0,1)恒成立， 即1()min a x ，因为(0,1)x ∈， 所以min11x ⎛⎫>⎪⎝⎭， 所以1a ≤.故答案为：(-∞，1]． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，最小值为1-，无最大值；（2）①证明见解析；②31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，.【分析】（1）对()f x 求导，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<可得单调递减区间，比较极值即可得最值； 【详解】（1）()f x 的定义域为R()()()()()()()2322222446262424646x x xx e x x x e x x e f x xx xx ⎡⎤-++--+⎣⎦==++++'当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减， 当()0,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，()()min 01f x f ==-，()f x 最小值为()()min 01f x f ==-，无最大值.（2）①()()()()()()()22244242646464626=22462x x x e a x x x x x x x e g a f x a x x x x x x -+++++++⎡⎤-==++⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦'令()()x f x a ϕ=+，()0,+x ∈∞ ，由（1）知，()x ϕ单调递增，()010a ϕ=-<，()30a ϕ=≥所以存在唯一的(]00,3x ∈，使得()00x ϕ=，即()0020026046xx e a x x -+=++当00x x <<时，()0x ϕ<，()g x 单调递减； 当0x x >时，()0x ϕ>，()g x 单调递增 故()()()00200min 032000222246x x e a x x e g x g x x x x -++===++， 所以()g x 有最小值得证②令()020046x e h a x x =++，()00,3x ∈，()()22222204646xxx x e e x x x x '++⎡⎤=>⎢⎥++⎣⎦++，所以()h a 单增， 所以，由()00,3x ∈，得()0033222001= < =6040646343627x e e e e h a x x =≤+⨯++++⨯+因为246xe x x ++单调递增，对任意31627e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，存在唯一的()00,3x ∈，()[)00,1a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，综上：当[)0, 1a ∈，函数()g x 最小值为()h a ，函数()h a 的值域为31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ；（Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==， 因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e-=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-．（Ⅱ）因为1()ln f x x x'=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->， 所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>． 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--． 由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．23．（1）最大值为1e，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，()xxf x e =，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值； （2）对()f x 求导可得()1()xa x f x e-'=，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间. 【详解】（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x xx x e xe xf x e e--'==．令()0f x '=，得1x =．当01x ≤<时，()0f x '>；当12x <≤时，()0f x '<．所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减，所以当1x =时，()f x 取最大值1(1)f e =． 又因为(0)0f =，22(2)f e =，所以函数()x x f x e =的最大值和最小值分别为1e ，0． （2）因为()1()xa x f x e -'=． 当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >， 此时函数()x x f x e=的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <． 此时函数()x x f x e=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述： 当0a >时，函数()xx f x e =的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，函数()x x f x e=的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞． 【点睛】 方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.24．（1）322ln 20x y ---=；（2）(22,e e ⎤⎦． 【分析】（1）求出导函数，令()3f x '=求得切点坐标后可得切线方程；（2）求导函数()'f x ，确定()f x 在定义域内只有一个极值点，因此这个极值点必在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上，然后得函数在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，由极小值小于0，区间两个端点处函数值大于或等于0可得结论．【详解】由已知函数()f x 定义域是(0,)+∞，（1）2()2ln f x x x =-，22(1)(1)()2x x f x x x x'+-=-=， 由2()23f x x x'=-=解得2x =（12x =-舍去）， 又()422ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)3(2)y x --=-，即322ln 20x y ---=；（2）222()2x x a x a f x x x x x⎛-+ -⎝⎭⎝⎭'=-==， 易知()f x()f x有两个零点，则1e e <<，即2222a e e<<，此时在1e ⎛ ⎝上()0f x '<，()f x递减，在e ⎫⎪⎪⎭上()0f x '>，()f x 递增， ()f x在x =时取得极小值2a f a =-，所以22111ln 0()ln 002f a e e e f e e a e a f a ⎧⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎨⎪⎪=-<⎪⎩解得22e a e <≤．综上a 的范围是(22,e e ⎤⎦． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点问题．函数在某个区间上的零点，解题时先从大处入手，由导数确定函数的极值点，利用单调区间上的零点最多只有一个，因此函数的极值点必在给定区间内，从而缩小参数的a 范围，在此范围内计算()f x 的单调性与极值，结合零点存在定理可得结论．25．（1）函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1；（2）当1k e >时，函数()f x 没有零点；当1k e =或0k ≤时，函数()f x 有1个零点；当1k e<<0时，函数()f x 有2个零点.【分析】（1）由题得()10f '=，进而得1k =，再根据导数求解单调区间即可；（2）根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，进而求解.【详解】解：（1）因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，()1'f x k x =-， 所以()10f '=，即10k -=，求得1k =，所以()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=（0x >）， 令()'0f x >，则1x >；令()'0f x <，则01x <<，∴函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1.（2）函数()f x 的零点个数可等价于函数()ln g x x =与y kx =的交点个数.设()00,P x y 是函数()ln g x x =上的一点，由()ln g x x =得，()1g x x'=， ∴()g x 在点()00,P x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 令0x y ==则0x e =，∴过原点所作的函数()ln g x x =的切线方程为1y x e =， 故由图可知，故当1k e >时，函数()f x 没有零点； 当1k e=或0k ≤时，函数()f x 有1个零点； 当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点. 【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，数形结合即可求解.考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.26．（1）89；（2）存在，12a =. 【分析】（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解. （2）求导()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56求解. 【详解】（1）当1a =时，()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-， 所以()11f '=-，又()113f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113y x -=--， 即3340x y +-=，直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为43， 所以三角形的面积为14482339S =⨯⨯=． （2）()()222f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =．当022a <<，即01a <<时，当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减；当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增．则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12a =， 当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，则()()min 8524136f x f a ==-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56． 【点睛】方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(包含答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(包含答案解析)

一、选择题1．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．22．设函数()ln 2e f x x mx n x =--+.若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm 的最大值为（ ） A ．4e B ．2eC ．eD ．2e3．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ） A ．34B ．16C ．24D ．174．已知函数()ln f x x ax =-，其中[)1+x ∈∞,，若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞B ．1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞5．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B．126-C．12+D ．236．已知函数()()()0ln 10x e x f x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-7．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 8．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+9．函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．[)2,+∞10．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()03xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(0,2)(2,)⋃+∞11．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-12．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题13．函数()y f x =的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间(3)5，内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(3)2-，内单调递减； ③函数()y f x =在区间(22)-，内单调递增； ④当12x =-时，函数()y f x =有极大值；⑤当2x =时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是________． 14．已知一个母线长33___________米.15．若函数()()()()21222xf x a x e ax ax a R ⎡⎤=---+∈⎢⎥⎣⎦在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围是___________.16．如果定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”，给出下列函数：①e 1x y =+ ②()32sin cos y x x x =--③32331y x x x =+++ ④ln ,0,0x x y x x ⎧≠=⎨=⎩以上函数是“H 函数”的所有序号为________.17．设函数f （x ）在R 上存在导数f '（x ），当x ∈（0，+∞）时，f '（x ）＜x .且对任意x ∈R ，有f （x ）=x 2﹣f （﹣x ），若f （1﹣t ）﹣f （t ）12≥-t ，则实数t 的取值范围是_____. 18．已知函数()()ln ,11,1x x x f x x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()()2g x f x f x a =--⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()f x 是定义在区间()0,∞+）上的可导函数，若对()0,x ∀∈+∞()()20xf x f x '+>恒成立，则不等式()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+的解集为______.20．已知函数()()31f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.三、解答题21．已知函数()2ln 2f x x x =-，函数()212g x x a x=--+. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()323f x x ax x m =-++在3x =处取得极值．（1）求实数a 的值；（2）函数()y f x =有三个零点，求m 的取值范围． 23．已知()21ln f x ax x =--（1）当2a =时，求()f x 的单调增区间； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 25．设函数(),02alnxf x x a =->. （1）求()f x 的单调区间;（2）求证:当1,ax e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aaf x e ≤- 26．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-， 整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.2．D解析：D 【分析】 由题意可得ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，根据它们的图象，结合的导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求的最大值. 【详解】由不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立， 即为ln 20e x mx n x --+≤，即ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，由()210eg x x x'=+>， 可得()g x 在()0,∞+上递增，且()0g e =，当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞， 作出()y g x =的图象， 再设()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 可得()h x 表示过,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为2m 的一条射线（不含端点）， 要求nm 的最大值，且满足不等式恒成立，可得2n m的最大值， 由于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上移动， 只需找到合适的0m >，且()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：此时2n e m =，即nm 的最大值为2e . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将问题转化为()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，注意运用转化思想和数形结合思想，考查了导数的应用，求切线的斜率与单调性，考查了运算能力和推理能力.3．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值． 【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下： x()3,2--2-()2,2-2()2,3()f x '+- 0+()f x极大值极小值所以，函数y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34，故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．4．C解析：C 【分析】不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，则maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，运用导数求出函数ln xx在[)1,+∞上的最大值. 【详解】解：当[)1+x ∈∞,时，不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x≥在[)1,+∞上恒成立， 令ln ()xg x x=，则21ln ()x g x x -'=当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<；所以max 1()()g x g e e==，所以1a e ≥故选：C. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-336()(66p p -+=---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在p =处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解. 【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点， 则当0x >时，()()ln 1x ex x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x--=>，则()()()2ln 1ln 1xx e x x e x x g x x -----'=()()()221111xx x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞， 所以[)1,a e ∈-+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.7．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312x x-，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．8．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x x F x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由题意得出()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，由此得出()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，进而可求得实数k 的取值范围. 【详解】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】通过令3()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令3()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ， 当0x >时，()3()0xf x f x '+>，∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数，f ∴（2）0=，g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减， ∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，故选C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．11．B解析：B 【分析】根据条件构造函数2()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解. 【详解】由题意，设2()()g x x f x =，则2'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>， 所以当0x >时，'()0g x >，所以函数2()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >， 根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞， 故选B. 【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.12．C解析：C 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()xxg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13．③⑤【分析】根据导函数图像得出导数正负根据导数正负判定单调区间根据左正右负和左负有正判定极值【详解】解：对于①当时单调递减当时单调递增所以①错；对于②当时单调递增当时单调递减所以②错；对于③当时单调解析：③⑤ 【分析】根据导函数图像得出导数正负，根据导数正负判定单调区间，根据左正右负和左负有正判定极值. 【详解】解：对于①，当(34)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减， 当(4,5)x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增，所以①错；对于②，当1(2)2x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，所以②错； 对于③，当(22)x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增，所以③对； 对于④，当(22)x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增，故当12x =-时()f x 不是极大值，所以④错；对于⑤，当1(2)2x ∈-，时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，时()0f x '<，()f x 单调递减，故2x =时函数()y f x =取得极大值，所以⑤对．故答案为：③⑤. 【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值．14．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h << 圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V h π'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.15．【分析】先通过有根在上求得参数范围再验证其左右的导数符号以保证取得极大值即得结果【详解】依题意在开区间上函数有最大值即说明在上有极大值故在上有根易见导函数的一个根故有根且在上故即故此时有两个根要使为解析：)【分析】先通过()0f x '=有根在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极大值，即得结果. 【详解】依题意，在开区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，函数()f x 有最大值，即说明()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有极大值，故()()()()()()21210x xf x a x e ax a a x e a '⎡⎤=---+=---=⎣⎦在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有根，易见，导函数的一个根11,12x ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭，故0x e a -=有根，且在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上，故10,ln ,12a x a ⎛⎫>=∈⎪⎝⎭，即ln ln ln a e <e a <<， 此时()()()()210xf x a x e a '=---=有两个根，要使ln x a =为极大值点，则需(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，故20a ->，即2a <.综上，a 的取值范围是).故答案为：).【点睛】 易错点点睛：()00f x '=是0x x =为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后必须验证()f x '在0x x =左右的符号，也进而能确定0x x =是极大值点还是极小值点，这是这类题的易错点.16．①②③【分析】根据题意可知H 函数为增函数转化为判断函数在上是否为增函数根据解析式可知①正确；根据导数可知②③正确；根据解析式可知④不正确【详解】因为可化为所以根据题意可知函数为上的增函数即H 函数为增解析：①②③ 【分析】根据题意可知“H 函数”为增函数，转化为判断函数在R 上是否为增函数，根据解析式可知①正确；根据导数可知②③正确；根据解析式可知④不正确. 【详解】因为()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+可化为[]1212()()()0f x f x x x -->， 所以根据题意可知，函数()f x 为R 上的增函数，即“H 函数”为增函数， ①e 1x y =+显然是增函数，故①正确； ②()32sin cos y x x x =--，因为32cos 2sin y x x '=--=3)4x π-+30≥->，所以函数()32sin cos y x x x =--为R 上的增函数，故②正确；③32331y x x x =+++，223633(1)0y x x x '=++=+≥，且只有当1x =-时，y '0=，所以函数32331y x x x =+++为R 上的增函数，故③正确；④ln ,0,0x x y x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >时，ln y x =在(0,)+∞上递增，当0x <时，()ln y x =-在(,0)-∞上递减，所以ln ,0,0x x y x x ⎧≠=⎨=⎩不是R 上的增函数，故④不正确.故答案为：①②③ 【点睛】关键点点睛：转化为判断函数在R 上是否为增函数是解题关键.17．+∞）【分析】构造函数可得即是奇函数由时可得进而根据奇函数及可知在R 上是减函数再根据可得则即可求解【详解】令因为则所以所以是奇函数易知所以因为当时所以所以在上单调递减所以在R 上是减函数所以因为所以即解析：[12，+∞） 【分析】构造函数()()212g x f x x =-,可得()()0g x g x -+=,即()g x 是奇函数,由()0,x ∈+∞时,()f x x '<可得()()0g x f x x ''=-<,进而根据奇函数及()00g =可知()g x 在R 上是减函数,再根据()()112f t f t t --≥-可得()()1g t g t -≥,则1t t -≤,即可求解. 【详解】 令()()212g x f x x =-, 因为()()2f x x f x =--,则()()2f x f x x +-=, 所以()()()()()()22211022g x g x f x x f x x f x f x x -+=--+-=-+-=, 所以()g x 是奇函数,易知()00f =,所以()00g =,因为当()0,x ∈+∞时,()f x x '<,所以()()0g x f x x ''=-<, 所以()g x 在()0,∞+上单调递减,所以()g x 在R 上是减函数, 所以()()()()()()()221111111222g t g t f t t f t t f t f t t --=----+=--+-, 因为()()112f t f t t --≥-,所以()()10g t g t --≥,即()()1g t g t -≥, 所以1t t -≤,即12t ≥, 所以1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查构造函数法利用导函数判断函数单调性,考查利用函数单调性比较大小,考查函数的奇偶性的应用.18．【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示：解析：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当1x <时，()()1xf x x e =-，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由1≥x 时，()ln f x x =，作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，将问题转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且12,(0,1)t t ∈即()()12,f x t f x t ==各有3个根求解.【详解】当1x <时，()()1xf x x e =-，所以()xf x xe '=-，当0x <时，()0f x '>，()f x 递增，当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减， 所以当0x =时， ()f x 取得最大值1， 又当1≥x 时，()ln f x x =， 所以()f x 的大致图象如图所示：令()f x t =，则转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且()()2121,(0,1),,t f x t f t x t ==∈各有3个根， 方程20t t a --=在(0,1)有两个不同的解，设2()g t t t a =--，所以(0)0140(1)0g a a g a =->⎧⎪∆=+>⎨⎪=->⎩，解得104a -<<. 故答案为：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】令求的导数根据条件可知从而判断单调递增将不等式化为即可求解【详解】令因为的定义域为所以函数的定义域也为则所以函数在上单调递增又可以化为即所以所以故不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查利用 解析：()2020,1--【分析】令()2()g x x f x =，求()g x 的导数'()g x ，根据条件可知'()0g x >，从而判断()g x 单调递增，将不等式化为()()20202019g x g +<即可求解. 【详解】令()2()g x x f x =，因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以函数()g x 的定义域也为()0,∞+，则()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+可以化为()()()222020202020192019x f x f ++<，即()()20202019g x g +<，所以020202019x <+<， 所以20201x -<<-， 故不等式的解集为()2020,1--. 故答案为：()2020,1--. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，构造函数求导是解题的关键，属于中档题.20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题 解析：3【分析】根据()00f x '=得出()2031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出102x x +的值.【详解】()()31f x x ax b =---，()()231f x x a '∴=--，由题意可得()()200310f x x a '=--=，则()2031a x =-，10x x ≠，100x x ∴-≠，()()10f x f x =，()()33110011x ax b x ax b ∴---=---，()()()33101011x x a x x ∴---=-，()()()()()()22101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦，()()()()()22211000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()221100111210x x x x ∴-+----=，()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，10230x x ∴+-=，即1023x x +=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞. 【分析】（1）求导，判断导函数正负，进而判断函数单调区间； （2）()()f x g x ≥恒成立，可转化为不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，设()1ln h x x x=+，求导，判断单调性并求得最小值，()min a h x ≤. 【详解】（1）函数()2ln 2f x x x =-的定义域为0,，则()()()21212114'4x x x f x x x x x-+-=-==， 由题意120x +>，得 当10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()()'0,f x f x >递增， 当1,2⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，令()()'0,f x f x <递减， 所以()f x 的单调递增区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）对任意1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，函数()()f x g x ≥恒成立， 即不等式1ln a x x ≤+对于1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 令()1ln h x x x=+， 则()22111'x h x x x x-=-=， 当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0h x <， 函数()h x 单调递减， 当时()1,∈+∞x ，()'0h x >， 函数()h x 单调递增，所以当1x =时，()h x 有最小值()1ln111h =+=， 从而a 的取值范围是(],1-∞. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22．（1）5a =；（2）13,927⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由条件可知'(3)0f =，求a 后再验证是否满足条件；（2）利用导函数的符号，推出函数的单调性，得到函数的极值，列不等式求解即可. 【详解】（1）()2323f x x ax =-+'，由已知得()30f '=，得27630a -+=，5a = （2）()3253f x x x x m =-++，令()231030f x x x '=-+=，得3x =或13x =， 由()0f x '>得3x >或13x <，此时()f x 为增函数， 由()0f x '<得133x <<，此时()f x 为减函数， 即当13x =时，函数()f x 取得极大值，当3x =时，()f x 取得极小值， 即()()39f x f m ==-极小值，()113327f x f m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极大值， 所以函数()f x 有三个不同零点，因此，只需()10330ff ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪<⎩，即1302790m m ⎧+>⎪⎨⎪-<⎩，解得13927m -<<， m 的范围是13,927⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】方法点睛：该题考查的是有关导数的问题，解题方法如下：（1）根据函数在极值点处导数等于零，求得参数的值，之后需要验证；（2）对函数求导，得到其极值，结合三次函数有三个零点的条件为极大值大于零，极小值小于零，列出不等式组，求得结果. 23．（1）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）12a e ≥.【分析】（1）求出导函数()'f x ，在定义域内由()0f x '>得增区间；（2）分离参数得21ln x a x +≥.设()21ln x g x x +=，由导数求得()g x 最大值即可得结论． 【详解】（1）当2a =时，()()221ln ,0,f x x x x =--∈+∞.由()()()221211414x x x f x x x x x+--'=-==，令()0f x '>，得12x >， 所以()f x 的单调增区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （2）由()21ln 0f x ax x =--≥，则21ln x a x +≥. 设()21ln x g x x +=，则()312ln x g x x--'=. 令()0g x '=，得12x e -=， 且当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 所以()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以当12x e -=到时，()g x 取得最大值为12e ， 所以12a e ≥. 【点睛】 方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题．不等式恒成立问题的解题方法通常是利用分离参数法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，则可得参数范围．24．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数. 【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2x f x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=得2lnx a =. 若2,lnx a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>；所以()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减； 当0a >时，()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21x g x ae x x x =+-+ 设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++- ()2221(1)(1)11()x x ae x ae x h x x x x x +--'=+-= 因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减.当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增.所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-. 若1a e =时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240e e h e a e e e---=-+->->， ()22221220e e h e a e e=++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <； 所以函数()h x 在()21,e -和()21,e 各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点. 综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e >时，函数()g x 无零点； 当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】 方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()a g x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况.25．（1）单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）对()f x 求导，分别由()'0f x >和()'0f x <可求得单调递增和单调递减区间；（2）由题意只需证明()2max 2aa f x e ≤-即可，讨论当12a ≤，即02a <≤，()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()()max a f x f e =；当2a >时先证明12a a e a >>>，可得()()max a f x f e =或()()max 11f x f ==，比较即可求证.【详解】（1）由题意得:()1,02a f x x x '=->， 由()'0f x >，得2a x >， 由()'0f x <，得02a x <<， 所以()f x 的单调递增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）若12a ≤，即02a <≤，由（1）知()f x 在1,a e ⎡⎤⎣⎦上单调递增， 所以()()22max22a a a a a f x f e e e ==-≤-成立； 若12a >，即2a >，设()a g a e a =-， 则当2a >时，()'10a g a e =->，所以()()2220g a g e >=->， 所以2a a e a >>，从而1,2a a e ∈⎡⎤⎣⎦. 结合（1）可知，()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,2a a e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 下面比较()22a aa f e e =-和()11f =的大小， 设()22aa h a e =-，当2a >时，()'0,a h a e a =-> 所以()()2221h a h e >=->， 即()()1af e f >，而()()2max 2a a a f x f e e ==-， 所以当1,a x e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22a a f x e ≤- 综上所述：当1,a x e ∈⎡⎤⎣⎦时，()22aa f x e ≤-.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.26．（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ；（Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==， 因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e -=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-． （Ⅱ）因为1()ln f x x x'=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->， 所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>．即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--．由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(有答案解析)(5)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(有答案解析)(5)

一、选择题1．已知函数()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0x >，有()()1f x f ≥，则（ ） A ．ln 2a b <-B ．ln 2a b >-C ．ln 2a b =-D ．ln 2a b ≥-2．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<3．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2e ⎤-∞⎦B ．()0,2eC ．(,4e ⎤-∞⎦D ．()0,4e4．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ）A ．4B ．26C ．27D ．65．已知函数()1ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r ，高为h 的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π7．已知函数()ln f x x ax =-，其中[)1+x ∈∞,，若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞B ．1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞8．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e9．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f10．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ）A ．12B．126-C．126+ D ．2311．已知函数()f x （x ∈R ）满足()34f =，且()f x 的导函数()1f x '<，则不等式()221f x x -<的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C．(D．((),3,-∞+∞12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞二、填空题13．已知函数()()1ln 1xf x x x+=>，若对任意两个不同的1x ，2x ，都有()()1212ln ln f x f x k x x -≤-成立，则实数k 的取值范围是________________ 14．已知函数1()ln (0)a x f x x a x x a e=++-<，若()0f x ≥在[)2,x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________.15．已知函数()3x f x e -=，()1ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为______.16．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中， ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②当(0,)x π∈时，()0f x π-<<；③若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x >； ④若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1. 所有正确结论的序号为______.17．设定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()f x '，已知函数()y x f x =⋅'的图象（如图）与x 轴的交点分别为()2,0-，()0,0，()2,0.给出下列四个命题：①函数()f x 的单调递增区间是()2,0-，(2,)+∞； ②函数()f x 的单调递增区间是(–,2)∞-，(2,)+∞； ③2x =-是函数()f x 的极小值点； ④2x =是函数()f x 的极小值点. 其中，正确命题的序号是__________.18．已知函数()(0)x f x ae a =>与2()2(0)g x x m m =->的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m 变化时，实数a 的取值范围为______________.19．已知函数()21ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________．20．过点（2,0）且与曲线y ＝1x相切的直线的方程为________ 三、解答题21．在①()14f -=-，()10f '=；②()10f =，()01f '=；③()f x 在()()1,1f --处的切线方程为84y x =+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解． 已知函数()32f x x ax bx =++，且______．（1）求a 、b 的值； （2）求函数()f x 的极小值．22．已知函数()()222ln f x x mx x m m R =+++∈.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，求()211f x x x +的取值范围.23．（1）证明下列不等式：1x e x ≥+；（2）求函数32()39f x x x x =--的极值.24．为了美化城市环境，提高市民的精神生活，市政府计划在人民广场一块半径为10米的圆形空地进行种植花草绿化改造．规划如图所示，在中央正六边形区域和六个相同的矩形区域种植鲜花，其余地方种植草地．设OAB θ∠=，正六边形的面积为1S ，六个矩形的面积和为2S ．（1）用θ分别表示区域面积1S ，2S ； （2）求种植鲜花区域面积的最大值． （参考数据：3tan 412︒≈，3tan 493︒≈）25．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()()213ln 22f x x x ax a R =+-+∈． （1）若()f x 在1x =处的切线过点()2,2，求a 的值；（2）若()f x 恰有两个极值点1x ，()212x x x <，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据()()1f x f ≥，可得x =1是()f x 的极小值点，即()01f '=，可得a ，b 的关系，对ln a 与2b -的作差，可得ln (2)ln 24a b a a --=+-，构造()ln 42,(0)g x x x x =-+>，即可求得()g x 的极大值1()1ln 404g =-<，化简整理，即可得答案.【详解】由题意得1()2f x ax b x'=+-， 因为()()1f x f ≥，所以()f x 在x =1处取得最小值，即为x =1是()f x 的极小值点，所以(1)210f a b '=+-=，即12b a =-， 所以ln (2)ln 2ln 24a b a b a a --=+=+-， 令()ln 42,(0)g x x x x =-+>，则114()4x g x x x-'=-=， 令()0g x '=，解得14x =， 当1(0,)4x ∈时，()0g x '>，所以()g x 为增函数，当1(,)4x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 为减函数，所以11()()ln 121ln 4044g x g ≤=-+=-<，所以()ln 42ln (2)0g a a a a b =-+=--<，即ln 2a b <-.故选：A 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造()g x 并求极大值，属中档题.2．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx x x f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.3．A解析：A 【分析】先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可. 【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120x g x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数； 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()f x的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a ≤故选：A. 【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立； （2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.4．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞恒成立因为16x x +≥16x x =即6x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．A解析：A 【分析】利用导数分析函数ln 1y x x =--的单调性以及函数值符号，由此可得出函数()y f x =的图象. 【详解】对于函数ln 1y x x =--，该函数的定义域为()0,∞+，求导得111x y x x-'=-=. 当01x <<时，0y '<，此时函数ln 1y x x =--单调递减； 当1x >时，0y '>，此时函数ln 1y x x =--单调递增.所以，函数ln 1y x x =--的最小值为min 1ln110y =--=，即对任意的0x >，ln 10x x --≥.所以，函数()y f x =的定义域为()()0,11,+∞，且()0f x >，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞. 所以，函数()y f x =的图象如A 选项中函数的图象. 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.6．B解析：B 【分析】利用体积相等可得出216r h ，再将圆柱表面积表示出来将216h r =代入求导即可得最值.【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4，高为3的圆锥为2143163ππ⨯⨯⨯=， 底面半径为r ，高为h 的圆柱2r h π， 所以216r h ππ=，可得216r h ，即216h r =圆柱的表面积为：2222163222222S r rh r rr r rππππππ=+=+=+， 322324324r S r r rππππ-'=-=， 令324320r S r ππ-'=>可得2r >，令324320r S rππ-'=<可得02r <<， 所以2r 时，表面积最小为23222242S πππ=⨯+=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用体积相等得出h 和r 的关系，再将圆柱表面积用r 表示利用导数求最值.7．C解析：C 【分析】不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，则maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，运用导数求出函数ln xx在[)1,+∞上的最大值. 【详解】解：当[)1+x ∈∞,时，不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x≥在[)1,+∞上恒成立， 令ln ()xg x x=，则21ln ()x g x x -'=当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<；所以max 1()()g x g e e==，所以1a e ≥故选：C. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x --'=，得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.9．A解析：A 【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A . 【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.10．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-336()(66p p -+=---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在p =处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.11．B解析：B 【分析】构造函数()()g x f x x =-，求导后可证得()g x 在R 上单调递减，将原不等式可转化为()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<， 所以()g x 在R 上单调递减.因为不等式()221f x x -<可等价于()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，所以213x ->， 解得2x >或2x <-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】 构造函数()()f xg x x=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解. 【详解】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x-'=， ∵当0x >时，有()()'xf x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()f x f x g x g x x x--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增. 又()20f =，∴()()2202f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解， ∴02x <<或2x <-， ∴不等式的解集为()(),20,2-∞-.故选：B . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题．二、填空题13．【分析】先对求导判断其单调性不妨设可对原不等式去绝对值得等价于构造函数可得在单调递增分离得由即可求解【详解】当时所以所以在单调递减不妨设则所以等价于即设则所以在单调递增对于恒成立所以可得对于恒成立设解析：1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先对()f x 求导判断其单调性，不妨设121x x <<，可对原不等式去绝对值得()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+，等价于()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+，构造函数()()ln g x f x k x =+，可得()()ln g x f x k x =+在()1,+∞单调递增，()0g x '≥，分离得ln xk x ≥，由maxln x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解. 【详解】()()2211ln ln x x x x f x x x ⋅-+-'==,当1x >时，ln 0x >，所以()0f x '<， 所以()1ln xf x x+=在()1,+∞单调递减， 不妨设121x x <<，则()()120f x f x ->，12ln ln 0x x -<，所以()()1212ln ln f x f x k x x -≤-等价于()()()1221ln ln f x f x k x x -≤-， 即()()1122ln ln f x k x f x k x +≤+， 设()()ln g x f x k x =+，则()()12g x g x <， 所以()()1ln ln ln xg x f x k x k x x+=+=+在()1,+∞单调递增， ()22ln ln 0x k kx xg x x x x--'=+=≥对于()1,x ∈+∞恒成立， 所以ln 0kx x -≥，可得ln xk x≥对于()1,x ∈+∞恒成立， 设()ln xh x x=，只需()max k x h ≥， ()221ln 1ln x xx x h x x x ⋅--'==， 当1x e <<时()0h x '>，()ln xh x x=单调递增， 当x e >时，()0h x '<，()ln xh x x=单调递减， 所以()()max ln 1e h x h e e e===，所以1k e ≥，故答案为：1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.14．【分析】根据不等式恒成立得到在上恒成立令函数对其求导判定其在区间上的单调性得到在上恒成立再令利用导数的方法求出其最大值即可得出结果【详解】由在上恒成立得：在上恒成立易知当时令函数则在上恒成立则单调递 解析：[,0)e -【分析】根据不等式恒成立，得到ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，对其求导，判定其在区间[2,)+∞上的单调性，得到ln x a x≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，再令()(2)ln xF x x x=-≥，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果. 【详解】由()0f x ≥在[2,)x ∈+∞上恒成立，得：ln ln a a x x x x e e ---≥-在[2,)x ∈+∞上恒成立，易知当[2,)x ∈+∞，0a <时，01a x <<，01x e -<<，令函数()ln (01)g t t t t =-<<，则1()10g t t'=->在()0,1t ∈上恒成立，则()g t 单调递增，故有a x x e -≥，则log ln xx xa e x-≥=-在[2,)x ∈+∞上恒成立， 令()(2)ln x F x x x=-≥，则21ln ()(ln )x F x x '-=，由()0F x '=得x e =， 所以()2x e ∈,时，()0F x '>，则()F x 单调递增；,)[x e ∈+∞时，()0F x '<，则()F x 单调递减；故max ()()F x F e e ==-，则a e ≥-，所以0e a -≤<. 故答案为：[,0)e -. 【点睛】 方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.15．【分析】根据得到mn 的关系利用消元法转化为关于t 的函数构造函数求函数的导数利用导数研究函数的最值即可得到结论【详解】解：不妨设∴()∴即故()令()所以在上是增函数且当时当时即当时取得极小值同时也是 解析：ln21-【分析】根据()()f m g n t ==得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论. 【详解】解：不妨设()()f m g n t ==， ∴31ln 22m net -=+=，(0t >) ∴3ln m t -=，即3ln m t =+，122t n e -=⋅，故1223ln t n m e t --=⋅--(0t >)，令()1223ln t h t et -=⋅--(0t >)，()1212t h t et-'=⋅-，()1221''20t h t e t -=⋅+>所以()h t '在()0,∞+上是增函数，且102h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 当12t >时，()0h t '>， 当102t <<时，()0h t '<， 即当12t =时，()h t 取得极小值同时也是最小值， 此时1123ln ln 2122h ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即n m -的最小值为ln21-， 故答案为：ln21-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查化归转化思想与运算能力，是中档题.16．①②④【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性求得函数的值域判断②正确；利用导数研究函数的单调性进行变形得到③是错误的数形结合思想可以判断④是正确的【详解】因为所以所以解析：①②④ 【分析】首先对函数的奇偶性进行判断得出①正确；利用导数研究函数的单调性，求得函数的值域，判断②正确；利用导数研究函数sin ()xg x x=的单调性，进行变形得到③是错误的，数形结合思想可以判断④是正确的. 【详解】因为()cos sin f x x x x =-，所以()()cos()sin()cos sin ()f x x x x x x x f x -=----=-+=-， 所以()f x 为奇函数，所以函数()f x 的图象关于原点对称，所以①正确； 因为'()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-， 因为(0,)x π∈，所以'()0f x <， 所以()f x 在(0,)π上单调递减，所以()()(0)0f f x f ππ-=<<=，所以()0f x π-<<，所以②正确；令sin ()x g x x=，2cos sin '()x x xg x x -=，由②可知，()f x 在(0,)π上单调递减，所以)'(0g x <，所以()g x 在(0,)π上单调递减， 若120x x π<<<，所以1212sin sin x x x x >， 即1122sin sin x x x x <，所以③错误； 若sin ax x bx <<对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，相当于sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上落在直线y ax =的上方，落在直线y bx =的下方， 结合图形，可知a 的最大值为连接(0,0),(,1)2π的直线的斜率，即2π， b 的最小值为曲线sin y x =在(0,0)处的切线的斜率，即0'|1x y ==，所以④正确；故正确答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：该题属于选择性填空题，解决此类问题的方法： （1）利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性； （2）利用导数研究函数的单调性，从而求得其值域； （3）转化不等式，构造新函数，求导解决问题； （4）数形结合，找出范围.17．②④【分析】根据函数和图象可得的单调区间和单调性从而得到答案【详解】由函数和图象可得当时得所以函数单调递增当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递增所以①错误；②正确；③是函解析：②④ 【分析】根据函数()y x f x =⋅'和图象可得()f x 的单调区间和单调性，从而得到答案.【详解】由函数()y x f x =⋅'和图象可得，当2()–,x ∞-∈时，0y <，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增， 当()2,0x ∈-时，0y >，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减， 当(0,2)x ∈时，0y <，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，0y >，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增， 所以①错误；②正确；③2x =-是函数()f x 的极大值点，错误；④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题结合图象考查函数的单调性和判断极值，属于基础题.18．【分析】设切点为根据已知得求出得构造函数求出的范围即可【详解】设切点为则整理得由解得由上可知令则因为所以在上单调递减所以即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义利用导数求参数的范围考查计算求解能力解析：280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【分析】设切点为()00,A x y ，根据已知得0000()(),()()f x g x f x g x ='='，求出02x >，得04x x a e=，构造函数4(),2x xh x x e =>，求出()h x 的范围即可. 【详解】 设切点为()00,A x y ，(),()4xf x aeg x x '='=则0020024x x ae x m ae x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得20004200x x m x m ⎧=-⎪>⎨⎪>⎩， 由200240m x x =->，解得02x >.由上可知004x x a e =，令4()xx h x e=，则4(1)()x x h x e -'=. 因为2x >，所以4(1)4()0,()x xx xh x h x e e-'=<=在(2,)+∞上单调递减， 所以280()h x e <<，即280,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故答案为：280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数求参数的范围，考查计算求解能力，属于中档题.19．【解析】因故有解即有解令取得极小值点为则则函数的极小值为将代入可得由题设可知令则由即当时函数取最小值即也即所以即应填答案点睛：本题是一道较为困难的试题求解思路是先确定极小值的极值点为则进而求出函数的解析：3min a e =-【解析】 因()a f x x b x -'=+，故()0af x x b x-+'==有解，即20x bx a --=有解．令取得极小值点为t ，则2bt t a =-，则函数的极小值为21()ln 2f t a t t bt =-+，将2bt t a =-代入可得21()ln 2f t a t t a =+-，由题设可知21ln 02a t t a +->，令21()ln 2h t a t t a =+-，则()a h t t t =+'，由2()0ah t t t a t=+'=⇒=-，即当2t a =-时，函数21()ln 2h t a t t a =+-取最小值1()02h a a a =--≥，即3322a a ≥-⇒≤，也即13ln()ln()322a a -≤⇒-≤，所以33a e a e -≤⇒≥-，即3min a e =-，应填答案3min a e =-．点睛：本题是一道较为困难的试题．求解思路是先确定极小值的极值点为t ，则2bt t a =-，进而求出函数的极小值21()ln 2f t a t t bt =-+，通过代入消元将未知数b 消掉，然后求函数21()ln 2h t a t t a =+-的最小值为1()02h a a a =--≥，从而将问题转化为3322a a ≥-⇒≤，然后通过解不等式求出即3min a e =-．20．【解析】试题分析：设切点为所以切点为由点可知直线方程为考点：1直线方程；2导数的几何意义解析：20x y +-=. 【解析】试题分析：设切点为()0000220000111,2y x y y y x x x x -∴==-'∴-=-，所以切点为()1,1，由点()2,0可知直线方程为20x y +-= 考点：1．直线方程；2．导数的几何意义三、解答题21．选①或②或③，（1）2a =-，1b =；（2）0.【分析】（1）求出()232f x x ax b '=++，根据所选条件可得出关于a 、b 的方程组，即可解得a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极小值. 【详解】（1）方案一：选择①，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，由已知可得()()1141320f a b f a b ⎧-=-+-=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；方案二：选择②，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，由已知可得()()11001f a b f b ⎧=++=⎪⎨=='⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；方案三：选择③，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为84y x =+，所以，()()1328114f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+-=-'⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）得()322f x x x x =-+，()2341f x x x '∴=-+，由()0f x '=得：113x =，21x =，列表如下：所以，函数f x 的极小值为10f =. 【点睛】思路点睛：求函数()f x 的极值的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导()f x '；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）利用导数分析函数()f x 的单调性； （5）将极值点代入函数解析式计算即可.22．（1）()4230m x y m +-+-=；（2）(),4-∞-. 【分析】（1）对()y f x =求导，切线斜率为()1f '，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；（2）由题意可得1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不等式的实根，等价于1x ，2x 是方程210x mx ++=的两个根，由根与系数的关系可得12x x m +=-，121=x x ，将()211f x x x +转化为关于2x ()21x >的函数，再利用单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题意知()0,x ∈+∞，因为()222f x x m x'=++， 所以()142f m '=+，()113f m =+，所以所求切线方程为()()()13421y m m x -+=+-，即()4230m x y m +-+-=；（2）由（1）知()()221222x mx f x x m x x++'=++=， 因为()1212,x x x x <是()f x 的两个不同的极值点，所以1x ，2x 是方程210x mx ++=的两个根，可得12x x m +=-，121=x x ，221m x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得21>x ，所以()22122211222ln 1f x x x mx x m x x x +++++=22222222222222211122ln 2ln 211x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭==()3222222222ln 1x x x x x x =---+>，()()32222222222ln 1g x x x x x x x =---+>，()()2222232ln g x x x x '=-+-，()2221621g x x x ⎛⎫''=-+- ⎪⎝⎭，因为21>x 可得2110x -<，260x -< 所以()20g x ''<，()()2222232ln g x x x x '=-+-在()1,+∞单调递减，()()()2132ln1150g x g ''<=-+-=-<，所以()2g x 在()1,x ∈+∞上单调递减，()()214g x g <=-，从而()211f x x x +的取值范围为(),4-∞-.【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=⋅-.23．（1）证明见解析；（2）极大值为5，极小值为27-. 【分析】（1）设()1x f x e x =--，则'()1x f x e =-，由'()0f x =得0x =，分析函数的单调性，可求得函数的最值，不等式可得证；（2）对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，可求得函数的极值． 【详解】解：（1）证明：设()1x f x e x =--，则'()1x f x e =-，由'()0f x =得0x =， 所以当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >，所以()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增，所以()(0)0f x f ≥=，即10x e x --≥，所以1x e x ≥+；（2）32()39f x x x x =--2()3693(1)(3)f x x x x x ==+'---，令()0f x '=，得1x =-或3x =，则所以当时函数取极大值为，当时函数取极小值为；【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式和求函数在定区间上的极值，关键在于构造函数，分析其导函数的符号，得出原函数的单调性．24．（1）21S θ=，221200sin cos S θθθ=-；（2）300.【分析】（1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ，OAD △为等腰三角形，可得AOF OAB θ∠=∠=即可求出BC 的长，进而可得1S ，求出OBC 的高OE ，AB EF OF OE ==-，26S AB BC =⨯⨯即可求解；（2）将面积之和12S S +用角θ表示出来，在求其求导，利用导数判断单调性即可求最值. 【详解】 （1）如图：连接BO 、CO 、OD ，过点O 作BC 的垂线，交BC 于点E ，交AD 于点F ， 由对称性可知OAD △为等腰三角形，E 、F 分别为BC 、AD 的中点， 由AB BC ⊥，OF BC ⊥，可得//AB OF ，所以AOF OAB θ∠=∠=， 所以22sin 20sin BC AD AF OA θθ====， 所以正六边形的面积212233666400sin 6003OBCS BC S θθ====， 在OBC 中，3320sin 10322OE BC θθ===， 所以10cos 103AB EF OF OE θθ==-=-， 所以()26610cos 103sin 20sin S AB BC θθθ=⨯⨯=-⨯ 21200sin cos 12003sin θθθ=-，综上所述：216003sin S θ=，221200sin cos 12003S θθθ=-. （2）求种植鲜花区域面积的最大值即是求12S S +的最大值. 设22126003sin 1200sin cos 12003sin y S S θθθθ=+=+-21cos21200sin cos 6003sin 600sin 260032θθθθθ-=-=- 600sin 230033003θθ=+-所以1200cos 260032y θθ'=- 令0y '=，可得23tan 2θ=当249θ>时，0y '<；当249θ<时，0y '>， 所以当249θ=时，y 取得最大值，max 600sin 493003cos 493003y =+-因为tan 493︒≈，可得22sin 49cos 491sin 49cos 49︒︒︒︒⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2sin 49721cos 497⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以max 6003007y =+-=-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是得出AOF OAB θ∠=∠=，求出2BC AD AF ==，OE =，AB EF OF OE ==-即可将面积1S ，2S 用θ表示出来，利用导数求面积之和的最值.25．（1）20x y e --=；（2）1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可； （2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果. 【详解】解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==，∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1xf x x ae '=+-，因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10xf x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，ln 1xx a e+∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()x x g x e+=，则1ln 1()xx x g x e --'=， 由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增， (1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减，故max 11()(1)g x g a e e==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.26．（1）1；（2）()2,+∞. 【分析】（1）利用在某点处切线方程的求法可表示出()f x 在1x =处的切线方程，代入()2,2即可求得结果；（2）求导后，令()21g x x ax =-+，分别在0∆≤和0∆>两种情况下，根据()0g x =根的情况，确定()g x 的正负，进而得到()f x 单调性，从而确定符合题意的范围. 【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()1f x x a x'=+-， 则()12f a '=-，()12f a =-，()f x ∴在1x =处的切线方程为()()()221y a a x --=--，又切线过()2,2，2a a ∴=-，解得：1a =.（2）由（1）知：()()2110x ax f x x a x x x-+'=+-=>，令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-，①当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立， 此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意； ②当0∆>，即2a <-或2a >时，令()0g x =，解得：12a x =，22a x +=⑴若2a <-，则10x <，20x <，()0g x ∴>在()0,∞+上恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意； ⑵若2a >，则120x x <<，∴当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；()f x ∴在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， ()f x ∴恰有两个极值点12,x x ，符合题意；综上所述：a 的取值范围为()2,+∞.思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，求解此类问题的关键是将问题转化为导函数零点个数的讨论问题，需注意的是在导函数有零点的情况下，需结合定义域确定零点是否满足定义域要求.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(答案解析)(4)

一、选择题1．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为(),f x '若对任意的0x >的实数，都有：()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．{}1xx ≠±∣ B ．(-1，1) C ．()(),11,-∞-+∞D ．(-1，0)()0,1⋃2．已知函数23()2ln (0)xf x x x a a=-+>，若函数()f x 在[]1,2上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,1]D ．[1,)+∞3．已知函数21()ln 2f x x x a =--，若0x ∃>，()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．(],e -∞4．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞5．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<6．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e7．已知实数2343a e =，4565b e =，6787c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．下列不可能是函数()()()xx f x xee Z αα-=-∈的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()f x （x ∈R ）满足()34f =，且()f x 的导函数()1f x '<，则不等式()221f x x -<的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(3,3-D ．((),33,-∞-+∞10．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ） A ．[13]B ．[1，)+∞C ．(13]D ．(1,)+∞11．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+12．已知函数()()()22ln 0f x a e x xa =->，1,1D e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦若所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，则a =（ ） A ．eB ．1e 2- C ．1 D ．2e e - 二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，()20f -=，且当0x >时()()20f x xf x x'-<，则不等式()()2110x f x -->的解集是______.14．如果定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”，给出下列函数：①e 1x y =+ ②()32sin cos y x x x =-- ③32331y x x x =+++ ④ln ,0,0x x y x x ⎧≠=⎨=⎩以上函数是“H 函数”的所有序号为________.15．若函数()ln 1f x x x =+的图象总在直线y ax =的上方，则实数a 的取值范围是______.16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____.17．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.18．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.19．若函数32()1f x x ax x =-++在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.20．已知函数()(1)2x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________. 三、解答题21．如图一边长为10cm 的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积V （单位：cm 2）是关于截去的小正方形的边长x （单位：cm ）的函数．（1）写出体积V 关于x 的函数表达式()f x ．（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？ 22．已知函数2()(41)43(0)xf x ax a x a e a ⎡⎤=-+++≠⎣⎦. （1）若1a =，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围. 23．已知函数()ln 1f x x =+．（1）直线20l x y -+=:，求曲线()y f x =上的点到直线l 的最短距离； （2）若曲线21()(1)()(03)2g x x a x f x x =-++<<存在两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x 轴平行，求实数a 的取值范围．24．已知函数32()691f x x x x =-++． （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 25．已知函数()()22ln f x x t x t x =++-.（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值；（2）若()ln 1xg x e t x =+-，求实数t 的范围，使得()()f x g x ≤恒成立.26．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出0x <的取值范围． 【详解】当0x >时，由2()()20f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得：22()()20xf x x f x x +'-< 设：22()()g x x f x x =-则2()2()()20g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：()g x ∴在(0,)+∞单调递减，由()()21x f x f -21x <-()()2211x f x x f ∴-<-即()()1g x g < 即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-综上可知：实数x 的取值范围为(-∞，1)(1-⋃，)+∞， 故选：C 【点睛】关键点点睛：主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题．2．D解析：D 【分析】求出()'f x 由()0f x '≤得314x a x ≤-，令1()4g x x x=-，判断出()g x 的单调性并利用单调性可得()g x 的最小值可得答案. 【详解】31()4(0)f x x x a x'=-+>，因为函数()f x 在[]1,2上单调递减， 所以3140x a x -+≤，即314x a x≤-， 令1()4g x x x =-，由于114,y x y x ==-在[]1,2都是增函数， 所以1()4g x x x=-在[]1,2单调递增，所以()(1)3g x g ≤=，所以33a ≤，又0a >，解得1a ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围问题，关键点是令1()4g x x x=-并求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.3．A解析：A 【分析】 由()f x 得21ln 2a x x ≤-，设21()ln 2g x x x =-，利用导数求()g x 的最大值可得答案. 【详解】 由21()ln 2f x x x a =--，得21ln 2a x x ≤-．设21()ln 2g x x x =-，则211()x g x x x x-'=-=．令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而1()(1)2g x g ≤=-， 故12a ≤-． 故选：A. 【点睛】本题考查了能成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数求最值，考查了分析问题、解决问题的能力.4．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()0g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.5．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx xx f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.6．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．7．C解析：C 【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造函数'()(2)()(1)x x f x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'()0,()f x f x >单调递增.因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6786()77c e f ==，246357<<，所以642()()()753f f f >>，即c b a >>.故选：C 【点睛】关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键.8．B解析：B 【分析】 由函数()()xx f x xee α-=-，分0a =， a 为正整数，a 为正偶数，a 为正奇数，a 为负整数分析其定义域，奇偶性和单调性判断. 【详解】当0α=时，()xxf x e e -=-其定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又()()()xx x x f x ee e ef x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，且单调递增，没有选项符合题意；当α为正整数时，()()xx f x xee α-=-的定义域为R ，图象经过原点，当0x >时， ()()11()())(x x x x x xf x x e e e e x e e x x x ααααα-----'⎡⎤⎡⎤==-+++⎣⎦+⎣-⎦，因为0,0x xx x e ee e --->+>，所以()0f x '>，则()f x 递增，又存在0M >，当x M >时，随着x 的增大，()'f x 的变化率越来越大， 若α为正偶数，则()f x 是奇函数，此时C 选项符合题意； 若α为正奇数，则()f x 是偶函数，此时A 选项符合题意； 当α为负整数时，()()xx f x xee α-=-的定义域为{}|0x x ≠，当α为负奇数，()()()()xx f x x e e f x α--=--=，()f x 为{}|0x x ≠上的偶函数，无选项符合；当α为负偶数时且4α≤-时，()()()()xx f x x ee f x α--=--=-，()f x 为{}|0x x ≠上的奇函数， 当0x >时，()()211(())x x x x f x x e e x x x x x e e x ααααααα----+⎛⎫+--+ ⎪-⎝'⎡⎤=+=⎦⎭⎣， 令()2,0x x S x e x x αα-+=+>-， 则()()()()()2222222xxxxx x S x ex x e ααααα---+-'=-=-⨯--，令(),0x x x x αϕ->=，则()01xx ϕ'<=，故(),0xx x x αϕ->=为减函数，而()00ϕα=->，()()()23ln ln 2ln t t t αααϕ---+=+=-，其中2t =≥，令()232ln ,2u t t t t t =+-≥，则()()2223,2t t u t t t+-'=≥，则()()22232+440tt +-≤⨯-<，故()232ln ,2u t t t t t =+-≥为减函数，所以()2ln 240u t ≤-<，()()ln 0ϕα-<，所以存在()00x ∈+∞,，使得当()00,x x ∈时，()0x ϕ>即()0S x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<即()0S x '>，故()S x 在()00,x 为减函数，在()0,x +∞为增函数，因为()00S =，故()00S x <，而当x a >-时，()0S x >，故存在()10,x ∈+∞，使得当()10,x x ∈时，()0S x <即()0f x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0S x >即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为减函数，在()1,x +∞为增函数， 又当0x >时，()0f x >恒成立，故D 选项符合题意. 对任意的整数α，当α为非负整数时，()f x 在0x =处有定义，且()f x '在0x =不间断，故B 不符合题意，当α为负整数时，()f x 在0x =处没有定义，故B 不符合题意， 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于知式选图问题的解法：1、从函数的定义域，判断函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；2、从函数的单调性，判断函数图象的变换趋势；3、从函数的奇偶性，判断函数图象的对称性；4、从函数的周期性，判断函数图象图的循环往复；5、从函数的特殊点，排除不和要求的图象；9．B解析：B 【分析】构造函数()()g x f x x =-，求导后可证得()g x 在R 上单调递减，将原不等式可转化为()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<， 所以()g x 在R 上单调递减.因为不等式()221f x x -<可等价于()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，所以213x ->， 解得2x >或2x <-， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A 【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解 【详解】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.11．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.12．D解析：D 【分析】求得导函数()'f x ，确定()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，从而可得题中平面区域面积，解之可得a . 【详解】解：()()2222a e x f x a e x x -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，因为1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0a >，所以()0f x '>，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为()22,a e e a ⎡⎤+⎣⎦，因为所有点()(),s f t (s ，t D ∈)所构成的平面区域面积为2e 1-，所以()221211a e e e e ⎛⎫---=-⎪⎝⎭， 解得2ea e =-， 故选：D . 【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是求出导函数，用导数确定函数的单调性，求得值域区间，然后可计算出题设平面区域面积，得出结论．二、填空题13．【分析】设则为偶函数由则在是上单调递增在是上单调递减设即求解分和两种情况解不等式和【详解】设由当时即所以在是上单调递增为奇函数则为偶函数在是上单调递减即（）设当时即由为奇函数则所以由在是上单调递增所 解析：()()1,13,-+∞【分析】 设()()f x g x x =，则()g x 为偶函数，由()()()2xf x f x g x x'-'=， 则()g x 在()0+∞，是上单调递增，()g x 在()0-∞，是上单调递减，设1x t -=，即求解()0f t >，分0t >和0t <两种情况解不等式()0g t >和()0g t <.【详解】设()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x '-'=当0x >时()()20f x xf x x'-<，即()0g x '>，所以()g x 在()0+∞，是上单调递增. ()y f x =为奇函数，则()()f x g x x=为偶函数，()g x 在()0-∞，是上单调递减 ()()2110x f x -->,即()10f x ->（1x ≠）设1x t -=，当0t >时，()0f t >，即()()0f t g t t=> 由()20f -=，()y f x =为奇函数，则()20f =，所以()20g =由()g x 在()0+∞，是上单调递增，()0g t >，所以2t >，即12x ->，所以3x > 当0t <时，()0f t >，即()()0f t g t t=< 由()20f -=，则()20g -=，根据()g x 在()0-∞，是上单调递减 所以当()0g t <时，则20t -<<，即210x -<-<，所以11x -<< 综上所述：不等式()()2110x f x -->的解集是：()()1,13,-+∞故答案为：()()1,13,-+∞【点睛】关键点睛：本题考查构造函数讨论单调性解不等式，解答本题的关键是构造函数()()f x g x x =，由()()()2xf x f x g x x'-'=结合条件和奇偶性得出其单调性， 属于中档题. 14．①②③【分析】根据题意可知H 函数为增函数转化为判断函数在上是否为增函数根据解析式可知①正确；根据导数可知②③正确；根据解析式可知④不正确【详解】因为可化为所以根据题意可知函数为上的增函数即H 函数为增解析：①②③ 【分析】根据题意可知“H 函数”为增函数，转化为判断函数在R 上是否为增函数，根据解析式可知①正确；根据导数可知②③正确；根据解析式可知④不正确. 【详解】因为()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+可化为[]1212()()()0f x f x x x -->， 所以根据题意可知，函数()f x 为R 上的增函数，即“H 函数”为增函数， ①e 1x y =+显然是增函数，故①正确； ②()32sin cos y x x x =--，因为32cos 2sin y x x '=--=3)4x π-+30≥->，所以函数()32sin cos y x x x =--为R 上的增函数，故②正确；③32331y x x x =+++，223633(1)0y x x x '=++=+≥，且只有当1x =-时，y '0=，所以函数32331y x x x =+++为R 上的增函数，故③正确；④ln ,0,0x x y x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >时，ln y x =在(0,)+∞上递增，当0x <时，()ln y x =-在(,0)-∞上递减，所以ln ,0,0x x y x x ⎧≠=⎨=⎩不是R 上的增函数，故④不正确.故答案为：①②③ 【点睛】关键点点睛：转化为判断函数在R 上是否为增函数是解题关键.15．【分析】根据图象关系利用分离变量法将问题转化为恒成立问题令利用导数可求得则【详解】图象总在上方恒成立定义域为恒成立令当时；当时在上单调递减在上单调递增即实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：分 解析：(),1-∞【分析】根据图象关系，利用分离变量法将问题转化为1ln a x x<+恒成立问题，令()()1ln 0g x x x x=+>，利用导数可求得()()min 1g x g =，则()1a g <. 【详解】()f x 图象总在y ax =上方，ln 1x x ax ∴+>恒成立， ()f x 定义域为()0,∞+，1ln a x x∴<+恒成立，令()()1ln 0g x x x x =+>，()22111x g x x x x-'∴=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g ∴==， 1a ∴<，即实数a 的取值范围为(),1-∞.故答案为：(),1-∞. 【点睛】结论点睛：分离变量法是处理恒成立问题的基本方法，若()a f x ≤恒成立，则()min a f x ≤；若()a f x ≥恒成立，则()max a f x ≥.16．2【分析】令利用可得在单调递增不等式恒成立等价于即当时分离参数可得可求出正整数的最大值为2再检验当时对于不等式恒成立即可求解【详解】因为定义在上的函数关于轴对称所以函数为上的偶函数令则因为当时即所以解析：2 【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()xe a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 不等式()()0xx xe f e eax axf ax -+->恒成立，即()()xx xe f eeaxf ax ax ->-，即()()x g e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()x g e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.17．【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式 解析：32()232f x x x【分析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''= 联立求解可得. 【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x故答案为：32()232f x x x【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.18．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解. 【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-.由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x xx+-'==.由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a af xg x ga a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e . 故答案为：(]0,e 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.19．【分析】求出函数的导函数利用导函数与函数单调性的关系只需在上即可【详解】由函数所以函数在上单调递增则即所以令因为由对勾函数的单调性可知在单调递增故故即实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了导解析：13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】求出函数的导函数()f x '，利用导函数与函数单调性的关系只需在()2,+∞上()0f x '≥即可. 【详解】由函数32()1f x x ax x =-++，所以()2321f x x ax '=-+，函数()f x 在()2,+∞上单调递增， 则()0f x '≥，即23210x ax -+≥，所以3122x a x≤+， 令()13133222x g x x x x ⎛⎫ ⎪=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为()2,x ∈+∞， 由对勾函数的单调性可知()g x 在()2,+∞单调递增， 故()()1324g x g >=，故134a ≤，即实数a 的取值范围是13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：13,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了导函数在函数单调性的应用，考查了分离参数法求参数的取值范围，属于中档题.20．【分析】可知从而根据条件可判断为减函数或存在极值点求导数从而可判断不可能为减函数只能存在极值点从而方程有解这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围【详解】要满足使得成立则函数为减函数或存在极值点当时 解析：()1,+∞【分析】可知00lg x x <，从而根据条件可判断()f x 为减函数或存在极值点，求导数()1x f x e a '=-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程1x a e -=有解，这样由指数函数xy e =的单调性即可得出a 的取值范围.【详解】00lg x x <，∴要满足0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则函数()f x 为减函数或存在极值点，()1x f x e a '=-+，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即函数()f x 不是减函数，∴只能()f x 存在极值点，()0f x '∴=有解，即方程1x a e -=有解，即11x a e =+>，()1,a ∴∈+∞，故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.三、解答题21．（1）()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈；（2）小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是200027cm 3． 【分析】（1）根据长方体的体积公式可得答案； （2）利用导数求()f x 单调区间及极值可得答案. 【详解】（1）由题意可得()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈.（2）()()()()24320254355f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得53x =，5x =，∴53x =时，()f x 的最大值为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，截去的小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是()3200027cm ． 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．22．（1）27y x =+；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(0)f '，从而可得切线方程； （2）求出()'f x ，求出()0f x '=的两根1a和2，根据两根的大小讨论()f x 的极值，由2是极小值点得出a 的范围． 【详解】本题考查利用导数研究函数性质.解析（1）若1a =，()2()57xf x x x e =-+， 所以()2()32xf x x x e '=-+， 所以(0)2 f '=，又(0)7f =，因此曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为27y x =+. （2）2()(21)2(1)(2)xxf x ax a x e ax x e '⎡⎤=-++=--⎣⎦， 令()0 f x '=，得1x a=或2x =， 若102a <<，即12a > 则当1,2x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在2x =处取得极小值..若12a ≤，且0a ≠，则当(0,2)x ∈时，112ax x ≤<， 所以10ax ，同时20x -<，所以()0f x '>，从而2x =不是()f x 的极小值点..综上可知，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查由极值点求参数范围．掌握极值的定义是解题关键．方法是：求出导函数()'f x ，确定()0f x '=的根，然后由根分实数为若干个区间，讨论各区间中()'f x 和正负，得单调区间，若在0x 左侧递减，右侧递增，则0x 是极小值点，若在0x 左侧递增，右侧递减，则0x 是极大值点． 23．（1；（2）7(1,)3. 【分析】（1）可得与l 平行且与()y f x =相切的切线的切点到直线距离最短，求出切点即可得出；（2）求出()g x 的导数，题目等价于2(1)10x a x -++=在()0,3上有两个不同的根，则列出式子即可求出. 【详解】解：（1）设曲线()y f x =上的点()00,A x y 到直线l 的距离最短，则在点A 的切线与l 平行，001()1f x x ='=，∴01x =，求得01y =， ∴在点A 的切线方程为y x =， ∴点A 到直线l= （2）由题意得21()(1)ln 1(03)2g x x a x x x =-+++<<， ∴21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=-++=，∵曲线()y g x =上存在两个不同的点，使得在这两点处的切线都与x 轴平行， ∴关于x 的方程()0g x '=，即2(1)10x a x -++=在()0,3上有两个不同的根， 设2()(1)1h x x a x =-++，则()()()()21400101032393110a h a h a ⎧∆=+->⎪=>⎪⎪⎨+<<⎪⎪=-++>⎪⎩，解得713<<a ， ∴实数a 的取值范围是7(1,)3． 【点睛】本题考查利用导数解决方程的根的问题，解题的关键是将题目等价为2(1)10x a x -++=在()0,3上有两个不同的根.24．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+． （2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>， 则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =．设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x -'=>． 当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同， 所以()()1ln 2x x f x +->． 因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 25．（1）7-；（2）t e ≥-.【分析】（1）先对函数求导，结合极值存在的条件可求t ，然后结合导数可研究函数的单调性，进而可求极大值；（2）由已知代入可得，221x e x x t x -+--≤在0x >时恒成立，构造函数()221x e x x h x x-+-=，结合导数及函数的性质可求. 【详解】解：（1）()22t f x x t x '=--+，0x >，由题意可得，()23403f t '=-=，解可得6t =，∴()()()213628x x f x x x x--'=-+=， 所以，当3x >，01x <<时 ，()0f x '>，函数单调递增，当13x <<时，()0f x '<，函数单调递减，故当1x =时，函数取得极大值()17f =-；（2）由()()f x g x ≤得()22ln ln 1xx t x t x e t x -++≤+-在0x >时恒成立可得，221x e x x t x -+--≤在0x >时恒成立，2min 21x e x x t x ⎛⎫-+--≤ ⎪⎝⎭令()221x e x x h x x-+-=，则()()()()()()2222222211111xx xx e x x e x x x e x e x x h x x x x-+--+------+'===， 令()1xF x e x =--，所以()'1xF x e =-，令()'0F x =，提0x =，所以当0x >，()'0F x >，函数单调递增，当0x <时，()'0F x <，函数单调递减，故当0x =时，函数取得最小值()00F =，又0x >，所以10x e x -->， 所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 1h x h e ==，可得()min t h x e -≤=，所以t e ≥-. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； ③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.26．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意2()62f x x ax '=-()01f '=，则3a =32()234,()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表当1,(1)2343x f ==-+=.所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(含答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(含答案解析)(4)

一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）． A ．0ae b >>B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >>3．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B ．24,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f <<5．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e6．设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(,3)-∞-C ．(3,)-+∞D ．(1,)(,1)+∞⋃-∞-7．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．设函数()x f x e x =-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则+a b 的最大值是（ ） A ．11e-B ．1C ．1e -D ．22e -9．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ）A ．300万元B ．252万元C ．200万元D ．128万元10．若函数()()11xf x e a x =--+在(0，1)上不单调，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,1e +B ．[]2,1e +C ．(][),21,e -∞⋃++∞D ．()(),21,e -∞⋃++∞11．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞12．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题13．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =. ②直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()21y x =+.③直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =. ④直线l ：1y x =+在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y e =. ⑤直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =.14．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是____________.15．已知函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，则实数a 的取值范围为______．16．若对任意a ，b 满足0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，则实数m 的最大值为_____________________.17．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________18．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，则正整数a 的最大值为_______.19．已知成立, 则实数a 的取值范围是 ．20．若函数()ln f x ax x =-在区间()0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()ln ()=+∈f x x x ax a R ． （Ⅰ）当0a =，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()()ln g x f x x =+在区间[1,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； 22．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值； （2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数2()ln ()f x a x a x=-∈R . （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有两个零点，求a 的取值范围. 24．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 25．已知函数())ln f x a x x a =∈R ． （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[1,4]上的最小值．26．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==， ∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．D解析：D【分析】根据题意将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案. 【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠，因为函数()e =-xf x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程xb e a x=在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x-=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x=∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0be a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.3．D解析：D【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解； 【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点， 所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．4．B解析：B 【分析】 构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=．当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.5．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．6．D解析：D 【分析】利用导数判断函数在[)0,+∞的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式. 【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin xf x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==． 7．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.8．C解析：C 【分析】先设切点写出曲线的切线方程，得出a 、b 的值，再利用构造函数利用导数求+a b 的最大值即可. 【详解】解：由题得()1x f x e '=-，设切点(t ，())f t ，则()t t f t e =-，()1tf t e '=-；则切线方程为：()(1)()t t y e t e x t --=--， 即(1)(1)tty e x e t =-+-，又因为y ax b =+， 所以1t a e =-，(1)tb e t =-， 则12t t a b e te +=-+-，令()12ttg t e te =-+-，则()(1)tg t t e '=-，则有1t >，()0g t '<；1t <，()0g t '>，即()g t 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减， 所以1t =时，()g t 取最大值(1)121g e e e =-+-=-， 即+a b 的最大值为1e -. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题.9．C解析：C 【分析】求得函数的导数，得到函数的单调性，进而求解函数的最大值，即可得到答案. 【详解】由题意，函数31812863y x x =-+-，所以281y x '=-+，当09x <<时，0y '>，函数()f x 为单调递增函数； 当9x >时，0y '<，函数()f x 为单调递减函数，所以当9x =时，y 有最大值，此时最大值为200万元，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用，准确判定函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．A解析：A 【分析】求导得()1xf x e a '=-+，原问题可转化为()'f x 在(0,1)上有变号零点，由于()'f x 单调递增，只需满足()()010f f ''<，解之即可． 【详解】 解：()(1)1x f x e a x =--+，()1x f x e a '∴=-+，若()f x 在(0,1)上不单调，则()'f x 在(0,1)上有变号零点， 又()f x '单调递增，()()010f f ''∴<，即(11)(1)0a e a -+-+<，解得21a e <<+．a ∴的取值范围是(2,e +1)．故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．D解析：D 【分析】构造新函数2()()xg x ef x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．C解析：C 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()xxg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞，所以2a >即可， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13．①③【分析】根据直线在点处切过曲线的定义对5个函数逐个判断可得答案【详解】对于①由得所以则直线：是曲线：在点处的的切线又当时当时满足曲线在附近位于直线的两侧故直线：在点处切过曲线：故①正确；对于②由解析：①③ 【分析】根据直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义，对5个函数逐个判断可得答案. 【详解】对于①，由3y x =，得23y x '=，所以0|0x y ='=，则直线l ：0y =是曲线C ：3y x =在点()0,0P 处的的切线，又当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，满足曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =，故①正确；对于②，由()21y x =+，得2(1)y x '=+，所以1|0x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处与曲线C ：()21y x =+不相切，故②不正确；对于③，由sin y x =，得cos y x '=，所以0|1x y ='=，则直线l ：y x =是曲线C ：sin y x =在点()0,0P 处的切线，令sin y x x =-，则1cos y x '=-，当02x π-<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π-<<时，0sin 0y x <-=，当02x π<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π<<时，0sin 00y >-=，所以当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，所以曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =，故③正确；对于④，由x y e =，得e xy '=，所以0|1x y ='=，则曲线C ：x y e =在点()0,1P 处的切线方程为10y x -=-，即1y x =+，令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 递增，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 递减，则当0x =时，函数()g x 取得极小值，同时也是最小值(0)0g =，则()0g x ≥，即1x e x ≥+，则曲线C ：xy e =不在切线l ：1y x =+的两侧，故④不正确；对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，所以|11y x '==，所以曲线C ：ln y x =在点()1,0P 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-，令()1ln g x x x =--，则1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，函数()g x 取得极小值，也是最小值，所以()(1)0g x g ≥=，所以曲线C ：ln y x =不在切线l ：1y x =-的两侧，故⑤不正确.故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：对直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义正确理解是解题关键.14．【分析】首先利用导数判断函数的单调性再根据函数在开区间内存在最大值可判断极大值点就是最大值点列式求解【详解】由题可知：所以函数在单调递减在单调递增故函数的极大值为所以在开区间内的最大值一定是又所以得 解析：(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解. 【详解】由题可知： 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==， 所以03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].-- 故答案为：(]3,2-- 【点睛】关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式.15．【分析】先由题意得到关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实根令对其求导判定其单调性以及的取值情况即可得出结果【详解】因为函数的图象与x 轴交于不同两点所以关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实 解析：1a >【分析】先由题意，得到关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a +=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，对其求导，判定其单调性，以及()g x 的取值情况，即可得出结果. 【详解】因为函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，所以关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a+=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，则()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点， 又()()24311ln 212ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+⋅ ⎪--⎝⎭'==， 令()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<在()0,∞+上恒成立，则()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()312ln 0x xg x x --'=>，则()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()312ln 0x xg x x --'=<，则()g x 单调递减； 所以()()max 110g x g ==>，又211101eg e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =；因此当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,1x x ∈时，()0g x >； 又当1x >时，ln 0x >，所以()0g x >； 因此，为使()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点，只需101a<<，解得1a >. 故答案为：1a >. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法处理由函数零点个数求参数问题时，一般需要根据函数零点个数，得到对应方程的根的个数，再分离参数，构造新的函数，对新函数求导，利用导数的方法判定其单调性，确定函数的取值情况，进而可求出结果.（也可利用数形结合的方法求解）16．【分析】根据0<a<b<m 都有令则在上是减函数由求解【详解】因为0<a<b<m 都有令所以在上是减函数所以解得所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用还考查了分析求解问题解析：1e【分析】根据0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，令()ln f x x x =，则()f x 在()0,m 上是减函数，由()0f x '<求解.【详解】因为0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >， 令()ln f x x x =，所以()f x 在()0,m 上是减函数， 所以()1ln 0f x x '=+<， 解得10x e<<， 所以m 的最大值为1e， 故答案为：1e【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.17．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()xg x f x e =，则()()xg x f x e --=-，因为2()()0xf x ef x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()x x xg x f x e f x e f x f x e '''=+=+，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增； 又不等式21()(1)x f x ef x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-，所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.18．【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性得到在R 上恒成立再利用导数分析解答即得解【详解】因为当时有不等式成立所以令所以函数g(x)在（0+∞）上单调递增由题得所以函数g(x)是奇函数所以函数在R 解析：2【分析】令2()(),g x x f x =先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到e x ax >在R 上恒成立，再利用导数分析解答即得解. 【详解】因为当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，所以()()22+20,[()]0x f x xf x x f x ''>∴>，令2()(),g x x f x =所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增， 由题得22()()()g(x),g x x f x x f x -=-=-=- 所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R 上单调递增. 因为对x R ∀∈，不等式()()2220xxe f e a x f ax ->恒成立，所以()()222,()()e xxxxe f ea x f ax g e g ax ax >∴>∴>，，因为a >0,所以当x≤0时，显然成立.当x ＞0时，()(0)xe a h x x x<=>，所以2(1)()xx e h x x-'=，所以函数h (x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a ＜e,所以正整数a 的最大值为2. 故答案为2 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.19．【详解】当时当时时有最小值因为所以考点：函数的单调性 解析：【详解】，当时，，当时，()0,1f x x '>∴=-时，有最小值()1f -．因为()max g x a =， 所以．考点：函数的单调性．20．【分析】求出函数的导数问题转化为在区间恒成立求出的范围即可【详解】若函数区间上为减函数则在区间恒成立即因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性函数的单调性的性质属于中档题解析：(],1-∞【分析】求出函数的导数，问题转化为10a x-在区间(0,1)恒成立，求出a 的范围即可． 【详解】()f x ax lnx =-，(0)x >， 1()f x a x∴'=-，若函数()f x ax lnx =-区间(0,1)上为减函数， 则10a x-在区间(0,1)恒成立，即1()min a x ，因为(0,1)x ∈， 所以min11x ⎛⎫>⎪⎝⎭， 所以1a ≤.故答案为：(-∞，1]． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于中档题．三、解答题21．（1）11()f e e=-；（2）2a ≥- 【分析】（1）对函数求导，令'()ln 1=0=+f x x ，讨论函数的单调性即可求出结果.（2）由()g x 在区间[1,)+∞单调递增，可得'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数可得：1ln (1)+≥-+x a x ，构造函数即可求出结果. 【详解】（1）()ln 1,'()ln 1=+=+f x x x f x x 令'()ln 1=0=+f x x ，解得1=x e当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：所以min ()()f x f ee==-（2）1'()ln 1=+++g x x a x， ()g x 在区间[1,)+∞单调递增，所以'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，即1ln (1)+≥-+x a x在[1,)+∞恒成立 设221111()ln ,'()0-=+∴=-=>x h x x h x x x x x1()ln ∴=+h x x x[1,)+∞单调递增，min ()=(1)=1h x h 只需1(1)≥-+a 即可，解得2a ≥-【点睛】方法点睛：()g x 在区间[1,)+∞单调递增'()0⇔≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数，构造函数是常用方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.. 22．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x +在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =； （2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210af x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x时等号成立，故min 2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 23．（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞；（2）()22,e e --. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）首先说明0a =无零点，0a ≠时，()0f x =变形为1ln 2x x a =.引入ln ()2x x g x =，利用导数研究的单调性与极值，结合方程有两个解可得参数范围． 【详解】解：（1）当1a =-时，2()ln f x x x=+，则22212()(0)x f x x x x x -'=-+=>.令()0f x '，得2x ，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递增；令()0f x '<，得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减. 故当1a =-时，()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞. （2）当0a =时，2()f x x=没有零点，则0a =不符合题意. 当0a ≠时，令2()ln 0f x a x x =-=，得1ln 2x x a =. 设ln ()2x x g x =，则ln 1()2x g x +'=. 由()0g x '>，得1x e >；由()0g x '<，得211x e e<<. 则()g x 在211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故min 11()2g x g e e⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为2211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以21112e a e -<<-， 解得22e a e -<<-.故a 的取值范围为()22,e e --. 【点睛】思路点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数零点个数问题．解题思路是函数零点个数转化为方程的解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值等性质后可得结论，关键是转化． 24．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 25．（1）单调递增区间为(4,)+∞；单调递减区间为(0,4)；（2）min2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.【分析】（1）当1a =-时，()f x '=，进而得4x >时，()0f x '>， 04x <<时，()0f x '<，进而得函数的单调区间；（2）2()2af x x+'=，故分1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论即可得答案.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =-时，12()2f x x x-'=-= 当4x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为(4,)+∞；当04x <<时，()0f x '<，则()f x 的单调递减区间为(0,4).（2）()a f x x '== 当1a ≤-时，()0,()f x f x '≤在[1,4]上单调递减，此时，()min (4)2ln 22f x f a ==+ 当12a ≥-时，()0,()f x f x '≥在[1,4]上单调递增， 此时，()min (1)1f x f == 当112a -<<-时，若214x a <<，则()0,()f x f x '<单调递减； 若244a x <<，则()0,()f x f x '>单调递增此时，()()22min ()4ln 42ln(2)2f x f a a a a a a ==+=--． 综上所述：min 2ln 22,11()2ln(2)2,1211,2a a f x a a a a a ⎧⎪+≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪≥-⎪⎩【点睛】本题考查利用导数求解函数的最小值问题，考查分类讨论思想和运算求解能力，其中第二问解题的关键在于求导得()f x '=1a ≤-，112a -<<-，12a ≥-三种情况讨论求解，是中档题.26．（1）20x y e --=；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可；（2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果.【详解】解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==， ∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1x f x x ae '=+-，因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10x f x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，ln 1x x a e+∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()x x g x e +=，则1ln 1()xx x g x e --'=， 由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增，(1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减， 故max 11()(1)g x g a e e==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(含答案解析)(2)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(含答案解析)(2)

一、选择题1．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<4．已知函数()22sin x mf x ex +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 5．已知函数()f x 的导函数是'()f x ，'()f x 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(2,1)--上单调递减B ．函数()f x 在3x =处取得极大值C ．函数()f x 在(1,1)-上单调递减D ．函数()f x 共有4个极值点6．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，7．已知函数()()30f x ax bx c ac =++<，则函数()y f x =的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知定义域为R 的函数 f x （） 的导函数为'f x （） ，且满足'24f x f x （）﹣（）＞ ，若 01f =（）﹣ ，则不等式22x f x e +（）＞ 的解集为（ ）A ．∞（0，+）B ．1+∞（﹣，）C ．0∞（﹣，）D ．1（﹣，﹣）∞ 9．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2xf x e ->的解集是（ ） A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．(),0-∞10．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-11．已知函数()ln f x ax x =-，若()0f x ≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．1[,)e+∞C ．[1,)+∞D ．[),e +∞12．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题13．对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，恒有2121(ln ln )2()a x x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.14．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.15．函数21f x x x 的极大值为_________.16．函数()31443f x x x =-+的极大值为______. 17．若不等式224x x ax b lnx -++对任意的[]1,x e ∈恒成立，则实数b 的最大值为______.18．已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______________.19．已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0x f x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________20．已知函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数()ln ()=+∈f x x x ax a R ． （Ⅰ）当0a =，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()()ln g x f x x =+在区间[1,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； 22．已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围； （2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点.23．如图一边长为10cm 的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积V （单位：cm 2）是关于截去的小正方形的边长x （单位：cm ）的函数．（1）写出体积V 关于x 的函数表达式()f x ．（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？ 24．已知函数2()22ln (,)f x x mx x m m n R =+-+∈. （1）若直线2y mx =与曲线()y f x =相切，求m 的值；（2）若函数()()4ln g x f x x =+有两个不同的极值点()1212,x x x x <，求()211g x x x +的取值范围.25．已知函数()x ax f x e=． （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若0a >，函数()()212g x f x x x =+-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 26．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g (x )＝ln xx，x ∈(0，e ]，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f (x )>g (x )＋12； （3）是否存在正实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x ---=-=设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.2．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()0g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃.故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx x x f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符； 如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.4．A解析：A 【分析】()0f x =有两解变形为2sin m xxe e =有两解， 设2sin ()xxg x e=，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】 由()22sin x m f x e x +=-得2sin m xxe e =，设2sin ()xxg x e=，则2(cos sin )()x x g x -'=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mxx e e =有两解得34411m e e e ππ≤<，所以344m ππ-≤<-． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2sin m xe =2sin ()x g x =my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．5．C解析：C 【分析】对于选项A ，函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确；对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，故D 错误.【详解】对于选项A ，由导函数的图象得函数()f x 在(2,1)--上单调递增，故A 错误；对于选项B ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,3)上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，所以3x =不是()f x 的极值点，故B 错误；对于选项C ，由导函数的图象得函数()f x 在(1,1)-上单调递减，故C 正确； 对于选项D ，由导函数的图象得函数()f x 共有3个极值点，3,1x x =-=是极小值点，1x =-是极大值点，故D 错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：（1）函数()f x 的()0f x '>在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递增；函数()f x 的()0f x '<在(,)a b 上恒成立，则函数()f x 在(,)a b 上单调递减.（2）如果函数()f x 的极值点是0x ，则0x 附近左右两边的导数符号相反.6．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0x x x xg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 7．B解析：B 【分析】利用函数()f x 的对称性排除A 选项；然后分0a >和0a <两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，结合()0f 的符号可得出合适的选项. 【详解】()3f x ax bx c =++，则()3f x ax bx c -=--+，()()2f x f x c ∴+-=，所以，函数()f x 的图象关于点()0,c 对称，排除A 选项；()3f x ax bx c =++，则()23f x ax b '=+，当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 又0ac <，()00f c ∴=<，排除D 选项；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 又0ac <，()00f c ∴=>，排除C 选项. 故选：B ． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.8．A解析：A 【解析】 设()()22xf x F x e+=，则()()()224xf x f x F x e'--'=，∵f (x )−2f ′(x )−4>0，∴F ′(x )>0,即函数F (x )在定义域上单调递增， ∵f (0)=−1,∴F (0)=1，∴不等式f (x )+2>e 2x 等价为不等式()221e xf x +>等价为F (x )>F (0)，解得x >0，故不等式的解集为(0,+∞)， 本题选择A 选项.9．D解析：D 【分析】构造新函数2()()xg x ef x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解． 【详解】 令2()()xg x ef x =，则2()[2()()]xg x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】根据条件构造函数2()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解. 【详解】由题意，设2()()g x x f x =，则2'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>， 所以当0x >时，'()0g x >，所以函数2()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >， 根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞， 故选B. 【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目.11．B解析：B 【分析】()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，设()ln g xx x=，求出()g x 的导数，进而求出其最大值，得到答案. 【详解】()ln 0f x ax x =-≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立，即ln xa x ≥对一切(0,)x ∈+∞恒成立设()ln g x x x=，则()21ln 'xg x x -=由()21ln '0x g x x -=>，则0x e <<，由()21ln '0xg x x-=<，则x e > 所以()g x 在()0e ，上单调递增，在()+∞e ，上单调递减. 当x e =时， ()g x 有最大值()1g e e= 所以1a e≥ 故选：B 【点睛】本题考查恒成立求参数问题，考查分离参数法的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()xxg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】构造函数求得的取值范围化简不等式求得的取值范围【详解】构造函数依题意任意当时表示函数在区间上任意两点连线的斜率故当时对于任意当时不等式成立当时对于任意当时不等式恒成立可转化为恒成立故综上所述 解析：(,2]-∞【分析】构造函数()()ln 1f x x x =≥，求得()'fx 的取值范围，化简不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-求得a 的取值范围.【详解】构造函数()()ln 1f x x x =≥，()(]'10,1f x x=∈， 依题意任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，2121ln ln 0,0x x x x ->->，2121ln ln x x x x --表示函数()f x 在区间[1,)+∞上任意两点连线的斜率，故()2121ln ln 0,1x x x x -∈-. 当0a ≤时，对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-成立.当0a >时，对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-恒成立可转化为2121ln ln 2x x x x a -<-恒成立，故(]21,0,2a a≥∈.综上所述，实数a 的取值范围是(,2]-∞. 故答案为：(,2]-∞ 【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，结合导数来求解..14．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值. 【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减； 当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.15．【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数 解析：427【分析】利用导数研究函数21f x x x 的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】()()21f x x x =-，定义域为R ，()()()()()2121311f x x x x x x '=-+-=--.令()0f x '=，可得13x =或1x =. 当13x <或1x >时，()0f x '>，此时，函数21f x x x 单调递增；当113x <<时，()0f x '<，此时，函数21f x x x 单调递减.所以，函数21f xx x 在13x =处取得极大值，且极大值为21114133327f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：427. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析：283【分析】求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解. 【详解】()31443f x x x =-+,2()4,f x x '∴=-由()0f x '=解得2x =±，2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<， 2x ∴=-是()f x 的极大值点，∴函数的极大值为128(2)(8)8433f -=⨯-++=， 故答案为：283【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.17．2【分析】由对任意的恒成立得对任意的恒成立令利用导数研究函数的单调性在同一坐标平面内作出两个函数的图象求出过且与函数相切的直线在轴上的截距数形结合得答案【详解】解：由对任意的恒成立得对任意的恒成立令解析：2 【分析】由224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立，得2224x x ax b lnx x -+-+-对任意的[1x ∈，]e 恒成立，令2()2f x x x =-+-，2()4g x lnx x =-．利用导数研究函数()g x 的单调性，在同一坐标平面内作出两个函数的图象，求出过(1,1)-且与函数2()2f x x x =-+-相切的直线在y 轴上的截距，数形结合得答案．【详解】解：由224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立， 得2224x x ax b lnx x -+-+-对任意的[1x ∈，]e 恒成立， 令2()2f x x x =-+-，2()4g x lnx x =-．由2()4g x lnx x =-，得2442()2(1)x g x x x e x x-'=-=．当(1,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减．在同一平面直角坐标系内，作出函数()y f x =与()y g x =的图象如图：设过(1,1)-与2()2f x x x =-+-相切的直线方程为1(1)y k x +=-，联立2(1)12y k x y x x =--⎧⎨=-+-⎩，消去y 得2(1)10x k x k +-+-=． 由2(1)4(1)0k k ∆=---=，解得3k =-或1k =． 当3k =-时，直线方程为32y x =-+．由图可知，满足不等式224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立的实数b 的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题．18．【分析】求得导函数后代入不等式则可将不等式化为根据能成立的思想可得利用基本不等式可求得最小值进而得到结果【详解】即为整理得到即使得成立（当且仅当即时取等号）即实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考 解析：)2,+∞【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为12a x x>+，根据能成立的思想可得min 12a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.【详解】()()()2ln 12f x x x a x x a '=++-+-，()()f x xf x '∴>即为()()()222ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a +->++-+-，整理得到22210x ax -+<，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得221122x a x x x+>=+成立，12x x +≥=12x x =，即2x =时取等号），a ∴>，即实数a 的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞.【点睛】本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.19．【分析】令根据题中条件得到为偶函数；对其求导根据题中条件判定在上单调递减；则在上单调递增；化所求不等式为求解即可得出结果【详解】令则因为所以即所以函数为偶函数；又当时所以即函数在上单调递减；则在上单解析：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】令()()xg x f x e =，根据题中条件，得到()g x 为偶函数；对其求导，根据题中条件，判定()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增；化所求不等式为1x x ≥-，求解，即可得出结果.【详解】令()()xg x f x e =，则()()xg x f x e --=-，因为2()()0xf x ef x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-，所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()xxxg x f x e f x e f x f x e '''=+=+，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减；则()g x 在()0,∞+上单调递增； 又不等式21()(1)x f x ef x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-，所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，考查导数的方法判定函数单调性，涉及绝对值不等式的解法，属于常考题型.20．【分析】根据题意可得只有一个解只有一个解与只有一个交点求导数分析单调性及当时；当时画出函数的草图及可得的取值范围再检验是否符合题意即可得出答案【详解】解：因为函数有且仅有一个极值点所以只有一个解即只 解析：(,0]-∞【分析】根据题意可得()210f x lnx ax '=-+=只有一个解12lnx a x+⇒=只有一个解2y a ⇒=与1()lnx y g x x+==只有一个交点，求导数()g x '，分析单调性，及当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，画出函数()g x 的草图，及可得a 的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案． 【详解】解：因为函数()(ln )f x x x ax =-有且仅有一个极值点，所以1()ln ln 210f x x ax x a x ax x ⎛⎫'=-+-=-+= ⎪⎝⎭只有一个解， 即ln 12x a x+=，只有一个解， 即2y a =与ln 1()x y g x x+==只有一个交点， 因为2ln ()xg x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==，当0x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 画出函数()g x 的草图如下：结合图象可得21a =或20a ≤， 解得12a =或0a ≤， 当12a =时，21()ln 2f x x x x =-， 所以()1ln f x x x '=+-，令()1ln h x x x =+-，所以1()1h x x'=-， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 没有极值点. 所以实数a 的取值范围是(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞ 【点睛】本题考查利用导数分析极值，解题关键是转化思想的应用，属于中档题．三、解答题21．（1）11()f e e=-；（2）2a ≥- 【分析】（1）对函数求导，令'()ln 1=0=+f x x ，讨论函数的单调性即可求出结果.（2）由()g x 在区间[1,)+∞单调递增，可得'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数可得：1ln (1)+≥-+x a x ，构造函数即可求出结果. 【详解】（1）()ln 1,'()ln 1=+=+f x x x f x x 令'()ln 1=0=+f x x ，解得1=x e当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：所以min ()()f x f ee ==-（2）1'()ln 1=+++g x x a x， ()g x 在区间[1,)+∞单调递增，所以'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，即1ln (1)+≥-+x a x在[1,)+∞恒成立 设221111()ln ,'()0-=+∴=-=>x h x x h x x x x x1()ln ∴=+h x x x[1,)+∞单调递增，min ()=(1)=1h x h 只需1(1)≥-+a 即可，解得2a ≥-【点睛】方法点睛：()g x 在区间[1,)+∞单调递增'()0⇔≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数，构造函数是常用方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.. 22．（1）(]0,1；（2）证明见解析. 【分析】（1）转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立，利用二次函数知识可求得结果； （2）构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数可得()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，其中()01,0x ∈-，再根据零点存在性定理可证结论成立. 【详解】（1）因为()f x 在[]22-,上是单调增函数，所以()()()()2222222140xxxf x ax e ax x e ax a x e '⎡⎤=++++=+++⎦≥⎣在[]22-,上恒成立，又0x e >，所以()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立. 令()()2214g x ax a x =+++，又0a >，故对称轴为110x a=--<. ①当112a--≤-，即01a <≤时，()g x 在[]22-,上单调递增， 则()()min 244(1)40g x g a a =-=-++=，所以此时()()20g x g ≥-=恒成立. ②当1210a -<--<，即1a >时，()g x 在12,1a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,2a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()1g x g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()21112114a a a a ⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()2a a =-++()21a a-=-0<，所以()0g x ≥在[]22-,上不恒成立，故1a >不合题意， 综上所述，a 的取值范围是(]0,1.（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以4410x e =-=-<极大值，210x =-=-<极小值 因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=， 当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>， 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e-=-<，()030h =-<，()1560h e =->， 故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈，所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立是解题关键，第（2）问构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数研究函数的零点是解题关键.23．（1）()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈；（2）小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是200027cm 3． 【分析】（1）根据长方体的体积公式可得答案； （2）利用导数求()f x 单调区间及极值可得答案. 【详解】（1）由题意可得()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈.（2）()()()()24320254355f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得53x =，5x =，∴53x =时，()f x 的最大值为52000327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 截去的小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是()3200027cm ． 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．24．（1）1m =-；（2）(,4)-∞-. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由导数的几何意义可求得m 值：设切点00(,)x y ，0()2f x m '=，及切点在切线上又在函数图象上可得；（2）求出()'g x ，()0g x '=的两解为12,x x ，由韦达定理得1212221,1,x x m x x m x x ⎛⎫+=-==-+ ⎪⎝⎭，可得21>x ，这样()211g x x x +可表示为2x 的函数，再由导数可求得其范围． 【详解】（1）由题意知(0,)x ∈+∞，2()22f x x m x'=+-，设直线2y mx =与曲线()y f x =相切于点()00,x y 所以()()0000022f x m y f x y mx '⎧=⎪=⎨⎪=⎩，，，整理得201x =，得01,1x m ==-；（2）2()22ln g x x mx x m =+++，所以()2212()22x mx g x x m x x'++=++=， 所以12,x x ，是方程210x mx ++=的两个根， 所以1212221,1,x x m x x m x x ⎛⎫+=-==-+ ⎪⎝⎭，因为120x x <<，所以21>x ，所以()22122211222ln 1g x x x mx x m x x x +++++=()3322222222ln 1x x x x x x =---+>，令()()()()3222222222222222ln 1,32ln h x x x x x x x h x x x x '=---+>=-+-，()ln p x x x =-，则11()1x p x x x-'=-=，1x >时，()0p x '<，()p x 递减，所以()(1)10p x p <=-<，所以220ln x x <-，所以()()220h x h x '<，在(1,)x ∈+∞上单调递减，()2(1)4h x h <=-，从而()211g x x x +的取值范围为(,4)-∞-. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的取值范围．解题关键是对多变量函数()211g x x x +进行消元，转化为一元函数，然后利用导数求得其取值范围．根据是12,x x 是方程()0g x '=的两根，由韦达定理建立三个变量之间的关系．25．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间；（2）由0g x，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：（1）当1a =时，()xxf x e =，定义域为R ， 所以()1xxf x e -'=． 当1x <时，0f x ，函数()f x 单调递增； 当1x >时，0fx，函数()f x 单调递减．综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增； 在区间1,上单调递减．（2）因为0a >，函数()212x ax g x e x x =+-， 所以()()()111x xx a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭． 当0g x时，得1x =，或ln x a =．①若ln 1a =，即a e =，则0g x恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点． ②若ln 1a <，即0a e <<， 当ln x a <时，0g x，函数()g x 单调递增； 当ln 1a x <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当1x >时，0g x，函数()g x 单调递增．（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 又因为()2220ag e=>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>， 又因为()2220g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 若函数()g x 只有1个零点，需()1102a e g =->， 解得2ea e <<． ③若ln 1a >，即a e >，当1x <时，0g x，函数()g x 单调递增；当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减； 当ln x a >时，0g x，函数()g x 单调递增．所以()()100g g >=，()21ln ln 02g a a => 所以函数()g x 在R 上只有1个零点．综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题26．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2a e =. 【分析】(1)根据f (x )＝x －ln x ，求导得11()1x f x x x'-=-=，分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0求解单调性和极值.(2)要证 f (x )>g (x )＋12，即证[f (x )]min －[g (x )]max >12，由(1)知f (x )在(0，e ]上的最小值为1，再利用导数法求得[g (x )]max 即可.(3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3，求导11()ax f x a x x'-=-=，分0<1a <e ，1a ≥e 讨论求解.【详解】(1)因为f (x )＝x －ln x ，所以11()1x f x x x'-=-=， 所以当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1. (2)∵f (x )的极小值为1，∴f (x )在(0，e ]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝21ln x x -， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝112e <， ∴[f (x )]min －[g (x )]max >12， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12. (3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3， 则11()ax f x a x x'-=-=. ①当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a，e ]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当1a≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)， 所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时f (x )有最小值3. 【点睛】方法点睛：不等式问题.（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(含答案解析)(1)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知1a e =，ln33b =，ln 44c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<2．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-3．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B ．24,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．已知函数()2()x xf x x e e x-=⋅-+，若()()()f x f y f x y <<+，则（ ）A ．0xy >B ．0xy <C ．0x y +>D ．0x y +<5．已知()f x 是可导函数，且()()ln f x x x f x '<⋅对于0x ∀>恒成立，则（ ） A ．()()()283462f f f << B ．()()()623428f f f << C ．()()()346229f f f <<D ．()()()286234f f f <<6．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e7．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ） A ．34B ．16C ．24D ．178．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r ，高为h 的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9．若定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e ⋅>+ (其中e 为自然对数的底数)的解集为（ ） A ．(0)(0)-∞+∞，， B ．(0)(3)-∞⋃+∞，， C ．(0)+∞，D ．(3)+∞，10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(3)2(2)2ef f e +<+ B ．(3)2(2)2ef f e +>+ C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+11．设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x '为其导函数，()20f =，当0x >时，有()()'>xf x f x 恒成立，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),20,2-∞-C ．()()2,00,2-D ．()()2,02,-+∞12．若函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．2{1},e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2{1},0e ⎡⎫-⋃-⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(2f x '>，则)(24f x x >+的解集为______．14．若0x ∀>，不等式ln 2(0)a x b a x ++≥>恒成立，则ba的最大值为________. 15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．16．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为________. 17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.18．函数31()3f x x ax =-的极大值为a =__________． 19．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()32xxf x f x x e'-=，()339f e =，则关于x 的方程()>f x e 的解集为_____________.20．已知函数22(0)()4(0)x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若x R ∀∈，()f x mx ≥，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题21．已知函数()()()2220xf x ax x ea =++>，其中e 是自然对数的底数.（1）若()f x 在[]22-,上是单调增函数，求a 的取值范围； （2）证明：当1a =时，方程()5f x x =+有且只有两个零点.22．已知函数21()ln 2x f x x x -=-．（1）求()f x 的单调区间； （2）设()*ln 1,1,2,k k a n k n n ⎫⎛=+∈=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭N ，在（1）的条件下，求证：123214n n a a a a ++++⋅⋅⋅+<()*n ∈N ． 23．已知函数()()()242,f x x x a a R =--∈，()f x '为()f x 的导函数，且()10f '-=．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在[]22-,上的最大值和最小值． 24．已知函数()()22646x x e f x x x -=++.（1）求函数()f x 的单调区间，并求()f x 的最值； （2）已知[)0,1a ∈，()()()2322202x e a x x g x x x-++=>.①证明：()g x 有最小值；②设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 25．已知函数()2ln f x x a x =+.（1）当2a =-时，求函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程； （2）若()()2g x f x x=+在[1,+)∞上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 26．已知曲线3211()33f x x ax bx =+++在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B解析：B 【分析】 构造函数()ln xf x x=，利用导数分析函数()f x 在区间[),e +∞上的单调性，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当x e ≥时，()0f x '≤，所以，函数()f x 在区间[),e +∞上为减函数，34e <<，则()()()34>>f e f f ，即a b c >>.故选：B. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.2．B解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．D解析：D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解； 【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()xx x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e<， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点， 所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．4．A解析：A 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再分析得解. 【详解】由题得函数的定义域为R.()22())()(x x x x f x x e e x e e x x f x --=-+=-=-⋅-+,所以函数是偶函数.当0x >时，1()()2xx xx f x e xe xe x e-'=-+++， 因为0x >，所以()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 如果0,0x y >>，则0x y +>，因为()()()f x f y f x y <<+，所以x y x y <<+，与已知相符；如果0,0x y <<，则0x y +<，所以x y x y >>+,与已知相符； 如果0,0x y ><，因为()()f x f y <，所以0y x y <+<， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；如果0,0x y <>，因为()()f x f y <，所以0y x y >+>， 所以()()f y f x y >+，与已知矛盾；当,x y 之中有一个为零时，不妨设0y =，()()f x y f x += ，()()()f x f y f x <<，显然不成立.故选：A 【点睛】方法点睛：对于函数的问题，要灵活利用函数的奇偶性和单调性分析函数的问题，利用函数的图象和性质分析函数的问题.5．B解析：B 【分析】 构造函数()()ln f x g x x=，利用导数判断出函数()y g x =在区间()1,+∞上为增函数，可得出()()()248g g g <<，进而可得出结论. 【详解】令()()ln f x g x x=，则()()()()2ln ln xf x x f x g x x x '-'=． 当1x >时，由()()ln f x x x f x '<⋅得()0g x '>， 所以函数()()ln f x g x x=在()1,+∞上是增函数， 于是()()()248g g g <<，即()()()248ln 2ln 4ln 8f f f <<，即()()()248ln 22ln 23ln 2f f f <<. 化简得，()()()623428f f f <<， 故选：B.6．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)，则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．7．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值． 【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下：所以，函数y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34，故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．8．B解析：B 【分析】利用体积相等可得出216r h ，再将圆柱表面积表示出来将216h r=代入求导即可得最值. 【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4，高为3的圆锥为2143163ππ⨯⨯⨯=， 底面半径为r ，高为h 的圆柱2r h π， 所以216r h ππ=，可得216r h ，即216h r =圆柱的表面积为：2222163222222S r rh r rr r rππππππ=+=+=+， 322324324r S r r r ππππ-'=-=， 令324320r S r ππ-'=>可得2r >，令324320r S rππ-'=<可得02r <<， 所以2r 时，表面积最小为23222242S πππ=⨯+=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用体积相等得出h 和r 的关系，再将圆柱表面积用r 表示利用导数求最值.9．C解析：C 【分析】构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，解不等式()0g x >即可，对()g x 求导得()[()()1]0x g x e f x f x ''=+->，可得()g x 在R 上单调递增，且(0)0g =，根据单调性可得0x >，即得正确答案. 【详解】令()()3x xg x e f x e =⋅--，则()()()[()()1]0xxxxg x e f x e f x e e f x f x '''=⋅+⋅-=+->，所以()g x 在R 上单调递增， 又因为0(0)(0)30g e f e =⋅--=， 所以()0>g x ⇒0x >，即不等式的解集是(0)+∞，， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()3xxg x e f x e =⋅--，所要解的不等式等价于()0g x >，且(0)0g =，所以()()0g x g >，因此需要对()g x 求导判断单调性即可. 10．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.11．B解析：B 【分析】 构造函数()()f xg x x=，易知()g x 在()0,∞+上单调递增，由()f x 是定义在R 上的偶函数可推出()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，故()g x 在(),0-∞上也单调递增，且()()220g g =-=.而不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解，从而得解. 【详解】解：设()()f x g x x =，0x ≠，则()()()'2xf x f x g x x-'=， ∵当0x >时，有()()'xf x f x >恒成立，∴当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 是定义在R 上的偶函数， ∴()()()()f x f x g x g x x x--===---，即()g x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， ∴()g x 在(),0-∞上也单调递增. 又()20f =，∴()()2202f g ==，∴()20g -=. 不等式()0xf x <的解可等价于即()0g x <的解， ∴02x <<或2x <-， ∴不等式的解集为()(),20,2-∞-.故选：B . 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题．12．B解析：B 【分析】先对函数求导，可得当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，从而得min ()(0)1f x f a ==--，而x →+∞时，()f x →+∞，所以要函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，只要满足10a --=或20a e--，从而可求出a 的取值范围 【详解】()x f x xe '=，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．从而min ()(0)1f x f a ==--，又2(1)f a e-=--，且x →+∞时，()f x →+∞， ∴10a --=或20a e --， 即1a =-或2a e-． 故选：B 【点睛】此题考查由导数解决函数零点问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的 解析：)(1,-+∞【分析】构造函数)(()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论. 【详解】设)(()24g x f x x =--，则)(()2g x f x ='-'， 因为对任意x ∈R ，)(2f x '>，所以()0g x '>， 所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，因为)(12f -=，所以)((1)124440g f -=-+-=-=， 由()()10g x g >-=，可得1x >-， 则)(24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.14．【分析】先设对其求导求出其最小值为得到再令对其求导导数的方法研究其单调性得出最大值即可得出结果【详解】设则因为所以当时则函数单调递减；当时则函数单调递增；所以则令则；由可得；所以当时则函数单调递增； 解析：2e【分析】先设()ln 2af x x x=++，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a +≤，再令()ln 3a g a a +=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果. 【详解】设()ln 2a f x x x =++，则()221a x a f x x x x'-=-=，因为0a >， 所以当()0,x a ∈时，()20x af x x-'=<，则函数()f x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()20x afx x'-=>，则函数()f x 单调递增； 所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥， 则ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a +=，则()221ln 32ln a a g a a a --+'==-；由()0g a '=可得，2a e -=； 所以当()20,a e-∈时，()22ln 0a g a a +'=->，则函数()g a 单调递增；当()2,a e -∈+∞时，()22ln 0ag a a +'=-<，则函数()g a 单调递减； 所以()()2222maxln 3e g a g ee e---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值.15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->， 解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.16．【分析】构造函数判断函数的单调性和奇偶性得到解得答案【详解】设函数当时函数单调递增为奇函数故为奇函数故函数在上单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式构造函数判断 解析：(),2019-∞-【分析】构造函数()()2g x x f x =，判断函数的单调性和奇偶性，得到()()20212g x g +<，解【详解】设函数()()2g x x f x =，当0x >时，()()()()()23220g x xf x x f x x f x xf x x '''=+=+>>⎡⎤⎣⎦，函数单调递增，()f x 为奇函数，故()g x 为奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，22(2021)(2021)4(2)(2021)(2021)4(2)0x f x f x f x f +++-=++-<，即()()20212g x g +<，即20212x +<，解得2019x <-. 故答案为：(),2019-∞-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数判断单调性和奇偶性是解题的关键.17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.18．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力【分析】求导数，取导数为0，计算x =. 【详解】函数31()3f x x ax =-的极大值为2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=当x =(f =所以3a = 故答案为3 【点睛】本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.19．【分析】由所给等式变形可得则令可求得c 从而求出的解析式利用导数研究函数的单调性利用函数单调性解不等式即可【详解】因为所以即所以因为所以解得则当时函数在上单调递增又所以的解集为故答案为:【点睛】本题考 解析：()1,+∞【分析】由所给等式变形可得()2[]x f x e x'=，则()2x f x e c x=+，令3x =可求得c 从而求出()f x 的解析式，利用导数研究函数()f x 的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】因为()()32x xf x f x x e '-=，所以()()242xx f x xf x e x'-=，即()2[]x f x e x '=， 所以()2x f x e c x =+，因为()339f e =，所以33e e c =+，解得0c，则()2x f x e x=，()()20xf x x e x =>，当0x >时，()()22220x x x f x x e x e e x x '=⋅+⋅=+>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()1f e =，所以()()1f x e f >=的解集为()1,+∞. 故答案为: ()1,+∞ 【点睛】本题考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式，属于中档题.20．【分析】由函数的解析式分类讨论利用分离参数结合导数和基本不等式即可求解【详解】由题意函数（1）当时由可得即设可得当时单调递减；当时单调递增所以即；（2）当时由可得当时显然成立；当时可得因为当且仅当时 解析：[4,2]e -【分析】由函数的解析式，分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数22,0,()4,0,x e x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，（1）当0x >时，由()f x mx ≥，可得2xe mx ≥，即2xe m x≤，设2()xe g x x=，可得22(21)()x e x g x x -'=， 当102x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当12x >时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以min 1()22g x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2m e ≤； （2）当0x ≤时，由()f x mx ≥，可得24x mx +≥， 当0x =时显然成立； 当0x <时，可得4m x x ≥+，因为444x x x x ⎛⎫+=--+≤- ⎪-⎝⎭，当且仅当1x =-时取等号， 所以4m ≥-.综上可得，实数m 的取值范围是[4,2]e -， 故答案为：[4,2]e -. 【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题的求解，以及分段函数的性质的应用，其中解答中根据分段函数的分段条件，合理分类讨论，利用分离参数，结合导数和基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力.三、解答题21．（1）(]0,1；（2）证明见解析. 【分析】（1）转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立，利用二次函数知识可求得结果； （2）构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数可得()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，其中()01,0x ∈-，再根据零点存在性定理可证结论成立. 【详解】（1）因为()f x 在[]22-,上是单调增函数， 所以()()()()2222222140xxxf x ax e ax x e ax a x e '⎡⎤=++++=+++⎦≥⎣在[]22-,上恒成立，又0x e >，所以()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立. 令()()2214g x ax a x =+++，又0a >，故对称轴为110x a=--<. ①当112a--≤-，即01a <≤时，()g x 在[]22-,上单调递增， 则()()min 244(1)40g x g a a =-=-++=，所以此时()()20g x g ≥-=恒成立. ②当1210a -<--<，即1a >时，()g x 在12,1a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调递减，在11,2a ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()1g x g a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()21112114a a a a ⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()2a a =-++()21a a-=-0<，所以()0g x ≥在[]22-,上不恒成立，故1a >不合题意， 综上所述，a 的取值范围是(]0,1.（2）因为1a =，设()()2225xh x x x e x =++--，则()()()()2222221441xxxh x x e x x e x x e =++'++-=++-.令()()2441xx x x e ϕ=++-，则()()()()()()2224446842xxxxx x e x x e x x e x x e ϕ=+++'+=++=++，由()()()420xx x x e ϕ'=++=，得4x =-或2x =-.所以4410x e =-=-<极大值，210x =-=-<极小值 因为()1110eϕ-=-<，()030ϕ=>，所以存在()01,0x ∈-，使()00x ϕ=， 当()0,x x ∈-∞时，()0x ϕ<，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0h x '>， 所以()h x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 又因为()51750h e -=>，()410410h e-=-<，()030h =-<，()1560h e =->，故根据零点存在定理，可知()0h x =的根()15,4x ∈--，()20,1x ∈， 所以方程()5f x x =+有且只有两个零点. 【点睛】关键点点睛：第（1）问转化为()22140ax a x +++≥在[]22-,上恒成立是解题关键，第（2）问构造函数()()2225xh x x x e x =++--，利用导数研究函数的零点是解题关键.22．（1）()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区；（2）证明见解析. 【分析】（1）求导数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<得减区间；（2）由（1）得1x >时，()0f x >，即11ln ()2x x x<-，令1,1,2,,kx k n n =+=，代入后得n 个不等式，相加后可得证明题设结论． 【详解】（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞由21()ln 2x f x x x -=-，得()ln 1f x x x '=--令1()ln 1()1g x x x g x x'=--⇒=-()0(1,)()0(0,1)g x x g x x ''>⇒∈+∞<⇒∈即()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0f x f '''≥=，于是()f x 单调递增区间为(0,)+∞，无递减区（2）证明：由（1）可知()f x 在(0,)+∞上单调递增函数，又(1)0f =，∴当1x >时，()0f x >，11ln 2x x x ⎫⎛∴<- ⎪⎝⎭1ln 112k k k n k k a n n n k +-⎫⎫⎛⎛∴=+<+- ⎪ ⎪+⎝⎝⎭⎭1(1,2,)2kk k n n n k ⎫⎛=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭123112122111n n n a a a a n n n n n n ⎫⎛∴+++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭1121221n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎫⎛=+ ⎪+⎝⎭(1)(1)12122214n n n n n n n ++⎫⎛⎪ +=+=⎪ +⎪ ⎝⎭于是()*123214n n a a a a n ++++⋅⋅⋅+<∈N 得证． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数求单调区间，用导数证明数列不等式．这类问题的解决，通常后一小题需要用到前一小题（或前面所有）的结论，通过变形，赋值等手段进行证明求解．如本题第（1）小题函数单调性得出不等式11ln ()2x x x<-，只要在此不等式中对x 赋值1,1,2,,kx k n n=+=，n 个不等式相加即可．23．（1）单调递增区间为][4,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为9，最小值为10027-. 【分析】(1)先求出()'f x ，由()'10f -=求出a 的值，再由()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果. 【详解】(1) 函数()()()242(f x x x a a =--∈ R ),()()()22'2242628f x x x a x x ax ∴=-+-⨯=--.()'10,6280f a -=∴+-=,解得1a =.则()()()232421284,f x x x x x x x =--=--+∈ R .()()()2'6282341f x x x x x =--=-+,令()'0f x =，解得1241,3x x =-=. 由()'0f x >得43x >或1x <-，此时函数单调递增， 由()'0f x <得413x -<<，此时函数单调递减， 即函数的单调递增区间为][4,1,,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当22x -≤≤时，函数()f x 与()'f x 的变化如下表：由表格可知：当1x =-时，函数f x 取得极大值，19f -=， 当43x =时，函数()f x 取得极小值，4100327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()()20,20f f -==，可知函数()f x 的最大值为9，最小值为10027-. 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，属于难题. 求函数()f x 最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小24．（1）单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，最小值为1-，无最大值；（2）①证明见解析；②31627e ⎛⎤⎥⎝⎦，.【分析】（1）对()f x 求导，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<可得单调递减区间，比较极值即可得最值； 【详解】（1）()f x 的定义域为R()()()()()()()2322222446262424646x x xx e x x x e x x e f x xx xx ⎡⎤-++--+⎣⎦==++++'当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减， 当()0,+x ∈∞时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞单调递增， 所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞，()()min 01f x f ==-，()f x 最小值为()()min 01f x f ==-，无最大值.（2）①()()()()()()()22244242646464626=22462x x x e a x x x x x x x e g a f x a x x x x x x -+++++++⎡⎤-==++⎡⎤⎢⎥⎣⎦++⎣⎦'令()()x f x a ϕ=+，()0,+x ∈∞ ，由（1）知，()x ϕ单调递增，()010a ϕ=-<，()30a ϕ=≥ 所以存在唯一的(]00,3x ∈，使得()00x ϕ=，即()0020026046xx e a x x -+=++当00x x <<时，()0x ϕ<，()g x 单调递减；当0x x >时，()0x ϕ>，()g x 单调递增故()()()00200min 032000222246x x e a x x e g x g x x x x -++===++， 所以()g x 有最小值得证②令()020046x e h a x x =++，()00,3x ∈， ()()22222204646x xx x e e x x x x '++⎡⎤=>⎢⎥++⎣⎦++，所以()h a 单增， 所以，由()00,3x ∈，得()0033222001= < =6040646343627x e e e e h a x x =≤+⨯++++⨯+ 因为246xe x x ++单调递增，对任意31627e λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，存在唯一的()00,3x ∈，()[)00,1a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦， 综上：当[)0, 1a ∈，函数()g x 最小值为()h a ，函数()h a 的值域为31627e ⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【点睛】利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.25．（1）1y =；（2）0a ≥.【分析】（1）利用导数的几何意义可求得结果；（2）转化为()0g x '≥，即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立，再构造函数求出最大值即可得解.【详解】（1）当2a =-时，()22f x x lnx =-，定义域为(0,)+∞， 2222()2x f x x xx -'=-=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线的斜率为2212(1)01f ⨯-'==， 又(1)1201f =-⨯=，所以函数()f x 在点()()11f ，处的切线方程为1y =（2）因为()()2g x f x x=+22ln x a x x =++在[1,+)∞上是单调增函数， 所以322222()2a x ax g x x x x x+-'=-+=0≥在[1,+)∞上恒成立， 即222a x x≥-在[1,+)∞上恒成立， 因为222y x x =-在[1,+)∞上为单调递减函数，所以当1x =时，222y x x=-取得最大值0， 所以0a ≥.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；26．（1）3211()8333f x x x x -=++；（2）极大值为(2)7f =，无极小值；最小值为1(0)3f =. 【分析】 （1）求出导数，根据题意有(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩，解出,a b 代入解析式即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，判定函数在区间[]0,3上的单调性，根据极值定义求出函数的极值，比较端点函数值即可解出最小值.【详解】解：（1）函数()f x 求导得2()2f x x ax b '=++因为函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值 所以(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩解得38a b =-⎧⎨=⎩所以函数()f x 的解析式为3211()8333f x x x x -=++（2）由（1）可知2()68(2)(4)f x x x x x '=-+=-- 所以当2x <或4x >时，()0,()f x f x '>单调递增; 当24x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，则函数()f x 在[]0,3上有极大值为(2)7f =，无极小值 又因为119(0),(3),33f f == 所以(0)(3)f f < 则函数()f x 在[]0,3上的最小值为1(0)3f =. 【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(答案解析)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(答案解析)

一、选择题1．已知,a b ∈R ，若函数()e =-x f x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>，则下列结论可能成立的是（ ）． A ．0ae b >> B ．0ae b >>C ．0b ae >>D ．0ae b >>2．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（ ） A ．9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫-⎪⎝⎭D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭3．函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点，则a 的取值范围为（ ） A ．(,e)-∞B ．(0,e)C ．(0,1)D ．(,1)-∞4．设函数()ln 2e f x x mx n x =--+.若不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立，则nm的最大值为（ ） A ．4eB ．2e C ．e D ．2e5．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(,3)-∞-C ．(3,)-+∞D ．(1,)(,1)+∞⋃-∞-7．已知函数()()22,02ln ,0x x f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，若恰有3个互不相同的实数1x ，2x ，3x ，使得()()()1232221232f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1a e>-B ．10a e-<< C ．0a ≥ D ．0a ≥或1a e=-8．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f9．已知函数31()sin xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2- B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-⋃+∞D ．1(,][1,)2-∞-⋃+∞10．已知函数()()()0ln 10x e x f x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-11．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．111e⎛⎫--- ⎪⎝⎭，C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，12．已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，当0x >时，有2()()0f x xf x '+>，且(1)0f -=，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( )A ．(1,0)(0,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(1,)D ．(,1)(0,1)-∞-二、填空题13．定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．14．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____. 15．函数()31443f x x x =-+的极大值为______. 16．已知函数()()ln ,11,1x x x f x x e x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数()()()2g x f x f x a =--⎡⎤⎣⎦有6个零点，则实数a 的取值范围是______.17．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为______. 18．已知函数()21ln 2f x a x x bx =-+存在极小值，且对于b 的所有可能取值，()f x 的极小值恒大于0，则a 的最小值为__________．19．已知函数()f x 是定义在区间()0,∞+）上的可导函数，若对()0,x ∀∈+∞()()20xf x f x '+>恒成立，则不等式()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+的解集为______.20．函数31()3f x x ax =-的极大值为a =__________． 三、解答题21．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围22．“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A ，B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)23．已知曲线3211()33f x x ax bx =+++在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值．24．设函数1()ln ,f x a x a x=+∈R .（Ⅰ）设l 是()y f x =图象的一条切线，求证：当0a =时，l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（Ⅱ）若函数()()g x f x x =-在定义域上单调递减，求a 的取值范围. 25．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围. 26．已知函数2()ln ()f x x ax x a R =-+∈． （Ⅰ）若3a =，求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）令21()()2g x f x x ax =-+，若()g x 的最大值为1-，求a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个实数根，进而令()(),0,xe g x x x=∈+∞，再研究函数()g x 的单调性得0b e a >>，进而分0a >和0a <讨论即可得答案. 【详解】解:当0a =时，函数()f x 只有一个零点，故0a ≠，因为函数()e =-xf x a bx 存在两个零点1x ，2x ，且210x x >>所以方程xb e a x=在0,上有两个不相等的实数根.令()(),0,x e g x x x =∈+∞，()()21'x x e g x x -=， 所以当()1,∈+∞x 时()'0g x >，()0,1∈x 时()'0g x <，故函数()(),0,xe g x x x=∈+∞在1,上单调递增，在0,1上单调递减；所以()()min 1g x g e ==，所以0be a>>， 当0a >时，0b ae >>，当0a <时，0b ae <<. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点问题，解题的关键在于将问题转化为方程xb e a x=在0,上有两个不相等实数根，进而令()g x 研究函数的单调性即可.考查运算求解能力与化归转化思想，是中档题.2．A解析：A【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+， 令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．C解析：C 【分析】先令()0f x =，分离参数得到22ln 1x a x +=，令()22ln1x g x x +=根据函数有两个不同零点，可得y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点，对()g x 求导，判定其单调性，得出最值，画出大致图象，结合图象，即可得出结果. 【详解】因为函数2()2ln 1f x ax x =--有两个不同零点， 所以方程22ln 10ax x --=有两不同实根，即22ln 1x a x +=有两个不同的零点， 令()22ln 1x g x x +=，0x >，则得y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点， 因为()()24322ln 124ln x x xx x g x x x ⋅-+⋅-'==，由()0g x '=可得1x =， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，则()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 单调递减； 所以()()max 11g x g ==， 又由()22ln 10x g x x +=>可得x e >；由()22ln 10x g x x+=<可得0x e <<， 画出()22ln 1x g x x +=的大致图象如下：由图像可得，当01a <<时，y a =与()22ln 1x g x x +=的图象有两个不同交点， 即原函数有两个不同零点. 故选：C.【点睛】 思路点睛：利用导数的方法研究函数零点个数（方程根的个数）求参数问题时，一般需要先分离参数，根据分离后的结果，构造新的函数，利用导数的方法研究函数单调性，确定函数最值，利用数形结合的方法求解.4．D解析：D 【分析】 由题意可得ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，根据它们的图象，结合的导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求的最大值. 【详解】由不等式()0f x ≤对()0,x ∈+∞恒成立， 即为ln 20e x mx n x --+≤，即ln 22e n x m x x m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭对()0,x ∈+∞恒成立，设()ln e g x x x =-，由()210eg x x x'=+>， 可得()g x 在()0,∞+上递增，且()0g e =，当0x →时，()g x →-∞；x →+∞，()g x →+∞， 作出()y g x =的图象， 再设()2,02n h x m x x m ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 可得()h x 表示过,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，斜率为2m 的一条射线（不含端点）， 要求nm 的最大值，且满足不等式恒成立，可得2n m的最大值， 由于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴上移动， 只需找到合适的0m >，且()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，如图所示：此时2n e m =，即nm 的最大值为2e . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将问题转化为()ln e g x x x =-切于点,02n m ⎛⎫⎪⎝⎭，注意运用转化思想和数形结合思想，考查了导数的应用，求切线的斜率与单调性，考查了运算能力和推理能力.5．A解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.6．D解析：D 【分析】利用导数判断函数在[)0,+∞的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式. 【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin xf x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D. 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==． 7．D解析：D 【分析】根据题意，令()()221,02ln 2,0x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩，得到函数()()2f xg x x =与直线2y =共有三个不同的交点；根据导数的方法，分别判断0x <和0x >时，函数的单调性，以及最值，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】因为()()22,02ln ,0xx f x a x x x x -⎧<⎪=⎨++>⎪⎩，令()()221,02ln 2,0x x f x x g x x x a x x ⎧<⎪⎪⋅==⎨⎪++>⎪⎩， 由题意，函数()()2f x g x x=与直线2y =共有三个不同的交点； 当0x <时，()212x g x x =⋅，则()()()()222232222ln 222ln 22222x x x x x x x x xx g x x x x '-⋅⋅+⋅+'==-=-⋅⋅⋅，由()3ln 2202x x g x x +'=-=⋅解得222log ln 2x e =-=-； 所以()2,2log x e ∈-∞-时，()0g x '<，即函数()212x g x x=⋅单调递减； ()22log ,0x e ∈-时，()0g x '>，即函数()212x g x x=⋅单调递增； 所以()()()()222222min 2log 2212log 2422log 4log ee e g x g e e e -=-==<<⋅-，又2121122122g -⎛⎫-==> ⎪⎝⎭⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，()()271128724927g --==>⋅-， 所以()212x g x x=⋅与直线2y =有且仅有两个不同的交点； 当0x >时，()ln 2xg x a x =++，则()21ln x g x x -'=， 由()21ln 0xg x x -'==得x e =， 所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则函数()ln 2xg x a x=++单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则函数()ln 2xg x a x=++单调递减； 所以()()max 12g x g e a e==++， 又当1≥x 时，()ln 22xg x a a x=++≥+；当01x <<时，()2g x a <+； 当x e ≥时，()ln 22xg x a a x=++>+，所以为使()ln 2x g x a x =++与直线2y =只有一个交点， 只需122a e ++=或22a +≥，即1a e=-或0a ≥. 故选：D.【点睛】 本题主要考查由方程根的个数求参数，转化为函数交点个数问题求解即可，属于常考题型. 8．A解析：A【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -. 故选：A .【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题. 9．B解析：B【分析】利用函数的奇偶性将函数转化为f （M ）≤f （N ）的形式，再利用单调性脱去对应法则f ，转化为一般的二次不等式求解即可．【详解】由于()31sin x x f x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0，所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0， 解得112a -≤≤， 故选B ．本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题． 10．C解析：C【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解.【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则当0x >时，()()ln 1x e x x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解， 令()ln 1,0x e x x g x x x--=>， 则()()()2ln 1ln 1x x e x x e x x g x x -----'=()()()221111x x x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞，所以[)1,a e ∈-+∞.故选：C.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11．B解析：B【分析】求导()()1x f x x m e '=++，将问题转化为()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，也即是关于x 的方程1x x m e --=有两个不同的解，构造函数()xx g x e =，求导()1xx g x e -'=，分析导函数取得正负的区间，从而得函数()g x 的单调性和最值，从而可得选项.函数()f x 的定义域为R ，()()'1x fx x m e =++，因为函数()f x 有两个极值点， 所以()()1x f x x m e '=++有两个不同的零点，故关于x 的方程1x x m e --=有两个不同的解， 令()x x g x e =，则()1x x g x e-'=，当(,1)x ∈-∞时， ()0g x '>，当(1,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，又当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →，且0,()0x g x >>()11g e=，故101m e <--<， 即111m e--<<-. 故选：B.【点睛】 本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.12．B解析：B【分析】根据条件构造函数2()()g x x f x =，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解.【详解】由题意，设2()()g x x f x =，则2'()2()()[2()'()]g x xf x x f x x f x xf x =+=+， 因为当0x >时，有2()'()0f x xf x +>，所以当0x >时，'()0g x >，所以函数2()()g x x f x =在(0,)+∞上为增函数，因为(1)0f -=，又函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)0f f =-=，所以(1)0g =，而当()0>g x 时，可得1x >，而()0>g x 时，有()0f x >，根据偶函数图象的对称性，可知()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞，故选B.【点睛】该题考查的是与导数相关的构造新函数的问题，涉及到的知识点有函数的求导公式，应用导数研究函数的单调性，解相应的不等式，属于中档题目. 二、填空题13．【分析】令问题转化为根据函数的单调性求出不等式的解集即可【详解】因为所以令则所以为奇函数又因为当时所以在上单调递减即在上单调递减而不等式所以所以故答案为：【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方 解析：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】令()()2g x f x x =-，问题转化为()()5g x x g -≥，根据函数的单调性求出不等式的解集即可．【详解】因为()()22f x f x x -+=， 所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数． 又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-， 所以5x x ≤-，所以52x ≤． 故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 14．2【分析】令利用可得在单调递增不等式恒成立等价于即当时分离参数可得可求出正整数的最大值为2再检验当时对于不等式恒成立即可求解【详解】因为定义在上的函数关于轴对称所以函数为上的偶函数令则因为当时即所以 解析：2【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()xe a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f ee ax axf ax -+->恒成立， 即()()x x x e f e e axf ax ax ->-，即()()xg e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x-'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以()()min 1h x h e ==，所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2，故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()x g e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.15．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析：283【分析】求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解.【详解】()31443f x x x =-+, 2()4,f x x '∴=-由()0f x '=解得2x =±，2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<，2x ∴=-是()f x 的极大值点，∴函数的极大值为128(2)(8)8433f -=⨯-++=， 故答案为：283【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题. 16．【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示： 解析：1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当1x <时，()()1xf x x e =-，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由1≥x 时，()ln f x x =，作出函数()f x 的大致图象，令()f x t =，将问题转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且12,(0,1)t t ∈即()()12,f x t f x t ==各有3个根求解.【详解】当1x <时，()()1xf x x e =-， 所以()xf x xe '=-，当0x <时，()0f x '>，()f x 递增， 当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，所以当0x =时， ()f x 取得最大值1，又当1≥x 时，()ln f x x =，所以()f x 的大致图象如图所示：令()f x t =，则转化为方程20t t a --=有两个不等根12,t t ，且()()2121,(0,1),,t f x t f t x t ==∈各有3个根，方程20t t a --=在(0,1)有两个不同的解，设2()g t t t a =--，所以(0)0140(1)0g a a g a =->⎧⎪∆=+>⎨⎪=->⎩， 解得104a -<<. 故答案为：1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要方程的根与函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】求函数的导数根据利用参数分离法进行转化然后构造函数转化为求函数的最值即可【详解】解：函数的导数由在上恒成立得在上恒成立即得在上恒成立设则当时恒成立即在上是增函数则当时取得最小值则即实数的取值 解析：(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【详解】 解：函数的导数2()21f a x x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立， 即221a x x +， 得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+，则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数，则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ，即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为：(],3-∞【点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．18．【解析】因故有解即有解令取得极小值点为则则函数的极小值为将代入可得由题设可知令则由即当时函数取最小值即也即所以即应填答案点睛：本题是一道较为困难的试题求解思路是先确定极小值的极值点为则进而求出函数的解析：3min a e =-【解析】因()a f x x b x -'=+，故()0a f x x b x-+'==有解，即20x bx a --=有解．令取得极小值点为t ，则2bt t a =-，则函数的极小值为21()ln 2f t a t t bt =-+，将2bt t a =-代入可得21()ln 2f t a t t a =+-，由题设可知21ln 02a t t a +->，令21()ln 2h t a t t a =+-，则()a h t t t =+'，由2()0a h t t t a t=+'=⇒=-，即当2t a =-时，函数21()ln 2h t a t t a =+-取最小值1()02h a a a =--≥，即3322a a ≥-⇒≤，也即13ln()ln()322a a -≤⇒-≤，所以33a e a e -≤⇒≥-，即3min a e =-，应填答案3min a e =-．点睛：本题是一道较为困难的试题．求解思路是先确定极小值的极值点为t ，则2bt t a =-，进而求出函数的极小值21()ln 2f t a t t bt =-+，通过代入消元将未知数b 消掉，然后求函数21()ln 2h t a t t a =+-的最小值为1()02h a a a =--≥，从而将问题转化为3322a a ≥-⇒≤，然后通过解不等式求出即3min a e =-．19．【分析】令求的导数根据条件可知从而判断单调递增将不等式化为即可求解【详解】令因为的定义域为所以函数的定义域也为则所以函数在上单调递增又可以化为即所以所以故不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查利用 解析：()2020,1--【分析】令()2()g x x f x =，求()g x 的导数'()g x ，根据条件可知'()0g x >，从而判断()g x 单调递增，将不等式化为()()20202019g x g +<即可求解.【详解】令()2()g x x f x =，因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以函数()g x 的定义域也为()0,∞+，则()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦， 所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+可以化为()()()222020202020192019x f x f ++<，即()()20202019g x g +<，所以020202019x <+<，所以20201x -<<-，故不等式的解集为()2020,1--.故答案为：()2020,1--.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，构造函数求导是解题的关键，属于中档题. 20．3【分析】求导数取导数为0计算代入原函数计算极大值得到答案【详解】函数的极大值为由题意知：当时有极大值所以故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值意在考查学生的计算能力解析：3【分析】求导数，取导数为0，计算x =.【详解】函数31()3f x x ax =-的极大值为2()f x x a '=- 由题意知：0,a x >⇒=当x =(f =所以3a =故答案为3【点睛】本题考查了函数的极大值，意在考查学生的计算能力.三、解答题21．（1）在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）211b e -≤. 【分析】（1）对函数求导得()11ax f x a x x-'=-=，由题意，()110f a '=-=，得1a =，再代入计算()0f x '>与()0f x '<，即可得单调性；（2）参变分离得1ln ()1=+-≥x g x b x x ，利用恒成立方法，对函数1ln ()1x g x x x=+-求导，判断单调性，求最小值即可.【详解】 （1）函数的定义域为(0,)+∞，()11ax f x a x x -'=-=，由题意，()110f a '=-=，所以1a =，即1()x f x x'-=，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，故函数()f x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增.（2）1ln ()21x f x bx b x x≥-⇒+-≥，令1ln ()1x g x x x =+-，则min ()≥g x b 成立，2ln 2()x g x x-'=，由()0g x '>，得2x e >，由()0g x '<，得20x e <<， 故()g x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增，2min 21()()1==∴-x g e e g ，即211b e-≤. 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．22．（1）()200cos 100,0,2S πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=. 【分析】（1）在直角三角形ABC 中，求出AC ，在扇形COB 中利用弧长公式求出弧BC 的长度，则可得函数()S θ；（2）利用导数可求得结果.【详解】（1）如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠=所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠=则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知()200sin 100S θθ'=-+， 令()0,S θ'= 得1sin 2θ=，因为(0,)2πθ∈所以6πθ=，当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增， 当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减， 所以当6πθ=时，使得绿化带总长度()S θ最大. 【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键.23．（1）3211()8333f x x x x -=++；（2）极大值为(2)7f =，无极小值；最小值为1(0)3f =. 【分析】 （1）求出导数，根据题意有(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩，解出,a b 代入解析式即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，判定函数在区间[]0,3上的单调性，根据极值定义求出函数的极值，比较端点函数值即可解出最小值.【详解】解：（1）函数()f x 求导得2()2f x x ax b '=++因为函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值 所以(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩解得38a b =-⎧⎨=⎩所以函数()f x 的解析式为3211()8333f x x x x -=++ （2）由（1）可知2()68(2)(4)f x x x x x '=-+=--所以当2x <或4x >时，()0,()f x f x '>单调递增;当24x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，则函数()f x 在[]0,3上有极大值为(2)7f =，无极小值 又因为119(0),(3),33f f == 所以(0)(3)f f < 则函数()f x 在[]0,3上的最小值为1(0)3f =. 【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值.24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）(,2]-∞.【分析】（Ⅰ）设切点为001(,)P x x ，求出切线方程并计算l 与坐标轴围成的三角形的面积为2，故可得相应的结论.（Ⅱ）由题设可得()0g x '≤，利用参变分离可得a 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0a =时，1(),0f x x x =>，21()f x x'=-， 设()f x 图象上任意一点001(,)P x x ，切线l 斜率为0201()k f x x =-'=. 过点001(,)P x x 的切线方程为020011()y x x x x -=--. 令0x =，解得02y x =；令0y =，解得02x x =.切线与坐标轴围成的三角形面积为0012|||2|22S x x =⋅=. 所以l 与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.（Ⅱ）由题意，函数()g x 的定义域为(0,)+∞.因为()g x 在(0,)+∞上单调递减， 所以21()10a g x x x '=--≤在(0,)+∞上恒成立， 即当(0,)x ∈+∞，1a x x ≤+恒成立， 所以min 1()a x x ≤+因为当(0,)x ∈+∞，12x x+≥，当且仅当1x =时取等号. 所以当1x =时，min 1()2x x +=所以2a ≤.所以a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】结论点睛：一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()00f x f x ''><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()00f x f x ''≥≤．25．（1）20x y e --=；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可；（2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果.【详解】解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==， ∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1x f x x ae '=+-，因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10x f x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，ln 1xx a e +∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()xx x g x e --'=，由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增，(1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减， 故max 11()(1)g x g a e e==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立. 26．（Ⅰ）()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）当3a =时，()2()3ln 0f x x x x x =-+>，对()f x 进行求导得()()211()x x f x x--'=，再令()0f x '>，结合定义域0x >，即可求出函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）根据题意得出()1()=ln 02g x x ax x ->，求导得()()12022a ax g x x x x -'=-=>，分类讨论当0a ≤和0a >时，()g x 的单调区间，从而可求出最大值()max 21g x g a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即可求得a 的值. 【详解】解：（Ⅰ）当3a =时，2()3ln =-+f x x x x ，定义域为()0,∞+， 则()()2211123+1()23x x x x f x x x x x---'=-+==， 令()0f x '>，即()()2110x x -->，解得：12x <或1x >， 又()f x 定义域为()0,∞+，所以函数()f x 的单调递增区间为：()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）21()()2g x f x x ax =-+，2()ln ()f x x ax x a R =-+∈， 即()2211()ln =ln ,022g x x ax x x ax x ax x =-+-+->， 所以()()12022a ax g x x x x-'=-=>， 当0a ≤时，则20ax -≥，则()0g x '≥恒成立，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()g x 无最大值；当0a >时，令()0g x '=，即20ax -=，解得：20x a =>， 令()0g x '>，即20ax ->，解得：2x a <， 令()0g x '<，即20ax -<，解得：2x a >， 又0x ，所以在区间20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x 单调递增，在区间2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()g x 单调递减， 所以当2x a=时，()g x 取得最大值，而()g x 的最大值为1-， 所以()max 22122ln ln 112g x g a a a a a ⎛⎫==-⨯=-=-⎪⎝⎭， 则2ln 0a =，故21a，解得：2a =.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用导数法求解函数的单调性和最值，解题的关键在于运用导数求解函数的最大值从而求出参数值，考查运算能力和分类讨论思想.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(含答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(含答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-2．在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）A ．22sin 1xy x =+B ．221xy x =+C ．x xx xe e y e e ---=+ D ．x xx xe e y e e--+=- 3．已知函数3213()32f x x x c =++有3个不同的零点，则c 的取值范围是（ ） A ．9,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．4,(0,)3⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．9,(0,)2⎫⎛-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭4．已知函数()22sin x m f x e x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒．若该方盒的体积为2，则a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．3326．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2e ⎤-∞⎦B ．()0,2eC ．(,4e ⎤-∞⎦D ．()0,4e7．函数()cos f x x x =⋅的导函数为()f x '，则()f x 与()f x '在一个坐标系中的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a ≤-B ．1a ≤-C ．1a ≤D ．01a ≤≤9．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，记()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，则在区间(,)a b 上有()0f x ''<恒成立.已知2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,)e -∞C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞10．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．[)2,+∞12．若函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．21,e ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．2{1},e ⎡⎫-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．2{1},0e ⎡⎫-⋃-⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对于任意的x ，1()2f x '<恒成立，则不等式()22lg 1lg 22x f x <+的解集为________.14．若函数32()f x x x =-在区间(,3)a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是____________.15．若0x ∀>，不等式ln 2(0)a x b a x ++≥>恒成立，则ba的最大值为________. 16．若函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，则实数m 的取值范围为______.17．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．18．若对任意a ，b 满足0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，则实数m 的最大值为_____________________.19．若∃01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得2002+10x x λ<－成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．20．已知三次函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式是_______.三、解答题21．已知函数()()222ln f x x mx x m m R =+++∈.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，求()211f x x x +的取值范围. 22．函数()cos x f x e x =. （1）求()f x 的单调区间；（2）当0x ≥时，不等式22()(2)x x f x e e ax ≤'-恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<． 24．已知函数()()x f x x a e =+，其中a 为常数.（1）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围.25．已知函数()22ln f x x a x =-，其中a ∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）（i ）讨论函数()f x 的单调性；（ii ）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 26．已知函数()ln x f x x x ae a =-+，其中a ∈R . （1）当0a =时，求函数在(,())e f e 处的切线方程； （2）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2．B解析：B 【分析】分析合选项中函数值符号、单调性、奇偶性，并与题中的函数图象作比较，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，当2x ππ<<时，22sin 01xy x =<+，与题中函数图象不符； 对于B 选项，设()221xf x x =+，该函数的定义域为R ，()()()222211xxf x f x x x --==-=-+-+，函数()221x f x x =+为奇函数， 当0x >时，()2201xf x x =>+，()()()()()22222222142111x x x f x xx+--'==++，由()0f x '>，可得11x -<<；由()0f x '<，可得1x <-或1x >.所以，函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-、()1,+∞，单调递增区间为()1,1-， 与题中函数图象相符；对于C 选项，()()()2222212121111x x x xx x x x x x x x x x x e e e e e e e y e e e e e e e e -----+---=+====-++++，所以，函数x xx xe e y e e ---=+为R 上的增函数，与题中函数图象不符；对于D 选项，对于函数x xx xe e y e e--+=-，0x x e e --≠，可得0x ≠，该函数的定义域为{}0x x ≠，与题中函数图象不符. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.3．A解析：A 【分析】求出三次函数的导数，根据导函数正负情况分析单调性和极值，图象要与x 轴三个交点，据此得出取值范围. 【详解】由条件得2()3(3)f x x x x x '=+=+， 令()0f x '>，可得解集为(,3)(0,)-∞-⋃+∞ 令()0f x '<，可得解集为(3,0)-则()f x 在(,3)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(3,0)-上单调递减，又9(3)2f c -=+，(0)f c =，要使()f x 有3个不同的零点，则902c c <<+，所以902c -<<. 故选：A 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．4．A解析：A 【分析】()0f x =有两解变形为2sin m xxe e =有两解， 设2sin ()xxg x e=，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】 由()22sin x m f x e x +=-得2sin m xxe e =，设2sin ()xxg x e=，则2(cos sin )()xx x g x e-'=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mx x e e =有两解得34411m e e eππ≤<，所以344m ππ-≤<-．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2m xxe e =，问题转化为2()xx g x e=的图象与直线my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．5．C解析：C 【分析】设出小正方形的边长，表示出方盒的体积，然后求导，判断出单调性，然后求解最大值即可. 【详解】设截去的小正方形边长为x ，则方盒高为x ，底边长为2a x -，所以()22,0,2a V a x x x ⎛⎫=-⋅∈ ⎪⎝⎭，则()224(2)(2)(6)V a x x a x x a x a '=-+-=--，令0V '=，得2a x =（舍） 或6a x =，当06ax <<时，0V '>，单调递增；当62a a x <<时，0V '<，单调递减；由题意，则23max 2263627a a a a V V a ⎛⎫⎛⎫==-⋅=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a ≥，故a 的最小值为3. 故选：C. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．6．A解析：A 【分析】先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可. 【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120x g x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a ≤故选：A. 【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立； （2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.7．A解析：A 【分析】分析函数()f x 、()f x '的奇偶性，以及2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭、()f π'的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数()cos f x x x =的定义域为R ，()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-， 即函数()cos f x x x =为奇函数，()cos sin f x x x x '=-，函数()f x '的定义域为R ，()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x ''-=-+-=-=，函数()f x '为偶函数，排除B 、C 选项；22f ππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()1f π'=-，则()02f f ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭''.对于D 选项，图中的偶函数为()f x '，由02f π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()0f π'<与题图不符，D 选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象.8．B解析：B【分析】 由函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，知'0y ≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，分离参数，求最值得答案. 【详解】 因为函数21ln 22y x a x x =--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以22'20a x x ay x x x--=--=≥在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以222(1)1a x x x ≤-=--在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，所以1a ≤-， 故选：B. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关根据函数在给定区间上单调增求你参数的取值范围的问题，解题方法如下：（1）利用函数在给定区间上单调递增，得到其导数大于等于零在给定区间上恒成立； （2）求导；（3）分离参数，求最小值，得结果.9．A解析：A 【分析】首先根据题中所给的函数解析式，对其求导，再求二阶导，根据题中所给的条件，得到则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，构造函数()xe e g x x=，利用导数求得其最小值，得到结果.【详解】因为2()(2)(1)e x kx f x e e e +=-++，所以11(2)'()(2)(1)1e e xx k e x kx f x e e e e e +++=-=-+++， (1)''()1ex e x k e x f x e kx e e +=-=-+，要使2()(2)(1)e x kxf x e e e +=-++在(0,3)上为“凸函数”， 则有''()0f x <在(0,3)上恒成立，即0e x kx e -<，即xe e k x<在(0,3)上恒成立，令()x e e g x x =，1122()'()x e x e x e e ee x e ex e x x e g x x x--⋅-⋅⋅-==，所以()g x 在(0,)e 上单调递减，在(,1)e 上单调递增，所以min ()()1ee e g x g e e===，所以k 的取值范围是(,1)-∞，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题属于新定义问题，在解题的过程中，注意： （1）细读题文，理解题中所给的信息，明确凸函数的定义；（2）根据定义，对所给的函数求导，再求二阶导，令二阶导小于零在给定区间上恒成立； （3）构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到所求的结果.10．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.11．B解析：B 【分析】由题意得出()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，由此得出()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，进而可求得实数k 的取值范围. 【详解】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】先对函数求导，可得当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，从而得min ()(0)1f x f a ==--，而x →+∞时，()f x →+∞，所以要函数()(1)x f x x e a =--在(1,)-+∞上只有一个零点，只要满足10a --=或20a e--，从而可求出a 的取值范围 【详解】()x f x xe '=，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．从而min ()(0)1f x f a ==--，又2(1)f a e-=--，且x →+∞时，()f x →+∞， ∴10a --=或20a e --， 即1a =-或2a e-． 故选：B 【点睛】此题考查由导数解决函数零点问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题二、填空题13．【分析】由构造单调递减函数利用其单调性求解【详解】设则是上的减函数且不等式即为所以得解得或原不等式的解集为故答案为:【点睛】利用导数研究函数的单调性构造函数比较大小属于难题联系已知条件和结论构造辅助解析：10,10,10.【分析】 由()12f x '<，构造单调递减函数()()12h x f x x =-，利用其单调性求解.【详解】()()11,022f x f x <∴-''<，设()()12h x f x x =-， 则()()102h x f x ''=-<， ()h x ∴是R 上的减函数，且()()111111222h f =-=-=， 不等式()22lg 1lg 22x f x <+，即为()22lg 1lg 22x f x -<，所以()()2lg 1h x h <，得2lg 1x >，解得10x >或110x， ∴原不等式的解集为10,10,10.故答案为:10,10,10.【点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题，联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.14．【分析】首先利用导数判断函数的单调性再根据函数在开区间内存在最大值可判断极大值点就是最大值点列式求解【详解】由题可知：所以函数在单调递减在单调递增故函数的极大值为所以在开区间内的最大值一定是又所以得 解析：(3,2]--【分析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间(),3a a +内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解. 【详解】由题可知： 2()32(32)f x x x x x '=-=-所以函数()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在2(,0),,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，故函数的极大值为 (0)0f =.所以在开区间(,3)a a +内的最大值一定是(0)0,f =又(1)(0)0f f ==， 所以03,31a a a <<+⎧⎨+≤⎩ 得实数a 的取值范围是(3,2].--故答案为：(]3,2-- 【点睛】关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式31a +≤，不要忽略这个不等式.15．【分析】先设对其求导求出其最小值为得到再令对其求导导数的方法研究其单调性得出最大值即可得出结果【详解】设则因为所以当时则函数单调递减；当时则函数单调递增；所以则令则；由可得；所以当时则函数单调递增； 解析：2e【分析】先设()ln 2af x x x=++，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a +≤，再令()ln 3a g a a +=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果. 【详解】设()ln 2a f x x x =++，则()221a x a f x x x x '-=-=，因为0a >， 所以当()0,x a ∈时，()20x af x x -'=<，则函数()f x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()20x afx x '-=>，则函数()f x 单调递增； 所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥， 则ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a +=，则()221ln 32ln a a g a a a --+'==-； 由()0g a '=可得，2a e -=； 所以当()20,a e-∈时，()22ln 0a g a a +'=->，则函数()g a 单调递增；当()2,a e -∈+∞时，()22ln 0ag a a +'=-<，则函数()g a 单调递减； 所以()()2222max ln 3e g a g e e e---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值.16．【分析】根据函数在上单调递减由恒成立求解【详解】因为函数在上单调递减所以恒成立；令在上单调递增所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若在区间D 上有最值则；；（2）若解析：)336,e ⎡++∞⎣【分析】根据函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，由()0f x '≤，(],3x ∈-∞恒成立求解. 【详解】()320x f x e x m '=+-≤，因为函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，所以32x e x m +≤，(],3x ∈-∞恒成立；令32xy e x =+在(],3-∞上单调递增，3max 36y e =+，所以实数m 的取值范围为)336,e ⎡++∞⎣. 故答案为：)336,e ⎡++∞⎣ 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.17．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22x f x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->，解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.18．【分析】根据0<a<b<m 都有令则在上是减函数由求解【详解】因为0<a<b<m 都有令所以在上是减函数所以解得所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用还考查了分析求解问题解析：1e【分析】根据0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，令()ln f x x x =，则()f x 在()0,m 上是减函数，由()0f x '<求解.【详解】因为0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >， 令()ln f x x x =，所以()f x 在()0,m 上是减函数， 所以()1ln 0f x x '=+<， 解得10x e<<， 所以m 的最大值为1e， 故答案为：1e【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.19．【分析】将命题转化为使得恒成立是真命题令函数对其求导讨论导函数取正负的区间得出所构造的函数的单调性从而求出最值利用不等式恒成立的思想得出实数λ的取值范围【详解】因为∃使得成立是假命题所以使得恒成立是解析：(-∞【分析】将命题转化为1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得12+x x λ≤恒成立是真命题，令函数()12+f x x x=，对其求导，讨论导函数取正负的区间，得出所构造的函数的单调性，从而求出最值，利用不等式恒成立的思想，得出实数λ的取值范围. 【详解】因为∃01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得2002+10x x λ<－成立是假命题，所以1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得22+10x x λ≥－恒成立是真命题，即1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，使得12+x x λ≤恒成立是真命题，令()12+f x x x=，则()'212f x x ＝－ ，当1,22x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x在1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，当22x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'>0f x ，函数()f x在,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()2f x f ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭λ≤故答案为：(-∞.【点睛】本题考查全称命题和特称命题的关系，运用参变分离的方法求参数的范围，属于中档题.20．【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式 解析：32()232f x x x【分析】待定系数法:设32()f x ax bx cx d =+++，利用图象上点坐标代入，与(0)(1)=0f f ''=联立求解可得. 【详解】设32()f x ax bx cx d =+++，2()32f x ax bx c '=++由题知：(0)2(1)1f f ，== ，由图象知(0)(1)=0f f ''=2++103+20d a b c d c a b c =⎧⎪+=⎪∴⎨=⎪⎪+=⎩ 解得2302a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩32()232f x x x故答案为：32()232f x x x【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.三、解答题21．（1）()4230m x y m +-+-=；（2）(),4-∞-. 【分析】（1）对()y f x =求导，切线斜率为()1f '，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；（2）由题意可得1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不等式的实根，等价于1x ，2x 是方程210x mx ++=的两个根，由根与系数的关系可得12x x m +=-，121=x x ，将()211f x x x +转化为关于2x ()21x >的函数，再利用单调性求最值即可求解. 【详解】（1）由题意知()0,x ∈+∞，因为()222f x x m x'=++， 所以()142f m '=+，()113f m =+，所以所求切线方程为()()()13421y m m x -+=+-，即()4230m x y m +-+-=；（2）由（1）知()()221222x mx f x x m x x++'=++=， 因为()1212,x x x x <是()f x 的两个不同的极值点，所以1x ，2x 是方程210x mx ++=的两个根，可得12x x m +=-，121=x x ，221m x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，易得21>x ，所以()22122211222ln 1f x x x mx x m x x x +++++=22222222222222211122ln 2ln 211x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭==()3222222222ln 1x x x x x x =---+>，()()32222222222ln 1g x x x x x x x =---+>，()()2222232ln g x x x x '=-+-，()2221621g x x x ⎛⎫''=-+- ⎪⎝⎭，因为21>x 可得2110x -<，260x -<所以()20g x ''<，()()2222232ln g x x x x '=-+-在()1,+∞单调递减，()()()2132ln1150g x g ''<=-+-=-<，所以()2g x 在()1,x ∈+∞上单调递减，()()214g x g <=-，从而()211f x x x +的取值范围为(),4-∞-.【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=⋅-.22．（1）()f x 的单调递增区间为：32,2()44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）(,2]-∞. 【分析】（1）求导函数，计算()0f x '≥和()0f x '≤即可得单调区间；（2）将()()cos sin x f x e x x '=-代入不等式化简得2sin cos ()20xxx x h x e ax e-=+-≥恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数a 的取值范围. 【详解】（1）由题可得()cos sin (cos sin )cos 4x x xx f x e x e x e x x x π⎛⎫'=-=-=+ ⎪⎝⎭令()cos 04x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，得22()242k x k k πππππ-++∈Z ，∴322()44k x k k Z ππππ-+∈，∴()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z . 同理，令()0f x '≤，得()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 综上所述：()f x 的单调递增区间为：32,2()44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， ()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由()()cos sin x f x e x x '=-，得2cos sin 2x xx xe ax e --≥， 即2sin cos 20xxx x e ax e -+-.设2sin cos ()2x x x x h x e ax e -=+-，则()22cos 22x xxh x e a e'=+-. 设()()x h x ϕ='，则344()x xe x x e πϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭='. 当[0,)x ∈+∞时，344x e ≥，4x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0x ϕ'≥. 所以()x ϕ即()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()()042h x h a ''≥=-.若2a ≤，则()()0420h x h a ''≥=-≥， 所以()h x 在[0,)+∞上单调递增. 所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.若2a >，则()0420h a '=-<，必存在正实数0x ， 满足：当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 此时()()00h x h <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是(,2]-∞. 【点晴】方法点晴：将不等式恒成立问题转化为最值问题来求解，通过求导讨论单调性求得最值，从而解决相关问题.23．（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ；（Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==，因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e-=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-． （Ⅱ）因为1()ln f x x x'=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->， 所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>． 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--． 由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．24．（1）0a ≥；（2）3[,)e +∞.【分析】（1）求导函数()'f x ，令()0f x '≥恒成立，可求参数范围；（2）变量分离转化为32x a e x -≥-，求函数3()2xg x e x -=-最大值.【详解】（1）由函数()()x f x x a e =+，得()(1)xf x x a e '=++，∵函数()f x 在区间[1,)-+∞上是增函数， ∴()(1)0x f x x a e '=++≥，即1a x ≥--在区间[1,)-+∞上恒成立，∴当[1,)x ∈-+∞时，1(,0]x --∈-∞， ∴0a ≥. （2）3()x f x e xe ≥-在[0,1]x ∈时恒成立，等价于32x a e x -≥-在[0,1]x ∈时恒成立，令3()2xg x e x -=-，则max ()a g x ≥，∵3()20x g x e -'=--<，∴()g x 在[0,1]上单调递减，∵()g x 在区间[0,1]上的最大值3max ()(0)g x g e ==，∴3a e ≥，即实数a 的取值范围是3[,)e +∞.【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值. 25．（1）最大值为22e -，最小值为1；（2）（i ）见详解；（ii ）a e >. 【分析】（1）由1a =得()22ln f x x x =-，对其求导，利用导数的方法判定其在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性，即可求出最值；（2）（i ）先对函数求导，分别讨论0a ≤和0a >两种情况，利用导数的方法，即可判定函数单调性；（ii ）由（i ）中函数单调性，先判断0a ≤时不满足题意，再由0a >时函数的单调性，得到()min ln f x a a a =-，由函数零点个数，必有()min 0f x <，求出a 的范围，再进行验证，即可得出结果. 【详解】（1）由1a =得()22ln f x x x =-，所以()()()21122x x f x x x x+-'=-=， 当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()2110x x f x x+-'=<，则()f x 单调递减； 当()1,x e ∈时，()()()2110x x f x x+-'=>，则()f x 单调递增；所以()()min 11f x f ==；又2211112ln 2f e e e e ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，()22122f e e e =->+， 所以()()2max 2f x f e e ==-；即()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22e -，最小值为1；（2）（i ）()()2222x a a f x x x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立；即()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；当0a >时，若0x <<，则()()220x a f x x-'=<；若x >()()220x a f x x-'=>，所以()f x 在(上单调递减；在)+∞上单调递增；综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在(上单调递减；在)+∞上单调递增；（ii ）由（i ）知，当0a ≤时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；不可能有两个零点；当0a >时，()min 2ln f x fa a a a a ==-=-；为使()f x 有两个零点，必有()min ln 0f x a a a =-<，即a e >； 又()()2242ln 222ln 2f a a a a a a a =-=-，令()ln g x x x =-，2x e >，则()1110x g x x x-'=-=>在()2,e +∞上恒成立， 即()ln g x x x =-在()2,e +∞上单调递增，所以()()22ln 20g x g e e e >=->，即()()222ln 20f a a a a =->，所以根据零点存在性定理可得，存在)1x a ∈，使得()10f x =；又442ln 0f aa a aa =-=+>，根据零点存在性定理可得，存在2x ∈，使得()20f x =， 综上，当a e >时，函数()f x 有两个零点. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法求解由函数零点个数求参数范围问题时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出极值，进而可求出零点个数.（有时也需要分离参数，构造新的函数，将问题转化为两函数图象交点个数问题进行求解） 26．（1）20x y e --=；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）0a =时，先求出切点和切线斜率，再利用点斜式写直线方程即可； （2）先将单调性问题转化成恒成立问题，再分离参数研究最值即得结果. 【详解】解:（1）当0a =时，()ln ,()f x x x f e e ==，即切点为(),e e ，由()ln 1f x x '=+知，切线斜率()2k f e '==，∴切线方程为：2()y e x e -=-，即20x y e --=；（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1xf x x ae '=+-，因为()f x 在(0,)+∞内是减函数，所以()ln 10xf x x ae '=+-≤在(0,)+∞内恒成立，ln 1xx a e+∴≥在(0,)+∞内恒成立， 令ln 1()xx g x e +=，则1ln 1()xx x g x e --'=， 由函数1y x =和ln y x =-在(0,)+∞上递减可知，函数1()ln 1h x x x=--在(0,)+∞单调递减，且(1)0h =，(0,1)x ∴∈时()0g x '>，即()g x 在(0,1)单调递增， (1,)x ∈+∞时()0g x '<，即()g x 在(1,)+∞单调递减，故max 11()(1)g x g a e e==∴≥， 即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 方法点睛：已知函数()y f x =单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成恒成立问题： （1）函数()y f x =在区间I 上单调递增，则()0f x '≥在区间I 上恒成立；（2）函数()y f x =在区间I 上单调递减，则()0f x '≤在区间I 上恒成立.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(有答案解析)(2)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数32()22sin 524x f x x x π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，且()22(34)12f t t f t -+-+<，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,4) B ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ C ．(4,1)-D ．(,4)(1,)-∞-+∞2．已知函数244()ln -⎫⎛=++ ⎪⎝⎭x f x k x k x ，[1,)∈+∞k ，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y 使曲线()y f x =在M ､N 两点处的切线互相平行，则12+x x 的取值范围为（ ） A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．16,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．16,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭3．已知关于x 的不等式32ln x ax x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(,0]-∞4．已知函数()()2ex x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃⎪⎝⎭ B ．24,1e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩.若对函数()ln 22f x x x =-+，有()()g x f x =恒成立，则（ ）A ．k 的最大值为1ln2+B ．k 的最小值为1ln2+C ．k 的最大值为ln 2D ．k 的最小值为ln 26．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +>8．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ） A ．[13]B ．[1，)+∞C ．(13]D ．(1,)+∞9．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()03xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(0,2)(2,)⋃+∞10．若函数(1),()21,x x e x af x x x a⎧-+=⎨-->⎩有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．211[,)22e --+∞ B ．21[,)2e -+∞ C ．[2-，)+∞ D ．211(2,]22e --- 11．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k 0<B ．0k >C ．27k <D ．27k >12．已知函数()()()2122x x f x m e m R =+++∈有两个极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．10e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．111e⎛⎫--- ⎪⎝⎭，C ．1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．()0+∞，二、填空题13．函数()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()0f x k ->只有两个整数解，则实数k 的取值范围是_________14．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(2f x '>，则)(24f x x >+的解集为______．15．若函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，则实数m 的取值范围为______.16．若对任意a ，b 满足0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，则实数m 的最大值为_____________________. 17．已知函数21()ln 2f x x x =+，函数()f x 在[1,]e 上的最大值为__________. 18．若函数3y x ax =-+在[)1,+∞上是单调函数，则a 的最大值是______.19．已知函数()y f x =在R 上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为()f x '，当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，若对x R ∀∈，不等式()()2220x x e f e a x f ax ->恒成立，则正整数a 的最大值为_______.20．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()(2)(0)x f x ae x a =-≠． （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()2g x f x x x =+-有两个极值点，求实数a 的取值范围．22．已知函数2()ln ()f x a x a x=-∈R . （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有两个零点，求a 的取值范围. 23．“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C （不同于A ，B 两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C 到点B 设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设BAC θ∠= (弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()S θ；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：l r α=⋅，其中α为弧所对的圆心角)24．已知函数()ln(1)f x x a =++，()x a g x e -=，a R ∈.（1）若0a =，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线，证明：()0001ln 1x x x ++=； （2）若()()1g x f x -≥，求a 的取值范围. 25．已知函数()()2xf x e ax a R =-∈. （1）若12a =，求函数()f x 的单调区间 （2）当[]2,3x ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 26．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，构造()()6g x f x =-为R 上单调递增的奇函数，再转化不等式为()22(34)g t t g t -<-，利用单调性解不等式即得结果. 【详解】解：33()26cos 2sin 62f x x x x x x x π⎛⎫=++-+=+++⎪⎝⎭令3()()62sin g x f x x x x =-=++，则2()32cos 0g x x x '=++>，()()g x g x -=-， 故()g x 在R 上单调递增，且()g x 为奇函数.不等式()22(34)12f t t f t -+-+<，即()226(34)60f t t f t --+-+-<， 即()22(34)0g t t g t -+-+<，则()22(34)g t t g t -<- 故2234t t t -<-，即2540t t -+<，所以14t <<． 故选：A.【点睛】 方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.2．B解析：B 【分析】求得()f x 的导数()f x '，由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠，化为121244()()x x k x x k +=+，因此12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立，令4()g k k k=+，[1k ∈，)+∞，根据对勾函数的性质求出最值即可得出．【详解】解：函数244()()x f x k lnx k x-=++，导数2414()()1f x k k x x '=+--．由题意可得121()()(f x f x x '='，20x >，且12)x x ≠． 即有221122444411k k k k x x x x ++--=--， 化为121244()()x x k x x k+=+，而21212()2x x x x +<， 2121244()()()2x xx x k k +∴+<+，化为12164x x k k+>+对[1k ∈，)+∞都成立， 令4()g k k k=+，[1,)∈+∞k ，则()g k 在[)1,2上单调减，在[2,)+∞上单调递增， 所以()()min 22442g k g ==+=∴6164414k k=+， 124x x ∴+>，即12x x +的取值范围是()4,+∞．故选：B ． 【点睛】方法点晴：本题利用导数几何意义，函数的单调性与最值问题的等价转化方法、基本不等式的性质．3．A解析：A 【分析】将不等式32ln x ax x -≥恒成立，转化为不等式2ln x xa x≤-在()0,∞+上恒成立，令()2ln xx xg x =-，用导数法求得其最小值即可. 【详解】因为不等式32ln x ax x -≥恒成立， 所以不等式2ln x xa x ≤- 在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x x xg x =-， 则()3312ln x xg x x-+'=， 令()312ln h x x x =-+，则()2230h x x x'=+>， 所以()h x 在()0,∞+上是递增，又()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得最小值()11g =， 所以 1a ≤， 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 4．D解析：D 【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解； 【详解】解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e -'=，当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减， 可得()f x 在0x =处取得极小值0， 在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210fx tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，所以2401t e <-<，即2411t e <<+ 故选：D 【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．5．B解析：B 【分析】利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k g x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，且()()g x f x =恒成立，则()f x k ≤.函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111xf x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.6．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =，所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.7．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.8．A解析：A 【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解 【详解】.3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】通过令3()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令3()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ， 当0x >时，()3()0xf x f x '+>，∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数，f ∴（2）0=，g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减， ∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，故选C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．10．A解析：A 【分析】由x a >时，()21f x x =--递减，且无最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，求出x a 时，()f x 的导数和单调区间、极大值，讨论2a <-，判断单调性，可得最大值，解不等式判断无解，则2a -，求出最大值，解不等式即可得到所求a 的范围. 【详解】解：由x a >时，()21f x x =--递减，可得()21f x a <--，无最大值，函数(1),()21,x x e x af x x x a ⎧-+=⎨-->⎩有最大值，可得x a 时，()f x 取得最大值M ，且21M a --，由()(1)xf x x e =-+的导数为()(2)xf x x e '=-+，可得2x >-时，()0f x '<，()f x 递减；2x <-时，()0f x '>，()f x 递增. 即有()f x 在2x =-处取得极大值，且为最大值2e -.若2a <-，则()f x 在(-∞，]a 递增，可得()()f x f a (1)aa e =-+，由题意可得(1)21a a e a -+≥--，即得(1)210aa e a +--≤， 令(1))1(2aa e g a a +--=，则()(2)20ag a a e '=+-<，(2)a <-， 则()g a 在(),2-∞-递减，可得2(2)0()3g a g e ->-=-+>，则不等式(1)210aa e a +--≤无实数解.故2a -，此时在2x =-处()f x 取得最大值，为2e --，故221e a ----， 解得21122a e --， 综上可得，a 的范围是211[22e--，)+∞. 故选：A. 【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，考查转化思想，以及分类讨论思想方法，注意运用导数，求出单调区间和极值､最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题.11．D解析：D 【分析】表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可． 【详解】解：依题意，222,0()4,02,0kx k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩， 当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)kg x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点， 当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；当0k >时，322()()x k g x x -'=，0x >，令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得130x k <<， 故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增， 要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点， 则1233132()()0min k g x g k k k k==+-<，解得27k >．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】求导()()1xf x x m e '=++，将问题转化为()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点，也即是关于x 的方程1x xm e --=有两个不同的解，构造函数()xx g x e =，求导()1x xg x e-'=，分析导函数取得正负的区间，从而得函数()g x 的单调性和最值，从而可得选项.【详解】函数()f x 的定义域为R ，()()'1x fx x m e =++，因为函数()f x 有两个极值点，所以()()1xf x x m e '=++有两个不同的零点， 故关于x 的方程1xxm e --=有两个不同的解， 令()xx g x e =，则()1x xg x e-'=，当(,1)x ∈-∞时，()0g x '>，当(1,+)x ∈∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减， 又当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →， 且0,()0x g x >>()11g e=，故101m e <--<，即111m e --<<-. 故选：B. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用导数分析函数的单调性与极值数形结合可得出实数的取值范围【详解】函数的定义域为令可得列表如下： 极大值 所以函数的极大值为且如下图所示：要使得关于的不等式只有两个解析：ln 6,ln 23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数k 的取值范围. 【详解】 函数()()ln 2x f x x =的定义域为()0,∞+，()()21ln 2x f x x-'=， 令()0f x '=，可得2ex =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为22f e e ⎛⎫==⎪⎝⎭，()1,22e ∈，且()()12ln 2f f ==，()ln 633f =，如下图所示：要使得关于x 的不等式()0f x k ->只有两个整数解，则ln 6ln 23k ≤<. 因此，实数k 的取值范围是ln 6,ln 23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：ln 6,ln 23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于利用导数分析函数的单调性与极值，然后在同一直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的 解析：)(1,-+∞【分析】构造函数)(()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论. 【详解】设)(()24g x f x x =--，则)(()2g x f x ='-'， 因为对任意x ∈R ，)(2f x '>，所以()0g x '>， 所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，因为)(12f -=，所以)((1)124440g f -=-+-=-=， 由()()10g x g >-=，可得1x >-， 则)(24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.15．【分析】根据函数在上单调递减由恒成立求解【详解】因为函数在上单调递减所以恒成立；令在上单调递增所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若在区间D 上有最值则；；（2）若解析：)336,e ⎡++∞⎣【分析】根据函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，由()0f x '≤，(],3x ∈-∞恒成立求解. 【详解】()320x f x e x m '=+-≤，因为函数()231xf x e x mx =+-+在(],3-∞上单调递减，所以32x e x m +≤，(],3x ∈-∞恒成立；令32xy e x =+在(],3-∞上单调递增，3max 36y e =+，所以实数m 的取值范围为)336,e ⎡++∞⎣. 故答案为：)336,e ⎡++∞⎣ 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：（1）若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.16．【分析】根据0<a<b<m 都有令则在上是减函数由求解【详解】因为0<a<b<m 都有令所以在上是减函数所以解得所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用还考查了分析求解问题解析：1e【分析】根据0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >，令()ln f x x x =，则()f x 在()0,m 上是减函数，由()0f x '<求解.【详解】因为0<a <b <m ，都有ln ln a a b b >， 令()ln f x x x =，所以()f x 在()0,m 上是减函数，所以()1ln 0f x x '=+<， 解得10x e<<， 所以m 的最大值为1e， 故答案为：1e【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性及其应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.17．【分析】根据求导函数根据在上单调性求解【详解】因为函数所以所以在上单调递增所以函数在上的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值还考查了运算求解的能力属于中档题解析：212e +【分析】 根据21()ln 2f x x x =+，求导函数，根据()f x 在[1,]e 上单调性求解. 【详解】 因为函数21()ln 2f x x x =+， 所以1()0f x x x'=+>， 所以()f x 在[1,]e 上单调递增，所以函数()f x 在[1,]e 上的最大值为2()()12e f x f e ==+.故答案为：212e +【点睛】本题主要考查导数法求函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．3【分析】首先求解导函数然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可【详解】由题意可得：由题意导函数在区间上的函数值要么恒非负要么恒非正很明显函数值不可能恒非负故即在区间上恒成立据此可得：即的解析：3 【分析】首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的性质确定实数a 的最大值即可. 【详解】由题意可得：2'3y x a =-+，由题意导函数在区间[)1,+∞上的函数值要么恒非负，要么恒非正，很明显函数值不可能恒非负，故230x a -+≤， 即23a x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，据此可得：3a ≤， 即a 的最大值是3. 故答案为3． 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性得到在R 上恒成立再利用导数分析解答即得解【详解】因为当时有不等式成立所以令所以函数g(x)在（0+∞）上单调递增由题得所以函数g(x)是奇函数所以函数在R 解析：2【分析】令2()(),g x x f x =先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到e x ax >在R 上恒成立，再利用导数分析解答即得解. 【详解】因为当0x >时，有不等式()()22x f x xf x '>-成立，所以()()22+20,[()]0x f x xf x x f x ''>∴>，令2()(),g x x f x =所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增， 由题得22()()()g(x),g x x f x x f x -=-=-=- 所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R 上单调递增. 因为对x R ∀∈，不等式()()2220xxe f e a x f ax ->恒成立，所以()()222,()()e xxxxe f ea x f ax g e g ax ax >∴>∴>，，因为a >0,所以当x≤0时，显然成立.当x ＞0时，()(0)xe a h x x x<=>，所以2(1)()xx e h x x-'=，所以函数h (x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增. 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a ＜e,所以正整数a 的最大值为2. 故答案为2 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）答案见解析；（2）22,,0e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【分析】（1）先对函数求导，然后分0a >和0a <两种情况，解不等式()0f x '<，()0f x '>，可求出函数的单调区间；（2）函数2()()2g x f x x x =+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，然后分0a >和0a <两种情况讨论即可得答案 【详解】（1）()(1)xf x ae x '=-，若0a >，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1,()x f x >∴的递减区间为(,1)-∞，递增区间为(1,)+∞．若0a <，由()0f x '<，得1x >；由()0f x '>，得1,()x f x <∴的递减区间为(1,)+∞，递增区间为(,1)-∞．（2）22()()2(2)2x g x f x x x ae x x x =+-=-+-，()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+． 2()(2)2x g x ae x x x ∴=-+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，当1x =时，1(1)20h ae =+≠，即2a e≠-． ∴①当0a >时，()20x h x ae =+>，此时无零点； ②当0a <且2a e≠-时，2()0,()h x ae h x '=<∴为减函数． 又2ln 2ln 20a h ae a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴总存在唯一实数2ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使()0h x =．综上，()g x 有两个极值点实数a 的取值范围22,,0e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数与极值，第2问解题的关键是将函数2()()2g x f x x x =+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，从而分情况讨论即可，考查数学转化思想，属于中档题 22．（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞；（2）()22,e e --. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（2）首先说明0a =无零点，0a ≠时，()0f x =变形为1ln 2x x a =.引入ln ()2x x g x =，利用导数研究的单调性与极值，结合方程有两个解可得参数范围． 【详解】解：（1）当1a =-时，2()ln f x x x=+，则22212()(0)x f x x x x x -'=-+=>.令()0f x '，得2x ，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递增；令()0f x '<，得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减. 故当1a =-时，()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞.（2）当0a =时，2()f x x=没有零点，则0a =不符合题意. 当0a ≠时，令2()ln 0f x a x x =-=，得1ln 2x x a =. 设ln ()2x x g x =，则ln 1()2x g x +'=. 由()0g x '>，得1x e >；由()0g x '<，得211x e e<<. 则()g x 在211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故min 11()2g x g e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为2211g e e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以21112e a e -<<-， 解得22e a e -<<-.故a 的取值范围为()22,e e --. 【点睛】思路点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数零点个数问题．解题思路是函数零点个数转化为方程的解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值等性质后可得结论，关键是转化．23．（1）()200cos 100,0,2S πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）6πθ=.【分析】（1）在直角三角形ABC 中，求出AC ，在扇形COB 中利用弧长公式求出弧BC 的长度，则可得函数()S θ； （2）利用导数可求得结果. 【详解】（1）如图，连接,BC OC ，在直角三角形ABC 中，100,,AB BAC θ=∠= 所以100cos ,AC θ=由于22,BOC BAC θ∠=∠= 则弧BC 的长为250100,l r αθθ=⋅=⋅=()22100cos 100200cos 100,0,2S AC l πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可知()200sin 100S θθ'=-+， 令()0,S θ'= 得1sin 2θ=，因为(0,)2πθ∈所以6πθ=，当0,,()0,()6S S πθθθ'⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，当,,()0,()62S S ππθθθ'⎛⎫∈< ⎪⎝⎭单调递减，所以当6πθ=时，使得绿化带总长度()S θ最大.【点睛】关键点点睛：仔细审题，注意题目中的关键词“两侧”和“一侧”是解题关键. 24．（1）证明见解析；（2）(,0]-∞. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，()'g x ，求出()f x 在00(,())x f x 切线方程，利用切线斜率求得()y g x =的切点坐标，得切线方程，由两条切线方程是相同的，可证结论；（2）令()()()ln(1)x a h x g x f x e x a -=-=-+-，求得()h x '，确定单调性，最小值，由最小值不小于1可得a 的范围． 【详解】（1）若0a =，则()ln(1)f x x =+，()xg x e =.所以1()1f x x '=+，()xg x e '=， 曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线方程为()()0001ln 11y x x x x =-+++， 令01()1xg x e x '==+，则01ln 1x x =+，曲线()y g x =在点0011ln ,11x x ⎛⎫⎪++⎝⎭处的切线方程为()00011ln 111y x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦++， 由题意知()()()000000111ln 1ln 1111x x x x x x x x ⎡⎤-++=+++⎣⎦+++，整理可得()000ln 111x x x +=+，00x =显然不满足， 因此()0001ln 1x x x ++=. （2）令()()()ln(1)x ah x g x f x e x a -=-=-+-若0a >，0(0)01ah ea e -=-<-=，不符合条件；若0a =，()ln(1)xh x e x =-+，1()1x h x e x '=-+， 当(1,0)x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以()(0)1h x h ≥=，符合条件； 若0a <，则()ln(1)ln(1)1x ax h x ex a e x -=-+->-+≥，符合条件.所以a 的取值范围是(,0]-∞. 【点睛】思路点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．求切线方程时要注意是函数图象在某点处的切线，还是过某点的切线，由导数得斜率得切线方程，若不知切点时一般需设出切点坐标，写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点，再得切线方程，不能弄错．25．（1）函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+；单调递减区间为(),0-∞；（2）2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 【分析】 （1）当12a =时，()xf x e x =-，利用导数可求得函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由参变量分离法得出min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用导数求出函数()xe g x x =在区间[]2,3上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】 （1）当12a =时，()x f x e x =-，()1xf x e '=-， 令()0f x '=，得0x =．令()0f x '>，得0x >：令()0f x '<，得0x <．所以函数()xf x e x =-的单调递增区间为()0,∞+，单调递减区间为(),0-∞；（2）()202xxe f x e ax a x =-≥⇔≤对任意的[]2,3x ∈恒成立，即min2x e a x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，设()xe g x x =﹐则()()21x e x g x x-'=，显然当[]2,3x ∈时()0g x '>恒成立． ()g x ∴在[]2,3单调递增，()n2mi ()22g x g e ∴==，22224e e a a ∴≤⇒≤，所以2,4 e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 26．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意2()62f x x ax '=-()01f '=，则3a =32()234,()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表当1,(1)2343x f ==-+=.所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(有答案解析)(2)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数()()22ln x x t f x x+-=，若对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x '+>恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(),2-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．103⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,D ．()2,+∞2．已知关于x 的不等式32ln x ax x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(,0]-∞3．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m 4．对任意0x >，若不等式2e ln e xa x ax x++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,e]B ．2(0,e ]C ．2[,e]eD ．22[,e ]e5．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b <6．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ） A ．34B ．16C ．24D ．177．已知曲线1C ：()xf x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a xg x a x=∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）A ．有唯一零点B ．有两个零点C ．没有零点D ．不确定8．下列不可能是函数()()()xx f x xee Z αα-=-∈的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰有三个零点，则（ ）A ．24e a >B ．24e aC ．22e a >D ．2e a >10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f11．设函数()x f x e x =-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则+a b 的最大值是（ ） A ．11e-B ．1C ．1e -D ．22e -12．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x '+<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．(3)2(2)2ef f e +<+B ．(3)2(2)2ef f e +>+C ．(3)2(2)2f e ef +<+D ．(3)2(2)2f e ef +>+二、填空题13．已知一个母线长___________米.14．已知函数)(f x 的定义域为R ，且)(12f -=．若对任意x ∈R ，)(2f x '>，则)(24f x x >+的解集为______．15．若0x ∀>，不等式ln 2(0)a x b a x ++≥>恒成立，则ba的最大值为________. 16．已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '. 当0x ≥时，()()1xf x f x '>-. 若对任意x ∈R ，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为_____.17．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最大值是__________．18．已知函数()21ln 2f x a x x =+(0a >)，若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有()()12124f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是_____.19．已知函数()()()2ln f x x x x x a a R =+-∈，若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是______________.20．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．已知函数()(2)(0)x f x ae x a =-≠． （1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()2g x f x x x =+-有两个极值点，求实数a 的取值范围．22．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值； （2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 23．已知函数2()ln ()f x a x a x=-∈R . （1）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在21,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有两个零点，求a 的取值范围. 24．已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围 25．已知函数()()ln 2xf x e x =-+.（1）求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()0f x >.26．已知函数2()ln 24()f x a x x x a =+-∈R . （1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）求()()g x f x ax =-在区间[1,]e 上的最小值()h a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求导函数()f x '，化简()()0f x f x x'+>得10x t x+->在[]2,3x ∈恒成立，参变分离即可求参数范围. 【详解】∵()2222ln 2x x t f x x-+-'=， ∴对任意的[]2,3x ∈，()()0f x f x x'+>恒成立⇔对任意的[]2,3x ∈，()()0xf x f x '+>恒成立， ⇔对任意的[]2,3x ∈，10x t x+->恒成立, ⇔1x t x+>恒成立， 又()1g x x x =+在[]2,3上单调递增,∴()()225min g x g ==，∴52t <.则实数t 的取值范围是5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）()a f x ≥ 恒成立()max a f x ⇔≥； （2） ()a f x ≤ 恒成立()min a f x ⇔≤.2．A解析：A 【分析】将不等式32ln x ax x -≥恒成立，转化为不等式2ln x xa x≤-在()0,∞+上恒成立，令()2ln xx xg x =-，用导数法求得其最小值即可. 【详解】因为不等式32ln x ax x -≥恒成立， 所以不等式2ln x xa x≤- 在()0,∞+上恒成立， 令()2ln xx xg x =-， 则()3312ln x xg x x-+'=， 令()312ln h x x x =-+，则()2230h x x x'=+>， 所以()h x 在()0,∞+上是递增，又()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得最小值()11g =， 所以 1a ≤， 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 3．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.4．B解析：B 【分析】将不等式化简并换元，构造函数2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】22e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，易得()1(e)a t a f t t t t-'=-=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，故2min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，设2()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．5．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围； 【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a ab -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．6．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值． 【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下：所以，函数y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．7．A解析：A 【分析】先对函数()xf x xe =和()ln a xg x x=求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln xh x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】∵()xf x xe =，∴()()1xf x x e '=+，又()ln a x g x x =，∴()2ln a a xg x x-'=， 由题设知，()()01f g '='，即()02ln1101a a e -+=，∴1a =， 则()()()ln ln xx xh x f x g x xe e x x==⋅=， ∴()()ln 1ln xx xx x ee h x e x x x+=='+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x '<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0m x '>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()0m x >，则()0h x '>，∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.()h x 在()0,∞+上有唯一零点，故选：A ． 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）8．B解析：B 【分析】 由函数()()xx f x xee α-=-，分0a =， a 为正整数，a 为正偶数，a 为正奇数，a 为负整数分析其定义域，奇偶性和单调性判断. 【详解】当0α=时，()x x f x e e -=-其定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称， 又()()()xx x x f x ee e ef x ---=-=--=-，所以()f x 是奇函数，且单调递增，没有选项符合题意；当α为正整数时，()()xx f x x ee α-=-的定义域为R ，图象经过原点，当0x >时， ()()11()())(x x x x x xf x x e e e e x e e x x x ααααα-----'⎡⎤⎡⎤==-+++⎣⎦+⎣-⎦，因为0,0xxx x e ee e --->+>，所以()0f x '>，则()f x 递增，又存在0M >，当x M >时，随着x 的增大，()'f x 的变化率越来越大， 若α为正偶数，则()f x 是奇函数，此时C 选项符合题意； 若α为正奇数，则()f x 是偶函数，此时A 选项符合题意； 当α为负整数时，()()xx f x xee α-=-的定义域为{}|0x x ≠，当α为负奇数，()()()()xx f x x e e f x α--=--=，()f x 为{}|0x x ≠上的偶函数，无选项符合；当α为负偶数时且4α≤-时，()()()()xx f x x ee f x α--=--=-，()f x 为{}|0x x ≠上的奇函数， 当0x >时，()()211(())x x x x f x x e e x x x x x e e x ααααααα----+⎛⎫+--+ ⎪-⎝'⎡⎤=+=⎦⎭⎣， 令()2,0x x S x e x x αα-+=+>-， 则()()()()()2222222xxxxx x S x e x x e ααααα---+-'=-=-⨯--，令(),0x x x x αϕ->=，则()01xx ϕ'<=， 故(),0xx x x αϕ->=为减函数，而()00ϕα=->，()()()23ln ln 2ln t t t αααϕ---+=+=-，其中2t =≥，令()232ln ,2u t t t t t =+-≥，则()()2223,2t t u t t t+-'=≥，则()()22232+440tt +-≤⨯-<，故()232ln ,2u t t t t t =+-≥为减函数，所以()2ln 240u t ≤-<，()()ln 0ϕα-<，所以存在()00x ∈+∞,，使得当()00,x x ∈时，()0x ϕ>即()0S x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<即()0S x '>，故()S x 在()00,x 为减函数，在()0,x +∞为增函数，因为()00S =，故()00S x <，而当x a >-时，()0S x >，故存在()10,x ∈+∞，使得当()10,x x ∈时，()0S x <即()0f x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0S x >即()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上为减函数，在()1,x +∞为增函数， 又当0x >时，()0f x >恒成立，故D 选项符合题意. 对任意的整数α，当α为非负整数时，()f x 在0x =处有定义，且()f x '在0x =不间断，故B 不符合题意，当α为负整数时，()f x 在0x =处没有定义，故B 不符合题意， 故选：B. 【点睛】方法点睛：对于知式选图问题的解法：1、从函数的定义域，判断函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；2、从函数的单调性，判断函数图象的变换趋势；3、从函数的奇偶性，判断函数图象的对称性；4、从函数的周期性，判断函数图象图的循环往复；5、从函数的特殊点，排除不和要求的图象；9．A解析：A 【分析】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)fx a x x =≠， 令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4(2)()x xe x g x x-'=， 则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2(2)4e g =，当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：由图知，若函数()2y f x ax =-恰有三个零点，则24e a >. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.10．A解析：A 【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>. ∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -.故选：A . 【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题.11．C解析：C 【分析】先设切点写出曲线的切线方程，得出a 、b 的值，再利用构造函数利用导数求+a b 的最大值即可. 【详解】解：由题得()1x f x e '=-，设切点(t ，())f t ，则()t t f t e =-，()1t f t e '=-； 则切线方程为：()(1)()tty e t e x t --=--， 即(1)(1)tty e x e t =-+-，又因为y ax b =+， 所以1t a e =-，(1)tb e t =-， 则12t t a b e te +=-+-，令()12ttg t e te =-+-，则()(1)tg t t e '=-，则有1t >，()0g t '<；1t <，()0g t '>，即()g t 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减， 所以1t =时，()g t 取最大值(1)121g e e e =-+-=-， 即+a b 的最大值为1e -. 故选：C. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题.12．A解析：A 【分析】设()()2xxF x e f x e =-，求导并利用()()2f x f x '+<可得()F x 在R 上单调递减，根据(2)(3)F F >可得结果.【详解】设()()2x xF x e f x e =-，则[]()()()2()()2x x x xF x e f x e f x e ef x f x '''=+-=+-，因为()()2f x f x '+<，所以()()()20F x e f x f x ''⎡⎤=+-<⎣⎦，所以()F x 在R 上单调递减，则(2)(3)F F >，即2233(2)2(3)2e f e e f e ->-，故(3)2(2)2ef f e +<+． 故选：A. 【点睛】本题考查了构造函数解决导数问题,考查了利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题.二、填空题13．【分析】设圆锥的高为米可得出底面圆的半径为求出圆锥形容器的体积关于的表达式利用导数可求得的最大值及其对应的的值【详解】设圆锥形容器的高为米半径为米由勾股定理可得其中圆锥形容器的体积为则令由于可得当时 解析：3【分析】设圆锥的高为h 米，可得出底面圆的半径为r =V 关于h 的表达式，利用导数可求得V 的最大值及其对应的h 的值. 【详解】设圆锥形容器的高为h 米，半径为r 米，由勾股定理可得2227h r +=，2227r h ∴=-，其中0h <<圆锥形容器的体积为()()2231112727333V r h h h h h πππ==-=-，则()29V h π'=-，令0V '=，由于(h ∈，可得3h =.当03h <<时，0V '>；当3h <<0V '<.所以，当3h =时，圆锥形容器的体积V 取得最大值. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.14．【分析】构造函数利用导数研究函数的单调性即可得结论【详解】设则因为对任意所以所以对任意是单调递增函数因为所以由可得则的解集故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解利用条件构造函数利用导数研究函数的 解析：)(1,-+∞【分析】构造函数)(()24g x f x x =--，利用导数研究函数的单调性即可得结论. 【详解】设)(()24g x f x x =--，则)(()2g x f x ='-'， 因为对任意x ∈R ，)(2f x '>，所以()0g x '>， 所以对任意x ∈R ， ()g x 是单调递增函数，因为)(12f -=，所以)((1)124440g f -=-+-=-=，由()()10g x g >-=，可得1x >-， 则)(24f x x >+的解集()1,-+∞. 故答案为：()1,-+∞. 【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数、利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键.15．【分析】先设对其求导求出其最小值为得到再令对其求导导数的方法研究其单调性得出最大值即可得出结果【详解】设则因为所以当时则函数单调递减；当时则函数单调递增；所以则令则；由可得；所以当时则函数单调递增； 解析：2e【分析】先设()ln 2af x x x=++，对其求导，求出其最小值为()min ln 3f x a =+，得到ln 3b a a a +≤，再令()ln 3a g a a +=，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果. 【详解】设()ln 2a f x x x =++，则()221a x a f x x x x'-=-=，因为0a >， 所以当()0,x a ∈时，()20x af x x-'=<，则函数()f x 单调递减； 当(),x a ∈+∞时，()20x afx x'-=>，则函数()f x 单调递增； 所以()()min ln 3f x f a a b ==+≥， 则ln 3b a a a +≤，令()ln 3a g a a +=，则()221ln 32ln a a g a a a--+'==-； 由()0g a '=可得，2a e -=； 所以当()20,a e-∈时，()22ln 0a g a a +'=->，则函数()g a 单调递增；当()2,a e -∈+∞时，()22ln 0ag a a+'=-<，则函数()g a 单调递减； 所以()()2222max ln 3e g a g e e e---+===，即b a 的最大值为2e . 故答案为：2e 【点睛】 思路点睛：导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值.16．2【分析】令利用可得在单调递增不等式恒成立等价于即当时分离参数可得可求出正整数的最大值为2再检验当时对于不等式恒成立即可求解【详解】因为定义在上的函数关于轴对称所以函数为上的偶函数令则因为当时即所以解析：2 【分析】令()()g x xf x x =-，利用()()1xf x f x '>-可得()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立等价于()()x g e g ax >，即e x ax >，当0x >时，分离参数可得()xe a h x x<=，可求出正整数a 的最大值为2，再检验当2a =时，对于0x <，不等式恒成立，即可求解. 【详解】因为定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称， 所以函数()f x 为R 上的偶函数，令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-，因为当0x ≥时，()()1xf x f x '>-，即()()()10g x f x xf x ''=+->， 所以()g x 在[)0,+∞单调递增， 不等式()()0xx xe f e eax axf ax -+->恒成立，即()()xxxe f eeaxf ax ax ->-，即()()x g e g ax >，所以e x ax >，当0x >时，()xe a h x x <=，则()()21x e x h x x -'=， 可得()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 所以()()min 1h x h e ==， 所以a e <，此时最大的正整数a 为2，2a =对于0x <时，e x ax >恒成立，综上所述：正整数a 的最大值为2， 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数()()g x xf x x =-，利用导数判断出()g x 在[)0,+∞单调递增，不等式恒成立即()()x g e g ax >，利用单调性可得e x ax >，再分类参数求最值.17．【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间利用单调性求得函数的最大值【详解】由题意知是周期为的偶函数当时得的减区间为当时的增区间为所以当时取最大值故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最解析：2【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间，利用单调性求得函数的最大值. 【详解】2()2sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)f x x x x x x x '=-+=-+-=--+由题意知()f x 是周期为2π的偶函数， 当()0f x '≤时，得()f x 的减区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当()0f x '≥时，()f x 的增区间为5132,2()66Z k k k ππππ⎡⎤++⎢⎥∈⎣⎦，所以当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x ．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】设由题意得令则所以函数是增函数原问题转化为恒成立然后利用参变分离法有恒成立运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数都有恒成立不妨设所以即令则所以函数在单调递增则恒 解析：[)4,+∞【分析】设12x x >,由题意得()()112244f x x f x x >--，令()()24l 12n 4g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 是增函数，原问题转化为()40,0()a g x x x x'=+-≥>恒成立，然后利用参变分离法，有2,)40(a x x x ≥-+>恒成立，运用配方法求出函数24y x x =-+在(0,)+∞上的最大值即可．【详解】若对任意两个不相等的正实数12,x x 都有()()12124f x f x x x ->-恒成立,不妨设12x x > 所以()()121244f x f x x x >--，即()()112244f x x f x x >--，令()()24l 12n 4g x f x x a x x x =-=+-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增， 则()40,0()ag x x x x'=+-≥>恒成立，所以2,)40(a x x x ≥-+>恒成立， 又函数()224244y x x x =-+=--+≤，当2x =时，等号成立， 所以4a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)4,+∞． 故答案为：[)4,+∞． 【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．【分析】求得导函数后代入不等式则可将不等式化为根据能成立的思想可得利用基本不等式可求得最小值进而得到结果【详解】即为整理得到即使得成立（当且仅当即时取等号）即实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考解析：)+∞【分析】求得导函数后，代入不等式则可将不等式化为12a x x>+，根据能成立的思想可得min 12a x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值，进而得到结果.【详解】()()()2ln 12f x x x a x x a '=++-+-，()()f x xf x '∴>即为()()()222ln ln 2x x x x a x x x x x a x x a +->++-+-，整理得到22210x ax -+<，即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得221122x a x x x+>=+成立，12x x +≥=12x x =，即2x =时取等号），a ∴>， 即实数a的取值范围为)+∞.故答案为：)+∞.【点睛】本题考查利用导数解决能成立的问题，关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量和函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到结果.20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()xf x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）答案见解析；（2）22,,0e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【分析】（1）先对函数求导，然后分0a >和0a <两种情况，解不等式()0f x '<，()0f x '>，可求出函数的单调区间；（2）函数2()()2g x f x x x =+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，然后分0a >和0a <两种情况讨论即可得答案 【详解】（1）()(1)xf x ae x '=-，若0a >，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1,()x f x >∴的递减区间为(,1)-∞，递增区间为(1,)+∞．若0a <，由()0f x '<，得1x >；由()0f x '>，得1,()x f x <∴的递减区间为(1,)+∞，递增区间为(,1)-∞．（2）22()()2(2)2x g x f x x x ae x x x =+-=-+-，()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+． 2()(2)2x g x ae x x x ∴=-+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，当1x =时，1(1)20h ae =+≠，即2a e≠-． ∴①当0a >时，()20x h x ae =+>，此时无零点； ②当0a <且2a e≠-时，2()0,()h x ae h x '=<∴为减函数． 又2ln 2ln 20a h ae a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴总存在唯一实数2ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使()0h x =．综上，()g x 有两个极值点实数a 的取值范围22,,0e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查导数与极值，第2问解题的关键是将函数2()()2g x f x x x =+-有两个极值点，等价于()()(1)22(1)2x x g x ae x x x ae '=-+-=-+有两个不同的零点，等价于()2x h x ae =+有一个不为1的零点，从而分情况讨论即可，考查数学转化思想，属于中档题 22．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x+在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =； （2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210a f x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x时等号成立，故min2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 23．（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞；（2）()22,e e --.【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间； （2）首先说明0a =无零点，0a ≠时，()0f x =变形为1ln 2x x a =.引入ln ()2x x g x =，利用导数研究的单调性与极值，结合方程有两个解可得参数范围．【详解】 解：（1）当1a =-时，2()ln f x x x=+，则22212()(0)x f x x x x x -'=-+=>. 令()0f x '，得2x ，所以函数()f x 在[2,)+∞上单调递增；令()0f x '<，得02x <<，所以函数()f x 在(0,2)上单调递减.故当1a =-时，()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为[2,)+∞.（2）当0a =时，2()f x x =没有零点，则0a =不符合题意. 当0a ≠时，令2()ln 0f x a x x =-=，得1ln 2x x a =. 设ln ()2x x g x =，则ln 1()2x g x +'=.由()0g x '>，得1x e >；由()0g x '<，得211x e e<<. 则()g x 在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故min 11()2g x g e e ⎛⎫==-⎪⎝⎭. 因为2211g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以21112e a e -<<-， 解得22e a e -<<-.故a 的取值范围为()22,e e --.【点睛】思路点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数零点个数问题．解题思路是函数零点个数转化为方程的解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值等性质后可得结论，关键是转化．24．（1）在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）211b e -≤. 【分析】（1）对函数求导得()11ax f x a x x-'=-=，由题意，()110f a '=-=，得1a =，再代入计算()0f x '>与()0f x '<，即可得单调性；（2）参变分离得1ln ()1=+-≥x g x b x x ，利用恒成立方法，对函数1ln ()1x g x x x=+-求导，判断单调性，求最小值即可.【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，()11ax f x a x x -'=-=，由题意，()110f a '=-=，所以1a =，即1()x f x x'-=，由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，故函数()f x 在(0,1)上单调递减，在()1,+∞上单调递增.（2）1ln ()21x f x bx b x x≥-⇒+-≥，令1ln ()1x g x x x =+-，则min ()≥g x b 成立，2ln 2()x g x x-'=，由()0g x '>，得2x e >，由()0g x '<，得20x e <<， 故()g x 在2(0,)e 上递减，在2(,)e +∞上递增，2min 21()()1==∴-x g e e g ，即211b e-≤. 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．25．（1）11ln 22y x =+-；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出()f x 的导函数，由()0k f '=，可得答案.（2）求出()f x 的导函数，讨论出函数()f x 的单调性，得出其最小值，可证明.【详解】（1）解：1()2x f x e x '=-+， 当0x =时，()102k f '==， 又()01ln 2f =-， 所以切线方程为()11ln 22y x --=，即11ln 22y x =+-. （2）解：1()2x f x e x '=-+在区间()2,-+∞上单调递增， 又()10f '-<，()00f '>，故()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-，当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值.由()00f x '=，得0012x e x =+，()00ln 2x x +=-， 故()()20000011()022x f x f x x x x +≥=+=>++. 【点睛】本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由1()2x f x e x '=-+在区间()2,-+∞上单调递增，得出()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，从而得出()f x 的单调区，即()()20000011()22x f x f x x x x +≥=+=++，属于中档题.26．（1）单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞；（2）222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e--≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩. 【分析】（1）根据(2)0f '=，求出8a =-，再根据导数与函数单调性的关系即可求解.（2）求出(4)(1)()x a x g x x --'=，令()0g x '=，解得4a x =或1x =，讨论14a ≤、14a e <<或4a e ≥，判断函数在区间[1,]e 上的单调性，根据单调性即可求出函数的最值. 【详解】 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，244()44a x x a f x x x x-+'=+-=. 因为2x =是()f x 的极值点，所以168(2)02a f -+'==，解得8a =-， 所以24484(2)(1)()x x x x f x x x---+'==， 当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞.（2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，则(4)(1)()44a x a x g x x a x x--'=+--=， 令()0g x '=，得4a x =或1x =. ①当14a ≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--； ②当14a e <<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 所以21()ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭； ③当4a e ≥，即4a e ≥时，()g x 在[1,]e 上为减函数， 所以2()()(1)24h a g e e a e e ==-+-. 综上所述，222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是确定函数在区间[1,]e上的单调性，考查了分类讨论的思想以及运算求解能力.。

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)(4)

(常考题)北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知函数()()2e x x f x x =∈R ，若关于方程()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，则实数t 的取值范围为（ ）A ．()24,22,e e ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B ．24,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．24,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．241,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2e ⎤-∞⎦ B ．()0,2e C ．(,4e ⎤-∞⎦ D ．()0,4e 3．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r ，高为h 的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π 4．已知函数()()()110ln x f x x x ++=>，若()1k f x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．()f x 有极大值()2f -B ．()f x 有极小值()2f -C ．()f x 有极大值()1fD ．()f x 有极小值()1f6．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +<B ．()()()1322f f f +≤C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +> 7．已知函数31()sin x xf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,]2-C ．1(,1][,)2-∞-⋃+∞D ．1(,][1,)2-∞-⋃+∞ 8．设函数()x f x e x =-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则+a b 的最大值是（ ）A ．11e -B ．1C ．1e -D ．22e - 9．已知函数()f x （x ∈R ）满足()34f =，且()f x 的导函数()1f x '<，则不等式()221f x x -<的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(D ．((),3,-∞+∞ 10．函数3()3f x x x =-在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，则实数m 取值范围为（ ）A ．[1B ．[1，)+∞C ．(1D ．(1,)+∞ 11．若函数()x x f x ax ee -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤ B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≥ 12．设函数()f x 的定义域为R ，其导函数是()f x '，若()()()20,01'+<=f x f x f ，则不等式()2x f x e->的解集是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．()0,∞+ D ．(),0-∞二、填空题13．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（1）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（2）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）①直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =.②直线l ：1x =-在点()1,0P -处“切过”曲线C ：()21y x =+. ③直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =.④直线l ：1y x =+在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y e =.⑤直线l ：1y x =-在点()1,0P 处“切过”曲线C ：ln y x =.14．已知函数2()ln 3m f x x x x x=+-+．若函数()f x 在[1,2]上单调递减，则实数m 的最小值为________．15．已知()f x 满足()()431f f =-=，()f x '为其导函数，且导函数()y f x '=的图象如图所示，则()1f x <的解集是_________.16．若函数()()()()21222x f x a x e ax ax a R ⎡⎤=---+∈⎢⎥⎣⎦在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，则a 的取值范围是___________.17．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．18．若函数()()32f x x ax a R =--∈在(),0-∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,2-上的最小值为______.19．设定义在R 上的连续函数()f x 的导函数为()f x '，已知函数()y x f x =⋅'的图象（如图）与x 轴的交点分别为()2,0-，()0,0，()2,0.给出下列四个命题：①函数()f x 的单调递增区间是()2,0-，(2,)+∞；②函数()f x 的单调递增区间是(–,2)∞-，(2,)+∞；③2x =-是函数()f x 的极小值点；④2x =是函数()f x 的极小值点.其中，正确命题的序号是__________.20．已知随机变量X 的分布列为：X1 1k + P 3ke - 31ke --随机变量X 的数学期望为()E X ，则满足()E X k <的最大正整数k 的值是_____. （参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈）三、解答题21．某偏远贫困村积极响应国家“扶贫攻坚”政策，在对口帮扶单位的支持下建了一个工厂，已知每件产品的成本为a 元，预计当每件产品的售价为x 元()38x ≤≤时，年销量为()29x -万件.若每件产品的售价定为6元时，预计年利润为27万元（1）试求每件产品的成本a 的值；（2）当每件产品的售价定为多少元时？年利润y （万元）最大，并求最大值． 22．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈．（1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 23．已知函数()(0)xax f x a e =≠． （1）当1a =时，求函数()y f x =在[0,2]上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间．24．已知函数()ln f x kx x =-（k ∈R ）.（1）若函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 的零点个数.25．已知函数2()ln 24()f x a x x x a =+-∈R .（1）若2x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()g x f x ax =-在区间[1,]e 上的最小值()h a . 26．设函数33,().()2,x x x a f x a R x x a ⎧-=∈⎨->⎩（1）若0a =，则()f x 的最大值为；（2）若()f x 无最大值，则求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求得()f x 的导数，可得单调区间和极值，作出()f x 的图象，将方程()()210f x tf x t -+-=因式分解为()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，则()1f x =或()1f x t =-，从而()1f x t =-有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，数形结合即可得到1t -的取值范围，从而得解；【详解】 解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e -'=， 当02x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x '<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象如下所示，因为()()210f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实根，所以()()()110f x f x t ⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦，解得()1f x =或()1f x t =-，当()1f x =时，有1个实数解，所以()1f x t =-应有3个实数根，即函数()y f x =与1y t =-有3个交点，所以2401t e <-<，即2411t e<<+ 故选：D【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力．2．A解析：A【分析】先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可. 【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120x g x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立， 即()212x x e a x+≥恒成立， 设()()21x x f x x e +=，()()()()22221211xx x x e x x e x x f x +--+='= 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数； 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a ≤ 故选：A.【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.3．B解析：B【分析】利用体积相等可得出216r h ，再将圆柱表面积表示出来将216h r =代入求导即可得最值. 【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4，高为3的圆锥为2143163ππ⨯⨯⨯=，底面半径为r ，高为h 的圆柱2r h π，所以216r h ππ=，可得216r h ，即216h r =圆柱的表面积为：2222163222222S r rh r r r r rππππππ=+=+=+， 322324324r S r r rππππ-'=-=， 令324320r S r ππ-'=>可得2r >，令324320r S rππ-'=<可得02r <<， 所以2r 时，表面积最小为23222242S πππ=⨯+=， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用体积相等得出h 和r 的关系，再将圆柱表面积用r 表示利用导数求最值. 4．B解析：B【分析】将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+= 令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.5．A解析：A【分析】由函数()()1y x f x '=-的图象，可得1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.由此可得函数()f x 的单调性，则答案可求.【详解】解：函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，∴1x >时，()0f x '<；21x -<<时，()0f x '<；2x <-时，()0f x '>.∴函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递减. ∴()f x 有极大值()2f -. 故选：A .【点睛】本题考查根据导函数的相关图象求函数的单调区间，考查数形结合思想，是中档题. 6．B解析：B【分析】 根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解.【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数，所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤.故选：B【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.7．B解析：B【分析】利用函数的奇偶性将函数转化为f （M ）≤f （N ）的形式，再利用单调性脱去对应法则f ，转化为一般的二次不等式求解即可．【详解】由于()31sin x x f x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0，所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0， 解得112a -≤≤， 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判定及应用，考查了不等式的解法，属于中档题． 8．C解析：C【分析】先设切点写出曲线的切线方程，得出a 、b 的值，再利用构造函数利用导数求+a b 的最大值即可.【详解】解：由题得()1x f x e '=-，设切点(t ，())f t ，则()t t f t e =-，()1t f t e '=-；则切线方程为：()(1)()t ty e t e x t --=--，即(1)(1)t t y e x e t =-+-，又因为y ax b =+，所以1t a e =-，(1)t b e t =-，则12t t a b e te +=-+-，令()12t t g t e te =-+-，则()(1)tg t t e '=-，则有1t >，()0g t '<；1t <，()0g t '>，即()g t 在(),1-∞上递增，在()1,+∞上递减， 所以1t =时，()g t 取最大值(1)121g e e e =-+-=-，即+a b 的最大值为1e -.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题. 9．B解析：B【分析】构造函数()()g x f x x =-，求导后可证得()g x 在R 上单调递减，将原不等式可转化为()()()221133f x x f ---<-，即()()213g x g -<，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令()()g x f x x =-，则()()10g x f x ''=-<，所以()g x 在R 上单调递减.因为不等式()221f x x -<可等价于()()()221133f x x f ---<-， 即()()213g x g -<， 所以213x ->，解得2x >或2x <-，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．A解析：A【分析】求导得()3(1)(1)f x x x =+-'，从而知函数()f x 的单调性，再结合(0)0f =，f （1）2=，即可得解【详解】. 3()3f x x x =-，2()333(1)(1)f x x x x ∴=-=+-'，令()0f x '=，则1x =或1-(舍负)，当01x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 函数()f x 在[0，]m 上最大值为2，最小值为0，且(0)(3)0f f ==，f （1）2=，13m ∴≤≤故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.11．A解析：A【分析】由()x x f x ax ee -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x xf x a e e -'=--≤在R 上恒成立，参变分离后，求最值即可的解. 【详解】由()x x f x ax e e -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x x f x a ee -'=--≤在R 上恒成立，因为0x e >， 参变分离可得：min (+)x x a e e -≤， +22x x x x e e e e --≥⋅=2a ≤故选：A【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.12．D解析：D【分析】构造新函数2()()x g x e f x =，求导后可推出()g x 在R 上单调递减，而2()x f x e ->可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，故而得解．【详解】令2()()x g x e f x =，则2()[2()()]x g x e f x f x ''=+，2()()0f x f x +'<，()0g x '∴<，即()g x 在R 上单调递减，(0)1f =，2()x f x e -∴>可等价于20()1(0)x e f x e f >=，即()(0)g x g >，0x ∴<，∴不等式的解集为(,0)-∞．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、填空题13．①③【分析】根据直线在点处切过曲线的定义对5个函数逐个判断可得答案【详解】对于①由得所以则直线：是曲线：在点处的的切线又当时当时满足曲线在附近位于直线的两侧故直线：在点处切过曲线：故①正确；对于②由解析：①③【分析】根据直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义，对5个函数逐个判断可得答案.【详解】对于①，由3y x =，得23y x '=，所以0|0x y ='=，则直线l ：0y =是曲线C ：3y x =在点()0,0P 处的的切线，又当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，满足曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：0y =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3y x =，故①正确；对于②，由()21y x =+，得2(1)y x '=+，所以1|0x y =-'=，而直线l ：1x =-的斜率不存在，在点()1,0P -处与曲线C ：()21y x =+不相切，故②不正确； 对于③，由sin y x =，得cos y x '=，所以0|1x y ='=，则直线l ：y x =是曲线C ：sin y x =在点()0,0P 处的切线，令sin y x x =-，则1cos y x '=-，当02x π-<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π-<<时，0sin 0y x <-=，当02x π<<时，0y '>，函数sin y x x =-递增，所以当02x π<<时，0sin 00y >-=，所以当02x π-<<时，sin x x <，当02x π<<时，sin x x >，所以曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，故直线l ：y x =在点()0,0P 处“切过”曲线C ：sin y x =，故③正确；对于④，由x y e =，得e x y '=，所以0|1x y ='=，则曲线C ：x y e =在点()0,1P 处的切线方程为10y x -=-，即1y x =+，令()1x g x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 递增，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 递减，则当0x =时，函数()g x 取得极小值，同时也是最小值(0)0g =，则()0g x ≥，即1x e x ≥+，则曲线C ：xy e =不在切线l ：1y x =+的两侧，故④不正确； 对于⑤，由ln y x =，得1y x'=，所以|11y x '==，所以曲线C ：ln y x =在点()1,0P 处的切线方程为01y x -=-，即1y x =-， 令()1ln g x x x =--，则1()1g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，函数()g x 取得极小值，也是最小值，所以()(1)0g x g ≥=，所以曲线C ：ln y x =不在切线l ：1y x =-的两侧，故⑤不正确.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：对直线l 在点P 处“切过”曲线C 的定义正确理解是解题关键.14．6【分析】求导函数令恒成立变量分离转化为求新函数的最大值【详解】可得令若函数在上单调递减即当时单调增所以函数在上单调递增所以故答案为:6【点睛】关键点睛：变量分离转化为不等式恒成立问题进而求又一函数 解析：6【分析】求导函数()f x '，令()0f x '≤恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值.【详解】21()23m f x x x x'=+--，()0f x '≤，可得3223m x x x ≥-+， 令()3223g x x x x =-+，若函数()f x 在[1,2]上单调递减，即()max m g x ≥当[1,2]x ∈时，()2661g x x x '=-+单调增， ()()266110g x x x g ''=-+≥>，所以函数()g x 在[1,2]上单调递增()()max 26g x g ==，所以6m ≥.故答案为:6【点睛】关键点睛：变量分离，转化为不等式恒成立问题，进而求又一函数的最值.15．【分析】利用导数分析函数的单调性分和两种情况解不等式由此可得出原不等式的解集【详解】由函数的图象可知当时此时函数单调递减；当时此时函数单调递增因为当时由可得；当时由可得综上所述不等式的解集时故答案为 解析：()3,4-【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，分0x ≤和0x >两种情况解不等式()1f x <，由此可得出原不等式的解集.【详解】由函数()y f x '=的图象可知，当0x <时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 当0x >时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增.因为()()431f f =-=，当0x ≤时，由()()13f x f <=-，可得30x -<≤； 当0x >时，由()()14f x f <=，可得04x <<.综上所述，不等式()1f x <的解集时()3,4-.故答案为：()3,4-.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.16．【分析】先通过有根在上求得参数范围再验证其左右的导数符号以保证取得极大值即得结果【详解】依题意在开区间上函数有最大值即说明在上有极大值故在上有根易见导函数的一个根故有根且在上故即故此时有两个根要使为解析：)【分析】先通过()0f x '=有根在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上求得参数范围，再验证其左右的导数符号，以保证取得极大值，即得结果.【详解】依题意，在开区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，函数()f x 有最大值，即说明()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值， 故()()()()()()21210x x f x a x e ax a a x e a '⎡⎤=---+=---=⎣⎦在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有根， 易见，导函数的一个根11,12x ⎛⎫=∉⎪⎝⎭，故0x e a -=有根，且在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上，故10,ln ,12a x a ⎛⎫>=∈ ⎪⎝⎭，即ln ln ln a e <e a <<， 此时()()()()210x f x a x e a '=---=有两个根，要使ln x a =为极大值点， 则需(),ln x a ∈-∞时，()0f x '>，()ln ,1x a ∈时，()0f x '<，故20a ->，即2a <.综上，a 的取值范围是).故答案为：). 【点睛】易错点点睛： ()00f x '=是0x x =为极值点的必要条件，利用其求得参数值（或范围）后必须验证()f x '在0x x =左右的符号，也进而能确定0x x =是极大值点还是极小值点，这是这类题的易错点.17．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22x f x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即 ()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根， 也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根， 所以()()22420a a ∆=+-+>，即()()2240a a ++->，解得：2a >或2a <-，故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.18．【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则①当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；②当时 解析：4-【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间(),0-∞上的单调性，根据该函数在区间(),0-∞上有且只有一个零点求得参数a 的值，进而利用导数可求得函数()y f x =在区间[]1,2-上的最小值.【详解】()32f x x ax =--，则()23f x x a '=-.①当0a ≤时，对任意的(),0x ∈-∞，()0f x '>恒成立，此时，函数()y f x =在区间(),0-∞上单调递增，且()()020f x f <=-<，不合乎题意；②当0a >时，令()230f x x a '=-=，可得x =x =当x <()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当0x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减.所以，()max 20f x f ⎛=== ⎝，解得3a =，()332f x x x ∴=--. ()()()233311f x x x x '=-=-+，当11x -<<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当12x <<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.因此，函数()y f x =在1x =处取得极小值，亦即最小值，故()()min 14f x f ==-. 故答案为：4-.【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题. 19．②④【分析】根据函数和图象可得的单调区间和单调性从而得到答案【详解】由函数和图象可得当时得所以函数单调递增当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递减当时得所以函数单调递增所以①错误；②正确；③是函解析：②④【分析】根据函数()y x f x =⋅'和图象可得()f x 的单调区间和单调性，从而得到答案.【详解】由函数()y x f x =⋅'和图象可得，当2()–,x ∞-∈时，0y <，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增，当()2,0x ∈-时，0y >，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，当(0,2)x ∈时，0y <，得()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，0y >，得()0f x '>，所以函数()f x 单调递增，所以①错误；②正确；③2x =-是函数()f x 的极大值点，错误；④正确. 故答案为：②④.【点睛】本题结合图象考查函数的单调性和判断极值，属于基础题.20．【分析】根据期望的定义先得到将不等式化为构造函数利用导数的方法判断其单调性计算即可得出结果【详解】由题意所以可化为即其中显然成立；两边同时取以为底的对数得令则当时即函数单调递增；当时即函数单调递减； 解析：4【分析】根据期望的定义，先得到()31k E X kek -=-++，将不等式()E X k <化为ln 3k k >，构造函数()ln ,03k f k k k =->，利用导数的方法判断其单调性，计算()4f ，()5f ，即可得出结果.【详解】由题意，()()333111kk k E X e k e ke k ---⎛⎫=++-=-++ ⎪⎝⎭， 所以()E X k <可化为310k ke --+<，即3k k e >，其中0k >显然成立；两边同时取以e 为底的对数，得ln 3k k >， 令()ln ,03k f k k k =->，则()11333k f k k k-'=-=， 当()0,3k ∈时，()303k f k k -'=>，即函数()ln 3k f k k =-单调递增；当()3,k ∈+∞时，()303k f k k -'=<，即函数()ln 3k f k k =-单调递减； 因此()()max 33ln 3ln 3103f k f ==-=->， 又()444ln 42ln 2 1.3862 1.3333033f =-≈-=->， ()55ln 5 1.6094 1.666603f =-≈-<， 因此满足ln 3k k >的最大正整数k 的值是4， 即满足()E X k <的最大正整数k 的值是4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查导数的方法研究不等式能成立的问题，涉及离散型随机变量的期望，属于常考题型.三、解答题21．（1）3a =；（2）每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元.【分析】（1）求得利润为()()29y x a x =--，代入点()6,27可求得实数a 的值； （2）由（1）可得出()()239y x x =--，()38x ≤≤，利用导数求出y 的最大值及其对应的x 的值，即可得出结论.【详解】（1）由题意可知，该产品的年利润为()()29y x a x =--，()38x ≤≤， 当6x =时，()9627y a =⨯-=，解得：3a =；（2）由()()239y x x =--，()38x ≤≤， 得：()()()()()292399315y x x x x x '=-+--=--，由0y '=，得5x =或9x =（舍）.当[)3,5x ∈时，0y '>，当(]5,8x ∈时，0y '<.所以当5x =时，max 32y =（万元）即每件产品的售价定为5元时，年利润y 最大，最大值为32万元.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求导()()1'(0)a x f x x x -=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解.【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x -=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间．（2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-，所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>．【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 23．（1）最大值为1e，最小值分别为0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，()xx f x e =，对其求导，利用导函数得符号判断()y f x =在[0,2]上的单调性，即可求得最值； （2）对()f x 求导可得()1()x a x f x e-'=，讨论0a >和0a <，由()0f x '>可得单调递增区间，由()0f x '<，可得单调递减区间.【详解】（1）当1a =时，()x x f x e =，所以21()x x x xe xe xf x e e --'==． 令()0f x '=，得1x =．当01x ≤<时，()0f x '>；当12x <≤时，()0f x '<．所以()y f x =在()0,1单调递增，在()1,2单调递减，所以当1x =时，()f x 取最大值1(1)f e =． 又因为(0)0f =，22(2)f e =，所以函数()x x f x e =的最大值和最小值分别为1e ，0． （2）因为()1()x a x f x e-'=． 当0a >时，由()0f x '>，得1x <；由()0f x '<，得1x >， 此时函数()x x f x e=的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得1x <． 此时函数()x x f x e =的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞ 综上所述：当0a >时，函数()x x f x e =的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,)+∞； 当0a <时，函数()x x f x e =的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞． 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.24．（1）函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1；（2）当1k e >时，函数()f x 没有零点；当1k e =或0k ≤时，函数()f x 有1个零点；当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点.【分析】（1）由题得()10f '=，进而得1k =，再根据导数求解单调区间即可；（2）根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，进而求解.【详解】解：（1）因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，()1'f x k x =-， 所以()10f '=，即10k -=，求得1k =，所以()ln f x x x =-，()111x f x x x-'=-=（0x >）， 令()'0f x >，则1x >；令()'0f x <，则01x <<，∴函数()f x 的单调递增区间是()1,+∞，单调递减区间是()0,1.（2）函数()f x 的零点个数可等价于函数()ln g x x =与y kx =的交点个数.设()00,P x y 是函数()ln g x x =上的一点，由()ln g x x =得，()1g x x'=， ∴()g x 在点()00,P x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 令0x y ==则0x e =，∴过原点所作的函数()ln g x x =的切线方程为1y x e =， 故由图可知， 故当1k e >时，函数()f x 没有零点； 当1k e=或0k ≤时，函数()f x 有1个零点； 当1k e <<0时，函数()f x 有2个零点.【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为函数()ln g x x =与y kx =的交点个数问题，再讨论过原点的函数()ln g x x =的切线方程的斜率，数形结合即可求解.考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.25．（1）单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞；（2）222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩. 【分析】（1）根据(2)0f '=，求出8a =-，再根据导数与函数单调性的关系即可求解.（2）求出(4)(1)()x a x g x x --'=，令()0g x '=，解得4a x =或1x =，讨论14a ≤、14a e <<或4a e ≥，判断函数在区间[1,]e 上的单调性，根据单调性即可求出函数的最值. 【详解】 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，244()44a x x a f x x x x-+'=+-=. 因为2x =是()f x 的极值点，所以168(2)02a f -+'==，解得8a =-， 所以24484(2)(1)()x x x x f x x x---+'==， 当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+∞.（2）2()ln 24g x a x x ax x =+--，则(4)(1)()44a x a x g x x a x x--'=+--=， 令()0g x '=，得4a x =或1x =.①当14a ≤，即4a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()12h a g a ==--； ②当14a e <<，即44a e <<时，()g x 在1,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 所以21()ln 448a a h a g a a a ⎛⎫==--⎪⎝⎭； ③当4a e ≥，即4a e ≥时，()g x 在[1,]e 上为减函数， 所以2()()(1)24h a g e e a e e ==-+-. 综上所述，222,41()ln ,4448(1)24,4a a a h a a a a a e e a e e a e --≤⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-+-≥⎪⎩. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、求函数的最值，解题的关键是确定函数在区间[1,]e 上的单调性，考查了分类讨论的思想以及运算求解能力.26．（1）2；（2）(,1)-∞-.【分析】（1）将0a =代入，求出函数的导数，分析函数的单调性可得当1x =-时，()f x 有最大值2；（2）若()f x 无最大值，则3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩，解得可得答案. 【详解】（1）若0a =，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，所以233,0()2,0x x f x x ⎧-=⎨->⎩'， 当1x <-时，()0f x '>，此时函数为单调递增函数，当1x >-时，()0f x '<，此时函数为单调递减函数，故当1x =-时()f x 有最大值为2 .（2）233,()2,x x a f x x a ⎧-=⎨->'⎩，令()0f x '=，则1x =±，若()f x 无最大值，则 3123a a a a ≤-⎧⎨->-⎩ ① 或312322a a a a a >-⎧⎪->-⎨⎪->⎩②， 由①得(,1)a ∈-∞-，由②得无解，所以(,1)a ∈-∞-.-∞-.故答案为：2；(,1)【点睛】分段函数在高考中的常见题型有：已知分段函数求值、已知分段函数求值域、已知分段函数求不等式解集、已知分段函数求参数取值范围等，分段函数问题要注意分类讨论，涉及分段函数的单调性、奇偶性、周期性等问题，要善于利用数形结合的思想解决问题.。

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(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．使函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取最大值的x 为( )A ．0 B.π4C.π3D.π2解析：选B.f ′(x )＝1－2sin x ，∴f (x )在[0，π4]上单调递增，[π4，π2]上单调递减，∴选B.2．定义在R 上的函数f (x )的图像如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为( ) A ．(－2，－1)∪(1，2) B ．(－1，0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(0，1) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：选C.当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f ′(x )>0，又xf ′(x )<0， ∴x ∈(－∞，－1)． 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0， 又xf ′(x )<0，∴x ∈(0，1)．综上可知解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选C.3．函数f (x )＝x －a x 在x ∈[1，4]上单调递减，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选D.依题意得，当x ∈[1，4]时，f ′(x )＝1－a2x ≤0，即a ≥2x 恒成立．注意到x ∈[1，4]时，y ＝2x 的最大值是24＝4，因此，实数a 的最小值为4，选D.4.f ′(x )是f (x )的导函数，若f ′(x )的图像如图所示，则f (x )的图像可能是( )解析：选C.由导函数的图像可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <x 1时，f ′(x )<0，即函数f (x )为减函数；当x >x 1时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知C 正确．5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：选B.f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ≤0时，f (x )在(0，1)上单调递增，无最值，排除A 、C ，当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝－a (舍)，x ＝a ，由题意知0<a <1.∴0<a <1.故选B.6．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：选C.当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，则f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝e x x －1，所以f ′(1)＝e －1≠0，所以f (1)不是极值．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，则f ′(x )＝e x (x －1)2＋2(e x －1)(x －1)＝e x (x 2－1)－2(x －1)＝(x －1)[e x (x ＋1)－2]，所以f ′(1)＝0，且当x >1时，f ′(x )>0；在x ＝1附近的左侧，f ′(x )<0，所以f (1)是极小值． 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ，n ∈[－1，1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值为( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15解析：选A.f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由题意f ′(2)＝－12＋4a ＝0，∴a ＝3.∴f ′(x )＝－3x 2＋6x ，其对称轴x ＝1，开口向下，当n ∈[－1，1]时，f ′(n )最小＝f ′(－1)＝－9，令f ′(x )＝－3x (x －2)＝0，则x ＝0或x ＝2，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )最小＝f (0)＝－4， 故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.8．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A ．(l 6)3πB ．(l 3)3πC ．(l 4)3π D.14(l 4)3π解析：选A.设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3(0<r <l 4)．则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l 6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为(l6)3π，故选A.9. 函数f (x )＝ax m (1－x )n 在区间[0，1]上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是( ) A ．m ＝1，n ＝1 B ．m ＝1，n ＝2 C ．m ＝2，n ＝1 D ．m ＝3，n ＝1解析：选B.观察图像易知，a >0，f (x )在[0，1]上先增后减，但在⎣⎡⎦⎤0，12上有增有减且不对称．对于选项A ，m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )是二次函数，图像应关于直线x ＝12对称，不符合题意．对于选项B ，m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (x －1)(3x －1)，令f ′(x )≥0，得x ≥1或x ≤13，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，13上单调递增，符合题意． 对于选项C ，m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝ax (2－3x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤23，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增，不符合题意． 对于选项D ，m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝ax 2(3－4x )，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤34，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，34上单调递增，不符合题意． 10．已知函数f(x)＝|x e x |，关于x 的方程f 2(x)＋tf(x)＋1＝0(t ∈R )有四个不等实数根，则t 的取值范围为( )A ．(e 2＋1e ，＋∞)B ．(2，e 2＋1e )C ．(－e 2＋1e ，－2)D ．(－∞，－e 2＋1e)解析：选D.设g (x )＝x e x ，g ′(x )＝e x (1＋x )，当x >－1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 当x <－1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，且x →－∞，g (x )→0.g (x )最小＝g (－1)＝－1e，g (0)＝0，∴f (x )＝|x e x |的图像如图，由题意知，f (x )有两个不等正值使方程成立．设为a ，b (a <b )，则a ∈(0，1e )，b >1e.由根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝t 2－4>0－t ＝a ＋b >01＝ab，∴－t ＝a ＋b ＝a ＋1a 在(0，1e )递减，a ＋1a >e ＋1e ，故t <－(e ＋1e )，即t 的取值范围为(－∞，－e 2＋1e)．所以选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续行驶，已知A 车向北行驶速度为30 km/h ，B 车向东行驶速度为40 km/h ，那么A 、B 两车间直线距离的增加速度是________ km/h.解析：设A 、B 两车的行驶时间为t 小时，则A 、B 两车间的直线距离s ＝（30t ）2＋（40t ）2＝50t (km)．∵s ′(t )＝50，∴A 、B 两车间直线距离的增加速度为50km/h.答案：5012．一个边长为12 cm 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x 的值应为________．解析：V ＝4x (6－x )2＝4(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝12(x 2－8x ＋12)，令V ′＝0得x 2－8x＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6(舍)．答案：2 cm13．已知函数f (x )＝x 2ln x ，则函数f (x )的单调减区间是________．解析：f ′(x )＝2x ln x ＋x 2·1x ＝x (2ln x ＋1)(x >0)，令f ′(x )<0得，0<x <e －12.∴f (x )的单调减区间是(0，e －12)．答案：(0，e －12)(写成(0，e －12]也正确)14．已知m ∈[1，6]，n ∈[1，6]，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是________．解析：y ′＝2mx 2－n ，由题意知2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴x ∈(－∞，－n2m )或x ∈⎝⎛⎭⎫ n 2m ，＋∞，故需n2m≤1，即n ≤2m .如图，P ＝5×5－12×4×25×5＝2125. 答案：212515．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：f (x )＝4x ＋a x ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a2时等号成立，此时f (x )取得最小值4a .又由已知x ＝3时，f (x )min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 答案：36三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图像经过点(0，1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x .(1)求y ＝f (x )的解析式；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图像经过点(0，1)，则c ＝1， f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，f ′(1)＝3a ＋2b ＝1.切点为(1，1)，则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图像经过点(1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1解得a ＝1，b ＝－1即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23.单调递增区间为(－∞，0)，(23，＋∞)．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图像关于原点成中心对称，求f (x )在区间[－4，5]上的最值．解：∵函数f (x )的图像关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数，所以a ＝1，b ＝0.于是f (x )＝x 3－27x ，f ′(x )＝3x 2－27.∴当x ∈(－3，3)时，f ′(x )<0；当x ∈(－4，－3)和(3，5)时，f ′(x )>0. 又∵函数f (x )在[－4，5]上是连续函数．∴f (x )在(－3，3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3，5)上是单调递增函数． ∴f (x )的最大值是f (－3)＝54，f (x )的最小值是f (3)＝－54.18．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x －1－ln x 对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋2≥bx 恒成立，求实数b 的取值范围．解：依题意对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋2≥bx 恒成立 等价于x －1－ln x ＋2≥bx 在(0，＋∞)上恒成立．可得b ≤1＋1x －ln xx 在(0，＋∞)上恒成立，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝e 2.∴函数y ＝g (x )的最小值为g (e 2)＝1－1e 2，根据题意b 的取值范围为{b |b ≤1－1e2}．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2e －x . (1)求f (x )的极小值和极大值；(2)当曲线y ＝f (x )的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝－e －x x (x －2)．①当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，在(0，2)上单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.(2)设切点为(t ，f (t ))，则l 的方程为y ＝f ′(t )(x －t )＋f (t )． 所以l 在x 轴上的截距为m (t )＝t －f （t ）f ′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2t －2＋3.由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h (x )＝x ＋2x (x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h (x )的取值范围为[22，＋∞)；当x ∈(－∞，－2)时，h (x )的取值范围是(－∞，－3)．所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m (t )的取值范围是(－∞，0)∪[22＋3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[22＋3，＋∞)． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值； (2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x ．设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝e －2，所以k ＝e －2.(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数．由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令ν(x )＝ex x 2⇒ν′(x )＝x e x （x －2）x 4，则ν(x )在(0，2)上单调递减，这时ν(x )∈(ν(2)，＋∞)；ν(2)是y ＝ν(x )的极小值，也是最小值．所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下： 当m ∈⎝⎛⎭⎫0，e 24时，有0个公共点； 当m ＝e 24时，有1个公共点；当m ∈⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞时有2个公共点．综上所述，当x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．。

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